第二节相似矩阵和矩阵对角化

似的最简单的矩阵会是什么样的 矩阵呢？
例5.3.4．设矩阵
1
A


4
1 1
0
a

0 0 3
，
（1）求A的特征值，
（2）确定a使矩阵相似于对角
矩阵并由此求对角矩阵
及可逆矩阵p使 P1AP
解：（1）
1 1 0 IA 4 1 a (3)2(1)
，有 A P iiP i i 1 ,2 , ,n
从而
1


Ap1p2 pn1p1,2p2, ,npnp1,p2, ,pn
2


n
即
A P P P 1A P
定理5.4 A≌
A有n个线性无关的特征向量。且
的对角元为A的特征值，而相似 变换矩阵对应的向量，是特征值 i 对应的A的特征向量
2）.如果 A B R(A)R(B)
从定义看，显然两矩阵间的相似关系 是比等价关系更为“密切”的一种关系。 从定义看，如果
A B A B
。但反之不成立。（想想为甚磨？） 因此，等价关系同样满足自反、对称、 传递性且秩相等。但是相似关系是比 等价关系更强的一种关系， （请比较一下矩阵等价与相似概念的 背景及异同点） 除了上述满足等价关系满足的性质外， 还具有如下性质：
从上例我们看到，如果方阵A可与一个 对角矩阵相似，则可利用对角矩阵的 优良性质大大简化其相关计算。如果矩 阵相似，则称可对角化。下面寻找矩阵
可对角化的条件
设A≌ 存在可逆矩阵p
Pp1p2 pn 有 P1AP
1


APPAp1p2 pnp1p2 pn
2
0


k2

2

1 0
2 1 0
3 1, (IA)X0,(IA)0 0 1
0 0 0
1
x

k


2

0
3
0 1 1
P1AP
3 ,P0 2 2
1
1 0 0
P


p1
p2
p3



0
1 0
1 0 1
，有
。
0

P 1
AP




1


2
2.如果有重特征值，则可能存在n个线性 无关的特征向量，也可能不存在n个线性 无关的特征向量。因此， 可能与对角矩
阵相似，也可能不与对角矩阵相似
。例5.2。1及例5.2.2都是有重特征值 的情况。例5.2.1不能与对角矩阵相似 ，而例5.2.2可与对角矩阵相似。 （请同学们对照定理5.4说明为什麽？） 下面的定理告诉我们在有重特征值时，
第二节相似矩阵与矩阵对角化
§5.3 相似矩阵与对角化 一。矩阵相似的概念：在本章的引例中， 我们利用
P 1 A P A P P 1 ，求得A1000，我们称A与对角矩阵 相似
下面我们给出矩阵相似的一般概念。 定义5.6 设n阶方阵A，如果存在可逆方阵p使
P1APB称矩阵A,B相似，记 A B
(A0I)X0 得基础解系
对于特征值
1
p1


0

1
2 1 ，解
(A1I)X0 得基础解系
0
p2


1

0
对于特征值 3 2 ，解
(A2I)X0得基础解系
1
p3


0

1
1 0 1
令
注：要想对角化需满足代数重数= 几何重数，相对于
1,2 3 的基础解系必含2个解
r(A )321
行阶梯形仅含一个阶梯 a0
定理5.3 设 A B 则 1) A B 2)A与B有相同的特征多项式， 因而有相同的特征值
证明：仅对2）证明， 1）的证明留给读者。
A B ，则存在可逆矩阵p使
P1APB BI P1API P1(AI)P
P1 (AI) P(AI)
请同学们考虑一下，相似·的上述 性质，等价有吗？两矩阵相似其 特征向量是否相等
（矩阵对角化有何实际意义？ 任意方阵都能对角化吗？）
在上一节我们给定方阵特征值、特征 向量的定义时，读者一定感到有些突 然，当我们引入了矩阵对角化的慨念， 推导了定理5.3后读者一定会觉得这 定义是很自然的。问题对于具体的A
能否给出一个更具体的判断其是否可 对角化的方法呢？下面回答这一问题。
1.如果的特征值互异，由定理5.1，A有n 个线性无关的特征向量，故这时一定可对 角化，
证明：设 p1Ap B ，由 AX0 0X0
用 p 1 左乘等式两端。得：
p1 AX 0 0 p1 X 0 p1 Ap( p1 X 0 ) 0 p1 X 0 B( p1 X 0 ) 0 ( p1 X 0 )
故B对应的特征值 0 的特征向量为：
的解空间的维数（或基础解系含解向量
的个数）为相应的几何重数，

