分形图形与混沌图案的应用_胡多能
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采用两个 (FIFO) 队列 filled 和 unfilled 来实现指定区域的 填 充 。首 先 找 出 区 域 中 心 ，作 为 填 充 中 心 点 ，并 赋 予 图 案 上 相 应点 RGB 值，将该点存入 filled 队列；之后判断其周围点是否 在 filled 队列中——在，说明该点已被填充；若不在，再判断是
y=f ( 1)+f' ( 1)( 1)
收稿日期：2006-07-02 E-mail：huzhanmail@126.com 作者简介：胡多能 (1980－)，男，安徽宣城人，硕士研究生，研究方向为计算机图形学及其应用； 王京 (1965－)，女，山西太原人，硕士，副 教授，研究方向为计算机图形学及其应用； 张瑞秋 (1972－)，男，河南鲁山人，硕士，讲师，研究方向为计算机图形学及其应用； 何沛然 (1978－)，男，广东广州人，硕士，工程师，研究方向为机械及图学应用。
第 28 卷 第 4 期 Vol. 28 No. 4
计算机工程与设计
Computer Engineering and Design
2007 年 2 月 Feb. 2007
分形图形与混沌图案的应用
胡多能 1， 王 京 1， 张瑞秋 1， 何沛然 2 (1. 华南理工大学 机械工程学院，广东 广州 510641；2. 胜美达公司，广东 广州 510630)
描述 用户名 用户名 ID 是否可以创建数据库 是否是超级用户 用户密码 口令失效时间 运行时配置会话的会话缺省
查 看 、更 新 、删 除 自 己 的 数 据 。使 每 一 个 用 户 只 能 访 问 和 操 作 属于自己的数据。下面以动态视图 dynamicview 为例介绍一 下具体的实现 。 [5]
摘 要：对分形与混沌 的应用进行了研 究，给出了分形曲 线— — (1~5 次) 封闭 Koch 曲线 的生成结果，并讨 论了利用牛顿 法解 方程 及其混沌情况生 成图案的方法 。以封闭 Koch 曲线和 牛顿法解方程及 其混沌情况图 案为研究对象，把 分形几何图形 和牛 顿法 解方程之混沌情 况图案相结合 ，实现了对 封闭 Koch 曲线区域的 填充；为分 形和混沌理论 在艺术领域的应 用，做出 了初 步的 尝试，研究表明 分形与混沌可以 被运用于艺术上 。 关键 词：分形; 混沌 ; 图形; 图案; 科荷曲线; 牛顿 法解方程 中图 法分类号：TP391.41 文献标识码：A 文章编号：1000-7024 (2007) 04-0893-02
图 4 程序运行结果 (下转第 989 页)
－ 894 －
表 1 系统表 pg_user
字段名 user_name usesysid usecreatedb usesuper
passwd valuntil useconfig
类型 Name Integer Boolean Boolean Text Abstime Text[]
0引 言
非 线 性 科 学 的 两 大 主 体 是 分 形 和 混 沌 。分 形 描 述 那 些 表 面 看 上 去 杂 乱 无 章 、变 幻 莫 测 而 实 质 上 潜 在 有 某 种 内 在 规 律 性 的 几 何 图 形 或 形 状 。混 沌 是 发 生 在 确 定 性 系 统 中 伪 随 机 的 现 象 ，它 是 一 种 动 态 系 统 的 运 动 ，它 通 常 具 有 初 值 放 大 效 应 、 奇 怪 吸 引 性 、不 可 线 性 迭 加 、非 周 期 性 、结 构 自 相 似 及 分 形 几 何特征。分形和混沌已经进入自然和社会科学的诸多领域， 有 广 泛 应 用 ，并 不 断 形 成 新 学 科 或 新 研 究 领 域[1]。
混 沌 与 分 形 联 系 密 切 ，其 研 究 内 容 从 本 质 上 讲 存 在 极 大 的相似性，若两者结合起来，应用于生活中，可达到更加美妙的 效果。本文主要以封闭 Koch 曲线区域为研究对象，用牛顿法 解方程之混沌情况图案为素材，对研究区域进行填充的方法。
1 封闭 Koch 曲线的生成
冯.科荷于 1904 年通过初等方法构造了如今被称为冯.科 荷曲线。
将 Koch 曲线首尾相连即生成封闭 Koch 曲线 。 [2] 以下给 出(1~5 次)封闭 Koch 曲线的生成结果(如图 1 所示)。
（1 次） （2 次）
（3 次）
（4 次）
（5 次）
图 1 封闭 Koch 曲线 (科荷岛)
2 牛顿 法解方 程之 混沌 情况图 案 [3] 的生 成原理
