高三数学(理)《选修4-2_矩阵与变换》专题练习答案

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矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等强化训练专题练习(二)带答案人教版高中数学真题技巧总结提升

高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．已知矩阵1101,20201⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A B ，若矩阵AB 对应的变换把直线l ：20x y +-=变为直线'l ，求直线'l 的方程.2．在直角坐标系中，已知椭圆2241x y +=，矩阵阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M ，0210N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积. 评卷人得分二、解答题3．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A 的逆矩阵．【考点定位】本题考查的是矩阵的特征值特征向量和逆矩阵的运算，正确理解概念是本题的关键。

4．已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=.(Ⅰ)求实数,a b 的值;(Ⅱ)若点00(,)p x y 在直线上,且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求点p 的坐标. （汇编年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））矩阵与变换5．求曲线C ：xy=1在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1111M 对应的变换作用下得到的曲线C 1的方程。

6．已知矩阵A =3101⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求A 的特征值1λ，2λ及对应的特征向量12,αα．7．已知矩阵M 2311-⎛⎫ ⎪-⎝⎭所对应的线性变换把点A(x,y )变成点'(13,5)A ,试求M 的逆矩阵及点A 的坐标。

8．二阶矩阵M 有特征值8λ=，其对应的一个特征向量e =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点（－1，2）变换成点(－2,4)，求矩阵M 的逆矩阵2M .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．易得……3分,在直线上任取一点，经矩阵变换为点，则，∴，即……8分代入中得,∴直线的方程为……………10分解析：易得11101122020102AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦……3分, 在直线l 上任取一点(,)P x y ''，经矩阵AB 变换为点(,)Q x y ，则11122022x x x y y y y ⎡⎤⎡⎤'''+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦'⎣⎦⎣⎦，∴122x x y y y ⎧''=+⎪⎨⎪'=⎩，即142x x y yy ⎧'=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩……8分代入20x y ''+-=中得12042y x y -+-=,∴直线l '的方程为480x y +-=……………10分2．，………………4分设为椭圆上任一点，它在的作用下所对应的点为，则，………………6分∴，即，………………10分代入得，………………12分∴.………………14分解析： 010*********MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………4分设00(,)x y 为椭圆2241x y +=上任一点，它在MN 的作用下所对应的点为(,)x y ，则000010202x x x y y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………6分 ∴ 002x x y y =⎧⎨=⎩，即002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ………………10分代入220041x y +=得221x y +=， ………………12分∴ S π=. ………………14分评卷人得分二、解答题3．4．解:(Ⅰ)设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,得2x x y y y'=+⎧⎨'=⎩ 又点(,)M x y '''在l '上,所以1x by ''+=,即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩,解得11a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y = 又点00(,)P x y 在直线上,所以01x =故点P 的坐标为(1,0)5．6．7．8．设M=a b cd ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则由a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦得a b c d +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦=88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即a+b=c+d=8.……2分由a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤⎢⎥⎣⎦,得2224a b c d -+-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦，从而-a+2b=-2，-c+2d=4. ……4分由a+b =8及-a+2b=-2，解得a=6，b=2； ……………………………………6分由c+d =8及-c+2d=4，解得c=4，b=4所以M=6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ……………………8分从而M2=6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦=44204024⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (10)分。

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等章节综合检测专题练习(四)带答案人教版高中数学

高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．已知矩阵27b A a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的逆矩阵是273a B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则=+b a ． 2．设2111()1111f x xx =-()x R ∈，则方程()0f x =的解集为 .评卷人得分二、解答题3．(选修4—2：矩阵与变换)（本小题满分10分）设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2214x C y '+=：，求a b +的值．4．已知矩阵0201,00M N m n ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，若矩阵MN 的对应的变换把直线40x y -+=变成直线40x y ++=，求实数,m n 的值。

5．曲线22421x xy y ++=在二阶矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变换为曲线2221x y -=，（1）求实数,a b 的值；（2）求证：矩阵=N ⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤-12是矩阵M 的逆矩阵6．已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．7．给定矩阵M=⎣⎢⎡⎦⎥⎤23－13－1323，N=⎣⎡⎦⎤2112及向量e 1=⎣⎡⎦⎤11，e 1=⎣⎡⎦⎤1－1. (1)证明M 和N 互为逆矩阵； (2)证明e 1和e 1都是M 的特征向量．8．若曲线C ：22421x xy y ++=在矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的作用下变成曲线/C ：2221x y -=。

（1）求,a b 的值；（2）求M 的逆矩阵1M -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分一、填空题1．8 2．；评卷人得分二、解答题3．（选修4-2：矩阵与变换）设曲线C ：221x y +=上任意一点(,)P x y ，在矩阵M 所对应的变换作用下得到点111(,)P x y ，则1100x a x b y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即11a x xb y y=⎧⎨=⎩． …………………………………………………………5分又点111(,)P x y 在曲线2214x C y '+=：上，所以221114x y +=，则2214ax by +=为曲线C 的方程．又曲线C 的方程为221x y +=，故24a =，21b =，因为00a b ＞，＞，所以3a b +=． …………………………………………………………10分4． 5．6．解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为111α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得，3311611c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即c ＋d ＝6； ………………………………………2分由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为232α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，可得333322c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即3c －2d ＝－2， …………………………………………6分解得233424c A a =⎧⎡⎤⇒=⎨⎢⎥=⎩⎣⎦…………………………8分 A 的逆矩阵 12/31/21/31/2A c -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦7．(1)因为MN =⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10，NM =⎢⎣⎡12 ⎥⎦⎤21⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231=⎢⎣⎡01 ⎥⎦⎤10，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)向量e 1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡11=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3131=31⎥⎦⎤⎢⎣⎡11，向量e 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11在M 的作用下，其像与其保持共线，即⎢⎢⎢⎢⎣⎡-3132⎥⎥⎥⎥⎦⎤-3231⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，所以e 1和e 2是M的特征向量．………………………………………………………10分 8．（1）2, b=0a = 5分 (2）11201M --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦10分。

高考数学(理)二轮专题复习知能提升演练：选修4-2矩阵与变换 Word版含解析[ 高考]

