第三章(多自由度系统的振动)
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第3章 多自由度机械振动系统 作业答案
⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ p1 ( t ) ⎤ ⎢x ⎥ = ⎢ p t ⎥ − k3 ⎥ ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ( )⎥ k3 + k 4 ⎥ ⎦⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ p3 ( t ) ⎥ ⎦ 0
d ∂T ∂T ∂U ∂D ( )− + + = Qi i ∂qi ∂qi ∂q i dt ∂q
2、拉格朗日法：
1 1 2 12 + m2 x 2 T = m1 x 2 2
U=
1 2 1 1 2 ⎤ k1 x1 + k2 (2 x2 − x1 ) 2 = ⎡ (k1 + k2 ) x12 + 4k2 x1 x2 + 4k2 x2 ⎣ ⎦ 2 2 2
Dr. Rong Guo
School of automotive studies, tongji university
⎡ k1r 2 K =⎢ 2 ⎣ − k1r
⎡3 2 ⎢ 2 Mr ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎥ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ − k1r 2
− k1r 2 ⎤ ⎡θ1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ θ 2 ⎦ ⎣0 ⎦ ( k1 + k2 ) r 2 ⎦ ⎣
⎤ ⎤ ⎡ k1r 2 ⎥ ⎡θ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 3 −k r 2 θ Mr 2 ⎥ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 1 ⎥ ⎦ 2
x1 2l + k1 x1 2l + m2 x2l = 0 ⎧m1 ⎨ ⎩m2 x2l + k2 ( 2 x2 − x1 ) 2l = 0 x1 + m2 x2l + 2k1 x1 = 0 ⎧2m1 ⎨ x2 − 2k2 x1 + 4k2 x2 = 0 ⎩ m2 ⎡ 2m1 ⎢ 0 ⎣ m2 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 2k1 ⎢ ⎥ + ⎢ −2 k m2 ⎥ x 2 ⎦⎣ 2⎦ ⎣ 0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 ⎥ 4k 2 ⎥ ⎦⎣ 2⎦ ⎣ ⎦
第六讲--多自由度系统振动-2
解： 1）求柔度系数
m
31
k/5
m
21
k/3
P=1
2m k
11
32 4
P=1
22 4 12
P=1
33 9
23 4 13
11 1/ k 21 31 11
22
1 k
1 k /3
4
22
1 k
1 k/3
1 9
k /5
3.3.1 柔度法
1 1 1
柔度矩阵: [ ] 1 4 4
1 4 9
2）求频率
2 0 0
质量矩阵: [M] m 0 1 0
0 0 1
由频率方程: M I 0
2 1 1 m 2 4 4 0 ,
2 4 9
展开式为： 3 15 2 42 30 0
1 m m2
方程三个根为: 1 11.601 2 2.246 3 1.151
三个频率为:
1 0.2936
k m
4Y
4 4
3.4.1 主振型矩阵与正则坐标
（2）正则坐标 任意一个质点的位移 y 都可按主振型来组合：
y1 1Y11 2Y12 3Y13 y2 1Y21 2Y22 3Y23
yi 1Yi1 2Yi2 3Yi3
yn 1Yn1 2Yn2 3Yn3
nY1n nY2n
y1
y2
Y1 Y121
Y YYY132111
Y2 1
Y2 2
Y32
Y3 1
Y3 2
Y33
Y14 Y4
2
Y34
Y41
Y2 4
Y3 4
Y44
主 振
型 矩 阵
第一振型
1
第三章 多自由度系统
例题
例题
再将初始条件（2）代入式，得
A1(1) 0,
1
2
,
A1(2) 1,
2
π 2
x1 (t) cos p2t cos3
kt m
(cm), x2 (t) cos p2t cos3
kt m
(cm)
这表明，由于初始位移之比等于该系统的第二振幅比，因 此，系统按第二主振型以频率p2作谐振动。
将第一固有频率p1代入 x1 A1 sin( pt )
x2 A2 sin( pt )
normal mode 第一主振动
x11 x21
A11 A21
sin( sin(
p1t p1t
1 1
) )
第二主振动
x12 x22
解：系统的质量矩阵和刚度矩阵为
M
m
0
m0 ,
K
k1 k2
k2
k2 k2 k3
5k 4k
4k
5k
将M、K代入频率方程，得
p1
k, m
p2 3
k m
对应的两个主振型和振幅比为
1
A2(1) A1(1)
1,
2
A2(2) A1(2)
代入上式得到
1
2
2
(1)
(2)
1 2
0
因此得到双摆作自由振动的规律
位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示， 它们的运动微分方程分别为
机械振动学(第三章)-多自由度振动系统
装备制造学院
College of Equipment Manufacture
利用直接法，对下图所示的三自由度振动系统建立微分方程。。
装备制造学院
