福建省泉州市永春县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
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7．D
【解析】
A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
三、解答题
17．计算：
18．分解因式
(1) ;
(2) .
19．先化简，再求值：
，其中 .
20．尺规作图：如图，已知 .
(1)作 的平分线；
(2)作边 的垂直平分线，垂足为 .
(要求：不写作法，保留作图痕迹)
21．光明社区为了调查居民对社区服务的满意度，随机抽取了社区部分居民进行问卷调查；用 表示“很满意”， 表示“满意”， 表示“比较满意”， 表示“不满意”，如图是根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图.
B．有一个角是 的三角形是等边三角形
C．两点之间线段最短
D．同位角相等
7．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠DB．AB=DCC．∠ACB=∠DBCD．AC=BD
8．若 ，则 ( )
A．2B．3C．4D．5
9．如图， 是 的角平分钱， ，垂足为 .若 ，则 的度数为( )
故选D．
8．C
【分析】
根据合并同类项的计算方法，首先将等号左边算式计算，将等号右边根据同底数幂相乘的运算法则变形成底数为2的式子，然后对比判断即可.
【详解】
解：∵ ， ，
∴n=4
故选C.
【点睛】
本题考查了合并同类项和同底数幂的乘法，解决本题的关键是熟练掌握合并同类项和同底数幂的乘法的运算法则.
9．B
福建省泉州市永春县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号Fra Baidu bibliotek___________
一、单选题
1．实数16的平方根是( )
A．4B．－4C．±4D．16
2．下列整式的运算中，正确的是( )
A． B．
C． D．
（2）如图：分别以B、C为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧分别交与点N、P，连接NP，NP所在的直线即为BC的垂直平分线，交BC与点E.
【点睛】
本题考查了尺规作图，角平分线和垂直平分线的作法，解决本题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的作法步骤,掌握正确的尺规作图方法.
21．(1)200人；(2) 的人数60人，补图见解析；(3) “不满意”的居民约500人.
试验次数100，“正面朝下”的频数48，根据事件发生的频率的定义，求得事件“正面朝下”的频率即可.
【详解】
解：“正面朝下”的频数是48，故频率为
【点睛】
本题考查了频率的定义，解决本题的关键是正确理解题意，数量掌握频率的定义以及用频数计算频率的方法.
4．B
【解析】
分析：由题意可知36与37最接近，即 与 最接近，从而得出答案．
详解：∵36＜37＜49，
∴ ＜ ＜ ，即6＜ ＜7，
∵37与36最接近，
∴与 最接近的是6．
故选B．
点睛：此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与 最接近，所以 =6最接近．
5．A
【分析】
根据因式分解的方法，直接提取公因式即可解决.
【详解】
解：
故选A
【点睛】
题考查了的知识点是对多项式进行因式分解，一般对多项式进行因式分解，能提公因式的要先提公因式，然后再通过公式法、分组分解法等方法继续因式分解，解决本题的关键找准公因式.
3．在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数48，则“正面朝下”的频率为( )
A．52B．48C．0. 52D．0. 48
4．与 最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．将多项式 因式分解正确的是( )
A． B． C． D．
6．下列命题中，属于真命题的是( )
A．直角三角形的两个锐角互补
【分析】
根据实数运算的法则对每一项进行计算求值即可.
【详解】
原式
【点睛】
本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟练掌握实数的运算法则.
18．(1) ；(2) .
【分析】
(1)根据平方差公式，因式分解即可；
(2)首先提取公因式然后利用完全平方公式进行因式分解即可.
【详解】
解：(1) = ；
(2)
【点睛】
CM=3，延长CD到E使ME=MC，此时PC=PE
连接BE交MN与点P此时 最短，且 =BE
在Rt△BCE,
所以BE=
故答案为
【点睛】
本题考查了特殊平行四边形动点问题，求线段最值，解决本题的关键是熟练掌握最短路径问题模型，根据题意找到切入点，能够正确运用勾股定理计算直角三角形中的边长问题.
17．22.
2．B
【解析】
【分析】
根据整式的运算的法则，同底数幂相乘法则，幂的乘方法则，积的乘方法则分别进行计算即可.
【详解】
解：
，故A错误；
，故B正确；
故C错误；
，故D错误.
故选B.
【点睛】
本题考查了整式的运算法则，解决本题的关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，将它们进行区别.
3．D
【分析】
②连结 ，求 的最小值.
参考答案
1．C
【解析】
分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
详解：∵（±4）2=16，∴实数16的平方根是±4．
故选C．
点睛：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【详解】
解：原式
将 代入求值原式= .
