单裂缝多孔介质渗透特性研究
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单裂缝多孔介质渗透特性研究
李亚军，姚军，黄朝琴，孙致学
（中国石油大学（华东） ，山东 青岛 266555）
摘要：单裂缝多孔介质渗透特性的研究是裂缝性介质渗流分析的基础。针对含单裂缝的多孔介质， 分别利用 Darcy 方程和 Stokes 方程描述基岩和裂缝中的流动， 采用连续边界条件、 Beavers-Joseph 边界条件和 Beavers-Joseph-Saffman 边界条件， 得到考虑基岩渗透率的广义立方定律和分别满足三 种边界条件的单裂缝介质的等效渗透率理论计算公式。参数分析表明由三种边界条件所得到的单裂 ，因此应用经典的连续边界条件可简化问题，提高 缝介质的等效渗透率较为一致（尤其当 α>1 时） 计算效率。研究结果为含裂缝多孔介质流动分析的参数确定提供了理论依据。 关键词： 单裂缝介质；等效渗透 率 ； 立方定律 ；连续 边界条件 ； Beavers–Joseph 边界条件 ； Beavers–Joseph-Saffman 边界条件 中图分类号：TE319 文献标识码：A
pf 为裂缝区域流体压力， Pa；Dvf 为变形速率张量，Dv f = 1 T ∇vf + ( ∇vf ) ；∇ 为哈米尔顿算子， “⋅ ” 2
表示矢量相乘。
2 单裂缝介质等效渗透率推导
目前，对于纯流体自由流动区域和多孔介质渗流区域的界面耦合问题，主要存在经典的连续边 界条件和滑移速度边界条件等， 现分别采用这几种条件推导单裂缝介质等效渗透率的理论计算公式。 2.1 连续边界条件 在裂缝与基岩的交界面上采用经典的连续边界条件，即法向应力和速度连续：
( pf − pm ) Σ = 2µ nΣ ⋅ D ( vf
vf
Σ
Σ
)⋅n
Σ
(5) (6)
= vm
Σ
系统的外边界条件对系统的渗流特性有重要影响， 周期边界条件[7-8]可消除边界效应对系统固有 属性的干扰，保证得到符合物理意义的等效渗透率。该系统的周期边界条件为：
dp pm Γ1 = pm Γ3 + dy dp p = ps Γ + 2 s Γ4 dx vm Γ1 ⋅ n1 = − vm Γ3 ⋅ n3 v ⋅ n = − vs Γ ⋅ n4 s Γ2 2 4
qf = ∫
h/2
−h / 2
v f dy = −
dp 1 h3 + hK m µ 12 dx
(11)
式（11） 为应用连续边界条件并考虑基岩渗透率的平行板裂缝模型的广义立方定律。结合式(11) 和达西公式，得到沿裂缝延伸方向的裂缝等效渗透率为：
Kf = h2 + Km 12
19
KBJS (α =0.1)
xx xx xx xx xx
19
KBJ (α =0.1)
xx xx xx xx xx
18 17
2
KBJS (α =0.15) KBJS (α =0.3) KBJS (α =1) KBJS (α =4) K
xx
18 17 Ksxx / µm
2
KBJ (α =0.15) KBJ (α =0.3) KBJ (α =1) KBJ (α =4) K
3 参数敏感性分析
对分别基于三种条件所得到的单裂缝介质系统的等效渗透率张量进行参数敏感性分析。由于三 种情况计算所得的 y 方向的渗透率主值相同，下面仅对 x 方向的等效渗透率主值 Ksxx 的影响因素进 行分析。单裂缝介质系统的尺寸为 lx=ly=5cm。 3.1 基岩渗透率 取 h=200μm。对不同的 α 值，研究各种边界条件下 Km 对 Ksxx 的影响（图 2） 。由式(13)可知， Kxx—Km 呈线性关系，其斜率为 1；α 对 KBJxx 和 KBJSxx 的影响很大，α 较小时，两者值较大；α 较大 时，两者逼近 Kxx；α 相同时，KBJxx 和 KBJSxx 皆随 Km 的增加而增加，且变化趋势基本一致，当 Km 较小(0~0.1μm2)时，两者增加幅度较大，且数值基本相等，随着 Km 的增大，两者增加幅度减小，近 似于线性变化，但斜率大于 Kxx—Km 关系曲线的斜率；KBJxx 略大于 KBJSxx。