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解：1）受力分析 选取 m1， m2和m3离开平衡位置的坐标x1， x2和 x3 为3 个独立 坐标。受力分析如图所示 2）建立振动微分方程 (c c ) x c x ( k k ) x k x p (t ) x m1： m 2 2 2 2 2 ( c 2 c 3 ) x 2 c2 x 1 c 3 x 3 ( k 2 k 3 ) x 2 k 2 x1 k 3 x 3 p 2 ( t ) x m2: m 2 2 2 2 3 c 3 x 3 c3 x 2 k 3 x3 k 3 x 2 p 3 (t ) x m3: m 3
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本章结束
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
3 ）如果将应为能量耗散函数 D 引起的阻尼力也从其他的非势 力的广义力中分离出来，并使Qi仅代表外部作用的广义激振力， 则可将非保守系统的拉格朗日方程改为：
d dt ( T i q ) T i q U qi D i q Q i ( i 1, 2 , 3 ,...., n )
车 身 车 轮 二 自 由 度 振 动 问 题
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结构动力学之多自由度体系的振动问题
3 13.027
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
第三章 多自由度系统振动6.19
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统)(1t P 3m )(2t P 1m 2m )(3t P 1k 1c 2c 3c 2k 3k 4k 4c解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
第三部分 多自由度系统的振动
q t uη(t) u r t
r
r 1
n
u11 u12 u1n u u u 21 22 2n 1 (t ) 2 (t ) n (t ) un1 un 2 unn
(r )
1
r
u
(r )
r u
( r )T
Mu( r )
正则振型
主振型 正则化因子
组成正则振型矩阵
u u
(1)
u
(2)
u
(n )
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的基本步骤： (4)用正则振型矩阵进行坐标变换（方程组解耦）
q t uη t 令 代入无阻尼自由振动系统，并用uT左乘方程
2 r t 2 rrr t r r t Nr (t )
r 1,2,, n
(5)按单自由度相关方法求各正则坐标下的响应 各正则坐标下单自由度自由振动系统，对初始条件的 响应 1）原坐标下的初始条件变换为正则坐标下的初始条件
η0 u q0 T η0 u Mq0 ,
u( s )T Ku(r ) 0
(r s )
u( r )T Ku(r ) r2
M r u Mu
T
K r uT Ku 12 2 2 Λ 2 n
1 1 I 1
第三部分 多自由度系统的振动 4 对多自由度系统振动求响应 求解的类型： 无阻尼振动系统对初始条件的响应 无阻尼振动系统对任意激励的响应 有阻尼振动系统对各种激励的响应 （简谐激励、周期激励、任意激励）
第三章(多自由度系统的振动)
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
k m
理解固有振型
3k k 0 m 0 0 1 0 k 2k k 2 0 m 0 2 0 0 k 3k 0 0 m 3 0
u(t ) sin(t )
对任意时间都成立
( M ) 0, 2
特征方程 特征值
det( K M ) 0
r (r 1, 2, N )
有非零
r (r 1, 2, N )
特征向量
u(t ) ψa sin(t ) φ sin(t )
结论： 系统存在形如 形式的同步振动。
u(t ) φ sin(t )
多自由度系统的固有振动
2.多自由度系统的固有振动
Mu(t ) Ku(t ) 0
( K 2 M ) sin(t ) 0
第r阶模态质量
固有振型关于刚度矩阵加权正交性 T 当 rs 时 r K s 0 T r K s K r 当 rs时
振动力学(两自由度系统和多自由度系统)
两自由度是多自由度系统最简单的情况。
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
2
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
3.1 两自由度系统的振动方程 ——刚度矩阵和质量矩阵
建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难 度更大。
3.1.1 运动微分方程
标准的m-k-c系统，对每一质量利用牛顿定律得：
3
振动理论及应用
坐标原点仍取在静平衡位置
具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位 移均为0。
7
振动理论及应用
5.2.3 惯性影响系数与质量矩阵
第3章 多自由度系统的振动
质量矩阵[M]中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 mij的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐 标处施加的广义力。
具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的 加速度均为0。
2
x1 5 kx1 5 kx2
V x2
2 5
kx1
1 5
kx2
26
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
计算广义力，设只有x1处产生虚位移x1，则
Q1
cx1 x1 x1
cx1
同样设x2处产生虚位移x2，则
Q2
c 0
x2
0
代入拉格朗日方程即可。
27
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
5l 3
