定积分测试题
(北师大版)上海市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(有答案解析)
一、选择题1．已知()22214a x ex dx π-=--⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e2．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 3．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．14．曲线x y e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 5．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+6．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 7．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9 C ．1,[1,)9D ．()1,+∞8．由直线,1y x y x ==-+，及ｘ轴所围成平面图形的面积为 （ ）A ．()101y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰B ．()1201x x dx ⎡⎤-+-⎣⎦⎰C ．()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰D ．()101x x dx ⎡⎤--+⎣⎦⎰9．若向区域(){},|0101x y x y Ω=≤≤≤≤，内投点，则该点落在由直线y x =与曲线y x =围成区域内的概率为（ ）A ．18B ．16C ．13D ．1210．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J11．由直线y= x - 4，曲线2y x =以及x 轴所围成的图形面积为（ ）A ．15B ．13C ．252D ．40312．120(1(1))x x dx ⎰---=（ ） A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 二、填空题13．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______14．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________． 15．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______． 16．曲线y x =与直线21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为 ____．17．如图所示，则阴影部分的面积是 .18．在下列命题中 ①函数1()f x x=在定义域内为单调递减函数； ②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=+，则()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()2()(0)a aaf x dx f x dx a -=>⎰⎰；④已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，则0a b c ++=是()f x 有极值的充分不必要条件；⑤已知函数()sin f x x x =-，若0a b +>，则()()0f a f b +>. 其中正确命题的序号为___________________（写出所有正确命题的序号）.19．已知(111,a dx -=⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________20．2(1)x dx -=⎰________.三、解答题21．已知函数()()2log 3a f x x =-++（0a >且1a ≠），()112x g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）函数()y f x =的图象恒过定点A ，求A 点坐标；（2）若函数()()()F x f x g x =-的图象过点()1,5--，证明：方程()0F x =在()1,5x ∈上有唯一解.22．已知2()2ln ,(0,]f x ax x x e =-∈ 其中e 是自然对数的底 . (1)若()f x 在1x = 处取得极值,求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；23．设函数()32,0{,0x x x x f x axe x ->=≤，其中0a >.（1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； （2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 24．已知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为0S . (1)求0S .(2)求所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积. 25．已知函数1211()(1)x f x adt x t+=++⎰()1x >-. （1）若()f x 在1x =处有极值，问是否存在实数m ，使得不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.()2.71828e =；（2）若1a =，设2()()(1)F x f x x x =-+-.①求证：当0x >时，()0F x <； ②设*111()12(1)n a n N n n n n =++⋅⋅⋅+∈++++，求证：ln 2n a > 26．利用定积分的定义，计算2211d x x ⎰的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】因为22x -表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即22πx -=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)221e d 2a x x π-==⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.2．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．3．B解析：B【解析】因为1y k x'=+,所以10,1k k +==- ,选B. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.4．A解析：A 【解析】试题分析：'0x x y e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程5．D解析：D 【解析】试题分析：由题意，阴影部分E 由两部分组成，因为函数1(0),y x x=>当2y =时，1,2x =所以阴影部分E 的面积为1111221121ln |1ln 2,2dx x x ⨯+=+=+⎰故选D ． 考点：利用定积分在曲边形的面积．6．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2xf x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线7．C解析：C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设abt ，则312t a b，再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根，最后根据判别式即可得出结果．【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1223331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=，即3210ab a b ，设abt ，则312t a b，a 、b 为方程23102t xx t 的根，有231402t t ，解得19t 或1t ≥， 所以1,[1,)9a b ，故选C ．【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．8．C解析：C 【解析】如图，由直线y=x ，y=−x+1，及x 轴围成平面图形是红色的部分，它和图中蓝色部分的面积相同，∵蓝色部分的面积()121S x x dx ⎡⎤=--⎣⎦⎰，即()121y y dy ⎡⎤--⎣⎦⎰.本题选择C 选项.9．B解析：B 【解析】 区域(){},|01,01x y x y Ω=≤≤≤≤是正方形，面积为1，根据定积分定理可得直线y x =与曲线y x =围成区域的面积为()1321200211|326x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰，根据几何概型概率公式可得该点落在由直线y x =与曲线y x =围成区域内的概率为16，故选B ．10．C解析：C 【解析】W ＝105⎰F (x )d x ＝105⎰(3x 2－2x ＋5)d x ＝(x 3－x 2＋5x )105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．选C.11．D解析：D 【详解】根据题意，画出如图所示：由直线4y x =-，，曲线2y x =x 轴所围成的面积为：4288221402(24)(4)42322xdx x x dx x x x x +⎰+=+-+=. 故选D.12．D解析：D 【分析】 函数1201(1)y x dx =--⎰的图象是以(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆，作出直线y x =，则图中阴影部分的面积为题目所要求的定积分.【详解】 由题意，)111221(1)1(1)()x x dx x dx x dx --=--+-⎰⎰⎰，如图：1201(1)x dx --⎰的大小相当于是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，故其值为4π，021011()1()|22x d x x --=-=⎰， 所以，)11122011(1)1(1)()42x x dx x dx x dx π--=--+-=-⎰⎰⎰ 所以本题选D. 【点睛】本题考查求定积分，求解本题关键是根据定积分的运算性质将其值分为两部分来求，其中一部分要借用其几何意义求值，在求定积分时要注意灵活选用方法，求定积分的方法主要有两种，一种是几何法，借助相关的几何图形，一种是定义法，求出其原函数，本题两种方法都涉及到了，由定积分的形式分析，求解它的值得分为两部分来求，1201(1)x dx --⎰和1()x dx -⎰.二、填空题13．【解析】【分析】先求出两曲线的交点再由面积与定积分的关系利用定积分即可求解【详解】由题意令解得交点坐标为所以曲线围成的图形的面积【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积其中解答中根据题设中的 解析：1【解析】 【分析】先求出两曲线,x y e y e ==的交点，再由面积与定积分的关系，利用定积分即可求解． 【详解】 由题意，令x y ey e=⎧⎨=⎩，解得交点坐标为(1,)e ， 所以曲线,,0xy e y e x ===围成的图形的面积110()()|1x xS e e dx ex e =-=-=⎰．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题设中的条件建立面积的积分表达式，利用定积分的计算准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝(ex ＋x)dx 由牛顿莱布尼茨公式可得到答案【详解】根据定积分的几何意义得到面积S ＝(ex ＋x)dx ＝故答案为【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义以及常见函数解析：12e -【分析】根据定积分的几何意义得到积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ，由牛顿莱布尼茨公式可得到答案.【详解】根据定积分的几何意义得到，面积S ＝10⎰(e x ＋x )d x ＝210111|1.222xe x e e ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭ 故答案为1.2e - 【点睛】这个题目考查了定积分的几何意义，以及常见函数的积分值的求法.15．【分析】首先求得两个函数交点的坐标然后利用定积分求得封闭图形的面积【详解】根据解得画出图像如下图所示封闭图像的面积为【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积考查运算求解能力属于基础题解题过程解析：16【分析】首先求得两个函数交点的坐标，然后利用定积分求得封闭图形的面积. 【详解】根据2y x y x⎧=⎨=⎩解得()()0,01,1,.画出图像如下图所示，封闭图像的面积为()12x x dx -⎰2310111|23236x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.【点睛】本小题主要考查利用定积分求封闭图形的面积，考查运算求解能力，属于基础题.解题过程中首先求得两个函数图像的交点坐标，然后画出图像，判断出所要求面积的区域，然后利用微积分基本定理求得封闭图形的面积.16．【分析】根据定积分的几何意义先联立直线与曲线方程求出积分的上下限将面积转化为定积分从而可求出所围成的图形的面积【详解】由曲线与直线构成方程组解得由直线与构成方程组解得；曲线与直线及x轴所围成的封闭图解析：5 12【分析】根据定积分的几何意义，先联立直线与曲线方程，求出积分的上下限，将面积转化为定积分112(21)xdx x dx--⎰，从而可求出所围成的图形的面积.【详解】由曲线y x =21y x =-构成方程组21y xy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得{11x y ==，由直线21y x =-与0y =构成方程组，解得120x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩；∴曲线y x =21y x =-及x 轴所围成的封闭图形的面积为：()131212011222215(21)||33412S xdx x dx x x x =--=--=-=⎰⎰． 故答案为512． 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解.17．【解析】试题分析：由题意得直线与抛物线解得交点分别为和抛物线与轴负半轴交点设阴影部分的面积为则考点：定积分在求面积中的应用【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用其中解答中根据直线方 解析：323【解析】试题分析：由题意得，直线2y x =与抛物线23y x =-，解得交点分别为(3,6)--和(1,2)，抛物线23y x =-与x 轴负半轴交点(3,0)-，设阴影部分的面积为S ，则12203(32)(3)S x x dx x dx =--+-⎰⎰02332)xdx x dx ---+-⎰532933=+-． 考点：定积分在求面积中的应用．【方法点晴】本题主要考查了定积分求解曲边形的面积中的应用，其中解答中根据直线方程与曲线方程的交点坐标，确定积分的上、下限，确定被积函数是解答此类问题的关键，同时解答中注意图形的分割，在x 轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．18．②④⑤【解析】①函数在定义域内不为单调递减函数在和为单调递减函数；；②已知定义在上周期为4的函数满足则所以一定为偶函数；③若为奇函数则；④已知函数则即有极值充分性成立；有极值所以不必要；⑤函数为单调解析：②④⑤ 【解析】 ①函数()1f x x=在定义域内不为单调递减函数，在(,0)-∞ 和(0,)+∞ 为单调递减函数；；②已知定义在R 上周期为4的函数()f x 满足()()22f x f x -=+， 则()(4)()f x f x f x =-=-所以()f x 一定为偶函数；③若()f x 为奇函数，则()0aaf x dx -=⎰；④已知函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，2()32,f x ax bx c +'=+ 则0a b c ++=22224124()124()0b ac a c ac a c ac ⇒∆=-=+-=+-> ，即()f x 有极值，充分性成立；()10,2a b c f x ===-，，，也有极值，所以不必要； ⑤函数()sin f x x x =-为单调递增奇函数，所以0a b +>，则()()(),f a f b f b >-=-即 ()()0f a f b +>. 正确命题的序号为②④⑤19．－1【解析】表示圆上半圆的面积所以那么原二项式为的展开式中各项系数和令那么故填：-1解析：－1【解析】11111a dx --=+⎰， 1111|21dx x -==-⎰ ，1- ，表示圆221x y += 上半圆的面积2π，所以22a π=+ ，那么原二项式为932x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数和，令1x = ，那么932111⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭ ，故填：-1.20．【详解】试题分析：考点：定积分的计算【名师点睛】本题主要考查定积分的计算意在考查学生的运算求解能力属于容易题定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解解析：. 【详解】试题分析：222001(1)02x dx x x ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭⎰. 考点：定积分的计算. 【名师点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生的运算求解能力，属于容易题，定积分的计算通常有两类基本方法：一是利用牛顿-莱布尼茨定理；二是利用定积分的几何意义求解.三、解答题21．(1)()2,2A --；(2)证明见解析. 【解析】 试题分析：(1)结合对数函数的性质可得函数()y f x =的图象恒过定点()2,2A --； (2)由题意结合函数的单调性和函数的值域即可证得题中的结论. 试题（1）解：∵当2x =-时，()22f -=-，说明()y f x =的图象恒过点()2,2A --.（2）证明：∵()()112log 32x a F x x -⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭过()1,5--，∴2a =，∴()()1212log 32x F x x -⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，∵()121log 3,2x y x y -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭分别为()3,-+∞上的增函数和减函数，∴()F x 为()3,-+∞上的增函数， ∴()F x 在()3,-+∞上至多有一个零点，又()()1,53,⊂-+∞，∴()F x 在()1,5上至多有一个零点， 而()11552301616F =-+-=>， ()0112202F ⎛⎫=-+-< ⎪⎝⎭，∴()0F x =在()1,5上有唯一解.22．（1）1a = （2）见解析 【解析】试题分析（1）先求导数,再根据极值定义得()1220f a -'==,解得a 的值（2）由导函数是否变号进行分类讨论: 当0a ≤时，导函数恒负,所以在定义区间上为单调递减函数;当e ≥ 时，导函数恒正, 所以在定义区间上为单调递增函数;e <时,导函数先负后正,所以减区间是⎛ ⎝⎭，增区间是e ⎤⎥⎝⎦. 试题(1 ) ()22222ax f x ax x x='-=-.由已知()1220f a -'==, 解得1a =. 经检验, 1a =符合题意.(2) ()22222ax f x ax x x='-=-.1)当0a ≤时，()()0,f x f x <'∴在(]0,e 上是减函数.2)当0a >时，()2a x x f x x⎛⎫⎛'⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭=.①e <，即21a e >， 则()f x在⎛ ⎝⎭上是减函数，在e ⎤⎥⎝⎦上是增函数； ②若e a≥ ，即210a e <≤，则()f x 在(]0,e 上是减函数.