江苏南师附中2019高三高考重点卷(十)(最后一卷)-数学

江苏南师附中2019高三高考重点卷（十）（最后一卷）-数
学
数学
(总分值160分，考试时间120分钟)
2018、5 参考公式：
锥体的体积公式为V ＝1
3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高、
【一】填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分、
1.设集合U ＝R ，集合M ＝{x|x 2
－x ≥0}，那么∁U M ＝______________、
2.高三(1)班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，学号5，29，41在样本中，那么还有一个同学的学号应为______________、
(第4题)
3.i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a ＋i i ＝2，那么正实数a ＝________________、
4.执行右图所示的算法流程图，假设输出的结果为1
2，那么输入的x 为________________、
5.在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝－3x 上，且x ＞0，那么sin α＝____________、
6.从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数记为a ，从集合{2，3，4}中随机选取一个数记为b ，那么b ＞a 的概率是__________、
7.向量a ＝(x －z ，1)，b ＝(2，y －z)，且a ⊥b .假设x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x －2y ＋2≥0，
x ＋2y －2≥0，
x ≤2，
那么z 的取值范围是______________、
8.“a ＝1”是“函数f(x)＝2x
－a
2x ＋a 在其定义域上为奇函数”的____________条件、(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
(第9题)
9.一个圆锥的展开图如下图，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，那么该圆锥的体积为__________、
10.F 是双曲线C ：x 2a 2－y
2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点，B 1B 2是双曲线的虚轴，M 是OB 1的
中点，过F 、M 的直线交双曲线C 于A ，且FM →＝2MA →
，那么双曲线C 离心率是______________、
11.数列{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝3，b 1＝1，a 2＝b 2，3a 5＝b 3，假设存在常数u ，v 对任意正整数n 都有a n ＝3log u b n ＋v ，那么u ＋v ＝______________、
12.函数f(x)＝log a (x 3－ax)(a ＞0且a ≠1)，假如函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0内单调递增，
那么a 的取值范围是____________、
(第13题)
13.如图，线段EF 的长度为1，端点E 、F 在边长不小于1的正方形ABCD 的四边上滑动、当E 、F 沿着正方形的四边滑动一周时，EF 的中点M 所形成的轨道为G.假设G 的周长为l ，其围成的面积为S ，那么l －S 的最大值为____________、
14.记F(a ，θ)＝a 2＋2asin θ＋2
a 2＋2acos θ＋2，关于任意实数a 、θ，F(a ，θ)的最大值与最小值的和是__________、
【二】解答题：本大题共6小题，共90分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、
15.(本小题总分值14分)
函数f(x)＝Asin(x ＋φ)(A ＞0，0＜φ＜π)，x ∈R 的图象有一个最高点⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3，1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)假设α为锐角，且f(α)＝1
3，求f(－α)的值、 16.(本小题总分值14分)
如图，正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直、EF ∥BD ，AB ＝2EF.求证： (1)BF ∥平面ACE ； (2)BF ⊥BD.
如图，现有一个以∠AOB 为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB 上取不同于A 、B 的点C ，用渔沿着弧AC(弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD(其中CD ∥OA)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.假设OA ＝
1km ，∠AOB ＝π
3，∠AOC ＝θ.
(1)用θ表示CD 的长度；
(2)求所需渔长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围、
抛物线D的顶点是椭圆C：x2
16＋
y2
15＝1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合、
(1)求抛物线D的方程；
(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点、
①假设直线l的斜率为1，求MN的长；
②是否存在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？假如存在，求出m的方程；假如不存在，说明理由、
函数f(x)＝mx2－x＋lnx.
(1)当m＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)假设在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；
(3)当m＞0时，假设曲线C：y＝f(x)在点x＝1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的值、
假如无穷数列{a n }满足以下条件：①a n ＋a n ＋2
2≤a n ＋1；②存在实数M ，使得a n ≤M ，其中n ∈N ，那么我们称数列{a n }为Ω数列、
(1)设数列{b n }的通项为b n ＝5n －2n ，且是Ω数列，求M 的取值范围；
(2)设{c n }是各项为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝7
4，证明：数列{S n }是Ω数列；
(3)设数列{d n }是各项均为正整数的Ω数列，求证：d n ≤d n ＋1.
