相平面法

7-4 相 轨 迹一、相轨迹的概念设二阶系统可以用下列常微分方程描述),(x x f x= 或),(xx f dtxd = 式中),(xx f 一般是x 和x 的非线性函数。

该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。

也可把时间t 作为参变量，用x 与x之间的关系曲线来表示。

下面以线性二阶系统为例加以说明。

设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。

即可把系统的阶跃响应用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，xx -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。

从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。

显然，如果把方程),(x x f x=看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。

用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速度）来表示该质点的运动。

在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。

在自动控制理论中，把具有直角坐标xx -的平面称为相平面。

相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的一个运动状态，这个点就称为相点。

相点随时间t 的变化在xx -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。

对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。

对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。

对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。

相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。

首先把二阶常微分运动方程),(x x f x= 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =∙则有12212(,)dx x dt dx f x x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 (,)dxx dtdx f x x dt⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （7-20）用（7-20）式的第一个方程除第二个方程，可得xx x f dx xd ),(1= （7-21）解（7-21）式就可得相轨迹方程，作出相迹来。

为了便于理解，先讨论大家比较熟悉的线性二阶系统的相轨迹及其特点，以及绘制方法，然后再讨论非线性系统。

另外，不少非线性元件的特性都可分段用直线来表示，故整个非线性系统的运动，可以分段用几个线性方程来描述。

因此，熟悉线性系统的相迹，对讨论非线性系统的相迹也是很有好处的。

二、线性系统的相轨迹及其特点 1、二阶线性系统的相轨迹 设系统的微分方程式如下022=++n n x x ωξω （7-22）取xx -为相平面坐标，上式可写成为 2(2)n n dx x x dtdx x dtξωω⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或 xx x dx xd n n )2(2ωξω+-= （7-23）由时域分析法讨论可知，式（7-22）所示自由运动形式由特征方程式的根分布特点所决定。

主要有以下几种情况：（1）0=ξ的无阻尼等幅振荡 解析法求相轨迹方程：方法①，求解微分方程（7-22）式得)(t x ，将)(t x 求导数得)(t x，最后消去)(t x 和)(t x 中的中间变量t ，即可得相轨迹方程)(x f x= 及相轨迹图。

方法②，对式（7-23）进行积分，求出相轨迹方程)(x f x = 。

这种方法只有当方程可以进行积分时才能采用。

下面分析用这两种解析法求相轨迹方程。

方法①：当0=ξ时，微分方程（7-22）的解为)sin()(ϕω+=t A t x n （7-24） 对上式求导数得)cos()(ϕωω+=t A t xn n （7-25） 式中22020n x x A ω +=是由初始条件决定的常量。

将（7-24）式左、右两边乘以n ω，然后平方并与式（7-25）的平方式相加，即消去t ，得相轨迹方程（椭圆方程）：122222=+n A xA x ω显然相轨迹是一个椭圆。

方法②：当0=ξ时，方程（7-23）式为xx dx xd n 2ω-= （7-26） 对上式积分，同样可得相轨迹方程122222=+nA xA x ω（7-27）当取不同初始值0x 、0x 时，式（7-27）在相平面上呈现一簇同心椭圆，如图7-35（a ）所示。

相轨迹随时间变化的方向：在xx -平面的上半平面内，0>x ，x 随时间的增大而增大，所以相轨迹方向自左至右指向x 增加方向；在xx -平面的下半平面内，0<x ，x 随时间的增大而减小，故相轨迹方向应自右至左指向x 减小方向。

所以相轨迹的方向如图7-35（a ）中箭头所示。

相轨迹的斜率：相迹与横坐标轴的交点)0,0(≠=x x，由式（7-23）可知，∞=dxxd ，所以相轨迹垂直地穿过横坐标轴。

由于在相平面上对应每一个给定的初始条件，根据解析函数的微分方程解的唯一定理，可以证明通过初始条件确定的点的相轨迹只有一条。

因此由所有可能初始条件确定的相轨迹不会相交。

只有在平衡点上，由于00=dx xd 为不定，可以有无穷多个相轨迹逼近或离开它，可见这种点相应之下有点“不平常”，因此称为奇点。

图7-35(a)中的坐标原点即为奇点。

当0=ξ时，只有唯一的孤立奇点，而且奇点附近的相轨迹是一簇封闭曲线，这种奇点通常称为中心点。

（2）10<<ξ的欠阻尼衰减振荡 系统特征根为 d n j P ωξω±-=21、 方程（7-22）的解为)cos()(ϕωξω+=-t Ae t x d t n 可用上述同样的方法求得系统欠阻尼运动时的相轨迹方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x C x x x d n d n d n ωξωωξωωξω arctan 2exp )(0222 （7-28） 式中0C 由初始条件所决定。

