博弈考试习题汇总合集

博弈考试习题汇总合集

1、考虑下面的Cournot 双头垄断模型。市场的反需求函数为Q a Q p -=)(，其中21q q Q +=为市场总产量，两个企业的总成本都为()i i i cq q c =，但需求却不确定：分别以θ的概率为高（H a a =）,以θ-1的概率为低（L a a =）,此外，信息也是非对称的：企业1知道需求是高还是低，但企业2不知道，所有这些都是共同知识，两企业同时进行决策。

要求：假定H a 、L a 、θ和c 的取值范围使得所有均衡产出都是正数，试问此博弈的贝叶斯纳什均衡是什么？

解：

在市场需求为高时，企业1的最优战略为：

()H

H H q c q q a Max 121⨯--- 由一阶条件可以推出2

21c q a q H H --= (1) 在市场需求为低时，企业1的最优战略为：

()L L L q c q q a Max 121⨯--- 由一阶条件可以推出2

21c q a q L L --=

(2) 企业2的最优战略为 ()()(){}2212211q c q q a q c q q a Max L L H H ----+---θθ

由一阶条件可得：

()()()211*2c

q a q a q L L H H ---+=-θθ (3)

方程(1)、(2)和(3)联立可得：

()()()()6

21311*1c q a q a q L L H H H ------=θθ ()6

22*1c a a q H

L L --+=θθ ()31*2c a a q H

L -+-=θθ

由此可知，企业1的战略()*1*1,L

H q q 和企业2的战略*2q 构成贝叶斯纳什均衡。

2、参与人1(丈夫)和参与人2(妻子)必须独立地决定出门时是否带伞。他们知道下雨和不下雨的可能性相同(即50:50)。支付函数如下：如果只有一人带伞，下雨时带伞者的效用为-2.5，不带伞者(搭便车者)的效用为-3；不下雨时带伞者的效用为-1，不带伞者的效用为0；如果两人都带伞，下雨时每人的效用为-2，不下雨时每人的效用为1；如果两人都不带伞，下雨时每人的效用为-5，不下雨时每人的效用为1。给出以下两种情况下的扩展式表述(博弈树)和战略式表述：(1)两人出门前都不知道是否会下雨，并且两人同时决定是否带伞(即每一方在决策时都不知道对方的决策)；(2)两人出门前都不知道是否会下雨，但丈夫先决策，妻子在观察到丈夫是否带伞后才决定自己是否带伞；(3)丈夫出门前知道是否会下雨，妻子不知道，但丈夫先决策，妻子后决策；(4)同(3)，但妻子先决策，丈夫后决策。

解：扩展式表述：假设用N 代表自然，H 代表丈夫，W 代表妻子。

（1）

（2）

（3）

（4）

4、下面的两人博弈可以解释为两个寡头企业的价格竞争博弈，其中p 是企业1的价格，q 是企业2的价格。企业1的利润函数是：

π1=-(p-aq+c)2+q

企业2的利润函数是：

π2=-(q-b)2+p

求解：

(1) 两个企业同时决策时的(纯战略)纳什均衡

(2) 企业1先决策时的子博弈精炼纳什均衡

(3) 企业2先决策时的子博弈精炼纳什均衡

(4) 是否存在某些参数值(a,b,c)，使得每一个企业都希望自己先决策？

解：

(1) 根据两个企业的利润函数，得各自的反应函数为：

()c aq p c aq p p

-=⇒=+--=∂∂021π()b

q b q q

=⇒=--=∂∂022π

求解得纳什均衡：

(2) 企业1先决策

根据逆推归纳法，先求企业2的反应函数

代入企业1的利润函数，得

再求企业1的反应函数，得

(3) 企业2先决策

根据逆推归纳法，先求企业1的反应函数

代入企业2的利润函数，得

b

q c ab p =-=()b

q b q q =⇒=--=∂∂022π()()b c ab p q c aq p ++--=++--=221π()c ab p c ab p p

-=⇒=+--=∂∂021π()c

aq p c aq p p -=⇒=+--=∂∂021π()()c aq b q p b q -+--=+--=222

π

再求企业2的反应函数，得

再代入企业1的反应函数，得

(4) 因为只有先决策的利润大于后决策的利润时企业才希望先决策，因此

得两个企业都希望先决策的条件为

()b a q a b q q +=⇒=+--=∂∂2

022πc ab a c aq p -+=-=22

01,2<⇒+>

a b a b 希望先决策企业当02,42

≠⇒->-+a c ab c ab a 希望先决策企业当04

00202>-+>->+>⇒c ab a c ab b a b 利润非负ab

c a

b a <-><20

5、108页 假定：逆需求函数：

两个企业有相同的不变单位成本：

利润：

12()

P a q q =-+i i C c q =⋅

6、考虑可乐行业，可口可乐与百事可乐是两家主要公司，市场规模为80亿美元。每家公司可以选择是否做广告，广告成本为10亿美元；如果一家企业做广告而另一家不做，则前者强的所有市场；如果两家企业都做广告，则各占一半市场，并付出广告成本；如果两家公司都不做广告，也各占一般市场，但不支付广告成本。

（a）画出博弈支付表，并找出当两家公司同时行动时的纳什均衡;

（b）假定博弈序贯进行，画出可口可乐公司率先行动时该博弈的博弈树。

（c）在（a）、（b）均衡中，从可口可乐与百事可乐的共同观点来看，哪一个是最佳的，这两家公司要怎样才会有更好的结果？