第1讲 从“算术”到“代数”
2023年从《方程》一课谈及“算术”走向“代数” 读《新课程小学数学教学实践研究》有感
从（方程）一课谈及“算术〞走向“代数〞——读（新课程小学数学教学实践研究）有感近日，读了（新课程小学数学教学实践研究）第41——57页的内容，里面谈及方程思想，颇有感触，借我执教过的（方程）一课谈及从“算术〞走向“代数〞。
（方程）这节课是（义务教育课程标准实验教科书数学）四年级下册第七单元第七单元的内容。
新世纪小学数学教材依据“由浅入深、循序渐进、螺旋上升〞的教学原则，设置了“天平称物〞等三个问题情境，让学生经历从具体到抽象的过程，逐渐学会用方程表示简单情境中的等量关系。
作为数学思想之一的方程思想，其核心在于建模、化归。
在教学实施时，我先启发学生用自己的言语对事情进行描述，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，这也正是建模的过程。
来看几个小片段：片段一：师：老师今天还带来了一些糖果，请认真瞧啦，我把这包糖果和一个50克的砝码放在天平左盘，在右盘放一个200克的砝码。
天平怎么样了？生：平衡了。
师：谁能找出其中的相等的数量关系？生：50克砝码的质量+糖果的质量=200克。
师：如果用一个式子表示这组相等的数量关系。
该怎样表示呢？请先独立思考，然后在练习本上写一写。
写好的同学可以小声地和同桌交流一下。
师：谁情愿第—个把你写的说给大家听？生1：200-50=150，150+50=200。
师：哦，你是先把糖果的质量算出来，再用一个式子表示相等关系对吗？有不同的表示方法吗？生2：χ+50=200。
〔板书：χ+50=200〕师：能向大家解释一下你写的式子吗？生：这袋糖果的质量我不了解，所以用χ表示，因为糖果的质量+50克砝码的质量是200克，所以我这样表示。
师：表达很完整！想到用χ表示我们不了解的数，好主意！不了解的数也就是“未知数〞。
〔板书：未知数〕未知数只能用χ表示吗？是的，未知数还可以用别的字母表示，但一般情况下，人们使用χ、Y、Z等字母代表未知数。
现在我们比拟一下两种表示方法，你认为那个式子更简单？生齐答：χ+50=200。
初一学生从算术思维过渡到代数思维中的困难分析
初一学生从算术思维过渡到代数思维中的困难分析方程的学习，以往注重的是有关概念和技能，如什么叫方程，什么叫方程的解，什么叫解方程，方程的解与解方程有什么不同，怎样解方程等。
再如列方程解应用题，历来被看作是教学的重点和难点，在教学中，教师往往满足于头头是道地给学生分析等量关系，机械地列出方程，解答问题。
这样的教学，学生没有经历数学建模的过程，无法体会方程是现实世界的数学模型，应用意识和实践能力的培养也就成了一句空话。
方程是刻画现实世界数量关系的数学模型，应从“数学建模”的角度开展方程的教学。
结合具体的情境教学方程的含义，如“用式子表示天平两边物体的质量关系”，让学生通过观察、分析，写出式子，再比较式子的异同，在讨论和交流中，由具体到抽象感受、理解方程的含义。
解方程的教学，让学生依据等式的性质对数学模型进行变换，探求方程的解。
教学列方程解决简单的实际问题，要求学生在问题情境中，探索、研究、寻求已知与未知之间的内在联系，建立数量之间的相等关系，即把日常语言抽象成数学语言（数量关系式），进而转换成符号语言（方程式）。
在经历多次这样的活动后，学生将逐步感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模的思想和基本过程，提高解决问题的能力和信心。
1. 方程教学的目标对式与方程这部分内容，课标有如下具体要求：1．在具体情境中能用字母表示数。
2．结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。
3. 能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x 2 ＝5 ，2x-x ＝3 ），了解方程的作用。
4．了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。
在每个学生数学学习的历程中，“字母” 的出现都是一次认识上的飞跃。
在“字母表示数”以及“方程”教学中，要肩负着帮助学生从算术思维向代数思维进行过渡。
学习“字母表示数”的过程是帮助学生建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，同时也是学生今后继续学习代数式、整式、分式和根式等一系列概念及相关运算的重要基础，具有非常重要的意义，需要引起高度重视，并贯穿于学习数与代数的始终。
云南开放大学2024年秋数学思想与方法过关测验汇编
云南开放大学2024年秋数学思想与方法过关测验汇编第一关试卷总分:100 得分:1001.巴比伦人是最早将数学应用于（）的。
在现有的泥板中有复利问题及指数方程。
A.商业B.农业C.运输D.工程2.《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
A.西汉末年B.汉朝C.战国时期D.商朝3.金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（）的方法。
A.几何测量B.代数计算C.占卜D.天文测量4.在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（）表示。
A.符号，符号B.文字，文字C.文字，符号D.符号，文字5.古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。
A.进位制的发明B.四棱锥台体积公式C.圆面积公式D.球体积公式6.《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（）。
A.爱奥尼亚学派B.毕达哥拉斯学派C.亚历山大学派D.柏拉图学派7.古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
A.100亿年B.10亿年C.1亿年D.1000亿年8.根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）中演绎出的结论。
A.最终原理B.一般原理C.自然命题D.初始原理9.欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（），成为近代西方数学的主要源泉。
A.几何B.代数与数论C.数论及几何学D.几何与代数10.数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。
A.五千年前B.春秋战国时期C.六七千年前D.新石器时代第二关试卷总分:100 得分:1001.欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作,它的著名的平行公设是( )。
从算术思维到代数思维
从算术思维到代数思维摘要：算术思维与代数思维之间的承接关系并非藉由经历足够的经验便可跨越，还必须经过思维结构的转化即质的改变，这个过渡也是学生学习代数时必须面对的困难。
笔者就如何启发儿童“符号代数”的意识，帮助他们积累“结构转换”的感性经验，加速从具体演算阶段到形式运算阶段的进展，为他们打开代数思维之门提出自己的看法。
关键词：算数；代数；思维中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）07-103-01一、多元化表征、建构符号意识“代数”，从字面看就有“以符号代表数”的意思。
学生的学习从具体情境到抽象概念，其思维必须经历从数字到符号的飞跃，因此符号意识的培养对发展小学生代数思维显得尤为重要，然而实际问题情境的复杂性和符号本身的抽象性为学生理解和应用代数符号带来了困难，因此我们一方面要帮助学生从一定程度上摆脱对问题情境的依赖，发现各类问题背后的数学结构，另一方面也要优化学生对符号的认识，帮助学生积累使用代数符号的经验。
换言之，我们可以通过对数学问题的多元表征，逐步发展学生的符号意识。
1、优化对符号的认识数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，符号化是学生跨入代数思维的第一步，而符号化绝不是学生的自然、直观的想法，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用。
建立对等号的认识：算式和代数虽共享一些符号如+、-、×、÷、=，有些符号在算术与代数之间的意义并不同，这也使得学生在面对这些符号时，经常产生混淆。
我们在教学中，应针对不同认知层次的学生采用循环、螺旋的方式，引导学生把等号看作是相等和平衡的符号，是一种关系。
拓宽对符号的理解：四年级（下）进行”用字母表示数”的专题学习，字母符号表示数、表示数量关系、表示规律模式以及数学公式，帮助学生建立数感与符号意识。
五年级（上）对符号表征却只字未提，到五年级（下）学习方程，由于教材编排的跳跃性，教学时往往忽略“用字母表示数”作为数学的一种抽象表征方式的重要教学价值，造成了学生符号意识发展中的问题，大多数学生对符号的认识停留在一个未知的确定的数或者一个特定的记号，而没有把符号看作推广的数或者变量，对a+15这样的式子通常认为是一个“过程”，对一些运算律和公式也只是将其作为一种固定的模式记忆。
从算术思维到代数思维的转换初探-算术思维和代数思维的特点
从算术思维到代数思维的转换初探算术思维和代数思维的特点一、算术思维和代数思维算术思维侧重于程序思维，强调的是利用数量计算求出答案的过程.这个过程具有情境性、特殊性和计算性的特点，甚至是直观的。
而代数思维的运算过程具有结构性，和算术运算不同的是其侧重将关系符号化，而且不具有直观性。
对于同一个问题，用代数思维和算术思维方式都能求得问题的解，虽然结果是一样的，但是运算和思维的逻辑是不一样的。
例如：盒子中的皮球与外面的6个皮球加起来共有23个，求盒子中一共有多少个皮球？可以列算数式23-6=（）来解答，也可以用代数式6+X=23来解。
我所教的高年级学生中，大部分学生就选择了前一种解题方式来解答，从表达式中，直接展示出题目和答案之间的关系体现了算术思维；还有少部分学生是用后者的方法来解答的。
后一种方法则体现了代数思维，即对具体的情境问题进行分析并转化为方程式，成了一种纯粹的符号运算。
二、在代数学习中可能会遇到的困难从算术思维向代数思维转换的过程中，光有练习是不够的，最重要的是要经历一个质变的过程。
学生在小学阶段已经接触过一些代数思想，例如用“设未知量为X”建立方程的方法解数学应用题，当然，他们对“未知量X”含义的了解是非常肤浅的。
进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。
在这个过程中，会遇到的困难有：第一，符号意义的不连续；字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。
通过有关数、式、方程等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法；第二，运算客体出现扩充；从运算的角度说，代数运算主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高；第三，经常会出现程序逆向思维。
当前，学生对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延的周密性，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。
鉴于上述的三个方面的困难，如何从算术思维向代数思维过渡呢？三、从算术思维向代数思维的转换的教学策略1.从数字到符号的转换从数字向符号转变，通俗地讲，就是用符号代替数字，使解题的焦点转移。
2024新人编版七年级数学上册《第五章5.1.1从算式到方程》教学课件
A．2(x＋3)＝
x 2
＋4
B．2x＋3＝
x 2
＋4
C．2(x＋3)＝
x 2
－4
D．2x＋3＝
x 2
－4
巩固练习
6．小芬买了15份礼物，共花了900元．已知每份礼物内都有
1包饼干及每支售价20元的棒棒糖2支，若每包饼干的售价为
x元，则依题意可列出下列哪一个一元一次方程 ( C )
A．15(2x＋20)＝900
1.2x+1=0.8x+3
探究新知
学生活动一 【一起探究】 请同学们按照教学活动1中的方法，先设出未知数，在
根据问题中的相等关系列出含有未知数的等式.
问题1 用买3个大水杯的钱，可以买4个小水杯，大水杯的 单价比小水杯的单价多5元，两种水杯的单价各是多少元？
探究新知
问题2 如图是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周 年纪念币，其面积是4000mm2，长和宽的比为8∶5（即
A．－2 B．3 C．4 D．5
当堂训练
3．为了参加社区“畅响G20”文艺演出，某校组建了46人的
合唱队和30人的舞蹈队，现根据演出需要，从舞蹈队中抽
调了部分同学参加合唱队，使合唱队的人数恰好是舞蹈队
人数的3倍，设从舞蹈队中抽调了x人参加合唱队，可得正
确的方程是( B )
A．3(46－x)＝30＋x
探究新知
学生活动五 【一起探究】
下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？ ①2x+1；②2m+15=3；③3x-5=5x+4；④x2+2x-6=0； ⑤-3x+1.8=3y；⑥3a+9＞15.
