利用向量方法求空间角

利用向量方法求空间角

导学目标：1•掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围2掌握异面直线所成

的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3•体会求空间角中的转化思想、

数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角.

课前准备里」回扣戟材夯宴基础______________________________________________

【自主梳理】

1.两条异面直线的夹角

（1）定义：设a, b是两条异面直线，在直线 a上任取一点作直线 a'// b，则a'与a的夹角叫做a与b的夹角.

（2）

范围：两异面直线夹角0的取值范围是 __________________________________________ .

（3）___________________________________________________________________________ 向量求法：设直线 a, b的方向向量为a, b,其夹角为購则有cos 0= ___________________________ =

2.直线与平面的夹角

（1）定义：直线和平面的夹角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角.

⑵范围：直线和平面夹角0 的取值范围是

（3）向量求法：设直线I的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为0, a与u的夹角为為则有sin 0= ____________ 或cos 0= sin ©

3.二面角

（1） _____________________________ 二面角的取值范围是.

（2）二面角的向量求法：

①若AB、CD分别是二面角a I—B的两个面内与棱I垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角（如图①）.

胖I

① ② ③

②设ni，n2分别是二面角 a— I —B的两个面 a B的法向量，则向量 m与匝的夹角（或其补角）的大小就是二面角的平面角的大小（如图②③）.

自我检测】

1.已知两平面的法向量分别为

m= （0,1,0），n = （0,1,1），则两平面所成的二面角为（

）

A. 45 °

B. 135 °

C. 45。或135 °

D. 90 °

2•若直线l1，I2的方向向量分别为a= （2,4，- 4），b= （-6,9,6），则（）

A . I1 / I2 B. I1 丄丨2

C. l1与12相交但不垂直

D.以上均不正确

3.若直线I的方向向量与平面a的法向量的夹角等于 120。，则直线I与平面a所成的

角等于（）

A . 120 ° B. 60 °

C. 30°

D.以上均错

4.（2011湛江月考）二面角的棱上有 A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平

面内，且都垂直于 AB.已知AB = 4，AC= 6，BD = 8, CD = 2,17,则该二面角的大小为（）

A. 150 °

B. 45 °

C. 60 °

D. 120 °

5.（2011铁岭模拟）已知直线 AB、CD是异面直线，AC丄CD , BD丄CD，且 AB = 2, CD = 1，则异面直线 AB与CD夹角的大小为（）

探究点一利用向量法求异面直线所成的角

［例 1 已知直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1,Z ACB = 90° CA = CB = C® , D 为 BQ i 的中点, 求异面直

线BD 和A i C 所成角的余弦值.

变式迁移1

如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD — A i B i C i D i 中，求异面直线BA i 和AC 所成的角.

探究点二

（20ii 新乡月考）如图，已知两个正方形 ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M , N

B . 45 C. 60 °

D . 75

例2】 分别为

AB,

若平面 ABCD 丄平面DCEF ，求直线 MN 与平面DCEF 所成角的正弦值.

变式迁移2

利用向量法求直线与平面所成的角 B

DF的中点.

如图所示，在几何体 ABCDE中，△ ABC是等腰直角三角形，/ ABC = 90° BE和CD 都垂直于平面 ABC, 且 BE = AB = 2, CD = 1 点F是AE的中点.求 AB与平面BDF所成角的正弦值.

探究点三利用向量法求二面角

［例 3 如图，ABCD 是直角梯形，/ BAD = 90° SA丄平面 ABCD , SA= BC= BA = 1 ,

1

AD = 2，求面SCD与面SBA所成角的余弦值大小.

变式迁移3

(2011沧州月考)如图，在三棱锥

/ BAC = 90° O 为 BC 中点.

(1)证明：SO丄平面ABC ;

⑵求二面角A—SC— B的余弦值.

探究点四 向量法的综合应用 【例4】

如图所示，在三棱锥 A — BCD 中，侧面ABD 、ACD 是全等的直角三角形， AD 是公共 的斜边，且 AD = 3, BD = CD = 1另一个侧面 ABC 是正三角形.

(1) 求证：AD 丄BC ;

(2) 求二面角B — AC — D 的余弦值；

(3) 在线段AC 上是否存在一点 E,使ED 与面BCD 成30。角？若存在，确定点E 的位置; 若不存在，说明理由.

变式迁移4 (2011山东)在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 为平行四边形, =90° EA 丄平面 ABCD , EF // AB, FG // BC, EG// AC, AB = 2EF.

(1)若M 是线段AD 的中点，求证：GM //平面ABFE ; ⑵若AC= BC= 2AE,求二面角 A — BF — C 的大小.

1.

求两异面直线a 、b 的夹角0,需求出它们的方向向量 a , b 的夹角，贝U cos 0= |cos

ACB