中考数学 考点聚焦 第6章 图形的性质(二)第23讲 圆的基本性质1

【例3】 (2016·南宁)如图，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA， CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠P的度数为( B )
A．140° B．70° C．60° D．40° 【点评】 当图中出现同弧或等弧时，常常考虑到弧所对的圆周角或圆 心角，一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半，通过相等的弧 把角联系起来．
(1)解：∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠CDB＝39°， ∵∠BAC＝∠CDB＝39°，∠CAD＝∠CBD＝39°， ∴∠BAD＝∠BAC＋∠CAD＝39°＋39°＝78°
(2)证明：∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠CBE， 而∠CEB＝∠2＋∠BAE，∠CBE＝∠1＋∠CBD， ∴∠2＋∠BAE＝∠1＋∠CBD，∵∠BAE＝∠CBD，∴∠1＝∠2.
[对应训练] 3．(导学号：01262214)(2016·株洲)已知 AB 是半径为 1 的圆 O 直径，C 是圆上一点，D 是 BC 延长线上一点，过点 D 的直线交 AC 于 E 点，且△AEF 为等边三角形． (1)求证：△DFB 是等腰三角形； (2)若 DA＝ 7AF，求证：CF⊥AB.
剖析 上述解法看上去好像思考周全，考虑了两种情况，其实又错了， 因为BC＞AB＞AC，BC是不等边△ABC的最大边，所以∠A＝60°不正 确，产生错误的根源是图画得不准确，忽视了圆心的位置，实际上本题 的圆心应在△ABC的外部．
正解 ∵OD＝12r＝12OC，OD⊥BC，∴∠OCD＝30°，∠DOC＝60°. 同理，∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°， ∴B︵AC度数为 120°，B︵mC度数为 240°，∴∠A＝120°
解：(1)在△AEB 和△DEC 中，∠A＝∠D，AE＝ED，∠AEB＝∠DEC， ∴△AEB≌△DEC(ASA)，∴EB＝EC，又∵BC＝CE，∴BE＝CE＝BC，
∴△EBC 为等边三角形，∴∠ACB＝60°
(2)∵OF⊥AC，∴AF＝CF，∵△EBC 为等边三角形，∴∠GEF＝60°， ∴∠EGF＝30°，∵EG＝2，∴EF＝1，又∵AE＝ED＝3，∴CF＝AF＝4，∴ AC＝8，EC＝5，∴BC＝5，作 BM⊥AC 于点 M，∵∠BCM＝60°，
②推论：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、 两条弧 、 两条弦 、 两条弦心距 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各
组量都分别相等．
(4)圆周角定理及推论： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的_一__半_．
圆周角定理的推论：
①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的 弧 相等 ．
【例 4】 (2016·连云港)如图，在网格中(每个小正方形的边长均为 1 个 单位)选取 9 个格点(格线的交点称为格点)．如果以 A 为圆心，r 为半径画圆， 选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为( B )
A．2 2＜r＜ 17 B. 17＜r＜3 2 C. 17＜r＜5 D．5＜r＜ 29
常见的辅助线 (1)有关弦的问题，常作其弦心距，构造以半径、弦的一半、弦心距为边 的直角三角形，利用勾股定理知识求解；
(2)有关直径的问题，常通过辅助线构造直径所对的圆周角是直角来进行证明 或计算． (3)有等弧或证弧相等时，常连等弧所对的弦或作等(同)弧所对的圆周(心)角 ．
1．(2016·黄石)如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥
点拨：如图，∵AD＝2 2，AE＝AF＝ 17，AB＝3 2，∴AB＞AE＞AD， ∴ 17＜r＜3 2 时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰 好有 3 个在圆内，故选 B
【点评】 本题考查了点与圆的位置关系、勾股定理等知识，解题的关 键是正确画出图形，理解题意．
[对应训练] 4．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半 径为2.下列说法中不正确的是( A) A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外
②半圆(或直径)所对的圆周角是 直角 ； 90°的圆周角所对的弦是 直径 ．
(5)点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： ①点P在圆上⇔ d＝r ； ②点P在圆内⇔ d<r ；
③点P在圆外⇔ d>r ．
(6)过三点的圆： ①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆． ②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三 角形的外心；三角形的外心是三边垂直平分线 的交点，这个三角形叫做 这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的 外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部． (7)圆的内接四边形： 圆内接四边形的对角 互补 ．
【点评】 本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及图形的翻折变换， 正确得出∠BOD 的度数是解题关键．
[对应训练] 2．(导学号：01262213)(2015·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点 E在对角线AC上，EC＝BC＝DC. (1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数； (2)求证：∠1＝∠2.