理由解：：①上是述含式有子未知是数方的程式的子有，②不是③等④式⑤；，⑥其是中不等②式③；是而
从算术思维到代数思维——以《用字母表示数》教学为例
教海探索还愿意给他卖命；从鸿门宴座次的安排可见项羽妄自尊大且行事高调；从项羽对樊哙的态度可见项羽虽爱惜勇士却敌我不分；他最后一败涂地，乌江自刎，也是意料之中。
从这些细节都直指项羽也许勇猛但却没有领导智慧，沽名钓誉，倒行逆施。
所以即便项羽在鸿门宴中杀了刘邦，也会有“李邦”、“张邦”、“某邦”等出现，来阻止他夺取天下。
同时，我们可以以此为契机，探讨“性格与人生”的关系，延伸课堂，深化内容。
如此实施阅读教学，有助于学生深入文本，破除刻板印象，引导学生从“大英雄”项羽被“狡猾小人”刘邦夺取天下的惋惜情绪中上升到理性思考，提升学生的思辨能力。
再如：必修二《最后的常春藤叶》中，在文本教学完后，我们可以探讨，假设贝尔曼知道自己冒雨为琼珊画叶子会付出生命的代价，是否还会义无反顾地去？有学生认为贝尔曼会去，他善良性格使然；但是也有学生认为他不会去，毕竟人都是趋利避害的。
关于这个问题，在阅读教学课上可以展开一场辩论赛。
学生“斗志满满”，会极尽所能去说服对方。
这就会促使他们大范围去收集资料，深入文本去找出支撑自己观点的细节，会认真组织语言去撰写辩论稿，这个过程将非常有助于提升思维的深刻性。
笔者认为，高中语文阅读教学要树立发展学生思维能力和提升学生思维品质的理念，在教学内容选择上可以采用以学生的问题为导向，设置主问题，有的放矢，提高学生思维系统性；在教学方法上，应该尊重学生的主体地位，适当采用“自主学习合作探究”的方式来深入探究，提高学生思维的深刻性；在教学成果反馈方面，要求学生读思结合，甚至要求学生读写结合，以文字形式呈现思维结果等。
通过以上策略，以期望在阅读教学过程中有意识地提升学生思维的系统性、深刻性、灵敏性、独创性和辩证性。
参考文献［1］陈剑峰.真问题：语文高效课堂的基石——以《孔乙己》教学为例［J］.语文知识，2014（4）.［2］李光明.思维发展与提升导向下的高中语文研究性阅读教学探究［D］.黄冈师范学院，2019.［3］姚婧.批判性阅读教学的实施策略［J］.语文教学通讯（D刊），2018（7）.［4］余映潮.我对阅读教学“主问题”的研究与实践［D］.中学语文教学，2007（9）.［5］中华人民共和国教育部.普通高中语文课程标准（2017年版）［S］.北京：人民教育出版社，2018.（作者单位：浙江省杭州市萧山区第六高级中学）从算术思维到代数思维——以《用字母表示数》教学为例■陈雨《用字母表示数》是苏教版小学数学五年级上册第八单元的内容，是数学四大学习领域之一——“数与代数”的一个重要内容，是学生学习代数的基础。
第01讲 数与代数
第一章数与式第1讲实数考纲要求命题趋势1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小．实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的解答题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力．一、实数的分类1、按实数的定义分类：实数有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：二、实数的有关概念及性质1．数轴（1）规定了原点、单位长度、正方向的直线叫做数轴；（2）实数与数轴上的点是一一对应的．2．相反数（1）实数a 的相反数是-a ，零的相反数是零；（2）a 与b 互为相反数⇔a ＋b ＝0．3．倒数（1）实数a （a≠0）的倒数是1/a ；ìíîìíî正数正无理数零 负有理数负数⎪⎪⎪⎪î⎪⎪⎪⎪íìîíì⎪⎪⎪î⎪⎪⎪íìîíì⎪î⎪íì正无理数无理数负分数零正整数整数有理数（2）a与b互为倒数⇔ab=1．4．绝对值（1）数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|．（2）|a|a>0 ，a＝0 ，a<0 .5．平方根、算术平方根、立方根（1）平方根①定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫二次方根），数a的平方根记作±a．②一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．（2）算术平方根①如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作a．零的算术平方根是零，即0＝0．②算术平方根都是非负数，即a≥0（a≥0）．③（a）2＝a（a≥0），a2＝|a|a≥0 ，a a<0 .（3）立方根①定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根（也叫三次方根），数a 的立方根记作3a．②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．6．科学记数法、近似数、有效数字（1）科学记数法把一个数N表示成a与10的幂相乘（1≤a＜10，n是整数）的形式叫做科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数位上的零）．（2）近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．三、非负数的性质1．常见的三种非负数|a|≥0，a2≥0，a≥0（a≥0）．2．非负数的性质（1）非负数的最小值是零；（2）任意几个非负数的和仍为非负数；（3）几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0．四、实数的运算1．运算律（1）加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ．（2）加法结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）．（3）乘法交换律：ab ＝ba ．（4）乘法结合律：（ab ）c ＝a （bc ）．（5）乘法分配律：a （b ＋c ）＝ab ＋ac ．2．运算顺序（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）同级运算，按照从左至右的顺序进行；（3）如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．3．零指数幂和负整数指数幂（1）零指数幂的意义为：a 0＝1（a≠0）；（2）负整数指数幂的意义为：p a -＝pa 1（a≠0，p 为正整数）．五、实数的大小比较1．实数的大小关系在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．2．作差比较法（1）a －b ＞0⇔a ＞b ；（2）a －b ＝0⇔a ＝b ；（3）a －b ＜0⇔a ＜b ．3．倒数比较法若1a ＞1b ，a ＞0，b ＞0，则a ＜b ．4．平方法因为由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，所以我们可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．2．﹣2的绝对值是（）A ．2B ．﹣2C ．D ．A ．-1B ．1C ．D ．74．花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为0．000037毫克，已知1克=1000毫克，那么0．000037毫克可用科学记数法表示为（）A ．3．7×10-5克B ．3．7×10-6克C ．37×10-7克D ．3．7×10-8克5．已知实数a 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（）A ．3﹣aB ．﹣a ﹣5C ．3a +3D ．3a ﹣56．计算：．考点一、实数的分类A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个方法总结一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：（1）含有π的式子；（2）根号内含开方开不尽的式子；（3）无限且不循环的小数；（4）某些三角函数式．举一反三在下列实数中，无理数是（）A ．0B ．14C D ．6考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例2】1．－5的绝对值是2．-6的倒数是（）A ．16B ．-16C ．6D ．-63．如图，数轴上的点A 、B 分别对应实数a 、b ，下列结论中正确的是（）A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．-a ＜bD ．a+b ＜0方法总结1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出．2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数（即非负数）；倒数是它本身的数是±1．；-3的倒数是2．-2024的绝对值是（）A ．-2024B ．2024C ．20241D ．20241-3．如图，数轴上的A 、B 、C 三点所表示的数分别是a 、b 、c ，其中AB ＝BC ，如果|a |＞|c |＞|b |，那么该数轴的原点O 的位置应该在（）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点B 与点C 之间或点C 的右边考点三、平方根、算术平方根与立方根【例3】1．实数0．5的算术平方根等于（）A ．2B C ．22D ．12．方法总结1．对于算术平方根，要注意：（1）一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；（2）0的算术平方根是0；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根a 具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，即a≥0；②算术平方根a 本身是非负数，即a≥0．2．（3a ）3＝a ，3a 3＝a ．．的平方根是．2．若a 是（﹣3）2的平方根，则3a 等于（）A ．﹣3B ．33C ．33或33-D ．3或﹣3考点四、科学记数法、近似数、有效数字【例4】2023年，我国财政性教育经费支出实现了占国内生产总值比例达4%的目标，其中在促进义务教育均衡方面，安排农村义务教育经费保障机制改革资金达865．4亿元，数据“865．4亿元”用科学记数法可表示为（）元．A ．865×108B ．8．65×109C ．8．65×1010D ．0．865×1011方法总结1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数（即a ）的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．举一反三2023年，我国上海和安徽首先发现“H8N9”禽流感，H8N9是一种新型禽流感，其病毒颗粒呈多形性，其中球形病毒的最大直径为0．00000012米，这一直径用科学记数法表示为（）A ．1．2×10-9米B ．1．2×10-8米C ．12×10-8米D ．1．2×10-7米考点五、非负数性质的应用A ．0B ．1C ．-1D ．±1方法总结常见的非负数的形式有三种：|a|，a （a≥0），a 2，若它们的和为零，则每一个式子都为0．举一反三设a 、b 、c 都是实数，且满足2)2(a -+c b a ++2+|8|+c =0，ax 2+bx+c=0，求代数式x 2+x+1的值．考点六、实数的运算点拨：（1）根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a －p ＝1a p （a≠0）．（2）a 0＝1（a≠0）．方法总结提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．举一反三120100(60)(1)|2(301)cos tan -¸-+--- 考点七、实数的大小比较A ．1与2之间B ．2与3之间C ．3与4之间D ．4与5之间方法总结实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．举一反三已知26,622,12-=-=-=c b a 那么a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b一、选择题1．据统计，某市去年接待国际旅游入境者共800160人次，800160用科学记数法表示是（）A ．8.0016×104B ．8.0016×105C ．8.0016×106D ．8.0016×1072．比较三个数10,,3---p 的大小，下列结论正确的是（）A ．103->->-pB ．310->->-p C ．p->->-310D ．103->->-p3．16的值等于（）A ．4B ．4±C ．2D ．2±4）A ．4B ．2C ．4±D ．2±5．若代数式M ＝3x 2+8，N ＝2x 2+4x ，则M 与N 的大小关系是（）A ．M ≥N B ．M ≤NC ．M ＞ND ．M ＜N二、填空题1．据统计，杭州市注册志愿者人数已达109万人，将109万人用科学记数法表示应为．2．若a 2﹣3a=4，则6a ﹣2a 2+8=．3．(1012p -æö-+-+ç÷èø4．计算221--=5．古时候，猎人通过结绳的方法来统计猎物的个数，如图，一位猎人在排列的绳子上从右到左依次打结，满八进一，用来记录一段时间内猎物的数量，由图可知，猎物的数量是．三、解答题1．一个数的算术平方根为2M﹣6，平方根为±（M﹣2），求这个数．2．计算6÷（﹣），方方同学的计算过程如下，原式=6+6=﹣12+18=6．请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．3．（1）计算：3﹣[6﹣（2﹣3）2]（2）因式分解：4m2﹣16n2．1．下列各数中，最小的数是（）A．0B．1C．－1D．－22．4的算术平方根是（）±A．2B．±2C．2D．23．已知一个数的两个平方根分别是a+3与2a﹣15，这个数的值为（）A．4B．±7C．﹣7D．494．有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④-是17的平方根．其中正确的有（）17A．0个B．1个C．2个D．3个5．我们知道，一元二次方程x 2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i 2=﹣1（即方程x 2=﹣1有一个根为i ）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i 1=i ，i 2=﹣1，i 3=i 2•i=（﹣1）•i=﹣i ，i 4=（i 2）2=（﹣1）2=1，从而对于任意正整数n ，我们可以得到i 4n+1=i 4n •i=（i 4）n •i=i ，同理可得i 4n+2=﹣1，i 4n+3=﹣i ，i 4n =1．