第一章误差分析的基本概念
分析化学1—1误差的基本概念
2.随机误差 （Random error) 由难以控制、无法避免的随机因素
造成的误差。
特点：大小和正负都难以测定， 不可避免，不可被校正，
符合统计规律．
3.过失误差
§1—1 误差的基本概念
一、准确度与误差 1.准确度（Accuracy ） 准确度表征分析结果与真值的 符合程度。 准确度通常用误差表示， 误差越小，分析结果的准确度越高。
6.滴定分析中，滴定误差属于（
）
A.系统误差
B.随机误差
C.过失误差 D.操作误差 7. 滴定分析的相对误差一般要求达到 0.1 ％，滴 定时要求消耗标准溶液的体积应控制在 。
8. 使用万分之一的分析天平称样 , 如欲称量的相 对误差不大于0.1％,应称量的最小质量______。 .
Ea x T 60.61% 60.66% 0.05%
Ea 0.05% Er 100 % 100 % 0.09% T 60.66%
S
x i x
5 i 1
2
n 1
0.10%
s 0.10% sr x 100% 60.61% 100% 0.17%
（7）极差
R xmax xmin
有限次测量(n次)
标准偏差
无限次测量(n→)
x x (样本) S n 1
2
(总体)
自由度
f n 1 (自由度是指独立偏差的个数)
x 2 n
S 相对标准偏差（变异系数） 100 % x
平均值的标准偏差
S Sx n
x
n
3. 准确度与精密度的关系
x1
x2
x3
x4
（1）精密度好是保证准确度高的先决条件，
误差理论第一章绪论
①在近似加减运算中，各运算数据以小数位数最少的数据为 准，其余各数据可多取一位小数，但最后结果应与小数位数 最少的数据位数相同。
②在乘除运算中，各运算数据以有效位数最少的数据位数为 准，其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字， 而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同。
③平方或开方运算，可按乘除运算处理。 12
三、误差分类 按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、差：在同一条件下，多次测量同一量值时， 误差的绝对值符号保持不变，或在条件改变时，按一定规 律变化的误差。（如常用的杆秤）
①按对误差掌握的程度分：已定系统误差（误差的绝对值 和符号已确定）；未定系统误差（误差的绝对值和符号未 能确定，但范围可估计出）。
15000 15080.3 80.3 0.4%
20000
20000
二、误差来源
（一）测量装置误差：①标准量具误差（如标准电阻、标准
砝码）； ②仪器误差（如天平、压力表、温度计）；③附件
误差（如测长仪的标准环规）
5
（二）环境误差：各种环境因素与规定的标准状态不一致 而引起的误差（如温度、湿度、振动等） （三）方法误差：由测量方法不完善而引起的。（如间接 测量圆直径） （四）人员误差：由测量人员的习惯或疲劳原因等引起的 误差。
§1-1 研究误差的意义
误差存在的必然性和普遍性：由于实验方法、实验设备的不 完善、周围环境的影响、人们认识能力的限制，使得测量和 实验所得的数据和被测量的真值之间，不可避免存在差异。 尽管科技发展和人们认识水平的提高可使误差控制的很小， 但终究不能完全消除，这种必然性和普遍性已为大量实践所 证明。
（三）粗大误差：超出在规定条件下预期的误差，又称 “寄生误差”，此误差值较大，明显歪曲测量结果（如 人员因素、有缺陷的仪器等）
数值分析课件 第一章 绪论
1 e 0 1 x n e 0 d I n x 1 e 0 1 x n e 1 d x e 1 1 ( ) I n n n 1 1
公式一：I n 1 e [ x n e x 1 0 n 0 1 x n 1 e x d x ] 1 n I n 1
I01 e 01exdx11 e0.63212 记为0I5 0* 6 此公式精确成
初始的小扰动 |E 0|0.51 0 8迅速积累，误差呈递增趋势。 造成这种情况的是不稳定的算法 /* unstable algorithm */ 我们有责任改变。
公式二： I n 1 n I n 1 I n 1 n 1 ( 1 I n )
方法：先估计一个IN ,再反推要求的In ( n << N )。 注 意在e此理(N 公论1 式上1)与等公价IN 式。一N 1 1
)
0 .0 6 6 8 7 0 2 2 0
I
12
1 (1 13
I
13
)
0 .0 7 1 7 7 9 2 1 4
I
11
1 (1 12
I
12
)
0 .0 7 7 3 5 1 7 3 2
I
10
1 11
(1
I
11
)
0 .0 8 3 8 7 7 1 1 5
I
1
1 2
(1
I
2
)
0 .3 6 7 8 7 9 4 4
0
2! 3! 4!
