理论力学第九章动量定理

p
mivi mvC 常矢量
若作用于质点系的外力矢量和恒等于零， 则质点系的动量保持为常量。
Fixe 0
px mivix mvCx 常量
偏心转子电动机工作时为什么会左右运动； 这种运动有什么规律；
？ 会不会上下跳动；
？ 台式风扇放置在光滑的台
面上，风扇工作时，会发生 什么现象
？ 抽去隔板后将会发生什么现象
m
d2y dt 2
Fy
m
d 2z dt 2
Fz
x
三、自然轴系式
ma τ
m
dv dt
m
d2s dt 2
Fτ ;
ma n
m v2
ΣFn ;
mab 0 ΣFb ;
b
S A _
n
Mt
B
F + a
四、两类问题
1、已知运动，求力（微分问题）
已知
r
rt
v
vt
a
at
求
F
是一个微分过程
2、已知力，求运动（积分问题），还要已知初始条件
投影形式: d px dt
Fixe
d py dt
Fiye
d pz
dt
Fize
其中:
px mivix
py miviy
pz miviz
dp
Fie d t
p2
t2
dp
Fie d t
p1
t1
p2 - p1
I
e i
质点系动量的改变量，等于作用于质点系 外力在该时段间内冲量的矢量和。
解： t=0, vcx=0, xc=c 设浮吊位移为 x
y
x
Δx
xc0
m1(a
l
cos600 ) m1 m2
m2
0
a
xc1
m1(a
l
cos300 - x) m1 m2
-
m2x
xc0=xc1
x 0.266m
§9-3 动量和冲量
一、动量 定义：
p mv
动量等于质点的质量与速度的乘积
质点系： p mivi mvC
-
l 2
2
cost
Fx
Fy
aC3 y
d2 dt2
(l
cost)
-l 2
cost
- W2 g
l 2
2
cost
- W3 g
l2 cost
Fy
- W1
- W2
- W3
Fy
W1
W2
W3
- (W2
2W3 )l 2
2g
cost
Fy max
W1
W2
W3
(W2
2W3 2g
)l
2
思考：若螺栓不固定？
例4 浮吊举起质量m1=2000kg的P货物，初始起重臂与垂直线夹 角为300,求夹角转到600时浮吊的位移，设浮吊质量m2=20000kg, AO=8m,水阻力不计。
-
l 2
2
sin
t
aC 3 x
d2 dt2
(l sin t)
-l 2
sin t
代入质心 运动定理
- W2 g
l 2 sin t
2
- W3 g
l 2 sin t
Fx
Fx
- (W2
2W3 )l 2
2g
sin t
Fx max
(W2
2W3 )l 2
2g
aC1y 0
aC 2 y
d2 dt2
(l 2
cost)
当研究飞行器姿态动力 学时，可将其视为刚体系或 质点系。
4、动力学主要研究两类基本问题
（1） 已知运动求力
a P
（2）已知力求运动
a
F
W
地球
F1
F2
第九章 质心运动定理 动量定理
§9-1 质点运动的微分方程
一、矢量式
ma
m
dv dt
m
d
2
r
dt2
F
m
z
r
F
a
二、直角坐标式
y
d2x m dt2 Fx
mi
rC
Σmi ri
m
xC
mi xi m
求导： m d rC
dt
yC
mi yi m
zC
d( dt
miri )
再求导：
m
m
d2
rC
d
d2
t2
rC
dt2
maC
mi
d2
ri
dt2
Fie Fii
Fie
mi zi
ri
z
rC
m
mi
d ri dt
m d vC
dt
O
x
mvC
常量
若 vCx 0 则 xC 常量 即质心沿该轴向无位移
例3 电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上。匀质杆长l，
重W2，一端连一重W3的小球。 电机以匀角速度 转动，
求螺栓和基础作用于电机的最大总水平力及铅直力。
解 ： “整体”
y
l
t
W3
W2
x
W1
M
aC1x
0
aC 2x
d2 dt2
(
l 2
sin t)
第三篇 动力学
静力学是研究物体的平衡问题，没有考虑 物体在不平衡力系作用下将如何运动，运动学 只研究物体运动的几何性质而不考虑力的作用。 静力学、运动学未考虑的问题，正是动力学所 要研究的问题。
1、动力学任务
研究作用于物体的力与物体运动变化之 间的关系，即建立力和运动之间的关系。
2、 学习动力学目的
例6: 图示为起吊机构,已知吊装物体的重量，不计轮子 的重量与半径，试求支座处的全约束力。
解： dpx dt
Fx
0
dpy dt
Fy
v
v/2
Fy Fx
d dt
(-
P1 g
v
P2 g
v 2
)
-P1
-
P2
Fy
v,a
Fy
P1
P2
-
2P1 2g
P2
a
全约束力=静反力 + 动约束力
` P1
P2
质点系动量守恒定理： Fie 0
例2 一人在高为h的悬崖边以v0的速度平抛一块石子， 当空气阻力F=- kmv时,试求：石子的运动方程。
解： 建立微分方程:
mx -Fx -kmx
y
my -Fy - mg -kmy - mg
v0
mg
x -kx
dx x
-kdt
ln
x
|x x0
-kt
Fx
y
x v0e-kt
dx - v0 e-ktd(-k t) k
x
x
Fy
x
y -ky - g
v0 (1 - e-kt )
kkdy
ky g
-kt
ln(ky g) |0y -kt
ky g ge-kt
dy g (e-kt -1) dt
y
h
-
g k
t
g k2
(1-
e-kt )
k
§9-2 质点系的质心 质心运动定理
