九年级二次函数代几综合(一)(教师版)

二次函数代几综合（一）

1.（粮道街中学12月月考）已知二次函数y＝x2＋bx－3（b为常数）的图象经过点A(－1，0)

(1) 若直线y＝3x＋n与该抛物线交于点A和点B，求点B的坐标

(2) P(m，t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为Q

①当点Q落在该抛物线上时，求m的值

②当点Q落在第二象限内，QA的平方取得最小值时，求m的值

二次函数代几综合问题考察的分类大致有：线段问题、角度问题、面积问题、特殊图形存在性问题（较少出现）。

中考的压轴题都是二次函数的代几综合，需要引起重视！

知识点一（线段问题）

【知识梳理】

1、 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：

一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：

① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.

② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.

1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

2、抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；

3、二次函数与不等式

解不等式步骤：（1）检验二次项系数是否为正；（2）判断一元二次方程的判别式是否>0,<0,=0；（3）解出一元二次方程的根；（4）写出一元二次不等式的解集

当0>a 时，不等式02>++c bx ax 或02<++c bx ax ，也可以用二次函数图象来求解。

【例题精讲】

1.（元调24题）如图，抛物线y ＝(x ＋m )2＋m ，与直线y ＝－x 相交于E 、C 两点（点E 在点C 的左边），抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）．△ABC 的外接圆⊙H 与直线y ＝－x 相交于点D 。 (1) 若抛物线与y 轴的交点坐标为(0，2)，求m 的值； (2) 求证：⊙H 与直线y ＝1相切； (3) 若DE ＝2EC ，求⊙H 的半径。

2.（2017元调24题）已知抛物线y ＝2

1x 2

＋mx －2m －2与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，与y 轴交于点C 。

（1）当m ＝1时，求点A 和点B 的坐标；

（2）抛物线上有一点D (－1，n )，若△ACD 的面积为5，求m 的值； （3）P 为抛物线上A 、B 之间一点（不包括A 、B ），PM ⊥x 轴于点M ，求

PM

BM

AM •的值。

3.（2018元调）已知抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，一次函数y＝kx＋b的图象l 经过抛物线上的点C(m，n)。

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 若m＝3，直线l与抛物线只有一个公共点，求k的值；

(3) 若k＝－2m＋2，直线l与抛物线的对称轴相交于点D，点P在对称轴上．当PD＝PC时，求点P的坐标。

【课堂练习】

1.(2018新观察元调交流卷一）已知抛物线y ＝x 2

(1) 在抛物线上有一点A (1，1)，过点A 的直线l 与抛物线只有一个公共点，直接写出直线l 的解析式 (2) 如图，抛物线有两点F 、G ，连接FG 交y 轴于M ，过G 作x 轴的垂线，垂足为H ，连接HM 、OF ，求证：OF ∥MH

(3) 将抛物线y ＝x 2沿直线x y 4

3

移动，新抛物线的顶点C ，与直线的另一个交点为B ，与y 轴的交点为D ，作直线x ＝4与直线CD 、BD 交于点N 、E ，求EN 的长。

（1）y=2x-1

（2）设F （a ，a²），G （b ，b²），所以直线FG 的解析式为y=（a+b ）x-ab ，M （0，-ab ），H （b ，0），所以直线MH 的解析式为y=ax-ab ，直线OF 的解析式为y=ax ，所以OF ∥MH （3）设新抛物线的解析式为y=（x -4m ）2+3m ，联立y=（x -4m ）2+3m 与x y 43

得X C =4m ，X B =4m+4

3，D （0，16m 2+3m ），所以直线BD 的解析式为y=（

4

3

-4m ）x+16m 2+3m ，直线CD 的解析式为 y=-4mx+16m 2+3m ，当x=4时，y E =-13m+16m 2+3，y N =-13m+16m ²，所以EN=3

2.（2018年七一华源12月月考）如图，抛物线与x 轴交于点A 、B (3，0)，与y 轴交于点C ，其顶点D 的坐标为(1，－4)，P 为抛物线上x 轴下方一点。 (1) 求抛物线的解析式；

(2) 若∠PCB ＝∠ACB ，求点P 的坐标；

(3) 过点P 的直线交抛物线于点E ，F 为抛物线上点E 的对称点，直线EP 、FP 分别交对称轴于点M 、N ，试探究DM 与DN 的数量关系，并说明理由。

3.（2018年华一寄元调模拟卷）已知抛物线3)22

1(1)x m (2

--++=x m y ，（1）无论m 取何值，抛物线必经过第三象限一定点，则该定点的坐标为 .（不影响后两问解答）

（2）当m=0，不与坐标轴平行的直线l 1与抛物线有且只有一个交点P （2，a ），求直线l 1的解析式 （3）在（2）的条件下，直线y=kx+b ，交抛物线于M 、N 两点，（M 在N 的右侧），PQ ∥y 轴交MN 于点Q ，若MQ=NQ ，求K 的值