《立体几何综合问题》

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

立体几何综合问题

要点：

①空间几何体的结构、三视图、直观图；

②平行、垂直的判断定理与性质定理；

③求空间的角、距离的计算问题；

④开放性、探索性问题．

【问题1】关注三视图问题：

1．在空间直角坐标系Oxyz中,已知(2,0,0)

A,(2,2,0)

B,(0,2,0)

C,(1,1

D,若

1

S,

2

S,

3

S分别表示三棱锥D ABC

-在xOy, yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则（）

（A）

123

S S S

==（B）

12

S S

=且

31

S S

≠

（C）

13

S S

=且

32

S S

≠（D）

23

S S

=且

13

S S

≠

2．某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）

A．28+65B．30+65

C．56+ 125D．60+125

3．某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是（）

A．8B

．

C．10

D．

4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为（）

5．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz

-中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0), (0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为（）

A．B．C．D．

侧（左）视图

正（主）视图

6．三棱锥A -BCD 及其侧视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上

的点，且MN ⊥NP ．

（I ）证明：P 是线段BC 的中点； （II ）求二面角A - NP - M 的余弦值．

7．四面体ABCD 及其三视图如图所示，过棱AB 的中点E 作平行于AD ，BC 的平面分别交四面体的棱BD ，DC ，CA 于点F ，G ，H ．

（I ）证明：四边形EFGH 是矩形； （II ）求直线AB 与平面EFGH 夹 角θ的正弦值．

【问题2】关注以“截面”为背景的问题

1．如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱

PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,．

（I ）求证：FG AB //；

（补充）设平面PAB 与平面PDE 的交线是l ，求证：l ∥平面AMDE ．

（II ）若⊥PA 底面ABCDE ,且PE AF ⊥,求直线BC 与平面ABF 所成角的大小,并求线段PH 的长．

2．如图，四棱柱ABCD - A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为梯形，AD ∥BC ，且AD ＝2BC ，

过A 1，C ，D 三点的平面记为α，BB 1与α的交点为Q ． （I ）证明：Q 为BB 1的中点；

（II ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；

（III ）若AA 1＝4，CD ＝2，梯形ABCD 的面积为6，求平面α与 底面ABCD 所成二面角的大小．

【问题3】重视探索性问题 C A B D M

N

P

G P

C M

D F

E H

B

A

1．如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5． （Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求

1

BD

BC 的值．

2．如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2． （I ）求证：A 1C ⊥平面BCDE ；

（II ）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；

（III ）线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由．

3．如图，在四棱锥P - ABCD 中，P A ⊥底面ABCD, AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E

为棱PC 的中点．

（I ）证明：BE ⊥DC ；

（II ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；

（III ）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F - AB - P 的余弦值．

4．如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，

点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．

（I）当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ.

（II）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．

【问题4】会借用“正方体”思考问题：

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()

A．6 2 B．6

C．4 2 D．4

2．在如图所示的空间直角坐标系O­xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①,②,③,④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()

A．①和②B．①和③C．③和②D．④和②

3．已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C的球面上，若P A，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________．

4．如图，在正三棱锥A BCD

-中，E、F分别是AB、BC的中点，

EF DE

⊥，且1

BC=，则正三棱锥A-BCD的体积是．

5．已知正四面体的外接球的体积为9

2

π

，则该正四面体的表面积为．

6．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）

A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线