11/1e111 e1 x 2d1x11 1 3 2! 50 3! 7 4! 9
取 01ex2dxS4 ,
S4
R4 /* Remainder */
则 R 44 1 !1 9 由 留5 1 !下1 部1 分1 称为截断误差 /* Truncation Error */
误差分析
夏天钟摆变慢的原因？
夏天使钟摆热胀而变长,摆长影响 摆速,使摆速变慢;调短摆长。
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二、随机误差
1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时，误差的 大小和符号是无规律变化的误差。
2.产生的原因：是由测量过程中互相独立的、微小 的 偶然因素引起的。
4.特点：不能消除，也不能修正，值是随机的。多次 重复测量时，总体服从统计规律，故可以了解它的分 布特性，并能对其大小和测量结果的可靠性作出估计， 是误差理论的依据。
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随机误差的正态分布规律
2014-1-21
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随机事例的几个例子
彩票摇奖
2014-1-21
12
三、粗大误差
1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时， 明显偏离了结果的误差。 2.产生的原因：疏忽大意或不正确的观测、测 量条件的突然变化、仪器故障等。 3.特点：通常数值比较大。遵循一定的规则。 测量中应避免这类误差的出现。含有粗大误差 的测量值称为坏值。判断某一测量值是否为坏 值，可用统计方法或遵循一些准则。
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三种误差的关系：
三种误差可以互相转化。如尺子的分划误 差，在制造尺子时为随机误差，因为可长可短， 无规律，但用它测量时，该误差使测量结果始 终大些或小些，变成为系统误差。
还可根据误差产生的原因将其分成设备误差、人员误 差、环境误差、方法误差及测量对象变化的误差等。 正确的测量不会包含有粗大误差，系统误差又可以消 除，因此误差分析只是随机误差的分析。
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产生粗大误差的一个例子
明显偏离真值的误差称为粗大误差，也 叫过失误差。粗大误差主要是由于测量人员 的粗心大意及电子测量仪器受到突然而强大 的干扰所引起的。如测错、读错、记错、外 界过电压尖峰干扰等造成的误差。就数值大 小而言，粗大误差明显超过正常条件下的误 差。当发现粗大误差时，应予以剔除。
第1章 误差分析
教材P7 例1-3
1.2.3 算术平均误差 (average discrepancy)
定义式：
x
i 1
n
i
x
d
i 1
n
i
n
n
d i —— 试验值 xi 与算术平均值 x 之间的偏差
可以反映一组试验数据的误差大小
1.2.4 标准误差 (standard error)
当试验次数n无穷大时，总体标准差：
（b）
（ c）
精密度高并不意味着正确度也高
精密度不好，但当试验次数相当多时，有时也会得到 好的正确度
1.4.3 准确度（accuracy）
（1）含义：
反映了系统误差和随机误差的综合 表示了试验结果与真值的一致程度 无系统误差的试验 精密度 ：A＞B＞C 正确度： A＝B＝C 准确度： A＞B＞C
1.5.2 系统误差的检验
1.5.2.1 t检验法 （1）平均值与给定值比较
①目的：检验服从正态分布数据的算术平均值是否与给定值 有显著差异
②检验步骤：
计算统计量：
x 0 t s
n
服从自由度 df n 1 的t分布(t-distribution)
0 ——给定值（可以是真值、期望值或标准值）
1.6.2 有效数字的运算
（1）加、减运算： 与其中小数点后位数最少的相同 （2）乘、除运算 以各乘、除数中有效数字位数最少的为准
x xt x ER xt xt
或
真值未知，常将Δx与试验值或平均值之比作为相对误差：
x ER x
或
x ER x
1. 误差理论基础
E 2 8 μ m ，根据绝对误差定义，可知后者的测量准确度高。但若用第三
种方法测量 L2=80 mm 的尺寸，其测量误差为 E3 7 μ m ，此时用绝对误差 就难以评定它与前两种方法准确度的高低，必须采用相对误差来评定。
第一节 误差的基本概念
