(中档)：圆锥曲线第二章 常见条件翻译转化【高中数学+二轮复习】
圆锥曲线常见条件翻译转化
⎩ 1 2圆锥曲线常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程 Ax + By + c = 0代入圆锥曲线C 的方程 F ( x , y ) = 0 ,消去 y (也可以消去 x )得到关系一个变量的⎧⎪ Ax + By + c = 0一元二次方程,,即⎰⎪F ( x , y ) = 0 ,消去 y 后得ax 2 + bx + c = 0(1)当a = 0 时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当a ≠ 0 时, ∆ > 0 ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; ∆ = 0 ,直线l 与曲线C 相切,即有唯一的公共点(切点); ∆< 0 ,直线l 与曲线C二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线 l : f ( x , y ) = 0 , 曲线 C : F ( x , y ) = 0, A,B 为 l 与 C 的两个不同的交点, 坐标分别为⎧⎪ f ( x , y ) = 0A ( x 1 , y 1 ),B ( x 2 , y 2 ) ,则 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是方程组⎨ ⎪⎩F ( x , y ) = 0的两组解,方程组消元后化为关于 x 或y 的一元二次方程 Ax 2+ Bx + c = 0 ( A ≠ 0 ) ,判别式∆ = B 2 - 4 AC ,应有∆ > 0 ,所以 x , x 是方程 Ax 2+ Bx + c = 0 的根,由根与系数关1+ k 2A3 系(韦达定理)求出 x + x = - B , x x = C, 所以 A , B 两点间的距离为12A1 2AAB =- x == 即弦长公式,弦长 1 2公式也可以写成关于 y 的形式AB - y =k ≠ 0) 1 2三、三角形面积求法方法1 底⨯高2 1 ab sin C2拆 分 : S = 1 FF y - y , S = 1FF x - x∆2 1 2 1 2 ∆ 2 1 2 12适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题备注不一定简单 简单简单【基础】【例 1】.设 F 1，F 2 分别是椭圆 E ：xy 2+ b 2=（1 0＜b ＜1）的左、右焦点,过 F 1 的直线l 与 E 相交于 A 、B 两点,且| AF 2 |，| AB |，| BF 2 | 成等差数列. (1)求| AB | ;(2)若直线l 的斜率1为,求b 的值.【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4又 2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AAAA | = 4(2)L 的方程式为 y=x +c,其中cc = √1 − bb 21+ k 2 1+ k2x + x - 4x x ( 1 2 ) 21 21+ k 2 1+ k 2y + y - 4 y y ( 1 2 ) 21 22yy = xx + cc设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则 A,B 两点坐标满足方程组� 2 yy 2 .,xx + bb2 = 1化简得(1+b 2)x 2+2cx +1﹣2b 2=0.则xx 1 + xx 2 = −2cc, xx 1xx 2 = 1+bb 2 1−2bb 22 . 1+bb4因为直线 AB 的斜率为 1,所以|AAAA | = √2|xx 2 − xx 1|即 3= √2|xx 2 − xx 1|.824(1−bb 2)4(1−2bb 2)8bb 4�2则9 = (xx 1 + xx 2) − 4xx 1xx 2 = (1+bb 2)2−1+bb 2=(1+bb 2)2.解得bb = 2 .xx 2 yy 2【例 2】.如图, F 1，F 2 分别是椭圆C :aa 2 + bb2 = 1（a ＞b ＞0）的左、右焦点, A 是椭圆C 的顶点, B 是直线 AF 2 与椭圆C 的另一个交点, ∠F 1 AF 2 = 60︒ . (1)求椭圆C 的离心率; (2)已知 AF 1B 的面积为40,求a ，b 的值.cc 1【解答】解:(1)∠F 1AF 2=60°⇔a=2c ⇔e= = .aa 2(2) 设 |BF 2|=m, 则 |BF 1|=2a ﹣ m, 在 三 角 形 BF 1F 2 中 ,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2 ﹣32|BF 2||F 1F 2|cos120°⇔(2a ﹣m)2=m 2+a 2+am.⇔m= 5aa .△AF 1B 面积 S= 1|BA ||F 1A |sin60°21 ⇔ × aa × (aa +23 aa ) × 5√3=40√3⇔a=10,∴c=5,b=5√3. 2【例3】.过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于 A , B 两点, 若线段 AB 的长为8 ,则 p = .p p 【解析】 设过焦点 F ( , 0) 且倾斜角为 45°的直线方程为 y = x - ,联立直线方程与抛2 232 2 (3 p )2 - p 2 ,, ,⎨ ⎪ ⎧ y = x - p p 2物线方程得⎪ 2 ,消 y 得 x 2 - 3 px + = 0 . 4 ⎪⎩ y 2 = 2 px⎧x 1 + x 2 = 3 p 设 A ,B 两点的坐标为(x 1 , y 1 ) , (x 2 , y 2 ) ,则⎨x x = p , ⎛⎪ 1 2 4故 AB = x - x = ⋅ ＝ ⋅ ＝ ⋅ 2 2 p ＝4 p ＝8, 1 2则 p ＝2.x 2 y 22 【例 4 】. 已知椭圆 C : a 2 + b 2 = 1(a > b > 0) 的一个顶点为 A (2, 0) , 离心率为, 直线2y = k (x -1) 与椭圆C 交于不同的两点 M , N .(1)求椭圆C 的方程(2)当∆AMN 的面积为时,求k 的值. 3【解析】(1)由题意得,解得,所以椭圆 的方程为.(2)由 ,得 .设点 ,则. 因为直线恒过椭圆内一点,所以恒成立.由根与系数的关系得:.所以,又因为点到直线的距离,所以的面积为,即,1 + 12 (x + x )2 - 4x x 1 2 1 22 10 ,,3 2 3 3 48 - 24b 2 + 8b 43 2x y+ ⎩解得.y【例 5】.圆一个三角形,当该三角形面 Px 2 + y 2 = 4 的切线与xx 轴正半轴,yy 轴正半轴围成O积最小时,切点为PP (如图).(1) 求点PP 的坐标;(2)焦点在xx 轴上的椭圆CC 过点PP ,且与直线l : y = x + 交于AA , AA 两点,若∆PAB 的面积为2,求CC 的标准方程.