第1讲 从“算术”到“代数”

n＝2

S2＝4

n＝3

S3＝8 S4＝12

…

第一讲从“算术”到“代数”

【知识要点】

代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆，’（一堆东西），并以象形文字表示。古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？（引自百度百科）

这一讲主要让同学们熟悉用字母表示数。

【例题精选】

例1、下列每个形如四边形的图案，都是由若干个圆点按照一定规律组成的．当每条边上有n(n≥2)个圆点时(包括顶点)，图案的圆点数为S n．那么，按此规律，用含有n的式子表示S n为．

从图形变化规律来看。每个图案都可以看成一个大正方形里去掉一个小正方形。

()4

4

22

2-

=

-

-

=n

n

n

S。

例2、计算：

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

+

+

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

+

-

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

+

+

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

+

+

+

1998

1

3

1

2

1

1999

1

2

1

1

1998

1

2

1

1

1999

1

3

1

2

1

例3、设n是自然数，定义n!=1⨯2⨯3⨯…⨯n，若m=1!+2!+3!+…+2001!+2002!,求m的末两位数字之和。

例4、已知两个三位数

def

abc，的和def

abc+能被37整除。证明六位数abcdef也能被37整除。

例5、如图，一个面积为50平方厘米的正方形与另一个小正方形并排放在一下起，求ABC ∆的面积。

【A 组题】 1、若

的最大值是则，，a

b b a 636 321≤≤≤≤( ) A 、21 B 、2 C 、12 D 、126 2、已知a ≠0，12S a =，212S S =

，322S S =，…，20102009

2

S S =，则2010S = (用

含a 的代数式表示)．

a s 12=

，a s 23=，a s 1

4=，a s 25=……根据序数奇偶变化分别对应的值来确定结果：a

s 12010=。

3、将一个正整数n 输入一台机器内会产生出2)

1(+n n 的个位数字．若给该机器输入初始数

a ，将所产生的第一个数字记为1a ；再输入1a ，将所产生的第二个数字记为2a ；…；

依次类推．现输入2=a ，则2010a 是（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．1

经过计算发现：31=a ，62=a ，13=a ，14=a ……往后每一个数都等于1，出现了重复。因此12010=a 。

4、给出一个“三角形”的数表如下：

此表构成的规则是：第一行是0，1，2，…，999，以后下一行的数是上一行相邻两数的和。问：第四行的数中能被999整除的数是什么？

5、将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折六次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n 次呢？

【B 组题】

6、将自然数排成如下的螺旋状：

第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？

7、在平面上有n 条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，这些直线能把平面分成几部分？

8、比较大小：8901234566

7890123455

,89012345677890123456==

B A

9、（2010贵州）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后，再左右两列交换位置，第三次上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第2010次交换位置后，小兔子坐在几号位上：

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

本题的原型是“华杯赛”中的一个题，这里作了简化。问题的关键是抓住“兔子”的位置变化规律。第一次交换后，兔子在“1”号位；第二次交换后，兔子在“2”号位；第三次交换后，兔子在“4”号位，第四次交换后，兔子在“3”号位……按照1-2-4-3的顺序循环。而2010被4除余2，故等同于第二次交换后的结果，最后坐在“2”号位。

本题容易出现的错误是：把第一张图认为是第一次交换后的结果。那么就可能出现寻找规律类题型中最容易出现的错误——结果中的序数和题目中的序数没有对齐。