二自由度系统振动理论及应用

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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
并从式(３-１９)求出在此初始条件下的响应 上式还可以写成
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
因为连接两摆的弹簧刚度k 很小,因此两个固有频率很接近,可令ωn２ － ωn１ ＝Δω,ωn２＋ωn１＝ωa,则上式可写成
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用式(３-１６)求算以ω２０表达的固有频率,得
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
式(３-２６)中[ Z ] －１以ω２０表达时为
在此情况下, [ Z ] －１中所有各项的单位均为１/k,现令β＝k [ Z] －１,则[ β] 中各元素均为量纲为１的量,所讨论系统的响应由式(３-１６)给出
式(３-３０)意味着强迫振动共振时的振型就是相应的自由振动时的主振 型.
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
为了作出二自由度系统稳态振幅的响应谱,对问题的参数假定为具体值, 设图３-１２所示系统的参数为:m１＝２m,m２＝m,k１＝k２＝k,F１(t)＝F １sinωt,F２(t)＝０,并引进符号
振幅表达式为
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
简写为 位移响应为 由式(３-２５)解得
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
式(３-２７)还可以写成如下形式
由式(３-２８)可知,系统的响应主要和系统的固有频率与激振、频率有关 ,同时也和激振力的幅值有关.当激振频率ω 等于系统任一固有频率时,其 振幅理论上将为无穷大,即发生共振现象.二自由度系统存在两个共振频 率,其振幅比(振型)为
频率的平方. 应用代数中的二次公式求解方程(３-１５),得
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
就其物理性质而言,ω２n１、ω２n２必定是正的,另外b２－４ac 的展开式总 是正的,故ω２n１、ω２n２是两个实数根.现规定:若ωn１＜ωn２,则ω２n１ 称为第一阶固有频率,也称基频,ω２n２称为第二阶固有频率.显然,二自由 度系统共有两个固有频率,且固有频率同样取决于系统本身的物理性质 (mi,ki,i＝１,２).
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
式中, [ β ] 矩阵为放大因子矩阵.由式(３-２７)得:当F１ (t)＝F１sinωt,F２ (t)＝０时,强迫振动的振幅分别为
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
其放大因子分别为
图３-１３所示为二自由度无阻尼系统幅频特征曲线,其纵坐标值为β１１ 、β２１,横坐标值为ω/ω０.
式中
该方程的解应有以下形式
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３.３ 阻尼二自由度系统的振动
代入方程(３-３２)得: 为使A１ 和A２ 不为零,系数行列式必为零,即可得特征方程
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３.３ 阻尼二自由度系统的振动
当阻尼较小时,系统做自由衰减振动,方程有以下共轭复数根 式中,n１,n２ 为衰减系数;ωn１,ωn２为有阻尼时的固有频率. 通过式(３-３３)可求得振幅比.
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
分析式(３-２９)可知:当F１＝０和ω＝ωn１或ω＝ωn２时,此比值与式(３１７)所给的r１或r２ 第一种形式相同.反之,当F２＝０和ω＝ωn１或ω＝ωn ２时,此比值与式(３-１７)所给的r１ 或r２ 第二种形式相同.如果用－k２１ 去除式(３-２９)中的分子和分母,可得
３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
从式(３-１７)求出两个主振型为r１＝１,r２＝－１. 这两种振型如图３-８所示,图中的振幅是以右边的摆为参照点.在第一振
型中,摆以相同的方向和相同的振幅摆动,弹簧无变形.在第二振型中,它们 以相反方向和相等的振幅摆动,弹簧周期性地伸长和压缩. 如果用弹簧连接的摆不受重力场作用,则两个固有频率分别为
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３.３ 阻尼二自由度系统的振动
该方程的全解应包括自由衰减振动和强迫振动两部分.自由振动部分与上 一节完全相同,故这里只讨论稳态振动.如单自由度系统所述的一样,系统 的稳态响应一定是与激振同频率的,但由于系统存在阻尼,使响应和激振 之间落后一相角差,现设其稳态解为
它们的一阶、二阶导数分别为
当阻尼很大时,特征方程的根全为负的实数根,其解不是周期性振动,很快 就衰减为零.