48EI
k12
l3 3EI
k22
1
求出各个刚度系数即组 成刚度矩阵[K]。
17
振动理论及应用
第3章 多自由度系统的振动
用拉格朗日方程 建立振动系统的运动微分方程
对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学 方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和 能量的方法。拉格郎日方程为：
第三章多自由度系统
0.737 0 0.591 0 F (t ) 0.329
0 0 x 0.198 0.737F0 p1 k x 1 0.591F 0 1.555 0 p2 0 m m x 0 3.247 p3 0 0.329F0
0.328 0.591 1 T Fp (t ) F (t ) 0.737 0.328 m 0.591 0.737 0.737 F (t ) 1 0.591 F ( t ) m 0.329 F (t )
T
x 或者 x x
1
1 M Pi
p
p
5.将刚度矩阵和比例阻尼矩阵对角化。
K p
T
K ; C p C
T
将原坐标表示的广义激励变成正则坐标形式： 经过上述变换得到正则坐标下的运动微分方程
(1) (2) (3)
i 1, 2,3
由于系统的阶跃激励属于任意激励，则方程（1）（2） （3）的特解可根据杜哈梅积分式得：
x pi 1
Hale Waihona Puke dit0
eii (t ) sin di (t )d Fpi
全解为：
x pi x pi x pi代入
d 1 2 n n , m 2 n k
可得：
0.737F0 1t 1t x e a sin t b cos t 1 e cos(1t 1 ) p 1 1 1 1 1 k 0.591F0 2t 2t x e a sin t b cos t 1 e cos(2t 2 ) 2 p2 2 2 2 k 0.329F0 3t 3t x e a sin t b cos t 1 e cos(3t 3 ) 3 3 3 3 p3 k
胡海岩机械振动基础第三章课件
胡海岩机械振动基础第三章课件DETeC/QC/LN-V&S DETeC/QC/LN-V&S 第3章无限自由度系统的振动 * * 多自由度大自由度无限自由度 * 实际振动系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的，因而称为连续系统或分布参数系统。
确定连续系统中无数个质点的运动形态需要无限多个广义坐标，因此连续系统又称为无限自由度系统。
研究对象: 限于由均匀的、各向同性线弹性材料制成的弦、杆、轴、梁、膜以及板，简称为弹性体。
* 3.1 弹性杆的纵向振动圆轴的扭转振动弦的横向振动 EI, l, M 杆的纵向振动同类型的振动：圆轴的扭转振动弦的横向振动 * 振动微分方程、解法、特性相同 * * 弹性杆、轴和弦的振动微分方程形式相同，可用相同的方法分析。
具体的步骤是：（1）分离变量将偏微分方程转化为常微分方程组; （2）由边界条件得出固有振动; （3）利用固有振型的正交性将系统解耦; （4）用振型叠加法得到系统的自由振动或受迫振动。
* 3.1.1 振动微分方程直杆的纵向振动微分方程设有长度为 l 的直杆，取杆的轴线作为 x 轴。
记杆在坐标 x 的横截面积为 A x 、材料弹性模量为E x 、密度为? x ，用u x, t 表示坐标为 x 的截面在时刻 t 的纵向位移，f x, t 是单位长度杆上分布的纵向作用力。
取长为dx的杆微段为分离体，其受力分析如图。
* 杆的纵向应变和轴向力分别为根据Newton第二定律 * 对于均匀材料的等截面直杆， E x A x 为常数是杆内弹性纵波沿杆纵向的传播速度直杆纵向受迫振动微分方程其中 * 杆的自由振动分离变量法: 两端必同时等于一常数。
可以证明，该常数不会为正数. （1）固有振动的形式 * （2）固有振动的确定描述了杆纵向振动幅值沿杆长的分布杆的边界条件是杆两端对变形和轴向力的约束条件，又称作几何边界条件和动力边界条件。
* a. 在固定端： ; b. 在自由端：。
多自由度系统振动理论及应用
多自由度系统的作用力方程
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:
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４.１
多自由度系统的振动微分方程
或更一般地写成
该式可简单地写成
式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与 个 别 人 难 以 相 处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不 良 。 因 此 ,常 会 影 响 情 绪 ,如 鲠 在 喉 。
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任 务 一了解自己与人交往的现状
3. 与 他 人 交 往 平 淡
一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任 务 一 了解自己与人交往的现状
2
任 务 二 调整不良交际心态
任 务 一了解自己与人交往的现状
任 务 提 出 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 。
任 务 目 标 :了 解 自 己 与 人 交 往 的 现 状 ,激 发 学 习 热 情 ,明 确 努
力方向。
喜欢独来独往。
(3) 嫉 妒 心 理 。 部 分 大 学 生 不 能 正 确 对 待 别 人 的 长 处 和 优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽 刺 、 挖 苦 、 打 击 、 嘲 笑 等 不 当 方 式 ,给 别 人 造 成 伤 害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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多自由度系统的振动(1)