方程（7-28）在相平面上是一簇绕坐标原点的螺旋线。

相轨迹移动方向是从外卷入原点，不管初始状态如何，最终相轨迹总是卷向坐标原点，如图7-35（b ）所示。

显然，坐标原点是奇点，而且奇点附近的相轨迹均向它卷入，这种奇点称为稳定的焦点。

（3）1>ξ的过阻尼运动 系统特征根为两个负实根1221-±-=ξωξωn n p 、令 )1(21-+--=ξωξωn n q )1(22----=ξωξωn n q 同理，由方程（7-22）可解得相轨迹方程12)()(102q q x q x C x q x +=+ （7-29） 式中0C 由初始条件确定的常数。

方程（7-29）代表了一簇通过坐标原点的“抛物线”。

当给定不同初始值时，其相轨迹如图7-35(c)所示。

显然，坐标原点是一个奇点，这种奇点称为稳定的节点。

图中1和2为两条特殊的相轨迹。

（4）01<<-ξ的负阻尼发散振荡 系统特征根为具有正实部的一对共轭复数根，方程（7-22）的解)(t x 为发散振荡，因此，对应的相轨迹是发散的螺旋线如图7-35(d)所示。

由于随∞→t 时，∞→)(t x ，∞→)(t x，因此相轨迹远离坐标原点。

显然坐标原点为不稳定的焦点。

（5）1-<ξ的单调发散运动系统特征根为二个正实根，其相轨迹如图7-35(e)所示。

同理，坐标原点为不稳定的节点。

（6）系统微分方程为 02=-x x n ω系统特征根为实根n ω±，由于2nx dx dx xω=对上式积分[与式（7-26）类同]，得相轨迹方程122222=-A x A x n ω（7-30）式中2022x x A n -=ω 。

方程（7-30）是一簇等边双曲线，如图7-35（f ）所示。

坐标原点为奇点，其附近相轨迹像马鞍形，故称这种奇点为鞍点。

由图7-35（f ）可见，图中曲线1和2为两条特殊的相轨迹。

综上所述，二阶系统的运动形式与系统特征根的分布有密切的关系，不同的特征根分布，对应着不同的运动形式，以及不同的奇点类型。

它们的对应关系如图7-35所示。

2、特殊二阶线性系统的相轨迹 系统微分方程分别为（1）M x =由方程可见，系统的两个特征根位于[]s 平面的坐标原点。

因为这dxx d x x=，则有 Mdx x d x= 对上式进行积分，得系统的相轨迹方程 A Mx x =-221 式中0221Mx x A -= ，相轨迹是一簇抛物线，如图7-36(a)、(b)、(c)所示。

（2）M x x T =+由上式可见：系统的两个特征根分别为0、T1-。

另外，M x = 满足方程M x x T =+ ，因此，M x= 为一条相轨迹。

由于dxxd x x =，将它代入方程M x x T =+并整理成如下形式 xT x M dx x d -=显然上式是系统相轨迹的斜率方程。

令a dxxd = ，a 为常数，则有等倾线（即等斜率线）方程 1+=Ta M x 当a 取不同数值时，可获得不同的等倾线（这里是一簇水平线）。

当∞→a 时，0=x，表明相轨迹垂直穿过x 轴。

当T a 1-→时（在0>T 的条件下），∞=x ，表明相平面无穷远处的相轨迹斜率为T 1-。

当0=a 时，M x= ，显然M x = 既是一条相轨迹又是一条等倾线。

因为相轨迹互不相交，故其他相轨迹均以此线为渐近线。

该系统的相轨迹大致图形如图7-36)()()(f e d 、、和图7-36)()()(i h g 、、 所示。

在描述非线性系统运动特性的相轨迹中，除了上面所介绍的“奇点”外，还有一种奇线—— 一种封闭的相轨迹曲线，通常称为极限环。

它表示实际系统具有一种特殊运动方式—— 自振。

在极限环附近的相轨迹，可能卷向极限环或从极限环卷出。

因此，极限环将相平面分隔成内外两个部分。

极限环内部（或外部）的相轨迹，决不可能穿过极限环而进入它的外部（或内部）。

如果在极限环附近，起始于极限环外部或内部的相轨迹均收敛于该极限环，则该极限环称为稳定极限环。

系统呈现稳定的自振，如图7-37（a ）所示。

如果极限环附近的相轨迹都是从极限环附近发散出去，则极限环称为不稳定极限环。

这时，环内为稳定区，环外为不稳定区。

如果相轨迹起始于稳定区内，则该相轨迹收敛于极限环内的奇点。

但是如果相轨迹起始于不稳定区，则随着时间增加，该相轨迹将发散出去，如图7-37)(b所示。

如果起始于极限环外部各点的相轨迹，从极限环发散出去，而起始于极限环内部各点的相轨迹却收敛于极限环，如图7-37)(d所示，则这种极限(c所示。

或相反，如图7-37)环称为半稳定极限环。

非线性系统也可能没有极限环，也可能有一个或几个极限环。

通过上述二阶系统相轨迹的分析可知，用解析法求相轨迹是比较麻烦的，特别是对非线性系统，有时可能无法求出相轨迹的解析表达式。