线性空间定义及简单性质共19页
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线性空间的定义与性质
s1(x) = A1sin(x+B1)= (A1)sin(x+B1) S[x],
所以, S[x]是一个线性空间.
例5: 在区间[a, b]上全体实连续函数构成的集合 记为C[a, b], 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构 成实数域上的线性空间. (2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线 性运算规律. 例6: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘 数运算为: ab = ab, a = a, (R, a, bR+) 验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线 性空间. 证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一 定是有序数组. 说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义 的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质 的任一条, 则此集合就不能构成线性空间. 线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性. 例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和 数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn 中的向量(元素)是mn矩阵. 例2: 次数不超过n的多项式的全体记作P[x]n, 即 P[x]n ={ p(x)=a0+a1x+· · · +anxn | a0, a1, · · · , a n R } 对通常多项式加法, 数乘构成向量空间.
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素. 则对任何V有, + 01 =, + 02 = , 由于01, 02V, 则有 02+01=02, 01+02=01. 所以 01=01+02 =02+01 =02.
线性空间的定义
= ( k a ) ⊕ ( k b) ;
上的线性空间． ∴ R＋构成实数域 R上的线性空间． 上的线性空间
§6.2 线性空间的定义与简单性质
例6
V = f ( A) f ( x ) ∈ R[ x ], A ∈ R n×n 令
{
}
阶方阵A的实系数多项式的全体 的实系数多项式的全体， 即n 阶方阵 的实系数多项式的全体，则V关于矩阵 关于矩阵 的加法和数量乘法构成实数域R上的线性空间． 的加法和数量乘法构成实数域 上的线性空间． 上的线性空间 证：根据矩阵的加法和数量乘法运算可知
§6.2 线性空间的定义与简单性质
3、0α = 0, k 0 = 0, ( − 1)α = −α , 、 k (α − β ) = kα − k β 证明： 证明：∵ 0α + α = (0 + 1)α = α ,
∴两边加上 −α 即得 0 α ＝0； ∵
kα = k (α + 0) = kα + k 0
§6.2 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的定义
是一个非空集合， 是一个数域 在集合V中 是一个数域， 设V是一个非空集合，P是一个数域，在集合 中 是一个非空集合 定义了一种代数运算，叫做加法： 定义了一种代数运算，叫做加法：即对 ∀α , β ∈ V ， 加法 在V中都存在唯一的一个元素 γ 与它们对应，称 γ 为 中都存在唯一的一个元素 与它们对应， 与 的元素之间还 α 与β 的和，记为 γ = α + β ；在P与V的元素之间还 定义了一种运算，叫做数量乘法： 定义了一种运算，叫做数量乘法：即 ∀ α ∈ V , ∀ k ∈ P , 数量乘法 中都存在唯一的一个元素δ与它们对应 在V中都存在唯一的一个元素 与它们对应，称δ为 中都存在唯一的一个元素 与它们对应， 为 数量乘积， k与α的数量乘积，记为 δ = kα.
第六章 线性空间与线性变换
（7） (k + l)α＝kα＋lα , k,l ∈ F ； （8） k(lα )＝(kl)α ，
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
线性代数第六章第一节——线性空间的定义与性质
0 c
解 (1)不构成子空间. 因为对
1
A B
0
2
有 A B
0
0 0
W1
0 0
0 0
W1 ,
0 0
线性代数
即 W1对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
0 0 0
W2 , 即W2非 空.
( 2) 因
0 0 0
对任意
a1 b1 0
定义１ 设 V是一个非空集合，R为实数域．如果
对于任意两个元素 , V，总有唯一的一个元
素 V 与之对应，称为 与 的和，记作
若对于任一数 R 与任一元素 V ，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积，记作
( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有有零元素
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使 有负元素
0;
(5) 1 ;
(6) ; 对数乘运算的结合律和分配律
(7) ;
数 乘 : k (a , b) (lg a , bk ), k R
V是不是向量空间
? 为 什 么?
线性代数
解
V不是向量空间
.
显 然,V对 加 法 封 闭,因 为 两 个 正 实 数 的 和 与
积
还 是 正 实 数.
但V对乘法不封闭
.
比如V中的元素(1, b), 对任意实数k ,
k (1, b) (lg 1, bk ) (0, bk ) V .
1 ; 0 0.
4．如果 0 ，则 0 或 0 .