求代数方程 f ( )=0 的精确解是很难的事情，特别当 f ( ) 是高于 5 次的多项式时，不能通过多项式系数的有限次运算 得 到 根 的 表 达 式 。在 这 种 情 况 下 求 方 程 的 近 似 解 却 是 可 以 的 ， 牛顿法就是一种比较好的逐次逼近法 (相应对方程的收敛性 进行讨论，限于篇幅，这里不再展开)。首先猜测一个值 1，用 它近似方程的根 ，用过( 1, 1 )点的切线
否在 unfilled(是否已经到达区域边界)，判断结果为否，此方向 停止填充；判断结果是真，则将它们赋予相应 RGB 值；以此规 律 向 外 扩 展 ，实 现 图 案 填 充 。
流程图如图 3 所示。
中心点
中心点赋值；存入 filled 队列
Y 周围点判断：在 filled 中
N 在 unfilled 中
2. Shenmeida Limted Company, Guangzhou 510630, China)
Abstract：The application of fractal and chaos is reseanhed. Fractal curve-the (1~5) closed Koch curve's generated results are given. The Newton's solving equation is discussed while the Chaos situation, and pictorial methods are generated. The closed Koch curve and the Newton's solving equation while the Chaos for the study, fractal graphics, and the Newton's solving equation while the Chaos situation of image, had been combined for applying. The closed Koch curve was filled with the Newton's solving equation whiles the Chaos situation of image. An initial attempt to apply fractal and chaos in art's areas was made. It is indicated that fractal and chaos can be used in art's areas. Key words：fractal; chaos; graphic; image; Koch curve; Newton's solving equation
= n+1
1 /1
n+1
n
对于 3 1=0，有 3 个根：1=1，2= 1+sqrt 3 i /2，3= 1
sqrt 3 i /2。
3 个根均匀地分布在单位圆上。这 3 个根周围构成 3 个
“吸引盆”，初始点迅速被吸引到盆内，最后停止在 3 点之一。
用计算机迭代，以当前点到 3 个终点的距离远近为标准，标上
－ 893 －
近似代替曲线 f ( )，然后用切线方程 y=f ( 1)+f' ( 1)( 1)=0 的根
= 2= 1 f 1 /f 1 近似代替曲线方程的根 ，这样就得到 的第 2 个近似值。 依此类推可得到迭代公式
= +1 f /f 在复平面上选定一个区域，对于任意初始点 (除去 (0,0) 点)，讨论它在牛顿法迭代过程中的行为。一般选f = 1，其 中 是大于 2 的正整数。 这 样 ，迭 代 公 式 还 可 以 改 写 为
Public Sub IsBound(P As Long, Bound As Boolean) '判断像 素点 P 是否为边界点
Bound = False Red = P& Mod 256 '提取 RGB 的 R 值 Green = ((P& And &HFF00) / 256&) Mod 256& '提取 RGB 中的 G 值 Blue = (P& And &HFF0000) / 65536 '提取 RGB 中的 B 值 If Red = 255 And Green = 255 And Blue = 0 Then '本程序 生成曲线为黄色
本文使用的填充素材就是牛顿法求解方程 z^n=0 和 Z*(1+ Z^A)/(1 Z^A)=R 的根时的混沌图像(如图 2 所示)。
图 2 牛顿法解方程之混沌情况图案例
3 填充的实现
区域填充是指先将区域内的一个像素点 (一般称为种子 点 ) 赋 予 给 定 的 颜 色 和 辉 亮 ，然 后 将 该 颜 色 扩 展 到 整 个 区 域 内 的过程。
ห้องสมุดไป่ตู้
不 同 的 颜 色 ，就 能 得 到 美 丽 的 分 形 图 。