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，解决本题的关键是熟练掌握整式的运算法则.
20．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）根据尺规作图——角平分线的作法步骤进行作图即可；
（2）根据尺规作图——垂直平分线的作法步骤进行作图即可.
【详解】
（1）如图：以B点为圆心，以任意长为半径，作弧，交BA和BC与点F、D，以D、F为圆心，以大于 长为半径作弧交与一点M,连接BM，BM所在的直线即为∠B的角平分线.
12．6
【分析】
现将 进行因式分解，然后根据题目中给出的式子的值代入计算即可.
【详解】
解：
将 ， 代入，原式=6.
故答案为6.
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，解决本题的关键是正确理解题意，将 进行化简，以便代入计算求值.
13．同旁内角互补，两直线平行.
【分析】
如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这个命题就是另一个命题的逆命题，先找出原命题的条件和结论，根据逆命题定义写出逆命题即可；
①如图1，若点 在直线 上， ，求 的值.
②连结 ，直线A 直线 是否平行，为什么？
25．如图，正方形 的边长为8， 为 上一点， ， 为 边上的一个动点，分别以 为边在正方形 内部作等边三角形 和等边三角形 .
(1)证明： ；
(2)直线 与 交于点 ，点 在运动过程中.
① 的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；
本题考查的知识点是对多项式进行因式分解，一般对多项式进行因式分解，能提公因式的要先提公因式，然后再通过公式法、分组分解法等方法继续因式分解，解决本题的关键找准公因式，掌握完全平方公式和平方差公式.
19．x+4，3.5.
【分析】
根据整式的运算法则，即单项式乘多项式和多项式乘多项式去掉括号，然后合并同类项化成最简，将字母的值代入计算即可.
∵在正方形ABCD中，AD=2，E为CD中点
∴DE=CE=1，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE= ，
根据折叠的性质可知AG=AB=2，所以GE= -2，
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得 ，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得 ，
∴ ，
解得x= .
故答案为：
【点睛】
本题考查了折叠的性质、勾股定理和一元二次方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握勾股定理求直角三角形的边长问题.
A． B． C． D．
10．将4张长为 、宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 的正方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 .若 ，则 满足( )
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 .
二、填空题
11．计算： __________.
12．已知 ，且 ，则代数式 __________.
∴ 或
故选A
【点睛】
本题考查了用代数式表示图形面积和一元二次方程的解法，根据图形判断字母的关系，解决本题的关键正确理解题意，熟记三角形面积公式，利用a和b分别表示出m和n.
11．
【分析】
根据整式的运算法则，多项式除单项式等于多项式乘单项式的倒数，进行运算即可.
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查了多项式除单项式，解决本题的关键是熟练掌握整式的运算法则，除以一个数等于乘以一个数的倒数.
当7是腰时，三边为5,7,7且5+7＞7，所以等腰三角形周长是19；
所以等腰三角形周长是17或19．
15．
【分析】
根据勾股定理算出AE的长度，设BF为x，分别将FG、CF用x表示出来，根据折叠的性质，在Rt△GEF和Rt△FCE中利用勾股定理将 表示出来，然后计算结果即可.
【详解】
解：设BF为x，根据题意知，FG为x，CF为2-x，
【详解】
解：逆命题为：同旁内角互补，两直线平行.
故答案为：同旁内角互补，两直线平行.
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，掌握命题与定理是解题的关键.
14．17或19
【分析】
分腰长为6和7两种情况，再结合三角形的三边关系进行验证，再求其周长即可．
【详解】
分两种情况讨论：
当5是腰时，三边为5,5,7，且5+5＞7所以等腰三角形周长是17；
6．C
【分析】
根据真命题的意义对每一项进行判断即可.
【详解】
A．直角三角形的两个锐角互余,不是互补的关系，故A错误；
B.有一个角是 的三角形不一定是等边三角形，故B错误；
C.两点之间线段最短，是基本事实属于真命题，故C正确；
D.同位角不一定相等,在平行线中同位角相等，故D错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了真命题的意义，解决本题的关键是正确理解每一个选项的内容，熟练掌握真命题的意义.
13．写出命题“两直线平行,同旁内角互补.”的逆命题________。
14．等腰三角形两边长分别为5和7,则这个等腰三角形周长是．
15．如图，在正方形纸片 中， 是 的中点，将正方形纸片折叠，点 落在线段 上的点 处，折痕为 .若 ，则 的长为__________.
16．如图， 是长方形 内部的动点， ， 的面积等于9，则点 到 两点距离之和 的最小值为__________.