那么i+i 2+i 3+i 4+…+i 2012+i 2013的值为（）A ．0B ．1C ．﹣1D ．i 6．若﹣2x m ﹣n y 2与3x 4y 2m+n 是同类项，则m ﹣3n 的立方根是．7．若两个连续整数x 、y 满足x ＜+1＜y ，则x+y 的值是．8．阅读下列材料：设 333.03.0==·x ①，则10x=3．333…②，则由②﹣①得：9x=3，即31=x ．所以31333.03.0==·．根据上述提供的方法把下列两个数化成分数．·7.0=，·3.1=．9．规定：log a b （a ＞0，a≠1，b ＞0）表示a ，b 之间的一种运算．现有如下的运算法则：n na a=log ,NnMnMNlog log log =（a ＞0，a≠1，N ＞0，N≠1，M ＞0）．例如：log 223=3，21051052log log log =，则log 1001000=．10．为了表述方便，本题取0．ba 表示小数．其中a 、b 只在1、2、3、…、9这9个数字中选取，例如当a 取2，b 取3时，0．ba 就表示0．32．我们知道无限循环小数可以化为分数，一般地，9.0aa =·，那么=·23.0，=·a b .0．11．已知a 、b 分别是6﹣的整数部分和小数部分．（1）分别写出a 、b 的值；（2）求3a ﹣b 2的值．12．阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i 2=﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi （a ，b 为实数），a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（5+i）×（3﹣4i）=19﹣17i．（1）填空：i3=，i4=．（2）计算：（3+i）2；（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi的形式．第2讲整式与因式分解考纲要求命题趋势1．能求代数式的值；能根据特定问题找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算．2．了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算．3．会推导平方差公式和完全平方公式，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法、十字相乘进行因式分解．整式及因式分解主要考查用代数式表示数量关系，单项式的系数及次数，多项式的项和次数，整式的运算，多项式的因式分解等内容．中考题型以选择题、填空题为主，同时也会设计一些新颖的探索型问题．一、整式的有关概念1．整式整式是单项式与多项式的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．二、整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：n m a n a m a +=，mn a n m a =)(，m b m a m ab =)(，n m a na ma -=（m ，n是正整数）．三、同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的基本步骤：（1）代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；（2）计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．五、整式的运算1．整式的加减（1）整式的加减实质就是合并同类项；（2）整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除（1）整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc．③多项式与多项式相乘：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb．（2）整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：（a＋b）÷m＝a÷m＋b÷m．3．乘法公式（1）平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2；（2）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2．六、因式分解1．因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．2．因式分解的方法（1）提公因式法公因式的确定：第一，确定系数（取各项整数系数的最大公约数）；第二，确定字母或因式底数（取各项的相同字母）；第三，确定字母或因式的指数（取各相同字母的最低次幂）．（2）运用公式法①运用平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）．②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝（a±b）2．（3）十字相乘A．a=2，b=3B．a=1，b=2C．a=1，b=3D．a=2，b=22．下列运算正确的是（）A．a2•a3=a6B．﹣2（a﹣b）=﹣2a﹣2b C．2x2+3x2=5x4D．（﹣）﹣2=43．若（a m b n）3=a9b15，则m、n的值分别为（）A．9；5B．3；5C．5；3D．6；124．下列各式能用平方差公式分解因式的有（）①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．A．1个B．2个C．3个D．4个5．下列从左到右边的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）=9﹣x2B．（y+1）（y﹣3）=﹣（3﹣y）（y+1）C．4yz﹣2y2z+z=2y（2z﹣yz）+z D．﹣8x2+8x﹣2=﹣2（2x﹣1）26．计算（a﹣b）（a+b）（a2+b2）（a4﹣b4）的结果是（）A．a8+2a4b4+b8B．a8﹣2a4b4+b8C．a8+b8D．a8﹣b87．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）8．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．考点一、整数指数幂的运算【例1】1．若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．2．已知a3m＝3，b3n＝2．求（a2m）3+（b n）3﹣a2m b n•a4m b2n的值．方法总结幂的运算问题除了注意底数不变外，还要弄清幂与幂之间的运算是乘、除还是乘方，以便确定结果的指数是相加、相减还是相乘．举一反三1．已知：x3m＝4，y3n＝5，求（x2m）3+（y n）6﹣x2m•y n•x4m•y5n的值；2．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为．考点二、整式的运算【例2】1．若a ﹣b=1，则代数式a 2﹣b 2﹣2b 的值为．2．7张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S ，当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则a ，b 满足（）A ．a=52b B ．a=3b C ．a=72b D ．a=4b方法总结对于整式的运算主要把握好整式的乘法公式及因式分解等的应用举一反三1．已知a+b=2，ab=﹣1，则3a+ab+3b=；a 2+b 2=．2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A ．（a+b ）2=a 2+2ab+b 2B ．（a ﹣b ）2=a 2﹣2ab+b 2C ．a 2﹣b 2=（a+b ）（a ﹣b ）D ．（a+2b ）（a ﹣b ）=a 2+ab ﹣2b 2考点三、乘法公式【例3】1．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（）A ．（x+a ）（x ﹣a ）B ．（a+b ）（﹣a ﹣b ）C ．（﹣x ﹣b ）（x ﹣b ）D ．（b+m ）（m ﹣b ）2．若m 为正实数，且31=-m m ，则=-221mm ．方法总结本题考查了完全平方公式、平方差公式，求出m 的值代入前，一定要把代数式分解完全，可简化计算步骤．举一反三1．填空：（a ﹣b ）（a +b ）＝a 2﹣b 2；（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝a 3﹣b 3；（a ﹣b ）（a 3+a 2b +ab 2+b 3）＝a 4﹣b 4；……（1）（a ﹣b ）（a 2022+a 2021b +…+ab 2021+b 2022）＝a 2023﹣b 2023；（2）猜想：（a ﹣b ）（a n ﹣1+a n ﹣2b +⋯+ab n ﹣2+b n ﹣1）＝a n ﹣b n ；（其中n 为正整数，且n ≥2）（3）利用（2）中的猜想的结论计算：22023+22022+22021+⋯+22+2+1；2．如果41224|11|-++-=--++b a c b a ，那么a+2b ﹣3c=．3．已知（2008﹣a ）2+（2007﹣a ）2=1，则（2008﹣a ）•（2007﹣a ）=．考点四、因式分解【例4】分解因式：（1）20a 3x ﹣45ay 2x （2）1﹣9x 2（3）4x 2﹣12x+9（4）4x 2y 2﹣4xy+1（5）p 2﹣5p ﹣36方法总结因式分解的一般步骤：（1）“一提”：先考虑是否有公因式，如果有公因式，应先提公因式；（2）“二套”：再考虑能否运用公式法分解因式．一般根据多项式的项数选择公式，二项式考虑用平方差公式，三项式考虑用完全平方公式；（3）分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．举一反三分解因式（1）y 2﹣7y+12（2）3﹣6x+3x 2（3）﹣a+2a 2﹣a 3（4）m 3﹣m 2﹣20m一、选择题1．下列运算正确的是（）A ．2x 2+x ＝3x 3B ．2x 2﹣7x 2＝﹣5C ．﹣8x 3•4x 2＝﹣32x 6D ．＝x 22．下列计算正确的是（）A ．523mm m =+B ．623m m m =×C ．1)1)(1(2-=+-m m m D ．12)1(24-=--m m 3．在下列各式的变形中，正确的是（）A ．()()22x y y x x y---+=--B ．()413222--=--x x x C ．111x x-=-D ．()xy y x -=-1-4．将多项式4x 2+1再加上一项，使它能分解因式成（a +b ）2的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（）A ．2xB ．﹣4xC ．4x 4D ．4x5．下列运算正确的是（）A ．（a 4）3＝a 7B ．a 6÷a 3＝a 2C ．（2ab ）3＝6a 3b 3D ．﹣a 5•a 5＝﹣a 106．因式分解：a 2﹣4＝（）A ．（a ﹣2）（a +2）B ．（2﹣a ）（2÷a ）C ．（a ﹣2）2D ．（a ﹣2）（﹣a +2）7．下列运算正确的是（）A ．ba b a 33)(=B ．3a 3•2a 2=6a 6C ．4a 6÷2a 2=2a 3D ．（3a 2）3=27a 68．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：a@b=（a+b ）2﹣（a ﹣b ）2，则下列结论：①若a@b=0，则a=0或b=0②a@（b+c ）=a@b+a@c③不存在实数a ，b ，满足a@b=a 2+5b 2④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a=b 时，a@b 最大．其中正确的是（）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③9．（1+y ）（1﹣y ）＝（）A ．1+y 2B ．﹣1﹣y 2C ．1﹣y 2D ．﹣1+y 2二、填空题1．若整式x 2+ky 2（k 为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k 的值可以是（写出一个即可）．2．在实数范围内分解因式：4424+-x x =．3．分解因式：2a 2﹣4a+2=．4．分解因式：a 3b ﹣2a 2b+ab=．5．因式分解：（a ﹣b ）2﹣（b ﹣a ）＝．6．在化简求（a +3b ）2+（2a +3b ）（2a ﹣3b ）+a （5a ﹣6b ）的值时，亮亮把a 的值看错后代入得结果为10，而小莉代入正确的a 的值得到正确的结果也是10，经探究后，发现所求代数式的值与b 无关，则他们俩代入的a 的值的和为．7．已知a ＝，则（4a +b ）2﹣（4a ﹣b ）2为．8．因式分解：a 3﹣4a ＝．三、解答题1．先化简，再求值：2)2()1)(1(++-+a a a ，其中41=a ．2．设m ＝2a ﹣1，n ＝﹣2a ﹣1，若41=a ，求mn +m +n +1的值．3．先化简，再求值：（2﹣a ）（3+a ）+（a ﹣5）2，其中a ＝4．1．要使二次三项式x 2﹣2x+m 在整数范围内能进行因式分解，那么整数m 的值可取（）A ．1B ．﹣3C ．1或﹣3D ．有无数个2．若多项式x 4+mx 3+nx ﹣16含有因式（x ﹣2）和（x ﹣1），则mn 的值是（）A ．100B ．0C ．﹣100D ．503．现有一列式子：①552﹣452；②5552﹣4452；③55552﹣44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A．1．1111111×1016B．1．1111111×1027C．1．111111×1056D．1．1111111×10174．下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．4yz﹣2y2+z＝2y（2z﹣y）+zB．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2C．x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）2D．x3﹣3x2+x＝x（x2﹣3x）5．