对复方程 f ( )=0，f ( )为复多项式函数，设函数 g ( )= f ( )/ ( )，其中 ( )为函数 f ( )的导函数。则函数 g ( )就是复多 项式方程求解的牛顿迭代公式。对于选定的起始点，g ( )迭代 大多都会收敛于多项式 f ( )=0 的某个根，但也可能存在许多 点，使 g ( )迭代根本就不会收敛，甚至可能出现混沌的状态。
Application of fractal graphics and chaos image
HU Duo-neng1, WANG Jing1, ZHANG Rui-qiu1, HE Pei-ran2 (1. College of Mechanical Engineering, South China University Technology, Guangzhou 510641, China;
Y 相关点赋值；存入 filled 队列
N 结束
图 3 程序流程
3.2 边 界 限 制 方 法 本研究主要是通过判断拾取的像素点 RGB 值来确定是
否 到 达 边 界 点 。进 行 图 案 填 充 时 ，填 充 区 域 的 边 界 已 经 确 定 ， 其边界点 RGB 值可以容易获取；再者，填充是由中心向外围 扩展进行，这就避免了因已填充的像素点的 RGB 值与边界点 RGB 值相同，而导致了提前结束填充的现象。以下是实现边 界限制的主要程序代码：
Bound = True End If End Sub
4 程序运行结果
本程序设计过程中，为产生大量的精美图案，共设置了 3 个供求解方程，32 种着色规律方案 。 [3] 各个方案的起始 RGB 值 均 由 系 统 随 机 生 成 ，保 证 了 同 一 方 案 在 不 同 时 刻 运 行 可 产 生不同的效果。以下(如图 4 所示)程序运行结果为(方程 1+着 色方案 7)的 1 次和 3 次科荷岛情况 (限于篇幅，这里没有给出 更 多 的 运 行 结 果 )。
本 研 究 中 的 填 充 思 想 ，也 是 先 在 区 域 内 找 出 区 域 中 心 点 (1 次科荷岛为一个等边三角形，高次科荷岛均在其基础上生 成 ，故 其 中 心 是 一 个 确 定 点 ，很 容 易 找 出 )，以 此 为 中 心 向 四 周 扩 展 ；但 不 是 把 单 一 颜 色 向 四 周 扩 展 ，而 是 按 照 牛 顿 法 解 方 程 之 混 沌 情 况 图 案 规 律 ，把 区 域 内 的 所 有 像 素 点 赋 予 图 案 上 的 相应点的 RGB 值(RGB——red、green、blue：指定红、绿、蓝 3 原 色 的 相 对 亮 度 ，生 成 一 个 用 于 显 示 的 特 定 颜 色 )，实 现 以 牛 顿 法解方程之混沌情况图案为素材的填充。 3.1 填 充 思 想 的 实 现
y=f ( 1)+f' ( 1)( 1)
收稿日期：2006-07-02 E-mail：huzhanmail@126.com 作者简介：胡多能 (1980－)，男，安徽宣城人，硕士研究生，研究方向为计算机图形学及其应用； 王京 (1965－)，女，山西太原人，硕士，副 教授，研究方向为计算机图形学及其应用； 张瑞秋 (1972－)，男，河南鲁山人，硕士，讲师，研究方向为计算机图形学及其应用； 何沛然 (1978－)，男，广东广州人，硕士，工程师，研究方向为机械及图学应用。
第 28 卷 第 4 期 Vol. 28 No. 4
计算机工程与设计
Computer Engineering and Design
2007 年 2 月 Feb. 2007
分形图形与混沌图案的应用
胡多能 1， 王 京 1， 张瑞秋 1， 何沛然 2 (1. 华南理工大学 机械工程学院，广东 广州 510641；2. 胜美达公司，广东 广州 510630)
描述 用户名 用户名 ID 是否可以创建数据库 是否是超级用户 用户密码 口令失效时间 运行时配置会话的会话缺省
查 看 、更 新 、删 除 自 己 的 数 据 。使 每 一 个 用 户 只 能 访 问 和 操 作 属于自己的数据。下面以动态视图 dynamicview 为例介绍一 下具体的实现 。 [5]
摘 要：对分形与混沌 的应用进行了研 究，给出了分形曲 线— — (1~5 次) 封闭 Koch 曲线 的生成结果，并讨 论了利用牛顿 法解 方程 及其混沌情况生 成图案的方法 。以封闭 Koch 曲线和 牛顿法解方程及 其混沌情况图 案为研究对象，把 分形几何图形 和牛 顿法 解方程之混沌情 况图案相结合 ，实现了对 封闭 Koch 曲线区域的 填充；为分 形和混沌理论 在艺术领域的应 用，做出 了初 步的 尝试，研究表明 分形与混沌可以 被运用于艺术上 。 关键 词：分形; 混沌 ; 图形; 图案; 科荷曲线; 牛顿 法解方程 中图 法分类号：TP391.41 文献标识码：A 文章编号：1000-7024 (2007) 04-0893-02