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选B.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握角平分线的性质，能够由垂直平分线得到DC=ED.
10．C
【分析】
先用a、b的代数式表示出m和n，然后利用m-3n=0，化简计算得出m和n的关系即可.
【详解】
∵ ，
∴ ，化简后的： ，即
请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
(1)本次问卷调查共调查了多少个居民？
(2)求出调查结果为 的人数，并将直方图中 部分的图形补充完整；
(3)如果该社区有居民5000人，请你估计对社区服务感到“不满意”的居民约有多少人？
22．求证：角平分线上的点到角两边的距离相等.
已知： 是 平分线上的点，过 作 ，垂足分别为 .
16．
【分析】
根据三角形的面积，计算出三角形BPC的高，由此得出P点的运动轨迹是平行于BC的线段MN上，找到C点关于MN的对称点E，连接BE，BE的长度即为 ，此时线段最短.
【详解】
解：∵ 的面积等于9,BC=6，
∴PE=9×2÷6=3，
即△BPC得高为3，
P点在长方形 内部且平行于BC的线段MN上，
求证： .
证明：
23．如图，在 中， .
(1)求 的长；
(2)点 从点 出发，在线段 上以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，连结 .设点 运动的时间为 秒，当 为何值时， 为等腰三角形.
24．在 中， 垂足为 .
(1)填空： _________°；
(2) 是线段 上的动点，连结 ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 ，点 的对应点是点 ，连接 ，得到 .
【分析】
根据角平分线的性质得出∠CAD和∠BAD的度数，根据CE垂直AD得出∠ACF和∠AEF的度数，根据垂直平分线的性质推出DC=DE，得出∠AED，然后利用三角形外角，求出∠BDE的度数.
【详解】
解：∵AD是 的角平分钱， ，
∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=15°，
∵∠AFC=∠AFE=90°，
【分析】
（1）根据B项直方图中的数值除以扇形统计图中所占的百分数即可求出调查的总人数；
【解析】
A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
三、解答题
17．计算：
18．分解因式
(1) ;
(2) .
19．先化简，再求值：
，其中 .
20．尺规作图：如图，已知 .
(1)作 的平分线；
(2)作边 的垂直平分线，垂足为 .
(要求：不写作法，保留作图痕迹)
21．光明社区为了调查居民对社区服务的满意度，随机抽取了社区部分居民进行问卷调查；用 表示“很满意”， 表示“满意”， 表示“比较满意”， 表示“不满意”，如图是根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图.
B．有一个角是 的三角形是等边三角形
C．两点之间线段最短
D．同位角相等
7．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A=∠DB．AB=DCC．∠ACB=∠DBCD．AC=BD
8．若 ，则 ( )
A．2B．3C．4D．5
9．如图， 是 的角平分钱， ，垂足为 .若 ，则 的度数为( )
故选D．
8．C
【分析】
根据合并同类项的计算方法，首先将等号左边算式计算，将等号右边根据同底数幂相乘的运算法则变形成底数为2的式子，然后对比判断即可.
【详解】
解：∵ ， ，
∴n=4
故选C.
【点睛】
本题考查了合并同类项和同底数幂的乘法，解决本题的关键是熟练掌握合并同类项和同底数幂的乘法的运算法则.
9．B
福建省泉州市永春县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号Fra Baidu bibliotek___________
一、单选题
1．实数16的平方根是( )
A．4B．－4C．±4D．16
2．下列整式的运算中，正确的是( )
A． B．
C． D．
（2）如图：分别以B、C为圆心，以大于 长为半径作弧，两弧分别交与点N、P，连接NP，NP所在的直线即为BC的垂直平分线，交BC与点E.
【点睛】
本题考查了尺规作图，角平分线和垂直平分线的作法，解决本题的关键是熟练掌握角平分线和垂直平分线的作法步骤,掌握正确的尺规作图方法.
21．(1)200人；(2) 的人数60人，补图见解析；(3) “不满意”的居民约500人.
试验次数100，“正面朝下”的频数48，根据事件发生的频率的定义，求得事件“正面朝下”的频率即可.
【详解】
解：“正面朝下”的频数是48，故频率为
【点睛】
本题考查了频率的定义，解决本题的关键是正确理解题意，数量掌握频率的定义以及用频数计算频率的方法.
4．B
【解析】
分析：由题意可知36与37最接近，即 与 最接近，从而得出答案．
详解：∵36＜37＜49，
∴ ＜ ＜ ，即6＜ ＜7，
∵37与36最接近，
∴与 最接近的是6．
故选B．
点睛：此题主要考查了无理数的估算能力，关键是整数与 最接近，所以 =6最接近．
5．A
【分析】
根据因式分解的方法，直接提取公因式即可解决.