综上所述，当21a e≤时，()f x 的减区间是(]0,e ， 当21a e >时，()f x的减区间是⎛ ⎝⎭，增区间是e ⎤⎥⎝⎦. 点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.23．（1）04m ≤≤或427m =-.（2）4,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）根据函数的单调性，由数形结合可得； （2）研究0x >和0x ≤时函数的最值，并比较大小求a 即可. 试题解：(1)当0x >时，()2'32f x x x =-，令()'0f x =时得23x =；令()'0f x >得()2,3x f x >递增； 令()'0f x <得()20,3x f x <<递减，()f x ∴在23x =处取得极小值，且极小值为()()24,00,24327f f f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以由数形结合可得04m ≤≤或427m =-. (2) 当0x ≤时，()()1,0xf x a x e a '=+>，令()'0f x =得1x =-；令()'0f x >得()10,x f x -<<递增；令()'0f x <得()1,x f x <-递减.()f x ∴在1x =-处取得极小值，且极小值为()1af e-=-. 0,0a a e >∴-<,因为当427a e -≥-即4027a e <≤时，()min 24444,,327272727f x f a a e ⎛⎫==-∴-≤-∴≤≤ ⎪⎝⎭.当427a e -<-即427a e >时，()()min 1,a a f x f a e e =-=-∴-≤-，即40,27a a e ≥∴>.综上，4,27a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.24．(1)2,；（2）22π.【分析】（1）根据题意可知曲线sin y x =和直线0,x x π==及0y =所围成图形的面积为00sin S xdx π=⎰，解之即可；（2）所围成图形绕ox 轴旋转所成旋转体的体积为20sin V xdx ππ=⎰，根据定积分的定义解之即可．【详解】 （1）000sin cos |(cos )(cos0)112S xdx x πππ==-=---=+=⎰；（2）220011sin sin 2|(0)24242x V xdx x πππππππ⎛⎫==-=-⨯=⎪⎝⎭⎰. 【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，意在考查灵活利用所学知识解答问题的能力，属于中档题.25．（1）存在，22m -≤≤；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据微积分基本定理求得()f x ，由()10f '=，求得参数a ；利用导数求函数的在区间上的最值，结合一次不等式在区间上恒成立问题，即可求得参数m 的范围； （2）①求得()F x '，利用导数求得()F x 的单调性，即可容易证明； ②由①中所求，可得12ln()11k k k +>++，利用对数运算，即可证明. 【详解】由题可知2()ln(1)(1)f x a x x =+++，∴()221af x x x '=+++. （1）由()01f '=，可得2202a++=，8a =-. 又当8a =-时，()()()2311x x f x x +'-=+，故()f x 在区间()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增. 故函数()f x 在1x =处取得极值，所以8a =-.∵11e <-，82(1)(3)()2211x x f x x x x --+'=++=++.∴()0f x '>，当[]1,x e e ∈-时，由上述讨论可知，()f x 单调递增， 故2min ()(1)8f x f e e =-=-+不等式2214()m tm e f x ++-≤对任意[]1,x e e ∈-及[]1,1t ∈-恒成立， 即：22222min 14()148m tm e f x m tm e e ++-≤⇔++-≤-+， 即：260m tm +-≤对[]1,1t ∈-恒成立，令2()6g t m mt =+-，(1)0g ⇒-≤，(1)0g ≤即260m m --≤，且260m m +-≤，整理得()()320m m -+≤，且()()320m m +-≤， 解得：22m -≤≤，即为所求.（2）①∵2()()(1)ln(1)F x f x x x x x =-+-=+-，∴()1xF x x-'=+ 当0x >时，()0F x '<，∴()F x 在(0,)+∞上单调递减，()(0)0F x F ∴<=即证.②由①可得：ln(1)(0)x x x +<> 令：11x k =+，得11ln(1)11k k +<++，即：12ln()11k k k +>++ ∴1112322ln ln ln 12(1)1221n n n n n n n n n n +++++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅++++++++=ln 2 即证. 【点睛】本题考查由极值点求参数值，利用导数由恒成立问题求参数范围，以及利用导数证明不等式以及数列问题，属压轴题.26．22111d 2x x =⎰ 【解析】 【分析】由定积分的定义 等分区间，取点，近似计算求解即可. 【详解】 令()21f x x=．在区间[]1,2上等间隔地插入n 1-个分点，将它等分成n 个小区间()n i 1n i ,i 1,2,,n n n +-+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为n i n i 11Δx n n n++-=-=． 当n 很大，即Δx 很小时，在区间n i 1n i ,n n +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为()21f x x =的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f ，则()()()()()2i n 1nΔS f Δx i 1,2,,n n i 1n i n n i 1n i =⋅=⋅==+-++-+．小曲边梯形的面积和()()n nn i i 1i 1nS ΔS n i 1n i ====+-+∑∑()()()()()n nnn n 1n 1n 2n n 1n n =+++++++-+111111n n n 1n 1n 2n n 1n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++++-+⎝⎭111n n 2n 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故22111dx x 2=⎰． 【点睛】本题考查定积分的定义，熟练运用定义及方法步骤求解，准确计算是关键，是基础题.。
(好题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)
一、选择题1．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．36C ．13D ．232．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．23．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴，则k =（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．14．已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为：A ．2π5B ．32C ．43D ．π25．如图，矩形ABCD 的四个顶点()(0,1),(,1),(,1),0,1A B C D ππ--，正弦曲线f xsinx 和余弦曲线()g x cosx =在矩形ABCD 内交于点F ，向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-27．定积分220[4(2)]x x dx ---⎰的值为（ ）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-8．曲线22,y x y x ==所围成图形的面积是（ ） A ．1B ．13C ．12D ．239．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．2310．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 A ．3B ．23-C ．π23-D ．π33-11．等比数列{}n a 中，39a =前三项和为32303S x dx =⎰，则公比的值是（ ）A ．1B ．12-C ．1或12- D ．-1或12-12．曲线2y x 与直线y x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．16 B ．13C ．12D ．56二、填空题13．如图所示，直线y kx =分抛物线2y x x 与x 轴所围图形为面积相等的两部分，则k的值为__________．14．若2211S x dx =⎰，2211S dx x=⎰，231x S e dx =⎰，则1S ，2S ，3S 的大小关系为___．15．直线x ＝0、直线y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的图形的面积为_____． 16．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______． 17．()12012x x dx -+=⎰__________．18．由直线2y x =+与曲线2y x 围成的封闭图形的面积是__________．19．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 20．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.三、解答题21．求曲线y x =，2y x =-，13y x =-所围成图形的面积．22．已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-，求：由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.23．现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点C 、D ，作DE OA 、CF OB 分别交弧AB 于点E 、F ，且BD AC =，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、FC 将池塘分成如图所示的养殖区域.已知1km OA =，2AOB π∠=，EOF θ∠=（02πθ<<）.（1）若区域Ⅱ的总面积为21km 4，求θ的值； （2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？24．如图：已知2y ax bx =+通过点（1,2），与22y x x =-+有一个交点横坐标为1x ，且0,1a a <≠-.（1）求2y ax bx =+与22y x x =-+所围的面积S 与a 的函数关系； （2）当,a b 为何值时，S 取得最小值.25．求曲线6y x =-和8y x =y ＝0围成图形的面积． 26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力2．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 3．B解析：B【解析】因为1y k x'=+,所以10,1k k +==- ,选B. 点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.4．C解析：C 【解析】试题分析：由图像可知函数解析式为()21f x x =-+∴由定积分的几何意义可知面积()12311111141|113333Sx dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+=---=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 考点：定积分及其几何意义5．B解析：B 【解析】试题分析：阴影部分的面积()044sin cos (cos sin )|12S x x dx x x ππππ=-=--=+⎰ 由几何概型可知：向矩形ABCD 区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是01+2=ABCDS P S =矩形 ，故选B ． 考点：几何概型．6．C解析：C 【详解】233003|aat dt t a ==⎰，33(1)lg10,(0),1, 1.f f a a a ===∴==故选：C7．B解析：B 【解析】试题分析：由定积分的几何意义有2204(2)x dx --⎰表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆的14部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,x x x ==轴所围成的面积，故220[4(2)]x x dx ---⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为221122242ππ⨯-⨯=-.故选B.考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.8．B解析：B 【分析】由题意，可作出两个函数y x =与2yx 的图象，先求出两函数图象交点A 的坐标，根据图象确定出被积函数2 x x -与积分区间[0，1]，计算出定积分的值即可. 【详解】 作出如图的图象联立22 y x y x ⎧=⎨=⎩解得0 0x y =⎧⎨=⎩或1 1x y =⎧⎨=⎩，即点()11A ，， 所求面积为)132312002121133333S x x dx x x ⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选B. 【点睛】本题考点是定积分在求面积中的应用，考查了作图的能力及利用积分求面积，解题的关键是确定出被积函数与积分区间，熟练掌握积分的运算.9．B解析：B 【解析】试题分析：由题意得，因为幂函数a y x =图像过点(2,4)P ，所以42α=，解得2α=，所以幂函数2yx ，则阴影部分的面积为22320018|33S x dx x ===⎰，故选B.考点：幂函数的解析式；定积分的应用.10．D解析：D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12),则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰本题选择D 选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()()0aaf x dx a ->⎰ ＝0.11．C解析：C 【解析】由题意得3330|27S x ==． ①当q ≠1时，则有313231(1)2719a q S q a a q ⎧-==⎪-⎨⎪==⎩，解得12q =-或1q =（舍去）．②当q ＝1时，a 3＝a 2＝a 1＝9，故S 3＝27，符合题意． 综上12q =-或1q =．选C ． 点睛：在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对1q =与1q ≠分类讨论，防止因忽略1q = 这一特殊情况而导致解题失误．12．A解析：A 【解析】曲线2y x =与直线y x =的交点坐标为()()0,0,1,1 ，由定积分的几何意义可得曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为()122310111|236x x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰ ，故选A. 二、填空题13．【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标再根据定积分求两部分的面积列出等式求解即可【详解】联立或由图易得由题设得即即化简得解得故答案为：【点睛】本题主要考查了定积分的运用需要根据题意求到交界处的解析：3412-【分析】根据题意求出直线与抛物线的交点横坐标,再根据定积分求两部分的面积,列出等式求解即可. 【详解】联立2y x x y kx⎧=-⇒⎨=⎩ 0x =或1x k =-.由图易得1,11x k k由题设得()()1122012kx x kx dx x x dx ---=-⎰⎰, 即232123100111111||232223k x x kx x x -⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即()()()232111111123212k k k k -----= 化简得()3112k -=. 解得3412k =-. 故答案为：341【点睛】本题主要考查了定积分的运用,需要根据题意求到交界处的点横坐标,再根据定积分的几何意义列式求解即可.属于中档题.14．【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分再比较它们的大小即可【详解】故答案为：【点睛】本小题主要考查定积分的计算不等式的大小比较等基础知识考查运算求解能力属于中档题 解析：213S S S <<【分析】先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可． 【详解】22321111733S x dx x ===⎰2221112S dx lnx ln x===⎰222311|x x S e dx e e e ===-⎰ 2723ln e e <<- 213S S S ∴<<故答案为：213S S S << 【点睛】本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．15．1【分析】如图所示：计算交点为计算积分得到面积【详解】依题意令e+1＝ex+1得x ＝1所以直线x ＝0y ＝e+1与曲线y ＝ex+1围成的区域的面积为S 故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积意在考解析：1 【分析】如图所示：计算交点为()1,1e +计算积分()()111xe e dx ⎡⎤+-+⎣⎦⎰得到面积.【详解】依题意，令e +1＝e x +1，得x ＝1，所以直线x ＝0，y ＝e +1与曲线y ＝e x +1围成的区域的面积为S ()()()1111110xx x e e dx e e dx ex e ⎡⎤=⎰+-+=⎰-=-=⎣⎦ 故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积，意在考查学生的计算能力.16．3-2ln2【分析】求出曲线直线y=2x 的交点坐标根据定积分的几何意义列式即可求解【详解】依题意联立方程组解得所以封闭的图形面积为=（x2-2lnx ）=3-2ln2故答案为：3-2n2【点睛】本题考解析：3-2ln2【分析】求出曲线2 yx=，直线y=2x的交点坐标，根据定积分的几何意义列式，即可求解．【详解】依题意，联立方程组22yxy x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，所以封闭的图形面积为212(2)x dxx-⎰=（x2-2lnx）21=3-2ln2．故答案为：3-2n2．【点睛】本题考查了定积分的几何意义，定积分的求法，其中解答中确定定积分式，准确运算是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及计算能力，属于基础题．17．【解析】【分析】根据定积分的运算将函数分为两个部分分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解再合并起来即可【详解】由定积分的几何意义可知表示的为单位圆在第一象限内的面积即由微积分基本定理可知解析：14π+【解析】【分析】根据定积分的运算，将函数分为两个部分，分别用定积分的几何意义和微积分基本定理两个内容求解，再合并起来即可。
《定积分》测试题