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且满足2a4+2b4+c4=2a2c2+2b2c2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形6．已知a=2005x+2004，b=2005x+2005，c=2005x+2006，多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（）A．0B．1C．2D．37．如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（）A．a2+4ab+4b2B．42+8ab+4b2C．4a2+4ab+b2D．a2+2ab+b28．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”（a+b）0＝1（a+b）1＝a+b（a+b）2＝a2+2ab+b2（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…则（a+b）9展开式中所有项的系数和是（）A．128B．256C．512D．10249．多项式x2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n），则m=，n=．10．因式分解：x2﹣y2+6y﹣9=．11．计算（1﹣）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是．12．将多项式x2+4加上一个整式，使它成为完全平方式，试写出满足上述条件的三个整式：，，．13．若n满足（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，则（n﹣2019）（2020﹣n）＝．14．如果关于x的二次三项式x2﹣4x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．15．因式分解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn；（2）m2（m+1）﹣（m+1）；（3）4x2y+12xy+9y；（4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15．16．阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．例如：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三种不同形式的配方（即“余项”分别是常数项、一次项、二次项﹣﹣见横线上的部分）．请根据阅读材料解决下列问题：（1）比照上面的例子，写出x2﹣4x+2三种不同形式的配方；（2）将a2+ab+b2配方（至少两种形式）；（3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．第3讲分式考纲要求命题趋势1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题．命题反映在分式中主要涉及分式的概念、性质、运算法则及其应用，题型表现为填空题、选择题、化简求值题等形式．一、分式1．分式的概念形如AB （A ，B 是整式，且B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式．2．与分式有关的“三个条件”（1）分式AB 无意义的条件是B ＝0；（2）分式AB 有意义的条件是B≠0；（3）分式AB 值为零的条件是A ＝0且B≠0．二、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个相同的整式，分式的值不变．用式子表示是：A B ＝A×M B×M ，A B ＝A÷M B÷M （其中M 是不等于0的整式）．三、分式的约分与通分1．约分根据分式的基本性质将分子、分母中的相同的整式约去，叫做分式的约分．2．通分根据分式的基本性质将几个异分母的分式化为分母相同的分式，这种变形叫分式的通分．四、分式的运算A．2个B．3个C．4个D．5个2．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变3．先化简再求值：，其中．4．已知：A＝xy﹣x2，B＝，C＝，若A÷B＝C×D，求D．5．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．（1）下列分式中，是和谐分式（填写序号即可）；（2）若分式为和谐分式，且a为整数，请写出所有a的值；（3）在化简时，小东和小强分别进行了如下三步变形：小东：原式＝＝＝小强：原式＝＝＝．显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简．考点一、分式有意义、无意义、值为零的条件为零且分母不为零．举一反三要使分式有意义，则x 的取值范围为．考点二、分式的基本性质【例2】若分式的x 和y 均扩大为原来各自的10倍，则分式的值（）A ．不变B ．缩小到原分式值的C ．缩小到原分式值的D ．缩小到原分式值的方法总结运用分式的基本性质解题必须理解和掌握分式的基本性质：A B ＝A·m B·m ，A B ＝A÷mB÷m （其中m ≠0）和分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变．举一反三已知﹣=3，则分式的值为．考点三、分式的约分与通分【例3】设=2，则=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣方法总结1．分式约分的步骤：（1）找出分式的分子与分母的公因式，当分子、分母是多项式时，要先把分式的分子与分母分解因式；（2）约去分子与分母的公因式．2．通分的关键是确定最简公分母．求最简公分母的方法是：（1）将各个分母分解因式；（2）找各分母系数的最小公倍数；（3）找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足（2）（3）的因式之积即为各分式的最简公分母．举一反三先化简，再求值：（+2﹣x ）÷，其中x 满足x 2﹣4x+3=0．考点四、分式的运算【例4】计算：．方法总结在分式运算的过程中，要注意对分式的分子、分母进行因式分解，然后简化运算，再运用四则运算法则进行求值计算．分式混合运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的，其乘除运算归根到底是乘法运算，实质是约分，分式加减实质是通分，结果要化简．关于化简求值，近年来出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字，要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．举一反三先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．一、选择题1．若241()142w a a+=-- ，则（）A ．2(2)a a +¹-B ．2(2)a a -+¹C ．2(2)a a -¹D ．2(2)a a --¹-2．将分式方程13)1(251+=++-x x x x 去分母，整理后得（）A ．018=+xB ．038=-xC ．0272=+-x x D ．0272=--x x 3．化简的结果是（）A ．x ﹣1B ．C ．x+1D ．4．下列变形正确的是（）A ．＝B ．C ．D ．二、填空题1．函数y ＝的自变量x 的取值范围．2．当2x =时，分式x mx m -+没有意义，则m =．3．当3=x 时，分式bx ax +-没有意义，则=b ．三、解答题1．已知îíì=+=+65316156y x y x ，求代数式222()x x xy x y x y x y-¸--++1的值．2．（1）将下列各式进行分解因式：①142++x x ；②22818b a -（2）先化简，再求值：（1－1212+-x x ）÷（122--x x －2），其中34=x ；完成对分式的化简求值后，填空：要使该分式有意义，x 的取值应满足．3．计算：aba bb a ---21，并求当3=a ，b=1时原式的值．4．先化简代数式（1+）÷，然后在0≤a ＜4范围选取一个适当的整数作为a 的值代入求值．5．计算﹣x+2，乐乐同学的计算过程如下：﹣x+2＝﹣＝﹣＝﹣请判断计算过程是否正确，若不正确，请写出正确的计算过程．6．化简：﹣﹣1圆圆的解答如下：﹣﹣1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．1．若分式不论x取何值总有意义，则m的取值范围是（）A．m≥1B．m＞1C．m≤1D．m＜12．若ab=1，m=+，则m2023=（）A．2013B．0C．1D．23．已知=﹣，其中A、B为常数，则4A﹣B的值为（）A．7B．9C．13D．54．若的值为，则的值为（）A．1B．﹣1C．﹣D．5．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且，则△ABC一定是（）A．等边三角形B．腰长为a的等腰三角形C．底边长为a的等腰三角形D．等腰直角三角形6．若恒成立，则A+B＝．7．若，则的值为．9．已知a，b，c是不为0的实数，且，那么的值是．10．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为．11．先化简分式（﹣）÷，再从不等式组的解集中取一个合适的值代入，求原分式的值．12．先化简分式，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a值，代入求值．。
专题03 从算术到代数(含答案)
专题03从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：___________________________________(山东菏泽地区中考试题)解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212222323223434＋…＋221003100410031004＋221004100510041005，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A 中第n 项22(1)(1)n n n n 的特征入手.【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.(1)用含n 的代数式表示m ；(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.【例5】 化简个个个n n n 9199999999+⨯. （江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*） （1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝ 22001时，求m 的值和这m 个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C. 10a＋1D. a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A. a10＋b19B. a10-b19C. a10-b17D. a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均数是（）A.3a b c B. 3a b cC. a ＋b －cD. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a （a ＞0）个成品，且每个每天都生产b （b ＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同． （1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a 、b 的代数式表示）； （2）试求出用b 表示a 的关系式； （3）若1名质检员1天能检验54b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （广东省广州市中考试题）B 级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n ＋5）（n 为自然数），即求（10·n ＋5）2的值（n 为自然数），分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25； 252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）(1)s a b (1)s a (1)s a b (1)sa6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（山东省竞赛试题）7.如果用a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）A ．22c a bB ．2c abC ．2abcD ．22a b c(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）专题03 从算术到代数例1 2(2)1(1)n n n ++=+ 例2 A例3 原式=1111111112(1)2()2()2()2()223341003100410041005+-++-++-+++-++-=121004(1)1005⨯+-故其整数部分为2008 例4 设图③中含有3p 个正方形.(1) 由3152m n +=+,得513n m +=(2) 由315273,a m n p =+=+=+得325177m n p --==,因,,m n p 均是正整数, 所以当17,10m n ==时,7,p =此时317152a =⨯+=例5解法1:1n = 时,29919811910010⨯+=+==; 2n =时, 49999199(1001)991999900991991000010⨯+=-⨯+=-+==,猜想:2999999199910n n n n ⨯+=个个个个, 计算过程类似于2n =29999991999(101)9991999999000999199910n n n n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=个个个个个个个个个解法2: 1n =时,2991999109(999)1091010101010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=2n =时, 49999199999910099(999999)1009910010010010010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=猜想: 原式210n = 验证如下: 9999991999999999100099999999999910n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++个个个个个个个个个个299910101010n n n n n =⨯=⨯=个反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设999n a =个,得另一种解法解法3: 原式22222(1)a 21(1)(10)10n n a a a a a =+++=++=+==例6 (1)(※) 可分组为112123123412345(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,121321432154321可知各组数的个数依次为1,2,3,.