四、误差与偏差
（一）误差 1．绝对误差 测量值和真值之差称为绝对误差，通常简称为误差。 绝对误差(E)=X－T 式中 X——测量值； T——真实值。
第一节 误差的基本概念
对于多次测量的数值，求其准确度时，可按下式计算：
x1 x 2 x n i 1 算术平均值（ x ）= = n n
第一节 误差的基本概念
由于测量值可能大于真值，也可能测量值小 于真值，所以，绝对误差和相对误差都有正负之 分。严格来说，真值是不可能知道的。在实际工 作中，将标准物质的标准值或总体平均值当作真 值。为了表示或比较准确度的高低，有时用绝对 误差比较清楚，有时用相对误差更显得直观。
第一节 误差的基本概念
第一节 误差的基本概念
在计算测量结果的准确度时，对上述四个方 面的误差来源，必须进行全面的分析，力求不遗 漏、不重复，特照误差的特点与性质，误差可分为系统误 差、偶然误差两类。 １、系统误差 系统误差是指试验过程中，由于某些恒定因 素影响而出现的一种保持恒定或可以预知方式变 化的误差。
第一节 误差的基本概念
真值是指在测量一个量时，该量本身所 具有的真实大小。它是客观存在的，但不 可能准确知道的，是一个理想的概念。真 值一般是不可知的，只有在某些特定条件 下，真值才是可知的。
第一节 误差的基本概念
误差理论与数据处理-第一章误差的基本概念ppt课件.ppt
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第二节 测量误差的定义及基本概念
一、测量误差
定义
δ＝x-a
测量误差
被测量 的真值
测量结果
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
根据测量条件是否发生变化分类
等权测量
指在测量过程中，测量仪器、测量方法、测量条 件和操作人员都保持不变。因此，对同一被测量进 行的多次测量结果可认为具有相同的信赖程度，应 按同等原则对待。
不等权测量
指测量过程中测量仪器、测量方法、测量条件或 操作人员某一因素或某几因素发生变化，使得测量结 果的信赖程度不同。对不等权测量的数据应按不等权 原则进行处理。
δ≤2.5％×[0.1－（－0.1）]＝0.005（MPa） 引用误差专用于仪器仪表误差的描述。
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
第三节 测量误差的来源
为了减小测量误差，提高测量准确度，就必须了解误差 来源。而误差来源是多方面的，在测量过程中，几乎所有 因素都将引入测量误差。
测量方法误差
病原体侵 入机体 ，消弱 机体防 御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
第一章 试验数据的误差分析
第一章试验数据的误差分析（I）教学内容与要求（1）了解真值的基本概念，理解平均值的表示方法；（2）理解误差的基本概念及表示方法；（3）理解试验数据误差的来源及分类；（4）理解描述试验数据的精准度的三个术语：精密度、正确度和准确度；（5）理解随机误差的估计方法，理解秩和检验法在系统误差检验中的应用，掌握可疑数据的取舍规则；（6）理解有效数字的含义、有效数字的运算；（7）掌握误差的传递的基本原理；（8）了解Excel在误差分析中的应用。
（II）教学重点可疑数据的取舍规则，误差的传递。
（III）教学难点误差的传递。
通过实验测量所得的大批数据是实验的初步结果，但在实验中由于测量仪表和人的观察等方面的原因，实验数据总存在一些误差，即误差的存在是必然的，具有普遍性的。
因此，研究误差的来源及其规律性，尽可能地减小误差，以得到准确的实验结果，对于寻找事物的规律，发现可能存在的新现象是非常重要的。
误差估算与分析的目的就是评定实验数据的准确性，通过误差估算与分析，可以认清误差的来源及其影响，确定导致实验总误差的最大组成因数，从而在准备实验方案和研究过程中，有的放矢地集中精力消除或减小产生误差的来源，提高实验的质量。
目前对误差应用和理论发展日益深入和扩展，涉及内容非常广泛，本章只就化工基础实验中常遇到的一些误差基本概念与估算方法作一扼要介绍。
1.1 实验数据的真值和平均值1.1.1真值真值是指某物理量客观存在的确定值。
对它进行测量时，由于测量仪器、测量方法、环境、人员及测量程序等都不可能完美无缺，实验误差难于避免，故真值是无法测得的，是一个理想值。
在分析实验测定误差时，一般用如下方法替代真值：(1)实际值是现实中可以知道的一个量值，用它可以替代真值。