xx
Ksxx / µm
16 15 14 13
16 15 14 13
0
0.2
0.4 Km / µm
0.6
2
0.8
1.0
0
0.2
0.4 Km / µm
0.6
2
0.8
1.0
图 2 不同 α 时 Km 对 KBJxx 和 KBJSxx 的影响曲线
3.2 滑移系数 采用如下参数：h=200μm；Km=0.1μm2。α 一般介于 0.1~1 数量级，对 α∈[0.1,4]，研究各边界 条件下 α 对渗透率主值的影响（图 3） 。不考虑滑移速度的连续边界条件所计算的 Kxx 为恒定值；由 于忽略了自由流动区和多孔介质区的相互作用，Kxx 明显小于另外两个计算结果；KBJxx 和 KBJSxx 皆随 滑移系数 α 的增加而减小，当 α<1 时，两者较大，当 α>1 时，两者较小，并逼近 Kxx。
引 言
裂缝性介质是含有大量孔隙和裂缝的固体介质[1]，在油田开发、岩石力学和生物科学领域中， 许多问题的研究对象都具有裂缝性介质的特征。单裂缝多孔介质渗透特性的研究是裂缝性介质流动 规律研究的基础。许多学者通过实验及理论研究，建立了经典的立方定律[2]，并在单裂缝水力学方 面[3-6]，验证了立方定律的有效性及适用范围，在此基础上对裂缝网络岩体的流动规律进行了探索。 当裂缝外围基岩存在渗透性时，基岩的渗透性、基岩与裂缝间的流体交换及耦合作用将会影响裂缝 性多孔介质的整体渗透率。但由于立方定律不考虑裂缝周围基岩的渗透性，在描述裂缝性多孔介质 的渗透系数时存在偏差。本文针对单裂缝多孔介质岩体，考虑基岩渗透率，建立了 Darcy-Stokes 耦 合数学模型，并推导了单裂缝岩体等效渗透率的理论计算公式。
K xx = 1 h3 + Kmly l y 12 ly ly − h
(13)
K yy = K m
(14)
2.2 Beavers–Joseph 边界条件 Beavers 和 Joseph[10]通过试验研究发现：在自由流动区域和多孔介质流动区域的交界面处，流 体在裂缝和基岩中速度的切向分量存在跳跃，称为滑移速度边界条件（BJ 条件） 。在交界面处引入 耦合边界条件（法向应力连续条件（式(5)） 、BJ 条件和法向速度连续条件） 。
K BJSxx = 1 ly h3 Km 2 h + K m ( l y − h ) + 2α 12
(18)
同理， 可推导得到 BJ 条件和 BJS 条件下的平行板裂缝模型的广义立方定律。 比较式(13)、 (17)和 (18)可以发现，式(17)和(18)中多出
Km 2α l y h 2 项，表征滑移速度对系统渗透特性的影响。
K BJxx = Km 2 1 h3 h + Kmly + ly 2α 12
(17)
2.3 Beavers–Joseph-Saffman 边界条件 Saffman[11]从理论上证明了 BJ 条件的正确性，并指出式(15)中的 vm 项可以忽略（即 vm = 0 ） ，从 而得到 Beavers–Joseph-Saffman 边界条件（BJS 条件） ，进而得到基于 BJS 条件的等效渗透率张量 KBJS，KBJS 也是对角张量（ K BJSyy = K xx ） ，其 x 方向渗透率主值为：
1 单裂缝介质及流动基本方程
如图 1，在长宽分别为 lx、ly 的方形岩体中，其中 间位置嵌有一条开度为 h 的裂缝；裂缝两壁面 Σ 与 x
nΣ 和 τ Σ 分别为沿交界面的单位法向量和切向 轴平行；
量；裂缝周围为均质各向同性的基质岩块；介质系统
ni 为相应外边界的单位法向 的外边界为 Γ i (i=1,2,3,4)，
16
KBJ K
xx xx
16
KBJS K
xx xx
2
K sxx / µm
14
13
Ksxx / µm 14 13 0
2
15
15
0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Βιβλιοθήκη Baidu
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