则定理5.5又可叙述为：方阵A可对角化
A的每一特征值的代数重数都等于相应 的几何重数。
读者不妨用此定理去验证例5.2.1 及例5.2.2的情形。 显然情况1是定理5.5的特殊情况。 注：（1）请将矩阵可对角化的条 件作一总结。
（2）如如果矩阵不能与对角矩 阵相似，和它能相


n
有 A P iiP i i 1 ,2 , ,n
故 i 是A的特征值， P i
是与其对应的特征向量。
p可逆，故这些特征向量线性无关，即 存在n个线性无关的特征向量。 反之，如n个线性无关的特征向量
p1, p2, , pn ，令 Pp1p2 pn
，设其对应的特征值依次为 1,2, ,n
032
B 10 。
B1 1 1 B 10
2）.可求得A的特征值为 -1，2，5。由定理5.2.1知
的特征值为-1，2，5。 再利用上节性质4）得
B 1
的特征值为 1 , 1 , 1
25
例5.3.2设n阶矩阵A与B相似，且 X 0 是A对应于特征值 0 的特征向量，
证明 P 1 X 0 为B对应于特征值 0 的特征向量。
P 1 X 0
证毕。
注：请将上节性质4与例 5.3.2进行比较， 会有什么结论？矩阵相 似于对角矩阵B 对应的条件是什么？
在实际应用中，我们常常关心的是， 方阵是否与一个对角矩阵相似。我们 自然要问
是否任一方阵都能与一个对角矩阵相 似呢？回答是否定的。那麽怎样的矩 阵可以与对角矩阵相似呢？如果矩阵 可与对角矩阵相似，则称该矩阵可以 对角化，那麽，矩阵可对角化的条件 是什麽呢？又如果矩阵可对角化，那 麽，如何求相似变换矩阵及对角矩阵 呢？下面我们来研究这些问题》
例5.3.3
1 0 1
A

ຫໍສະໝຸດ Baidu

0
1
0

1 0 1
问A可否对角化？如能，求出相似变换
矩阵p使 P1AP
1 0 1
。
解： AI 0 1 0 (1)(2)0
1 0 1
得特征值 10,21,32
，故可对角化。
对于特征值 1 0 ，解
0 0 3


1
，
,2

3

3 1
a0 ,r(3 IA ) 1
2 1 0 2 1 0
当
1,23,(3IA)4 2 a0 0 a
0 0 0 0 0 0
(3IA)X0
就有两个无关解，则A可对角化。
0 1
x

k1

满足怎样的条件可与对角矩阵相似。
定理5.5设A的特征值 i 为 n i i 1,2, ,r 重
则 A≌ 对于每一 n i 重特征值 i
均能找到 n i
个线性无关的特征向量 （或齐次线性方程组）
(AiI)X0 的解空间为 n i 维）。
证略。
习惯上称方阵特征值 i 的重数为代数重数， 而与之对应的齐次线性方程组 (AiI)X0
从定理来看，相似有比等价更多 的性质，相似关系的确是比等价 更强的一种关系。还要注意相似 是对方阵而言的，而等价对任意 矩阵都可。
2 0 0
例5.3.1设
A


0
2
3

且
A B
0 3 2
求1） B 1 2）. B 1 的特征值。
，
解：1）.
200
A 0 2 3 10 ，由定理5.2，即知
，可逆矩阵p称相似变换矩阵。
为了更好的理解矩阵的相似关系 ，我们不妨将其与矩阵的等价作一比较。 矩阵之间的相似与等价关系有一定联系， 先回顾一下矩阵等价的定义及性质。设 A,B为同阶m×n矩阵，如果存在m阶及n阶 可逆矩阵p，Q使
PAQ B 则称矩阵A,B等价，记 A B
等价关系具有如下性质： 1）.满足自反、对称、传递性；