解 (1)不构成子空间. 因为对
1
A B
0
2
有 A B
0
0 0
W1
0 0
0 0
W1 ,
0 0
线性代数
即 W1对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
0 0 0
W2 , 即W2非 空.
( 2) 因
0 0 0
对任意
a1 b1 0
定义１ 设 V是一个非空集合，R为实数域．如果
对于任意两个元素 , V，总有唯一的一个元
素 V 与之对应，称为 与 的和，记作
若对于任一数 R 与任一元素 V ，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积，记作
( 3) 在V中存在零元素0, 对任何 V , 都有有零元素
0 ;
(4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使 有负元素
0;
(5) 1 ;
(6) ; 对数乘运算的结合律和分配律
(7) ;
数 乘 : k (a , b) (lg a , bk ), k R
V是不是向量空间
? 为 什 么?
线性代数
解
V不是向量空间
.
显 然,V对 加 法 封 闭,因 为 两 个 正 实 数 的 和 与
积
还 是 正 实 数.
但V对乘法不封闭
.
比如V中的元素(1, b), 对任意实数k ,
k (1, b) (lg 1, bk ) (0, bk ) V .
1 ; 0 0.
4．如果 0 ，则 0 或 0 .
第六章 线性空间
2 23 1
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19
例5 设1 , 2 , A是n s矩阵, (1 , 2 , 证明 : L( 1 , 2 ,
, n 是n维线性空间V 的一组基, , s ) (1 , 2 , , n ) A
, s )的维数等于A的秩.
证 设秩( A) r , 则存在可逆矩阵P , Q , 使得 Er A P O
(4) 基变换
其中1 , 2 ,
, n 和1 , 2 ,
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, n 都是V的
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基, A为过渡矩阵, 可逆.
3
性质:设1 , 2 , 则 1 , 2 ,
, n为V 的基, , n ) ( 1 , 2 , , n ) A, , n 也为V 的基 A可逆.
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若 V2 , 则因 V2 , 有 ( ) V2 , 与 V2矛盾. 故在V中存在向量x , x V1且x V2 .
注: 此例说明,若V1 ,V2是V的两个非平凡子空 间, 则在V中存在向量x, 使x V1 V2 ,即V V1 V2 .
证 取P n的一组基 1 , 2 , 个 i , 使得A
m 1
i 0.
, n, 令
B ( 1 , 2 , , n )
事实上,若Am1 j 0, j 1,2,
则B可逆, 且有Am1 B O. 于是Am1 O. 与题设矛盾.
令 i , 则Am1 0, Am 0.
k1 l1 k2 l2 则有坐标变换公式 : A kn ln
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例5 设1 , 2 , A是n s矩阵, (1 , 2 , 证明 : L( 1 , 2 ,
, n 是n维线性空间V 的一组基, , s ) (1 , 2 , , n ) A
, s )的维数等于A的秩.
证 设秩( A) r , 则存在可逆矩阵P , Q , 使得 Er A P O
(4) 基变换
其中1 , 2 ,
, n 和1 , 2 ,
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, n 都是V的
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基, A为过渡矩阵, 可逆.
3
性质:设1 , 2 , 则 1 , 2 ,
, n为V 的基, , n ) ( 1 , 2 , , n ) A, , n 也为V 的基 A可逆.
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若 V2 , 则因 V2 , 有 ( ) V2 , 与 V2矛盾. 故在V中存在向量x , x V1且x V2 .
注: 此例说明,若V1 ,V2是V的两个非平凡子空 间, 则在V中存在向量x, 使x V1 V2 ,即V V1 V2 .
证 取P n的一组基 1 , 2 , 个 i , 使得A
m 1
i 0.
, n, 令
B ( 1 , 2 , , n )
事实上,若Am1 j 0, j 1,2,
则B可逆, 且有Am1 B O. 于是Am1 O. 与题设矛盾.