α
α
图 3 滑移系数对渗透率主值的影响曲线
3.3 裂缝开度 采用如下参数：Km=0.1μm2；α=1。对于裂缝开度 h∈[0, lx]，研究各种边界条件下 h 对渗透率主 值的影响。计算结果见表 1 和图 4。
量。不可压缩单相黏性流体在压力梯度的推动下在系
图 1 单裂缝介质示意图
统内部的恒定流动为层流。
根据流体力学理论，裂缝内的流动为 Poiseuille 流动，利用 Stokes 方程表征其流动特征，多孔 介质流动区域采用 Darcy 方程。两区域的动量方程和连续性方程表示如下：
-------------------------收稿日期：20100716；改回日期：20101022 基金项目：教育部博士点基金“缝洞型介质等效模型的流动模拟研究”(20090133110006)；国家科技重大专项“离 散裂缝网络油藏数值模拟技术”(2008ZX05014-005-03)；中国石油大学(华东)研究生创新基金“缝洞型介 质等效连续模型两相流动模拟理论研究”(Z10-03) 作者简介：李亚军(1984-)，男，2006 年毕业于中国石油大学(华东)信息与计算科学专业，现为中国石油大学(华东) 油气田开发工程专业博士研究生，从事油气田开发理论及复杂介质渗流理论的研究。
∂vf α =− ( v f − v m ) ⋅τ Σ ∂nΣ Km nΣ ⋅ vf = nΣ ⋅ vm y=± h 2
(15)
Σ
Σ
(16)
式中，无量纲常数 α 为滑移系数，取决于两区域交界面处基岩的几何特征和结构特征。 由式(1)~(5)、(7)、(15)、(16)构成基于 BJ 条件的 Darcy-Stokes 耦合数学模型，由此推导得到基 于 BJ 条件的单裂缝介质系统的等效渗透率张量 K BJ ，K BJ 为对角张量 （ K BJxy = K BJyx = 0 ， K BJyy = K xx ） ， 其 x 方向渗透率主值为：
dp =0 dy
(8) (9)
vm
Γ2 ,
=−
K m dp r i µ dx
vm r r
Γ3 ,
dp =0 dx
=−
K m l y dp r j µ l y − h dy
(10)
式中， i ， j 为直角坐标系 O-xy 的基向量。 式(8)、(9)分别是 x 方向裂缝截面和基岩截面的流动速度， 式(10)是 y 方向基岩截面的流动速度。 故裂缝的平均流量 qf 为：
(12)
在周围基岩的作用下，裂缝的等效渗透率增加，由两部分组成：基岩渗透率(Km)和利用立方定 律描述的单裂缝的渗透率(h2/12)。当裂缝周围为不渗透岩体时，式(11)化为经典的立方定律。利用非 均质储层的渗透率均值计算公式[9]，得到单裂缝介质在 x 方向和 y 方向的等效渗透率 Kxx 和 Kyy
−2 µ∇ ⋅ Dv f + ∇pf = f ∇ ⋅ vf = 0 µ vm + K m ⋅∇pm = 0 ∇ ⋅ vm = 0
(1) (2) (3) (4)
式中：µ 为流体动力黏度， Pa∙s；K m 为多孔介质渗透率， m2；vm 为多孔介质区域渗流速度， m/s； pm 为多孔介质表征单元体中的平均压力，Pa； f 为单位体积力，N/m3； vf 为裂缝区域流体速度，m/s；
表 1 不同 h 时的渗透率主值 h/μm KBJxx KBJSxx Kxx 0 0.1000 0.1000 0.1000 20 0.1146 0.1146 0.1133 40 0.2117 0.2116 0.2067 60 0.4714 0.4713 0.4600 80 0.9736 0.9734 0.9533 100 1.7983 1.7981 1.7667 120 3.0255 3.0253 2.9800 (μm2) 140 4.7353 4.7350 4.6733
(7)
式中， ps ( s = f , m ) 为边界 Γ 2 和 Γ 4 的压力，Pa； vs ( s = f , m ) 为边界 Γ 2 和 Γ 4 的速度，m/s。 由式(1)~(7)，求得流体通过系统后速度的解析解分别为：
vf
Γ2 , dp =0 dy