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧 ；
②弦的垂直平分线 经过圆心 ，并且平分弦所对的两条弧；
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条
弧．
(3)弦、弧、圆心角的关系定理及推论：
①弦、弧、圆心角的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 _相_等__，所对的弦_相__等_．
A．E，F，G B．F，G，H C．G，H，E D．H，E，F
【例 1】 (2016·安顺)如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，
若 AB＝8，CD＝6，则 BE＝ 4－ 7
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【点评】 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线， 构造出直角三角形是解答此题的关键．
[对应训练] 1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE＝ DE，BC＝CE. (1)求∠ACB的度数； (2)过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE＝3，EG＝2，求AB 的长．
第六章 图形的性质(二)
第23讲 圆的基本性质
1．主要概念 (1)圆：平面上到 定点的距离等于 定长的所有点组成的图形叫做圆． _定_点__叫做圆心， 定长 叫做半径，以O为圆心的圆记作⊙O. (2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做__弧__，连接圆上任意两点的线 段叫做_弦___，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的__弦__． (3)圆心角：顶点在 圆心 ，角的两边与圆相交的角叫做圆心角． (4)圆周角：顶点在 圆上 ，角的两边与圆相交的角叫做圆周角． (5)等弧：在 同圆或等圆 中，能够完全 重合 的弧叫做等弧．
AB，垂足为 N，则 ON＝( A )
A．5 B．7 C．9 D．11
2．(2016·兰州)如图，在⊙O 中，若点 C 是A︵B的中点，∠A＝50°，则
∠BOC＝( A )
A．40° B．45° C．50° D．60°
3．(2016·杭州)如图，已知 AC 是⊙O 的直径，点 B 在圆周上(不与 A、C 重合)，点 D 在 AC 的延长线上，连接 BD 交⊙O 于点 E，若∠AOB＝3∠ADB， 则( D )
A．DE＝EB B. 2DE＝EB C. 3DE＝DO D．DE＝OB 4．(2016·兰州)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，若四边形 ABCO 是平行 四边形，则∠ADC 的大小为(C ) A．45° B．50° C．60° D．75°
5．(2016·宜昌)在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所 示(图中小正方形的边长均相等)，现计划修建一座以O为圆心，OA为半 径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移 除的为( A )
试题 △ABC 内接于半径为 r 的⊙O，且 BC＞AB＞AC，OD⊥BC 于 D， 若 OD＝12r，求∠A 的度数．
错解 解：当圆心 O 在△ABC 内时，如图，连接 OB，OC. ∵OD＝12r＝12OC，OD⊥BC，∴∠OCD＝30°，∴∠DOC＝60°. 同理，∠BOD＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠A＝60°. 当圆心 O 在△ABC 外时，如图，同上，可求得∠BOC＝120°， ∴∠A＝∠BOC＝120°.综上，∠A 的度数为 60°或 120°.
解：(1)∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF为等边三角形， ∴∠CAB＝∠EFA＝60°，∴∠B＝30°，∵∠EFA＝∠B＋∠FDB， ∴∠B＝∠FDB＝30°，∴△DFB是等腰三角形
(2)过点 A 作 AM⊥DF 于点 M 连接 CF，，设 AF＝2a， ∵△AEF 是等边三角形，∴FM＝EM＝a，AM＝ 3a， 在 Rt△DAM 中，AD＝ 7AF＝2 7a，AM＝ 3a，∴DM＝5a， ∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF＋BF＝8a， 在 Rt△ABC 中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a， ∵AE＝EF＝AF＝CE＝2a，∴∠ECF＝∠EFC， ∵∠AEF＝∠ECF＋∠EFC＝60°，∴∠CFE＝30°， ∴∠AFC＝∠AFE＋∠EFC＝60°＋30°＝90°，∴CF⊥AB.
∴∠MBC＝30°，∴CM＝52，BM＝ BC2－CM2＝523， ∴AM＝AC－CM＝121，∴AB＝ AM2＋BM2＝7
【例 2】 (2016·舟山)把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开， 图中的虚线表示折痕，则B︵C的度数是( C )
A．120° B．135° C．150° D．165°
2．圆的有关性质
(1)圆的对称性：
①圆是 轴对称 图形，其对称轴是 过圆心的任意一条直线
．
②圆是 中心对称 图形，对称中心是 圆心 ．
③旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图
形重合．
(2)垂径定理及推论： 垂径定理：垂直于弦的直径 平分弦，并且 平分弦所对的两条弧 ．
垂径定理的推论：