令 i , 则Am1 0, Am 0.
k1 l1 k2 l2 则有坐标变换公式 : A kn ln
6.1线性空间的概念.
n 1
[ a , b ]上的全体连续实函数对于通常定义的 函数的加法与数乘函数运算构成数域 R 上的 线性空间 C[a, b] 实系数的齐次线性方程组的解的全体构成实数 域上的线性空间 仅由 n 维零向量构成的集合也构成实数域上的 线性空间
例 非通常意义下的加法与数乘运算下的 线性空间
V R , P R def. a, b R , a b a b
2
定义加法为通常意义下的加法； 定义数乘为
k ( x1 , x2 ) (kx1 ,0)
则 V 不构成线性空间 例 n 次的多项式，不构成线性空间
2 线性空间的性质 零元素是唯一的 每个元素的负元素是唯一的 0 0 , (1) , k 0 0 若 k 0 k 0 or 0
T
定义 设 V 是数域 P 上的线性空间， , ,, V
1 2 s
令
k11 k2 2 k s s ki P, i 1,2,, s L 1 , 2 , , s
称 L 1 , 2 ,, s 为由 , ,, 生成的
则称V 为数域 P 上的线性空间
例如 全体 n 维实向量对于通常定义的加法与数乘 运算构成数域 R 上的线性空间 R
n
全体 m n实矩阵对于通常定义的加法与数乘 运算构成数域 R 上的线性空间 R mn 全体 次数不超过 n 次的变量x 的实系数多项式 对于通常定义的函数的加法与数乘函数运算构 成数域 R 上的线性空间 R[ x]
第四章 线性空间
§ 4.1 线性空间的概念
1 线性空间的概念 定义 ( 数域 ) 若P 是一数集，P包含数0与1，且对 加法、减法、乘法与除法（0 不做除数） 封闭，则称 P 是一个数域。 例如，全体实数R、全体复数C、全体有理数Q
[ a , b ]上的全体连续实函数对于通常定义的 函数的加法与数乘函数运算构成数域 R 上的 线性空间 C[a, b] 实系数的齐次线性方程组的解的全体构成实数 域上的线性空间 仅由 n 维零向量构成的集合也构成实数域上的 线性空间
例 非通常意义下的加法与数乘运算下的 线性空间
V R , P R def. a, b R , a b a b
2
定义加法为通常意义下的加法； 定义数乘为
k ( x1 , x2 ) (kx1 ,0)
则 V 不构成线性空间 例 n 次的多项式，不构成线性空间
2 线性空间的性质 零元素是唯一的 每个元素的负元素是唯一的 0 0 , (1) , k 0 0 若 k 0 k 0 or 0
T
定义 设 V 是数域 P 上的线性空间， , ,, V
1 2 s
令
k11 k2 2 k s s ki P, i 1,2,, s L 1 , 2 , , s
称 L 1 , 2 ,, s 为由 , ,, 生成的
则称V 为数域 P 上的线性空间
例如 全体 n 维实向量对于通常定义的加法与数乘 运算构成数域 R 上的线性空间 R
n
全体 m n实矩阵对于通常定义的加法与数乘 运算构成数域 R 上的线性空间 R mn 全体 次数不超过 n 次的变量x 的实系数多项式 对于通常定义的函数的加法与数乘函数运算构 成数域 R 上的线性空间 R[ x]
第四章 线性空间
§ 4.1 线性空间的概念
1 线性空间的概念 定义 ( 数域 ) 若P 是一数集，P包含数0与1，且对 加法、减法、乘法与除法（0 不做除数） 封闭，则称 P 是一个数域。 例如，全体实数R、全体复数C、全体有理数Q
第二节线性空间的定义与简单性质ppt课件
例 4 数域 P 上一元多项式环 P[ x ]， 按通常 的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域 P 上 的一个线性空间. 如果只考虑其中次数小于 n 的多 项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性 空间，用 P[ x ]n 表示. 但是，数域 P 上的 n 次多 项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多项式的和可能不是 n 次多项式.
§6.2 线性空间的定义与简单性质
3. 0 = 0 ; k0 = 0 ; (-1) = - .
证明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 = .
所以
0 = 0 .
k0 + k = k (0 +) = k
所以
k0 = 0 .
(-1) + = (-1) + 1 =[(-1) + 1] = 0 =0 ,
§6.2 线性空间的定义与简单性质
注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其 他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可 由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不 是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算 , 叫做数量乘法； 这就是说，对于数域 P 中任一
数 k 与 V 中任一元素 ，在 V 中都有唯一的一个
§6.2 线性空间的定义与简单性质
元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记 = k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
+ = 0 ( 称为 的负元素) .