《定积分》测试题一、选择题1. 在等分区间的情况下f (x )＝11＋x2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积正确的是 ( ) ∑=∞→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i n n n i A 122)1(211lim .∑=∞→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+n i n n n i B 122211lim .∑=∞→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+n i n n n i C 12111lim .∑=∞→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i n n n i D 2121111lim . 2.下列命题不正确的是( )A ．若()f x 是连续的奇函数，则()d 0aa f x x -=⎰B ．若()f x 是连续的偶函数，则0()d 2()d aa af x f x x x -=⎰⎰C ．若()f x 在[],a b 上连续且恒正，则()d 0bax f x >⎰D ．若()f x 在[),a b 上连续且()d 0baf x x >⎰，则()f x 在[),a b 上恒正3.由直线0,0,1===x y x和曲线3x y =3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是 ( ) A.119B.111256 C.1127D.25644.由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是 ( )dx x A )4(.240-⎰dx x B )4(.240+⎰dx x C 4.240-⎰dx x dx x D )4()4(.242220-+-⎰⎰5.=-⎰dx x 4230( )A ．321 B ．322 C ．323 D ．325 6.一物体以速度)/(232s m t t v +=做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ． 31mB ．36mC ．38mD ．40m7.设物体以速度v(t)=3t 2+t(m/s)作直线运动，则它在0～4s 内所走的路程为( )A.70mB.72mC.75mD.80m8.一物体在力F(x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F(x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J9.物体受到与它的运动方向相反的力F(x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x ＝1时，F(x )所做功等于( )A.e 10＋25 B.e 10－25 C ．－e 10＋25 D ．－e 10－2510.若两曲线y=x 2与y=c x 3(c>0)围成图形的面积是23，则c 等于( ) A.13B.12C.1D.2311.若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t ，那么从3小时到6小时期间内的产量为( ) A.12 B ．3－32 2 C ．6＋3 2 D ．6－32 12..定积分0|sin cos |d x x x π-=⎰（ ）A ．22+B ．22-C ．2D ．22二、填空题13.已知1201d 3x x =⎰，2217d 3x x =⎰，则220(1)d x x +=⎰________________．14．=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰dx x x 222cos 2sin π______________15.一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 16.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为 .三、解答题17.已知()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．（1）求()f x 的解析式； （2）求曲线()y f x =与曲线241y x x =--+所围成的图形的面积S ．18..以初速度40m/s 竖直向上抛一物体，ts 时刻的速度v=40-10t 2，求此物体达到最高时的高度为多少？19.设f(x )是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(－2，f(－2))处的切线方程为2x ＋y ＋3＝0. （1）求f(x )的表达式；（2）求f(x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；（3）若直线x ＝－t(0<t<1)把f(x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．。
(压轴题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)
一、选择题1．给出下列函数：①())ln f x x =；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．设113a x dx -=⎰，1121b x dx =-⎰，130c x dx =⎰则a ，b ，c 的大小关系( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a3．若函数()31f x x ax x =++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭是增函数,则a 的取值范围是( ) A ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．13,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 4．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A．．9-．323 D ．3535．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．2 6．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J7．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．3298．已知函数()[](]sin ,,00,1x x f x x π⎧∈-=∈，则()1f x dx π-=⎰（ ） A ．2π+ B ．2πC ．22π-+D ．24π-9．函数0()(4)xf x t t dt =-⎰在[1,5]-上（ ）A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值323-C ．最小值323-，无最大值 D ．既无最大值，也无最小值10．10)x dx ⎰=（ ）A ．22π+B ．12π+ C ．122π-D ．142π- 11．下列积分值最大的是（ ） A ．222sin +1x x dx -⎰（）B ．()22cos x dx ππ--⎰C ．224x dx --⎰D ．11edx x12．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．定积分211dx x⎰的值等于________. 14．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________．15．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.16．设函数()f x 的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[],a b 上的面积，已知函数()sin f x nx =在0,2n π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为1n()*n N ∈，则函数()()sin 32f x x π=-+在4,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的面积为__________．17．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．18．已知平面区域(){}2,|04x y y x Ω=≤≤-，直线:2l y mx m =+和曲线2:4C y x =-有两个不同的交点，直线l 与曲线C 围成的平面区域为M ，向区域Ω内随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2(),12P M ππ-⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则实数m 的取值范围是___________. 19．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为____________．20．曲线2y x 和曲线y x =________．三、解答题21．已知函数2()ln f x x a x =-（a R ∈），()F x bx =（b R ∈）. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设2a =，()()()g x f x F x =+，若12,x x （120x x <<）是()g x 的两个零点，且1202x x x +=， 试问曲线()y g x =在点0x 处的切线能否与x 轴平行？请说明理由. 22．如图，函数()sin()f x x ωϕ=+（其中π0,2ωϕ>≤）的图象与坐标轴的三个交点为,,P Q R ，且π(,0)6P ,2π(,0)3Q ，M 为QR 的中点，且M 的纵坐标为34-.（1）求()f x 的解析式；（2）求线段QR 与函数()f x 图象围成的图中阴影部分的面积. 23．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．24．一物体沿直线以速度()23v t t =-（t 的单位为:秒,v 的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻 t=5秒间运动的路程? 25．已知函数2()ln 1a f x x x +=++，其中a ∈R. (1)当a ＝4时，求f (x )的极值点；(2)讨论并求出f (x )在其定义域内的单调区间．26．已知函数()xae f x x x=+．（1）若函数()f x 的图象在(1,(1))f 处的切线经过点(0,1)-，求a 的值；（2）是否存在负整数a ，使函数()f x 的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由；（3）设0a >，求证：函数()f x 既有极大值，又有极小值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aaxx a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．A解析：A 【解析】借助定积分的计算公式可算得1121330033|22a x dx x -===⎰，1131220022111|1333b x dx x =-=-=-=⎰，13410011|44c x dx x ===⎰，所以a b c >>，应选答案A 。
(典型题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．12201x dx -=⎰（ ）A ．12πB ．3128π+ C ．368π+ D ．364π+2．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+3．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( ) A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-4．若2(sin cos )2x a x dx π-=⎰，则实数a 等于（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．35．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 16．由曲线2y x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为（ ） A ．52 B ．4 C ．2 D ．927．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．508．已知函数20()cos 0x f x x x ≥⎧=⎨<⎩,则12()f x dx π-⎰的值等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．20sin xdx π=⎰（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．010．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2311．已知11em dx x=⎰，函数()f x 的导数()()()f x a x m x a '=++，若()f x 在x a =-处取得极大值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a < B ．10a -<< C ．1a >或0a <D ．01a <<或0a <12．若函数31()log ()(01)(,0)3a f x x ax a a 且在区间=->≠-内单调递增，则实数a 的取值范围是( )． A ．2[,1)3B ．1[,1)3C ．1[,1)(1,3]3D ．(1,3]二、填空题13．()222sin 4x x dx -+-=⎰______.14．两个函数12y x =与2y x =-，它们的图象及y 轴围成的封闭图形的面积为______ 15．由曲线sin .cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形的面积是______.16．已知函数()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩，若()()()21f a f a f -+≤，则实数a 的取值范围是___________． 17．2222(sin 4)x x x dx -+-⎰=______．18．()1||214x ex dx -+-=⎰__________________19．二项式33()a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．20．2(1)x dx -=⎰________.三、解答题21．已知函数1ln(1)()x f x x++=（1）求函数的定义域；（2）判定函数()f x 在(1,0)-的单调性，并证明你的结论； （3）若当0x >时，()1kf x x >+恒成立，求正整数k 的最大值. 22．计算下列定积分. （1）1211e dx x +-⎰； （2）342x dx -+⎰.23．如图：求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2， y ＝e －1所围成的平面图形面积.24．已知函数1()ln 2f x x x =-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调递增区间． 25．已知函数()22()x f x e x x R =-+∈． （1）求()f x 的最小值；（2）求证：x ＞0时，221x e x x >-+． 26．计算下列各式的值． （1） ()0sin cos d x x x π-⎰；（2）2132d x x x +-⎰．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B【分析】令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，则该积分表示该半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，求出面积即可. 【详解】解：令21y x =-，则()2210x y y +=≥，点(),x y 的轨迹表示半圆，12201x dx -⎰表示以原点为圆心，2为半径的圆的上半圆与y 轴，12x =，x 轴围成的曲边梯形的面积，如图：故12201131311222612OAB BOCx dx SS ππ-=+=⨯⨯⨯=+扇形. 故选：B. 【点睛】本题考查定积分的几何意义，属基础题.2．B解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.3．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰ 故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.4．A解析：A 【解析】试题分析：解：因为()()()2200sin cos cos sin |cossincos0sin 022x a x dx x a x a a ππππ-=--=-----⎰＝()010a ----＝1a -，所以12a -=，所以， 1.a =-故选A. 考点：定积分.5．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.6．D解析：D 【解析】试题分析：由定积分的几何意义得，293122122132221=-+=-+=--⎰)(])[(x x x dx x x s ,故选D 。
定积分单元测试题
一、、填空题（1）定积分的值只与_______及_______有关，而与积分变量的符号无关． （2）设()()()1132001,______1f x x f x dx f x dx x=+=+⎰⎰则． （3）⎰+badx x g x f x f )()()(1=，则⎰+badxx g x f x g )()()(= ；（4）(121sin ________x x dx -=⎰（5）设()()()()2_______xx e f x f dt -'=⎰连续，F x =t ,则F x（6）设()()220_______xd f x tf x t dt dx -=⎰连续，则． （7）设()()1ln 1,______1x t f x dt f x f t x ⎛⎫=+= ⎪+⎝⎭⎰则。
二、选择题（1） 设[]上连续在区间b a x f ,)(，则⎰⎰-babadt t f dx x f )()(的值为（ ）A ．大于零B ．小于零 Ｃ．等于零 Ｄ．以上都不对（2）dx x xx ⎰-+ππ1cos 23=（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．１（3）定积分dx x f ba⎰)(是（ ）A ．的一个原函数)(x fB ．确定的函数 Ｃ．的全体原函数)(x fD ．任意常数()()()()()()000______xxf x x x x f x x x f t t t dt φφφ=→→⎰⎰0（4）设、在点的某邻域内连续且时，是的高阶无穷小，则时，sintdt 是的无穷小。
A. B. C.D 低阶高阶同阶非等价 .等价三、用定积分的定义计算（1）∑=∞→+ni n n in111lim；（2）)0( 21lim 1>++++∞→p nn p p p p n 四、利用定积分求下图阴影部分面积，并求其绕X 、Y 轴旋转所形成的旋转体体积。