【 解析】(1) 设切 点坐 标为 (x 0 , y 0 ) (x 0 > 0, y 0 > 0) . 则 切 线斜率为 -x 0y 0. 切线方程为y - y = - x 0(x - x ) . 即 x x + y y = 4 . 此时, 两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积0 0 0S = 1 ⋅ 4 ⋅ 4 = 8 . 由 x 2 + y 2= 4 ≥ 2x y 知当且仅当 x = y = 时, x y 有最大值.即 S 有2 x 0 y 0 x 0 y 00 0 0 0 0 0 0 0最小值.因此点 P 的坐标为( 2, 2) .(2) 设 2 2 的标准方程为 + => > .点2 2 .由点 在 上知 + = 1.C a 2 b21(a b 0) A(x 1, y 1 ), B(x 2 , y 2 ) P C a 2 b 2⎧ x 2 y 2⎧x + x = - 4 3 ⎪ 22 = 1, 2 2 2 ⎪ 1 2 b 2并由 ⎨ a b ⎪ y = x + 得 b x 3,+ 4 3x + 6 - 2b = 0 . 又 x 1 , x 2 是方程的根, 因此 ⎨ ⎪x x = ⎩ 1 2 , 由 6 - 2b 2b 2y 1 = x 1 + , y 2 = x 2 + ,得 AB = x 1 - x 2 = 2 ⋅ b 2.由点 P 到直线l 的距离为及 S ∆PAB =AB = 2 得 b 4 - 9b 2 +18 = 0 . 解得 b 2 = 6 或 3 . 因此 b 2 = 6 , a 2 = 3 ( 舍) 或22x 2 y 2 b = 3 , a = 6 .从而所求C 的方程为+ = 1.6 3【中档】2 1 32 2x0 y1 2【例 1 】. 已知双曲线CC : xx 2 − yy 2= 1(aa > 0, bb > 0) 的两个焦点为FF : (−2,0), FF : (2,0),aa 2 bb 2点PP (3, √7)在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程;(2)记O 为坐标原点,过点Q （0，2）的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点 E 、F ,若 OEF 的面积为2√2,求直线l 的方程.【解答】解:(1):依题意,由 a 2+b 2=4,得双曲线方程为xx22 −yy 22 = 1(0＜a2＜4),9 7aa4−aa将点(3,√7)代入上式,得 aa 2 − 4−aa 2 = 1.解得 a 2=18(舍去)或 a 2=2,xx 2 故所求双曲线方程为 2yy 2 − 2= 1.(2):依题意,可设直线 l 的方程为 y=kx +2,代入双曲线 C 的方程并整理, 得(1﹣k 2)x 2﹣4kx ﹣6=0.∵直线 I 与双曲线 C 相交于不同的两点 E 、F,∴1 − kk2 ≠ 0 kk ≠ ±1�△= (−4kk )2 + 4 × 6(1 − kk )2 > 0⇔ �−√3＜kk ＜√3∴k ∈(﹣√3, −1)∪(1,√3).4kk6设 E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),则由①式得 x 1+x 2=1−kk 2,x 1x 2=﹣1−kk 2,于是,|EF |=�(xx 1 − xx 2)2 + (yy − yy )2 = �(1 + kk 2)(xx 1 − xx 2)2�22�2 2�2�3−kk 2= 1 + k k ⋅ �(xx 1 + xx 2) − 4xx 1xx 2 = 1 + kk ⋅|1−kk 2|2而原点 O 到直线 l 的距离 d= 2, √1+kkmm 到抛物线的准线 的距离为 1 ∴S △OEF = 1dd ⋅ |EEFF | = ⋅2⋅ √1 + kk 2 2√2√3−kk 2 ⋅ 22√2√3−kk 2= 2 .2 2 √1+kk|1−kk ||1−kk |2√2√3−kk 2 42若 S △OEF =2√2,即 = 2√2 ⇔ kk − k k|1−kk 2|− 2 = 0,解得 k=±√2,满足②.故满足条件的直线 l 有两条,其方程分别为 y=√2xx + 2和yy = −√2xx + 2.xx 2yy 2 1 【例 2】.设椭圆 2 + 2 = 1（a ＞b ＞0）的左焦点为 F ,右顶点为 A ,离心率为 .已知 A 是aa bb 2抛物线 y 2 2 p （x p ＞0）的焦点, F l 12(I) 求椭圆的方程和抛物线的方程;(II) 设l 上两点 P ，Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B ( B 异于 A ),直线 BQ 与 x 轴相交于点 D .若 APD√6 AP 的方程.的面积为 2,求直线【解答】(1)解:设 F 的坐标为(﹣c,0).cc = 1 aa2 13 依题意可得 aa =pp 解得 a=1,c= ,p=2,于是 b 2=a 2﹣c 2= . 2 2 4aa − cc = 124yy 2 所以,椭圆的方程为 x 2+3=1,抛物线的方程为 y 2=4x.(2)解:直线 l 的方程为 x=﹣1,设直线 AP 的方程为 x=my +1(m ≠0),联立方程组 xx = −12 2�xx = mmyy + 1,解得点 P(﹣1,﹣mm ),故 Q(﹣1, ).xx = mmyy + 1联立方程组� xx 2 + 4yy 2 = 13 ,消去 x,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得 y=0,或 y=﹣ 6mm 2∴B( −3mm 2+4 2, −6mm2 ). 3mm +4 3mm +4 3mm +42 ⎩ .2 -∴直线 BQ 的方程为( −6mm2 2 ﹣ )(x +1)﹣( −3mm 2+4 2+ 1)(y ﹣ 2 )=0, 3mm +4 mm 3mm +4 mm2−3mm 2 2−3mm 2 2−3mm 2 6mm 2令 y=0,解得 x= 2 ,故 D( 2 ,0).∴|AD |=1﹣ 2 = 2 .3mm +2 3mm +2 3mm +2 3mm +2√6 16mm 2 2 √6 又∵△APD 的面积为 ,∴ × 2 2 × = ,2 3mm +2 |mm | 2√6 √6 整理得 3m 2﹣2√6|m |+2=0,解得|m |=3 ,∴m=± . 3∴直线 AP 的方程为 3x +√6y ﹣3=0,或 3x ﹣√6y ﹣3=0.x 2 y 2 6【例 3】已知椭圆C : a 2 + b 2 = 1( a > b > 0 )的左焦点为F (-2, 0) ,离心率为 . 3(1) 求椭圆C 的标准方程;(2) 设O 为坐标原点, T 为直线 x = -3 上一点,过 F 作TF 的垂线交椭圆于 P , Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.