理论力学第九章动量定理
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理论力学--动量定理
质心运动的思考与比较
F′
A F
B
两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上， 两个相同的均质圆盘，放在光滑水平面上，在圆盘的不 同位置上，各作用一水平力F 同位置上，各作用一水平力 和F′，使圆盘由静止开始运动 ， ，设F = F′，试问哪个圆盘的质心运动得快？ ，试问哪个圆盘的质心运动得快？ (A)．A盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (B)．B盘质心运动得快 ． 盘质心运动得快 (C)．两盘质心的运动相同 ． (D)．无法判断 ．
1 2 h = gt 2
r P
以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理： 以接触工件时刻的锻锤为对象，由积分形式的动量定理：
mv − mv0 = (P − F )t0
v 1 1 + 0 P = 1 + F = gt 0 t0 2h g
30° °
﹡ FN
P
Q
P ∗ v0 sin 30o − 0 = (FN − P −Q)t g
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
例：未固定偏心转子电机的分析 未固定偏心转子电机的分析 偏心转子
y1
ω
o2
y
r aO 2 = eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
r x1 r aO1 m2 g
y1
r vO 2 o2
y
eω 2 ϕ o1 r m1 g FY
& r x m2 g
x1
x
外壳质心的速度， 轴正向: 其中 vO1 — 外壳质心的速度，沿 x 轴正向 vO2 — 转子质心的速度，且 转子质心的速度，
例：电机在水平方向的运动规律
(m v
理论力学-9-动量定理及其应用
例题 1
y
解法1：建立Oxy坐标系，在角度q为任意值的情形下
vA
yA 2lsin q
A
xB 2lcosq
vA yA 2lqcosq 2lcosq
vB xB 2lqsinq 2lsin q
Oθ
vB
B
p mivi
i
p mAvA mBvB
p mAvA mBvB
x
2lmcosq j 2lmsinq i
l
cost
例题 3
2．求作用在O轴处的最大水平约束力
y
由质心运动定理
A
O
C
B
l/2
x
&x&C
m1 2(m1
2m2 2m3 m2 m3 )
lω2
cos
ωt
D
Fox
MaCx
(m1
2m2
2m3 )
lω2 2
cos ωt
当 cosωt 1 时，水平约束力最大，其值为
Fox,max
Macx
(m1
2m2
隔板
水池
？抽去隔板后将会
发生什么现象
水
光滑台面
第9章 动量定理及其应用
？ 二人在太空中拔河，
初始静止，同时用尽 全力相互对拉。若A 的力气大于B的力气， 则拔河的胜负将如何？
第9章 动量定理及其应用
9.1 动量定理与动量守恒 9.2 质心运动定理 9.3 综合应用举例 9.4 结论与讨论
第9章 动量定理及其应用
2lm(-sinq i cosq j)
9.1.1 质点和质点系的动量
例题 1
解法2： 质点系的质心在C处，其速度大小为
A vC
y
解法1：建立Oxy坐标系，在角度q为任意值的情形下
vA
yA 2lsin q
A
xB 2lcosq
vA yA 2lqcosq 2lcosq
vB xB 2lqsinq 2lsin q
Oθ
vB
B
p mivi
i
p mAvA mBvB
p mAvA mBvB
x
2lmcosq j 2lmsinq i
l
cost
例题 3
2．求作用在O轴处的最大水平约束力
y
由质心运动定理
A
O
C
B
l/2
x
&x&C
m1 2(m1
2m2 2m3 m2 m3 )
lω2
cos
ωt
D
Fox
MaCx
(m1
2m2
2m3 )
lω2 2
cos ωt
当 cosωt 1 时，水平约束力最大，其值为
Fox,max
Macx
(m1
2m2
隔板
水池
？抽去隔板后将会
发生什么现象
水
光滑台面
第9章 动量定理及其应用
？ 二人在太空中拔河，
初始静止，同时用尽 全力相互对拉。若A 的力气大于B的力气， 则拔河的胜负将如何？
第9章 动量定理及其应用
9.1 动量定理与动量守恒 9.2 质心运动定理 9.3 综合应用举例 9.4 结论与讨论
第9章 动量定理及其应用
2lm(-sinq i cosq j)
9.1.1 质点和质点系的动量
例题 1
解法2： 质点系的质心在C处，其速度大小为
A vC
第九章 动量定理
v v1
v v2 = 0
（a ）
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第九章 动量定理
【解】 1）以机车和车辆为研究对象。 以机车和车辆为研究对象。 （ 它们在撞击过程中相互作用力是内力， 它们在撞击过程中相互作用力是内力，作用在系统上的 外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外， 外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外，无其 它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量， 它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的 动量在水平轴x方向是守恒的 方向是守恒的。 动量在水平轴 方向是守恒的。
