上海交通大学统计学博士生考试试题

2004年上海交大博士入学考试

数理统计

1、样本x 1，x 2，……，x 2n ，X ～N （u ，σ2），∑=n

1i i 1x n 1X ＝，221

i 21i )(x )(x T ∑∑+==+n n i n i u x －－＝ 1）求2σT

的分布；2）求e σ的置信水平为1－α的置信区间。

2、X~ )1(θ--e ；1）求θ的极大似然估计；2）证θ的极大似然估计是一致估计；

3）θ~U （0，1）分布（均匀分布）求L （θ）＝（θθ-ˆ）2的贝叶斯估计。

3、X ～N （u ，σ2）；1）C 为何值时T=C ∑=-n

i i u x 1

为σ的无偏估计；

2） σ的方差下界；3）T 是σ的有效估计量。

4、X ～N （u 1，σ12），x 1，x 2，……，x m ；Y ～N （u 2，σ22），y 1，y 2，……，y m

1） 求H 0：u 1=u 2；H 1：u 1>u 2的拒绝域

2） 求犯第一类错误的概率；犯第二类错误的概率（用）（•Φ表示） 5、⎪⎩⎪⎨⎧++3

3221

1b a y b y 2b a y εεε＋＝＋＝－＋＝， 1）求a ，b 的估计；2）求H 0：a ＝2b 的拒绝域

2003年的试题

1、（20分概念）顺序统计量、有效统计量、一致最小方差无偏估计量、无偏估计

2、（10分）假设检验n u X 0

σ－～N （0，1）应用题

3、（20分）二元线性回归中y i ＝B 0＋B 1x i ＋B i （3x i 2－1）＋i ε，∈i εN （0，σ2）；xi ＝－

1，0，1；i ＝1，2，3；求结构矩阵中X ，B 的最小二乘估计，证B 2＝0时，10B ˆB ˆ，不

4、（15分）X 在[θ-1/2，θ+1/2]上均匀分布

1） 求θ的极大似然估计，并问是否唯一

2） α为参数T=αx n +（1-α）x 11，问α取何值时T 为α的无偏估计

5、（15分）求极大似然估计f （x ）=）（0t x e --ββ，x >t 0>0（β>0）

1）β已知求o t ˆ；2）t 0已知求β极大似然估计

6、（20分）1）证2,σX 分别是∑=n i i n 111T ε＝，2

1

211

T ∑=--n

i i n ）（＝εε的一致无偏估计

2）DT （T 为线性估计量∑=n

i i i x 1α）在X 时取小值