【解答】(1)由已知得: c=a 6 , c = 2 ,所以 a = 3222x 2 y 2 又由a = b + c ,解得b = ,所以椭圆的标准方程为:+= 1.62m - 0 (2)设 T 点的坐标为( 3,m ) ,则直线 TF 的斜率k TF = -3 - (-2)= -m .当 m ≠ 0 时,直线 PQ 的斜率k PQ= 1,直线PQ 的方程是 x = my - 2 m当 m = 0 时,直线 PQ 的方程是 x = -2 ,也符合 x = my - 2 的形式.将 x = my - 2 代入椭圆方程得: (m 2 + 3) y 2- 4my - 2 = 0 .63 1 1 2 2 其判别式∆ = 16m 2 + 8(m 2+ 3) > 0 .设 P (x , y ), Q (x , y ) ,4m-2-12则 y 1 + y 2 =m 2+ 3, y 1 y 2 =m 2+ 3, x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2 ) - 4 =m 2+ 3.因为四边形 OPTQ 是平行四边形,所以OP = QT ,即(x 1 , y 1 ) = (-3 - x 2 , m - y 2 ) .⎧x + x = -12= -3⎪ 1 2所以⎨m 2 + 3 4m 解得m = ±1.此时四边形OPTQ 的面积 ⎪ y + y = = m ⎛⎪ 1 2 m 2 + 3S= 2S= 2 ⨯ 1| OF | ⋅ | y - y |= 2 OPTQOPQ 2 1 2= 2 . 【例 4】.如图,在平面直角坐标系 x O y 中,椭圆C 过点(√3, 1)焦点 F (- 3，0), F ( 3，0) ,圆O21 2 的直径为 F 1F 2 .(1) 求椭圆C 及圆O 的方程;(2) 设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点 P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点.若OAB 2√6 lxx 2的面积为 7yy 2,求直线 的方程.【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为aa 2 + bb2 = 1, (aa > bb > 0),∵焦点 F 1(﹣√3,0),F 2(√3,0),∴cc = √3.3∵∴aa2 + 14bb 2 = 1, 又 a 2﹣b 2=c 2=3,解得 a=2,b=1.∴椭圆 C 的方程为:xx 24+ yy 2= 1,圆 O 的方程为:x 2+y 2=3.( 4m m 2 + 3 )2 - 4 -2 m 2 + 3(2)①可知直线 l 与圆 O 相切,也与椭圆 C,且切点在第一象限,因此 k 一定小于 0,∴可设直线 l 的方程为 y=kx +m,(k ＜0,m >0).由圆心(0,0)到直线 l 的距离等于圆半径√3,可得mm 22 = 3, 即mm= 3 + 3kk 2.由�yy = kkxx + m m1+kk,可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0, xx 2 + 4yy 2 = 4△=(8km)2﹣4(4k 2+1)(4m 2﹣4)=0,可得 m 2=4k 2+1,∴3k 2+3=4k 2+1,结合 k ＜0,m >0,解得 k=﹣√2,m=3.xx 2 + yy 2 = 32将 k=﹣√2,m=3 代入�yy = kkxx + mm可得x x− 2√2xx + 2 = 0,解得 x=√2,y=1,故点 P 的坐标为(√2, 1).②设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),kk ＜0, m m > 0由�mm 2 = 3 + 3kk 2⇒k ＜﹣√2. △> 0联立直线与椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0,|x 2﹣x 1|=�(xx 1 + x x 2)2− 4xx 1xx 2=4√4kk 2+1−mm 24kk 2+1 ,O 到直线 l 的距离 d= |mm |2, √1+kk4√4kk 2+1−mm 2 � 2 2 |AB |= 1 + k k |x 2﹣x 1|= ⋅ √1 + kk , 4kk 2+1△OAB 的面积为1 4√4kk 2+1−mm 22 |mm | 14√kk 2−2 2 2√6S= × 2 4kk 2+1⋅ √1 + k k × √1+kk 2=2 ×4kk 2+1 × √1 + k k × √3= 7 ,解得 k=﹣√5,(正值舍去),m=3√2.233 1 5 1 2 ∴y=﹣√5xx + 3√2为所求.【例 5】.在平面直角坐标系 x O y 中,点 B 与点 A （-1,1）关于原点O 对称, P 是动点,且直线 AP 与BP 的斜率之积等于- .3(1) 求动点 P 的轨迹方程;(2) 设直线 AP 和 BP 分别与直线 x = 3 交于点 M , N ,问:是否存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等？若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.【解答】若存在点 P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,设点 P 的坐标为(x 0 , y 0 )则 1| PA | | PB | sin ∠APB = 1 2 2| PM | | PN | sin ∠MPN ,因为sin ∠APB = sin ∠MPN , | PA |所以= | PN |所以| x 0 +1| = | 3 - x 0 | 即(3 - x )2 =| x 2 -1|,解得 x = 5 | PM | | PB | | 3 - x 0 | | x -1|0 0 03因为 x 2 + 3y 2= 4 ,所以 y = ±33 ,故存在点P 使得 PAB 与 PMN 的面积相等,此时点 P 的坐 09标为( , ±) . 3 9【例 6】.已知抛物线C ：y 2= 2x 的焦点为 F ,平行于 x 轴的两条直线l ，l分别交C 于A ，B 两点,交C 的准线于 P ，Q 两点.(1) 若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明 AR FQ ;(2) 若 PQF 的面积是 A BF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程.