§7.1 线性空间的定义与性质
例1 在实数域 R 和 R 集合（正实数全体）
上定义运算 a b aba,b R
o a a R, R
验证 R 对上述定义的加法 与数乘 o 。
运算构成实数域上的线性空间。
解 对加法封闭：对任意的 a,b R ，有
a b ab R 对数乘封闭：对任意的 R, a R ，有 o a a R
⑦ o a a aa a a oa oa
⑧ oa b oab ab ab a b o a ob 经验证 R 所定义的运算构成了线性空间。
例2 设集合 V 为：与向量 0,0,1 不平行的全体
三维数组向量。定义两种运算为：数组向量的加 法和数乘运算。验证集合 V 是否为实数域 R 上 的线性空间。
说明 求差的运算称为减法运算。
定义3 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，若 W 对于 V 中定义的加法与数乘运算也构成一个 线性空间，称 W 是 V 的子空间。
对于子空间，有如下定理加以判别。
定理 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，则 W 是 V 的子空间充要条件是 W 对于 V 的加 法与数乘运算具有封闭性，即
下面再验证满足8条规律： ① a b ab ba b a
② a b c ab c abc abc a b c
③ R 存在零元素1，对 a R 有 a 1 a1 a ④ 对 a R ，有负元素 a1 R ，使
a a1 aa1 1
⑤ 1 a a1 a
⑥ o o a o a a a o a , R
证（6）由 0 0 得
0 0 ，根据加法消去律有 0 0 证（8）若 0 ，据性质（5）可知 0 ；
若 0 ，则 1 存在，有 1 10 ，故
1 1 0 ，证毕
高等代数6.2 线性空间的定义与简单性质
1、零元素是唯一的.
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ． 证明：假设 有两个负元素 β、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
g
b a
k a ak
2) 加法与数量乘法定义为： a,b R ,k R
a b ab
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
解：1）R＋不构成实数域R上的线性空间.
⊕不封闭，如
2
1 2
1
log22
1
R＋．
2) R＋构成实数域R上的线性空间．
k1, k2 P, k1 k2 , 有 k1 , k2 V 又 k1－k2 (k1 k2 ) 0
k1 k2 .
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
作业
P273 习题3：5）6）7）
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
§3 维数·基与坐标
§4 基变换与坐标变换
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质
引例1 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量
空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： (a1 , a2 ,, an ) (b1 , b2 ,, bn ) (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
( ) 0
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ． 证明：假设 有两个负元素 β、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
g
b a
k a ak
2) 加法与数量乘法定义为： a,b R ,k R
a b ab
k a ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
解：1）R＋不构成实数域R上的线性空间.
⊕不封闭，如
2
1 2
1
log22
1
R＋．
2) R＋构成实数域R上的线性空间．
k1, k2 P, k1 k2 , 有 k1 , k2 V 又 k1－k2 (k1 k2 ) 0
k1 k2 .
而数域P中有无限多个不同的数，所以V中有无限 多个不同的向量.
注：只含一个向量—零向量的线性空间称为零空间.
作业
P273 习题3：5）6）7）
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 与简单性质
§3 维数·基与坐标
§4 基变换与坐标变换
§6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质
引例1 在第三章§2中，我们讨论了数域P上的n维向量
空间Pn，定义了两个向量的加法和数量乘法： (a1 , a2 ,, an ) (b1 , b2 ,, bn ) (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )
( ) 0
线性空间的定义与性质
(6) a a a a a;
(7) a a a a a a
a a;
(8) (a b) (ab) ab ab
a b a b.
所以 R 对所定义的运算构成线性空间．
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n x ( x1, x2 ,, xn )T x1, x2 ,, xn R
0 .
向量 的负元素记为 .
3. 0 0; 1 ; 0 0. 证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0,
1 .
0 1
0
0.
4．如果 0，则 0 或 0 .
证明
假设 0,
P[x]n 对运算封闭.
例3 n次多项式的全体 Q[ x]n { p an xn a1 x a0 an ,, a1 , a0 R,且 an 0}
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 间.
0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
Q[x]n 对运算不封闭.
例４ 正弦函数的集合
素，则对任何 V ，有
01 , 02 .
由于 01,02 V , 所以 02 01 02 ,01 02 01. 01 01 02 02 01 02.
2．负元素是唯一的．
证明 假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0.
则有 0
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
( x1,, xn )T 0,,0
不构成线性空间． S n 对运算封闭.
但1 x o, 不满足第五条运算规律.
由于所定义的运算不是线性运算,所以S n不是 线性空间.
二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明 假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
(7) a a a a a a
a a;
(8) (a b) (ab) ab ab
a b a b.
所以 R 对所定义的运算构成线性空间．
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n x ( x1, x2 ,, xn )T x1, x2 ,, xn R
0 .
向量 的负元素记为 .