yx)(ayy2xxx22=y2-2+ π（b ）(c) 五、计算1、设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=., x e,, x xx f x 011011，求⎰-2)1(dx x f . 2、求极限⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x xx x dxe dx e 0220 22lim 3、求⎰1)(dx x f ，设()⎪⎩⎪⎨⎧≤<--⋅≤≤=.1 ,11,0 , x t t x t t x x x f 4、 ⎰--1145xxdx ； 5、⎰--223cos cos ππdx x x ；6、 ⎰exdx x 1ln ； 7、⎰π2)sin (dx x x ；8、⎰exdx 0ln ； 9、 ⎰-1131dx x 10、计算⎰∞+∞-++ 222x x dx六、证明；若函数)(x f 在],[b a 上连续，则⎰⎰-+-=1])([)()(dx x a b a f a b dx x f ba七、设)(x f 为连续正值函数，证明当0≥x 时，函数⎰⎰=x xdtt f dt t tf x 00 )()()( φ单调增加. 八设函数)(x f 连续，=)(x ϕ,)(1dt xt f ⎰且A xx f x =→)(lim（A 为常数），求)(x ϕ'并讨论)(x ϕ'在0=x 处的连续性.答案：一、1、被积函数 积分区间2、/3π 3、b-a-1 4、/2π 5、()()22x xxf x e f e --+6、()2xf x 7、21ln 2x 二、1、C 2、C 3、B 4、B 三、（1）∑=∞→+ni n n in111limnn i ni n 11lim1⋅+=∑=∞→⎰+=11dx x)1()1(121⎰++=x d x 1023)1(32⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=x )122(32-=（2） 21lim1+∞→+++p pp p n n n 1lim 1n n i ni pn ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=∞→⎰=10 dx x p1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+p x p 11+=p 四、a 、311dx x ⎰332211112x y V dxV xdx xxππ==⎰⎰ b、1202)x dx ⎰())1324201222x y V x x dxV xx dx ππ=--=-⎰⎰c、222cos cos xdx xdx ππππ--⎰⎰222022cos2cos 2(cos )xy V xdxV x xdx x x dx ππππππππ-==+-⎰⎰⎰五、1、令t x =-1，则⎰-2)1(dx x f ⎰-=11)(dt t f ⎰-=1)(dt t f ⎰+1)(dt t f⎰-+=01 11dt e t⎰++1 0 11dt t ()⎰-+=1 1dt e ee ttt()[]10 1ln t ++⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=01 111ttt de e e 2ln +2ln 1ln 01+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-t t e e ()1ln +=e 2、0 3、t/2 4、 61；5、 34；6、 )1(412+e ；7、 463ππ-；8、 0；9、 发散.10、π； 六、令()x a b a x =+- 七、()0x φ'≥八、分析 当0≠x 时，将,)(1dt xt f ⎰通过变量代换，把被积函数中的x 转化到积分限上,再求)(x ϕ'.当0=x 时，由)(x ϕ的定义知=)0(ϕ()0)0(10 f dt f =⎰.根据A xx f x =→)(lim0知0)0(=f .由导数定义求出)0(ϕ'.再根据函数连续性的定义判断)(x ϕ'在0=x 处的连续性.解 令u xt =，则=)(x ϕ)()(11 0 xt d xt f x ⎰du u f x x⎰= 0)(1 )0(≠x)(x ϕ'=)(1x f x du u f xx ⎰- 0 2)(1 )0(≠x由A x x f x =→)(lim0及)(x f 的连续性知:)0(f )(lim 0x f x →=0)(lim 0=⋅=→x xx f x ，从而0)0(=ϕ.由导数定义得)0(ϕ'xx x )0()(limϕϕ-=→2)(limx du u f xx ⎰→=x x f x 2)(lim→= 2A= 故 )(x ϕ'⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠-=⎰.0 ,2,0 ,)(1)( 0 2x A x du u f x x x f x又 )(lim 0x x ϕ'→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰→du u f xx x f xx 020)(1)(lim 22A A A =-=)0(ϕ'=所以)(x ϕ'在0=x 处连续.。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(答案解析)
一、选择题1．给出下列函数：①()()2ln 1f x x x =+-；②()3cos f x x x =；③()xf x e x =+.0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰的函数是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．已知71()x x +展开式中，5x 的系数为a ，则62axdx =⎰（ ）A ．10B ．11C ．12D ．133．如图，由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ）A ．1B ．23C ．43D ．24．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 5．3侧面与底面所成的角是45︒，则该正四棱锥的体积是（ ） A ．23B ．43C ．23D ．236．22221231111,,,x S x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 17．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．438．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14 B ．12C ．1D ．29．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．50 10．已知10(31)()0ax x b dx ，,a b ∈R ，则⋅a b 的取值范围为（ ）A ．1,9B ．1,1,9C ．1,[1,)9D ．()1,+∞11．定义{},,min ,,,a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩设31()min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积（ ） A ．12ln 26+ B ．12ln 24+ C ．1ln 24+ D ．1ln 26+ 12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．若112lim 22n nn n n t t +-→+∞-=+ ，则实数t 的取值范围是_____________.14．曲线,,0x y e y e x ===围成的图形的面积S =______15．曲线()sin 0πy x x =≤≤与x 轴围成的封闭区域的面积为__________． 16．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________． 17．定积分()12xx e dx +=⎰__________．18．曲线2y x =与直线230x y --=所围成的平面图形的面积为________.19．二项式33()6a x -的展开式的第二项的系数为,则的值为______．20．若，则的值是__________．三、解答题21．已知二次函数()f x 满足(0)0f =，且对任意x 恒有(1)()22f x f x x +-=+. （1）求()f x 的解析式；（2）设函数()()'()g x f x f x λ=-，其中'()f x 为()f x 的导函数.若对任意[0,1]x ∈，函数()y g x =的图象恒在x 轴上方，求实数λ的取值范围.22．为了降低能源消耗，某冷库内部要建造可供使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为4万元，又知该冷库每年的能源消耗费用c （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系()(010)25kc x x x =≤≤+，若不建隔热层，每年能源消耗为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求k 的值及()f x 的表达式；（2）隔热层修建多厚时，总费用()f x 达到最小？并求最小值. 23．已知函数()32f x x ax =+图像上一点()1,P b 的切线斜率为3-，()()()3261302t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[]1,4x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围. 24．计算曲线223y x x =-+与直线3y x所围图形的面积．25．在(332x x11的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为α，求1x α⎰d x26．已知()ln f x x x mx =+，2()3g x x ax =-+-（1）若函数()f x 在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若当0m =时，对任意(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】利用定义判断①②中的函数为奇函数，根据奇函数和定积分的性质，判断①②；利用反证法，结合定积分的性质，判断③. 【详解】对①，()f x 的定义域为R1())))()f x x x x f x --===-=-即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对②，()f x 的定义域为R33()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，即函数()f x 为奇函数，则0a ∃>使得()0aaf x dx -=⎰对③，若0a ∃>，使得()0aaf x dx -=⎰成立则()2102aax x a aa a e x dx e x e e ---⎛⎫+=+- ⎪⎝==⎭⎰，解得0a =，与0a >矛盾，则③不满足 故选：A 【点睛】本题主要考查了定积分的性质以运用，属于中档题.2．D解析：D 【分析】利用二项式的通项公式求得7a =，从而求得762xdx ⎰的值.【详解】在71()x x +展开式中，得二项式的通项公式7721771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令725r -=，解得1r =，所以5x 的系数为177C =，即7a =.所以7267662213axdx xdx x ===⎰⎰.故选：D 【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，求定积分的值，属于中档题．3．D解析：D 【解析】由曲线21y x =-直线0,2x x ==和x 轴围成的封闭图形的面积是122201(1)(1)S x dx x dx =---⎰⎰31320111281()|()|2133333x x x x -+-=+--+ 4．B解析：B【解析】求导函数，可得()1'220f x mx x x=+->，，函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，所以()'0f x < 成立，即1220(0)mx x x+-<>恒成立，所以21211m x ⎛⎫->-- ⎪⎝⎭，所以21m ->-，所以12m < 时，函数()f x 在定义域内是增函数．故选B ．5．B解析：B 【解析】设底面边长为a ，依据题设可得棱锥的高2ah =，底面中心到顶点的距离2d =，由勾股定理可得2221()()22a a +=，解之得2a =，所以正四棱锥的体积21242323V =⨯⨯=，故应选答案B ．6．B解析：B 【解析】3221321322217ln |ln 2||,.11133x S x S x S e e e S S S ==<==<==-∴<<选B.考点：此题主要考查定积分、比较大小，考查逻辑推理能力.7．A解析：A 【解析】 试题分析：()'323x x=,所以切线方程为13(1),32y x y x -=-=-,所以切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积()2238323S x dx =-=⎰.考点：1、切线方程；2、定积分.【易错点晴】本题易错点有三个,一个是切线方程,错解为看成过()1,1的切线方程；第二个错误是看成与y 轴围成的面积,()()22320328103232333S x dx x dx =--+-=+=⎰⎰；第三个是没有将切线与x 轴的交点求出来,导致没有办法解决题目.切线的常见问题有两种,一种是已知切点求切线方程；另一种是已知切线过一点求切线方程,两种题目都需要我们认真掌握.8．A解析：A 【解析】试题分析：由1(1)1x f x x e ++=-+知()2x f x x e =-+，则()1(0)2x f x e f ''=+⇒=，而(0)1f =-，即切点坐标为()0,1-，切线斜率(0=2k f '=），则切线()():12021l y x y x --=-⇒=-，切线l 与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫⎪⎝⎭和()0,1-，则切线l 与坐标轴围成的三角形的面积为1111224S =⋅⋅-= 考点：函数在某点处的切线9．B解析：B 【解析】由定积分的物理意义，得，即力做的功为46．考点:定积分的物理意义．10．C解析：C 【分析】本题可以先根据定积分的运算法则建立a 与b 的等量关系，然后设abt ，则312t a b，再然后根据构造法得出a 、b 为方程23102t xx t 的根，最后根据判别式即可得出结果． 【详解】112(31)()(33)ax x b dx ax abx x b dx 1223331()02222abx x ab ax bx a b =+++=+++=，即3210ab a b，设ab t ，则312t a b，a 、b 为方程23102t xx t 的根，有231402t t ，解得19t 或1t ≥， 所以1,[1,)9a b ，故选C ．【点睛】本题考查定积分的运算法则以及构造法，能否根据被积函数的解析式得出原函数的解析式是解决本题的关键，考查韦达定理的使用，是中档题．11．B解析：B 【解析】由31x x=，得1x =±，则图象的交点为(1,1)--，(1,1) ∵()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∴根据对称性可得函数()f x 的图象与x 轴、直线4x =所围成的封闭图形的面积为143401141111|ln |ln 42ln 201444x dx dx x x x +=+=+=+⎰⎰ 故选B12．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.二、填空题13．【分析】利用数列的极限的运算法则转化求解即可【详解】解：当|t|≥2时可得可得t ＝﹣2当|t|＜2时可得：综上可得：实数t 的取值范围是：﹣22）故答案为﹣22）【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的 解析：[)2,2-【分析】利用数列的极限的运算法则，转化求解即可． 【详解】解：当|t |≥2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞，可得2n 22()11t lim 2121n t t t→∞⨯--==⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ，可得t ＝﹣2． 当|t |＜2时，n+1nn n-1n 2-t lim =22+t→∞可得： 22()2lim 211?()2n n tt t →∞+=+ ， 综上可得：实数t 的取值范围是：[﹣2，2）． 故答案为[﹣2，2）． 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力．14．【解析】【分析】先求出两曲线的交点再由面积与定积分的关系利用定积分即可求解【详解】由题意令解得交点坐标为所以曲线围成的图形的面积【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积其中解答中根据题设中的 解析：1【解析】 【分析】先求出两曲线,x y e y e ==的交点，再由面积与定积分的关系，利用定积分即可求解． 【详解】由题意，令x y ey e=⎧⎨=⎩，解得交点坐标为(1,)e ， 所以曲线,,0xy e y e x ===围成的图形的面积110()()|1x xS e e dx ex e =-=-=⎰．【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题设中的条件建立面积的积分表达式，利用定积分的计算准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．2【解析】与轴所围成的封闭区域的面积故答案为2解析：2 【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积ππsin d cos cos πcos020S x x x==-=-+=⎰，故答案为2.16．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析：90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17．e 【解析】点睛：1求曲边图形面积的方法与步骤(1)画图并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围从而确定积分的上下限；(3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和即各积分解析：e 【解析】1212120(2)()|(1)(0)x x x e dx x e e e e +=+=+-+=⎰. 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 (1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； (3)确定被积函数；(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．18．【解析】试题分析：联立交点所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域面积为考点：1定积分的应用---求曲边梯形的面积；2微积分基本定理【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图在直角坐标系中画出直 解析：323【解析】 试题分析：联立2{230y x x y =--=,交点(1,1)A -,(9,3)B ,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为322332111132(23)(3)|(399)(13)333S y y dy y y y --=+-=+-=+---+=⎰.考点：1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本题中，若对x 进行定积分，2,y x y x ==±，有些麻烦，这里就转化为对y 进行定积分，要容易很多.19．或【解析】试题分析：展开后第二项系数为时时考点：1定积分；2二项式定理解析：3或73【解析】试题分析：展开后第二项系数为233122a a -=-∴=±，1a =时3121|33x -==，1a =-时 31217|33x --== 考点：1．定积分；2．二项式定理20．2【解析】试题分析：∵易得故答案为考点：定积分的计算解析：2 【解析】 试题分析：∵，易得，故答案为.考点：定积分的计算.三、解答题21．（1）()2f x x x =+；（2）{|0}λλ<【解析】分析：（1）设2()f x ax bx c =++，代入已知，由恒等式知识可求得,,a b c ； （2）由（1）得()g x ，题意说明()0<g x 在[0,1]x ∈上恒成立，由分离参数法得221x x x λ+<+，问题转化为求22([0,1])21x x x x +∈+的最小值． 详解：（1）设()()20f x ax bx c a =++≠，()00f =，0c ∴=. 于是()()()()22111f x f x a x b x ax bx +-=+++--222ax a b x =++=+.解得1a =，1b =.所以()2f x x x =+. （2）由已知得()()221g x x x x λ=+-+ 0>在[]0,1x ∈上恒成立. 即221x x x λ+<+在[]0,1x ∈上恒成立. 令()221x x h x x +=+，[]0,1x ∈ 可得()()()()()22222212221'02121x x x x x h x x x +-+++==>++. ∴函数()h x 在[]0,1单调递增，∴ ()()min 00h x h ==.∴ λ的取值范围是{|0}λλ<.点睛：本题考查用导数研究不等式恒成立问题，不等式恒成立问题通常伴随着考查转化与化归思想，例如常用分离参数法化为()()g h x λ≤，这样只要求得()h x 的最小值min ()h x ，然后再解min ()()g h x λ≤，即得λ范围．22．（1）800()4(010)25f x x x x =+≤≤+；（2）当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元.