【解答】(1)证明:连接 RF,PF,由 AP=AF,BQ=BF 及 AP ∥BQ,得∠AFP +∠BFQ=90°,∴∠PFQ=90°,∵R 是 PQ 的中点,∴RF=RP=RQ,∴△PAR ≌△FAR,1 2 ,可得2 1∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,∵∠BQF +∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR,∴∠FQB=∠PAR,∴∠PRA=∠PQF,∴AR ∥FQ. (2)设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),1 1 1 1F( ,0),准线为 x=﹣ , S △PQF = |PQ |= |y 1﹣y 2|, 2 2 2 21设直线 AB 与 x 轴交点为 N,∴S △ABF = |FN ||y 1﹣y 2|,2∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,∴2|FN |=1,∴x N =1,即 N(1,0).yy 12 = 2xx 1 yy 1−yy 2yy设 AB 中点为 M(x,y),由� yy 22 = 2xx 2得yy 2 − yy 2=2(x 1﹣x 2),又 xx 1−xx 2 = , xx−1yy ∴ 1= ,即 y 2=x ﹣1.∴AB 中点轨迹方程为 y 2=x ﹣1. xx−1 yyxx 2yy 2【例 7】.设椭圆 + aa 2 bb 2 = 1（a ＞b ＞0）的右顶点为 A ,上顶点为 B .已知椭圆的离心率为√5, | AB |= √13. 3(1) 求椭圆的方程;(2) 设直线l ：y = k （x k ＜0）与椭圆交于 P ，Q 两点,l l 与直线 AB 交于点 M ,且点 P ，M 均在第四象限.若 BPM 的面积是 BPQ 面积的2 倍,求k 的值.【解答】解:(1)设椭圆的焦距为 2c,由已知可得 cc 2 2 = 5,又 a 2=b 2+c 2,解得 a=3,b=2,∴椭圆的方程为: xx 2 9yy 2 +4= 1, aa 9 (2)设点 P(x 1,y 1),M(x 2,y 2),(x 2>x 1>0).则 Q(﹣x 1,﹣y 1).∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的 2 倍,∴|PM |=2|PQ |,从而 x 2﹣x 1=2[x 1﹣(﹣x 1)],∴x =5x ,易知直线 AB 的方程为:2x +3y=6.由2xx + 3yy = 6xx = 6 >0. � yy = k k x x2 3kk +20 2 2 2由 4xx 2 + 9yy 2 = 36 6 � 2 2 � ,可得xx 1 = ,⇒ 9kk + 4 = 5(3kk + 2),⇒18k +25k +8=0, yy = kkxx �9kk 2+48 1 解得 k=﹣ 9 或 k=﹣ .2由xx = 6>0.可得 k > − 2 1 2 3kk +2 , 故 k=﹣ , 2√3 【例 8】.已知椭圆C 的两个顶点分别为 A （-2，0），B （2，0）,焦点在 x 轴上,离心率为 .2(1) 求椭圆C 的方程;(2) 点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点 M ，N ,过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E .求证: BDE 与 BDN 的面积之比为4：5 .xx 2 yy 2【解答】解:(1)由椭圆的焦点在 x 轴上,设椭圆方程:aa 2 + bb 2 = 1(a >b >0),则 a=2,e= cc√3= ,则 c=√3,b 2=a 2﹣c 2=1,aa 2xx 2 2 ∴椭圆 C 的方程 4+ y y = 1;(2)证明:设 D(x 0,0),(﹣2＜x 0＜2),M(x 0,y 0),N(x 0,﹣y 0),y 0>0,x x 2 由 M,N 在椭圆上,则 + yy = 1, 则 x 0 =4﹣4y 0 , 4 则直线 AM 的斜率 k 0yy 0−0 = yy 0xx 0+2AM = xx 0+2 ,直线 DE 的斜率 k DE =﹣ xx 0+2 , yy 0xx 0+2直线 DE 的方程:y=﹣ yy 0(x ﹣x 0),直线 BN 的斜率 k −yy 0 −yy 0 = ,直线 BN 的方程 y= (x ﹣2),BN⎧yy = − xx 0+2 (xx − x x xx 0−2 )4xx 0+2xx 0−2 yy 0 ⎨yy 0,解得: xx = � 5 , 4 yy = − x x −2 (xx − 2) yy = − 5 yy 0 ⎩ 0过 E 做 EH ⊥x 轴,△BHE ∽△BDN,3⎩ 则丨 EH 丨=4yy 0,则丨EEEE 丨=45 丨NNNN 丨 5∴:△BDE 与△BDN 的面积之比为 4:5.x 2 y 23 x 2【例 9】如图 7,椭圆C 1 : a 2 + b2的线段长等于C 1 的长半轴长. (1)求C 1 , C 2 的方程;= 1(a > b > 0) 的离心率为 2 , 轴被曲线C 2 : y = x - b 截得(2)设C 2 与 y 轴的交点为 M ,过坐标原点O 的直线l 与C 2 相交于点,直线 MA , MB 分别与C 1 相交与D ,E .【解答】(i)证明: MD ⊥ ME ;(ii)记 MAB , MDE 的面积分别是 S , S .问:是否存在直线l ,使得 S 1 =17?请说明理由.2 32解析:(I)由题意知e = c= a ,从而a = 2b ,又2 2= a ,解得a = 2, b = 1.C Cx 2 2 2故 1 ,2 的方程分别为+ y 4= 1, y = x -1.(II)(i)由题意知,直线l 的斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为 y = kx .⎧ y = kx 由 得 x 2 - kx -1 = 0 ,设 A (x , y ), B (x , y ) ,则 x , x 是 ⎨ y = x 2 -1 1 1 2 2 1 2上述方程的两个实根,于是 x 1 + x 2 = k , x 1 x 2 = -1 .又点 M 的坐标为(0, -1) 所以故,即. (ii)设直线 的斜率为 ,则直线的方程为,12 b3 ,S由则点 解得的坐标为 或.又直线 ,的斜率为,同理可得点 的坐标为.于是由 得 ,解得 或 则点 的坐标为 .又直线 的斜率为 ,同理可得点 的坐标为.于是 .因此 .由题意知,,解得或.又由点 、 的坐标可知,,所以 .故满足条件的直线 存在,且有两条,其方程分别为和 .【拔高】xx 2 yy 2【例 1】.已知椭圆aa 2+ bb 2 = 1（a ＞b ＞0）的左焦点为 F （-c ，0）,右顶点为 A ,点 E 的坐标bb 2为（0，c ）, EFA 的面积为 .2(I) 求椭圆的离心率;(II) 设点 Q 在线段 AE 上, | FQ | 3cc ,延长线段 FQ 与椭圆交于点 P ,点 M ，N 在 x 轴上,2PM QN ,且直线 PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形 PQNM 的面积为3c . (i)求直线 FP 的斜率;(ii)求椭圆的方程.1 【解答】解:(1)设椭圆的离心率为 e.