=
r 1 dp 4 y 2 − h 2 − 8K m ) i ( 8 µ dx
李亚军，姚军，黄朝琴，孙致学
（中国石油大学（华东） ，山东 青岛 266555）
摘要：单裂缝多孔介质渗透特性的研究是裂缝性介质渗流分析的基础。针对含单裂缝的多孔介质， 分别利用 Darcy 方程和 Stokes 方程描述基岩和裂缝中的流动， 采用连续边界条件、 Beavers-Joseph 边界条件和 Beavers-Joseph-Saffman 边界条件， 得到考虑基岩渗透率的广义立方定律和分别满足三 种边界条件的单裂缝介质的等效渗透率理论计算公式。参数分析表明由三种边界条件所得到的单裂 ，因此应用经典的连续边界条件可简化问题，提高 缝介质的等效渗透率较为一致（尤其当 α>1 时） 计算效率。研究结果为含裂缝多孔介质流动分析的参数确定提供了理论依据。 关键词： 单裂缝介质；等效渗透 率 ； 立方定律 ；连续 边界条件 ； Beavers–Joseph 边界条件 ； Beavers–Joseph-Saffman 边界条件 中图分类号：TE319 文献标识码：A
pf 为裂缝区域流体压力， Pa；Dvf 为变形速率张量，Dv f = 1 T ∇vf + ( ∇vf ) ；∇ 为哈米尔顿算子， “⋅ ” 2
表示矢量相乘。
2 单裂缝介质等效渗透率推导
目前，对于纯流体自由流动区域和多孔介质渗流区域的界面耦合问题，主要存在经典的连续边 界条件和滑移速度边界条件等， 现分别采用这几种条件推导单裂缝介质等效渗透率的理论计算公式。 2.1 连续边界条件 在裂缝与基岩的交界面上采用经典的连续边界条件，即法向应力和速度连续：
( pf − pm ) Σ = 2µ nΣ ⋅ D ( vf
vf
Σ
Σ
)⋅n
Σ
(5) (6)
= vm
Σ
系统的外边界条件对系统的渗流特性有重要影响， 周期边界条件[7-8]可消除边界效应对系统固有 属性的干扰，保证得到符合物理意义的等效渗透率。该系统的周期边界条件为：
dp pm Γ1 = pm Γ3 + dy dp p = ps Γ + 2 s Γ4 dx vm Γ1 ⋅ n1 = − vm Γ3 ⋅ n3 v ⋅ n = − vs Γ ⋅ n4 s Γ2 2 4
qf = ∫
h/2
−h / 2
v f dy = −
dp 1 h3 + hK m µ 12 dx
(11)
式（11） 为应用连续边界条件并考虑基岩渗透率的平行板裂缝模型的广义立方定律。结合式(11) 和达西公式，得到沿裂缝延伸方向的裂缝等效渗透率为：
Kf = h2 + Km 12
19
KBJS (α =0.1)
xx xx xx xx xx
19
KBJ (α =0.1)
xx xx xx xx xx
18 17
2
KBJS (α =0.15) KBJS (α =0.3) KBJS (α =1) KBJS (α =4) K
xx
18 17 Ksxx / µm
2
KBJ (α =0.15) KBJ (α =0.3) KBJ (α =1) KBJ (α =4) K
3 参数敏感性分析
对分别基于三种条件所得到的单裂缝介质系统的等效渗透率张量进行参数敏感性分析。由于三 种情况计算所得的 y 方向的渗透率主值相同，下面仅对 x 方向的等效渗透率主值 Ksxx 的影响因素进 行分析。单裂缝介质系统的尺寸为 lx=ly=5cm。 3.1 基岩渗透率 取 h=200μm。对不同的 α 值，研究各种边界条件下 Km 对 Ksxx 的影响（图 2） 。由式(13)可知， Kxx—Km 呈线性关系，其斜率为 1；α 对 KBJxx 和 KBJSxx 的影响很大，α 较小时，两者值较大；α 较大 时，两者逼近 Kxx；α 相同时，KBJxx 和 KBJSxx 皆随 Km 的增加而增加，且变化趋势基本一致，当 Km 较小(0~0.1μm2)时，两者增加幅度较大，且数值基本相等，随着 Km 的增大，两者增加幅度减小，近 似于线性变化，但斜率大于 Kxx—Km 关系曲线的斜率；KBJxx 略大于 KBJSxx。
xx
Ksxx / µm
16 15 14 13
