高中数学三维设计必修4：(十四)

课时跟踪检测（十四） 三角函数模型的简单应用

层级一 学业水平达标

1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过1

2周

期后，乙的位置将移至( )

A ．x 轴上

B ．最低点

C ．最高点

D ．不确定

解析：选C 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．

2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t (s)时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：

s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝

⎛⎭⎫2t －π3. 则在时间t ＝2π

3时，s 1与s 2的大小关系是( )

A ．s 1＞s 2

B ．s 1＜s 2

C ．s 1＝s 2

D ．不能确定

解析：选C 当t ＝2π

3

时，s 1＝－5，s 2＝－5，∴s 1＝s 2.选C.

3.如图所示，一个单摆以OA 为始边，OB 为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t (s)满足函数关系式θ＝1

2sin ⎝

⎛⎭⎫2t ＋π2，则当t ＝0时，角θ的大小及单摆频率是( ) A ．12，1

π

B ．2，1

π

C ．1

2

，π

D ．2，π

解析：选A 当t ＝0时，θ＝12sin π2＝12，由函数解析式易知单摆周期为2π

2＝π，故单摆

频率为1

π

，故选A.

4.(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )

A ．5

B ．6

C ．8

D ．10

解析：选C 根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8. 5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的

房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：

x 1 2 3 y

10 000

9 500

？

则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元 B ．9 500元 C ．9 000元

D ．8 500元 解析：选C 因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω＞0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取3π

2

，φ可取π，即y ＝500sin ⎝⎛⎭⎫3π2x ＋π＋9 500.当x ＝3时，y ＝9 000.

6．如图所示的是某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________ s 往复一次．

解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次． 答案：0.8

7.如图，电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数I ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图象，则当t ＝1

50秒时，电流强度是________安．

解析：由图象可知，A ＝10，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫4300－1300＝1

50，所以ω＝2π

T ＝100π，所以I ＝10sin ⎝

⎛⎭⎫100πt ＋π6. 当t ＝

1

50

秒时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎫2π＋π6＝5(安)． 答案：5

8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________ ℃.

解析：依题意知，⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＋A ＝28，

a －A ＝18，

则a ＝28＋182＝23，A ＝28－18

2＝5，

则y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦

⎤π

6(x －6)， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝⎛⎭⎫

π6×4＝20.5 (℃)． 答案：20.5

9.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b . (1)求这一天的最大用电量和最小用电量． (2)写出这段曲线的函数解析式．

解：(1)最大用电量为50万kW·h ，最小用电量为30万kW·h. (2)观察图象可知从8～14时的图象是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期的图象，

所以A ＝1

2×(50－30)＝10，

b ＝1

2

×(50＋30)＝40. 因为12×2πω＝14－8，所以ω＝π6.

所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋40.

将x ＝8，y ＝30代入上式，解得φ＝π6

.

所以所求解析式为y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫

π6x ＋π6＋40，x ∈[8,14]．

10．某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．

(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数解析式；

(2)画出种群数量y 关于时间t 变化的草图．(其中t 以年初以来经过的月份数为计量单位)

解：(1)设表示该曲线的函数为y ＝A sin(ωt ＋a )＋b (A ＞0，ω＞0，|a |＜π)．由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，故振幅A ＝200

2

＝100，ω＝2π12＝π

6

，b ＝800. 又∵7月1日种群数量达到最高，