将质点系中每个质点的动量定理相加， 将质点系中每个质点的动量定理相加，有
v v d v ∑ dt (mv ) = ∑ Fe + ∑ Fi v 因内力为零， 因内力为零，即 ∑ Fi = 0
故
v d v ∑ mv = ∑ Fe dt
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第九章 动量定理
各质点动量的矢量和， 表示， 各质点动量的矢量和，质点系的动量用 p 表示，即
x ∑ m&& = ∑ F ∑ m&y& = ∑ F ∑ m&z& = ∑ F
（9－17） － ） cy cz
cx
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第九章 动量定理
或
M&&c = ∑ Fcx x M&&c = ∑ Fcy y &&c = ∑ Fcz Mz
第九章 动量定理
例9-2 机车的质量为 m 1 ，车辆的质量为 m 2 ，它们系通过 相互撞击而挂钩的。若挂钩前， 相互撞击而挂钩的。若挂钩前，机车的速度为 v1 ，车辆处于 静止，如图（ 所示。 ；（2 静止，如图（a）所示。求（1）挂钩后的共同速度 u ；（2） 在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。 在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。设挂钩时间为t 轨道是光滑和水平的。 秒，轨道是光滑和水平的。
v v2 = 0
（a ）
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第九章 动量定理
【解】 1）以机车和车辆为研究对象。 以机车和车辆为研究对象。 （ 它们在撞击过程中相互作用力是内力， 它们在撞击过程中相互作用力是内力，作用在系统上的 外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外， 外力除了铅垂方向的重力和轨道给车轮的法向反力外，无其 它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量， 它外力，故在挂钩过程中水平方向没有外力冲量，即系统的 动量在水平轴x方向是守恒的 方向是守恒的。 动量在水平轴 方向是守恒的。
将质点系中每个质点的动量定理相加， 将质点系中每个质点的动量定理相加，有
v v d v ∑ dt (mv ) = ∑ Fe + ∑ Fi v 因内力为零， 因内力为零，即 ∑ Fi = 0
故
v d v ∑ mv = ∑ Fe dt
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第九章 动量定理
各质点动量的矢量和， 表示， 各质点动量的矢量和，质点系的动量用 p 表示，即
x ∑ m&& = ∑ F ∑ m&y& = ∑ F ∑ m&z& = ∑ F
（9－17） － ） cy cz
cx
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第九章 动量定理
或
M&&c = ∑ Fcx x M&&c = ∑ Fcy y &&c = ∑ Fcz Mz
第九章 动量定理
例9-2 机车的质量为 m 1 ，车辆的质量为 m 2 ，它们系通过 相互撞击而挂钩的。若挂钩前， 相互撞击而挂钩的。若挂钩前，机车的速度为 v1 ，车辆处于 静止，如图（ 所示。 ；（2 静止，如图（a）所示。求（1）挂钩后的共同速度 u ；（2） 在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。 在挂钩过程中相互作用的动量和平均撞击力。设挂钩时间为t 轨道是光滑和水平的。 秒，轨道是光滑和水平的。
《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
理论力学课后习题答案-第9章--动量矩定理及其应用)
习题9－2图习题20-3图习题20-3解图OxF Oy F gm Ddα第9章 动量矩定理及其应用9－1 计算下列情形下系统的动量矩。
1. 圆盘以ω的角速度绕O 轴转动，质量为m 的小球M 可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度v r 运动到OM = s 处（图a ）；求小球对O 点的动量矩。
2. 图示质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮心为A ，质心为C ，且AC = e ；轮子半径为R ，对轮心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一铅垂线上（图b ）。
（1）当轮子只滚不滑时，若v A 已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知，求轮子的动量和对B 点的动量矩。