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３.３ 阻尼二自由度系统的振动
３.３.２ 有阻尼二自由度系统的强迫振动
为了讨论方便,只假设在m１ 上作一简谐激振力F (t)＝F１sinωt,如图３１５所示.可得系统的运动方程为
写为矩阵形式
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３.１ 二自由度系统振动微分方程
振动系统中,所选的描述系统的广义坐标决定着方程是否存在耦合和存在 什么种类的耦合,不是由系统的本身性质决定.
即使是对同一个二自由度系统,也可以选取不同的独立坐标来描述它的运 动,从而得到不同的运动微分方程.值得注意的是,当采用不同的坐标时,运 动方程表现为不同的耦合方式,甚至表现为耦合的有无,以下通过一个例 子来说明这一问题.
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３.１ 二自由度系统振动微分方程
从例３ -１可以看出,将m１、m２ 连接在一起的弹性元件k２ 和阻尼元件c ２ 使系统的两个质量的振动相互影响,并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角 矩阵.一般来说,多自由度系统的运动微分方程中的质量矩阵、阻尼矩阵 和刚度矩阵都可能不是对角矩阵,这样微分方程存在耦合.如果质量矩阵 是非对称矩阵,称方程存在惯性耦合.如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩 阵都是对角矩阵,则系统的运动微分方程没有任何耦合,变为两个彼此独 立的单自由度方程,各个未知量可以单独求解.因此,如何消除方程的耦合 是求解多自由度系统运动微分方程的关键.从数学上讲,就是怎样使系统 的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一坐标系下同时成为对角矩阵.
第３章 二自由度系统振动理论及应用
1 ３.１ 二自由度系统振动微分方程 2 ３.２ 无阻尼二自由度系统的振动 3 ３.３ 阻尼二自由度系统的振动
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３.１ 二自由度系统振动微分方程
一个二自由度系统要用两个微分方程描述其运动,每一个运动微分方程分 别与每一个质量块对应,或者更准确地说与每一个自由度对应.图３-１所 示为二自由度系统,其中图３- １ (a)为双质量弹簧系统,表示在一定条件 下车辆的前部或后部,m１ 为车身,m２ 为车轿,k１ 为悬架刚度,而k２ 是轮 胎的刚度,两个独立坐标x１ 和x２ 可完全确定系统在空间的几何位置;图 ３-１ (b)虽然是单质量弹簧系统,但是它既有上下运动,还有绕质心c的转 动,因此需用x 和θ两个独立坐标来描述;图３-１ (c)是扭振系统,扭轴轴心 在纸面内,其扭转刚度分别为kt１和kt２,圆盘转动惯量分别为I１ 和I２,垂直 于扭轴轴线,两圆盘绕扭轴线做扭转振动,用θ１ 和θ２ 来描述,因此它也是 二自由度系统.
３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
３.２.３ 无阻尼二自由度系统的强迫振动
图３-１２所示为无阻尼二自由度强迫振动系统的力学模型,质量m１ 上 作用有激振力F１sinωt,质量m２ 上作用有激振力F２sinωt,根据牛顿第二 定律,其运动方程为
写成简洁的形式为
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
方程式(３.１０)为二阶常系数线性齐次微分方程组,设其一组解为 该组解意味着两个质量块均服从具有相同频率ωn 和相同相角φ 的同步
谐振,式中A１ 和A２ 分别为质量块m１ 和m２ 的振幅,现将该组解及其二 阶导数代入方程式(３-１０),并消去sin(ωnt＋φ)可得
式(３-２３)的解由齐次方程的通解(自由振动,见式(３-１８))与非齐次方 程的特解(即稳态振动)叠加而成.系统稳态振动的频率与激振频率ω 相同, 特解可取为
或简写为
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
式中,B１,B２ 为稳态振动振幅.将所设解代入式(３-２１),并消去sinωt,得 到下列代数方程
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３.３ 阻尼二自由度系统的振动
将x１、x２ 及它们的一阶、二阶导数代入运动微分方程,经简化后可得 为使式(３-４０)恒等,三角函数的系数必为零,可得以下方程
式中,A１(１)是m１ 的运动中由ωn１这个简谐运动产生的振幅;A２(１)是m ２ 的运动中由ωn１产生的振幅;同样A１(２)和A２(２)是分别在m１ 和m２ 的 运动中由ωn２这个简谐运动产生的振幅.r１称为第一振型或称第一主振型 ,r２ 称为第二振型或第二主振型.系统的固有圆频率由式(３-１６)按ωn１ ≪ωn２的方式给出,ωn１为第一振型的圆频率,ωn２为第二振型的圆频率.