如理论上证实的值，像平面三角形内角之和为180°；又如计量学中经国际计量大会决议的值，像热力学温度单位—绝对零度等于－273.15K；或将准确度高一级的测量仪器所测得的值视为真值。
第六讲 测量误差分析
第一节 误差的基本概念
一、测量误差的定义：
1）绝对误差 ——测量所得数据与其相应的真值之差
测量误差 = 测得值 - 真值
x
=
x
–
x0 客观真实值（未知）
真值是一个理想的概念，除了在某些特定情况下，一 般是不知道的。在实际测量中，真值常用被测的量的算术 平均值来代替。
2）相对误差
•按出现的规律把系统误差分为四类： (1)固定不变的系统误差 (2)线性变化的系统误差 这种误差主要是由于误差 积累而产生的，常常与测量时间成线性关系。如蓄 电池的电压或电流随使用时间的增加而缓慢降低， 从而导致的误差。 (3)周期性变化的系统误差 (4)变化规律复杂的系统误差
二、系统误差的特点 (1)确定性 系统误差是固定不变的，或是 一个确定性的、即非随机性质的时间函 数，它的出现符合确定的函数规律。 (2)重现性 在测量条件完全相同时，经过 重复测量，系统误差可以重复出现。 (3)可修正性 正由于系统误差具有重现性， 就决定了它的可修正性。
(3)偏差之和相减法 当测量次数较多时，将 测量结果前一半的偏差之和，减去后一半 的偏差之和。如果其差值明显不为零，则 可认为在测量结果中存在着变化的系统误 差；如果其差值接近于零，说明不存在变 化的系统误差。
第四节 粗大误差与异常数据的取舍
一、粗大误差的产生原因 产生粗大误差的原因有许多，大致归纳为： （1）测量人员的主观原因 这是粗大误差产生的 主要原因，是由于测量者错误的读数和错误的 记录造成的； （2）客观外界条件的原因 由于测量条件意外的 改变，如外界振动等，引起仪器示值或被测对 象位置的改变而产生的粗大误差。
n
i
0
④ 单峰性 --- 绝对值小的误差出现的机会多（概率密度大）
误差
▪ 第一章 误差和精度的基本概念▪ 误差公理① 测量结果都具有误差，误差自始自终存在于一切科学实验和测量的过程之中。
② 误差是不相等的，即误差具有不确定性。
③ 误差一般是未知的，因为真值是未知的。
因此研究误差通常从残余误入手 。
④ 由于误差的不确定性，所以可以把误差看成是随机变量，可以利用概率论与数理统计学来研究误差。
注：由于误差的不可避免性，对测量误差的分析和处理就成为测量工作中的重要问题。
误差估计过大，会造成不必要的浪费，误差估计过小，会使测量准确度低，导致实验失败或影响产口 质量。
只有在准确估计测量误码差，合理使用实验设备，正确选用测量方法，严格控制测量 环境条件的情况下，才能获得与测量准确度要求相适应的测量结果。
2. 测量设备误差包括标准器件误差，装置误差，附件误差标准器件误差是指设计测量装置时，由于采用近似原理所带来的工作原理误差 。
一般要求标准器件的误差占总误差的1/3～1/10。
装置误差是指设备出厂时校准与定度所带来的误差 。
附件误差是指元器件老化、磨损、疲劳所造成的误差 。
3.测量方法误差指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误差4.测量环境误差指各种环境因素与要求条件不一致而造成的误差。
5. 测量人员误差测量人员的工作责任心、技术熟练程度、生理感官与心理因素、测量习惯等的不同而引起的误差。
6.误差的来源主要有：(1) 仪器误差:零部件变形及其不稳定性，信号处理电路的随机噪声等。
(2) 环境误差:温度、湿度、气压的变化，光照强度、电磁场变化等。
(3) 人员误差:瞄准、读数不稳定，人为操作不当等。
（4）方法误差：指使用的测量方法不完善，或采用近似的计算公式等原因所引起的误差 ，又称为理论误差。
7.绝对误差 0x x x -=∆（绝对误差=测得值-被测量的真值，常用约定真值代替 ）特点：① 绝对误差是一个具有一定的大小、符号及单位的量。
单位：给出了被测量的量纲，其单位与测得值相同。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
2019/3/13
第一章 绪论与误差分析
2
本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
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第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
误差的基本概念
误差的基本概念误差的基本概念误差是指实际值与理论值或标准值之间的差异，它是一种客观存在的量，是科学研究、工程设计和生产制造等领域中不可避免的问题。
