绝对值不等式专题复习课件

g ( x) 5
令g ( x) x 1 x 4
f ( x)的 最 小 值 为 5
a
4 a 2 5a 4 由a 5 0成 立 a a 0 a 1或a 4 a (0,1] [4,)
例3、已知关于x的不等式 ax 2 ax a 2(a 0) （1）当a 1时，求此不等式的解集； （2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围。 解：（1）当a=1时，不等式为 x 2 x 1 2 由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型 不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了 数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论 的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现 了函数与方程的思想．
2．绝对值的三角不等式
当且仅当( x a)(1 x) 0 时，即 f ( x) a 1 记不等式( x a)(1 x) 0 的解集为A，则
(3,1) A故a 3
a (,3]
例2、已知关于x的不等式2x 1 x 1 log2 a （其中a 0 ） （1）当 a 4时，求不等式的解集； （2）若不等式有解，求实数a 的取值范围。 解：（1）令 f ( x) 2x 1 x 1 ，当a 4时， f ( x) 2 1 1 当 x 时， x 2 2 ，得 4 x ; 2 2 1 当 x 1 时， 3 x 2 ，得 4 x 2 ; 2 3 当 x 1 时， x 0 ，此时的x不存在。
2 x 5, x 2 1,2 x 3 2 x 5, x 3
x a 2 x 4 x
在 [1, 2] 上恒成立
f(x) =
f(x)的图像如下： y
3 2 1 0 1 2 3 4 5
2 x a 2 x
在 [1, 2]上恒成立
x
3 a 0
2 3
x 2, x 2 x 2, x 1 1 2
综上所述：不等式的解集为 x 4 x
（2）设 f ( x) 2x 1 x 1 3x, 1 x 1
3 3 故 f ( x) ,)，即f(x)的最小值为 2
解：（1）当a=2时，不等式为 x 2 x 1 3
由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2 的距离之和小于或等于3.
0 x 3
所以不等式的解集为
x 0 x 3
(2) f ( x) x a x 1 x a 1 x x a 1 x 1 a a 1
2
3
所以 f ( x) log2 a 有解，则 log 2 a 2 解得 a
2 4
即 a 的取值范围是 [
2 ,) 4
变式训练2、设函数 f ( x) x 1 x 4 a
（1）当 a
1 时，求函数 f ( x) 的最小值
4 成立，求实数a的取值范围。 a
之和大于或等于2.
x
5 1 或 2 2
所以不等式的解集为 x x 或x


1 2
5 2
注：也可用零点分段法求解，用图像法求解
（2） ax 2 ax a 2
所以
a 4或a 0, 又a 0,
a4
m 7 4 m 3
m (,3]
【总一总★成竹在胸】
三、小结：
本节课我们复习了绝对值不等式的几何意义，进一步
了解了绝对值不等式的几种解法，几何意义及数轴上的意义 的解法，零点法，图像法，还复习了恒成立问题及存在性问 题的解答。
四、作业
资料书绝对值不等式一节
方法一：由数轴及绝对值的几何意义知：
0
1
2
3
4
5
x (,1] [4,)
x2 f ( x) 3 x 3 x 2 3 方法二： 3 x 2 x 3 2 x3 x3 或 3 x x 2 3 x 3 x 2 3
(1)定理1：若a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当
且仅当ab≥0时，等号成立．
(2)定理2：设a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋ |b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 推论1：||a|－|b||≤|a＋b|. 推论2：||a|－|b||≤|a－b|.
实例
变式训练3、已知函数 f ( x) x 3 2, g ( x) x 1 4
1 时， 3 x x 1 1 ，此时 x R, x 1 1 当 1 x 3 时， 3 x x 1 1 2 x 1, 即x ， 1 x 1 2 2 当 x 3 时， x 3 x 1 1 4 1 ，此时 x ,
巩固
提高
（1）若不等式 f ( x) g ( x) 3 ，求x的取值范围； （2）若不等式 f ( x) g ( x) m 1的解集为R，求m的取值范围。
解：（1）由 f ( x) g( x) 3 x 3 2 x 1 4 3 当x 即 x 3 x 1 1
绝对值不等式专题复习
执教人：大方三中 靳 修
一、绝对值不等式的解法 1、含绝对值的不等式 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法
不等式 |x|<a a>0 {x|－a<x<a} a＝0 ∅ a<0 ∅
|x|>a
{x|x>a或x<－a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式 的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
剖析
（1）当 a 3 时，求不等式 f ( x) 3的解集; （2）若 f ( x) x 4 的解集包含[1,2],求a的取值范围。
例1、（2012年全国新课标卷）选修4--5：不等式选讲 已知函数 f ( x) x a x 2
【解析】（1）当 a
3 时，f ( x) 3 x 3 x 2 3
由图可知
f ( x) 3的 解 集 为 x (,1] [4,)
变式训练1：已知函数 f ( x) x a x 1, a R
（1）当 a 2 时，解不等式f ( x) 3; （2）当 x (3,1)时，f ( x) a 1 ，求a 的取值范围。
或
x 1 或 x 4
所以 x (,1] [4,)
例1、（2012年全国新课标卷）选修4--5：不等式选讲 已知函数 f ( x) x a x 2 （1）当 a 3 时，求不等式 f ( x) 3的解集; （2）若 f ( x) x 4 的解集包含[1,2],求a的取值范围。 方法三：令 f ( x) x 3 x 2 （2）原命题 f ( x) x 4 在 [1, 2] 上恒成立 所以
（2）若存在x使得 f ( x)
解：（1）当a=1时，f ( x) x 1 x 4 1
f ( x) x 1 4 x 5
4 (2)由 存 在 实 数 x使 得 f ( x) 成 立 ， a 4
即 存 在 实 数 x使 得 x 1 x 4 a
综上所述： x (,3]
（2）由 f ( x) g ( x) m 1的解集为R，即
x 3 2 x 1 4 m 1 的解集为R，
即 x 3 x 1 m 7 对任意的x R 恒成立， 由 x 3 x 1 x 1 3 x 4