选修4－2 矩阵与变换解答题1．若点A (1,1)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a b 1对应变换的作用下得到的点为B (－1,1)，求矩阵M 的逆矩阵．解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋b a ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11，所以⎩⎨⎧ 1＋b ＝－1，a ＋1＝1，得⎩⎨⎧b ＝－2，a ＝0，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤101，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10 21. 2．(2013·苏州四市模拟)求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112的特征值及对应的特征向量．解特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－1 －1λ－2＝(λ－2)2－1 ＝λ2－4λ＋3，由f (λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝3.将λ1＝1代入⎩⎨⎧(λ－2)x －y ＝0，－x ＋(λ－2)y ＝0，得x ＋y ＝0，令x ＝1，得y ＝－1，则特征值λ1＝1对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.当λ2＝3时，得x －y ＝0，特征值λ2＝3对应的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.3．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆4x 2＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200 1对应的变换下得到曲线F ，求F 的方程．设P (x 0，y 0)是椭圆上的任意一点，点P (x 0，y 0)在矩阵A 对应的变换下变为点P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′0y ′0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0， ∴⎩⎨⎧x ′0＝2x 0，y ′0＝y 0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ′02，y 0＝y ′0.又点P 在椭圆上，∴4x 20＋y 20＝1，∴(x ′0)2＋(y ′0)2＝1，∴曲线F 的方程为x 2＋y 2＝1. 4．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0)． (1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，且M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003. 则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001. 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001.所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎨⎧ax ＝x ′，by ＝y ′.又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.5．已知矩阵M ＝，△ABC 的顶点为A (0,0)，B (2,0)，C (1,2)，求△ABC 在矩阵M －1的变换作用下所得△A ′B ′C ′的面积．解∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－2， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－112 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤33. ∴A ′(0,0)，B ′(2，－2)，C ′(3,3)．∴A ′B ′→·A ′C ′→＝0，故A ′B ′→⊥A ′C ′→.∴S △A ′B ′C ′＝12|A ′B ′→|·|A ′C ′→|＝6.6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c b 2有特征值λ1＝4及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23.求：(1)矩阵M ；(2)曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线方程．解 (1)由已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1c b 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤23＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋3b 2c ＋6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤812，即⎩⎨⎧ 2＋3b ＝82c ＋6＝12，得⎩⎨⎧b ＝2c ＝3，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 22.(2)设曲线上任一点P (x ，y )，点P 在M 作用下对应点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 22 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y . 即⎩⎨⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ′－x ′2y ＝3x ′－y ′4，代入5x 2＋8xy ＋4y 2＝1，得x ′2＋y ′2＝2，即曲线5x 2＋8xy ＋4y 2＝1在M 的作用下的新曲线的方程是x 2＋y 2＝2.。

高中数学矩阵与变换(二)课后练习二新人教版选修4-2

2已知矩阵A =-4题2设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿 y 轴方向伸长为原来5倍的伸压变换.(1) 求直线4x 10y 1在M 作用下的方程； (2) 求M 的特征值与特征向量.题3.1 2已知a € R 矩阵A =，对应的线性变换把点 P (1,1)变成点P (3,3)，求矩阵 A 的特征a 1值以及每个特征值的一个特征向量.题4.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点A (0,0) , B ( — 2,0) , C ( — 2,1).设k 为非零实数，矩阵 Mk 0 0 1=o 1，N = 1 o ，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为 A 、B 、C , △ ABC 的面积是厶ABC 的面积的2倍，求k 的值.题51 01 1已知矩阵AB2 ,若矩阵AB 对应的变换把直线1 : x y 2 0变为直线0 20 1I'，求直线I'的方程.专题：矩阵与变换(二)，求满足AX B 的二阶矩阵X .所以所求曲线的方程为 4x 2y 1.(2)矩阵M 的特征多项式f( )1( 1)( 5) 0,5所以M 的特征值为1 1, 2 5 .当二 11时，由M 11 1 1，得特征向量1当25时，由M 22 2，得特征向量21题3.1 1 答案：特征值为入 1 = — 1,入2= 3;特征向量为和 —1 11 21 33 详解：由题意= =, a 1 1a +13课后练习详解91 答案： 25—3 1详解：由题意得A 1=2 2,2 11 9— 4—1 - — 1 2 =2—3 115 — 1答案: (1) 4x 2y详解：(1) M设(x, y)是所求曲线上的任一点,所以x x, y 5y,x x ,所以 1 代入4x 10y 1得，4x y -y,52y题13 •/ AX B ,「. X = A 1B = 2得a+ 1 = 3,即a= 2,矩阵A的特征多项式为•••直线I 的方程为4x y 8 0入一1 — 2f （入）==（入一1）2 — 4=（入 + 1）（入一3）,—2 入一 1 令f （入）=0，所以矩阵 A 的特征值为入1=— 1,入2= 3.2x + 2y = 0 ①对于特征值入1 = 一1,解相应的线性方程组2x + 2y = 0x = 1得一个非零解，y =— 11因此，a = 是矩阵A 的属于特征值入1=— 1的一个特征 —1 向量；2x — 2y = 0x = 1②对于特征值⑴3,解相应的线性方程组—2x + 2y = 0 ，得一个非零解y = 1，1因此，（3 = 是矩阵A 的属于特征值入2= 3的一个特征向量.1 题4.答案：—2或2.详解: 由题设得 MN= k 00 1 0 1 0 1 0 = 1 k 0 .由0 k 0 0 0 k —2 0 0 k — 2 k 由1 0 0 = 0， 1 0 0 = — 2， 1 0 1 = — 2，可知」 A(0,0), B(0，- -2), C (k ,— 2).计算得△ ABC 的面积是1, △ ABC 的面积是| k | , 由题设知| k | = 2X 1= 2,所以k 的值为一2或2. 题5 答案：4x y 8 0.1 0 AB0 2y 20 中得 x — y — 2 0,4 2在直线I 上任取一点P （x, y ），经矩阵 AB 变换为点Q （x,y ）,11 x2 0 2 y11x y .x x y 2 , •22y y 2y详解：易得 1x y 4代入xy 2。

北师大版数学选修4-2练习：(第2章)矩阵变换的性质(含答案)

矩阵变换的性质同步练习一,选择题1, 矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛1002将曲线422=+y x 变换为( )A.圆B.椭圆C.直线D.点2,以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量3,矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1201对基向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01i 和⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10j 的变换结果可把向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛87变为( )A. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛822B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛227C. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2222D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛228二,填空题4,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011M ,向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛=12α向量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31β,则=-)2(M .5,一般地,对平面上任意直线l ,若l 经过点A,且平行于向量0v ,那么l 的向量方程为 .6,已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001M ，则该矩阵把坐标系中的图形都变成 .三,解答题7,试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001方程为22+=x y （2）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （2，5）（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001点A （3，7）（4）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110点A （2，7）（5）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110点A （a,b ）8,给定图形,如图,在变换下变成什么样的图形,请画出变换后的图形,并指出这是什么变换参考答案1,B 2,C 3,B4,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-125,)(:Rtv tOAOXl∈+=6,一条在x轴上的直线,射线或线段7,(1)变换后的方程仍为直线,该变换是恒等变换(2)经过变化后变为(-2,5),它们关于y轴对称,该变换为关于y轴的反射变换.(3)A(3,7)经过变化后变为(3,-7),它们关于x轴对称,该变换是关于x轴的反射变换.(4)即A(2,7)经过变化后变为(7,2),它们关于直线y=x成轴对称,该变换为关于直线y=x的反射变换.(5)A(a,b)经过变化后变为(-b,-a),该变换为关于直线y=-x的反射变换. 8,变成一条端点为原点和A点的x轴上的线段,作图略.这是一个在x轴上的投影变换.。