在现代科学技术和经济管理中，误差的控制和评定是非常重要的。
一、误差的分类1. 绝对误差：指实际值与理论值或标准值之间的代数差。
2. 相对误差：指绝对误差与理论值或标准值之比。
3. 系统误差：指在同样条件下进行多次测量时，由于仪器、环境等因素引起测量结果偏离真实值而形成的常规性偏离。
系统误差也被称为仪器误差或固有偏离。
4. 随机误差：指在同样条件下进行多次测量时，由于各种因素引起测量结果随机地偏离真实值而形成的非常规性偏离。
随机误差也被称为非系统性偏离。
二、误差的来源1. 人为因素：如操作不当、读数不准确、观察角度不同等。
2. 仪器因素：如仪器的精度、灵敏度、分辨率等。
3. 环境因素：如温度、湿度、气压等。
4. 样品因素：如样品的形状、大小、密度等。
三、误差的控制误差的控制是科学研究和生产制造中必须重视的问题。
以下是误差控制的几个方面：1. 提高人员技能水平，加强对测量方法和仪器使用规范的培训。
2. 选用精度较高、稳定性好的仪器，并按照使用说明进行正确操作和维护。
3. 控制环境条件，确保测量环境稳定，避免外界干扰。
4. 对样品进行预处理，使其符合测量要求。
5. 采用多次测量并取平均值来减小随机误差，同时对系统误差进行校正。
四、误差评定误差评定是指对实验或生产过程中产生的误差进行判断和分析。
以下是误差评定的几个方面：1. 计算绝对误差和相对误差，并与规定标准比较，判断是否满足要求。
2. 根据测量数据的分布情况，判断随机误差的大小和分布规律。
3. 对系统误差进行校正，并对校正后的数据进行评定。
4. 通过误差分析，找出产生误差的原因并采取相应措施，以减小误差。
五、总结误差是科学研究和生产制造中不可避免的问题，它会对实验结果和产品质量产生影响。
因此，我们需要了解误差的基本概念、分类和来源，并采取相应措施进行控制和评定。
第一章 误差
P x an x
n 1
a n 1 x
n2
... a 1 x a 0
an x
n2
a n 1 x
n3
... a 2 x a 1 x a 0
......
... a
n
x a n 1 x a n 2 x ... a 2 x a 1 x a 0
er ( x )
*
1 2 ( x1 1 )
10
n
；
4）若 x 的相对误差满足 e r ( x )
*
*
1 2 x1
10
n
，则 x * 最多只有
n 位有效数字
我们仅以 1）为例，证明这个结论．实际上，只要将（1.2） 的定义表达成相对误差形式即可． 13
证明：1）因为： x x
25
由于， E n 非负、单调下降且 lim E n 0 ，所以算法 1 的
n
结果显然是错误的．
算法 1 中，E n 1 的误差 e n 1 ， 近似值 E n 1 E n 1 e n 1 ， E n 的 而
*
计算值： E n 1 n E n 1 ，误差：
*
1 2
10
2
0 .0 0 5 ；
y 在第 4 位小数后舍入，故： ( y * )
*
1 2
10
4
0 .0 0 0 0 5 ；
r ( x* )
0 .0 0 5 2 .1 8
0 .2 3 % ； r ( y * )
0 .0 0 0 0 5 2 .1 2 0 0
计量基础知识(数据处理及误差分析)
一、测量
测量就是借助一定的仪器或量具，通过一 定的实验方法来实现标准量与待测量的比较。
1.直接测量
被测量与标准量相比较而得出测量结果
2.间接测量
利用被测量之间的函数关系，通过计算而得出测量结果
例：
测量铜柱的密度时，我们可以用米尺量出它的高h 和直径d， 算出体积
V
d 2 h
处理方法：
①取多次测量的平均值为测量结果的最佳估计值
②研究其分布，找出其特征值，归入A类不确定度
三、对误差大小的评价
实验中常用精密度、准确度和精确度来评价实验结果中误差的大小。这 三个概念的涵义不同，应加以区别。 1.精密度： 表示测量结果中偶然误差大小的程度。精密度高是指在多次 测量中，数据的离散性小，偶然误差小。 2.准确度： 表示测量结果中系统误差大小的程度。准确度高表示多次测 量数据的平均值偏离真值的程度小，系统误差小。
2.不确定度的估计方法： 依据国内外规范，在物理实验中采用以下的不确定度简 化评定方法： 总不确定度Δ 从评定方法上分为两类分类： A类分量Δ A-----多次重复测量时用统计学方法估算的分量； B类分量Δ B-----用其他方法（非统计学方法）评定的分量；
不确定度用它的两个分量采用“方和根”的方法合成
x , y , z ,
x , y , z ,
间接测量量的测量值为
F ( x , y , z...)