图 4 程序运行结果 (下转第 989 页)
－ 894 －
表 1 系统表 pg_user
字段名 user_name usesysid usecreatedb usesuper
passwd valuntil useconfig
类型 Name Integer Boolean Boolean Text Abstime Text[]
0引 言
非 线 性 科 学 的 两 大 主 体 是 分 形 和 混 沌 。分 形 描 述 那 些 表 面 看 上 去 杂 乱 无 章 、变 幻 莫 测 而 实 质 上 潜 在 有 某 种 内 在 规 律 性 的 几 何 图 形 或 形 状 。混 沌 是 发 生 在 确 定 性 系 统 中 伪 随 机 的 现 象 ，它 是 一 种 动 态 系 统 的 运 动 ，它 通 常 具 有 初 值 放 大 效 应 、 奇 怪 吸 引 性 、不 可 线 性 迭 加 、非 周 期 性 、结 构 自 相 似 及 分 形 几 何特征。分形和混沌已经进入自然和社会科学的诸多领域， 有 广 泛 应 用 ，并 不 断 形 成 新 学 科 或 新 研 究 领 域[1]。
混 沌 与 分 形 联 系 密 切 ，其 研 究 内 容 从 本 质 上 讲 存 在 极 大 的相似性，若两者结合起来，应用于生活中，可达到更加美妙的 效果。本文主要以封闭 Koch 曲线区域为研究对象，用牛顿法 解方程之混沌情况图案为素材，对研究区域进行填充的方法。
1 封闭 Koch 曲线的生成
冯.科荷于 1904 年通过初等方法构造了如今被称为冯.科 荷曲线。
将 Koch 曲线首尾相连即生成封闭 Koch 曲线 。 [2] 以下给 出(1~5 次)封闭 Koch 曲线的生成结果(如图 1 所示)。
（1 次） （2 次）
（3 次）
（4 次）
（5 次）
图 1 封闭 Koch 曲线 (科荷岛)
2 牛顿 法解方 程之 混沌 情况图 案 [3] 的生 成原理
求代数方程 f ( )=0 的精确解是很难的事情，特别当 f ( ) 是高于 5 次的多项式时，不能通过多项式系数的有限次运算 得 到 根 的 表 达 式 。在 这 种 情 况 下 求 方 程 的 近 似 解 却 是 可 以 的 ， 牛顿法就是一种比较好的逐次逼近法 (相应对方程的收敛性 进行讨论，限于篇幅，这里不再展开)。首先猜测一个值 1，用 它近似方程的根 ，用过( 1, 1 )点的切线
否在 unfilled(是否已经到达区域边界)，判断结果为否，此方向 停止填充；判断结果是真，则将它们赋予相应 RGB 值；以此规 律 向 外 扩 展 ，实 现 图 案 填 充 。
流程图如图 3 所示。
中心点
中心点赋值；存入 filled 队列
Y 周围点判断：在 filled 中
N 在 unfilled 中
2. Shenmeida Limted Company, Guangzhou 510630, China)
Abstract：The application of fractal and chaos is reseanhed. Fractal curve-the (1~5) closed Koch curve's generated results are given. The Newton's solving equation is discussed while the Chaos situation, and pictorial methods are generated. The closed Koch curve and the Newton's solving equation while the Chaos for the study, fractal graphics, and the Newton's solving equation while the Chaos situation of image, had been combined for applying. The closed Koch curve was filled with the Newton's solving equation whiles the Chaos situation of image. An initial attempt to apply fractal and chaos in art's areas was made. It is indicated that fractal and chaos can be used in art's areas. Key words：fractal; chaos; graphic; image; Koch curve; Newton's solving equation
= n+1
1 /1
n+1
n
对于 3 1=0，有 3 个根：1=1，2= 1+sqrt 3 i /2，3= 1