3. 0 0; 1 ; 0 0. 证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0,
1 .
0 1
0
0.
4．如果 0，则 0 或 0 .
证明
假设 0,
P[x]n 对运算封闭.
例3 n次多项式的全体 Q[ x]n { p an xn a1 x a0 an ,, a1 , a0 R,且 an 0}
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空 间.
0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
Q[x]n 对运算不封闭.
例４ 正弦函数的集合
素，则对任何 V ，有
01 , 02 .
由于 01,02 V , 所以 02 01 02 ,01 02 01. 01 01 02 02 01 02.
2．负元素是唯一的．
证明 假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0.
则有 0
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
( x1,, xn )T 0,,0
不构成线性空间． S n 对运算封闭.
但1 x o, 不满足第五条运算规律.
由于所定义的运算不是线性运算,所以S n不是 线性空间.
二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明 假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
第六章第二节线性空间的简单性质及定义
例3，按通常多 项按通常多 数乘运乘运算， 1）数域 P上的一元多 项的一 P[x ] 即数域 P上一元多 项一元多项式 2)数域 P上次数等于定数 n（ n ≥ 1）的 多项式 全体所成的集合; 的集合是否 购集合是 P上的线的线性空
3）数域 P上次数低于定数n的多项多项式全体， 上0所成的集合P 上0所成的集合 解： 1） 构成线线性空间，可以验这两种运算满足线性空间 的8条运运算律 2）不是 线不是线性空间,因为它不含零多项不含零多零元素 （即使添上零也 构即使线性空间，因为两个n次多项多项式的 一定是n次多项多项。
由于该于该空间只有一 素， 而该 空间间中有必须 零元素 素 ，所以 a就是 V的零元素 。 这种由一个零元素组成 的 线性空间 称为 零 空间 。
5*线性空间的元素也称为向量（未必是 有序数组）。
线性空间有时也称为向量空间空间， 这里所谓的向量，笔记和中的向量涵义中的向的多。 以后用小写希腊后用αβγ ... ...代..代表线 V中的元素; 用小写拉丁字母kl数域P中的数。 V的零元素也称零向量，
2） 因为两个n阶可逆方阵的和未必是可逆的， 10 - 10 00 A = , B = 01 0 - 1 ∈ G L2 (P), 但A + B = 00 ∉ G L2 (P); 所以n阶方阵的加法不是G L2 (P)的一个代数运一个 G L2 (P)关于所给的运算不构成P上线线性空间
[x]
n
4）数域 P上次数不低于定数n的多项多项式全体
（3）P
[x] 构成线性空间。因为任给两个次数低于n的
n
多项式f ( x) g ( x)的和f ( x) + g ( x)及kf ( x)的次数 低于n多项式0。且多项式的运算显然符合线性空间的规律。 （4）不构成线性空间。因为两个次数不低于n的 多项式的和可能低于n.
线性空间定义及简单性质
线性空间注意要点：
1． 凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也 统称为线性运算．
2．线性空间的元素也称为向量，线性空间也称 向量空间．但这里的向量不一定是有序数组．
向 量
线性空间注意要点：
线性空间的定义是公理化的定义。
引例 2
数域P上的一元多顶式环P[x]中，对于通常的多项式
的加法和数与多项式的乘法两种运算作成数域P上的 线性空间。
◇利用负元素，我们定义减法： ( )
3、0 0, k0 0, (1) , k( ) k k
证明：∵ 0 (0 1) ,
∴两边加上 即得 0 ＝0；
∵ k k( 0) k k0
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ．
证明：假设 有两个负元素 β、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
加法满足下列四条规则： , , V
① （交换律） ② ( ) ( ) （结合律）
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β，使得
0 ;（β称为 的负元素）
数量乘法满足下列两条规则 :
⑤ 1
⑥ k(l ) (kl)
数量乘法与加法满足下列两条规则：（分配律）
⑦ (k l) k l ⑧ k( ) k k
v
P
运
算
封
闭
性
八 大 定 律
第六章 2第二节 线性空间的定义与简单性质 太原理工大学