间接测量量的不确定度为
F F F 2 2 2 y z x x z y
二、测量不确定度：
定义：表征合理地赋予被测量之值地分散性，与测量结果相联系地参数。 1、此参数可以是诸如标准差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。 2、测量不确定度由多个分量组成。其中一些分量可用测量列结果的统计分布 估算，并用实验标准差表征。另一些分量则可用基于经验或其他信息的假 定概率分布估算，也可用标准偏差表征。 3、测量结果应理解为被测量之值的最佳估计，而所有的不确定度分量均贡献 给了分散性，包括那些由系统效应引起的（如，与修正值和参考测量标准 有关的）分量。
控制系统误差分析及其算法及应用
控制系统误差分析及其算法及应用第一章概述控制系统误差是指所设计的系统输出值与输入值之间的差异。
误差分析是指对控制系统误差进行分析，以便找出误差来源，并提出改进控制系统的策略和方法。
本文将介绍控制系统误差分析的基本原理和算法，并探讨误差分析在控制系统中的应用。
第二章控制系统误差来源控制系统误差的来源有两种：系统固有误差和外部扰动。
系统固有误差是控制系统设计中的本质问题。
例如，比例控制器的响应速度较慢、积分控制器有积分误差等。
这些问题可能会导致系统出现稳态误差。
外部扰动是指系统受到的外部干扰，例如温度变化、压力变化、电磁干扰等。
这些因素会导致系统输出值与输入值之间出现偏差。
第三章调节控制器算法最常见的控制器类型是比例积分（PI）控制器。
PI控制器能够帮助系统消除稳态误差，并增加系统的响应速度。
PI控制器的算法基于积分饱和原理，即当积分误差超过一定值时，积分项将不再累加。
这有助于避免过度响应。
PI控制器还可以通过调整比例和积分项的系数来进一步优化系统响应。
第四章滤波算法滤波算法可以帮助消除由外部扰动引起的误差。
其中，低通滤波器可以帮助去除高频噪声。
高通滤波器具有相反的作用，可以去除低频噪声。
滤波器还可以用于平滑系统响应，以防止出现过度响应或噪声。
第五章预测控制算法预测控制算法可以帮助控制系统在未来一段时间内的状态进行预测，并采取相应的控制策略。
其中，支持向量机（SVM）算法可以用于预测非线性系统的响应，可以帮助控制系统消除非线性误差。
适应性控制算法可以根据系统输入和输出的实时数据来调整算法参数，以实现更好的控制效果。
第六章控制系统误差分析应用误差分析在控制系统中具有广泛应用。
其中，误差分析可以用于诊断控制系统在稳态下的性能，并帮助优化系统工作。
误差分析还可以用于诊断控制系统在动态条件下的性能，并帮助优化系统响应。
此外，误差分析还可以用于帮助控制系统诊断故障，以实现更可靠的操作。
第七章总结控制系统误差是控制系统设计中的重要问题。
第一部分误差的基本概念
第二节 测量误差的定义及基本概念
一、测量误差
定义
δ＝x-a
测量误差
被测量 的真值
测量结果
测量结果
·测量结果x的值是由测量所得到的赋予
被测量的值。
·广义上我们可以把测得值、测量值、
检测值、实验值、示值、名义值、标称 值、预置值、给出值等均看作是测量结 果。测量结果是我们要研究的对象。
真值
真值定义为与给定 的特定量的定一致 的值。 理论真值 一般只存在于纯理 论之中。
被测对象变化误差
被测对象在整个测量过程中处在不断地变化 中。由于测量对象自身的变化而引起的测量误差 称为测量对象变化误差。
例如，被测光度灯的光度，被测温度计的温 度，被测线纹尺的长度，被测量块的尺寸等，在 测量过程中均处于不停地变化中，由于它们的变 化，使测量不准而带来误差。下述的测量实例说 明了这一点。
测量的分类
测量
直 接 测 量
间 接 测 量
静动 态态 测测 量量
等 权 测 量
非 等 权 测 量
电 量 测 量
非 电 量 测 量
精 密 测 量
工 程 测 量
按测量结果的获取方式分类
直接测量
指被测量与该标准量直接进行比较的 测量，指该被测量的测量结果可以直接 由测量仪器输出得到，而不再需要经过
量值的变换与计算。
第五节 近似数的修约与运算
近似数的基本修约规则
1．若舍去部分的数值大于保留末位的0.5，则 末位加1，（大于5进）；
2．若舍去部分的数值小于保留末位的0.5，则 末位不变，（小于5舍）；
3．若舍去部分的数值恰等于保留末位的0.5， 此时，①若末位是偶数；则末位不变，②若末位 是奇数，则末位加1，（等于5奇进偶不进）。
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计算方法-1 -第一章 误差分析的基本概念§ 1误差的来源1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。
2. 产生误差的主要原因① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。
② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。