解：1、2s m L O ω=（逆）2、（1）)1()(Remv e v m mv p A A C +=+==ωRv me J R e R mv J e R mv L A A A C C B)()()(22-++=++=ω（2）)(e v m mv p A C ω+==ωωωω)()()())(()(2meR J v e R m me J e R e v m J e R mv L A A A A C C B +++=-+++=++=9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O 轴转动，其大、小半径分别为R 、r ，对O 轴的转动惯量为J O ；物块A 、B 的质量分别为m A 和m B ；试求系统对O 轴的动量矩。
解：ω)(22r m R m J L B A O O ++=9－3 图示匀质细杆OA 和EC 的质量分别为50kg 和100kg ，并在点A 焊成一体。
若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，杆的角加速度及铰链O 处的约束力。
不计铰链摩擦。
解：令m = m OA = 50 kg ，则m EC = 2m 质心D 位置：（设l = 1 m) m 6565===l OD d 刚体作定轴转动，初瞬时ω=0l mg lmg J O ⋅+⋅=22α222232)2(212131ml ml l m ml J O =+⋅⋅+=即mgl ml 2532=α2rad/s 17.865==g l α gl a D 362565t =⋅=α 由质心运动定理： Oy D F mg a m -=⋅33t4491211362533==-=mg g mmg F Oy N （↑） 0=ω，0n=D a ， 0=Ox F习题9－1图(a)v (b)（b ） 习题9－5解图习题9－5图J 9－4 卷扬机机构如图所示。
什么是理论力学中的动量定理？
什么是理论力学中的动量定理？在我们探索理论力学的广阔领域时，动量定理是一个关键且基础的概念。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们理解和解决许多力学问题。
那到底什么是动量定理呢？简单来说，动量定理描述了物体所受合外力的冲量等于物体动量的增量。
这听起来可能有点抽象，让我们来逐步拆解和理解。
首先，我们要明白什么是动量。
动量可以被看作是物体运动的“冲击力”或者“动力”的一种度量。
它等于物体的质量乘以其速度。
比如，一辆高速行驶的大货车和一辆缓慢行驶的小汽车，即使小汽车的速度相对较慢，但如果大货车的质量很大且速度也不低，那么大货车的动量可能会比小汽车大得多。
接下来，我们说说冲量。
冲量是力在时间上的积累。
想象一下，你持续对一个物体施加一个力，随着时间的推移，这个力的作用效果就会逐渐积累起来，这就是冲量。
冲量等于力乘以作用的时间。
那么，动量定理到底有什么用呢？它的作用可大了！假设一个足球运动员踢球。
在踢球的那一瞬间，球员的脚对球施加了一个很大的力，这个力作用的时间虽然很短，但产生了一个冲量。
这个冲量使得足球的动量发生了改变，也就是让足球获得了速度，飞了出去。
再比如，一辆行驶中的汽车突然刹车。
刹车系统对车轮施加了摩擦力，这个摩擦力在刹车的时间内产生了冲量，使得汽车的动量逐渐减小，最终停下来。
动量定理在实际生活和工程中有着广泛的应用。
在碰撞问题中，比如汽车的碰撞测试，我们可以通过动量定理来分析碰撞过程中车辆和乘客的受力情况，从而设计更安全的汽车结构和安全装置。
在航天领域，火箭的推进也是基于动量定理。
火箭燃料燃烧产生的高温高压气体向后高速喷出，这相当于给火箭一个向前的冲量，从而推动火箭不断前进。
在体育运动中，运动员的动作技巧和力量运用也与动量定理密切相关。
例如，拳击运动员通过快速出拳，在短时间内施加较大的力，以产生较大的冲量，从而给对手造成更大的打击。
为了更深入地理解动量定理，我们还需要注意一些要点。
首先，动量是一个矢量，它的方向与速度的方向相同。
精品文档-理论力学(张功学)-第9章
(9-18)
P=∑mivi=常矢量
如果作用于质点系的外力的矢量和恒为零，则质点系的动
量保持不变。该结论称为质点系动量守恒定律。由该定律可知，
要使质点系动量发生变化，必须有外力作用。
第9章 动量定理及其应用
又由式(9-14)可知，如果∑Fix(e) =0， 则 Px=∑mivix=常量
(9-19) 即如果作用于质点系的外力在某一轴上投影的代数和恒为零， 则质点系的动量在该轴上的投影保持不变。
同。冲量的单位为N·s。
第9章 动量定理及其应用
9.2 动 量 定 理
9.2.1 质点动量定理
质点运动微分方程为
ma=F
由于
，因此上式可以写成
，或
a dv dt
m dv F dt
(9-6)
d(mv ) F dt
第9章 动量定理及其应用
这就是质点动量定理，即质点动量对时间的导数，等于作 用于质点上的力。如果将式(9-6)写成
第9章 动量定理及其应用
物体机械运动的强弱，不仅与质量有关，而且与速度有关。 我们将质点的质量m与它在某瞬时t的速度v的乘积，称为该 质点在瞬时的动量，记为mv。动量是矢量，其方向与点的速度 的方向一致，动量的单位为kg·m/s。
第9章 动量定理及其应用
2. 质点系的动量
将质点系中所有质点动量的矢量和，定义为该质点系的动
(9-14)
第9章 动量定理及其应用
其中, Px、Py、Pz分别为质点系的动量P在x、y、z轴上的投影， 由式(9-1)可知其值分别为