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质心公式：
Σmiri ΣmirC mrC
y: mAa1sin =FN -mAgcos
A
a2
B
a1
a1=(gsin - a2)/ cos
y
P
a2=gsin - a1 cos
ae=a1 A
讨论：
1. a1> g tan ,
a2<0,
FN
物块相对上升。
x
ar=a2
2. a1< gtan , a2>0, 物块相对下降。
3. a1= g tan , a2=0, 物块相对不动。
(1) 解决实际工程问题
(2) 为后续课程奠定基础
3、动力学的基本模型
(1) 质点：具有一定质量的几何点，其几乎形状和 大小尺寸忽略不计。
(2) 质点系：有限或无限质点组成的相互间有一定联 系的系统。
（3）刚体：质点间距离保持不变的质点系。
（4）刚体系：有限刚体组成的相互间有一定联系的系统。
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
t1
t1
I1 I 2 I n
t1
t1
t1
合力的冲量等于各分力冲量的矢量和
§9-4 质点系动量定理
质点系中任一质点: 对整个质点系:
Fii 0
mi
d vi dt
Fie Fii
d( mivi
d t d p
dt
)
Fi e
Fi e
Fii
质点系的动量定理
质点系动量对时间的导数，等于作用于质点系外力的矢量和
出去，已知：流量Q，密度，试求墙面受到的力。
解：[流体]
Fx Q -v1 - v2 cos Fx
-Q(v2 cos v1)
v2
v1
v2
mi
d
2
ri
dt2
mivi
Fie Fii
Fie
质心运动定理
c y
质点系质量与质心加速度乘积等于作用于质点系上外力主矢量
m d2 xC
dt2
Fixe FR x
m
d2 d
yc t2
Fiye FR y
m
d2 zc dt2
Fize FR z
m vc2
Fi
e n
m d vC dt
px
二、冲量
定义： 力在某一时间段里的累积效应
1、常力
I Ft
2、变力：
t2
I Fdt
t1
t2
t2
I x Fx d t
I y Fy d t
t1
t1
t2
I z Fz d t
t1
t2
t2
t2
t2
t2
I F d t (F1 F2 Fn ) d t F1 d t F2 d t Fn d t
（1）力是常力 F 常矢量
例如：重力
'' x'' mx Fx
x Fx m
dx Fx dt m
x0
x0
dx
Fx m
t
dt
0
x
x0
Fx m
t
（2）力是位置的函数
F
F
r
例如：弹簧力
'' x'' mx Fx
x Fx
m
x dx dx dx x dx （分离变量法） dt dx dt dx
动量定理的应用
稳态流(流出=流进)
流体流过弯管时，两断面平均流速为v1，v2，试求恒定流
流体对弯管的附加动压力。 水的密度为 ; 流量Q=常量；
p p2 - p1 pabcd - pABCD
(
pabCD
)2
pCDcd
-
p
ABab
(
pabCD
)1
pCDcd - pABab m(v2 - v1) Qt(v2 - v1)
Fi
e t
Fbe 0
质心运动定理的直角坐标 投影式
质心运动定理的自然坐标 投影式
刚体系：
m
d2
rc
dt2
mi
d
2
rci
dt2
miaCi
Fie FR
刚体系统质心运动定理
质心运动守恒定理
1、
Fie 0
aC 0
vC
常矢量
2、
Fixe 0
d2 m
xC
0
dt
vCx
d xC dt
t t0
Fx
t
dt
x x0 t
说明：以上积分的分离形式并不是唯一的，具体如何
分离，要与所求问题相对应
求解动力学问题的步骤：
1、取研究对象画受力图 2、确定坐标系 3、建立微分方程 4、求解
例1 三角楔块放在光滑的地面上，现在楔块上放一块光滑物 块以加速度a2滑下,求：楔块的加速度a1值。
解：
x: mA(a1cos +a2)=mAgsin
dp dt
lim p
t0 t
Q(v2
- v1)
Aa
W F1 F2 FN
FN
-(W
F1
F2)
Q (v2
- v1)
FN
F动
Q(v2
- v1)
F动 Q(v1 - v2)
欧拉方程
v1
F1
bB
W
F2
C cv2
Dd
例9-9: 水泥泵以速度v1将砂浆喷射在墙面上，又以速度v2反射
解：
y
xc
m1
l 2
cos t
2m1l cost
3m1 2m2
m2 2l cost
A
yc
m1
l 2
sin t
2m1l sint
3m1 2m2
m2 2l
sin t
O
0
D
Bx
px
mxc
-l
sin t(
5 2
m1
2m2
)
py
myc
l
cost(
5 2
m1
2m2
)
p
px2
p2y
l(
5 2
m1
2m2
)
tan py tant
刚体系： p mivCi
[mv]=Kg.m/S(国际单位)
p mivixi miviy j miviz k mvCxi mvCy j mvCz k
m
v
m
p=mv
p=0
p=0
例5: 已知椭圆规的匀质杆AB与质量为2m1,匀质杆OD质量为
m1，物块A,B质量为m2，OD=AD=BD=l。试求物系的动量。
xx0xdx
1 m
x x0
（3）力是速度的函数
F xdx
F
F v
x 2
x02
2 m
x
例如：空气阻力
'' x'' mx Fx
x Fx
x dx 1 t
m
x0 F x
m
dt
t0
（4）力是时间的函数
F Ft
例如：周期力
'' x'' mx Fx t
x Fx t
m
xx0dx
1 m