【解析】试题分析：（I ）根据c （0）=8计算k ，从而得出f （x ）的解析式；（II ）利用基本不等式得出f （x ）的最小值及等号成立的条件．试题（1）当0x =时，()085k c ==，∴40k =. 由题意知，()4020425f x x x ⨯=++，即()()800401025f x x x x =+≤≤+. （2）∵()()800401025f x x x x =+≤≤+∴()()21600'425f x x -=++，令()'0f x =，即()242516000x +-=， ∴7.5x =. 当[)0,7.5x ∈时，()'0f x <，当(]7.5,10x ∈时，()'0f x >，当7.5x =时，()f x 取得最小值. ()min 80047.57027.55f x =⨯+=⨯+. 所以，当隔热层修建7.5cm 厚时，总费用最小，最小费用70万元. 23．(Ⅰ)3a=-,2b =-；(Ⅱ)[]4,16-；(Ⅲ)124t ≤≤ 【解析】试题分析：(Ⅰ)由导函数研究原函数切线的方法得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得3a =-,2b =-；(Ⅱ)将不等式恒成立的问题分类讨论可得实数t的取值范围是124t ≤≤+ 试题（Ⅰ）()232f x x ax '=+ ∴()1323f a =+=-' ∴3a =- ∴()323f x x x =-因为()113f b =-= ∴2b =- （Ⅱ）由（Ⅰ）得()323f x x x =- ∴()236f x x x '=- 令()0f x '= 解得120,2x x ==()()()()14,00,24,416f f f f -=-==-=∴()f x 的值域是[]4,16- （Ⅲ）因为[]1,4x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立∴()22160tx t x -++≥在[]1,4上恒成立，令()()2216h x tx t x =-++ 对称轴为1t x t +=因为0t >∴11t x t+=> ∴()21441240t t t t +⎧<⎪⎨⎪∆=+-≤⎩或()()144168160t t h t t +⎧≥⎪⎨⎪=-++≥⎩ 解得：t的取值范围为124t ≤≤+ 24．92． 【解析】【详解】试题分析：利用定积分计算曲线所围成面积，先画出图象，再找到图象交点的横坐标，然后写出定积分式子，注意被积函数为上方的图象对应的函数减图象在下方的函数． 试题由23{23y x y x x =+=-+解得03x x ==及．从而所求图形的面积332200[(3)(23)](3)S x x x dx x x dx =+--+=-+⎰⎰3230139=|322x x ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 考点：定积分． 25．67 【分析】 先求()332x x -11展开式的通项公式，其中有2项有理项，确定概率1α6=，根据定积分的计算法则，先求出被积函数x α的原函数，再分别将积分上下限代入求差，即可求出结果.【详解】解：T r ＋1＝11r C ·(3x )11－r ·()32x -r ＝11r C ·311－r ·(－2)r ·，r ＝0,1，…，11，共12项其中只有第4项和第10项是有理项，故所求概率为21α126==. 111716600066=|=77x dx x dx x α∴=⎰⎰ 【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项式展开式的特定项问题、考查古典概型的概率公式，考查定积分的计算.解题关键是熟练应用二项式展开式的通项公式，找出符合条件的项数.26．（1）1m ≤-；（2）4a ≤.【解析】试题分析：(1)求导，利用导数对t 的范围进行分类讨论求最值.(2)本小题实质是22ln 3x x x ax ≥-+-在()0,x ∈+∞上恒成立，进一步转化为3 2ln a x x x ≤++在()0,x ∈+∞上恒成立,然后构造函数()32ln (0)h x x x x x=++>利用导数研究h(x)的最小值即可.注意不要忽略x>0的条件,导致求导数的方程时产生增根. 试题（1）()f x 定义域为()0,+∞，()()ln 1f x x m '=++，因为()f x 在()1,+∞上为单调函数，则方程()ln 10x m ++=在()1,+∞上无实根. 故10m +≥，则1m ≤-.（2）22ln 3x x x ax ≥-+-，则32ln a x x x ≤++，对一切()0,x ∈+∞恒成立. 设()32ln (0)h x x x x x =++>，则()()()231'x x h x x +-=， 当()()()0,1,'0,x h x h x ∈<单调递减，当()()()1,,'0,x h x h x ∈+∞>单调递增.()h x 在()0,+∞上，有唯一极小值()1h ，即为最小值.所以()()min 14h x h ==，因为对任意()()()0,,2x f x g x ∈+∞≥恒成成立，故4a ≤.点睛：利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min≥a 即可；f(x)≤a 恒成立，只需f(x)max≤a 即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.。
(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(答案解析)
一、选择题1．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．22．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16B ．36C ．13D ．233．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01||(sin )z x dx ππ=-⎰，则a =（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．12±4．曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝2π所围成的平面区域的面积为( ) A ．π20⎰(sin x －cos x )d xB ．2π40⎰(sin x －cos x )d xC ．π20⎰(cos x －sin x )d xD ．2π40⎰(cos x －sin x )d x5．定积分= A ．B ．C ．D ．6．已知函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是（ ） A ．12m ≥B ．12m < C ．1m ≥ D ．1m < 7．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰， 0c xdx =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<8．324xdx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2539．121(1)x x dx --+=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π10．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 11．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．2312．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．已知0a >，6x ⎫-⎪⎭展开式的常数项为15，则(02a x x dx -++=⎰______.14．(22sin x dx -=⎰______.15．在直线0x =，1x =，0y =，1y e =+围成的区域内撒一粒豆子，则落入0x =，1y e =+，e 1x y =+围成的区域内的概率为__________．16．定积分1)x dx =⎰______________.17．已知函数()xxf x e =，在下列命题中，其中正确命题的序号是_________. （1）曲线()y f x =必存在一条与x 轴平行的切线； （2）函数()y f x =有且仅有一个极大值，没有极小值；（3）若方程()0f x a -=有两个不同的实根，则a 的取值范围是1()e-∞，； （4）对任意的x ∈R ,不等式1()2f x <恒成立； （5）若1(0,]2a e∈，则12,x x R +∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为12[,]x x ； 18．已知()[](]21,11,1,2x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则()21f x dx -=⎰______． 19．已知(111,a dx -=⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________20．定积分1024x dx π⎫-⎪⎭⎰的值______. 三、解答题21．已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点()0,2，且()28f x dx =⎰.（1）求函数()f x 的表达式.（2）若函数()22g x x =+，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积.22．如图计算由直线y ＝6－x，曲线y x 轴所围图形的面积．23．梯形ABCD 顶点B 、C 在以AD 为直径的圆上，AD =2米，(1)如图1，若电热丝由AB ，BC ，CD 这三部分组成，在AB ，CD 上每米可辐射1单位热量，在BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大，并求总热量的最大值；(2)如图2，若电热丝由弧,AB CD 和弦BC 这三部分组成，在弧,AB CD 上每米可辐射1单位热量，在弦BC 上每米可辐射2单位热量，请设计BC 的长度，使得电热丝辐射的总热量最大．24．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且()22f x x =+'（1）求()y f x =的表达式；（2）求()y f x =的图像与两坐标轴所围成图形的面积25．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．26．（1）求曲线2y x 和曲线y x =（2cos351sin 20︒︒︒-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C 解析：C 【分析】由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1s~6s 2间的运动路程可用定积分612()d s v t t =⎰表示，计算即得解 【详解】由题中图像可得，2,01()2,1311,363t t v t t t t ⎧⎪≤<⎪=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩由变速直线运动的路程公式，可得61311132621()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰6132211231492(m)64tt t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭．所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49m 4． 故选：C 【点睛】本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.2．C解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为)13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力3．A解析：A 【解析】 因为11122a i a a z i i -+-==+-，所以222111()()22222a a z a +-=+=+式0011(sin )[cos ]|1x dx x x ππππ-=--=⎰22122112a a +=⇒=，即1a =±，应选答案A 。
北京 《定积分在几何中的应用》精品测试
《定积分在几何中的应用》金牌训练题一、选择题1．如右图，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛ab f (x )dx B.⎠⎛ab g (x )dx C.⎠⎛a b [f (x )－g (x )]dxD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]dx 解析：由题图，易知在x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，∴S ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]dx . 答案：C2．由曲线y ＝f (x )[f (x )≤0，]，x ∈[a ，b ]，x ＝a ，x ＝b (a <b )和x 轴围成的曲边梯形的面积S 等于( )A.⎠⎛ab f (x )dx B ．－⎠⎛ab f (x )dx C.⎠⎛ab [f (x )－a ]dx D.⎠⎛ab [f (x )－b ]dx 解析：由定积分的几何意义，易知S ＝－⎠⎛ab f (x )dx . 答案：B3．由曲线y ＝x 和y ＝x 3所围成图形的面积可用定积分表示为( )A.⎠⎛01xdx ＋⎠⎛01x 3dx B.⎠⎛01x 3dx －⎠⎛01xdx C.⎠⎛01xdx ＋⎠⎛01x 3dxD.⎠⎛01xdx －⎠⎛01x 3dx 答案：D4．(2009·淄博模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32B ．1 C.12 D ．4 解析：依题意，得面积＝2＋2＝4.答案：D5．(2008·宁夏、海南)由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围图形的面积为( ) A.154B.174C.12ln2 D ．2ln2解析：1x dx ＝ln x |212＝ln2－ln 12＝2ln2. 答案：D 6．由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(如右图所示阴影部分)的面积S 的最小值为( )A.14B.13故k ＝±3.答案：±3三、解答题10．求由曲线y ＝14x 2，x ∈[0,3]，直线x ＝0及y ＝214所围成的平面图形的面积．解：如图所示，所求面积S 为矩形ABCO 的面积减去由曲线y ＝14x 2和直线x ＝3，y ＝0围成的图形的面积S 1.因为S 1＝⎠⎛0314x 2dx ＝94，所以S ＝3×214－94＝92. 11．求抛物线y ＝－x 2＋4x －3及其点(0，－3)和(3,0)处的切线所围成图形的面积． 解：k ＝y ′＝－2x ＋4，在(0，－3)点处，k 1＝4，切线方程为y ＝4x －3；在(3,0)点处，k 2＝－2，切线方程为y ＝－2x ＋6.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －3，y ＝－2x ＋6，得交点(32，3)．12．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2.(1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线x ＝－t (0<t <1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2.。
高二数学导数、定积分测试题
高二数学选修2—2导数、定积分测试题一、选择题：（每小题5分）1、若函数1()sin 2sin 2f x x x =+，则'()f x 是（ ）A ．仅有最小值的奇函数B ．仅有最小值的偶函数 Ｃ. 既有最大值又有最小值的偶函数 Ｄ. 非奇非偶函数2、设32()(0)f x ax bx cx d a =+++>，则()f x 为增函数的充要条件是（ ） A 、240b ac -> B 、0,0b c >> C 、0,0b c => Ｄ、230b ac -≤ ３、设2()()(0)f x x ax bx c a =++≠在1x =和1x =-处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是（ ）Ａ (,)a b Ｂ (,)a c Ｃ (,)b c Ｄ (,)a b c +４、已知对任意实数x ，有()(),()()f x f x g x g x -=--=。
且0x >时，''()0,()0f x g x >>则0x <时 （ ）Ａ ''()0,()0f x g x >> Ｂ ''()0,()0f x g x >< Ｃ ''()0,()0f x g x <> Ｄ ''()0,()0f x g x <<５、设a R ∈，若函数3,ax y e x x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）11.3.3..33A aB aC aD a >-<->-<-６、已知32()f x ax bx cx d =+++与x 轴有３个交点12(0,0),(,0),(,0),x x 且()f x 在1,2x x ==时取极值，则12x x ⋅的值为（ ）Ａ ４ Ｂ ５ C 6 D 不确定7、曲线3cos (0)2y x x π=≤≤与两坐标轴所围成图形的面积为（ ） A . 4 B . 2 C . 52D. 38、设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，则20()f x dx ⎰等于（ ）A 34B 45C 56D 不存在9、'(3)ba f x dx =⎰（ ）A ()()f b f a -B (3)(3)f b f a -C[]1(3)(3)3f b f a - D []3(3)(3)f b f a - 10、101dx xxm e dx =⎰⎰e 1与n=的大小关系是（ ）A m n >B m n <C m n =D 无法确定 １１、已知1220()(2)f a ax a x dx =-⎰，则()f a 的最大值是（） Ａ 23 Ｂ29 Ｃ 43 Ｄ 49１２、定积分10)x dx ⎰等于（） Ａ24π- Ｂ12π- Ｃ14π- Ｄ 12π-二、填空题（每题４分）１3、质点运动的速度2(183)/v t t m s =-，则质点由开始运动到停止运动所走过的路程是.14、已知函数2()321f x x x =++，若11()2()f x dx f a -=⎰成立，则a ＝. 15、()f x 是一次函数，且11017()5,()6f x dx xf x dx ==⎰⎰，则()f x 的解析式是. 16、已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为''(),(0)0f x f >，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则'(1)(0)f f 的最小值为.三、解答题（共74分）17、设两抛物线222,y x x y x =-+=所围成的图形为M ，求：（1）M 的面积；（2）将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(含答案解析)