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３.３ 阻尼二自由度系统的振动
可得方程(３-３２)的解为
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３.３ 阻尼二自由度系统的振动
将式(３.３４)代入式(３.３５),得到以下数学关系式 方程的解可改写为如下形式
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３.３ 阻尼二自由度系统的振动
在有阻尼情况下,振幅e－n１t＜e－n２t随时间而衰减,最终消失.当阻尼很小 时,有阻尼的衰减振动圆频率ωd１、ωd２与无阻尼固有频率ωn１、ωn２近 似相等,振幅比r１ 与r′１ ,r２ 与r′２也近似相等,方程的解可写成
３.２.２ 与自由振动有关的几种现象
图３-７所示为用弹簧连接的一对单摆,对于这个系统的自由振动,其运动 方程用矩阵形式表示为
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
质量矩阵中各项为 刚度矩阵包括重力影响系数的各项为 将上述各项代入式(３-１６),求得固有频率为
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
由此可见,由刚体运动组成该系统的第一振型,这种刚体振型固有频率为 零,其周期为无穷大.仅有正根的特征方程,称为正定的.若其中有一个或多 个零根,则称为半正定的.故具有一个或多个刚体振型的振动系统,有时称 为半正定系统.但如果连接两个摆的弹簧有很小的刚度,则该系统的两部 分是联系的.在此情况下,第二振型的频率,假如有如下的初始条件:当t＝ ０时,φ１０＝φ０,φ２０＝０,φ•１０＝φ•２０＝０,则可应用式(３-２０)算出
如果行列式K 不是负的,必然０＜√ b２－４ac＜b,将ω２n１、ω２n２代入 式(３-１３),可知:
不能求得振幅A１ 和A２ 的确定值,但可得对应于ω２n１和ω２n２的两个振 幅的比值,称为振幅比.振幅比决定了振动的振型.振幅比的表达式如下:
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
３.２.１ 无阻尼二自由度系统的自由振动
求系统的固有频率是研究自由振动的主要目的.系统的固有频率与系统的 自由度数是一致的,故二自由度系统有两个固有频率,求解系统的主振型 是研究二自由度系统自由振动的另一个目的,即系统的振动形式.
图３-５所示为无阻尼二自由度振动系统,取静平衡位置为坐标原点,用x１ 和x２ 两个独立坐标来描述系统的运动.对振动过程中任何一瞬时的m１ 和m２ 取分离体,应用牛顿运动定律,可得其运动方程,其用具体的矩阵形 式表示的微分方程为
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３.３ 阻尼二自由度系统的振动
３.３.１ 具有黏性阻尼二自由度系统的自由振动
图３-１４所示为有阻尼二自由度自由振动系统.根据分离体的受力情况, 对每一分离体应用牛顿运动定律,可得系统的运动方程为
由于该齐次方程出现了阻尼,所以方程的解要复杂得多,可写成矩阵形式
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３.３ 阻尼二自由度系统的振动
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
式中,{A}为振幅列阵. 将式(３-１２)写成展开形式
振幅向量不能全等于零,则式(３-１３)成立的条件是振幅向量列阵的系数 矩阵行列式应等于零,即
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３.２ 无阻尼二自由度系统的振动
方程(３-１４)称为特征方程,展开此行列式得 这个特征方程为ω２n 的二次方程,其根称为系统的特征值,即系统的固有