【详解】
解：
故选A
【点睛】
题考查了的知识点是对多项式进行因式分解，一般对多项式进行因式分解，能提公因式的要先提公因式，然后再通过公式法、分组分解法等方法继续因式分解，解决本题的关键找准公因式.
3．在投掷一枚硬币100次的试验中，“正面朝下”的频数48，则“正面朝下”的频率为( )
A．52B．48C．0. 52D．0. 48
4．与 最接近的整数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
5．将多项式 因式分解正确的是( )
A． B． C． D．
6．下列命题中，属于真命题的是( )
A．直角三角形的两个锐角互补
【分析】
根据实数运算的法则对每一项进行计算求值即可.
【详解】
原式
【点睛】
本题考查了实数的运算，解决本题的关键是熟练掌握实数的运算法则.
18．(1) ；(2) .
【分析】
(1)根据平方差公式，因式分解即可；
(2)首先提取公因式然后利用完全平方公式进行因式分解即可.
【详解】
解：(1) = ；
(2)
【点睛】
CM=3，延长CD到E使ME=MC，此时PC=PE
连接BE交MN与点P此时 最短，且 =BE
在Rt△BCE,
所以BE=
故答案为
【点睛】
本题考查了特殊平行四边形动点问题，求线段最值，解决本题的关键是熟练掌握最短路径问题模型，根据题意找到切入点，能够正确运用勾股定理计算直角三角形中的边长问题.
17．22.
2．B
【解析】
【分析】
根据整式的运算的法则，同底数幂相乘法则，幂的乘方法则，积的乘方法则分别进行计算即可.
【详解】
解：
，故A错误；
，故B正确；
故C错误；
，故D错误.
故选B.
【点睛】
本题考查了整式的运算法则，解决本题的关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则，将它们进行区别.
3．D
【分析】
②连结 ，求 的最小值.
参考答案
1．C
【解析】
分析：根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
详解：∵（±4）2=16，∴实数16的平方根是±4．
故选C．
点睛：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【详解】
解：原式
将 代入求值原式= .
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，解决本题的关键是熟练掌握整式的运算法则.
20．（1）详见解析；（2）详见解析.
【分析】
（1）根据尺规作图——角平分线的作法步骤进行作图即可；
（2）根据尺规作图——垂直平分线的作法步骤进行作图即可.
【详解】
（1）如图：以B点为圆心，以任意长为半径，作弧，交BA和BC与点F、D，以D、F为圆心，以大于 长为半径作弧交与一点M,连接BM，BM所在的直线即为∠B的角平分线.
12．6
【分析】
现将 进行因式分解，然后根据题目中给出的式子的值代入计算即可.
【详解】
解：
将 ， 代入，原式=6.
故答案为6.
【点睛】
本题考查了整式的化简求值，解决本题的关键是正确理解题意，将 进行化简，以便代入计算求值.
13．同旁内角互补，两直线平行.
【分析】
如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这个命题就是另一个命题的逆命题，先找出原命题的条件和结论，根据逆命题定义写出逆命题即可；
①如图1，若点 在直线 上， ，求 的值.
②连结 ，直线A 直线 是否平行，为什么？
25．如图，正方形 的边长为8， 为 上一点， ， 为 边上的一个动点，分别以 为边在正方形 内部作等边三角形 和等边三角形 .
(1)证明： ；
(2)直线 与 交于点 ，点 在运动过程中.
① 的度数是否发生改变？若不变，求出这个角的度数；若改变，说明理由；
本题考查的知识点是对多项式进行因式分解，一般对多项式进行因式分解，能提公因式的要先提公因式，然后再通过公式法、分组分解法等方法继续因式分解，解决本题的关键找准公因式，掌握完全平方公式和平方差公式.
19．x+4，3.5.
【分析】
根据整式的运算法则，即单项式乘多项式和多项式乘多项式去掉括号，然后合并同类项化成最简，将字母的值代入计算即可.
∵在正方形ABCD中，AD=2，E为CD中点
∴DE=CE=1，在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE= ，
根据折叠的性质可知AG=AB=2，所以GE= -2，
在Rt△GEF中，利用勾股定理可得 ，
在Rt△FCE中，利用勾股定理可得 ，
∴ ，
解得x= .
故答案为：
【点睛】
本题考查了折叠的性质、勾股定理和一元二次方程的应用，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握勾股定理求直角三角形的边长问题.