这种由观察产生的误差称为观 测误差。
③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。
例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。
这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。
④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。
3. 举例说明例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I tL °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的常数:-二（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。
这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。
为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得e ~1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为~ =2.71828，于是截断误差为：□0' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n总n !这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。
例3. n =3.1415926, ;、2 =1.41421356,，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果我们取小数点后四位小数则：几=n -3.1416 =-0.0000074 , ;?22 -1.4142=0.000013 ,就是舍入误差。
另外值得一提的是十进制数转化为二进制数时有时也引起循环小数，因计算机上浮点数存储位数限制而舍弃尾部部 分小数，如 0.1 10 =0.0001100110 011……2存储时会引起舍入误差。
这个数制转化问题表明：只要计算机内部采用二进制运算，无论计算机发展的多完善，这个舍入误差理论问题永远存在。
总的来说，误差一般有：模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。
在计算方法这门课程中，截断误差和舍入误差是误差的主要研究对象，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，并找出误差 的上下界，对分析和改进算法都有重大的实际意义。
§ 2 绝对误差相对误差有效数字定义1:设x 为准确数，x *为x 的近似值，记e * =x-x *称e *为x 与x *的误差，也叫x 与x *的绝对 误差。
显然，x= x * + e *即近似值加误差就是准确值，因此把 e *也叫做近似值 x *的修正值，或者说近似值加上修正值就是准确值。
误差可正可负，且有量纲单位，当误差为负时，近似值偏大，叫做“强近似” ，当误差为正时，近似 值偏小，叫做“弱近似”例2已知e x在x=0处展开的泰勒级数为:QO n-0nX n!-2 -误差分析的基本概念现在引入有效数字的概念。
如果近似值 *的误差限是某一位上的半个单位，该位*的第一位非零数字共有 n 位，我们就说 x *有“ n 位有效数字”，或者说 x *准确到该位。
用四舍五入法取准确值的前 n 位作为近似值x *，则x *有n 位有效数字。
就称近似值x 具有n 位有效数字.利用定义3,由有效数字位数 n 和近似值x *可以确定误差限: 注意，首先需要特别指出的是，在有效数字的记法中，有效数字 别的，前者只有三位有效数字，后者却有四位有效数字；其次，如果只知道x * =300000的绝对误差限不超过500= 2 103，则应把它写成 300 X 103或3.00 X 105,如果仍记为300000,则表示它的误差限不超过 0.5 , 这是因为前者有三位有效数字， 后者有六位有效数字； 再次，还需要指出的是，一个准确数字的有效位数， 例2若x * =3587.64是x 的具有六位有效字的近似值，那么它的误差限为\x 「x * \ J 10 4- = 110 - =0.0052 2为近似值x *的相对误差。
相对误差无量刚。
相对误差可正可负。
我们把相对误差绝对值的上界叫做相对误 差限，记作；；=* /\x *\,其中:是x *的误差限（；*也叫绝对误差限）。
