第一章误差分析的基本概念

计算方法

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第一章 误差分析的基本概念

§ 1误差的来源

1. 误差概念:精确值与近似值之差称为误差，也叫绝对误差。

2. 产生误差的主要原因

① 模型误差：在解决实际问题时，在一定条件下抓住主要因素将现实系统理想化的数学描述称为实 际问题的数学模型，这种数学描述常常是近似的，数学模型与实际系统之间存在误差，这种误差称为模 型误差。

② 观测误差：数学模型中往往含有一些由观测得到的物理量（如温度、电阻、长度）或由物理量估 算出的模型参数，这些观测物理量或模型参数常常与实际数据存在误差。这种由观察产生的误差称为观 测误差。

③ 截断误差：数值计算中用有限运算近似代替无穷过程产生的误差。例如计算一个无穷次可微函数 的函数值时，理论上只要能算出这个函数的泰勒级数值即可，但是实际工程上仅用泰勒级数中前面有限 项来近似计算函数值，而舍去高阶无穷小量。这个被舍的高阶无穷小量正是截断误差。

④ 舍入误差：计算中按四舍五入进行舍入而引起的误差或因计算机字长有限，数据在内存中存放时 进行了舍入而引起的误差。

3. 举例说明

例1设一根铝棒在温度t 时的实际长度为L t ,在t=0 C 时的实际长度为 L o ,用i t 来表示铝棒在温度为

t 时的长度计算值，并建立一个数学模型： I t

L °（1「.t ）,其中a 是由实验观察得到的

常数:-二

（0.0000238 ± 0.0000001 ） 1/ C,称L t —I t 为模型误差，0.0000001/ C 是a 的观测误差。这个问题中模型 误差产生的原因是：实际上 L t 与t 2有微弱关系，也就是说模型未能完全反映物理过程。

为了计算近似值，可取前面有限项计算•如取前面五项计算，计算过程中与计算结果都取五位小数得

e ~

1+1 + 1/2+1/6+1/24疋2.7083, e 取五位小数时的准确值为

~ =2.71828，于是截断误差为：

□0

' —:2.71828 -2.7083 = 0.00995 n

总

n !

这表明：只要在计算中采用了有限步运算近似代替无限步运算的方法，截断误差就一定存在。

例3. n =3.1415926, ;

、2 =1.41421356,，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果我们取小数

点后四位小数则：

几=n -3.1416 =-0.0000074 , ;

?2

2 -1.4142=0.00001

3 ,就是舍入误差。另外值得

一提的是十进制数转化为二进制数时有时也引起循环小数，因计算机上浮点数存储位数限制而舍弃尾部部 分小数，如 0.1 10 =

0.0001100110 011……2存储时会引起舍入误差。这个数制转化问题表明：只要计

算机内部采用二进制运算，无论计算机发展的多完善，这个舍入误差理论问题永远存在。

总的来说，误差一般有：模型误差；观测误差；截断误差；舍入误差。在计算方法这门课程中，截断

误差和舍入误差是误差的主要研究对象，讨论它们在计算过程中的传播和对计算结果的影响，并找出误差 的上下界，对分析和改进算法都有重大的实际意义。

§ 2 绝对误差相对误差有效数字

定义1:设x 为准确数，x *为x 的近似值，记e * =x-x *称e *为x 与x *的误差，也叫x 与x *的绝对 误差。显然，x= x * + e *即近似值加误差就是准确值，因此把 e *也叫做近似值 x *的修正值，或者说近

似值加上修正值就是准确值。

误差可正可负，且有量纲单位，当误差为负时，近似值偏大，叫做“强近似” ，当误差为正时，近似 值偏小，叫做

“弱近似”

例2已知e x

在x=0处展开的泰勒级数为:

QO n

-0

n

X n!

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误差分析的基本概念

现在引入有效数字的概念。如果近似值 *的误差限是某一位上的半个单位，该位*的第一位非零

数字共有 n 位，我们就说 x *有“ n 位有效数字”，或者说 x *准确到该位。用四舍五入法取准确值的前 n 位

作为近似值x *，则x *有n 位有效数字。

就称近似值x 具有n 位有效数字.

利用定义3,由有效数字位数 n 和近似值x *可以确定误差限: 注意，首先需要特别指出的是，在有效数字的记法中，有效数字 别的，前者只有三位有效数字，后者却有四位有效数字；其次，如果只知道

x * =300000的绝对误差限不超

过500= 2 103，则应把它写成 300 X 103或3.00 X 105,如果仍记为300000,则表示它的误差限不超过 0.5 , 这是因为前者有三位有效数字， 后者有六位有效数字； 再次，还需要指出的是，一个准确数字的有效位数， 例2若x * =3587.64是x 的具有六位有效字的近似值，那么它的误差限为

\x 「x * \ J 10 4

- = 1

10 - =0.005

2 2

为近似值x *的相对误差。相对误差无量刚。相对误差可正可负。我们把相对误差绝对值的上界叫做相对误 差限，记作；；=* /\x *\,其中:是x *的误差限（；*也叫绝对误差限）。

推论 1.近似数 x = ±0.% a ? ..O n 汉 10 P （n 、q 及 p 为整数，1w a ! < 9; 0< a i

< 9, 2< i < n ）有 n 位有效数字，则其相对误差

限为：

気一兰丄"0^4）

\x \ 2二

证明：由于X * = 0 .〉1〉2... :-n 10 p 有n 位有效数字，故x *与x 的绝对误差限应为

\ x - x * \_ 1 10 p j

以下观察有效数字的位数

n 与误差限之间的关系

\ -• _ x ； \ = 0.00159265

< 1 X10 -= 0.005 3

位有效数字

3 .1 4

2

3 2 1

\ - _ x 5 \ - 0.00000735

< 1 X 10 '=0.00005 5

位有效数字 3. 14 16

_ 2

5 4 3 2 1

\ - _ x ； \= 0 .00000265

<丄 X10 - = 0.000005

6

位有效数字

3 .14159

2

6

5 4 3 2 1

疋乂 3 :右用x 表示 X 的近似值，并将X *表示成X * :

=± 0 .「1「2「3 * **

t

:-n 10

8 兰 9；0 兰 8 < 9 , 2 乞i 乞n ）若其误差限为

1 <

|x _x* \<^2 10 P _n

P

, （ :-i 及p 为整数,

1

10p —n

2 。

3

3

0.123 X 10-和 0.1230 X 10-是有区

应当说有无穷多位。例如对于

1/4=0.25不能说只有两位有效数字。

定义4 :称e *

—=心乩 为近似值x *的相对误差，当

x x

e ；比较小时，有时也把