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定义1 是一个非空集合， 是一个数域 是一个数域. 定义 令V是一个非空集合，P是一个数域 在集 是一个非空集合 加法； 合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法； 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法 这就是说给出了一个法则 对于V中任意两个向 法则， 这就是说给出了一个法则，对于 中任意两个向 中都有唯一的一个 量 α与β，在V中都有唯一的一个元素 γ 与它们对 与 ， 中都有唯一的一个元素 称为α与 的 记为γ 应，称为 与β的和，记为 =α+β. 在数域 P 与集 的元素之间还定义了一种运算 合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘 这就是说，对于数域P中任一个数 中任一个数k与 中任 法；这就是说，对于数域 中任一个数 与V中任 一个元素α， 中都有唯一的一个元素δ与它们 一个元素 ，在V中都有唯一的一个元素 与它们 中都有唯一的一个元素 对应，称为k与α的数量乘积，记为δ=kα. 如果加 对应，称为 与 的数量乘积，记为 法与数量乘法满足下述规则 满足下述规则， 法与数量乘法满足下述规则，那么 V称为数域 P 称为数域 上的线性空间 这两种运算封闭) 线性空间. 上的线性空间 (这两种运算封闭)
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一、线性空间的定义 解析几何里 我们讨论过三维空间 三维空间R 例1 在解析几何里,我们讨论过三维空间 3中 的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律 的向量.向量的基本属性是可以按平行四边形规律 基本属性是可以按平行四边形 相加,也可以与实数作数量乘法 相加,也可以与实数作数量乘法. 不少几何和力学对 实数 象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的. 象的性质是可以通过向量的这两种运算来描述的 向量的这两种运算来描述的 我们知道解析几何中向量的这两种运算满足 我们知道解析几何中向量的这两种运算满足 解析几何 下面的性质. 下面的性质. 10 按平行四边形法则所定义的向量的加法 按平行四边形法则所定义的向量的加法 的一个运算 运算; 是R3的一个运算;
线性空间的定义与性质.ppt
证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
下面验证八条线性运算规律: 对任意a, b, cR+, k, lR, (1) ab = a b = b a = ba ;
(2) (ab)c = (a b)c = (a b)c = a(b c) = a(b c) =a(bc) ;
P[x]n,
p(x)
多项式加法, 数乘两种运算对Q[x]n不满足线性运算的封闭性. 实际上
对p(x)=a0+a1x+· · · +anxn Q[x]n, 0R, 0 p(x)=0(a0+a1x+· · · +anxn) = 0+0x+· · · +0xn = 0Q[x]n. 所以Q[x]n对线性运算不封闭. 例4: 正弦函数的集合 S[x]={ s(x)=Asin(x+B) | A, BR} 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间. 对s1(x)=A1sin(x+B1), s2(x)=A2sin(x+B2)S[x], R,
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域R上的线性空 间(或向量空间): 设, , , OV, 1, l, k R, (1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: ( + ) + = +( + ) ; (3) 零元素: 存在OV, 对任一向量 , 有 + O = ; (4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有 + =O, 记 = – ; (5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k +l .
11线性空间的定义线性空间的定义
,α m 线性相关 , 则T α 1 , T α 2 ,
4 线性变换 T的象集 T (V n )是一个线性空间 (V n 的子空间), 称为线性变换 T的象空间. 5 使Tα = 0的α的全体 S T = {α α ∈ V n , Tα = 0}, 也是V n 的子空间. S T 称为线性变换 T的核 .
记T (α 1 ,α 2 , 式可表示为 T (α 1 ,α 2 ,
,α n ) = (T (α 1), T (α 2 ), ,α n ) = (α 1 ,α 2 ,
, T (α n )), 上
,α n ) A,
⎛ a 11 a 12 a 1n ⎞ ⎟ ⎜ a 2n ⎟ ⎜ a 21 a 22 A=⎜ 其中 ⎟, ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a nn ⎠ ⎝ a n1 a n 2 那么, A就称为线性变换 T在给定基 α 1 ,α 2 , 的矩阵.
特别地 , 如果 U m = V n , 那么T是一个从线性空 间V n 到其自身的线性变换 , 称为线性空间V n中的 线性变换 .
８ 线性变换的性质
1 T 0 = 0, T ( −α ) = −Tα ; 2 若β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + 3 若α 1 ,α 2 , + k mα m ,则 + kmT α m; , T ( β ) = k 1T α 1 + k 2 T α 2 + T α m 亦线性相关 , 反之不然.
４ 线性空间的维数、基与坐标
定义 在线性空间 V中, 如果存在 n个元素 α 1 ,α 2 ,
,α n , 满足 : (1)α 1 ,α 2 , ,α n 线性无关; ,α n 线 ,α n 就称为线性空间 V的一 ( 2)V中任一元素 α总可由α 1 ,α 2 ,