推论 1.近似数 x = ±0.% a ? ..O n 汉 10 P （n 、q 及 p 为整数，1w a ! < 9; 0< a i< 9, 2< i < n ）有 n 位有效数字，则其相对误差限为：気一兰丄"0^4）\x \ 2二证明：由于X * = 0 .〉1〉2... :-n 10 p 有n 位有效数字，故x *与x 的绝对误差限应为\ x - x * \_ 1 10 p j以下观察有效数字的位数n 与误差限之间的关系\ -• _ x ； \ = 0.00159265< 1 X10 -= 0.005 3位有效数字3 .1 423 2 1\ - _ x 5 \ - 0.00000735< 1 X 10 '=0.00005 5位有效数字 3. 14 16_ 25 4 3 2 1\ - _ x ； \= 0 .00000265<丄 X10 - = 0.0000056位有效数字3 .14159265 4 3 2 1疋乂 3 :右用x 表示 X 的近似值，并将X *表示成X * :=± 0 .「1「2「3 * **t:-n 108 兰 9；0 兰 8 < 9 , 2 乞i 乞n ）若其误差限为1 <|x _x* \<^2 10 P _nP, （ :-i 及p 为整数,110p —n2 。
330.123 X 10-和 0.1230 X 10-是有区应当说有无穷多位。
例如对于1/4=0.25不能说只有两位有效数字。
定义4 :称e *—=心乩 为近似值x *的相对误差，当x xe ；比较小时，有时也把计算方法-3 -2由相对误差限的定义得：-4 - 误差分析的基本概念1 p n10 一x|* p r 1 2 nx = 10 r 10 …• 2 1°'…：叱n 10 -*p* 1 2 n p 1|X |=10 ! 10「:叱2 10 一…吒n 10，：'：：：；/.1 1° -丄10p』占* —p』-心―1』| x | 2。
1 2o(1由此可以看出，有效数字位数越多，相对误差限就越小。
推论2：若近似数x * = ±0 心 1 g…a n x 10 p( n,a i 及p 为整数，1 < a 勺< 9; 0 W g < 9, 2 < i < n) 的相对误差限满足：则x *至少有n位有效数字。
证明：* * * *1 1 n| X — X冃X |务斗X |——1——X10 一2（8+1）X* - _0 ... :-n 10 p（高位进1,舍去尾数，其值变大）=10 P [% 10 丄：:二2 10 2 -…：：•' -n 10』|x—x*| 乞：，110p」一1——101」=l10p』2（ot i +1 ） 2由定义3知道：近似数x* =「0再 1 6... : n 10 p有n位有效数字。
证毕。
例3 用x* =2.72来表示e具有三位有效数字的近似值，相对误差限是多少？解：X* =2.72 =0.272 X 10 , n=3 , p=1 ,宀=2 . 由推论1 得：名；兰-^x10 < =0.0025 2X2例4.为了使,20的近似值的相对误差小于0.1 %，问至少要取几位有效数字？解：由推论2 ;r< 110』-..20 = 0.4... 10 故：・1 =4r 2(些+1 j按题目要求Z* <0.1 % =10」令. 1 10 1 J <10 则有10』：：：10」即n至少要取为42(% +1 )取n=4查数学用表20 ：4.472，其相对误差小于0.1%§ 3.和差积商的误差1. 和差积商的误差设x*是x的近似值，y*是y的近似值，用x* _ y*来表示x _ y的近似值，则它的误差为(x ±0-(x * iy*)=(x-x *) ±y-y *) (1-3-1)于是有如下结论：结论1：和的误差是误差之和，差的误差是误差之差。
|(x 当)-(x ±y)| W|x-x | +|y-y | (1-3-2)结论2：两个数和或差的绝对误差限不超过各数绝对误差限之和。
X -X_n2 ：1 110 1 _n计算方法-5 -设 u=xy 贝U Inu=lnx+lny dinu=dlnx+dlny于是有如下结论:结论5 乘积的相对误差是各乘数的相对误差之和。
设 u=x/y 贝U lnu=lnx-lny dlnu=dlnx-dlny 于是有如下结论: 结论6: 商的相对误差是被除数的相对误差减去除数的相对误差。
结论7:任意多次连乘，连除所得计算结果的相对误差限不超过各乘数和除数的相对误差限之和。
证明： 设 w=(uv)/(xy) 则 lnw=lnu+lnv-lnx-lny ; dinw=dInu+dlnv-dlnx-dlny|dlnw| < |dlnu|+|dlnv|+|dlnx|+|dlny|证毕。
例1设 y=f(x)y 二f x 则y 的相对误差是d In y = - — dxf (x )例2设 y = x 则In y = n ln x ，因此d ln y = n d ln x ・x 的相对误差疋 x 的相对误差的n 倍。
2 •一般数值运算的误差估计2,■■■x n 的近似值依次是x 1，x 2, ；X ；，把近似值代入函数y=f （ x 1,x 2, ,x n ）运算得yy *的误差、相对误差如何估计？如果函数 y=f （ x 1 ,x 2, ,x n ）在（x ；,x 2,…;x ；）y *的误差可用多元函数在（X 1，X 2；「X n ）处的泰勒展开式得到。