sqrt 3 i /2。
3 个根均匀地分布在单位圆上。这 3 个根周围构成 3 个
“吸引盆”，初始点迅速被吸引到盆内，最后停止在 3 点之一。
用计算机迭代，以当前点到 3 个终点的距离远近为标准，标上
－ 893 －
近似代替曲线 f ( )，然后用切线方程 y=f ( 1)+f' ( 1)( 1)=0 的根
= 2= 1 f 1 /f 1 近似代替曲线方程的根 ，这样就得到 的第 2 个近似值。 依此类推可得到迭代公式
= +1 f /f 在复平面上选定一个区域，对于任意初始点 (除去 (0,0) 点)，讨论它在牛顿法迭代过程中的行为。一般选f = 1，其 中 是大于 2 的正整数。 这 样 ，迭 代 公 式 还 可 以 改 写 为
Public Sub IsBound(P As Long, Bound As Boolean) '判断像 素点 P 是否为边界点
Bound = False Red = P& Mod 256 '提取 RGB 的 R 值 Green = ((P& And &HFF00) / 256&) Mod 256& '提取 RGB 中的 G 值 Blue = (P& And &HFF0000) / 65536 '提取 RGB 中的 B 值 If Red = 255 And Green = 255 And Blue = 0 Then '本程序 生成曲线为黄色
本文使用的填充素材就是牛顿法求解方程 z^n=0 和 Z*(1+ Z^A)/(1 Z^A)=R 的根时的混沌图像(如图 2 所示)。
图 2 牛顿法解方程之混沌情况图案例
3 填充的实现
区域填充是指先将区域内的一个像素点 (一般称为种子 点 ) 赋 予 给 定 的 颜 色 和 辉 亮 ，然 后 将 该 颜 色 扩 展 到 整 个 区 域 内 的过程。
ห้องสมุดไป่ตู้
不 同 的 颜 色 ，就 能 得 到 美 丽 的 分 形 图 。
对复方程 f ( )=0，f ( )为复多项式函数，设函数 g ( )= f ( )/ ( )，其中 ( )为函数 f ( )的导函数。则函数 g ( )就是复多 项式方程求解的牛顿迭代公式。对于选定的起始点，g ( )迭代 大多都会收敛于多项式 f ( )=0 的某个根，但也可能存在许多 点，使 g ( )迭代根本就不会收敛，甚至可能出现混沌的状态。
Application of fractal graphics and chaos image
HU Duo-neng1, WANG Jing1, ZHANG Rui-qiu1, HE Pei-ran2 (1. College of Mechanical Engineering, South China University Technology, Guangzhou 510641, China;
Y 相关点赋值；存入 filled 队列
N 结束
图 3 程序流程
3.2 边 界 限 制 方 法 本研究主要是通过判断拾取的像素点 RGB 值来确定是
否 到 达 边 界 点 。进 行 图 案 填 充 时 ，填 充 区 域 的 边 界 已 经 确 定 ， 其边界点 RGB 值可以容易获取；再者，填充是由中心向外围 扩展进行，这就避免了因已填充的像素点的 RGB 值与边界点 RGB 值相同，而导致了提前结束填充的现象。以下是实现边 界限制的主要程序代码：
Bound = True End If End Sub
4 程序运行结果
本程序设计过程中，为产生大量的精美图案，共设置了 3 个供求解方程，32 种着色规律方案 。 [3] 各个方案的起始 RGB 值 均 由 系 统 随 机 生 成 ，保 证 了 同 一 方 案 在 不 同 时 刻 运 行 可 产 生不同的效果。以下(如图 4 所示)程序运行结果为(方程 1+着 色方案 7)的 1 次和 3 次科荷岛情况 (限于篇幅，这里没有给出 更 多 的 运 行 结 果 )。
本 研 究 中 的 填 充 思 想 ，也 是 先 在 区 域 内 找 出 区 域 中 心 点 (1 次科荷岛为一个等边三角形，高次科荷岛均在其基础上生 成 ，故 其 中 心 是 一 个 确 定 点 ，很 容 易 找 出 )，以 此 为 中 心 向 四 周 扩 展 ；但 不 是 把 单 一 颜 色 向 四 周 扩 展 ，而 是 按 照 牛 顿 法 解 方 程 之 混 沌 情 况 图 案 规 律 ，把 区 域 内 的 所 有 像 素 点 赋 予 图 案 上 的 相应点的 RGB 值(RGB——red、green、blue：指定红、绿、蓝 3 原 色 的 相 对 亮 度 ，生 成 一 个 用 于 显 示 的 特 定 颜 色 )，实 现 以 牛 顿 法解方程之混沌情况图案为素材的填充。 3.1 填 充 思 想 的 实 现