建模方法2： 车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性 和阻尼
优点：模型较为精确，考虑了人 与车之间的耦合 缺点：没有考虑车与车轮、车轮 与地面之间的相互影响
建模方法3： 车、人、车轮的质量 分别考虑，并考虑各 自的弹性和阻尼
优点：分别考虑了人与 车、车与车轮、车轮与 地面之间的相互耦合， 模型较为精确 问题：如何描述各个质 量之间的相互耦合效应？
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程 例：研究汽车上下振 动和俯仰振动的力学 模型 表示车体的刚性杆AB 的质量为m，杆绕质 心C的转动惯量为Ic
悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为k1 和k2 的两个弹簧来表示 选取D点的垂直位移 x D和绕D点的角位移 D 写出车体微振动的微分方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
•质量矩阵和刚度矩阵的正定性质
n 阶方阵A 正定 是指对于任意的n
y T Ay 0 维列向量y，总有
成立
并且等号仅在y = 0 时才成立 如果y ≠ 0 时，等号也成立，那么称矩阵A 是半正定的 根据分析力学的结论，对于定常约束系统：
1 T 动能： T X MX 2 1 T 势能： V 2 X KX
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程
所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K 的第j 列
kij (i 1 ~ n)
第三章 多自由度系统振动
U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点， 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动， 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。 对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数， 个方程， 未知数， 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。 表示，其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ， 令
多自由度系统的振动__1
多自由度系统的振动 / 拉格朗日法
d T T U ( ) 0 dt q q q
引入拉格朗日算子： 则：
保守系统
L T V
d L L ( ) Qi i qi dt q
多自由度系统的振动 / 拉格朗日法
： 如图所示
图 刚体微幅运动
多自由度系统的振动 / 拉格朗日法
————————
———————
多自由度系统的振动 / 坐标耦合与坐标变换
—————
———
多自由度系统的振动 / 坐标耦合与坐标变换
———
————————————
—————————————
多自由度系统的振动 / 坐标耦合与坐标变换
多自由度系统的振动 / 坐标耦合与坐标变换
多自由度系统的振动 / 坐标耦合与坐标变换
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
——————
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
————————
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
多自由度系统的振动 / 多自由度系统的运动微分方程
多自由度系统的振动
————————
——————————— —
———————— ————
——————————————————
多自由度系统的振动
线性变换 —— 将描述实际问题 的广义坐标用一组新的
坐标代替
多自由度系统与单自由度系统的一个重要区别是 它有多个固有频率和相应的振型。由此引出了特征值 —————————————— 问题及其解答（固有频率与主振型），这是模态分析 法的基础。
振动力学—多自由度系统
系统的势能为
k k2 1 2 1 1 1 2 2 T 1 U k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 {x1 , x2 } 2 2 2 2 k2 k2 x1 1 T x Kx k2 k3 x2 2
0 x1 1 T x Mx m2 x2 2
3.1引言
二自由度系统的是最简单的多自由度系统，力 学直观性比较明显，系统的运动微分方程的求解相 对简单。 本节以二自由度系统为例，介绍多自由度系统 求解中遇到的某些问题和解决的思路。 3.1.1 二自由度运动微分方程 3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 3.1.3 解除耦合的方法
3.1引言
系统的能量耗散函数
c c 1 2 1 1 2 1 1 c2 ( x1 x2 ) 2 c3 x2 {x1 , x2 }T 1 2 D c1 x 2 2 2 2 c2 c2 x1 1 T x Cx c2 c3 x2 2
mL2 0
1 mgL kL2 0 2 mL 2 kL2
1 0 2 mgL kL 2 kL
2
3.1引言
3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 以汽车的二自由度振动模型为例，选取不同的广义坐标 建立运动微分方程，观察方程耦合的情况。同时找出不同广 义坐标下运动微分方程之间的关系。
3.1引言
⑶取广义坐标为yA、yB 。yC和可用 yA和yB表示为 L1 ( yB y A ) L2 L1 yC y A y A yB L L L
