暑假立体几何中的距离问题

立体几何中的距离问题

【要点精讲】 1．距离

空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

两条异面直线的距离

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度

点到平面的距离

平面外一点P 在该平面上的射影为P ′，则线段PP ′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。○2等体积法。

直线与平面的距离：

一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；

平行平面间的距离：

两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。

求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．

若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。

异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线

AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝

θcos 2222mn n m d ±++（

“±”符号由实际情况选定） 点到面的距离的做题过程中思考的几个方面:

①直接作面的垂线求解；

②观察点在与面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在与面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解

⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。 立体几何的高线做法

①特殊图形的射影法；②一般图形的垂面法

空间距离的求法：（特别强调：立体几何中有关角和距离的计算，要遵循“一作，二证，三计算”的原则）

（1）异面直线的距离：①直接找公垂线段而求之；②转化为求直线到平面的距离，即过其中一条直线作平面和另一条直线平行。③转化为求平面到平面的距离，即过两直线分别作相互平行的两个平面。

（2）点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线再求解。 （3）点到平面的距离求法：

①垂面法：借助于面面垂直的性质来作垂线，其中过已知点确定已知面的垂面是关键； ②等体积法：转化为求三棱锥的高； ③等价转移法。

④转化为平行直线上另一点到平面的距离;转化为平行平面上另一点到平面的距离;转化为与此相关的点到平面的距离,然后求出这两点到平面距离的比值;

⑤利用向量法: PA n

d n

=u u u r r

g r

例如已知正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则异面直线BD 与B 1C 的距离为_____

）。转化为平行平面距离. 练习（1）等边三角形ABC 的边长为22，AD 是BC 边上的高，将ABD ∆沿AD 折起，使之与ACD ∆所在平面成︒120的二面角，这时A 点到BC 的距离是_____（答：

2

26

）； （2）点P 是120°的二面角α-l -β内的一点，点P 到α、β的距离分别是3、4，则P 到l 的

距离为 _______

（答：

239

3

）； （3）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点P 到棱A 1B 1与棱BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为_______ （答：抛物线弧）。

例如：如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，AB=3， BC=1，PA=2，E 为PD 的中点.在侧面PAB 内找一点N ，使NE ⊥面PAC ，并求出N 点到

AB 和AP 的距离.

解：在面ABCD 内过D 作AC 的垂线交AB 于F ，则6

π

=∠ADF .

连PF ，

则在Rt △ADF 中.3

3

tan ,332cos ====

ADF AD AF ADF AD DF

设N 为PF 的中点，连NE ，则NE//DF ，

∵DF ⊥AC ，DF ⊥PA ，∴DF ⊥面PAC ，从而NE ⊥面PAC. ∴N 点到AB 的距离12

1

==AP ，N 点到AP 的距离.6321=

=AF

练习（1）长方体1111D C B A ABCD -的棱cm AA cm AD AB 2,41===，则点1A 到平面11D AB 的距离等于______

（答：

26

）； （2）在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，则A 1到平面MBD 的距离为______

（答： 6

6

a ）。

(3) 如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD 是边长为2的 正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （Ⅰ）求证：AE ⊥平面BCE ； （Ⅱ）求二面角B-AC-E 的大小； （Ⅲ）求点D 到平面ACE 的距离。

答:（Ⅱ）36arcsin ；（Ⅲ）3

3

2。

4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1

的中点，则E 到平面AB C 1D 1的距离为（ B ） A ．

23 B ．2

2 C ．21

D ． 33 提示:

E 点转化为B 1到平面的距离的一半。

5．如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截面

而得到的，其中AB=4，BC=2，CC 1=3，BE=1.求点C 到平面AEC 1F 的距离.

转化为B 点到平面的距离.3c b d d =

6、如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面

A 1

B 1

C 1

D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （B ）

E

F

D C

B

A

C 1

D 1

O