求函数值域的几种常见方法详解

求函数值域的几种常见方法

1．直接法：利用常见函数的值域来求。

一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，

当a>0时，值域为{a y y 4|2≥}；当a<0时，值域为{a

y y 4|2

≤}. 例1．求下列函数的值域

① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1

+=x x

y 解：①∵-1≤x ≤1，∴-3≤3x ≤3，

∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y ≤5，∴值域是[-1，5] ②∵),0[4+∞∈-x ∴),2[)(+∞∈x f

即函数x x f -+=42)(的值域是 { y| y ≥2}

③1

1

11111+-

=+-+=+=x x x x x y ∵

01

1

≠+x ∴1≠y 即函数的值域是 { y| y ∈R 且y ≠1}（此法亦称分离常数法）（思考：如何使用口算法？） 2．二次函数在给定区间上的值域(最值)。

例2． 求下列函数的最大值、最小值与值域：

①142+-=x x y ； ②]4,3[,142∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ； ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 解：①∵抛物线的开口向上，对称轴2x =，函数的定义域R ， ∴x=2时，y min =-3 , ∴函数的值域是{y|y ≥-3 }.

②∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∉ [3,4]，

此时142+-=x x y 在[3,4]

∴当x=3时，m in y =-2 当x=4时，m ax y =1 ∴值域为[-2，1].

③∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∉ [0,1]，

此时142+-=x x y 在[0,1]

∴当x=0时，m ax y =1 当x =1时，min y =-2 ∴值域为[-2，1].

④∵抛物线的开口向上，对称轴2x =∈ [0,5]，

∴当x=2时，m in y =-3 当 x=5时，m ax y =6（思考：为什么这里直接就说当 x=5时，

m ax y =6，而不去考虑x=0对应的函数值情况？答：因为观察图像可知x=5离对称轴较远，

其函数值比x=0对应的函数值大）

∴值域为[-3，6].

注：对于二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时，

①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值a b ac y 442

min -=； ②当a<0时，则当a b x 2-=时，其最大值a

b a

c y 442max -=. ⑵若定义域为x ∈ [a,b],则应首先判定其对称轴a

b

x 2-=是否属于区间[a,b]. ①若2b a -

∈[a,b],则()2b

f a -是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较)(),(b f a f 的大小决定函数的最大（小）值.

②若2b

a

-

∉[a,b],则[a,b]是在)(x f 的单调区间内，只需比较)(),(b f a f 的大小即可决定函数的最大（小）值.

注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.

3．有解判别法：

有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论

例3．求函数y=1

1

22+++-x x x x 值域

解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题∆≥0， 即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得

33

1

≤≤y 且 y ≠1. 综上：值域{y|

33

1

≤≤y }. 例4．求函数6

6

522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）

解：把已知函数化为(2)(3)36

1(2)(3)33

x x x y x x x x ---===-

-+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1

∵ x=2时 51-

=y ∴ 5

1-≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5

1

-}

说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称有解判别法.一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式并且分子、分母，没有公因式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法

例5．求函数x x y -+=142的值域

解：设 x t -=1 则 t ≥0 x=1-2

t

代入得 t t t f y 4)1(2)(2+-⋅==2

242t t =-++

开口向下，对称轴1t =[0,)∈+∞ ∴1t =时，max (1)4y f == ∴值域为(,4]-∞ 5．分段函数

例6．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.

解：将函数化为分段函数形式：21(2)3(12)21(1)

x x y x x x ⎧-≥⎪

=-≤<⎨⎪

-+<-⎩，画出它的

图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y ≥3}.

说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. ★练习：

1、3

425

2

+-=

x x y 答案：值域是{05}y y <≤. 2、求函数的值域

①x x y -+=2；

②y x =+答案：值域是（-∞，

4

9

]. 答案：值域是{2}y y ≥- 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.