高数第十二章

第十二章多元积分学（仅数一）常考题型：
熟练计算各种积分，尤其是第二型曲线及第二型曲面积分
主要内容：
1.三重积分
2.第一型曲线积分
3.第二型曲线积分
4.第一型曲面积分
5.第二型曲面积分
一、三重积分
1.三重积分的概念及物理意义
2.三重积分的性质
3.对称性
()()()()()()1
1,2,,,,,,,,,0,,,,,yoz yoz f x y z dv f x y z f x y z f x y z dv f x y z f x y z ΩΩ
ΩΩΩ⎧=-⎪=⎨⎪=--⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰设关于面对称是在前面的部分,则
普通对称性
()(),,,,,.
x y f x y z dv f y x z dv ΩΩ
Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰若把对调不变,则轮换对称性
()()()()12
121212
2222222212:,0;:,0,0,0.4
44
4x y z R z x y z R x y z A xdv xdv B ydv ydv C zdv zdv D xyzdv xyzdv ΩΩΩΩΩΩΩΩΩ++≤≥Ω++≤≥≥≥⎡⎤⎣⎦====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例1设则
二、计算三重积分
1.直角坐标
（1）先一后二投影穿线法
（2）先二后一平行截面法
,
21xdxdydz x y z Ω
⎡⎤⎣⎦Ω++=⎰⎰⎰例1计算三重积分其中为三个坐标面及平面所围成的闭区域.
2222222,:x y z z dxdydz a b c Ω
Ω≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例2计算三重积分其中++ 1.
2.柱坐标
（1）在投影域上用极坐标
（2）在截面域上用极坐标
()()()222222:m n l m n l m n l x y z f x y x y z f x z x y z f y z Ω+++注若是旋转体,如柱体、锥体、旋转抛物体，
被积函数如或或,优选柱坐标.
22
,+4zdxdydz z x y z ΩΩ==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例3计算三重积分其中是由曲面与平面所围成的闭区域.
222240=4=8y z I x y dv z x z z Ω
⎧==+Ω⎡⎤⎨⎣⎦=⎩⎰⎰⎰，例计算，其中为平面曲线绕轴旋转一周形成的曲面与平面及所围成的区域.
3.球坐标
()
222
注若是球体、锥体或他们的部分，被积函数如，Ω++
x y z f x y z :m n l
优选球坐标.
()2
222222
5I zdv x y z a a x y z Ω=Ω+-≤≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例计算，其中由不等式+,+所确定.
222222
6I x y z dv x y z Ω=+Ω+≤⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰例计算+，其中:+z.
三、第一型曲线积分（曲线方程带入被积函数）
1.第一型曲线积分的概念及物理意义
2.第一型曲线积分的性质
3.对称性
()()()()()()1,02,,,,,0,,,L L
L y L L x f x y ds f x y f x y f x y ds f x y f x y ≥⎧=-⎪=⎨=--⎪⎩⎰⎰设关于轴对称是在的部分,则
普通对称性
()(),,,.L L
x y L f x y ds f y x ds =⎰⎰若把对调不变,则轮换对称性
()22
22234,43L x y xy x y ds L a ++⎡⎤⎣⎦⎰例1计算其中是+=1,其周长记为.
四、计算第一型曲线积分（曲线方程带入被积函数）
1.直接化定积分
()()2
,0,011L yds L y x B =⎡⎤⎣⎦⎰例1计算其中是上点O 与点，之间的一段弧.
()()()2
sin ,021cos L x a t t y ds L t y a t π=-⎧⎪≤≤⎡⎤⎨⎣⎦=-⎪⎩⎰例2计算其中是摆线的一供.
2222
,L x y ds L x y ax +=⎡⎤⎣⎦⎰例3计算其中是圆周+.
五、第二型曲线积分（曲线方程带入被积函数）
1.第二型曲线积分的概念及物理意义
2.第二型曲线积分的性质
.L L
Pdx Qdy Pdx Qdy -+=-+⎰⎰第二型曲线积分与积分路径方向有关
六、计算第二型曲线积分（曲线方程带入被积函数）
1.直接化定积分
()()()()()()()22
2
2,0011001100,1,0,11.