由已知,可得 2(cc + aa )cc = bb 2.2又由 b 2=a 2﹣c 2,可得 2c 2+ac ﹣a 2=0,即 2e 2+e ﹣1=0.又因为 0＜e ＜1,解得ee = 121所以,椭圆的离心率为 ;2(2)(ⅰ)依题意,设直线 FP 的方程为 x=my ﹣c(m >0),则直线 FP 的斜率为 1.mm由(1)知 a=2c,可得直线 AE 的方程为 xx yy+ = 1,即 x +2y ﹣2c=0,与直线 FP2cc cc的方程联立,可解得xx =(2mm −2)cc , yy = 3cc ,即点 Q 的坐标为((2mm −2)cc , 3cc).mm +2 由已知|FQ |=3cc ,有 (2mm −2)cc 2mm +2 3cc 2 3cc 2 mm +2 2mm +22所以mm = 4[ mm +2 + c c ] 3+ ( ) mm +2 = ( 2 ) ,整理得 3m ﹣4m=0, 3,即直线 FP 的斜率为 . 4(ii) 解:由 a=2c,可得bb = √3cc ,故椭圆方程可以表示为xx 2 2 +yy 2 2 = 1.4cc 3cc3xx − 4yy + 3cc = 0由(i)得直线 FP 的方程为 3x ﹣4y +3c=0,与椭圆方程联立� xx 2 4cc 2 + yy 23cc 2消去 y,整理得 = 1 7x2+6cx ﹣13c2=0,解得xx = −13cc (舍去),或x=c.因此可得点 3cc ,进而可得|FFPP | = �23cc 2PP (cc , ) 72(cc + cc )+ ( ) = 25cc ,所以|PPPP | = |FFPP| − |FFPP | =5cc−3cc= cc .由已知,线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距222离,故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP.因为 QN ⊥ FP, 所以|PPQQ | = |FFPP | ⋅ ttaatt∠PPFFQQ = 3cc × 3 = 9cc, 所以¡ ÷ FQN 的面积为2 4 8.1|FFPP||PPQQ| =227cc232,同理¡÷FPM 的面积等于75cc232,由四边形PQNM 的面积为3c,得75cc23227cc2−32= 3cc,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.xx2所以,椭圆的方程为16yy2+12= 1.【例2】.如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2n (m >n) ,过原点且不与x 轴重合的直线l 与C1, C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A, B, C, D .记λ=m ,△BDM 和△ABN 的面积分别为S 和S .n 1 2(1)当直线l 与y 轴重合时,若S =λS ,求λ的值;1 2(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得S =λS ?并说明理由.1 2【答案】依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为x2 y2 x2 y2 mC1:a2+m2= 1, C2:a2+n2= 1 . 其中a >m >n > 0 , λ=n> 1. (1)解法 1:如图 1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为x = 0 ,则S =1| BD | ⋅ | OM | =1a | BD | , S =1| AB | ⋅ | ON | =1a | AB | ,所以S1 =| BD |.1 2 2 2 2 2 S2| AB |在C1 和C2 的方程中分别令x = 0 ,可得yA=m , yB=n , yD=-m ,于是| BD |=| yB-yD|=m +n=λ+ 1.| AB | | yA-yB| m -n λ-12 22 21 +k 21 +k 22 1 2S2图1 图2若S1 =λ,则λ+1=λ,化简得λ2 - 2λ-1= 0 . 由λ>1 ,可解得λ=+1.S2λ-1故当直线l 与y 轴重合时,若S1=λS2 ,则λ=+1.解法 2:如图 1,若直线l 与y 轴重合 ,则| BD | =| OB | + | OD | =m +n , | AB | =| OA | - | OB | =m -n ;S =1| BD | ⋅ | OM |=1a | BD | , S1 2 2 2=1| AB | ⋅ | ON |=1a | AB | .2 2所以S1 =| BD |=m +n=λ+ 1.S2| AB | m -n λ-1若S1 =λ,则λ+1=λ,化简得λ2 - 2λ-1= 0 . 由λ>1 ,可解得λ=+1.S2λ-1故当直线l 与y 轴重合时,若S1=λS2 ,则λ=+1.(2)解法 1:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2. 根据对称性, 不妨设直线l : y =kx (k > 0) ,点M (-a, 0) , N (a, 0) 到直线l 的距离分别为d1, d2,则因为d =| -ak - 0| =ak , d =| ak - 0| =ak,所以d =d .1 +k2 1 +k 2又S =1| BD | d , S =1| AB | d ,所以S1 =| BD |=λ,即| BD |=λ| AB | .1 2 1 2 2 2 | AB |由对称性可知| AB | =| CD | ,所以| BC | =| BD | - | AB | = (λ- 1) | AB | ,| AD | =| BD | + | AB | = (λ+ 1) | AB | ,于是122 2 | AD | = λ + 1. ① | BC | λ - 1将l 的方程分别与 C 1,C 2 的方程联立,可求得x A =a 2k 2+ m2, x B =a 2k 2+ n2.根据对称性可知 x C = -x B , x D = -x A ,于是| AD |1 + k2 | x - x | 2x= A D = A =②| BC | | x B - x C | 2x B从而由①和②式可得= λ + 1λ(λ - 1). ③令t =λ + 1λ(λ - 1),则由m > n ,可得t ≠ 1 ,于是由③可解得k 2= n 2 (λ 2t 2 - 1)a 2 (1 - t 2 ).因为k ≠ 0 ,所以k 2 > 0 . 于是③式关于k 有解,当且仅当 n 2 (λ 2t 2- 1)a 2(1 - t 2 )> 0 ,等价于(t 2 - 1)(t 2 -1 ) < 0 . 由λ > 1 ,可解得 1< t < 1, λ 2 λ即 1< λ + 1 < 1 ,由λ > 1 ,解得λ > 1 + ,所以λ λ(λ - 1)当1 < λ ≤ 1 + 时,不存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S 1 = λS 2 ;当λ > 1 + 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S 1 = λS 2 .