江苏理数选修4-2 矩阵与变换第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量

b ，α 是矩阵 A 的属于特征值 λ 的任 d
意一个特征向量，则 Anα＝____ λnα (n∈N*)． (2)设 λ1，λ2 是二阶矩阵 A 的两个不同特征值， α，β 是矩阵 A 的分别属于特征值 λ1，λ2 的特征向量，对于平面上任意一个非零向量 γ，设 γ＝t1α＋t2β(其中 t1，t2 为实数)，则 Anγ＝
所以 a＋λ＝－3－2＝－5. 答案：－5
考点一
求逆矩阵与逆变换
[典例引领] 已知矩阵
－1 A＝ 0 1 0 ， B ＝ 0 2
2 －1 ，求矩阵 A B. 6
解：设矩阵 A 的逆矩阵为
－1 则 0 0 a b 1 c d ＝0 2
矩阵 A 的属于 λ 的一个特征向量，则 a＋λ＝_____.
解析：因为
1 Aα＝λα，所以 a 2 2 2 ＝ λ －3 －3，－4
2－6＝2λ，即 2a＋12＝－3λ，
a＝－3，解得 λ＝－2，
－
－3 6 －2 1 － 3 － 3 且 A－1＝＝ . 5 2 －5 2 － 3 3 －3 －3 －2 答案： 5 3 1 2 － 3
2．已知矩阵
1 A＝ a
2 2 的一个特征值为 λ ，向量 α ＝－3是－4
0 ，因为 1×0－0×0＝0，找不到二阶 0
1 A ＝ 0
0 矩阵 B，使得 BA＝AB＝E 成立，故不可逆． 0 2．如果向量 α 是属于 λ 的特征向量，将它乘非零实数 t 后所得的新向量 tα 与向量 α 共线，故 tα 也是属于 λ 的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等一轮复习专题练习(四)含答案高中数学

高中数学专题复习
《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关
检测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人得分
一、填空题
1．坐标平面内某种线性变换将椭圆
2
21
2
y
x
+=的上焦点变到直线3
y x
=上，则该
变换对应的矩阵
a b
c d
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
中的,,,
a b c d应满足关系为3
d b
=
1
2．方程组
21
320
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
对应的增广矩阵为.
评卷人得分
二、解答题3．选修4—2：矩阵与变换
若矩阵
12
a
⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
M把直线:20
l x y
+-=变换为另一条直线:40
l x y
'+-=，试求实数
a值．
4．给定矩阵
3
122
,2
23
11
A B
⎡⎤
-
⎡⎤⎢⎥
==
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦-
⎣⎦
.。

高考数学试题汇编第二节矩阵与变换(选修4-2) 理(含解析)

第二节矩阵与变换(选修42)矩阵的线性变换与矩阵的乘法1.(2011年江苏卷,21B)已知矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,向量β=.求向量α,使得A 2α=β. 解:A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423, 设α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y a , 由A 2α=β,得⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++y x y x 3423=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21, 从而解得,所以α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21-. 2.(2010年福建卷,理21)已知矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02,且MN=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0202. (1)求实数a,b,c,d 的值; (2)求直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程.解:法一:(1)由MN=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c 02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++d b bc ad c 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0202 从而解得(2)因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x 上的两点(0,0),(1,3).由(1)M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111, 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111,⎥⎦⎤⎢⎣⎡00=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡31=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22得点(0,0),(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像分别是点(0,0),(-2,2). 从而直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.法二:(1)同法一.(2)设直线y=3x 上的任意点(x,y)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(x',y'), 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--y x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-x x 22 得x'=-2x,y'=2x,所以y'=-x',即点(x',y')必在直线y=-x 上.由(x,y)的任意性可知,直线y=3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.(1)对于图形变换,首先要分清哪个是变换前的,哪个是变换后的,以及变换的途径,以防因颠倒而出错.(2)善于运用线性变换、变换的复合转化为方程组求解.逆变换与逆矩阵3.(2012年上海数学,理3,4分)函数f(x)=的值域是 .解析:f(x)=2×(-1)-sin xcos x=-2-sin 2x,由于-1≤sin 2x ≤1,所以-≤-2-sin 2x ≤-,即-≤f(x)≤-.答案:[-,-]4.(2012年江苏数学,21B,10分)已知矩阵A 的逆矩阵A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21214341求矩阵A 的特征值. 解:因为A -1A=E,所以A=(A -1)-1. 因为A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21214341,所以A=(A -1)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232, 于是矩阵A 的特征多项式为f(λ)==λ2-3λ-4. 令f(λ)=0,解得A 的特征值λ1=-1,λ2=4.5.(2012年福建卷,理21(1),7分)设曲线2x 2+2xy+y 2=1在矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b a (a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2+y 2=1.①求实数a,b 的值;②求A 2的逆矩阵.解:①设曲线2x 2+2xy+y 2=1上任意点P(x,y)在矩阵A 对应的变换作用下的像是P'(x',y'). 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+y bx ax , 得.又点P'(x',y')在x 2+y 2=1上,所以x'2+y'2=1,即a 2x 2+(bx+y)2=1,整理得(a 2+b 2)x 2+2bxy+y 2=1, 依题意得解得或因为a>0,所以②由①知,A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101,A 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101⎥⎦⎤⎢⎣⎡1101=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1201,所以|A 2|=1,(A 2)-1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1201.。

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等二轮复习专题练习(二)含答案人教版高中数学高考真题汇编

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人
得分一、填空题
1．已知可逆矩阵2 73a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A 的逆矩阵 2 7 b a --⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
1A ，则a b += . 2．（理）写出系数矩阵为
()1221，且解为()()11x y =的一个线性方程组是．
（文）系数矩阵为()1221的线性方程组{112233a x b y a x b y +=+=的解是{
___,___.x y == 评卷人
得分二、解答题
3．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵12c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
A （c ，d 为实数）．若矩阵A 属于特征值2，3的一个特征向量分别为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．。