(9-15)
式(9-14)是质点系动量定理的投影形式，它表明：质点系 的动量在任一固定轴上的投影对于时间的导数，等于作用于质 点系的所有外力在同一轴上投影的代数和。
《理论力学》动量定理
锤对工件的平均压力与反力N*大小相等，方向相反，与锤的重量 G＝29.4 kN比较，是它的56倍，可见这个力是相当大的。
例5 滑块C的质量为m＝19.6 kg ，在力P＝866 N的作用下沿倾角为30o的导 杆AB运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45o，滑块与导杆的动摩擦系 数f＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v＝2 m/s 所需的时间。
ve OC 1 0.21 0.2 m/s
vr R2 0.1 4 0.4 m/s
Rp
O
C
1
B 2
30
A
O
1
C ve va
B
30
vr A
于是
vC va vr sin 60
0.4
3 0.3464 m/s 2
所以
p mvC 20 0.3464 6.93 Ns 方向水平向右。
vC1
l
2
AB作平面运动 vC2 vA vC2 A
O
C1
mvC1
A
vC 2
l
l 2
2
2l
p m l m2l 5 ml
2
2
C2
mvC2
r=
B
方向水平向右。
11.1 动量与冲量
11.1.2 冲量
作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为N•s， 与动量的量纲相同。
t
mv mv0
F dt I
0
积分形式
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质 点的力在此段时间内的冲量。
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m
例5 滑块C的质量为m＝19.6 kg ，在力P＝866 N的作用下沿倾角为30o的导 杆AB运动。已知力P与导杆AB之间的夹角为45o，滑块与导杆的动摩擦系 数f＝0.2 ，初瞬时滑块静止，求滑块的速度增大到v＝2 m/s 所需的时间。
ve OC 1 0.21 0.2 m/s
vr R2 0.1 4 0.4 m/s
Rp
O
C
1
B 2
30
A
O
1
C ve va
B
30
vr A
于是
vC va vr sin 60
0.4
3 0.3464 m/s 2
所以
p mvC 20 0.3464 6.93 Ns 方向水平向右。
vC1
l
2
AB作平面运动 vC2 vA vC2 A
O
C1
mvC1
A
vC 2
l
l 2
2
2l
p m l m2l 5 ml
2
2
C2
mvC2
r=
B
方向水平向右。
11.1 动量与冲量
11.1.2 冲量
作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量。
冲量是矢量，方向与力的方向一致。冲量的单位为N•s， 与动量的量纲相同。
t
mv mv0
F dt I
0
积分形式
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质 点的力在此段时间内的冲量。
例4 锤的质量m＝3000 kg，从高度h＝1.5 m
理论力学9—动量矩定理
F r y
r
x
O
y
O x h
LO = M O (mv ) r mv
与空间力F 对z 轴的矩类似
z
MO (mv )
mv
Mz (F) MO( Fxy)=+ Fxy d
z A O d x
F
B y
r
x
Od
y mv xy
2°质点对z 轴的动量矩定义: 质点的动量在与z轴垂直平面 上的分量对O点(轴与平面交 点)的矩.
第 9 章
动量矩定理
O
w
C
P=mlω/2
vC
A C vC
vC=0
P=mvC
w
C
P=0
动量定理 ( 质心运动定理 ) 描述了动量的变化和 外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规 律的一个侧面。 质点系机械运动的变化与外力系对质心的主矩 的关系将由本章的动量矩定理给出。它揭示了 物体机械运动规律的另一个侧面。
质点系对某定轴的 动量矩对时间的导 数, 等于作用于质 点系的外力对于同 一轴之矩的代数和。
n (e) d LO M O ( Fi ) dt i 1
9.2.3 动量矩守恒定律 1. 质点动量矩守恒定律
d M O ( mv ) M O ( F ) dt
d M x ( mv ) M x ( F ) dt
Lz M z (mi vi ) mi vi ri
z
miwrr i i w mi r i
2
令 Jz＝Σmi ri2 称为刚体对z 轴的转动惯量, 于是得
Lz J zw
即: 绕定轴转动刚体对其转轴的 动量矩等于刚体对转轴的转动惯 量与转动角速度的乘积。
理论力学动量定理
理论力学动量定理
本演示将介绍理论力学动量定理，包括定义、原理、公式、应用、优点和缺 点、限制条件以及应用案例。让我们一起来探索这个引人入胜的主题吧！
动量定理的定义
动量定理是物理学中的基本定律之一，它描述了一个物体的动量和施加在物 体上的力之间的关系。
Hale Waihona Puke 动量定理的原理动量定理的原理是根据牛顿第二定律得出的，即物体的加速度与施加在物体上的力成正比，与物体的质量成反 比。