按其规律22001应在第2002组1232002(,,,,)2002200120001中, 该组前面共有123420012003001+++++=个数. 故当2()2001F m =时,200300122003003m =+=. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为121200220012003001⨯=(2) 依题意,c 为每组倒数第2个数,d 为每组最后一个数,设它们在第n 组, 别1,,21n n c d -==(1)20010002n n -∴=.即(1)400200020012000n n -==⨯,2001,n ∴= 得20011200022c -==,20011d =A 级1. 100 提示:21010a ab b+=⨯ 中, 根据规律可得210,10199,a b ==-=故1099109a b +=+= 2. 4(1)(2)s n n =-≥3.1- 提示: 根据题中定义的运算可列代数式25,20p q q p -=+=,可得1,2,p q ==- 故1p q +=-4. 10 31n +5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 31n + (2) 不能, 33不符合31n + 10. (1) 2a b +或2(5)3a b +或32b + (2) 由2(2)2(5)23a b a b ++=,得4a b = (3)2(2)47.5825a b b +÷=≈B 级1. (1) 1007(71)25,1008(81)25⨯⨯++⨯⨯++(2) 100(1)25n n ⨯++ (3) 3980025 2. (1) 2085(2) 22100 提示: 原式2224(1225)=⨯+++3. 20114026提示: 由1234n a n =⨯⨯⨯⨯⨯可得,原式111112334452011201220122013=+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112011233420122013220134026=-+-++-=-=4. 595 提示: 设17个连续整数为,1,,16,m m m ++且(1)(16)306m m m +++++=,它后面紧接的17个连续自然数应为17,18,19,,33m m m m ++++,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为cab块,c 名同学按此速度每小时所搬砖头为2c ab 块.8．用a ，b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m ，n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a ＋m ＝b ＋n 得m －b ＝n －a ，又a ＝13n ，b ＝15m ，故m －15m ＝n －13n ，56m n =．9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7（均为自然数），且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝()211212312⨯+=①．假设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中没一个数都小于33，则有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＜231．与①矛盾，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33． 10．设四个不同整数为a 1，a 2，a 3，a 4（a 1＞a 2＞a 3＞a 4），则（a 1－a 2）＋（a 1－a 3）＋（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＋（a 2－a 4）＋（a 3－a 4）＝18，即3（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＝18．又因3（a 1－a 4），18均为3的倍数，故a 2－a 3也是3的倍数，a 2－a 3＜a 1－a 4，则a 2－a 3＝3，a 1－a 4＝5，a 1－a 2＝1，a 3－a 4＝1，又a 1a 2a 3a 4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a 1＝15，a 2＝14，a 3＝11，a 4＝10．。
2.从算术到代数(含答案)-
2.从算术到代数知识纵横“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”(algebra)•可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”。
著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言。
”用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别。
字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代表式(algebra expression)、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用。
例题求解【例1】(2001年河南省中考题)观察下列等式：9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,……这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来:____________.思路点拨在观察给定的等式基础上,寻找数字特点,等式的共同特征,•发现一般规律.解:(n+2)2-n2=4(n+1)【例2】(2003年“TRULY信利杯”竞赛题)某商品2000年比1999年涨价5%,2001年又比2000年涨价10%,•2002•年比2001年降价12%,则2002年比1999年( )A.涨价3%B.涨价1.64%C.涨价1.2%D.降价1.2%思路点拨设此商品1999年的价格为a元,把相应年份的价格用a的代数式表示,由计算作出判断.解:选B.【例3】计算：(12+13+…+12002)(1+12+13+…+12001)-(1+12+…+12002)(12+13…+12001)思路点拨直接计算复杂而繁难,注意括号内数式的联系,引入字母,•将复杂的数值计算转化为简单的式的计算.解:1 2002提示：设1+12+13+…+12001=a,12+13+…+12001=b,则a-b=1【例4】(第17届江苏省竞赛题)有一张纸,第1次把它分割成4片,第2次把其中的11319?片分割分4片,•以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片,如此进行下去,试问: (1)经5次分割后,共得到多少张纸片? (2)经n 次分割后,共得到多少张纸片?(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么?思路点拨 从简单情形入手,发现纸片数的特点是解本例的关键.解:(1)因为每分割1次,就要增加3张纸片,所以经5次分割,共得到1+3×5=16•张纸片.(2)经n 次分割,共得到(1+3n)张纸片.(3)若能分得2003张纸片,则1+3n=2003,3n=2002,无整数解,•所以不可能经若干次分割后得到2003年纸片.【例5】(北京市“迎春杯”竞赛题)在右图中有9个方格,要求每个方格填入不同的数,使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等,问:右图上角的数是多少?思路点拨 虽然要求的只是右上角的数,但是题目的条件还与其他的数有关,因此,需恰当地引进不同的字母表示数,以便充分运用已知条件.解:提示:如图,设相应方格中的数为x 1,x 2,x 3和x 4,问号处填的数为x,由已知条件得:x+x 1+x 2=x+x 3+x 4=x 1+x 3+13=x 2+19+x 4,这样,前面两个式子之和等于后面的两个式子之和,•即 2x+x 1+x 2+x 3+x 4=13+19+x 1+x 2+x 3+x 4,∴2x=13+19,得x=16.1319x 4x 3x 2x 1x学力训练 一、基础夯实：1. (2001年福州市中考题)给出下列算式:12+1=1×2, 22+2=2×3, 32+3=3×4, ……观察上面一列算式,你能发现什么规律,用代数式子表示这个规律:________. 2. (2003年武汉市中考题)已知:2+23=22×23,3+38=32×38,4+415=42×415……,若10+a b =102×ab(a 、b 为正整数),•则a+b=_________. 3. (第15届江苏省竞赛题)若(m+n)人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要________天.(假定每个人的工作效率相同)4. (河南省竞赛题)某同学上学时步行,回家时坐车,路上一共要用90分钟,若往返都坐车,全部行程只需30分钟,如果往返都步行,那么,需要的时间是________.5.一项工程,甲建筑队单独承包需要a 天完成,乙建筑队单独承包需要b 天完成,•现两队联合承包,完成这项工程需要( )天. A.1a b + B.1a +1b C.ab a b+ D.1ab6. (2003年河南省中考题)某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现,二月份比一月份增加10%,•三月份比二月份减少10%,那么三月份比一月份( ) A.增加10% B.减少10% C.不增不减 D.减少1% 7. (2001年河北省中考题)如图,在长方形ABCD中,横向阴影部分是长方形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据,计算图中空白部分的面积,其面积是( )A.bc-ab+ac+c 2B.ab-bc-ac+c 2C.a 2+ab+bc-acD.b 2-bc+a 2-ab 8.为了绿化环境,美化城市,在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪,•如果两块草坪的周长相同,那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是( )A.S 1>S 2B.S 1<S 2C.S 1=S 2D.无法比较 9.从1开始,连续的奇数相加,和的情况如下:1=12, 1+3=4=22, 1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42,EDBG FCA 1+3+5+7+9=25=52,(1)请你推测出,从1开始,n 个连续的奇数相加,它们的和s 的公式是什么? (2)计算:①1+3+5+7+9+11+13+15+17+19; ②11+13+15+17+19+21+23+25.(3)已知1+3+5+…+(2n-1)=225,求整数n 的值.10. (第17届江苏省竞赛题)从小明的家到学校,是一段长度为a 的上坡路接着一段长度为b 的下坡路(•两段路的长度不等但坡度相同).已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20%,走下坡路时的速度比走平路时的速度快20%,又知小明上学途中花10分钟,•放学途中花12分钟.(1)判断a 与b 的大小;(2)求a 与b 的比值.二、能力拓展：11.观察下列各正方形图形,每条边上有n(n ≥2)个圆点,每个图案中圆点的总数是S.按时规律推断出S 与n 的关系式是__________.(2001年广西中考题)n=4,s=12n=3,s=8n=2,s=4.......12. (“希望杯”邀请赛试题)如图,将面积为a 2的小正方形与面积为b 2的大正方形放在一起(b>a>0),用a 、•b 表示三角形ABC 的面积为________.13. (天津市竞赛题)已知17个连续整数的和是306,那么,紧接在这17个数后面的那17个整数的和为_________.14. (2003年南昌市中考题)用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律,拼成若干个图案:(1)第4个图案中有白色地面砖_________块;(2)第n个图案中有白色地面砖_________块.15. (第17届江苏省竞赛题)下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.469258147016. (2002年重庆市竞赛题)给出两列数:1,3,5,7,9,…2001和1,6,11,16,21,…,2001,•同时出现在这两列数中的数的个数为( )A.199B.200C.201D.20217. (2003年山东泰安市中考题)一种商品每件进价为a元,按进价增加25%定出售价,后因库存积压降价,按售价的九折出售,每件还能盈利( )A.0125aB.0.15aC.0.25aD.1.25a18.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖,那么c名同学以同样的速度搬运a•块砖所需的小时数是( )A.22ca bB.2cabC.2abcD.22a bc19.已知a n+1=111na(n=1,2,3,…,2002),求当a1=1时,a1a2+a2a3+a3a4+…+a2002a2003的值.20. (2002年湖北省黄冈市竞赛题)在一次数学竞赛中,组委会决定用NS公司的赞助款购买一批奖品,•若以1•台NS计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买100份奖品；若以1台NS•计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品，则可买80份奖品。