一、选择题1．计算211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ）A ．34B ．3ln 22+ C ．55ln 22+ D ．3ln 2+2．设函数()f x 是R 上的奇函数， ()()f x f x π+=-，当02x π≤≤时，()cos 1f x x =-，则22x ππ-≤≤时， ()f x 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ）A ．48π-B ．24π-C ．2π-D ．36π-3．设若20lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，((1))1f f =，则a 的值是( ) A ．-1 B ．2 C ．1 D ．-24．设()2012a x dx =-⎰,则二项式6212a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的常数项是（ ）A ．240B ．240-C ．60-D ．605．由23y x =-和2y x =围成的封闭图形的面积是（ ） A ．23 B ．923- C ．323 D ．3536．324xdx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233 D ．2537．曲线3y x =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形的面积为（ ） A ．83B ．73C ．53D ．438．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．9．121(1)x x dx --=⎰（ ）A ．1π+B ．1π-C ．πD ．2π 10．已知二次函数()y f x =的图像如图所示 ，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）A ．25π B ．43C ．32D ．2π 11．已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．23二、填空题13．计算 121dx x--⎰=_____________． 14．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________．15．12021sin x dx xdx π--=⎰⎰______16．曲线y=x 2与y=x 所围成的封闭图形的面积为______． 17．由3x π=-，3x π=，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．18．已知()[](]2,0,11,1,x x f x x e x⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩(e 为自然对数的底数),则()e 0f x dx =⎰_________.19．1202x xdx -+=⎰__________20．定积分120124x x dx π⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎰的值______. 三、解答题21．已知函数f （x ）=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值， g （x ）=f （x ）﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有1212()()1g x g x x x ->-恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 22． 求曲线2yx 和直线y x =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．23．已知函数()1x f x e ex =--，其中e 为自然对数的底数，函数()(2)g x e x =-. （1）求函数()()()h x f x g x =-的单调区间；（2）若函数(),,()(),f x x m F x g x x m ≤⎧=⎨>⎩的值域为R ，求实数m 的取值范围. 24．已知函数f （x ）=x 3-3ax+e ，g （x ）=1-lnx ，其中e 为自然对数的底数.（I ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线l ：x+2y=0垂直，求实数a 的值；（II ）设函数F （x ）=-x[g （x ）+12x-2]，若F （x ）在区间（m,m+1）（m ∈Z ）内存在唯一的极值点，求m 的值；（III ）用max{m ，n}表示m ，n 中的较大者，记函数h （x ）=max{f （x ），g （x ）}（x>0）. 若函数h （x ）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a 的取值范围. 25．已知函数()121f x x x a =+--+ （1）当0a =时，解不等式()0f x ≥；（2）若二次函数2814y x x =-+-的图象在函数()y f x = 的图象下方，求a 的取值范围·26．已知()[](]22122f x 1x 24x x x ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩，，，，，求k 的值，使()3k40f x dx 3=⎰.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据牛顿莱布尼茨公式，即可代值求解. 【详解】根据牛顿莱布尼茨公式211x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰2211()2x lnx =+1142122ln ln ⎛⎫=⨯+-+ ⎪⎝⎭ 322ln =+. 故选：B. 【点睛】本题考查牛顿莱布尼茨公式的直接应用，属基础题.2．A解析：A【解析】由题设()()()()2f x f x f x f x ππ+=-⇒+=，则函数()y f x =是周期为2π的奇函数，画出函数()[],0,2y f x x π=∈的图像，结合函数的图像可知：只要求出该函数(),0,2y f x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦的图像与x 轴所围成的面积即可。
武汉市高中数学选修2-2第四章《定积分》测试(包含答案解析)
一、选择题1．直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A．B．C ．2D ．42．已知)221a ex dx π-=⎰，若()201620121ax b b x b x -=++ 20162016b x ++（x R ∈），则12222b b + 201620162b ++的值为（ ） A ．1-B ．0C ．1D ．e3．等比数列{}n a 中,36a =,前三项和3304S xdx =⎰,则公比q 的值为（ ）A ．1-或12-B ．1或12-C ．12-D ．14．曲线xy e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．35．定积分2]x dx ⎰的值为（ ）A ．24π- B ．2π- C ．22π- D ．48π-6．)120d x x ⎰的值是（ ）A ．π143- B ．π14- C ．π123- D ．π12- 7．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ） A ．5,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭8．设函数e ,10()1x x f x x ⎧-≤≤⎪=<≤，计算11()d f x x -⎰的值为（ ） A ．1e πe 4-+ B ．e 1πe 4-+ C．e 1e - D ．e 1πe 2-+ 9．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．32910．函数()22,04,02x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，则22()f x dx -⎰的值为（ ）A ．6π+B ．2π-C ．2πD ．811．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2312．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 22二、填空题13．已知函数()[)[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩则()22f x dx π-=⎰___________14．由直线2y x =+与曲线2yx 围成的封闭图形的面积是__________．15．定积分21d 1x x ⎰-的值为__________．16．由曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为________________.17．计算由曲线22,4y x y x ==-所围成的封闭图形的面积S =__________． 18．201x dx -=⎰__________．19．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．20．函数3y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______．三、解答题21．已知函数31()ln 2f x x ax x =--()a R ∈.（1）若()f x 在(1,2)上存在极值，求(1)f 的取值范围；（2）当0x >时，()0f x <恒成立，比较a e 与232a e+的大小. 22．如图所示，抛物线21y x =-与x 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD 作为工业用地，其中A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上 已知工业用地每单位面积价值为3a 元()0a >，其它的三个边角地块每单位面积价值a 元．（Ⅰ）求等待开垦土地的面积；（Ⅱ）如何确定点C 的位置，才能使得整块土地总价值最大．23．如图：求曲线y ＝e x －1与直线x ＝－ln 2， y ＝e －1所围成的平面图形面积.24．设函数()32,0{,0x x x x f x axe x ->=≤，其中0a >.（1）若直线y m =与函数()f x 的图象在(]0,2上只有一个交点，求m 的取值范围； （2）若()f x a ≥-对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 25．由定积分的性质和几何意义，求出下列各式的值： （1）22aa x dx --⎰；（2）()1201(1)x x dx --⎰.26．求曲线6y x =-和8y x =y ＝0围成图形的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】直线4y x =与曲线3y x =的交点坐标为(0,0)和(2,8)， 故直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积23242001(4)2|8444S x x dx x x ⎛⎫=⎰-=-=-= ⎪⎝⎭．故选D ．2．A解析：A 【解析】因为22x -表示的是以原点为圆心、半径为2的上半圆的面积，即22πx -=，222221e d (e )|02x x x --==⎰，所以)221e d 2a x x π-==⎰，则()2016201212x b b x b x -=++ 20162016b x ++，令0x =，得01b =，令12x =，得1202022b b b =++ 201620162b ++，则12222b b + 2016201612b ++=-；故选A. 点睛：在处理二项展开式的系数问题要注意两个问题：一是要正确区分二项式系数和各项系数；二要根据具体问题合理赋值（常用赋值是1、-1、0）.3．B解析：B 【解析】试题分析：解：∵3304S xdx =⎰=18，,∴a 1+a 2=32a q (1+q)=12，⇒2q 2-q-1=0，⇒q=1或q=12-，故选B考点：等比数列的前n 项和, 定积分的基本运算点评：本题考查等比数列的前n 项和、定积分的基本运算，求定积分关键是找出被积函数的原函数，本题属于基础题．4．A解析：A 【解析】试题分析：'0xxy e y e x =∴=∴=时'11y k =∴=，直线方程为1y x =+，与两坐标轴交点为()()1,0,0,1-，所以三角形面积为12考点：导数的几何意义及直线方程5．B解析：B 【解析】试题分析：由定积分的几何意义有2204(2)x dx --⎰表示的是以(2,0)为圆心，半径为2的圆的14部分，而20xdx ⎰表示的是直线y x =，0,2,x x x ==轴所围成的面积，故220[4(2)]x x dx ---⎰表示的图形如下图的阴影部分，面积为221122242ππ⨯-⨯=-.故选B.考点：1.定积分的几何意义；2.方程的化简.6．A解析：A 【详解】因为定积分()()111222200011d 11)(x d x x x x dx x ⎫⎫--=---⎪⎪⎭⎭⎰⎰⎰，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去13得到，即为143-π，选A. 7．C解析：C 【解析】由题意得，2'()325f x x x =+- ，令5'()013f x x x >⇒><-或，故选C. 8．B解析：B 【解析】因为函数2e ,10()1,01x x f x x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩，所以102110()d e d 1d x f x x x x x --=+-⎰⎰⎰，其中01101e 1e d e e e 11e e xxx ---==-=-=-⎰，1201d x x -⎰表示圆221x y +=在第一象限的面积，即12π1d 4x x -=⎰，所以11e 1π()d e 4f x x --=+⎰，故选B ．9．C解析：C 【详解】由1xy y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，13xy y =⎧⎨=⎩解得133x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，3y y x =⎧⎨=⎩解得33x x =⎧⎨=⎩，所围成的平面图形的面积为S ，则()()1111331131(31)323ln |2S dx x x x ⎛⎫=⨯--+-=+- ⎪⎝⎭⎰，4ln 3S =-，故选C.10．A解析：A 【分析】 先求出22()f x dx -=⎰2264x dx +-⎰,再求出2204x dx π-=⎰即得解.【详解】 由题得2022220222201()(2)4(2)|42f x dx x dx x dx x x x dx ---=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰22064x dx =+-⎰,设24(02,0)y x x y =-<≤≥,所以22+4x y =，所以24(02,0)y x x y =-<≤≥表示圆22+4x y =在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点)，其面积为14=4ππ⨯⨯. 所以2204x dx π-=⎰.所以22()6f x dx π-=+⎰.故选：A 【点睛】本题主要考查定积分的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11．D解析：D 【分析】根据三视图可得到该几何体的直观图，进而可求出该几何体的体积. 【详解】根据三视图可知该几何体为四棱锥E ABCD -，四边形ABCD 是边长为1的正方形，BE ⊥平面ABCD ，2BE =，则四棱锥E ABCD -的体积为1233ABCD V S BE =⋅=. 故选D.【点睛】本题考查了三视图，考查了四锥体的体积的计算，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.12．B解析：B 【解析】 【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =， 所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题13．【分析】利用定积分的计算法则可得由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解【详解】因为函数所以故答案为:【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题 解析：24π-【分析】利用定积分的计算法则可得()22f x dx π-=⎰223222cos x dx xdx xdx πππ-++⎰⎰⎰，由基本初等函数的求导公式求得原函数即可求解. 【详解】因为函数()[)[)[]3,2,22,2,cos ,,2x x f x x x x x πππ⎧∈-⎪=∈⎨⎪∈⎩, 所以()22f x dx π-=⎰223222cos x dx xdx xdx πππ-++⎰⎰⎰4222221sin 4x x xπππ-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭24π=-,故答案为:24π- 【点睛】本题考查定积分的几何意义和定积分的计算法则及基本初等函数的求导公式;属于中档题.14．【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域如图所示由得解得或则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积故答案为解析：92【解析】作出两条曲线所对应的封闭区域，如图所示，由22y x y x=+⎧⎨=⎩，得22x x =+，解得1x =-或2x =，则根据定积分的几何意义可知所示的封闭区域的面积223212119(2)d 21322S x x x x x x -⎛⎫=+-=-++= ⎪-⎝⎭⎰，故答案为92．15．【解析】根据定积分的定义知故填解析：23【解析】根据定积分的定义知，1231111112d |3333x x x --⎛⎫==--= ⎪⎝⎭⎰，故填23.16．【解析】由题设曲线与所围成的平面图形的面积为应填答案解析：16【解析】由题设曲线22y x =+与3y x =，1x =，2x =所围成的平面图形的面积为222321131251(32)(2)|23366S x x dx x x x =--=--=-+=⎰，应填答案16。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试卷(有答案解析)
一、选择题1．已知函数2(1),10()01x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤则11()d f x x -=⎰（ ） A ．3812π- B ．4312π+ C ．44π+ D ．4312π-+ 2．已知函数sin (11)()1(12)x x f x x x-≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则21()f x dx -=⎰( )A ．ln 2B ．ln 2-C ．12-D ．3cos 1-3．4片叶子由曲线2||y x =与曲线2||y x =围成，则每片叶子的面积为（） A ．16BC ．13D ．234．已知1a xdx =⎰， 12b x dx =⎰，c =，则a ， b ， c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<5．已知函数f(x)=x 2+1的定义域为[a,b](a<b),值域为[1,5],则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．26．函数()325f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）A ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和1,B ．5,3⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭1,C ．(),1-∞-和5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-⋃5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =围成的封闭图形的面积是 AB．2C ．π23-Dπ38．设曲线e x y x =-及直线0y =所围成的封闭图形为区域D ,不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定的区域为E ,在区域E 内随机取一点,则该点落在区域D 内的概率为A ．2e 2e 14e--B ．2e 2e 4e -C ．2e e 14e --D ．2e 14e-9．已知402cos 2d t x x π=⎰，执行下面的程序框图，如果输入的,2a t b t ==，那么输出的n 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．3B ．32ln 2+C ．223e -D ．e11．由曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为( ) A ．172ln 22- B ．152ln 22- C ．15+2ln 22D ．17+2ln 2212．二维空间中圆的一维测度（周长）2l r π=，二维测度（面积）2S r π=，观察发现()S r l '=：三维空间中球的二维测度（表面积）24S r π=，三维测度（体积）343V r π=，观察发现()V r S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =（ ）. A ．224r πB ．283r πC ．514r πD ．42r π二、填空题13．02114edx x dx x-+-=⎰⎰______________.14．由曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为__________． 15．由3x π=-，3x π=，0y =，cos y x =四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________． 16．已知函数()323232t f x x x x t =-++在区间()0,∞+上既有极大值又有极小值，则实数t 的取值范围是__________． 17．已知()12111,a x dx -=+-⎰则932a x x π⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭展开式中的各项系数和为________18．定积分2sin cos t tdt π=⎰________．19．由直线0x =， 23x π=，0y =与曲线2sin y x =所围成的图形的面积等于________．20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．已知函数f （x ）=x 3+32x 2+mx 在x=1处有极小值， g （x ）=f （x ）﹣23x 3﹣34x 2+x ﹣alnx ． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）是否存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有1212()()1g x g x x x ->-恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由． 22．函数()ln ,kf x x k R x=+∈．若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）．23．求曲线y x =，2y x =-，13y x =-所围成图形的面积．24．已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-，求：由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.25．求由抛物线28(0)y x y =>与直线60x y +-=及0y =所围成图形的面积. 26．有一动点P 沿x 轴运动,在时刻t 的速度为v (t )=8t-2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致). (1)P 从原点出发,当t=6时,求点P 运动的路程; (2)P 从原点出发,经过时间t 后又返回原点,求t 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】根据积分的性质将所求积分化为()211x dx -++⎰⎰，根据微积分基本定理和定积分的求法可求得结果. 【详解】()()0022321100011112100101111333x dx x x dx x x x --+=++=++=++-++=---⎰⎰，⎰表示以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限中的部分的面积，4π∴=⎰，()()121114313412f x dx x dx ππ--+∴=++=+=⎰⎰⎰.故选：B . 【点睛】本题考查积分的求解问题，涉及到积分的性质、微积分基本定理和定积分的求解等知识，属于基础题.2．A解析：A 【分析】将所求积分分成两段来进行求解，根据积分运算法则可求得结果. 【详解】()21212111111sin cos ln cos1cos1ln 2ln1ln 2f x dx xdx dx x x x ---=+=-+=-++-=⎰⎰⎰故选：A 【点睛】本题考查积分的计算问题，关键是能够按照分段函数的形式将所求积分进行分段求解.3．C解析：C 【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积. 【详解】 如图所示：由2y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得0,0,x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩， 根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为()13023210211d 333x x x x x ⎛⎫⎰-=-= ⎪⎝⎭.故答案选C 【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力4．C解析：C【解析】因为11113212312000000111122,,|223333a xdx x b x dx x c xdx x =========⎰⎰⎰,所以b ac <<,故选C.5．C解析：C 【解析】 由函数的图像可知，需满足或，所以点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是边长为2的正方形，其面积为4.6．C解析：C 【解析】由题意得，2'()325f x x x =+- ，令5'()013f x x x >⇒><-或，故选C. 7．D解析：D 【解析】曲线()sin 0πy x x =≤≤与直线12y =的两个交点坐标分别为(π6,12),(5π6,12), 则封闭图形的面积为5π5π66ππ6611πsin cos |3223x dx x x ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰本题选择D 选项.点睛：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y ＝f (x )为奇函数，则()()0aaf x dx a ->⎰ ＝0.8．D解析：D 【详解】曲线e x y x =-及直线0y =所围成封闭图形的面积()1211112xx S e x dx e x -⎛⎫=-=- ⎪-⎝⎭⎰阴影=1e e --;而不等式组1102x y -≤≤⎧⎨≤≤⎩所确定区域的面积22 4.S =⨯=所以该点落在区域D 内的概率1S 4S e e P --==阴影=2e 14e-.故选D. 【方法点睛】本题题主要考查定积分的几何意义及“面积型”的几何概型，属于中档题.解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与体积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否等可能性导致错误.9．B解析：B 【解析】由题意得4402cos2d sin 2|sin 12t x x x πππ====⎰．所以输入的1,2a b ==． 执行如图所示的程序，可得：①3,5,5,2a b S n ====，不满足条件，继续运行； ②8,13,18,3a b S n ====，不满足条件，继续运行；③21,33,51,4a b S n ====，满足条件，停止运行，输出4．选B ．10．A解析：A 【解析】如图所示，曲边四边形OABC 的面积为11121212ln 12(ln ln1)1232eedx x e x ⨯⨯+=+=+-=+=⎰.故选A.点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．11．B解析：B【解析】 【分析】联立方程组，确定被积区间和被积函数，得出曲边形的面积2121(4)S x dx x=-⎰，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，联立方程组41y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12x =， 所以曲线4y x =，1y x=，2x =围成的封闭图形的面积为 22222112211115(4)(2ln )|(22ln 2)[2()ln ]2ln 2222S x dx x x x =-=-=⨯--⨯-=-⎰， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了利用定积分求解曲边形的面积，其中解答中根据题意求解交点的坐标，确定被积分区间和被积函数，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【解析】因为4328W r W r V ππ'=⇒==，所以42W r π=，应选答案D ． 点睛：观察和类比题设中的函数关系，本题也可以这样解答：34418824W r dr r r πππ=⎰=⨯=，应选答案D ． 二、填空题13．【分析】根据以及定积分的几何意义可得答案【详解】因为表示的是圆在x 轴及其上方的面积所以所以＝故答案为：【点睛】本题考查了定积分的计算考查了定积分的几何意义属于基础题 解析：21π+【分析】根据1(ln )x x'=以及定积分的几何意义可得答案.【详解】11edx x⎰=ln 1e x ln ln1101e =-=-=，因为2224x dx --⎰表示的是圆224x y +=在x 轴及其上方的面积，所以2224x dx --⎰21222ππ=⨯⨯=，所以11edx x ⎰2224x dx -+-⎰＝12π+. 故答案为：21π+.【点睛】本题考查了定积分的计算，考查了定积分的几何意义，属于基础题.14．【分析】转化为定积分求解【详解】如图：曲线与直线及所围成的封闭图形的为曲边形因为曲线与直线及的交点分别为且所以由曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为【点睛】本题考查定积分的意义及计算 解析：12ln 22-【分析】 转化为定积分求解. 【详解】 如图：,曲线2y x=与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的为曲边形ABC , 因为ABC ABCD ACD S S S =- , 曲线2y x=与直线1y =x -及1x =的交点分别为(1,2)，(2,1) 且212ABCD S dx x =⎰，21(1)ACD S x dx =-⎰，所以，()22222111121(1)2ln 2ABCS dx x dx x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭⎰⎰ ()221112ln 22ln122112ln 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯--⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由曲线2y x =与直线1y =x -及1x =所围成的封闭图形的面积为12ln 22-. 【点睛】本题考查定积分的意义及计算.15．【解析】【分析】根据分的几何意义得到直线y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为【详解】根据余弦函数的对称性可得直线y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为故答案为：【点睛】本题考查【解析】 【分析】根据分的几何意义得到直线3x π=-，3x π=，y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为3302cos 2sin |x d x ππ==⎰【详解】根据余弦函数的对称性可得，直线3x π=-，3x π=，y=0与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为3302cos 2sin |x d x ππ==⎰【点睛】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于中档题.16．【解析】由题意可得在有两个不等根即在有两个不等根所以解得填解析：90,8⎛⎫⎪⎝⎭【解析】2()32f x tx x -'=+，由题意可得()0f x '=在()0,+∞有两个不等根，即2320tx x -+=在()0,+∞有两个不等根，所以302980tt ⎧>⎪⎨⎪∆=->⎩，解得908t <<，填90,8⎛⎫⎪⎝⎭ 17．－1【解析】表示圆上半圆的面积所以那么原二项式为的展开式中各项系数和令那么故填：-1解析：－1【解析】11111a dx --=+⎰， 1111|21dx x -==-⎰ ，1- ，表示圆221x y += 上半圆的面积2π，所以22a π=+ ，那么原二项式为932x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中各项系数和，令1x = ，那么932111⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭ ，故填：-1.18．【解析】试题分析：因为所以考点：定积分的计算【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分计算定积分首先要熟悉常见函数的导函数因题中恰好为的导函数所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换 解析：12【解析】 试题分析：因为，所以2sin cos t tdt π=⎰.考点：定积分的计算.【方法点睛】本题主要考察利用换元法求定积分，计算定积分，首先要熟悉常见函数的导函数，因题中恰好为的导函数，所以可以考虑用换元法来求定积分；本题也可利用三角恒等变换来求，因为，所以有2sin cos t tdt π=⎰22000111sin2sin22sin 244tdt td t udu πππ===⎰⎰⎰ 011cos |42u π-=. 19．【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为考点：定积分的几何意义 解析：3【解析】试题分析：由定积分的几何意义可知所求面积为223302sin 2cos |123S xdx x ππ==-=+=⎰．考点：定积分的几何意义．20．【解析】试题分析：由题意可知此题求解的概率类型为关于面积的几何概型由图可知基本事件空间所对应的几何度量S （Ω）=1先将y2=x 化成：联立的：因为x≥0所以解得：x=0或x=1所以曲线y=x2与所围成解析：13【解析】试题分析：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，由图可知基本事件空间所对应的几何度量S（Ω）=1，先将y2=x化成：，联立的：因为x≥0，所以解得：x=0或x=1，所以曲线y=x2与所围成的图形的面积S，即满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量：S（A）==．则点M取自阴影部分的概率为P（A）=考点：几何概型；定积分在求面积中的应用点评：本题考查了利用定积分求面积以及几何摡型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题三、解答题21．（1）单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）；（2）7a≤-2【解析】试题分析：（1）由极值定义得f′（1）=6+m=0，解得m值，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间（2）先等价转化不等式：设0＜x1＜x2，g（x1）﹣x1＜g （x2）﹣x2．再构造函数h（x）=g（x）﹣x，转化为h（x）在（0，+∞）为增函数，利用导数研究h（x）导函数恒非负的条件，即得a的取值范围试题解：（1）∵f（x）=x3+x2+mx，∴f′（x）=3x2+3x+m，∵f（x）=x3+x2+mx在x=1处有极小值，∴f′（1）=6+m=0，得m=﹣6．∴f（x）=x3+x2﹣6x，则f′（x）=3（x2+x﹣2）=3（x﹣1）（x+2）．∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（1，+∞），单调减区间为（﹣2，1）；（2）g（x）=f（x）﹣x3﹣x2+x﹣alnx=x3+x2﹣6x﹣x3﹣x2+x﹣alnx=﹣5x﹣alnx．假设存在实数a 使得对任意的 x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有＞1恒成立，不妨设0＜x 1＜x 2，只要g （x 1）﹣g （x 2）＜x 1﹣x 2， 即：g （x 1）﹣x 1＜g （x 2）﹣x 2．令h （x ）=g （x ）﹣x ，只要 h （x ）在（0，+∞）为增函数即可． 又函数h （x ）=g （x ）﹣x=， 则h′（x ）==．要使h'（x ）≥0在（0，+∞）上恒成立，则需2x 3+3x 2﹣12x ﹣2a≥0在（0，+∞）上恒成立， 即2a≤2x 3+3x 2﹣12x ．令t （x ）=2x 3+3x 2﹣12x ，则t′（x ）=6x 2+6x ﹣12=6（x+2）（x ﹣1）．∴当x ∈（0，1）时，t （x ）单调递减，当x ∈（1，+∞）时，t （x ）单调递增， 则t （x ）min =t （1）=﹣7． ∴2a≤﹣7，得a ．∴存在实数a ，对任意的x 1、x 2∈（0，+∞），且x 1≠x 2，有＞1恒成立．22． 故()f x 的单调递减区间为()0,e ，极小值为2． 【解析】试题分析：（1）由切线与20x -=垂直，可知切的斜率为0，对()f x 求导，()0f e '=，代入可求得k 。
(完整版)定积分测试题及答案
定积分测试题及答案班级： 姓名： 分数：一、选择题：（每小题5分）1.0=⎰（ ）A.0B.1C.π D 4π2(2010·山东日照模考)a ＝⎠⎛02x d x ，b ＝⎠⎛02e x d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b3.(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112 B.14 C.13 D.7124．由三条直线x ＝0、x ＝2、y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( )A ．4 B.43 C.185D ．65.(2010·湖南师大附中)设点P 在曲线y ＝x 2上从原点到A (2,4)移动，如果把由直线OP ，直线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记作S 1，S 2.如图所示，当S 1＝S 2时，点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，169C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，157D.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1376．(2010·湖南省考试院调研)1-1⎰ (sin x ＋1)d x 的值为( )A ．0B ．2C ．2＋2cos1D ．2－2cos17．曲线y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线y ＝1所围成的图形面积是( )A ．2πB ．3π C.3π2D ．π8．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值9．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝⎠⎛1x 1t d t ，若f (x )<a 3，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫36，＋∞ B ．(0，e 21) C ．(e －11，e ) D ．(0，e 11)10．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC 内，曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π411．(2010·吉林质检)函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(－2≤x <0)2cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的图形面积S 为( )A.32 B ．1C ．4D.1212．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，曲线y ＝x 2(x ≥0)与x 轴，直线x ＝1构成区域M ，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M 内的概率是( )A.12B.14C.13D.25二、填空题：（每小题5分） 13. 0π⎰sin x d x =______________14.物体在力F(x)=3x+4的作用下，沿着与F 相同的方向，从x=0处运动到x=4处，力F 所做的功为______________15.211()x x dx +=⎰______________16.10()x x e e dx -+=⎰______________17.(2010·芜湖十二中)已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若1-1⎰f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.18．(2010·安徽合肥质检)抛物线y 2＝ax (a >0)与直线x ＝1围成的封闭图形的面积为43，若直线l 与抛物线相切且平行于直线2x －y ＋6＝0，则l 的方程为______．19．(2010·福建福州市)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．20．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小为________．答案1.D 2D 3A 4A 5A 6B 7A 8B 9D 10 A 11C 12 C13.2 14.40 1532+ln 2 16.e-1e 17.-1或13 18.16x-8y+1=019.-1 20.14。