高考数学第一轮知识点巩固题库矩阵与变换(含解析)新人教A版选修42

选修4-2 矩阵与变换1．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，求满足AXB ＝C 的矩阵X .解 AXB ＝C ，所以(A －1A )XB ·B －1＝A －1CB －1而A －1AXB ·B －1＝EXBB －1＝X (BB －1)＝X ，所以X ＝A －1CB －1因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1， B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2，所以X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －31 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1. 2．设圆F ：x 2＋y 2＝1在(x ，y )→(x ′，y ′)＝(x ＋2y ，y )对应的变换下变换成另一图形F ′，试求变换矩阵M 及图形F ′的方程．解 ∵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， ∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1. ∵圆上任意一点(x ，y )变换为(x ′，y ′)＝(x ＋2y ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y y ′＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′－2y ′y ＝y ′. ∵x 2＋y 2＝1，∴(x ′－2y ′)2＋(y ′)2＝1.即F ′的方程为(x －2y )2＋y 2＝1.(1)求实数a 、b 、c 、d 的值；(2)求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程．解 (1)由题设得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(2)∵矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，∴可取直线y ＝3x 上的两点(0，0)，(1，3)，得点(0，0)，(1，3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像是点(0，0)，(－2，2)．从而，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程为y ＝－x .4．已知二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，矩阵A 属于特征值λ1＝－1的一个特征向量为a 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，属于特征值λ2＝4的一个特征向量为a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，求矩阵A . 解由特征值、特征向量定义可知，Aa 1＝λ1a 1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，c －d ＝1. 同理可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝12，3c ＋2d ＝8.解得a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝1. 因此矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 321. 5．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a00 b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1.∴2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1200 13. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上， ∴x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1. 又a >0，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. 6．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1. (1)求证：M 和N 互为逆矩阵；(2)求证：向量α同时是M 和N 的特征向量；(3)指出矩阵M 和N 的一个公共特征值．解 (1)证明：因MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以M 和N 互为逆矩阵． (2)证明：因为Mα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以α是N 的特征向量．因为N α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，所以α是N 的特征向量．(3)由(2)知，M 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值为1，N 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值也为1，故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值．。

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等章节综合检测专题练习(二)附答案高中数学

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得分一、填空题
1．已知X 是二阶矩阵，且满足满足23321211X ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则X =＿＿＿＿＿。

4511-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦
132233223451112111211X ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
2．（理）写出系数矩阵为()1221，且解为()()11x y =的一个线性方程组是．（文）系数矩阵为
()1221的线性方程组{112233a x b y a x b y +=+=的解是{___,___.x y == 评卷人
得分
二、解答题
3．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3．
(1)求a ，b 的值；
(2)求属于2λ的一个特征向量α．
4．选修4—2：矩阵与变换。

矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等强化训练专题练习(四)附答案人教版高中数学真题技巧总结提升

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得分一、填空题
1．二阶矩阵1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的1A -= ▲ ． (12,13班做)若关于x 的不等式a ≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是 ▲ ．
2．若点P 在矩阵1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦
对应的变换下得到点'P (5,11)，则点P 的坐标是 .(1,2) 评卷人
得分二、解答题
3．选修4—2：矩阵与变换
已知点M （3，-1）绕原点按逆时针旋转90°后，且在
矩阵02a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
A 对应的变换作用下，得到点N (3，5)，求a ，b 的值．
4．已知矩阵,,103R a a A ∈⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=若点)3,2(-P 在矩阵A 的变换下得到点).3,3(/P （1）则求实数a 的值；（2）求矩阵A 的特征值及其对应的特征向量. (本小题满分13分)。