从算术到代数
整体地把握小学数学课程
首都师范大学 王尚志
鸡兔同笼问题
• 问题：一支铅笔40日元，一支钢笔70日元， 共有460日元买10支笔，应如何购买？ • 有两种方法： 一种算术方法 一种代数方法
圆的面积问题
• 1、会求哪些面积？ • 2、能否把圆的面积转化为其它的 面积？ • 3、在这个过程中，重要的数学思 想是什么？
一节课： × 一节课：23×3=69 • 1、准备 • 2、操作 2 • 3、引导 • 4、总结
图形与加法
• 1、三个图形。 • 2、每一个图形不同的数字特征。 • 3、能拼出多少种不同的结果？ • 4、值得探索的一些问题。
从算术பைடு நூலகம்代数
• 1、加法。 • 2、减法：几种引出减法的方式。 解决问题的方法：算术、代数。 • 3、乘法。 • 4、除法：几种引出减法的方式。 解决问题的方法：算术、代数 • 5、鸡兔同笼问题。
• 举例：
认识分数：瞻前顾后。 认识正比例：瞻前顾后。 在鸡兔同笼问题中，小学阶段的任务是 什么？
整体把握课程：养成好的习惯
• 学习数学有很多好的习惯：
其中整体把握课程是学习数学 的一个重要的好习惯。它也是学好 的一个重要的好习惯 数学的好方法。能够帮助提高学习 数学的效率。
谢 谢!
整体地把握课程
义务教育的课程由四部分组成
• • • • 数与代数 空间与几何 统计与概率 综合与实践
整体地把握课程
• 数与代数
数感 运算与推理 量与模型 估计与近似 符号与符号语言
整体地把握课程
• 空间与几何
图形的分类与性质 变换——图形的运动 图形与位置 几何直观与图形语言
整体地把握课程
从算式到方程—教学设计及点评
课题：3.1.1一元一次方程（1）授课教师：王超所在学校：辽宁省大连嘉汇中学3.1.1一元一次方程（第1课时）辽宁省大连嘉汇中学王超一、教学内容及其解析1．教学内容方程及一元一次方程的概念；根据实际问题中的相等关系，建立方程模型。
2．内容解析方程是初中数学的核心内容，是算术法到代数法思维转变的重要标志，是解决实际问题的一种重要的数学模型。
方程的出现是实践的需要，它使得实际问题中的已知数与未知数通过等式连接起来。
找出实际问题中的相等关系，并用代数式表示其中的数量关系，进而列出方程，是解决实际问题的一种方法。
解方程使问题中的未知数转化为确定的解，这种以方程为模型解决问题的思想在本章中占有重要的地位。
一元一次方程是最简单的整式方程，是后续所学其他方程的基础，后续学习的任何一个方程（组）最终都要划归为一元一次方程。
一元一次方程具备“含有一个未知数”“未知数的次数是1”“等号两边都是整式”这三个特征。
通过分析具体的实际问题的数量关系，将相等关系“翻译”成方程，进而找出所列方程的共同特点，抽象出一元一次方程的概念。
在形成概念的过程中，落实了数学抽象、数学建模这一核心素养。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：一元一次方程概念，用方程模型解决实际问题。
二、教学目标及其解析1．教学目标（1）了解方程的概念，理解一元一次方程的概念。
（2）经历列方程的过程，感受方程作为刻画现实世界的数学模型的意义，体会由算式到方程的进步，从而体会方程思想。
2．目标解析达成（1）的目标是，学生能识别出方程，根据一元一次方程的特征准确判断一个方程是不是一元一次方程；达成（2）的目标是，学生经历从实际问题抽象出一元一次方程概念的全过程，从中体会方程模型的现实意义，逐步体会方程的优越性。
三、学生学情分析在小学阶段，学生学过用算术法和方程法解决实际问题，特别是算术法的运用更是娴熟，但是所涉及的实际问题的难度并不大，数量关系并不复杂，用算术法更容易解决。
《一元一次方程》(第1课时)说课稿
第三章一元一次方程说课稿尊敬的各位领导、老师：大家好！今天说课的内容是人教版义务教育教科书七年级数学（上）第三章一元一次方程（第1课时）。
下面，我将从以下五个方面对本节课的设计进行说明.一、教材分析：1、教材所处的地位和作用：从数学科学本身看，方程是代数学的核心内容，正是对于它的研究推动了整个代数学的发展，从代数中关于方程的分类看，一元一次方程是最简单的代数方程，也是所有代数方程的基础.教科书将本节内容安排在第一节，一方面是对小学学段已经学过的有关算术方法解题和简单方程的运用的进一步发展，另一方面考虑引入一元一次方程后，可以尽早渗透模型化的思想，使学生尽早接触利用一元一次方程解决实际问题的方法.《课程标准》对本课时的要求是通过具体实例归纳出方程及一元一次方程的概念,根据相等关系列出方程.让学生在归纳和总结的过程中，初步建立数学模型思想，训练学生主动探究的能力，能结合情境发现并提出问题，体会在解决问题中与他人合作的重要性，获得解决问题的经验.2、教学目标：根据课标的要求和本节内容的特点，我从知识技能、数学思考、情感价值观三个方面确定本节课的目标：知识技能目标①通过对实际问题的分析，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步，归纳并理解一元一次方程的概念，领悟一元一次方程的意义和作用.②在学生根据问题寻找相等关系、根据相等关系列出方程的过程中，培养学生获取信息、分析问题、处理问题的能力.③使学生经历把实际问题抽象为数学方程的过程，认识到方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，初步体会建立数学模型的思想.数学思考目标用字母表示未知数，找出相等关系，将实际问题抽象为数学问题，通过列方程解决.情感价值目标：让学生体会到从算式到方程是数学的进步，渗透化未知为已知的重要数学思想.体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决，激发学习数学的热情.3、重点、难点：结合以上目标，我在认真研究教材的基础上，立足学生发展的宗旨，确定了本节课的教学重难点.教学重点：知道什么是方程、一元一次方程，找相等关系列方程.教学难点：思维习惯的转变，分析数量关系，找相等关系。
跨越从算术思维到代数思维这道鸿沟
跨越从算术思维到代数思维这道鸿沟算术思维到代数思维的过渡绝非是一蹴可及的，无法在缺乏经验下直接灌输，必须经过长适当的、多元的、循环的学习过程，才能顺利的跨越这一道鸿沟。
跨越这一道鸿沟一方面要从具体的数字到抽象的代数符号数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用，此处的代数符号包含＝、×、+、…、□、甲、乙、x、y、…等等。
从字面上来看，「代数」带有「以符号代表数」的意味，然则教学上所要关心的是：学生为何需要有运用文字符号来代替数字的思维？这种将待求之数以代数（文字）符号之，至少会引出四个不同的功用：（一）改变解题思维动向。
亦即能对「待解的已定数」作运算：例：「某数加5得到8，求该数。
」以算术思维的方法求解时，无论解题思维是「因为某数加5得到8，所以某数是…」或「什么数加5得到8？3加5是8，所以某数是…」，都是以「某数」为解题焦点，所有的运作只能以它为中心。
而当它被文字符号暂代时（如：x+5＝8），焦点已经转移到这个方程式及其解法了。
（二）让解法跳脱题目所给的情境或数字，而聚焦在一般性的解题方法：这个功用对代数的一般性（抽象性）与结构性有直接的影响，因为当解题不会因为题目所给的数字不同而改变作法，其实已经在建立代数的一般性与结构性了。
（三）能保留对运算的程序或结构：例：「边长为2的正方形，得到其面积为4」。
但是得出4之后，就无法得知4究竟是2 、2×2、2+2，还是其它方式而来。
而符号的一个功用就是能保留这些程序或结构，这尤其在多项式、函数、乘法公式、代数论证…上，程序或结构的保留对概念的形式化有不可或缺的地位。
跨越这一道鸿沟另一方面要从特殊化到一般化（抽象化、去情境化）转变。
符号的使用只是进入代数思维的第一步，真正进入代数思维，凭借的是支撑在符号背后的代数想法，也就是一般化的想法。
2023-2024学年人教版七年级数学第三章3.1从算式到方程
3.1从算式到方程1.理解和掌握一元一次方程的定义.2.能判断一个数是否为方程的解.3.明确方程和等式的关系.4.理解和掌握等式的基本性质.5.能应用等式的基本性质解简单的一元一次方程.1.能根据问题的数量关系列方程.2.培养学生分析问题、解决问题的能力.1.体会一元一次方程作为从实际问题中抽象出的数学模型所带来的方便.2.感受数学源于生活,又应用于生活.【重点】1.能根据实际问题列简单的方程.2.能利用等式的基本性质解简单的一元一次方程.【难点】从应用题中找相等关系列方程.3.1.1一元一次方程1.初步学会寻找问题中的相等关系,列出方程,了解方程的概念.2.理解一元一次方程、方程的解的概念.3.掌握检验某个值是不是方程的解的方法.4.培养学生获取信息的能力.1.通过处理实际问题,让学生体验从算术方法到代数方法的一种进步.2.培养学生根据问题寻找相等关系,根据相等关系列出方程的能力.1.培养学生热爱数学、热爱生活的乐观人生态度.2.培养学生求实的态度和良好的学习习惯.【重点】1.了解一元一次方程及相关概念.2.寻找相等关系,列出方程.【难点】寻找问题中的相等关系,正确地列出方程.【教师准备】多媒体课件(1,2,3,4,5).【学生准备】复习小学学过的方程.导入一:一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h经过B地.A,B两地间的路程是多少?你会用算术方法解决这个问题吗?[设计意图]通过问题与生活情境的引入,激发学生的探究欲望与学习热情.导入二:变魔术好玩吗?那我们现在就来试一下:请同学们在练习本上写下一个数,不要说出来,按照老师说的继续做下去,将你刚才写出来的数乘2,再加上4,再除以2,再减去3.好了,现在将你的结果告诉我,我就能说出你开始的时候在练习本上写下的数,神奇吗?学习了本节课的内容之后,同学们一定就可以明白其中的奥秘了![设计意图]通过这个情境的设计,让学生感受到数学的神奇,从而激发学生的好奇心和求知欲,调节了课堂气氛.导入三:卡片显示,观察卡片上的式子,你能填上适当的数吗?卡片上式子分别为:3+□=8,○-2=7,5×?=1,△÷2=3,43=()6.学生先独立思考,然后同桌之间互相交流.[设计意图]由最简单的题目导入,消除学生的心理障碍,体现面向全体学生的课标意识,增加趣味性,调节课堂气氛.活动1:问题探究思路一【课件1】出示教材第78页问题,提出问题:【问题1】路程、时间、速度三者之间的关系如何?在匀速运动过程中,时间、速度、路程之间的关系是时间=路程速度.【问题2】用列表的方法找等量关系,如果设A,B两地间的路程为x km,请你完成下面的表格:路程/km速度/(km/h)时间/h客车卡车【问题3】请找出等量关系,列出方程.设A,B两地间的路程是x km根据客车比卡车早1 h经过B地,可得方程x60-x70=1.【教师说明】我们知道方程是含有未知数的等式.通过本章的学习,我们将能够从上述的方程解出未知数的值x=420,从而求出A,B两地间的路程是420 km.通常情况下,用x,y,z等字母表示未知数,法国数学家笛卡儿是最早这样做的人,我国古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知数.[知识拓展](1)方程中未知数的表示可以使用字母x,也可以使用其他一些字母,如y,z等.通常用字母a,b,c表示已知数.(2)方程中未知数可以有两个或两个以上,如x+y=12,2x-y=z+1等.(3)方程都是等式,但等式不一定是方程,如2+4=6.[设计意图]通过教师的引导和学生的讨论、交流,发现问题中的等量关系,培养学生分析问题、解决问题的能力.思路二1.定义方程,回顾举例.师:大家知道什么叫方程吗?生:含有未知数的等式叫做方程.师:你能举出一些方程的例子吗?学生举例,教师总结.【课件2】判断下列式子是不是方程.(1)1+2=3;(2)x+2>1;(3)1+2x=4; (4)x+y=2;(5)x2-1;(6)x2=x+2; (7) x+3-5; (8)x=8.2.根据题意列方程.【课件3】一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶,客车的行驶速度是70 km/h,卡车的行驶速度是60 km/h,客车比卡车早1 h 经过B地.A,B两地间的路程是多少?【师生活动】学生分组活动,讨论看能否用算术方法解,交流后考虑用方程如何解决,最后小组内同学交流.教师可以参与到学生中去,要关注学生解决问题的思路.在用算术法解时,是否遇到了麻烦?用方程可以轻松解决吗?让学生感受方程在解决实际问题时的优势.解:设A,B两地间的路程是x km,根据客车比卡车早1 h经过B地,可得方程x60-x70=1.【建议】在这一过程中,教师还应当注意培养学生的发散思维和创新能力,可以让他们进行小组间的交流,也可以根据题意画一个表格讨论,看一看各小组所列的方程是否一致,以开拓学生的思路,从而掌握更多的解题方法.【设计意图】通过对列方程解决问题的学习,使学生感受方程方法和算术方法之间的差异,为进一步学习方程做准备.活动2:归纳列方程的步骤思路一学生先说一说,然后教师归纳列方程解决实际问题的两个步骤:(1)用字母表示问题中的未知数(通常用x,y,z等字母表示);(2)根据问题中的相等关系,列出方程.【比较】比较列算式和列方程两种方式的特点,建议用小组讨论的方式进行,可以把学生分成两部分分别归纳两种方法的优缺点,也可以每个小组同时讨论两种方法的优缺点,然后向全班汇报.列算式:只用已知数表示计算程序,依据是问题中的数量关系;列方程:可用未知数表示相等关系,依据是问题中的等量关系.【思考】对于上面的问题,你还能列出其他方程吗?如果能,你依据的是哪个等量关系?可考虑按以下的顺序进行:(1)学生独立思考;(2)小组合作交流;(3)全班交流.【试一试】【课件4】小雨、小思的年龄和是25岁.小雨年龄的2倍比小思的年龄大8岁,小雨、小思的年龄各是几岁?如果设小雨的年龄为x岁,你能用不同的方法表示小思的年龄吗?在学生回答的基础上,教师加以引导:小思的年龄可以用两个不同的式子25-x和2x-8来表示,这说明许多实际问题中的数量关系可以用含字母的式子来表示,由于这两个不同的式子表示的是同一个量,因此我们又可以得到25-x=2x-8.这样就得到了一个方程.[设计意图]通过对问题解决方法的学习,进一步使学生感受列方程的一般步骤,即先找等量关系,再列方程.思路二【问题1】你能谈谈列方程过程中的思路和方法吗?你是怎样一步步列出方程的?学生讨论交流,然后回答.【问题2】算术法和方程法有什么不同?你能谈谈你的认识吗?两种方法的比较:从形式上看:算术法与方程法有什么不同的情况出现?从思路上看:刚才做题的想法有什么不同?(教师根据学生口述列表,便于比较)用方程解用算术方法解形式上:未知数用字母表示,参加列式;思路上:根据题意找出数量间的相等关系,列出含有未知数的等式形式上:未知数不参加列式;思路上:根据题中已知数和未知数间的关系,确定解答步骤,再列式计算【强调】在两个方面的区别中,未知数能不能参加列式决定了怎样分析,并且决定了列式的不同特点.