2018届高三模拟考试试卷(十)
数学附加题(总分值40分，考试时间30分钟)
21.【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每题10分，共20分、假设多做，那么按作答的前两题计分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、
A.(选修41：几何证明选讲)
从⊙O 外一点P 向圆引两条切线PA 、PB 和割线PCD.从A 点作弦AE 平行于CD ，连结BE 交CD 于F.求证：BE 平分CD.
B.(选修42：矩阵与变换)
二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求矩阵A 的另一个特征值及其对应的一个特征向量； (2)假设向量m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－1－4，求A 4m . C.(选修44：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，点A ⎝ ⎛
⎭⎪⎫22，－π4，圆O 1：ρ＝4cos θ＋4sin θ. (1)将圆O 1的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)判断点A 与圆O 1的位置关系、
D.(选修45：不等式选讲)
a ，
b ，x ，y 均为正数，且1a ＞1b ，x ＞y.求证：x x ＋a ＞y
y ＋b .
【必做题】第22、23题，每题10分，共20分、解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤、
22.文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项、会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现
从文娱队中选2人，设X 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P(X ＞0)＝7
10.
(1)求文娱队的总人数； (2)计算E(X)、
23.f n (x)＝(1＋x)n
，n ∈N .
(1)假设g(x)＝f 4(x)＋2f 5(x)＋3f 6(x)，求g(x)中含x 2
项的系数； (2)假设p n 是f n (x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n (a 1a 2…a n ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )、
2018届高三模拟考试试卷(十)(南师附中)
数学参考答案及评分标准 1.(0，1)2.173.34.－25.－326.257.13≤z ≤28.充分不必要9.22π
3 10.5211.612.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，113.5π
414.4
15.解：(1)由题意，A ＝1，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋φ＝1，又0＜φ＜π，因此φ＝π6，
因此f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x ＋π6.(6分) (2)由题意，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝13＜12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，因此α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，
因此cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π6＝223，(10分)
因此f(－α)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－cos π3
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6
＝32×223－12×13＝26－1
6.(14分)
16.证明：(1)AC 与BD 交于O 点，连结EO.
正方形ABCD 中，2BO ＝AB ，又因为AB ＝2EF ， ∴BO ＝EF ，又因为EF ∥BD ，∴EFBO 是平行四边形 ∴BF ∥EO ，又∵BF 平面ACE ，EO 平面ACE ， ∴BF ∥平面ACE.(7分)
(2)正方形ABCD 中，AC ⊥BD ，又因为正方形ABCD 和三角形ACE 所在的平面互相垂直， BD 平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ACE ＝AC ，∴BD ⊥平面ACE ，∵EO 平面ACE ∴BD ⊥EO ，∵EO ∥BF ，∴BF ⊥BD.(14分)
17.解：(1)由CD ∥OA ，∠AOB ＝π
3，∠AOC ＝θ，得∠OCD ＝θ，
∠ODC ＝2π3，∠COD ＝π
3－θ. 在△OCD 中，由正弦定理，
得CD ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
0，π3(6分) (2)设渔的长度为f(θ)、由(1)可知， f(θ)＝θ＋1＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－θ.(8分)
因此f ′(θ)＝1－2
3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，因此π3－θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，
令f ′(θ)＝0，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－θ＝32，因此π3－θ＝π6，因此θ＝π6.
θ ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π6 π
6 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6，π3 f ′(θ) ＋
0 －
f(θ)
极大值
因此f(θ)∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤
2，π＋6＋236. 故所需渔长度的取值范围是⎝ ⎛⎦
⎥⎤
2，π＋6＋236.(14分) 18.解：(1)由题意，可设抛物线方程为y 2
＝2px(p ＞0)、由a 2
－b 2
＝4－3＝1，得c ＝1.