选修4-2矩阵与变换第二节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量分析

第二节矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量［主匸離构］< O O Q <定义［距阵的逆矩阵、辐征值与特征向员». _________________________________________________匸杏征值与I怖向址1 .矩阵的逆矩阵(1)—般地，设p是一个线性变换，如果存在线性变换0,使得6严p齐I，则称变换p可逆，并且称O是p的逆变换.(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B,使得BA= AB = E，则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵.(3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A_I.-1 - 1 -(4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB) = B A2.二阶行列式与方程组的解I—｛二阶行列式与方禅丽城i<⑸二阶矩阵A =, -d 可逆，当且仅当 det A= ad — bc^ 0时，A 1 = 工d」det A—edet A对于关于x ，y 的二元一次方程组ax+ by= m ， cx+ dy= n ，我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为 det A =a b记为D ，m b 记为D x ，a m c dn dc n i=ad - be. de 若将方程组中行列式记为D y ，则当D 丰0时,D x x =D y y=3. 矩阵特征值、特征向量的相关概念宅 b"l(1) 定义：设矩阵A = J ，如果存在实数入以及非零向量匕使得A E=入,，则称入是jc d 」矩阵A 的一个特征值，E 是矩阵A 的属于特征值入的一个特征向量.(2) —般地，设E 是矩阵A 的属于特征值入的一个特征向量，则对任意的非零常数 k, K E也是矩阵A 的属于特征值入的特征向量.⑶一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线=0为矩阵A 的特征方程.4. 特征向量的应用(1) 设A 是一个二阶矩阵，a 是矩阵A 的属于特征值入的任意一个特征向量，则A na=fa n *€ N ).(2) 性质1设兀h 是二阶矩阵A 的两个不同特征值，&, &是矩阵A 的分别属于特征值入，h 的特征向量，对于任意的非零平面向量 a,设a= b E i + t 2 ^2(其中t i , t 2为实数)，则对任意的正整数n,有A na=2jjj 2.加石测］＜ o o oo答案：152 1 - a 2解析：由题意|A | =2 2=2 x (a + 1) — 1 x (1 — a ) = a + 2a + 1 = 0 ,「a = — 1.h — a — bh — a — b A = ,称 f (h =为矩阵A 的特征多项式，方程£ d_ —c — d—c h — d(4)设矩阵2.若矩阵 3可逆，则k 的值不可能是k方程组的解为 1.矩阵—1的逆矩阵是 03.若矩阵A =可逆，则实数 a 的值为答案：—1x 3+ m 一4.对任意实数x,矩阵］总存在特征向量，则m的取值范围是___________2 — m 2k- x — 3 — m 解析：由条件得f( k=m— 2 — 2=(入一x)(入一2) — (m— 2)( — 3— m)2 » …一=入一(x+ 2) H 2x+ (m+ 3)(m— 2) = 0 有实数根，2 2所有A i= (x+ 2) — 4(2x + m + m— 6) > 0对任意实数 x恒成立,2所以A2= 16 + 4(4m + 4m — 28)<0,解得m的取值范围是一3< m W 2.答案：—3< m W 2.例1 求矩阵A= 3 2的逆矩阵.2 1【解析】法一：设矩阵A的逆矩阵为|x y\丄 W —5.已知矩阵M的特征值k= 8及对应的一个特征向量e i= £ l并有特征值k= 2及对应的一个特征向量e2= — 2则矩阵M =a解析：设M =JJDa +b =8, 故|c+ d = 8,a — 2b= 2,故|c— 2d=—788?'=.-1」-8」联立以上两个方程组解得 a = 6, b= 2, c= 4, d = 4,故M = f 2热点考向一求逆矩阵L— F ——― 1［求逆矩阵］公式3x+ 2z 3y+ 2w I 即 2x+ z 2y+ w 3x+ 2z= 1, 故2x+ z= 0,解得 x=— 1, z= 2, y = 2, w = — 3,【点评】方法一是待定系数法；方法二是公式法.£变式训练1.已知变换矩阵 A 把平面上的点 P(2, — 1)、Q(— 1,2)分别变换成点 P i (3, — 4)、Q i (0,5).(1)求变换矩阵A ;—1(2)判断变换矩阵 A 是否可逆，如果可逆，求矩阵 A 的逆矩阵A理由.—1 —1 —23■ — 1 —1丿 f 1/- 3:A-1■— 1 21 卩1! 2 一=匸卜r 2a — b = 3,i< a= 2, 2c — d =— 4,b= 1,解得：j—a+ 2b = 0,c=—1,即a b c d-- y w3y+ 2w = 0,2y+ w = 1, 从而矩阵A 的逆矩阵A —1=■— 1 -23 2= •A法,.°det A = — 1.:如不可逆，请说明I I，依题意，可得l a£X z2 13N ►Hu贝_2 1-所以所求的变换矩阵2] ⑵'.det A = 2X 2- (— 1) X 1 = 5, ••A 可逆—11、 1551 |5—5A -1=1 = 1— u — n2 I 1 255丿‘5 5丿热点考向二利用矩阵解二兀一次方程组步骤-求|a 1 b订的逆矩阵-求方程组的解 ---- 卫2 b 2」 -----------[例2 （1）求矩阵A = f J 的逆矩阵; （2）利用逆矩阵知识,2x+ 3y — 1 = 0, x+ 2y — 3= 0.【解析】（1）法一：设矩阵A 的逆矩阵为A -1= r b 1,x d 」2a + 3c= 1,a = 2,b =— 3, c=— 1, d = 2.知 2b + 3d = 0， a+ 2c= 0, b+ 2d =1. ••|A |= 4— 3 = 1 ,解方程组:】=I ：解之得2 Z3|1 1 | f 3- 3【I-1 2-1 2-1 1 -二 31⑵二元一次方程组的系数矩阵为 A = I c，-1 2」由(1)知A- J 2 - 3]二 1 2一[2x+ 3y= 1,因此方程[x+ 2y= 3有唯一解即x=-7,|y= 5.有无数解或无解.2x+ y= 8,2.用矩阵方法求解二元一次方程组4x- 5y= 2.解析：原方程组可以写成『==I8 ',4- 5」®」-2」3 1记M = ,114 — 5a1x+ b1y= C1【点评】二兀一次方程组(a1, b1不同时为零,a2x+ b2y= C2(a1 b[系数矩阵为A= |42 b2，只有当|A|工0时，方程组有唯一解A-1|C1a2, b2不同时为零)的，若A l= 0,则方程组|x L A-1=2 X (— 5) — 1 X 4 =— 14工 0,(1)求A 的特征值4 ⑵求A B .【解析】 (1)设A 的一个特征值为入由题意知: "X — 1 — 2~\=0,即(入一 2)( X — 3) = 0,解得 X= 2, X= 3,44 44一故 A B = A ( a+ a )= (2 a )+ (3 a )= 16 a+ 81 a =【点评】求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点,题首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相应的特征向量. 