学生讨论交流后回答时,教师不必苛求学生回答得很全面,只要学生能谈出一两点体会,教师都应当加以鼓励.[设计意图]通过对思路的归纳、总结,使学生感受列方程的一般过程和思路,体验列方程的过程,培养学生分析、解决问题的能力.活动3:学习一元一次方程的概念【课件5】(教材例1)根据下列问题,设未知数并列出方程:(1)用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形,正方形的边长是多少?(2)一台计算机已使用1700 h,预计每月再使用150 h,经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h?(3)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这个学校有多少学生?对于基础比较差的学生,教师可以做如下提示:(1)选择一个未知数,设为x.(2)对于这三个问题,分别考虑:用含x的式子表示正方形的周长;用含x的式子表示这台计算机x个月的使用时间;用含x的式子分别表示男生和女生的人数.(3)找到问题中的相等关系列出方程.让学生观察并讨论所列方程等号两边式子的关系,教师归纳:(1)方程等号两边表示的是同一个量;(2)左右两边表示的方法不同.简单地说:列方程就是用两种不同的方法表示同一个量.【问题1】以上各题,你能用两种不同的方法来表示另一个量,再列出方程吗?【师生活动】让学生小组讨论,然后分组汇报交流.解题过程略.[设计意图]通过学生的自主尝试,激发学生的学习热情和探究欲望,培养学生的创新能力和分析、解决问题的能力.【问题2】上述方程具有什么样的特点?【师生活动】在学生观察、讨论上述方程的基础上,教师进行归纳:各方程都只含有一个未知数,未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程.“一元”:一个未知数.“一次”:未知数的次数是1.[知识拓展]在判断一个方程是不是一元一次方程时,要注意:△必须含有一个未知数;△未知数的次数是1;△分母中不含有未知数.如果方程不是最简形式,先变形,化成最简形式后再判断.【问题3】你认为该怎样进行估算?【师生活动】可以采用“尝试——发现——归纳”的方法:让学生尝试后发现,要求出答案必须用一些具体的数值代入,看方程是否成立,最后教师进行归纳.可以用列表的方法进行尝试,也可以像下面那样按程序进行尝试.在此基础上给出概念:解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.求方程解的过程,叫做解方程.一般地,要检验某个值是不是方程的解,可以用这个值代替未知数代入方程,看方程左右两边是否相等.[知识拓展](1)判断一个数是不是方程的解,可把这个数代入方程的两边,若方程的两边相等,则该数是方程的解;反之,则不是方程的解.(2)方程的解与解方程是两个不同的概念,方程的解是一个结果,是具体的数值,而解方程是一个变形的过程.[设计意图]通过学生的讨论、交流与归纳,得出一元一次方程的概念,使学生感受列方程的过程,树立建模思想.思路二【课件5】教师出示教材例1.【师生活动】学生分组交流讨论完成,教师巡视,教师在这一过程中应当关注学生能否恰当地设未知数,能否根据题意正确找出等量关系列出方程,必要时教师可参与到小组当中,和学生一起探讨交流,也可以给学生适当的提示与点拨.师:像上边这样的方程,你能给它起一个名字吗?你是从哪个角度给它命名的?学生阅读教材,体验方程的命名方式,并说一说什么是一元一次方程.教师进一步提出问题:想一想,以上几个问题你是怎样列出方程的?可以把你的思路过程表示出来吗?【归纳】分析实际问题中的等量关系,利用其中的相等关系列出方程是用数学知识解决实际问题的一种方法.实际问题一元一次方程对于问题(1),我们已经列出方程,可以发现当x=6时,4x的值是24,这时方程4x=24的两边相等,则x=6叫做方程4x=24的解.师:解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.你能求出1700+150x= 2450的解吗?我们可以根据下面的流程图求解,给x一个值,代入方程,看一看方程两边是否相等,不相等再换一个试一试,依次进行下去,直到找到方程的解为止.【思考】这里是不是单纯盲目地去“碰”呢?师生讨论解决.[设计意图]通过对列方程的思路的进一步学习,使学生掌握列方程的一般步骤,培养学生分析、解决问题的能力,能够根据所列方程认识一元一次方程的有关概念.1.方程.准确把握方程的两个条件:一、必须含有未知数;二、必须是等式.两者缺一不可.2.一元一次方程.从三个方面理解一元一次方程的概念:一、一元一次方程首先属于整式方程,即方程两边不含分母,或虽含分母,但分母中不能有未知数.二、一元,即方程中只含有一个未知数,此未知数可以出现多次,但只能是同一未知数,同一个方程中不能出现两个不同的未知数.三、一次,未知数的次数是一次,指的是化为一般形式ax+b=0(a≠0)后,未知数的次数是一次.3.方程的解和解方程.这是两个不同的概念,方程的解是指使方程两边相等的未知数的值,具有名词性,而解方程是求方程解的过程,具有动词性.1.在下列式子:△2x -1;△2x +1=3x ;△|π-3|=π-3;△t +1=3中,等式有 ,方程有 .(填入式子的序号)解析:一元一次方程必须满足三个条件:(1)未知数的次数是1;(2)是整式方程;(3)只含有一个未知数.等式有△△△,方程有△△.答案:△△△ △△2.根据“x 的2倍与5的和比x 的12小10”可列方程为 . 解析:由题意列方程为2x +5=x2-10.故填2x +5=x2-10. 3.x =2是下列方程的解吗?(1)3x +(10-x )=20; (2)2x 2+6=7x.解析:把x =2代入上述方程,看等号左右两边是否相等. 解:(1)x =2不是3x +(10-x )=20的解. (2)x =2是方程2x 2+6=7x 的解.3.1.1 一元一次方程活动1:问题探究 方程的定义活动2:归纳列方程的步骤活动3:学习一元一次方程的概念 例1一元一次方程 一元一次方程的解一、教材作业 【必做题】教材第80页练习. 【选做题】教材第83页习题3.1第1,2,3题. 二、课后作业 【基础巩固】1.下列式子是方程的有 ( ) 35+24=59;3x -18>33;2x -5=0;2x +15=0.A .1个 B.2个 C.3个 D.4个2.小明准备为希望工程捐款,他现在有20元,以后每月打算存 10元,若设x 月后他能捐出100元,则下列方程中能正确计算出x 的是 ( ) A.10x +20=100 B.10x -20=100 C.20-10x =100D.20x+10=1003.小悦买书需用48元钱,付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张,设所用的1元纸币为x 张,根据题意,下面所列方程正确的是()A.x+5(12-x)=48B.x+5(x-12)=48C.x+12(x-5)=48D.5x+(12-x)=484.检验下列各小题后面括号里的数是不是它前面方程的解.(1)3y-1=2y+1(y=2;y=4);(2)3(x+1)=2x-1(x=2;x=-4).【能力提升】5.希望中学九年级(1)班共有学生49人,当该班少一名男生时,男生的人数恰好为女生人数的一半.设该班有男生x人,则下列方程中正确的是()A.2(x-1)+x=49B.2(x+1)+x=49C.x-1+2x=49D.x+1+2x=496.甲、乙两数的和为10,且甲数比乙数大2,求甲、乙两数,正确的方程是()A.设乙数为x,则(x+2)+x=10B.设乙数为x,则(x-2)+x=10C.设甲数为x,则(x+2)+x=10D.设甲数为x,则x-2=107.为创建园林城市,某城市将对城区主干道进行绿化,计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树,要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等.如果每隔6米栽1棵,则树苗缺22棵;如果每隔7米栽1棵,则树苗正好用完.设原有树苗x棵,则根据题意列出方程正确的是()A.6(x+22)=7(x-1)B.6(x+22-1)=7(x-1)C.6(x+22-1)=7xD.6(x+22)=7x【拓展探究】8.在初中数学中,我们学习了各种各样的方程.以下给出了6个方程,请你把属于一元方程的序号填入圈(1)中,属于一次方程的序号填入圈(2)中,既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圈的公共部分.△3x+5=9;△x2+4x+4=0;△2x+3y=5;△x2+y=0;△x-y+z=8;△xy=-1.【答案与解析】1.B(解析:35+24=59,是等式但不含未知数,所以不是方程;3x-18>33,含未知数但不是等式,所以+15=0都是含有未知数的等式,所以都是方程.故选B.)不是方程;2x-5=0与2x2.A(解析:由题意知x月存10x元,又现在有20元,因此可列方程10x+20=100.故选A.)3.A(解析:1元纸币为x 张,那么5元纸币为(12-x )张,所以x +5(12-x )=48.故选A .)4.解析:把每个方程后面的两个数分别代入原方程,如果左右两边相等,那么这个数就是方程的解,反之则不是.解:(1)把y =2代入原方程的左、右两边,左边=3×2-1=5,右边=2×2+1=5,左边=右边,所以y =2是方程3y -1=2y +1的解;把y =4代入原方程的左、右两边,左边=3×4-1=11,右边=2×4+1=9,左边≠右边,所以y =4不是方程3y -1=2y +1的解. (2)把x =2代入原方程的左、右两边,左边=3×(2+1)=9,右边=2×2-1=3,左边≠右边,所以x =2不是方程3(x +1)=2x -1的解;把x = - 4代入原方程的左、右两边,左边=3×(- 4+1)=- 9,右边=2×(- 4) -1=- 9,左边=右边,所以x =- 4是方程3(x +1)=2x -1的解.5.A(解析:由题意得女生有2(x -1)人,根据题意得2(x -1)+x =49.故选A .)6.A(解析:设乙数为x ,根据甲数比乙数大2,则甲数为x +2,根据题意得出(x +2)+x =10.故选A .)7.B(解析:根据首、尾两端均栽上树,每间隔6米栽一棵,则缺少22棵,可知这一段公路长为6(x +22-1);若每隔7米栽1棵,则树苗正好用完,可知这一段公路长又可以表示为7(x -1),根据公路的长度不变列出方程即可.)8.解析:一元方程指的是含有一个未知数的方程;一次方程指的是未知数的次数是1的方程;而一元一次方程指的是含有一个未知数,并且未知数的次数是1的方程.解:如图所示.这节课在设计上重点体现学生的自主探索.首先在引入时,问题设计体现出教师的教学活动是建立在学生认识发展水平和已有的知识经验的基础上,探究过程在对教材例题的处理上,让学生探索方程解法与算术解法的优劣,从而让学生在自主探索中进行比较,自己得出结论,较传统的教学活动而言,体现了学生的主体地位,着重于学生的探索活动,强调了学生的自我发现在方程的解的概念这部分的处理上的重要性.1.在教学的过程中,教师只局限于教材中的问题和例题,限制了学生的思维.2.对于一元一次方程的概念的分析和实际问题中的等量关系的确定,教师没有重点指导.3.在探索方程的解的过程中,没有让学生主动去探索尝试.教师要能灵活地运用教材,并加以创造.可以设计一些其他的应用问题,让学生寻找等量关系.一元一次方程的概念学生第一次接触到,可以让学生通过判断、辨析等手段加以强化.明确一元一次方程的“一元”和“一次”两个重要的特点.在探索方程解的时候,一定要让学生自己去想、小组合作去探究方程的解,教师一定要相信学生,给学生自主思考的空间和时间,让学生自己得到答案.练习(教材第80页)1.解:设沿跑道跑x 周可以跑3000 m,则400x =3000.2.解:设甲种铅笔买了x 支,则乙种铅笔买了(20-x )支,所以0.3x +0.6(20-x )=9.3.解:设上底为x cm,则下底为(x +2)cm,所以5(x+x+2)2=40,即5(2x+2)2=40.4.解:设小水杯的单价为x元,则大水杯的单价为(x+5)元,根据题意得10(x+5)=15x.下列各式中,是方程的为()A.3=5-2B.3+4xC.5a-6=3D.2x+3>4x-5〔解析〕本题考查方程的定义.A选项为一个等式,但等式中不含有未知数,故不是方程;B选项含有未知数,但不是一个等式,也不是方程;D选项含有未知数,但不是等式,故也不是方程.故选C.〔解题策略〕方程有两个条件:(1)式子中必须含有未知数;(2)式子必须是等式.检验0,1,2三个数是否为方程3(x+1)=2(2x+1)的解.〔解析〕判断一个数是不是原方程的解,必须用这个数替换方程中的未知数,并计算方程左、右两边的值是否相等.解:将x=2分别代入原方程左、右两边,左边=3×(2+1)=9,右边=2×(2×2+1)=10.左边≠右边,所以x=2不是原方程的解.将x=1分别代入原方程左、右两边,左边=3×(1+1)=6,右边=2×(2×1+1)=6.左边=右边,所以x=1是原方程的解.将x=0分别代入原方程左、右两边,左边=3×(0+1)=3,右边=2×(2×0+1)=2.左边≠右边,所以x=0不是原方程的解.〔解题策略〕使方程左、右两边相等的未知数的值称为方程的解.判断一个数是不是原方程的解,直接根据条件代入方程的两边进行计算即可.3.1.2等式的性质1.了解等式的两条性质.2.会用等式的性质解简单的一元一次方程.3.培养观察、分析、概括及逻辑思维能力.1.让学生经历知识的形成过程,培养学生自主探索和相互合作的能力.2.初步体验解方程的化归思想.1.感受数学与生活的联系,认识数学来源于生活,又应用于生活.2.激发学生浓厚的学习兴趣,使学生有独立思考、勇于创新的精神,养成按客观规律办事的良好习惯.【重点】理解和应用等式的性质.【难点】应用等式的性质解简单的一元一次方程.【教师准备】多媒体课件、天平、砝码、等质量木块若干.【学生准备】复习一元一次方程的定义,每小组准备天平、砝码、等质量木块若干.导入一:师:哪位同学能谈谈上节课我们学习了哪些内容?学生思考后回答.用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗?(1)3x-5=22;(2)0.23-0.13y=0.47y+1.第(1)题要求学生给出解答,第(2)题较复杂,估算比较困难,让学生进行简单尝试.师:通过估算的方法,我们可以求得方程的解,可是我们也看到,通过估算求解,需要通过多次尝试才能得到正确的答案,而且有的方程要利用这种方法求解很困难.有没有相对简单的方法,使我们可以获得方程的解呢?现在我们就来学习解方程.[设计意图]通过对上节课内容的回忆和教师提出的问题,引发学生的思考,激发学生的探究欲望,进而引出本节课的内容.导入二:小明和王力同学玩跷跷板,当他们位于跷跷板两端的时候,跷跷板恰好处于平衡的位置.这时,李强和小丽也来了,如果他们二人的体重相等,他们这时也分别坐到跷跷板两端,这时候是否仍然平衡?[设计意图]通过情境教学,让学生初步感受等式的性质,激发学生的学习兴趣,让学生产生求知欲望,从而进行下面的学习.