，
yB y A 1 1 y A yB L L L
k k2 1 2 1 1 1 2 2 T 1 U k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k3 x2 {x1 , x2 } 2 2 2 2 k2 k2 x1 1 T x Kx k2 k3 x2 2
0 x1 1 T x Mx m2 x2 2
3.1引言
二自由度系统的是最简单的多自由度系统，力 学直观性比较明显，系统的运动微分方程的求解相 对简单。 本节以二自由度系统为例，介绍多自由度系统 求解中遇到的某些问题和解决的思路。 3.1.1 二自由度运动微分方程 3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 3.1.3 解除耦合的方法
3.1引言
系统的能量耗散函数
c c 1 2 1 1 2 1 1 c2 ( x1 x2 ) 2 c3 x2 {x1 , x2 }T 1 2 D c1 x 2 2 2 2 c2 c2 x1 1 T x Cx c2 c3 x2 2
mL2 0
1 mgL kL2 0 2 mL 2 kL2
1 0 2 mgL kL 2 kL
2
3.1引言
3.1.2 不同广义坐标下的运动微分方程 以汽车的二自由度振动模型为例，选取不同的广义坐标 建立运动微分方程，观察方程耦合的情况。同时找出不同广 义坐标下运动微分方程之间的关系。
3.1引言
⑶取广义坐标为yA、yB 。yC和可用 yA和yB表示为 L1 ( yB y A ) L2 L1 yC y A y A yB L L L
，
yB y A 1 1 y A yB L L L
多自由度(线性)阻尼系统振动讲义
第3章 多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移 ，定 义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广 义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1
多自由度系统振动(a)
P2(t)
m2
x2 k3
试建立系统的运动微分方程
2006年5月4日 《振动力学》 7
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
解：
k1
P1(t)
m1
x1 k2
P2(t)
m2
x2 k3
建立坐标：
x1 , x 2 的原点分别取在 m1 , m2 的静平衡位置
设某一瞬时： m1、m2上分别有位移 受力分析：
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 多自由度系统的动力学方程
4. 1 运动微分方程
2006年5月4日 《振动力学》
6
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
• 作用力方程
先看几个例子 例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力 不记摩擦和其他形式的阻尼
P1(t) k1
m1
x1 k2
《振动力学》
18
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
⎡0 ⎤ ⎢M ⎥ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡ m11 ... m1 j ... m1n ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ m1 j ⎤ ⎢ P t ⎥ ⎢ m ... m ... m ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ m ⎥ 21 2j 2n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2j⎥ 2 ( )⎥ ⎢ ⎢ = P (t ) = 1 = ⎢M ⎥ ⎢.......... .......... . ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ ⎥ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ m nj ⎥ ⎣ Pn (t ) ⎦ ⎢ ⎣ m n1 ... m nj ... m nn ⎥ ⎦ ⎢M ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦
《振动力学》
16
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
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预备知识－线性代数与矩阵理论
【矩阵转置】
将矩阵 A=(aij ) 的行、列互换所得到的矩阵就是 表示。
A 的转置矩阵，用
AT
矩阵的转置满足以下规律：
(AT )T
A
(A+B)T AT B T (AB)T
(ABC
B T AT
T S S)
T
C T BT AT
预备知识－线性代数与矩阵理论
上次课内容回顾
1.完整约束系统的Lagrange方程的具体形式
系统不存在粘性阻尼时
d T T V ( ) Qi , i 1, , n dt qi qi qi
系统存在粘性阻尼时
d T T D V ( ) Qi , i 1, , n dt qi qi qi qi
uN (t ) N sin(N t N )
固有振动只是系统可能发生的一种运动形式。当系统作固有振动时，系统 各个自由度都作幅值不同(一般情况下),但频率却相同的简谐运动, 各个 自由度的简谐运动之间的相位差不是0度就是180度. 固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振型向量 为振动形态的简谐振动.