解法 2:如图 2,若存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S 1 = λS 2 . 根据对称性,不妨设直线l : y = kx (k > 0) ,点 M (-a , 0) , N (a , 0) 到直线l 的距离分别为d 1 , d 2 ,则1 + k2 m a 2 k 2 + n 2 n a 2 k 2 + m 2a 2 k 2 + n 2 a 2 k 2 + m 21 + k2 1 + k 22 2 2 B A B A 42 1 2S 2因为d = = , d = =ak ,所以d = d . 1 + k 2 1 + k 2又 S = 1 | BD | d , S = 1| AB | d ,所以 S 1 = | BD | = λ .1 2 1 2 2 2| AB || BD | 1 + k 2 x | x + x x λ + 1 因为 = BD = AB = λ ,所以 A = .| AB | x A - x B | x A - x B x B λ - 1由点 A (x A , kx A ) , B (x B , kx B ) 分别在 C 1,C 2 上,可得x 2 k 2 x 2 x 2 k 2 x 2 x 2 - x 2k 2 (x 2 - λ 2 x 2 ) A + A = 1 , B + B = 1 ,两式相减可得 A B + A B= 0 , a 2 m 2 a 2 n 2 a 2 m 2依题意 x > xm 2 (x 2 - x 2) > 0 ,所以 x 2 > x 2. 所以由上式解得k 2= A B .A B A B a 2 (λ 2 x 2 - x 2)m 2 (x 2 - x 2) x 因为k 2> 0 ,所以由 A B> 0 ,可解得1 < A < λ .a 2 (λ 2 x 2 - x 2) x从而1 <λ + 1< λ ,解得λ > 1 + ,所以λ - 1当1 < λ ≤ 1 + 时,不存在与坐标 轴不重合的直线 l ,使得 S 1 = λS 2 ;当λ > 1 + 时,存在与坐标轴不重合的直线 l 使得 S 1 = λS 2 .第二节:向量背景的条件翻译【基础】【例 1】.设椭圆CC : xx 2 + yy 2 = 1(aa > bb > 0)的左焦点为FF ,过点FF 的直线ll 与椭圆CC 相交于aa 2 bb 2→ →AA , AA 两点,直线ll 的倾斜角为60°, AAFF = 2FFAA .(1)求椭圆CC 的离心率;(2)如果|AAAA | = 15,求椭圆CC 的方程.1 + k2 1 B2 2 【解答】解:设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知 y 1>0,y 2＜0. (1)直线 l 的方程为yy = √3(xx + cc ),其中cc = √aa 2 − bb 2.yy = √3(xx + cc )联 立 �xx 2yy2 得 (3aa 2 + bb 2)yy 2 − 2√3bb 2ccyy − 3bb 4 = 0. aa 2 + bb 2= 1�2�2解得yy 1 = 3b b (cc +2aa ) , y 3aa 2+bb 2 2 3b b (c c −2aa )3aa 2+bb 2 .→ →因为AAFF = 2FFAA ,所以﹣y 1=2y 2.√3bb 2(cc +2aa )√3bb 2(cc−2aa )cc 2 即﹣ 3aa 2+bb 2 =2 3aa 2+bb 2,解得离心率ee = aa = 3.(6 分)115 �1 4√3aabb 2(2)因为|AAAA | = �1 + kk2 ⋅ |yy 2 − yy 1|,∴ 4 =1 + • .3 3aa +bbcc 2 由 =得bb = �5 aa ,所以5 aa = 15,解得 a=3,bb = √5. aa 3 3xx 2 4 4yy 2故椭圆 C 的方程为 9 + 5xx 2 = 1.(12 分)【例 2】.已知椭圆C ： + y 2 = 1 ,椭圆C 以C 的长轴为短轴,且与C 有相同的离心率. 1 42 1 1(1) 求椭圆C 2 的方程;→→(2) 设O 为坐标原点,点 A ，B 分别在椭圆C 1 和C 2 上,OOAA =2OOAA ,求直线 AB 的方程.【解答】解:(1)椭圆C C: xx 2 + yy 2= 1的长轴长为 4,离心率为ee = cc = �31 4 aa 2∵椭圆 C 2 以 C 1 的长轴为短轴,且与 C 1 有相同的离心率∴椭圆 C 的焦点在 y 轴上,2b=4,为ee = cc = �3∴b=2,a=42yy 2 xx 2aa 2 ∴椭圆 C 2 的方程为 + 16 4= 1;=2;=﹣ 2﹣ (2)设 A,B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ),→→∵OOAA = 2OOAA ∴O,A,B 三点共线,→→当斜率不存在时,OOAA =2OOAA 不成立,∴点 A,B 不在 y 轴上当斜率存在时,设 AB 的方程为 y=kx将 y=kx 代入 xx 2 4 + yy 2 = 1,消元可得(1+4k 2)x 2=4,∴xx AA 2 = 41+4kk 2将 y=kx 代入 yy 2 16 xx 2 + 4 = 1,消元可得(4+k 2)x 2=16,∴xx AA 2 = 164+kk 2→ →1616 ∵OOAA = 2OOAA ,∴xx AA2=4xx AA2∴=4+kk 1+4kk 2,解得 k=±1,∴AB 的方程为 y=±xxx 2 【例 3】.已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： +4yy 23 = 1交于 A ，B 两点,线段 AB 的中点为M (1，m )(m ＞0) . (1)证明:kk < − 1→→→→→→→(2)设FF 为CC 的右焦点,PP 为CC 上一点,且FFPP +FFAA +FFAA =0.证明:|FFAA |,|FFPP |,|FFAA |成等差数列,并 求该数列的公差.【解答】解:(1)设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)∵线段 AB 的中点为 M(1,m)∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=2mxx 2 yy 2 3xx 2 + 4yy 2 = 12 将 A,B 代入椭圆 C: + =1 中,可得� 1 1两式相减可得, 4 3 3xx 2 + 4yy 2 = 122 23(x 1+x 2)(x 1﹣x 2)+4(y 1+y 2)(y 1﹣y 2)=0,即 6(x ﹣x )+8m(y ﹣y )=0∴k=yy 1−yy 26= 31 2 1 2xx 1 −xx 2 8mm 4mm. 1 点 M(1,m)在椭圆内,即 4mm 2 + 3 ＜1, (mm > 0)解得 0＜m ＜ 3∴kk = − 2 3 ＜ − 1① 4mm 2(2)由题意得 F(1,0),设 P(x 3,y 3),则 x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1=0,y 1+y 2+y 3=0,由(1)及题设得 x 3=3﹣(x 1+x 2)=1,y 3=﹣(y 1+y 2)=﹣2m ＜0.3 3 → 3又点 P 在 C 上,所以 m= ,从而 P(1,﹣ ),|FFPP |= .4 2 2→ 于是 � 2 2 � 2 xx 12xx 1|FFAA |= (xx 1 − 1) + yy 1 = (xx 1 − 1) + 3(1 − 4 )=2﹣ 2.