∴抛物线的焦点为(1，0)，∴p ＝2.∴抛物线D 的方程为y 2＝4x.(4分) (2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)、
①直线l 的方程为：y ＝x －4，联立⎩⎪⎨⎪
⎧y ＝x －4，y 2＝4x ，整理得x 2
－12x ＋16＝0. M(6－25，2－25)，N(6＋25，2＋25)，∴MN ＝（x 1－x 2）2
－（y 1－y 2）2
＝410.(9分)
②设存在直线m ：x ＝a 满足题意，那么圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 1＋42，y 12，过M 作直线x ＝a 的垂线，
垂足为E ，设直线m 与圆M 的一个交点为G.可得|EG|2
＝|MG|2
－|ME|2
，(11分)
即|EG|2＝|MA|2－|ME|2＝（x 1－4）2＋y 214－⎝ ⎛
⎭⎪⎫x 1＋42－a 2
＝14y 21＋（x 1－4）2－（x 1＋4）2
4
＋a(x 1＋4)－a 2 ＝x 1－4x 1＋a(x 1＋4)－a 2＝(a －3)x 1＋4a －a 2.(14分)
当a ＝3时，|EG|2＝3，如今直线m 被以AP 为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值2 3. 因此存在直线m ：x ＝3满足题意、(16分)
19.解：(1)当m ＝－1时，f(x)＝－x 2－x ＋lnx ，
因此f ′(x)＝－2x －1＋1x ＝－（2x －1）（x ＋1）
x
， 因此当0＜x ＜12，f ′(x)＞0，当x ＞1
2，f ′(x)＜0，
因此当x ＝12时，f(x)max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝－34－ln2.(3分) (2)f ′(x)＝2mx －1＋1x ＝2mx 2－x ＋1
x ，即2mx 2
－x ＋1＜0在(0，＋∞)上有解、 ①m ≤0显然成立；
②m ＞0时，由于对称轴x ＝14m ＞0，故Δ＝1－8m ＞0m ＜1
8，
综上，m ＜1
8.(8分)
(3)因为f(1)＝m －1，f ′(1)＝2m ，
因此切线方程为y －m ＋1＝2m(x －1)，即y ＝2mx －m －1，
从而方程mx 2
－x ＋lnx ＝2mx －m －1在(0，＋∞)上只有一解、
令g(x)＝mx 2
－x ＋lnx －2mx ＋m ＋1，那么
g ′(x)＝2mx －1－2m ＋1x ＝2mx 2－（2m ＋1）x ＋1x ＝（2mx －1）（x －1）
x
，(10分) 因此1°m ＝1
2，g ′(x)≥0，
因此y ＝g(x)在x ∈(0，＋∞)单调递增，且g(1)＝0，
因此mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1只有一解、(12分) 2°0＜m ＜12，x ∈(0，1)，g ′(x)＞0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12m ，g ′(x)＜0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，＋∞，g ′
(x)＞0
由g(1)＝0及函数单调性可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ＜0，
因为g(x)＝mx ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ＋m ＋lnx ＋1，取x ＝2＋1m ，那么g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ＞0.
因此在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12m ，＋∞方程mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1必有一解从而不符题意(14分) 3°m ＞12，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m ，g ′(x)＞0；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，1，g ′(x)＜0；x ∈(1，＋∞)，g ′(x)
＞0
同理在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12m 方程mx 2－x ＋lnx ＝2mx －m －1必有一解，不符题意，
综上所述m ＝1
2.(16分)
20.(1)解：∵b n ＋1－b n ＝5－2n ，∴n ≥3，b n ＋1－b n ＜0，故数列{b n }单调递减；(3分) 当n ＝1，2时，b n ＋1－b n ＞0，即b 1＜b 2＜b 3，
那么数列{b n }中的最大项是b 3＝7，因此M ≥7.(4分)
(2)证明：∵{c n }是各项正数的等比数列，S n 是其前n 项和，c 3＝14，S 3＝7
4，
设其公比为q ＞0，∴c 3q 2＋c 3q ＋c 3＝7
4.(6分)
整理，得6q 2－q －1＝0，解得q ＝12，q ＝－13(舍去)、
∴c 1＝1，c n ＝12n －1，S n ＝2－1
2n ＝S n ＋2，S ＜2.(8分)
对任意的n ∈N ，有S n ＋S n ＋22＝2－12n －12n ＋2＜2－1
2n ＝S n ＋2，且S n ＜2，
故{S n }是Ω数列、(10分)
(3)证明：假设存在正整数k 使得d k ＞d k ＋1成立，有数列{d n }的各项均为正整数，
可得d k ≥d k ＋1＋1，即d k ＋1≤d k －1.因为d k ＋d k ＋2
2≤d k ＋1，
因此d k ＋2≤2d k ＋1－d k ≤2(d k －1)－d k ＝d k －2.