L
xydx x dy L y x O B x y O B O A B +⎡⎤⎣⎦==⎰例1计算其中为（1）抛物线上从，到，的一段弧；（2）抛物线上从，到，的一段弧；（3）折线OAB,这里，，
2.格林公式
,,
D D D D 设是平面区域若内任一闭曲线所围成的部分都属于则称是平面单连通区域，否则称为复连通区域.
通俗地说,不含有"洞"（包括点"洞"）的区域为单连通区域，含有"洞"（包括点"洞"）的区域为复连通区域.
,:
,.
D L L D 平面区域由分段光滑闭曲线围成规定的正向如下当观察者沿着这个方向走时左手始终在
内部
()()()2
222d 2d 0x x
L
e sin y y x e cos y y,L x a y a ,y ⎡⎤⎣⎦
-+--+=≥⎰例2（补线用格林）计算曲线积分其中为上半圆周沿逆时针.
22L xdy ydx ,L x y
⎡⎤⎣⎦
-+⎰例3（挖洞用格林）计算曲线积分其中是一条不经过原点的闭曲线,沿逆时针.
3.利用曲线积分与路径无关
1212,
,,,,,,L L L
D A B D A B L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy D ∀∈∀+=++⎰⎰⎰（1）曲线积分与路径无关的定义
设为一平面区域若对沿以为起点为终点的两条分段光滑的曲线，恒有则称在上与路径无关否则说不是与路径无关.
:
,
0,,C L
D D C
Pdx Qdy Pdx Qdy D ∀+=+⎰⎰与上述定义等价的表述如下设为一平面区域若对一条在内的分段光滑的闭曲线有则称在上与路径无关否则说不是与路径无关.
()()()(),,,,
,,0,,
,,.
L
D P Q D Pdx Qdy D Q P x y
Pdx Qdy D u x y u x y du Pdx Qdy Pdx Qdy D Pi Q j D u x y u x y gradu Pi Q j +∂∂⇔=∂∂⇔+=+⇔+=⇔+=+⎰（2）曲线积分与路径无关的判定
设为一单连通区域在内有连续一阶偏导数,则曲线积分在内与路径无关；在内是某二元函数的全微分即存在使得；
在内是全微分方程；
在内是某二元函数的梯度即存在使得
()()()()()()()()
()()2222
11112211,12,,2211,:,,,.:,,,,,.
x y x y x y x y x y x y Pdx Qdy P x y dx Q x y dy u x y u x y Pdx Qdy Pdx Qdy u x y u x y +=+=++=-⎰⎰⎰⎰（3）曲线积分与路径无关时的计算
方法一改换简单的积分路径如沿着平行于坐标轴的折线积分方法二找原函数带入上下限
若能找到则
()()()()()()()22
2
2,0011001100,1,0,11.
L
xydx x dy L y x O B x y O B O A B +⎡⎤⎣⎦==⎰例1计算其中为（1）抛物线上从，到，的一段弧；（2）抛物线上从，到，的一段弧；（3）折线OAB,这里，，
()()()()()()222,,0,,,,111.L f x L y a b c d x I y f xy dx y f xy dy y y -∞+∞>⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎡⎤=++-⎣⎦⎣
⎦⎰例4设在内具有一阶连续导数是上半平面内的有向分段光滑曲线,起点是终点是记
（1）证明曲线积分I 与路径无关；
（2）当ab=cd 时,求I 的值.
22:,,.
xoy xy dx x ydy +⎡⎤⎣⎦
例5验证在整个面内是某个函数的全微分并求出这样的一个函数
()()()()()42242,0,2,,
,.x A x y xy x y i x x y j u x y u x y λλλ>⎡⎤⎣⎦=+-+例6确定常数使在右半平面上的向量是某二元函数的梯度并求
()()
423222
例7求解方程
+-+-+=
53330.
x xy y dx x y xy y dy
⎡⎤
⎣⎦
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