高等数学第六章定积分应用综合测试题
实用文档第六章 定积分应用测试题A 卷 一、填空题（20分）1、定积分()20a a x dx ⎤-⎦⎰表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程是 .2、设一放射性物质的质量为()m m t =，其衰变速度()dmq t dt=，则从时刻1t 到2t 此物质分解的质量用定积分表示为 . 3、抛物线232y x x =--与Ox 轴所围成图形的面积 . 4、由极坐标方程()ρρθ=所确定的曲线及(),θβθβαβ==<所围扇形的面积为 . 二、选择题（20分）1、曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b ===<<及y 轴所围图形的面积A ，则实用文档A = [ ]（A ）ln ln ln b a xdx ⎰; （B ）bae x e e dx ⎰;（C ）ln ln b ya e dy ⎰; （D ）ln abe e xdx ⎰.2、曲线x y e =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A = [ ].（A ）()10x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1exe ex dx -⎰; （D ）()10ln ln y y y dy -⎰.3、曲线2ln(1)y x =-上102x ≤≤一段弧长s =[ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰;实用文档（C）; （D）. 4、矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力F =[ ].（A ）0h ahdh ⎰; （B ）0aahdh ⎰; （C ）012hahdh ⎰; （D ）02hahdh ⎰. 三、解答题1、（10分）求曲线23(4)y x =-与纵轴所围成图形的面积.2、（10分）求由圆22(5)16x y +-=绕x 轴旋转而成的环体的体积.3、（10分）试证曲线sin (02)y x x π=≤≤的弧长等于椭圆2222x y +=的周长.实用文档4、（10分）设半径为1的球正好有一半浸入水中，球的密度为1，求将球从水中取出需作多少功？5、（20分）设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的图形面积为2S .并且1a <.如图6.25.（1）试确定a 的值，使12S S +达到最小，并求出最小值； （2）求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.实用文档实用文档第六章 定积分应用测试题B 卷一、填空题（20分）1、求曲线222,82x y x y =+=所围图形面积A （上半平面部分），则A = .2、曲线3cos ,1cos r r θθ==+所围图形面积A = .3、求曲线sin ,1cos ,x t t y t =-⎧⎨=-⎩从0t =到t π=一段弧长s = .4、曲线()0,,2,0xy a a x a x a y =≤===与直线及所围成的图形绕Ox 轴旋转一周所得旋转体的体积V = . 二、选择题（20分）实用文档1、曲线1,,2y y x x x===所围图形的面积为A ，则A = [ ]（A ）2l 1()x dx x-⎰; （B ）2l 1()x dx x-⎰;（C ）22l l 1(2)(2)dy y dy y-+-⎰⎰; （D ）22l l 1(2)(2)dx x dx x-+-⎰⎰. 2、摆线()()()sin ,01cos ,x a t t a y a t =-⎧⎪>⎨=-⎪⎩一拱与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转的实用文档（A ）()22201cos a t dt ππ-⎰; （B ）实用文档()()22201cos sin aa t d a t t ππ--⎡⎤⎣⎦⎰;（C ）()()22201cos sin a t d a t t ππ--⎡⎤⎣⎦⎰; （D ）()2221cos aa t dt ππ-⎰. 3、星形线33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩的全长s =[ ]（A ）()2204sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰; （B ）()0224sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰;（C ）()202sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰; （D ）()022sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰.4、半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深()0h h a <<，则水面上升速度是[ ]（A ）2h d y dy dh π⎰; （B ）()220h d a y a dy dh π⎡⎤--⎣⎦⎰; （C ）20h d b y dy dh π⎰; （D ）2(2)h d b ay y dy dh -⎰.三、解答题1、（13分）由两条抛物线22,y x y x ==所围成的图形.（1）计算所围成图形的面积A ；（2）将此图形绕x轴旋转，计算旋转体的体积.2、（15分）由曲线2x=及x轴所围图形记作D，=，直线23y x（1）求D绕y轴旋转所得旋转体的体积；（2）求D绕直线3x=旋转所得旋转体的体积；（3）求以D为底且每个与x轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积.3、（12分）曲线24cos2=与x轴在第一象限内所围图形记作D，rθ试在曲线24cos2=上求一点M，使直线OM把D分成面积相等的rθ两部分.4、（10分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为,a b的半椭圆，短轴为其上沿，上沿与水面平行，且位于水下实用文档实用文档c 处，试求观察窗所受的水压力.5.(10分)求曲线x x y 22-=，0=y ，1=x ，3=x 所围成的平面图形的面积S ，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
(必考题)高中数学高中数学选修2-2第四章《定积分》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在1s~6s 2间的运动路程为（ ）m ．A ．1B ．43C ．494D ．22．已知是i 虚数单位，复数()1a i z a R i -=∈-，若01||(sin )z x dx ππ=-⎰，则a =（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．12±3．曲线x y e =在点（0，1）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3 4．如图，设D 是途中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数1(0)y x x=>图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为（ ）A ．ln 2B ．1ln 2-C ．2ln 2-D ．1ln 2+ 5．一物体在力(单位:N)的作用下沿与力相同的方向,从x=0处运动到(单位:)处,则力做的功为( )．A ．44B ．46C ．48D ．50 6．若在R 上可导,,则( )A ．B ．C ．D ．7．图中阴影部分的面积用定积分表示为（ ）A ．12d xx ⎰B ．()121d xx -⎰C ．()1021d xx +⎰D ．()112d xx -⎰8．已知幂函数a y x =图像的一部分如下图，且过点(2,4)P ，则图中阴影部分的面积等于（ ）A ．163B ．83C ．43D ．239．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 JB ．850 JC ．825 JD ．800 J10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．4B ．2C ．43D ．2311．定积分()22xex dx +⎰的值为（ ）A ．1B ．2eC ．23e +D ．24e +12．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′π()6，则f π()3-与f π()3的大小关系是( ) A ．f π()3-＝f π()3B ．f π()3-＞f π()3 C ．f π()3-＜f π()3D ．不确定二、填空题13．232319x x dx -⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰____________________. 14．已知曲线与直线所围图形的面积______.15．定积分211dx x⎰的值等于________. 16．由曲线2y x=，直线y =2x ，x =2所围成的封闭的图形面积为______． 17．由曲线x y e x =+与直线0,1,0x x y ===所围成图形的面积等于________． 18．曲线2yx 与直线2y x =所围成的封闭图形的面积为_______________.19．函数3y x x =-的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积等于_______．20．从如图所示的正方形OABC 区域内任取一个点M （x ，y ），则点M 取自阴影部分的概率为__．三、解答题21．求曲线y x =2y x =-及y 轴围成的封闭图形的面积.22．已知函数()221y f x x x ==-++和()1y g x x ==-，求：由()y f x =和()y g x =围成区域的面积.23．已知曲线C ：322321y x x x =--+，点1(,0)2P ，求过P 的切线l 与C 围成的图形的面积.24．设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+． （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．25．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线与曲线及坐标轴所围成图形的面积为112， 试求：（1）点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程. 26．计算由直线4,y x =-曲线y =x 轴所围图形的面积S 。
5答案定积分的计算
第五章 定积分的计算测试题一、选择题（7×4分）1．下列等式哪个不正确-----------------------------（ C ）A ⎰⎰=ba ba dt t f dx x f )()( B ⎰=xa x f dt t f dxd )()(C ⎰=b a x f dx x f dx d )()(D ⎰=ba dx x f dxd 0)( 2．设)(x f 是],[a a -上的连续函数，则⎰-=aa dx x f )(--------------（ D ） A 0 B ⎰adx x f 0)(2 C ⎰-0)(2a dx x f D⎰⎰-+00)()(aadx x f dx x f3．设⎰=202sin )(x dt t x F ，则=')(x F --------------------------（ C ） A 22sin x x B 2sin 2x x C 4sin 2x x D42sin x x4．⎰=-30|1|dx x --25---------------------------------------------------（ C ） A 0 B 1 C25D 25．⎰--=22cos 2xdx e x ----------------------------（ B ） A 0 B ⎰-20cos 22xdx ex C ⎰-1cos 42xdx ex D⎰-20cos 22xdx e x*6．下列反常积分中发散的是------------------------------------（ B ） Adx x ⎰+∞1231B dx x ⎰1231C ⎰1321dx xDdx x⎰117．=⎰eedx xx f 1)(ln ----------------------------------------------（ C ）A⎰eedt t f 1)( B⎰-11)(dt tt f C ⎰-11)(dt t f D⎰eedt tt f 1)( 二、填空题（3×4分）1．设⎰=xx x dt t f 0cos )(，则=)(x f x s i n x x c o s - 2．⎰-=11||3dx e x x _0___ 3．⎰∞+=+0241dx x4221210ππ==∞+x a r c t a n 三、计算题（4×7分）1．⎰-πθθθ03sin sin d x sin d x sin x sin d x sin dx x cos x sin ⎰⎰⎰-==ππππ2200=-202332π)x (sin ππ223)(sin 32x=34)10(3201(32=---） 2．⎰++4122dx x x解：令 tdt dx t x t x =-==+),1(21,1222dt t tdt t t dx x x )2321(2)1(211222313124+=+-=++⎰⎰⎰313231)2361()2321(t t dt t +=+=⎰ 3173626)2361()29627(=+=+-+= 3．⎰10arctan xdx x 解：dx x x x x dx x xdx x ⎰⎰⎰+-==221022101121arctan 21.arctan 21arctan dx xx x x ⎰+-=22102121arctan 21dx x x ⎰+-+-=102211)1(211arctan 21 10)arctan (218x x --=π214)41(218-=--=πππ 4．dx x x⎰+∞12ln 解：dx xx ⎰+∞12ln dx x x x x xd ⎰⎰∞+∞++∞+-=-=12111ln 1)1(ln 1=四、（8分）设⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=-0,0,1)(2x e x x x f x ，求⎰-31.)2(dx x f解： [][]1,13,12-∈⇒∈==-t x dtdx t x⎰⎰⎰⎰--+==-0113111)()()()2(dt t f dt t f dt t f dx x f⎰⎰--++=01102)1(dx e dt x x{10013)31(x e x x ---+=1137)1()311(0---=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=e e 五、求证：⎰⎰+=+202cos sin cos cos sin sin ππdx xx x x x xdx ，并求出⎰+20cos sin sin πdx x x x 的值。
高等数学定积分测试题
13、 设f ( x )连续，x > 0，且
∫
x2
1
f (t ) d t = x 2 (1 + x )，则f (2) = （
( B) ． 2 2 + 12 ( D)． 12 − 2 2
） 。
( A)． 4 (C )． 1+ 3 2 2
14、函数 f(x)在[a,b]上有界是定积分 (A) 充分必要条件 (C) 必要但非充分条件
x − 2 dx ；
2．
∫
e
1
ln x dx ； x
x
0
3．
∫ lim
x→0
2t cos t dt
；
1 − cos x
x
∫ 4． lim
x →∞
0
(arctan t )2 dt
x2 + 1
；
5．
∫
1
−1
x dx ； 5 − 4x
五、证明题 1.设 f ′′( x) 在 [ a, b] 上连续，证明：
7、
( B)1 ( D) 2
）
∫
0
−1
3x + 1 d x = （
5 ( A)． 6 3 (C )． − 2
8、 若f ( x) = ⎨
( B)． − 3 ( D)． 2 则∫ f ( x) d x = （
−1 2
5 6
⎧ x，x ≥ 0 ⎩e ，x < 0
x
）
( A)． 3 − e −1 (C )． 3 − e
( A)．有界 (C )．有定义
12、 设f ( x)为连续函数，且F ( x) =
( B)．连续 ( D)．仅有有限个间断点
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一、选择 （8小题，共26分）
1．
4)(2
x dt t f x
=⎰
，则=⎰dx x f x
40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2
2．设正值函数
)(x f 在],[b a 上连续，则函数
dt t f dt t f x F x
b
x
a
⎰
⎰+=)
(1
)()(在),(b a 上至少有（ ）个根。
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
3．
=+⎰
dx x x
3
1
( ) A ．18 B ． 3
8
C ． 1
D ．0
4．设
)(x ϕ''在[b a ,]上连续，且a b =')(ϕ，b a =')(ϕ，则
⎰='''b
a
dx x x )()(ϕϕ（ ）
（A ）b a -
（B ）21(b a -) （C ）)(2
1
22b a + （D ）)(2
122
b a - 5．
19
⎰
定积分作适当变换后应等于 A 、3
23xdx ⎰ B 、30
3xdx ⎰ C 、
2
3xdx ⎰
D 、3
23xdx --⎰
6．sin 22y x x ππ⎡⎤
-=⎢⎥⎣⎦
在
，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、
22
sin xdx π
π-⎰
B 、2
sin xdx π
⎰ C 、0 D 、
22
sin x dx π
π-⎰
7．2
1
x xe dx +∞
-=⎰
广义积分
A 、
12e B 、12e
- C 、e
D 、+∞ 8
．
2
()d ()(0)0(0)2lim
x
x f x x f x f f x →'==⎰若为可导函数，且已知，，则之值为
A 、0
B 、1
C 、2
D 、1
2
二、填空 （2小题，共5分）
1．dx x x
⎰-+2
2cos 7sin 3π
π=
2
．
[]上的定积分与
，在，则为周期的连续周期函数为以设)0()()(≠+a T a a x f T x f []______________0)(是上的定积分的大小关系，在T x f
三、计算 （11小题，共53分）
1．计算：．sin sin 3
22x xdx ⋅⎰
π
2．．计算
⎰
-+1
)1ln(e dx x
3．．
求
dx x x ⎰
-2
10
2
31 4．．计算积分
⎰10
arctan
dx x
5．．求
⎰
+16
1
4
x
x dx
6．．求
⎰
π
+20
2
cos x dx
7．的极小值．求函数tdt t x f
x
arctan )1()(1+=⎰-
8．．计算
dx x x x ⎰
++2
1
2
22)
1(1
2 9．．
求
⎰
π+40
)tan 1ln(dx x 10．．求⎰π
+3
3
cos 2x dx
11．．
计算积分dx x
x
⎰
π+4
2cos 1
四、证明 （2小题，共16分）
1．0
()()()(2)()x
f
x x x t f t dt φ-∞+∞=-⎰设偶函数在，上连续，且
()x φ证明：为偶函数．
2
．
[]()()(0)()()()f x x a a a x f x f x C
ϕϕ->+-=设，在， 上连续，为偶函数，且
()C 为常数，
()()()a
a
a
f x x dx C x dx ϕϕ-=⎰⎰证明： ．。