【奇异矩阵】 如果一个矩阵的行列式等于0，这个矩阵就称为奇异矩阵。 【矩阵的逆】
1 A adjA | A|
1
A 的伴随矩阵
已知A (aij )nn , Aij 为aij的代数余子式, 则
A11 A adjA 12 A1n A21 A22 A2 n An1 An 2 Ann
, km
定义 向量 α1 , α2 , 才使
, αm 线性无关指的是：仅当 k1 k2 k1α1 k2α2 k1α1 k2α2 kmαm 0 kmαm 0 km 0
km 0
也就是说，若
则必有
k1 k2
预备知识－线性代数与矩阵理论
【线性代数方程组的解】
第二讲：
1.理解固有振型 2.固有振型的正交性 3.固有频率为零的情况
理解固有振型
如何理解固有振型 从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量；
对任意 X 0, 有 X T AX 0, 则 A 为正定矩阵。 【半正定矩阵】 对任意 X 0, 有 X T AX 0 则 A 为半正定矩阵。
预备知识－线性代数与矩阵理论
【线性相关与线性无关】 定义 向量 α1 , α2 ,
使
, αm 线性相关指的是：存在不全为零的数 k1 , k2 , k1α1 k2α2 kmαm 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 k2 u2 k3
m1
m2
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 1 , u2 (t ) sin t 2 1 m m 1
第一讲：
1.预备知识——线性代数与矩阵理论 2.多自由度系统的固有振动
预备知识－线性代数与矩阵理论
【代数余子式】
已知 A=(aij ) 为一矩阵,则 aij 的余子式定义为:划掉 aij 所在的第 i 行 和第 j 列的元素,剩下的元素组成的矩阵的行列式,计作 M ij
Aij =(1)i j M ij
多自由度系统的固有振动
周边固支鼓膜的各阶固有振动
多自由度系统的固有振动
如何理解固有振型
从数学上看：固有振型是广义特征值问题的特征向量； 从物理上看：第i阶固有振型向量 i 中的一列元素，就是系统做
第i阶固有振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值， i 描述了 系统做第i阶固有振动时具有的振动形态，称为第i阶固有振型。虽 然各个坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统的振动 形态已经确定。
a11 a A 21 an1
返回
多自由度系统的固有振动
1. 同步振动是否存在？
系统是否存在这样一种特殊的运动，即系 统在各个坐标上除了运动幅值不同之外， 随时间的变化规律都相同的同步运动？ 假设系统存在这样的振动，系统的位移可写作:
k1 m1 u1 k2 u2 k3
m2
u(t ) ψ f (t )
2.多自由度系统的固有振动
Mu(t ) Ku(t ) 0
u(t ) sin(t )
对任意时间都成立
( K 2 M ) sin(t ) 0
( K 2 M ) 0
广义特征值问题
( K M ) 0, 2
特征方程 特征值
det( K M ) 0
有非零
r (r 1, 2,
N)
r (r 1, 2,
特征向量
N)
多自由度系统的固有振动
固有频率（模态频率）
r (r 1, 2,
第一阶固有频率
第二阶固有频率
N)
0 1 2 N 1 N
第N 阶固有频率
固有振型（模态振型）
,an ), b (b1 ,b2 ,
(a,b)= ai bi
i 1 n
,bn ) 则 a 与 b 的内积定义为