同理 → xx 2→ → 1|FFAA |=2﹣ .所以|FFAA |+|FFAA |=4﹣ 2 2(xx 1 + xx 2) = 3,→ → → → → →故|FFAA |+|FFAA |=2|FFPP |,即|FFAA |,|FFPP |,|FFPP |成等差数列.→→ 1 设改数列的公差为 d,则 2|d |= 1 �(xx+ x x )2 − 4xx xx ② ||FFAA| − |FFAA ||= |x 1﹣x 2|= 2 2将 m= 3代入①得 k=﹣1.47 21 所以 l 的方程为 y=﹣x + ,代入 C 的方程,并整理得 7xx − 14xx + 4=0. 41 3√21故 x 1+x 2=1,x 1x 2= ,代入②解得|d |=. 28 283√21 3√21所以该数列的公差为 或﹣ .28 28【中档】【例1】.在平面直角坐标系 xOy 中,点PP 到两点(0, −√3), (0, √3)的距离之和等于4,设点PP 的轨迹为CC . (1)写出CC 的方程;→→→(2)设直线yy = kkxx + 1与CC 交于AA , AA 两点.kk 为何值时OOAA ⊥OOAA ？此时|AAAA |的值是多少？【解答】解:1 2 1 241 2 2 2 .(1)设 P(x,y),由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以(0, −√3), (0, √3)为焦点,长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴bb = �22 − (√3)2 = 1,故曲线 C 的方程为xx 2 +yy 2= 1.(4 分)xx 2 +yy 2= 1(2)设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足� 4yy = kkxx + 1.消去 y 并整理得(k 2+4)x 2+2kx ﹣3=0,故xx 1 + xx 2 = − 2k k , xx 1xx 2 = − 3 .(6 分)kk 2+4 2 kk +4→→OOAA ⊥ OOAA ,即 x 1x 2+y 1y 2=0.而 y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1,于是xx 1xx 2 + yy 1yy 2 = − 3 − kk +4 3kk 2 kk 2+4 2kk 2− kk 2+4 2 + 1 = −4k k +1 kk +4所以kk = ± 1时,x x +y y =0,故 →→ .(8 分) 21 2 1 2OOAA ⊥ OOAA当 kk = ± 1时xx + x x = ∓ 4 , x x xx = − 12 →�2 2 2,1 2�(1 + kk 2)(xx 2 − xx 1)2, 17 1 2 17 . |AAAA | =(xx 2 − x x 1) + (yy 2 − yy 1) =而(x 2﹣x 1)2=(x 2+x 1)2﹣4x 1x 2= 42172 + 4 × 4×3= 1743×13172 ,所以→4�65 |AAAA | = 17 .(12 分)xx 2yy 2【例 2】.在直角坐标系xxOOyy 中,椭圆C ： + aa bb 2 = 1(aa > bb > 0)的左、右焦点分别为F ，F . F 也是抛物线C ：y 2= 4x 的焦点,点 M 为C 与C 在第一象限的交点,且| MF |= 5 1 2 2 21 2 2 . 3(1) 求C 1 的方程;→→→→→(2)平面上的点 N 满足MMQQ = MMFF 1 + MMFF 2,直线l MN ,且与C 1 交于 A ，B 两点,若OOAA ⋅ OOAA =32 0,求直线ll 的方程.【解答】解:(1)由 C 2:y 2=4x 知 F 2(1,0).设 M(x ,y ),M 在 C 上,因为|MMFF | = 51 12 2 3,所 以 xx+ 1 = 5,得 2 2�6.M 在 C 上,且椭圆 C 的半焦距 c=1, 1 3 xx 1 = 3 , yy 1 = 31 1 4 + 8 = 1于 是 �9aa 2 3bb 2bb 2 = aa 2 − 1.消去 b 2 并整理得 9a 4﹣37a 2+4=0,解得 a=2(aa = 1不合题意,舍去).xx 2 故椭圆 C 1 的方程为 4yy 2 + 3= 1.→ → →(2)由MMFF 1 + MMFF 2 = MMQQ 知四边形 MF 1NF 2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O,因为 l ∥MN,所以 l 与 OM 的斜率相同,2�6故 l 的斜率kk = 3 = √6.设 l 的方程为yy = √6(xx − mm ).3由 3xx 2 + 4yy 2 = 12 2 2 � yy = √6(xx − mm ) 消去 y 并化简得 9x ﹣16mx +8m ﹣4=0. 设 A(x ,y ),B(x ,y ),x x + x x = 16mm , x x xx = 8mm 2−41 12 2 1 2 9 1 2 9 .→ →因为OOAA ⊥ OOAA ,所以 x 1x 2+y 1y 2=0.x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+6(x 1﹣m)(x 2﹣m)=7x 1x 2﹣6m(x 1+x 2)+6m 2=7 ⋅ 8mm 2−4 − 6mm ⋅ 16mm + 6mm 2=1 (14mm 2 − 28) = 0. 9 9 9所以mm = ±√2.此时△=(16m)2﹣4×9(8m 2﹣4)>0,故所求直线 l 的方程为yy = 6xx − 23,或yy = 6xx + 23.0 0 0 0 2→ →【例 3】.已知双曲线CC : xx 2 − yy 2 = 1(aa > 0, bb > 0)的离心率为√3,右准线方程为xx = �3aa 2 bb 23(I) 求双曲线CC 的方程;(2) 设直线ll 是圆O ：x 2 + y 2= 2 上动点 P (x ，y )(x y ≠ 0) 处的切线,ll 与双曲线C 交于不同的两点 A ，B ,证明∠AOB 的大小为定值.aa 2 = �3【解答】解:(1)由题意,� cc 3 ,解得 a=1,c=√3,b 2=c 2﹣a 2=2, cc aa∴所求双曲 C 的方程xx 2 −yy2= 1.