相平面法

7-4 相 轨 迹

一、相轨迹的概念

设二阶系统可以用下列常微分方程描述

),(x x f x

= 或

),(x

x f dt

x

d = 式中),(x

x f 一般是x 和x 的非线性函数。该系统的时域解，可以用x 与t 的关系曲线来表示。也可把时间t 作为参

变量，用x 与x

之间的关系曲线来表示。下面以线性二阶系统为例加以说明。

设线性二阶系统如图7-34(a)所示，其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。即可把系统的阶跃响应

用图7-34(c)所示的x 与x 之间的关系曲线来描述，由图可见，x

x -曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。从某种意义上来说，甚至比)(t x 曲线更形象，可获得更多的信息。

显然，如果把方程),(x x f x

=看作是一个质点运动方程，用x 表示质点的位置，那么x 就表示质点的运动速度。用x 和x 描述方程的解，也就是用质点的“状态”（位置和速

度）来表示该质点的运动。在物理学中，这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运

动的方法称为相空间方法，也称为状态空间法。在自动控制理论中，把具有直角坐标x

x -的平面称为相平面。相平面是二维的状态空间（平面），相平面上的每个点对应着系统的

一个运动状态，这个点就称为相点。相点随时间t 的变化在x

x -平面上描绘出的轨迹线，表征了系统运动状态（相）的演变过程，这种轨迹称为相轨迹。对于二阶系统，它的状态变量只有两个，所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。对于三阶系统，它有三个状态变量，必须用三维空间来描述其相迹，这就比较困难了。对于三阶以上的系统，要作其相轨迹就更加困难；然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到n 维空间去。

相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。首先把二阶常微分运动方程

),(x x f x

= 改写成两个联立一阶微分方程，令1x x =，21x x =∙

则有

12212(,)dx x dt dx f x x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或 (,)dx

x dt

dx f x x dt

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （7-20）

用（7-20）式的第一个方程除第二个方程，可得

x

x x f dx x

d ),(1= （7-21）

解（7-21）式就可得相轨迹方程，作出相迹来。

为了便于理解，先讨论大家比较熟悉的线性二阶系统的相轨迹及其特点，以及绘制方法，然后再讨论非线性系统。另外，不少非线性元件的特性都可分段用直线来表示，故整个非线性系统的运动，可以分段用几个线性方程来描述。因此，熟悉线性系统的相迹，对讨论非线性系统的相迹也是很有好处的。

二、线性系统的相轨迹及其特点 1、二阶线性系统的相轨迹 设系统的微分方程式如下

022

=++n n x x ωξω （7-22）

取x

x -为相平面坐标，上式可写成为 2

(2)n n dx x x dt

dx x dt

ξωω⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

或 x

x x dx x

d n n )2(2

ωξω+-= （7-23）

由时域分析法讨论可知，式（7-22）所示自由运动形式由特征方程式的根分布特点所决定。主要有以下几种情况：

（1）0=ξ的无阻尼等幅振荡 解析法求相轨迹方程：方法①，求解微分方程（7-22）

式得)(t x ，将)(t x 求导数得)(t x

，最后消去)(t x 和)(t x 中的中间变量t ，即可得相轨迹方程)(x f x

= 及相轨迹图。方法②，对式（7-23）进行积分，求出相轨迹方程)(x f x = 。这种方法只有当方程可以进行积分时才能采用。下面分析用这两种解析法求相轨迹方程。

方法①：当0=ξ时，微分方程（7-22）的解为

)sin()(ϕω+=t A t x n （7-24） 对上式求导数得

)cos()(ϕωω+=t A t x

n n （7-25） 式中2

2020n x x A ω +=是由初始条件决定的常量。将（7-24）式左、右两边乘以n ω，然

后平方并与式（7-25）的平方式相加，即消去t ，得相轨迹方程（椭圆方程）：

122222=+n A x

A x ω

显然相轨迹是一个椭圆。

方法②：当0=ξ时，方程（7-23）式为

x

x dx x

d n 2ω-

= （7-26） 对上式积分，同样可得相轨迹方程

122222=+n

A x

A x ω

（7-27）

当取不同初始值0x 、0x 时，式（7-27）在相平面上呈现一簇同心椭圆，如图7-35（a ）所示。

相轨迹随时间变化的方向：在x

x -平面的上半平面内，0>x ，x 随时间的增大而增大，所以相轨迹方向自左至右指向x 增加方向；在x

x -平面的下半平面内，0

7-35（a ）中箭头所示。

相轨迹的斜率：相迹与横坐标轴的交点)0,0(≠=x x

，由式（7-23）可知，∞=dx

x

d ，所以相轨迹垂直地穿过横坐标轴。由于在相平面上对应每一个给定的初始条件，根据解

析函数的微分方程解的唯一定理，可以证明通过初始条件确定的点的相轨迹只有一条。

因此由所有可能初始条件确定的相轨迹不会相交。只有在平衡点上，由于00=dx x

d 为不定，可以有无穷多个相轨迹逼近或离开它，可见这种点相应之下有点“不平常”，因此称为奇点。图7-35(a)中的坐标原点即为奇点。当0=ξ时，只有唯一的孤立奇点，而且奇点附近的相轨迹是一簇封闭曲线，这种奇点通常称为中心点。

（2）10<<ξ的欠阻尼衰减振荡 系统特征根为 d n j P ωξω±-=21、 方程（7-22）的解为

)cos()(ϕωξω+=-t Ae t x d t n 可用上述同样的方法求得系统欠阻尼运动时的相轨迹方程

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x C x x x d n d n d n ωξωωξωωξω arctan 2exp )(02

22 （7-28） 式中0C 由初始条件所决定。方程（7-28）在相平面上是一簇绕坐标原点的螺旋线。相轨迹移动方向是从外卷入原点，不管初始状态如何，最终相轨迹总是卷向坐标原点，如图7-35（b ）所示。显然，坐标原点是奇点，而且奇点附近的相轨迹均向它卷入，这种奇点称为稳定的焦点。

（3）1>ξ的过阻尼运动 系统特征根为两个负实根

12

21-±-=ξωξωn n p 、

令 )1(21-+--=ξωξωn n q )1(22----=ξωξωn n q 同理，由方程（7-22）可解得相轨迹方程

12)()(102q q x q x C x q x +=+ （7-29） 式中0C 由初始条件确定的常数。方程（7-29）代表了一簇通过坐标原点的“抛物线”。当给定不同初始值时，其相轨迹如图7-35(c)所示。显然，坐标原点是一个奇点，这种奇点称为稳定的节点。图中1和2为两条特殊的相轨迹。

（4）01<<-ξ的负阻尼发散振荡 系统特征根为具有正实部的一对共轭复数根，方程（7-22）的解)(t x 为发散振荡，因此，对应的相轨迹是发散的螺旋线如图7-35(d)

所示。由于随∞→t 时，∞→)(t x ，∞→)(t x

，因此相轨迹远离坐标原点。显然坐标原点为不稳定的焦点。