函数及其表示学案

函数及其表示学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

2.1函数及其表示

考情分析

1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．

2．考查分段函数的简单应用．

3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 基础知识

1．函数的基本概念

1.符号:f A B →表示集合A 到集合B 的一个映射，它有以下特点：

(1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;

(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应;

(3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.

2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A 和B 都是非空数集.

函数三要素是指定义域、值域、对应法则.

同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.

3.分段函数是指函数由n 个不同部分组成,但是一个函数.

4.函数解析式求法:

(1)已知函数类型,可设参,用待定系数法；（2）已知复合函数[(()]f g x 的表达式，求()f x 可用换元法；（3）配凑法与方程组法.

注意事项

1.求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：

①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域．

2.。(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．

(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．

3.。函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对

应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f ：A →B 的三要素是两个集合A 、B 和对应关系f .

典型例题

题型一 求函数的定义域

【例1】►求下列函数的定义域：

(1)f (x )＝|x －2|－1log 2(x －1)

； (2)f (x )＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4

. 解 (1)要使函数f (x )有意义，必须且只须⎩⎨⎧ |x －2|－1≥0，x －1>0，

x －1≠1.

解不等式组得x ≥3，因此函数f (x )的定义域为[3，＋∞)．

(2)要使函数有意义，必须且只须⎩

⎨⎧ x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0， 即⎩⎨⎧

x >－1，(x ＋4)(x －1)<0，

解得：－1

的定义域为(－1,1)． 【变式1】下列函数中,与函数

y =

有相同定义域的是( ) A.2()log f x x = B.

1()f x x = C.()||f x x = D.()2x f x =

【答案】A 【解析】选项A 的定义域为(0,)+∞，与原题相同；而选项B 中的x 可以为负数，选项C 、D 的定义域都为R ，故选A.

题型二 求函数的解析式

【例2】(1)已知f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )； (2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析

式．

解 (1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1

， ∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1

. (2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．①

以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②

由①②消去f (－x )得

f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．

【变式2】 (1)已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．

(2)已知f (x )＋2f (1x )＝2x ＋1，求f (x )．

解 (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，则

a (x ＋1)2＋

b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1

ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1

∴⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，

解得a ＝12，b ＝12. 因此f (x )＝12x 2＋12x .

(2)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝2x ＋1，

消去f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1x ， 得f (x )＝4＋x －2x 2

3x

. 题型三 分段函数 【例3】设函数f (x )＝⎩⎨⎧

21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1， 则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )．

A ．[－1,2]

B ．[0,2]

C ．[1，＋∞)

D ．[0，＋∞)

解析 f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞1，1－log 2x ≤2

⇔0≤x ≤1或x ＞1，故选D. 答案 D

【变式3】已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩

⎨⎧

2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．

解析 分类讨论：

(1)当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.

这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；

f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .

由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ，

解得a ＝－32，

不符合题意，舍去．

(2)当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，

这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；

f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，

由f (1－a )＝f (1＋a )，得－1－a ＝2＋3a ，

解得a ＝－34.

综合(1)，(2)知a 的值为－34.

答案 －34 重难点突破

【例1】► 求函数y ＝log 13(x 2－3x )的单调区间．