16 15 14 13
0
0.2
0.4 Km / µm
0.6
2
0.8
1.0
0
0.2
0.4 Km / µm
0.6
2
0.8
1.0
图 2 不同 α 时 Km 对 KBJxx 和 KBJSxx 的影响曲线
3.2 滑移系数 采用如下参数：h=200μm；Km=0.1μm2。α 一般介于 0.1~1 数量级，对 α∈[0.1,4]，研究各边界 条件下 α 对渗透率主值的影响（图 3） 。不考虑滑移速度的连续边界条件所计算的 Kxx 为恒定值；由 于忽略了自由流动区和多孔介质区的相互作用，Kxx 明显小于另外两个计算结果；KBJxx 和 KBJSxx 皆随 滑移系数 α 的增加而减小，当 α<1 时，两者较大，当 α>1 时，两者较小，并逼近 Kxx。
引 言
裂缝性介质是含有大量孔隙和裂缝的固体介质[1]，在油田开发、岩石力学和生物科学领域中， 许多问题的研究对象都具有裂缝性介质的特征。单裂缝多孔介质渗透特性的研究是裂缝性介质流动 规律研究的基础。许多学者通过实验及理论研究，建立了经典的立方定律[2]，并在单裂缝水力学方 面[3-6]，验证了立方定律的有效性及适用范围，在此基础上对裂缝网络岩体的流动规律进行了探索。 当裂缝外围基岩存在渗透性时，基岩的渗透性、基岩与裂缝间的流体交换及耦合作用将会影响裂缝 性多孔介质的整体渗透率。但由于立方定律不考虑裂缝周围基岩的渗透性，在描述裂缝性多孔介质 的渗透系数时存在偏差。本文针对单裂缝多孔介质岩体，考虑基岩渗透率，建立了 Darcy-Stokes 耦 合数学模型，并推导了单裂缝岩体等效渗透率的理论计算公式。
K xx = 1 h3 + Kmly l y 12 ly ly − h
(13)
K yy = K m
(14)
2.2 Beavers–Joseph 边界条件 Beavers 和 Joseph[10]通过试验研究发现：在自由流动区域和多孔介质流动区域的交界面处，流 体在裂缝和基岩中速度的切向分量存在跳跃，称为滑移速度边界条件（BJ 条件） 。在交界面处引入 耦合边界条件（法向应力连续条件（式(5)） 、BJ 条件和法向速度连续条件） 。
K BJSxx = 1 ly h3 Km 2 h + K m ( l y − h ) + 2α 12
(18)
同理， 可推导得到 BJ 条件和 BJS 条件下的平行板裂缝模型的广义立方定律。 比较式(13)、 (17)和 (18)可以发现，式(17)和(18)中多出
Km 2α l y h 2 项，表征滑移速度对系统渗透特性的影响。
K BJxx = Km 2 1 h3 h + Kmly + ly 2α 12
(17)
2.3 Beavers–Joseph-Saffman 边界条件 Saffman[11]从理论上证明了 BJ 条件的正确性，并指出式(15)中的 vm 项可以忽略（即 vm = 0 ） ，从 而得到 Beavers–Joseph-Saffman 边界条件（BJS 条件） ，进而得到基于 BJS 条件的等效渗透率张量 KBJS，KBJS 也是对角张量（ K BJSyy = K xx ） ，其 x 方向渗透率主值为：
1 单裂缝介质及流动基本方程
如图 1，在长宽分别为 lx、ly 的方形岩体中，其中 间位置嵌有一条开度为 h 的裂缝；裂缝两壁面 Σ 与 x
nΣ 和 τ Σ 分别为沿交界面的单位法向量和切向 轴平行；
量；裂缝周围为均质各向同性的基质岩块；介质系统
ni 为相应外边界的单位法向 的外边界为 Γ i (i=1,2,3,4)，
16
KBJ K
xx xx
16
KBJS K
xx xx
2
K sxx / µm
14
13
Ksxx / µm 14 13 0
2
15
15
0
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
Βιβλιοθήκη Baidu
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
α
α
图 3 滑移系数对渗透率主值的影响曲线