动量定理的公式
动量定理的数学表示为：力的大小等于物体动量变化率的乘积。
动量定理在实际中的应用
动量定理在实际中有广泛的应用，例如在车辆碰撞测试、火箭发射和体育比 赛中的运动力学分析。
动量定理的优点和缺点
动量定理的优点是简单易懂，可以直观地解释物体的运动行为。然而，它的 缺点是在处理复杂系统时可能存在准确性和适用性的限制。
动量定理的限制条件
动量定理在应用时需要考虑一些限制条件，例如忽略空气阻力、忽略外力的 变化等。
动量定理的应用案例
一个应用动量定理的案例是火箭发射，通过控制燃料的喷射速度和方向，可以使火箭获得所需的动量并达到预 定轨道。
本演示将介绍理论力学动量定理，包括定义、原理、公式、应用、优点和缺 点、限制条件以及应用案例。让我们一起来探索这个引人入胜的主题吧！
动量定理的定义
动量定理是物理学中的基本定律之一，它描述了一个物体的动量和施加在物 体上的力之间的关系。
Hale Waihona Puke 动量定理的原理动量定理的原理是根据牛顿第二定律得出的，即物体的加速度与施加在物体上的力成正比，与物体的质量成反 比。
动量定理的公式
动量定理的数学表示为：力的大小等于物体动量变化率的乘积。
动量定理在实际中的应用
动量定理在实际中有广泛的应用，例如在车辆碰撞测试、火箭发射和体育比 赛中的运动力学分析。
动量定理的优点和缺点
动量定理的优点是简单易懂，可以直观地解释物体的运动行为。然而，它的 缺点是在处理复杂系统时可能存在准确性和适用性的限制。
动量定理的限制条件
动量定理在应用时需要考虑一些限制条件，例如忽略空气阻力、忽略外力的 变化等。
动量定理的应用案例
一个应用动量定理的案例是火箭发射，通过控制燃料的喷射速度和方向，可以使火箭获得所需的动量并达到预 定轨道。
理论力学动量定理
(i ) (e) d( m v ) F F i i i i d t
(i )
Fi ( e ) d t
注意到 简化为
d(m v ) d m v d p
i i i i
i F i 0
d p ( Fi
(e)
)dt
则得质点系的动量定理
(e) dp Fi dt
vC3 2l
p mvC1 mvC2 mvC3
m[(vC1 sin i vC1 cos j ) (vC2 cos i vC2 sin j ) (vC3 ) i ]
1 1 5 5 m 2 l sin 45 2 l cos 2l i 2 l cos 45 2 l sin 1 1 2 5 3 2 5 1 ml 2 2 2 10 2 i 2 2 2 10 j j
t
p z p 0z
Iiz
(e)
Fiz ( e ) dt
0
t
若
F
(e)
i
(e)
0 ，则 p p0 为常矢量。
0 ，则 px p0 x 为常量。
若 Fix
[例2]设作用在活塞上的力为F，按规律F=0.4mg (1- k t)变化， 其中m为活塞的质量，k=1.6 s-1。已知 t1= 0 时活塞的速度 v1= 0.2 m /s，方向沿水平向右。试求 t2= 0.5 s时活塞的速度。 解: 以活塞为研究对象，采用积分形式的动量定理。取坐标 轴Ox向右为正，根据公式有
d(mv ) F d t d I
t
(i )
Fi ( e ) d t
注意到 简化为
d(m v ) d m v d p
i i i i
i F i 0
d p ( Fi
(e)
)dt
则得质点系的动量定理
(e) dp Fi dt
vC3 2l
p mvC1 mvC2 mvC3
m[(vC1 sin i vC1 cos j ) (vC2 cos i vC2 sin j ) (vC3 ) i ]
1 1 5 5 m 2 l sin 45 2 l cos 2l i 2 l cos 45 2 l sin 1 1 2 5 3 2 5 1 ml 2 2 2 10 2 i 2 2 2 10 j j
t
p z p 0z
Iiz
(e)
Fiz ( e ) dt
0
t
若
F
(e)
i
(e)
0 ，则 p p0 为常矢量。
0 ，则 px p0 x 为常量。
若 Fix
[例2]设作用在活塞上的力为F，按规律F=0.4mg (1- k t)变化， 其中m为活塞的质量，k=1.6 s-1。已知 t1= 0 时活塞的速度 v1= 0.2 m /s，方向沿水平向右。试求 t2= 0.5 s时活塞的速度。 解: 以活塞为研究对象，采用积分形式的动量定理。取坐标 轴Ox向右为正，根据公式有
d(mv ) F d t d I
t
理论力学09动量定理
冲量的单位： N ⋅s = kg⋅m/s 2 ⋅s = kg⋅m/s
与动量单位同．
5
§9-1
一．质点的动量定理
动量定理及其基本方程
∵ m a = m dv = F dt
∴ d (m v ) = F dt
质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力—质点的动量定理 微分形式： 微分形式 d (mv ) = F dt = dI （动量的微分等于外力的元冲量） 积分形式： m v 2 − m v 1 = 积分形式
第十章 §10–1 §10–2 §10–3
动量定理
动量与冲量 动量定理 质心运动定理
1
动量与冲量 一、动量 1.质点的动量： 1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为 质点的动量 质点的动量。 质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是 kg⋅m/s。一般用 K 或 P 表示 ⋅ 一般用 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。 例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。