A． B． C． D．
10．将4张长为 、宽为 的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为 的正方形，图中空白部分的面积为 ，阴影部分的面积为 .若 ，则 满足( )
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或 .
二、填空题
11．计算： __________.
12．已知 ，且 ，则代数式 __________.
∴ 或
故选A
【点睛】
本题考查了用代数式表示图形面积和一元二次方程的解法，根据图形判断字母的关系，解决本题的关键正确理解题意，熟记三角形面积公式，利用a和b分别表示出m和n.
11．
【分析】
根据整式的运算法则，多项式除单项式等于多项式乘单项式的倒数，进行运算即可.
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查了多项式除单项式，解决本题的关键是熟练掌握整式的运算法则，除以一个数等于乘以一个数的倒数.
当7是腰时，三边为5,7,7且5+7＞7，所以等腰三角形周长是19；
所以等腰三角形周长是17或19．
15．
【分析】
根据勾股定理算出AE的长度，设BF为x，分别将FG、CF用x表示出来，根据折叠的性质，在Rt△GEF和Rt△FCE中利用勾股定理将 表示出来，然后计算结果即可.
【详解】
解：设BF为x，根据题意知，FG为x，CF为2-x，
【详解】
解：逆命题为：同旁内角互补，两直线平行.
故答案为：同旁内角互补，两直线平行.
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，掌握命题与定理是解题的关键.
14．17或19
【分析】
分腰长为6和7两种情况，再结合三角形的三边关系进行验证，再求其周长即可．
【详解】
分两种情况讨论：
当5是腰时，三边为5,5,7，且5+5＞7所以等腰三角形周长是17；
6．C
【分析】
根据真命题的意义对每一项进行判断即可.
【详解】
A．直角三角形的两个锐角互余,不是互补的关系，故A错误；
B.有一个角是 的三角形不一定是等边三角形，故B错误；
C.两点之间线段最短，是基本事实属于真命题，故C正确；
D.同位角不一定相等,在平行线中同位角相等，故D错误.
故选C.
【点睛】
本题考查了真命题的意义，解决本题的关键是正确理解每一个选项的内容，熟练掌握真命题的意义.
13．写出命题“两直线平行,同旁内角互补.”的逆命题________。
14．等腰三角形两边长分别为5和7,则这个等腰三角形周长是．
15．如图，在正方形纸片 中， 是 的中点，将正方形纸片折叠，点 落在线段 上的点 处，折痕为 .若 ，则 的长为__________.
16．如图， 是长方形 内部的动点， ， 的面积等于9，则点 到 两点距离之和 的最小值为__________.
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故选B.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握角平分线的性质，能够由垂直平分线得到DC=ED.
10．C
【分析】
先用a、b的代数式表示出m和n，然后利用m-3n=0，化简计算得出m和n的关系即可.
【详解】
∵ ，
∴ ，化简后的： ，即
请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
(1)本次问卷调查共调查了多少个居民？
(2)求出调查结果为 的人数，并将直方图中 部分的图形补充完整；
(3)如果该社区有居民5000人，请你估计对社区服务感到“不满意”的居民约有多少人？
22．求证：角平分线上的点到角两边的距离相等.
已知： 是 平分线上的点，过 作 ，垂足分别为 .
16．
【分析】
根据三角形的面积，计算出三角形BPC的高，由此得出P点的运动轨迹是平行于BC的线段MN上，找到C点关于MN的对称点E，连接BE，BE的长度即为 ，此时线段最短.
【详解】
解：∵ 的面积等于9,BC=6，
∴PE=9×2÷6=3，
即△BPC得高为3，
P点在长方形 内部且平行于BC的线段MN上，
求证： .
证明：
23．如图，在 中， .
(1)求 的长；
(2)点 从点 出发，在线段 上以每秒1个单位长度的速度向终点 运动，连结 .设点 运动的时间为 秒，当 为何值时， 为等腰三角形.
24．在 中， 垂足为 .
(1)填空： _________°；
(2) 是线段 上的动点，连结 ，将线段 绕点 按顺时针方向旋转 ，点 的对应点是点 ，连接 ，得到 .
【分析】
根据角平分线的性质得出∠CAD和∠BAD的度数，根据CE垂直AD得出∠ACF和∠AEF的度数，根据垂直平分线的性质推出DC=DE，得出∠AED，然后利用三角形外角，求出∠BDE的度数.
【详解】
解：∵AD是 的角平分钱， ，
∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=15°，
∵∠AFC=∠AFE=90°，
【分析】
（1）根据B项直方图中的数值除以扇形统计图中所占的百分数即可求出调查的总人数；