请注意每一个特征值对应无数个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算〔一11豊.'M —1=1 14r =M -11 '=! i 4，，即方程组的解为‘=3,■1X= 2时，由厂1I X L 2j，得A 属于特征值2的特征向量a 1= I 2E=3f，得A 属于特征值3的特征向量(2)由于 B = 13 L ?!711=a 1 + a .其行列式例3 给定矩阵 A = I入，h 及对应特征向量 a, a;[113 ^97解决此类问简单、方便.ion一、填空题71 3_11•已知A = | 可逆，则实数a 的取值范围是 _________________a 6」解析：矩阵A 可逆当且仅当det(A)丰0,•'a 的取值范围为(一a, 2) L(2 ,+s ). 答案：(一a, 2) U (2 ,+a )_3，则矩阵M 的特征向量可以是- 23.已知矩阵A =3,若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为 d属于特征值1的一个特征向量，求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵.解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为=I ：可得, 一仁即 c + d= 6;-3] 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量a= 2 ,解得* 2,d = 4P 31 ，即 A = 2 4 .2•设矩阵可得P即 3c — 2d= — 2,A 的逆矩阵是解析：矩阵M的特征多项式由于f （为=0得矩阵M 的特征值为入=1 , ?2=— 1.经计算可得，矩阵M属于特征值x=1的一个特征向量为^3的一个特征向量为1（空3答案：「厂I —;3「ac 3,ab+ 3a = 1答案：2 —2 3丄 2 _2x — 2y =— 1，解析：因为方程组---的矩阵形式是2x+ 2 y= 1,3 •设可逆矩阵A =J|a 3的逆矩阵A -1-4 5」解析：由AA - 1= E 得 ab + 3a ac — 3I71占b+ 5a 4c —5，而属于特征值匕-1 4b+ 5a= 0, 即4c — 5 =解方程组得a= 2, b= — 2 c= 3 2.承―韵=—1,4.已知二元一次方程组 ,呼x+%= 1 ,从线性变换的角度求解时应把向量—1_ 1绕原点作顺时针旋转的旋转变换.方程组就是把向量：1［绕原点作顺时针旋转沪旋转变换答案：n1+、321- .3 2答案:6. 现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为:解析：因为A =『4，所以det A = I14= 2工0,42->0 2对应信息为good”.n 变换得到—1，所以解4一i一1 - 2〕所以A -1=1，而密码矩阵为 ? 1 一B = I 67J3031 8_1 故明码矩阵X= A - 1B =-21 1 2 -31] 7 15]=I , 8」-15 4」[1 - 15A = _0，则 A -11解析：A =_01- 3 •41='X 1-丄X 區1工02 2 2 •4 11, b T 2,…，Z T 26,双方约定的矩阵为1 4，发送方传递的密码为67,30,31,8,此组密码所发信息为—P2答案：good--1 5[7. 矩阵M = 5 __________________________ 的特征值与特征向量分别为勺3一5 2=(入+ 1)( X — 3) — (— 2)( — -)= f — 2 - 8 = 0，得矩阵值为 X = 4, X = — 2.&= — 2的一个特征向量.答案: &已知矩阵A = f — 1, B =『—1，,则满足方程AX = B 的二阶矩阵X =_— 4 3 _— 3 1年-11解析：・.A =「4 3 一2 — 1.•|A |== 2 X 3 — (— 1) X (— 4) = 2 工 0.—4 3 3 1 1•■A — 1=2 2:：AX = B ,.・・X = A —1B ,5 1 -解析:M 的特征设属于特征值 ,则它满足方程(X+ 1)x+ (— 2)y= 0, 即卩 5x — 2y =0•故可取属于特征值 4的一个特征向量.设属于特征值 h= — 2的特征向量为x+ 2y = 0•故可取 -2为属于特征值量为综上所述，矩阵a-灯属于■— 1 2〔有两个特征值 ?2=— 2的一个特征向量为 ?1= 4, ?2=— 2,属于入=4的一个特征向X = 4的特征向量为02\ = 4, a = || ■和 &=—2, J 5」而 A - 1AXB-B - 1= EXBB -1因为A - 1=- 3_2所以 X = A - 1CB「2 - 3110.已知矩阵A =6 2(1) 求矩阵A 的特征值及对应的特征向量; (2) 计算矩阵A n.当f= 8时，A 属于f 的特征向量为9一25-11AS2 ]7 317A = J ，B =,C =I- 2 -3」】12- 〕1C , 所以 1(A - A )XB B -1=A -1CB -19.已知矩阵解析：AXB = 1，求满足AXB = C 的矩阵X . 0=X ( BB -1) = X , 所以 X = A - 1CB -1B -1=2 -31解析: (1)矩阵A 的特征方程为入一6=(—6)( — 4) — 8 = f - 10 入 + 16 = 0.得矩阵 A 的特征值为 f = 8, f= 2.当?2= 2时，A属于h的特征向量为⑵设A n =n n n nA a i = 8 a i, A a= 2 a,(1)求证：M和N互为逆矩阵；⑵求证：向量a同时是M和N的特征向量；(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值.-2 — 1-j,3 — 3,2 们；1 0]解析：(1)证明：因MN = J = J ,.1 2〜2」J 1」-—3 2na + b= 8c+ d= 8n即a — 2b= 2nc-2d=— 2 2n解得a=n ^n2X 8 + 2n8 —2n8n+ 2n+i2 X 8n—2n+1c=故A n=2 X 8n+ 2n 8n—2nI 3 32 X 8n—2n+18n+ 2n+ 13 311.给定矩阵21，向量02 =且 NM = I 2所以M 和N 互为逆矩阵.(2)证明：因为M%因为故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值. ① 若a= 2, b= 3，求M 的逆矩阵② 若曲线C: x 2+ y 2= 1，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线2C'： x+ y 2= 1,求 a, b 的值.4•'2x 1= 1,2y 1= 0,3x 2= 0,3y 2= 1. 1 1即 x = 2，y 1 = 0, X 2= 0, y 2 = 3ax= x' by= y'-0 1J所以 a 是N 的特征向量.所以 a 是N 的特征向量.-1 |⑶由⑵知，M对应于特征向量―的特征值为1, N 对应于特征向量|彳一 1的特征值也12. (2011年福建)设矩阵M =打0( b*其中 a>0, b>0) M T ；解析：①设M -1= -| y1.X2 y2则 MM -1= I 1-0 0'又 M =[1 - J) 3JO0：y 1 y 2-0 1②设C 上任一点P(x, y)，在M 作用下得点P' (x' , y')2 2即亍+ b 2y~ 1为曲线C 的方程.|a= 2,又a>0, b>0,所以[b= 1.卫答案：「1又点P'（X’，y'）在C'上，所以2・+ y' 2= 1.又C 的方程为x 2+ y 2= 1,a 2= 4,b 2= 1._1X= 3时，由.1• -1 =。