只有外力才能改变质点系质心的运动, 只有外力才能改变质点系质心的运动 内力不能改变质心 的运动，但可以改变系统内各质点的运动。 的运动，但可以改变系统内各质点的运动。 4. 质心运动守恒定律 若开始时系统静止，即 vC 0 = 0 则 rC = 常矢量,质心位置守恒。 若∑ Fi
(e )
= 0 ，则
∑
Fi
(e)
中，得
若质点系质量不变， M a C = ∑ Fi 则
(e)
或
M ɺɺ = ∑ Fi rC
(e)
上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系 上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系 ）。 的质量与加速度的乘积， 的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量 外力系的主矢）。 和（外力系的主矢）。 1. 投影形式： 投影形式：
第九章-动量定理分解
F (e) x
F (e) y
maCz
F (e) z
maC maCn
F (e) F (e)
n
maCb 18
①描述了质点系中质心加速度与外力主矢的关系。 如: 炮弹在空中爆炸后，其质心仍沿抛物线运动， 直到一个碎片落地。跳水运动员质心作抛体运动。 ②对刚体仅描述了随质心平移的一个侧面。
整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60º, 水 的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30º时船的位移。
取整体为研究对象
受力分析如图示，
F (e) x
0，且初始
时系统静止，所以系统质心的位置坐标
xC保持不变。
mi xi 0
Pi xi 0
9-3 质心运动定理
Fx 0, xC 0, y
杆质心C沿铅直线运动。
A
设任意时刻t，状态如图
C
xA
l 2
cos
yA lsin
B
C
vC B
故
4 xA2 l2
yA2 l2
1 ，为椭圆轨迹。
A
x
9-3 质心运动定理
22
4.曲柄滑槽机构。已知 ,OA l, BG l ，G
转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆
AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质
量也为m。求当 = 45º时系统的动量。
1.运动分析
曲柄OA：vC1
OC1
1 2
l
连杆AB（P为速度瞬心）：
PC2
5 2
理论力学动量定理课件
质点系的动量 某瞬时运动质点系中质点的动量:
pi = mvi i
质点系的动量等于质点系中各质点的动量的矢量和 矢量和。 矢量和
p = ∑mvi i
冲量和动量 1. 动量
若质点系质心的矢径: 若质点系质心的矢径:
rC
∑m r = ∑m
i
i i
质心的速度: 质心的速度:
vC
∑m v = ∑m
i
i i
p = ∑mvi = (∑mi )vC i
动量定理
河海大学机电工程学院 楼力律
欢迎加入基础力学教师教研交流群44790054 欢迎加入基础力学教师教研交流群
冲量和动量 1. 动量
如果天上飞的鸟撞上飞机....
鸟重0.45公斤，飞 机速度80公里/小时， 相撞将产生1500牛顿 的力。 鸟重0.45公斤，飞 机速度960公里/小时， 相撞将产生21.6万牛顿 的力。 鸟重1.8公斤，飞 机速度700公里/小时， 相撞将产生比炮弹还 大的冲击力。
若作用在质点上的力有多个， 若作用在质点上的力有多个，则需要考 虑每个力的冲量， 虑每个力的冲量，则有
P2 − P1 = ∑ ∫ Fi dt
t2 t1
动量定理 3 质点动量定理
d (mv) = F dt
动量定理 3 质点动量定理
dv m =F dt
中国古代·东汉 王充 论衡·状留篇 状留篇》 中国古代 东汉·王充 《论衡 状留篇》 东汉 “是故湍濑之流，沙石转而大石不 是故湍濑之流， 何者? 大石重而沙石轻也” 移。何者 大石重而沙石轻也” “是故车行于陆，船行于沟，其满 是故车行于陆，船行于沟， 二重者行迟，空而轻者行疾。 二重者行迟，空而轻者行疾。”
O A vA aA vB
理论力学 第09章 动量定理
d(mv) = Fdt
t2 t1
— 动量定理微分形式 — 动量定理积分形式
mv2 − mv1 = ∫ Fdt = I
9.1 动量定理与动量守恒
2. 质点系的动量定理 对于质点 对于质点系
dp
d (mivi ) = Fi dt dpi d(mi vi ) ∑ dt = ∑ dt = ∑Fi i i i i e Fi = Fi + Fi
m－ 刚体系统的总质量； vC－ 系统质心的速度；
aCi－ 第i个刚体质心的加速度； aC － 系统质心的加速度
9.2 质心运动定理
质心运动定理在直角坐标轴上投影为: 质心运动定理在直角坐标轴上投影为: 在直角坐标轴上投影为
maCx = F , maCy = F , maCz = F
e Rx e Ry