预备知识－线性代数与矩阵理论
【正交】 如果 (a,b)=0 则 a 与 b 正交或垂直
【二次型】
一个 n 元多项式
f ( x1 , x2 ,
xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 +2a2 n x2 xn
a11 a12 已知: A a21 a22 a31 a32 a13 a23 a33
余子式
代数余子式
则 a12的代数余子式=
a21 a31
a23 a33
预备知识－线性代数与矩阵理论
【矩阵的行列式的计算】
a11 已知： A a21
a12 a22
1, 2 ,
第一阶固有振型
第二阶固有振型
, N
第N 阶固有振型
多自由度系统的固有振动
固有振动
u(t ) sin(t )
u1 (t ) 1 sin(1t 1 ) u2 (t ) 2 sin(2t 2 )
r r
第一阶固有振动
第二阶固有振动
第N阶固有振动
i 1
n
上次课内容回顾
3. 用Lagrange方程建立系统运动微分方程的优点
不用做隔离体的受力分析,免去处理约束力, 是建立复杂离散 系统运动微分方程的首选方法； 即可用于线性系统，也可用于非线性系统。
4. 微振动假设下的注意事项
在计算动能和势能的时候必须精确到二阶小量。方同著《振动理 论及应用》
A 的各个元素的
代数余子式所组 成的矩阵的转置
预备知识－线性代数与矩阵理论
【分块矩阵的乘积】
A B x C D y =
A B E C D G
【正定矩阵】
Ax By Cx Dy
F AE BG AF BH = H CE DG CF DH
u1 u2
系统运动方程：
k u1 0 m 0 u1 (1 )k 0 m u k (1 )k u2 0 2
k1
m1
k2
m2
k3
Mu Ku 0
( K 2 M ) 0
剪切变换前后的蒙娜丽莎图像
预备知识－线性代数与矩阵理论
推论：如果向量 φ 是 A 的属于特征值 的特征向量，则 cφ（c 0 为任意常数）也是 A 的属于特征值 的特征向量。 如何求特征值和特征向量？ 求方程 | I A | 0 的根得到特征值； 求线性方程组 (i I A)φ 0 的基础解系； 【内积】 如果 a =(a1 ,a2 ,
次课内容回顾
2.利用Lagrange方程建立系统运动微分方程的步骤
① 判断系统的自由度数目，选定系统的广义坐标; ② 以广义坐标及广义速度来表示系统的动能,势能和耗散函数；
③ 对于非保守主动力，将其虚功写成如下形式
W Qi qi
从而确定对应于各个广义坐标的非保守广义力； ⑤ 将以上各量代入Lagrange方程，即得到系统的运动方程.
T
f (t ) a sin(t )
u(t ) ψ f (t )
f (t ) f (t ) 0
2
u(t ) ψa sin(t ) φ sin(t )
结论： 系统存在形如 形式的同步振动。
u(t ) φ sin(t )
多自由度系统的固有振动
u1 =1
u2 =1 u1 = 1
u2 =1
1
2
节点
STOP
内容回顾
固有频率和固有振型
Mu(t ) Ku(t ) 0
固有振动
( K 2 M ) 0
固有频率，固有振型
固有振动就是系统以某一阶固有频率为振动频率,以该阶固有振 型向量为振动形态的简谐振动。
第三章：多自由度系统的振动分析
奇次线性方程组
AX =0
有非零解的充要条件是
(1)
| A | 0
定义 奇次方程组（1）的一组解 1 ,2 , 础解系，如果
,t 称为（1）的一个基 ,t 的线性组合；
1.(1)的任一个解都能表示成
2.
1 ,2 ,
,t 线性无关。
1 ,2 ,
定理 在奇次方程组有非零解的情况下，方程组的基础解系所含解的 个数等于 n r 。