活动1:等式的性质思路一1.实验演示.教师先提出实验的要求:请同学们仔细观察实验的过程,思考能否从中发现规律,再用自己的语言叙述你发现的规律,然后按如图所示的方法演示实验.(教师可以进行两次不同物体的实验,学生独立思考,小组交流,代表发言.)2.集体归纳.在学生叙述发现的规律后,教师进一步引导:等式就像平的天平,它具有与上面的事实同样的性质.比如“8=8”,我们在两边都加上6,就有“8+6=8+6”;两边都减去11,就有“8-11=8-11”.提出问题1:你能用文字来叙述等式的这个性质吗?等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.在学生回答的基础上,教师必须说明:等式两边加上的可以是同一个数,也可以是同一个式子.提出问题2:等式一般可以用a=b来表示,等式的性质1怎样用式子来表示?如果a=b,那么a±c=b±c.字母a,b,c可以表示具体的数,也可以表示一个式子.3.巩固性质1.(教材例2)利用等式的性质解方程:(1)x+7=26.〔解析〕所谓“解方程”,就是要求出方程:的解“x=?”.因此我们需要把方程转化为x=a(a 为常数)的形式.怎样才能把方程x+7=26转化为x=a的形式呢?解:方程两边减7,得:x+7-7=26-7,于是x=19.【思考1】如果x-2=3,那么x-2+2=3+2,依据是,即x=;【思考2】如果x+3=-10,那么x=;依据是;【思考3】如果-2x-9=-12,那么-2x=,依据是;【思考4】如果2m+n=p+2m,那么n=,依据.4.观察下列实验,你又能发现什么规律?你能用实验加以验证吗?在学生观察上图时,必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义,观察后再让学生用实验验证,然后让学生用两种语言表示等式的性质2.文字语言:等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.符号语言:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么ac =bc.(教材例2)利用等式的性质解方程:(2)-5x=20.解:方程两边同除以-5,得:-5x -5=20-5,于是x=-4.【思考1】如果3x=5,那么3x×(-2)=5×(-2),即-6x=;【思考2】如果-2x=6,那么x=;【思考3】已知x=3y,那么-5x=;【思考4】已知-13x=2,那么x=;。
3.1.1一元一次方程(第1课时)教学设计
一元一次方程（第一课时）教学过程教师活动学生活动设计意图及资源准备创设情境新课引入（约5分钟）针对买门票的问题设计了一个习题，让学生用算术的方法解答，遇到一定的难度。
例：。
若国庆期间，有16人一起来看灯展，已知票价如下表所示，他们看灯展共花去610元钱，那么这些人中外地人和本地人各有多少人？）再次欣赏玉溪2013大型灯会跟随老师一起思考灯会上买门票的实例。
用算术方法解题遇到一定的困难。
引导学生欣赏美好的事物，陶冶情操。
同时，也利用实际的问题，培养学生从生活中发现数学和应用数学解决实际问题的能力。
准备：搜集中秋灯会的照片、制作flash动画相册和编写习题。
复习旧知引出概念（约4分钟）在小学的时候我们已经见过下面这样的简单方程：(1)2x=50；(2)3x+1=4；(3)5x-7=8通过对上面三个方程的理解，进一步巩固方程的概念。
练习一：1.判断下列式子是不是方程,是的打”√”,不是的打”X”:(1)1+2=3 ( )(2)1+2x=4 ( )(3) x+1-3 ( )(4) 22=4 ( )(5) x+y=2 ( )(6) x2-1=0 ( )理解：含有未知数的等式叫做方程。
判断6个式子是否是方程。
使学生知道方程，为列方程做好准备。
学列方程做好铺垫（约4分钟）2. 根据下列条件，列出关于x的方程：(1) 15与x的和等于x的6倍。
(2) x的2倍比x的一半大3。
(3) x的2倍与15的差等于x与5的和。
自主与小组合作根据条件列出方程。
为进一步根据具体的问题列方程做好铺垫。
探索发现归纳概念（约9分钟）通过上面几道习题的讲解，引导学生观察以下方程的特点⑴ 4x=24；⑵ 1700+150x=2450；⑶ 0.52x－（1－0.52）x=80。
从而归纳出一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。
进而判断下列6个式子是否是一元一次方程:⑴ 2ｘ+2=3 ( )⑵ 1+2x2=4 ( )⑶ x+y=2 ( )⑷ x+1+3 ( )⑸03x1=- ( )⑹ 2ｂ =4 ( )在教师的引导下，找出各式运算的相同点，归纳一元一次方程的概念，并完成练习。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n＝2S2＝4n＝3S3＝8 S4＝12…第一讲从“算术”到“代数”【知识要点】代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。
代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。
这一类数学问题，早在古埃及的数学纸草书（约公元前1800年）中就有了启示，书中将未知数称为“堆，’（一堆东西），并以象形文字表示。
古巴比伦人也知道某些二次方程的解法，在汉穆拉比时代（公元前18世纪）的泥板中，就载有二次方程问题，甚至还有相当于三次方程的问题。
数学史家们曾为此发生过热烈争论：在什么意义下能把巴比伦数学看成代数？（引自百度百科）这一讲主要让同学们熟悉用字母表示数。
【例题精选】例1、下列每个形如四边形的图案，都是由若干个圆点按照一定规律组成的．当每条边上有n(n≥2)个圆点时(包括顶点)，图案的圆点数为S n．那么，按此规律，用含有n的式子表示S n为．从图形变化规律来看。
每个图案都可以看成一个大正方形里去掉一个小正方形。
()44222-=--=nnnS。
例2、计算：⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫⎝⎛++-⎪⎭⎫⎝⎛+++⎪⎭⎫⎝⎛+++1998131211999121119981211199913121例3、设n是自然数，定义n!=1⨯2⨯3⨯…⨯n，若m=1!+2!+3!+…+2001!+2002!,求m的末两位数字之和。
例4、已知两个三位数defabc，的和defabc+能被37整除。
证明六位数abcdef也能被37整除。
例5、如图，一个面积为50平方厘米的正方形与另一个小正方形并排放在一下起，求ABC ∆的面积。
【A 组题】 1、若的最大值是则，，ab b a 636 321≤≤≤≤( ) A 、21 B 、2 C 、12 D 、126 2、已知a ≠0，12S a =，212S S =，322S S =，…，201020092S S =，则2010S = (用含a 的代数式表示)．a s 12=，a s 23=，a s 14=，a s 25=……根据序数奇偶变化分别对应的值来确定结果：as 12010=。
3、将一个正整数n 输入一台机器内会产生出2)1(+n n 的个位数字．若给该机器输入初始数a ，将所产生的第一个数字记为1a ；再输入1a ，将所产生的第二个数字记为2a ；…；依次类推．现输入2=a ，则2010a 是（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．1经过计算发现：31=a ，62=a ，13=a ，14=a ……往后每一个数都等于1，出现了重复。
因此12010=a 。
4、给出一个“三角形”的数表如下：此表构成的规则是：第一行是0，1，2，…，999，以后下一行的数是上一行相邻两数的和。
问：第四行的数中能被999整除的数是什么？5、将一张长方形的纸对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折六次后，可以得到几条折痕？如果对折10次呢？对折n 次呢？【B 组题】6、将自然数排成如下的螺旋状：第一个拐弯处的数是2，第二个拐弯处的数是3，第20个及第25个拐弯处的数各是多少？7、在平面上有n 条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，这些直线能把平面分成几部分？8、比较大小：89012345667890123455,89012345677890123456==B A9、（2010贵州）四个电子宠物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号座位上（如图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后，再左右两列交换位置，第三次上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第2010次交换位置后，小兔子坐在几号位上：A ．1B ．2C ．3D ．4本题的原型是“华杯赛”中的一个题，这里作了简化。
问题的关键是抓住“兔子”的位置变化规律。
第一次交换后，兔子在“1”号位；第二次交换后，兔子在“2”号位；第三次交换后，兔子在“4”号位，第四次交换后，兔子在“3”号位……按照1-2-4-3的顺序循环。
而2010被4除余2，故等同于第二次交换后的结果，最后坐在“2”号位。
本题容易出现的错误是：把第一张图认为是第一次交换后的结果。
那么就可能出现寻找规律类题型中最容易出现的错误——结果中的序数和题目中的序数没有对齐。
10、（2010吉林）用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比一个图案中正三角形的个数多4个.则第n 个图案中正三角形的个数为_________（用含n 的代数式表示）.本题可按上题中提出的两种方法来思考。
最后第n 个图案中正三角形的个数为：24+n 。
请大家作一下尝试。
11、（2010云南大理）如图，已知矩形ABCD 的面积为1.A 1、B 1、C 1、D 1分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若四边形A 1B 1C 1D 1的面积为S 1，A 2、B 2、C 2、D 2分别为A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1、D 1A 1 的中点，四边形A 2B 2C 2D 2的面积记为S 2，…，依此类推，第n 个四边形A n B n C n D n 的面积记为S n ，则S n ＝ 。
由1121⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ，2221⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ，3321⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ，……可得出：nn S ⎪⎭⎫⎝⎛=21n 21=。
12、（2010辽宁）如图所示，观察下列图形 …第1个图形 第2个图形 第3个图形它们是按一定规律构造的，依照此规律，第100个图形中共有 个三角形.同样从图形和数字两个角度都可以解决这个题。
第n 个图形中共有（14-n ）个三角形。
第100个图形中共有399个三角形。
13、（2010青海） 将一些小圆点按如图所示的规律摆放，第1个图形中有6个小圆点，第2个图形中有10个小圆点，第3个图形中有16个小圆点，第4个图形中有24个小圆点，……，依次规律，第6个图形有 个小圆点，第n 个图形有 个小圆点．本题也是由两部分构造而成的。
第一部分为四个角落的四个点，这是不变的。
第二部分是中间部分的点。
不难看出第1个图形中间部分有1⨯2个点，第2个图形中间部分有2⨯3个点，……第n 个图形中间部分有n （n+1）个点。
故第6个图形有4+6⨯7=46个点，第n 个图形有4+ n （n+1）=42++n n 个点。
【C 组题】14、（2010河北）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ） A ．6 B ．5 C ．3 D ．2本题结合了对学生空间想象能力的考查。
事实上，由图已经可以得出各个相对面点数的对应关系，题中给出的条件已经降低了对学生的要求。
只需往后面排几次，就可以发现，骰子朝上一面的点数按照5-6-3-5-6-3的规律变化。
三次变换循环一次。
故十次变换等同于一次变换，最后的结果是5.15、*表示一种运算，它的含义是()()A y x xy y x +++=*111，已知3212=*，求20122011*。
图6-1 图6-216、满足不等式541010≤≤A 的整数A 的个数是1104+⨯x ，求x 的值17、假设地球是个标准球体,小明有一根足够长的绳子，长度比地球赤道的周长多100米,用它做成一个圆形绳套，套在地球赤道的外围，假设在各处绳子离地面的距离都是相同的，现在有蚂蚁、兔子、大象和长颈鹿，问那些动物能钻过去？18、观察·归纳·猜想 （1）观察下列算式：21 = 2，22 = 4，23 = 8，24 = 16，25 = 32，26 = 64，27 = 127，28 = 256，……利用你发现的规律，写出230的末位数（个数上的数字）是 。
（2）比较下面两列算式结果的大小（在横线上填“>”、“<”或“=”）42 + 32 2 × 4 × 332 + 22 2 × 3 × 222 + 12 2 × 2 × 1 12 + 02 2 × 1 × 0通过观察，写一个反映上述规律的式子： 。
（3）从2开始，连续的偶数相加，和的情况如下：2 = 2 = 1 × 22 + 4 = 6 = 2 ×3 2 +4 + 6 = 12 = 3 × 4 2 + 4 + 6 + 8 = 20 = 4 ×5 … 可推测，从2开始，连续10个偶数相加的和是 。
（4）观察下列各式： 12 + 1 = 2 = 1 × 222 + 2 = 6 = 2 × 332 + 3 = 12 = 3 × 442 + 4 = 20 = 4 × 5 … 猜想992 + 99 = 。
（5）比较（3）和（4）两小题，你又可发现规律，请根据你的发现写两个等式： ； 。
19、(1)证明：奇数的平方被8除余1．(2)请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．20、试比较n n n S 2164834221+++++=（n 为任意自然数）与2的大小.分析 关键是将n S 写成宜于与2比较的简单的式子（直接的计算几乎不可能）.现依次称n S 的各项分别为第1项，第2项，…，第n 项，对第k 项变形.2,222)2221()8544()4423()232(,"",22212)2()1(2211 n n n n n n k k k k S n n n S S k k k k k 自然有这时为正负两项裂中每一项都可以这说明+-=+-+++-+-+-=+-+=+-+=--。