p x = m1v1 + m2 (v1 − vr sin θ ) = 0
m2 vr sin θ v板 = v1 = m1 + m2
9.1 动量定理与动量守恒
【解】 矩形板的加速度:
m2 vr sin θ v板 = v1 = m1 + m2
& dv1 m2 vrθ cos θ a1 = = dt m1 + m2
i
i
i
m
vC =
∑m v
i i
i
m
p = mvC
个刚体的质心 i 的i C
若质点系是由多个刚体组成，设第 速度为
v，则整个刚体系统的动量 Ci
p = ∑mvCi i
9.1 动量定理与动量守恒
9.1.2 冲量
作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量，用 I 表示。 常力的冲量， 常力的冲量 即
理论力学经典课件-动量定理
动量定理
※ 几种有意义旳实际问题 ※ 动量与冲量 ※ 动量定理 ※ 质心运动定理 ※ 结论与讨论
几种有意义旳实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几种有意义旳实际问题
偏心转子电动机
？ 工作时为何会左
右运动； 这种运动有什么
规律； 会不会上下跳动； 利弊得失。
几种有意义旳实际问题
？ 蹲在磅秤上旳人站起来时
Fy(e) Fy m1g m2 g mi aiy
Fy (m1 m2 )g m2e 2 sin t
例 题7
已知：杆长为 2l； m ； ；
求： 转轴 O 处旳约束力。
O
解：取杆为研究对象
aC l; aCn l 2
aCx aC sin aCn cos l( sin 2 cos)
aCx 0
b
m2g
vCx const 0
m1g
O
x
xC 恒量
xC1
m1b m1
m2a m2
m2g m1g
xC 2
m1(b
s) m2 (a m1 m2
s
l)
பைடு நூலகம்
xC1 xC 2
s m2l m1 m2
结论与讨论
质点系旳动量定理
dp dt FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
质量流旳流体形式
质量流旳气体形式
质量流旳颗粒形式
由滑流边界线定旳空气流
定常质量流 —— 质量流中旳质点流动过程中，在每一位 置点都具有相同速度。
定常质量流特点
1、质量流是不可压缩流动；
2、非粘性 —— 忽视流层之间以及质量流与管壁之间
旳摩擦力。
根据上述定义和特点，有
※ 几种有意义旳实际问题 ※ 动量与冲量 ※ 动量定理 ※ 质心运动定理 ※ 结论与讨论
几种有意义旳实际问题
？ 地面拔河与太空拔河，谁胜谁负
几种有意义旳实际问题
偏心转子电动机
？ 工作时为何会左
右运动； 这种运动有什么
规律； 会不会上下跳动； 利弊得失。
几种有意义旳实际问题
？ 蹲在磅秤上旳人站起来时
Fy(e) Fy m1g m2 g mi aiy
Fy (m1 m2 )g m2e 2 sin t
例 题7
已知：杆长为 2l； m ； ；
求： 转轴 O 处旳约束力。
O
解：取杆为研究对象
aC l; aCn l 2
aCx aC sin aCn cos l( sin 2 cos)
aCx 0
b
m2g
vCx const 0
m1g
O
x
xC 恒量
xC1
m1b m1
m2a m2
m2g m1g
xC 2
m1(b
s) m2 (a m1 m2
s
l)
பைடு நூலகம்
xC1 xC 2
s m2l m1 m2
结论与讨论
质点系旳动量定理
dp dt FRe
d (
dt
i
mi vi ) FRe
质量流旳流体形式
质量流旳气体形式
质量流旳颗粒形式
由滑流边界线定旳空气流
定常质量流 —— 质量流中旳质点流动过程中，在每一位 置点都具有相同速度。
定常质量流特点
1、质量流是不可压缩流动；
2、非粘性 —— 忽视流层之间以及质量流与管壁之间
旳摩擦力。
根据上述定义和特点，有
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mi
dபைடு நூலகம்
2
ri
dt2
mivi
Fie Fii
Fie
质心运动定理
c y
质点系质量与质心加速度乘积等于作用于质点系上外力主矢量
m d2 xC
dt2
Fixe FR x
m
d2 d
yc t2
Fiye FR y
m
d2 zc dt2
Fize FR z
m vc2
Fi
e n
m d vC dt
px
二、冲量
定义： 力在某一时间段里的累积效应
1、常力
I Ft
2、变力：
t2
I Fdt
t1
t2
t2
I x Fx d t
I y Fy d t
t1
t1
t2
I z Fz d t
t1
t2
t2
t2
t2
t2
I F d t (F1 F2 Fn ) d t F1 d t F2 d t Fn d t
例2 一人在高为h的悬崖边以v0的速度平抛一块石子， 当空气阻力F=- kmv时,试求：石子的运动方程。
解： 建立微分方程:
mx -Fx -kmx
y
my -Fy - mg -kmy - mg
v0
mg
x -kx
dx x
-kdt
ln
x
|x x0
-kt
Fx
y
x v0e-kt
dx - v0 e-ktd(-k t) k
（1）力是常力 F 常矢量
例如：重力
'' x'' mx Fx
x Fx m
dx Fx dt m
x0
x0
dx
Fx m
t
dt
0
x
x0
Fx m
t
（2）力是位置的函数
F
F
r
例如：弹簧力
'' x'' mx Fx