理数(苏教版)配套练习：选修4-2 矩阵与变换 Word版含解析

1．求使下列等式成立的实数a 、b 、x 、y . (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1 a b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 x ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫y 10 12； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫0 x y0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 14 3. 解析：(1)⎝⎛⎭⎪⎫1a b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 ax b x ，又⎝⎛⎭⎪⎫1 a b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 x ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫y1012， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，ax ＝1，b ＝0，x ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，x ＝12，y ＝1.(2)∵⎝⎛⎭⎪⎫a23 b ⎝ ⎛⎭⎪⎫0 x y0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ax by 3x ，又⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23b ⎝ ⎛⎭⎪⎫0 x y0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 143. ∴⎩⎨⎧ 2y ＝2，ax ＝1，by ＝4，3x ＝3，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝4，x ＝1，y ＝1.2．已知矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫2 00 －1. (1)求矩阵A －1；(2)求逆矩阵A －1的特征值及特征向量．解析：(1)|A |＝2×(－1)－0×0＝－2， ∴A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 00 －1.(2)f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－12 00 λ＋1＝(λ－12)(λ＋1)，令f (λ)＝0，得A－1的特征值λ1＝12，λ2＝－1，特征值λ1＝12的一个特征向量i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10，特征值λ2＝－1的一个特征向量j ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫01.3．设A ＝⎝⎛⎭⎪⎫ 25－31和B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4 －53 k ，k 取什么值时AB ＝BA. 解析：AB ＝⎝⎛⎭⎪⎫ 25－31⎝ ⎛⎭⎪⎫4 －53 k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ 23 －10＋5k －9 15＋k ， BA ＝⎝⎛⎭⎪⎫4 －53 k ⎝ ⎛⎭⎪⎫ 2 5－3 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23 156－3k 15＋k . 要使AB ＝BA ，则 ⎩⎨⎧5k －10＝15，6－3k ＝－9，解得k ＝5.4．设a ，b ∈R.若矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫a0－1 b 把直线l ：2x －y ＋1＝0变换为另一直线l ′：3x －y ＋2＝0，试求a 、b 的值．解析：设(x 0，y 0)在直线l ：2x －y ＋1＝0上， ∴2x 0－y 0＋1＝0.又⎝⎛⎭⎪⎫ a0－1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ ax 0－x 0＋by 0， ∴3ax 0－(－x 0＋by 0)＋2＝0，即(3a ＋1)x 0－by 0＋2＝0， ∴(3a －3)x 0＋(2－b )y 0＝0， ∴⎩⎨⎧3a －3＝0，2－b ＝0， ∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.一、填空题1．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于________．解析：∵a ，x ，b,2x 成等差数列， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝2x ，x ＋2x ＝2b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12x ，b ＝32x .∴a b ＝13.答案：132．设a >0，b >0，若lg a 和lg b 的等差中项是0，则1a ＋1b 的最小值是________．解析：由已知得lg a ＋lg b ＝0，则a ＝1b ，∴1a ＋1b ＝b ＋1b ≥2，当且仅当b ＝1时取“＝”号．答案：23．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝________. 解析：S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2＝8×182＝72.答案：724．已知等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 与T n ，且S n T n ＝2n ＋13n ＋2，则a 9b 9等于________．解析：∵a 9b 9＝17a 917b 9＝S 17T 17＝2×17＋13×17＋2＝3553.答案：35535．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－7n ，且满足16<a k ＋a k ＋1<22，则正整数k ＝________.解析：由a n ＝⎩⎨⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2，可得a n ＝2n －8,16<a k ＋a k ＋1<22，即16<(2k－8)＋(2k －6)<22，所以7.5<6<9，又k ∈N *，所以k ＝8. 答案：86．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则 {a n }的通项公式a n ＝________.解析：由题意得⎩⎨⎧ a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n . 答案：2n7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝________.解析：S 3S 6＝3(2a 1＋2d )26(2a 1＋5d )2＝13⇒a 1＝2d .S 6S 12＝6(2a 1＋5d )212(2a 1＋11d )2＝9d 30d ＝310.答案：3108．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：由题意得⎩⎨⎧a 4＝a 1＋3d ＝1S 5＝5a 1＋10d ＝10，所以a 1＝4，d ＝－1，所以S n ＝4＋5－n 2×n＝－12(n －92)2＋818，故当n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值．答案：4或59．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．解析：由题中数表知：第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，所以第n 行第n ＋1列的数是：n 2＋n . 答案：n 2＋n二、解答题10．在等差数列{a n }中，a 1＝1，S n 为前n 项和，且满足S 2n －2S n ＝n 2，n ∈N *. (1)求a 2及{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n ＋qa n (q >0)，求{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)令n ＝1，由S 2n －2S n ＝n 2得S 2－2S 1＝12，即a 1＋a 2－2a 1＝1.又∵a 1＝1，∴a 2＝2，∴公差d ＝1. ∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)由(1)得b n ＝n ＋q n ，若q ≠1，则T n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋(q 1＋q 2＋…＋q n ) ＝n (n ＋1)2＋q (1－q n )1－q.若q ＝1，则b n ＝n ＋1，T n ＝n ·(b 1＋b n )2＝n (n ＋3)2.11．在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)． (1)试判断数列{1a n}是否成等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是以1为首项、公差为3的等差数列．(2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2，所以S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＝na n －n (n －1)(n ＝1,2,3，…)． (1)求证：数列{a n }为等差数列，并写出a n 关于n 的表达式； (2)若数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >100209的最小正整数n 是多少？解析：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－2(n －1)，得a n －a n －1＝2(n ＝2,3,4，…)．所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列．所以a n ＝2n －1.(2)T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n －1a n ＋1a n a n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1) ＝12[(11－13)＋(13－15)＋(15－17)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)＝n 2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>100209 ，得n >1009，满足T n >100209的最小正整数为12.。

直击高考——选修4-2《矩阵与变换》2010-2012高考题汇总(含答案)

直击高考——选修4-2《矩阵》2010-2012高考题汇总（含答案）1. （2012·福建高考理科·Ｔ21）设曲线2x 2+2xy+y 2=1在矩阵0(0)1a A a b ⎛⎫=>⎪⎝⎭对应的变换作用下得到的曲线为x 2+y 2=1。

（Ⅰ）求实数a ，b 的值。

（Ⅱ）求A 2的逆矩阵。

2.（2012·江苏高考·Ｔ21B ）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值． 3.（2011·福建卷理科·Ｔ21）（1）设矩阵M=00a b ⎛⎫⎪⎝⎭（其中a ＞0，b ＞0）. （I ）若a=2，b=3，求矩阵M 的逆矩阵M -1；（II ）若曲线C ：x 2+y 2=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：1y 4x 22=+，求a ，b 的值. 4.（2011·江苏高考·Ｔ21B ）已知矩阵1121A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，向量12β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求向量α，使得2A αβ=． 5．（2010·江苏高考·Ｔ21B ）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值。

6．（2010·福建高考理科·Ｔ21）已知矩阵1M b ⎛= ⎝ 1a ⎫⎪⎭，0c N ⎛= ⎝ 2d ⎫⎪⎭，且22MN ⎛= -⎝ 00⎫⎪⎭。

(Ⅰ)求实数,,,a b c d 的值； (Ⅱ)求直线3y x =在矩阵M 所对应的线性变换作用下的像的方程。

解答：1. 解：2. 解：3.解：设曲线C 上任意一点(,)P x y ，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点(,).P x y ''' 则0,0a x x b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭即ax x by y '=⎧⎨'=⎩又点(,)P x y '''在曲线C '上，所以22 1.4x y ''+= 则222214a xb y +=为曲线C 的方程. 又已知曲线C 的方程为22+y 1x =，故2241a b ⎧=⎨=⎩，又0,0a b >>，所以21a b =⎧⎨=⎩. 4.解：设x y α⎡⎤=⎣⎦，由2A αβ=得：321432x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，32111,43222x y x x y y α+==--⎧⎧⎡⎤∴∴∴=⎨⎨⎢⎥+==⎩⎩⎣⎦5.解:由题设得0010011010k k MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可知A 1（0，0）、B 1（0，-2）、C 1（k ，-2）。