由d k ＋2≤2d k ＋1－d k 及d k ＞d k ＋1得d k ＋2＜2d k ＋1－d k ＋1＝d k ＋1，故d k ＋2≤d k ＋1－1.
因为d k ＋1＋d k ＋3
2
≤d k ＋2，因此d k ＋3≤2d k ＋2－d k ＋1≤2(d k ＋1－1)－d k ＋1＝d k ＋1－2≤d k －3， 由此类推，可得d k ＋m ≤d k －m(m ∈N )、(14分)
又存在M ，使d k ≤M ，∴m ＞M ，使d k ＋m ＜0，这与数列{d n }的各项均为正数矛盾，因此假设不成立，即对任意n ∈N ，都有d k ≤d k ＋1成立、(16分)
2018届高三模拟考试试卷(十)(南师附中) 数学附加题参考答案及评分标准 21.A.选修41：几何证明选讲
证明：连结OF 、OP 、OB.
∵AE ∥CD ，∴∠PFB ＝∠AEB.
∵PA ，PB 是切线，∴∠POB ＝∠AEB.
∵∠PFB ＝∠POB ，∴O ，F ，B ，P 四点共圆、(5分)
又∵∠OBP ＝90°，∴∠OFP ＝90°，由垂径定理可知CF ＝DF.(10分)
B.选修42：矩阵与变换
解：(1)由题意，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 3c 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，
∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －3c －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝2. 特征方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝0，解得λ＝－1，4.
属于特征值λ2＝4的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(5分)
(2)m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－4＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.
∴A 4m ＝2A 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－A 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝2(－1)4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1－44⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－2－44⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－766－514.(10分)
C.选修44：坐标系与参数方程
解：(1)圆O 1：ρ＝4cos θ＋4sin θ
ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θx 2＋y 2＝4x ＋4y.(5分)
(2)A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π4A(2，－2)、
AO 1＝（2－2）2＋（－2－2）2＝4＞22＝R ，点在圆外、(10分)
D.选修45：不等式选讲
证明：∵x x ＋a －y y ＋b ＝x （y ＋b ）－y （x ＋a ）（x ＋a ）（y ＋b ）＝bx －ay
（x ＋a ）（y ＋b ）， 又b ＞a ＞0，x ＞y ＞0，∴(x ＋a)(y ＋b)＞0，bx ＞ay ，即bx －ay ＞0，
∴x x ＋a －y y ＋b ＞0，即x x ＋a ＞y
y ＋b .(10分)
22.解：(1)设总人数为n 个，那么P(X ＞0)＝1－P(X ＝0)＝1－C 22n －7C 2n ＝7
10. ∵2n －7≥2，∴n ≥4.5.
∵2＜n ＜7，n ∈N n ＝5，6，逐个代入，得n ＝5.(5分)
(2)P(X ＝0)＝1－P(X ＞0)＝1－710＝3
10，
P(X ＝2)＝C 22
C 25
＝110， P(X ＝1)＝1－110－310＝610＝3
5，
E(X)＝0×310＋2×110＋1×35＝45.(10分)
23.(1)解：g(x)中含x 2项的系数为C 4
4＋2C 45＋3C 46＝1＋10＋45＝56.(3分)
(2)证明：由题意，p n ＝2n －1.(5分)
①当n ＝1时，p 1(a 1＋1)＝a 1＋1，成立；
②假设当n ＝k 时，p k (a 1a 2…a k ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )成立， 当n ＝k ＋1时，
(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )(1＋a k ＋1)≤2k －1(a 1a 2…a k ＋1)(1＋a k ＋1)
＝2k －1(a 1a 2…a k a k ＋1＋a 1a 2…a k ＋a k ＋1＋1)、()
∵a k ＞1，a 1a 2…a k (a k ＋1－1)≥a k ＋1－1，即a 1a 2…a k a k ＋1＋1≥a 1a 2…a k ＋a k ＋1， 代入()式得(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a k )(1＋a k ＋1)≤2k (a 1a 2…a k a k ＋1＋1)成立、 综合①②可知，p n (a 1a 2…a n ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )对任意n ∈N 成立、(10分)。