x Fx
m
x dx dx dx x dx （分离变量法） dt dx dt dx
mi
rC
Σmi ri
m
xC
mi xi m
求导： m d rC
dt
yC
mi yi m
zC
d( dt
miri )
再求导：
m
m
d2
rC
d
d2
t2
rC
dt2
maC
mi
d2
ri
dt2
Fie Fii
Fie
mi zi
ri
z
rC
m
mi
d ri dt
m d vC
dt
O
x
mvC
解： t=0, vcx=0, xc=c 设浮吊位移为 x
y
x
Δx
xc0
m1(a
l
cos600 ) m1 m2
m2
0
a
xc1
m1(a
l
cos300 - x) m1 m2
-
m2x
xc0=xc1
x 0.266m
§9-3 动量和冲量
一、动量 定义：
p mv
动量等于质点的质量与速度的乘积
质点系： p mivi mvC
当研究飞行器姿态动力 学时，可将其视为刚体系或 质点系。
4、动力学主要研究两类基本问题
（1） 已知运动求力
a P
（2）已知力求运动
a
F
W
地球
F1
F2
第九章 质心运动定理 动量定理
§9-1 质点运动的微分方程
一、矢量式
ma
m
dv dt
m
d
2
r
dt2
F
m
z
r
F
a
二、直角坐标式
y
d2x m dt2 Fx
t1
t1
I1 I 2 I n
t1
t1
t1
合力的冲量等于各分力冲量的矢量和
§9-4 质点系动量定理
质点系中任一质点: 对整个质点系:
Fii 0
mi
d vi dt
Fie Fii
d( mivi
d t d p
dt
)
Fi e
Fi e
Fii
质点系的动量定理
质点系动量对时间的导数，等于作用于质点系外力的矢量和
(1) 解决实际工程问题
(2) 为后续课程奠定基础
3、动力学的基本模型
(1) 质点：具有一定质量的几何点，其几乎形状和 大小尺寸忽略不计。
(2) 质点系：有限或无限质点组成的相互间有一定联 系的系统。
（3）刚体：质点间距离保持不变的质点系。
（4）刚体系：有限刚体组成的相互间有一定联系的系统。
当研究飞行器轨道动 力学问题时，可将飞行器 视为质点。
-
l 2
2
cost
Fx
Fy
aC3 y
d2 dt2
(l
cost)
-l 2
cost
- W2 g
l 2
2
cost
- W3 g
l2 cost
Fy
- W1
- W2
- W3
Fy
W1
W2
W3
- (W2
2W3 )l 2
2g
cost
Fy max
W1
W2
W3
(W2
2W3 2g
)l
2
思考：若螺栓不固定？
例4 浮吊举起质量m1=2000kg的P货物，初始起重臂与垂直线夹 角为300,求夹角转到600时浮吊的位移，设浮吊质量m2=20000kg, AO=8m,水阻力不计。
-
l 2
2
sin
t
aC 3 x
d2 dt2
(l sin t)
-l 2
sin t
代入质心 运动定理
- W2 g
l 2 sin t
2
- W3 g
l 2 sin t
Fx
Fx
- (W2
2W3 )l 2
2g
sin t
Fx max
(W2
2W3 )l 2
2g
aC1y 0
aC 2 y
d2 dt2
(l 2
cost)
Fi
e t
Fbe 0
质心运动定理的直角坐标 投影式
质心运动定理的自然坐标 投影式
刚体系：
m
d2
rc
dt2
mi
d
2
rci
dt2
miaCi
Fie FR
刚体系统质心运动定理
质心运动守恒定理
1、
Fie 0
aC 0
vC
常矢量
2、
Fixe 0
d2 m
xC
0
dt
vCx
d xC dt
解：
y
xc
m1
l 2
cos t
2m1l cost
3m1 2m2
m2 2l cost
A
yc
m1
l 2
sin t
2m1l sint
3m1 2m2
m2 2l
sin t
O
0
D
Bx
px
mxc
-l
sin t(
5 2
m1
2m2
)
py
myc
l
cost(
5 2
m1
2m2
)
p
px2
p2y
l(
5 2
m1
2m2
)
tan py tant
出去，已知：流量Q，密度，试求墙面受到的力。
解：[流体]
Fx Q -v1 - v2 cos Fx
-Q(v2 cos v1)
v2
v1
v2
xx0xdx
1 m
x x0
（3）力是速度的函数
F xdx
F
F v
x 2
x02
2 m
x
例如：空气阻力
'' x'' mx Fx
x Fx
x dx 1 t
m
x0 F x
m
dt
t0
（4）力是时间的函数
F Ft
例如：周期力
'' x'' mx Fx t
x Fx t
m
xx0dx
1 m
常量
若 vCx 0 则 xC 常量 即质心沿该轴向无位移
例3 电动机重W1，外壳用螺栓固定在基础上。匀质杆长l，
重W2，一端连一重W3的小球。 电机以匀角速度 转动，
求螺栓和基础作用于电机的最大总水平力及铅直力。
解 ： “整体”
y
l
t
W3
W2
x
W1
M
aC1x
0
aC 2x
d2 dt2
(
l 2
sin t)
t t0
Fx
t
dt
x x0 t
说明：以上积分的分离形式并不是唯一的，具体如何
分离，要与所求问题相对应
求解动力学问题的步骤：
1、取研究对象画受力图 2、确定坐标系 3、建立微分方程 4、求解
例1 三角楔块放在光滑的地面上，现在楔块上放一块光滑物 块以加速度a2滑下,求：楔块的加速度a1值。
解：
x: mA(a1cos +a2)=mAgsin
x
x
Fy
x