选修4-2选修4-2 矩阵与变换

选修4-2 矩阵与变换一、填空题1．计算⎣⎡⎦⎤35 78 ⎣⎡⎦⎤2－1＝________.解析：⎣⎡⎦⎤35 78 ⎣⎡⎦⎤2－1＝⎣⎡⎦⎤3×2－75×2－8＝⎣⎡⎦⎤－12. 答案：⎣⎡⎦⎤－122．求矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤1－1 24的特征值为________．解析：f (λ)＝⎪⎪⎪⎪λ－11 －2λ－4＝(λ－1)(λ－4)＋2＝λ2－5λ＋6，令f (λ)＝0，∴λ＝3或2.答案：3或23．设A ＝⎣⎡⎦⎤－10 01，B ＝⎣⎡⎦⎤01 －10，AB 的逆矩阵＝________. 解析：∵A －1＝⎣⎡⎦⎤－10 01，B －1＝⎣⎡⎦⎤0－1 10 ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎡⎦⎤0－1 10⎣⎡⎦⎤－10 01＝⎣⎡⎦⎤01 10. 答案：⎣⎡⎦⎤01 104．已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎡⎦⎤10＝⎣⎡⎦⎤10，M ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤22，则M 2⎣⎡⎦⎤1－1＝________. 解析：设M ＝⎣⎡⎦⎤a c b d ，由M ⎣⎡⎦⎤10＝⎣⎡⎦⎤10得，⎣⎡⎦⎤a c ＝⎣⎡⎦⎤10，所以a ＝1，c ＝0. 由M ⎣⎡⎦⎤11＝⎣⎡⎦⎤22得，⎣⎡⎦⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎡⎦⎤22，所以b ＝1，d ＝2. 所以M ＝⎣⎡⎦⎤10 12.所以M 2＝⎣⎡⎦⎤10 12⎣⎡⎦⎤10 12＝⎣⎡⎦⎤10 34. 所以M 2⎣⎡⎦⎤1－1＝⎣⎡⎦⎤10 34 ⎣⎡⎦⎤1－1＝⎣⎡⎦⎤－2－4.答案：⎣⎡⎦⎤－2－45．已知⎣⎡⎦⎤11 02B ＝⎣⎡⎦⎤－44 3－1，则矩阵B ＝________. 解析：设B ＝⎣⎡⎦⎤a c b d ，则⎣⎡⎦⎤11 02B ＝⎣⎡⎦⎤ a a ＋2c b b ＋2d ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，a ＋2c ＝4，b ＋2d ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3，c ＝4，d ＝－2，故B ＝⎣⎡⎦⎤－44 3－2.答案：⎣⎡⎦⎤－44 3－26．矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤21 32的逆矩阵＝________.解析：设逆矩阵为A －1＝⎣⎡⎦⎤a c b d ，则由⎣⎡⎦⎤21 32 ⎣⎡⎦⎤a c b d ＝⎣⎡⎦⎤10 01，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，，所以A －1＝⎣⎡⎦⎤2－1 －32.答案：⎣⎡⎦⎤2－1 －327．若点P (x ，y )在矩阵⎣⎡⎦⎤32 1－3对应的变换作用下得到点(2，－5)，则P 点的坐标为________．解析：⎣⎡⎦⎤32 1－3 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤3x ＋y 2x －3y ＝⎣⎡⎦⎤2－5.∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝2，2x －3y ＝－5. 解得⎩⎨⎧x ＝111，y ＝1911.∴P ⎝⎛⎭⎫111，1911. 答案：⎝⎛⎭⎫111，1911.二、解答题8．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)已知a 、b ∈R ，若M ＝⎣⎡⎦⎤－1b a 3所对应的变换T M把直线l ：3x －2y ＝1变换为自身，试求实数a 、b 的值．解：在直线l 上任取一点P (x ，y )，设点P 在T M 的变换下变为点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎡⎦⎤－1b a 3 ⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x ′y ′，⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x ＋ay ，y ′＝bx ＋3y ，所以点P ′(－x ＋ay ，bx ＋3y )，∵点P ′在直线l 上，∴3(－x ＋ay )－2(bx ＋3y )＝1，即(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1， ∵方程(－3－2b )x ＋(3a －6)y ＝1即为直线l 的方程3x －2y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3－2b ＝3，3a －6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝－3.9．(2010·扬州中学高三考试)设矩阵M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到3倍，纵坐标伸长到2倍的伸压变换矩阵． (1)求逆矩阵M －1；(2)求椭圆x 29＋y 24＝1在矩阵M －1作用下变换得到的新曲线的方程．解：(1)M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130 0 12.(2)任取椭圆x 29＋y 24＝1上的一点P (x 0，y 0)，它在矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤130 0 12对应的变换下变为P ′(x 0′，y 0′)，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤13 0 0 12 ⎣⎡⎦⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤x 0′y 0，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x 0′，y 0＝2y 0′，又∵点P 在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴x 209＋y 204＝1，即9x ′209＋4y ′204＝1，即x ′20＋y ′20＝1，∴椭圆x 29＋y 24＝1在M －1的作用下的新曲线的方程为x 2＋y 2＝1.10． (江苏启东质量检测)给定矩阵M ＝，N ＝⎣⎡⎦⎤21 12及向量e 1＝⎣⎡⎦⎤11，e 2＝⎣⎡⎦⎤1－1.(1)证明：M 和N 互为逆矩阵； (2)证明：e 1和e 2都是M 的特征向量．证明：(1)因为MN ＝ ⎣⎡⎦⎤21 12＝⎣⎡⎦⎤10 01，NM ＝⎣⎡⎦⎤21 12＝⎣⎡⎦⎤10 01，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)向量e 1＝⎣⎡⎦⎤11在M 的作用下，其像与其保持共线，即向量e 2＝⎣⎡⎦⎤1－1在M 的作用下，其像与其保持共线，即所以e 1和e 2是M 的特征向量．1．(2010·金陵中学上学期期中卷)已知矩阵M ＝，矩阵M 对应的变换把曲线y＝sin x 变为曲线C ，求C 的方程．解：设P (x ，y )是所求曲线C 上的任意一点，它是曲线y ＝sin x 上点P 0(x 0，y 0)在矩阵M 变换下的对应点．则有⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤x 0y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0y ＝2y 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x y 0＝12y ，又点P 0(x 0，y 0)在曲线y ＝sin x 上，即y 0＝sin x 0，从而12y 0＝sin 2x ，所求曲线C 的方程为y ＝2sin 2x .2．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．(1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．解：(1)设M ＝⎣⎡⎦⎤a c b d ，则有⎣⎡⎦⎤a c b d ⎣⎡⎦⎤ 1－1＝⎣⎡⎦⎤－1－1，⎣⎡⎦⎤a c b d ⎣⎡⎦⎤－2 1＝⎣⎡⎦⎤ 0－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234.(2)设(x ，y )为l 上任一点，在矩阵M 下变为点(x ′，y ′)．，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝3x ＋4y ，又(x ′，y ′)在m ：x －y ＝4上，代入有：(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4.化简得l 的方程为x ＋y ＋2＝0.。