3.3 裂缝开度 采用如下参数：Km=0.1μm2；α=1。对于裂缝开度 h∈[0, lx]，研究各种边界条件下 h 对渗透率主 值的影响。计算结果见表 1 和图 4。
量。不可压缩单相黏性流体在压力梯度的推动下在系
图 1 单裂缝介质示意图
统内部的恒定流动为层流。
根据流体力学理论，裂缝内的流动为 Poiseuille 流动，利用 Stokes 方程表征其流动特征，多孔 介质流动区域采用 Darcy 方程。两区域的动量方程和连续性方程表示如下：
-------------------------收稿日期：20100716；改回日期：20101022 基金项目：教育部博士点基金“缝洞型介质等效模型的流动模拟研究”(20090133110006)；国家科技重大专项“离 散裂缝网络油藏数值模拟技术”(2008ZX05014-005-03)；中国石油大学(华东)研究生创新基金“缝洞型介 质等效连续模型两相流动模拟理论研究”(Z10-03) 作者简介：李亚军(1984-)，男，2006 年毕业于中国石油大学(华东)信息与计算科学专业，现为中国石油大学(华东) 油气田开发工程专业博士研究生，从事油气田开发理论及复杂介质渗流理论的研究。
∂vf α =− ( v f − v m ) ⋅τ Σ ∂nΣ Km nΣ ⋅ vf = nΣ ⋅ vm y=± h 2
(15)
Σ
Σ
(16)
式中，无量纲常数 α 为滑移系数，取决于两区域交界面处基岩的几何特征和结构特征。 由式(1)~(5)、(7)、(15)、(16)构成基于 BJ 条件的 Darcy-Stokes 耦合数学模型，由此推导得到基 于 BJ 条件的单裂缝介质系统的等效渗透率张量 K BJ ，K BJ 为对角张量 （ K BJxy = K BJyx = 0 ， K BJyy = K xx ） ， 其 x 方向渗透率主值为：
dp =0 dy
(8) (9)
vm
Γ2 ,
=−
K m dp r i µ dx
vm r r
Γ3 ,
dp =0 dx
=−
K m l y dp r j µ l y − h dy
(10)
式中， i ， j 为直角坐标系 O-xy 的基向量。 式(8)、(9)分别是 x 方向裂缝截面和基岩截面的流动速度， 式(10)是 y 方向基岩截面的流动速度。 故裂缝的平均流量 qf 为：
(12)
在周围基岩的作用下，裂缝的等效渗透率增加，由两部分组成：基岩渗透率(Km)和利用立方定 律描述的单裂缝的渗透率(h2/12)。当裂缝周围为不渗透岩体时，式(11)化为经典的立方定律。利用非 均质储层的渗透率均值计算公式[9]，得到单裂缝介质在 x 方向和 y 方向的等效渗透率 Kxx 和 Kyy
−2 µ∇ ⋅ Dv f + ∇pf = f ∇ ⋅ vf = 0 µ vm + K m ⋅∇pm = 0 ∇ ⋅ vm = 0
(1) (2) (3) (4)
式中：µ 为流体动力黏度， Pa∙s；K m 为多孔介质渗透率， m2；vm 为多孔介质区域渗流速度， m/s； pm 为多孔介质表征单元体中的平均压力，Pa； f 为单位体积力，N/m3； vf 为裂缝区域流体速度，m/s；
表 1 不同 h 时的渗透率主值 h/μm KBJxx KBJSxx Kxx 0 0.1000 0.1000 0.1000 20 0.1146 0.1146 0.1133 40 0.2117 0.2116 0.2067 60 0.4714 0.4713 0.4600 80 0.9736 0.9734 0.9533 100 1.7983 1.7981 1.7667 120 3.0255 3.0253 2.9800 (μm2) 140 4.7353 4.7350 4.6733
(7)
式中， ps ( s = f , m ) 为边界 Γ 2 和 Γ 4 的压力，Pa； vs ( s = f , m ) 为边界 Γ 2 和 Γ 4 的速度，m/s。 由式(1)~(7)，求得流体通过系统后速度的解析解分别为：
vf
Γ2 , dp =0 dy
=
r 1 dp 4 y 2 − h 2 − 8K m ) i ( 8 µ dx