(2)设 P(m,n)(mn ≠0)在 x 2+y 2=2 上,mm圆在点 P(m,n)处的切线方程为 y ﹣n=﹣ nn(x ﹣m),化简得 mx +ny=2.xx 2 −yy 2= 1�2以及 m 2+n 2=2 得(3m 2﹣4)x 2﹣4mx +8﹣2m 2=0, mmxx + ttyy = 2∵切 L 与双曲线 C 交于不同的两点 A 、B,且 0＜m 2＜2, 3m 2﹣4≠0,且△=16m 2﹣4(3m 2﹣4)(8﹣2m 2)>0,设 A 、B 两点的坐标分别(x 1,y 1),(x 2,y 2),x 1+x 2= 4mm 2 ,x 1x 2= 8−2mm 2 2 .3mm −4 3mm −4→ → ∵cccccc∠AAOOAA =OOAA⋅OOA A,→→|OOAA |⋅|OOAA |且 1 OOAA ⋅ OOAA = xx 1xx 2 + yy 1yy 2 = xx 1xx 2 + yy 2 (2 − xx 0xx 1)(2 − xx 0xx 2)18−2mm 2 1 8mm 2 mm 2(8−2mm 2)=x 1x 2+ 2−mm 2[4﹣2m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2]= 3mm 2 + −4 2−mm [4﹣ + 3mm 2−4 3mm 2−4 ]8−2mm 2 8−2mm 2= 2 ﹣ 2 =0. 3mm −4 3mm −4∴∠AOB 的大小为 900.= √3 2【例 4】.设 F ，F 分别是CC : xx 2 + yy 2= 1（a ＞b ＞0）的左,右焦点,MM 是CC 上一点且 MF 与xx 轴1 2 aa 2 bb 22垂直,直线 MF 1 与CC 的另一个交点为QQ .3(1)若直线MMQQ 的斜率为 ,求CC 的离心率;4(2)若直线MMQQ 在yy 轴上的截距为2,且| MN | 5 | F 1 N | ,求aa , bb .【解答】解:(1)∵M 是 C 上一点且 MF 2 与 x 轴垂直,∴M 的横坐标为 c,当 x=c 时,y=3bb 2 aa,即 M(c,bb 2aabb 2 ), aabb 2 3若直线 MN 的斜率为 ,即 tan ∠MF 1F 2= = = ,4 3 3 2 2 2 2 2cc 2 2 2aacc 43 2即 b = 2 aacc =a ﹣c ,即 c + 2 aacc ﹣a =0,则ee + 2ee − 1 = 0,即 2e +3e ﹣2=01 1解得 e= 或 e=﹣2(舍去),即 e= .2 2(2)由题意,原点 O 是 F 1F 2 的中点,则直线 MF 1 与 y 轴的交点 D(0,2)是线段 MF 1 的中点,设M(c,y),(y >0),则 cc 2 aa 2 + yy 2 = 1,即yy 2= bb bb 2bb 4 aa2,解得 y= bb 2 ,aa ∵OD 是△MF 1F 2 的中位线,∴ aa=4,即 b 2=4a,由|MN |=5|F 1N |,则|MF 1|=4|F 1N |, 解得|DF 1|=2|F 1N |,→→即DDFF 1 = 2FF 1QQ 设 N(x 1,y 1),由题意知 y 1＜0,则(﹣c,﹣2)=2(x 1+c,y 1).即�2(xx 1 + cc ) = −c c 3 ,即 xx 1 = − 2 cc 代入椭圆方程得9cc 2 1 + = 1, 2yy 1 = −2 �yy 1= −14aa 2 bb 29(aa 2−4aa ) 1 将 b 2=4a 代入得 4aa 2 +4aa= 1,解得 a=7,b=2√7. 2【例 5】.如图,设椭圆的中心为原点OO ,长轴在xx 轴上,上顶点为AA ,左、右焦点分别为 F 1，F 2 , 线段OF 1，OF 2 的中点分别为 B 1，B 2 ,且 AB 1B 2 是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过 B 1 作直线交椭圆于 P ，Q 两点,使 PB 2 QB 2 ,求 PB 2Q 的面积.xx 2 yy 2【解答】解:(1)设椭圆的方程为aa 2 + bb2 = 1(aa > bb > 0),F 2(c,0)∵△AB 1B 2 是的直角三角形,|AB 1|=AB 2|,∴∠B 1AB 2 为直角,从而|OA |=|OB 2|,即bb = cc2∵c 2=a 2﹣b 2,∴a 2=5b 2,c 2=4b 2,∴ee = cc = 2√5aa 51 cc2 在△AB 1B 2 中,OA ⊥B 1B 2,∴S= |B 1B 2||OA |= 2 2⋅ bb = bb ∵S=4,∴b 2=4,∴a 2=5b 2=20xx 2 ∴椭圆标准方程为 20 yy 2 + 4= 1;(2)由(1)知B 1(﹣2,0),B 2(2,0),由题意,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x=my ﹣2代入椭圆方程,消元可得(m 2+5)y 2﹣4my ﹣16=0①设 P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴yy 1 + yy 2 =4mm mm 2+5 , yy 1 yy 2= −16 mm 2+5→→∵AA 2PP = (xx 1 − 2, yy 1), AA 2PP = (xx 2 − 2, yy 2)∴ → → 16mm 2−64 AA 2PP ⋅ AA 2PP = (xx 1 − 2)(xx 2 − 2) + yy 1yy 2=− mm 2+5→→∵PB 2⊥QB 2,∴AA 2PP ⋅ AA 2PP = 0∴− 16mm 2−64 = 0,∴m=±2mm 2+5当 m=±2 时,①可化为 9y 2±8y ﹣16﹣0,∴|y 1﹣y 2|=�(yy 1 + yy 2 )2 − 4yy y y 28 =9√101 1 8 16∴△PB 2Q 的面积 S= |B 1B 2||y 1﹣y 2|= 2 ×4× 2 9 √10= 9√10.【例 6】.如图,抛物线 E: y 2 = 4x 的焦点为 F ,准线ll 与xx 轴的交点为AA .点CC 在抛物线EE 上,以CC 为圆心,|CCOO |为半径作圆,设圆CC 与准线ll 交于不同的两点MM , QQ . (1)若点CC 的纵坐标为2,求|MMQQ |;(2)若| AF |2 =| AM | • | AN | ,求圆CC 的半径.【解答】解:(I)抛物线 E:y 2=4x 的准线 l:x=﹣1,由点 C 的纵坐标为 2,得 C(1,2),故 C 到准线的距离 d=2,又|OC |=√5,∴|MN |=2�|OOCC |2 − dd 2=2√5 − 4=2.2 2 4 (II)设 C y 0 ,y ),则圆 C 的方程为(x ﹣y 0 )2+(y ﹣y )2=y 0+ yy 2,( 0 04 4 160 2 2 即 x 2 y 0 xx +y 2﹣2y y=0,由 x=﹣1 得 y 2﹣2y y +1 y y 0 =0, ﹣ 0 0 + 2 21。
高考数学二轮专题复习系列(8)圆锥曲线新人教版
解法一：由 e= c a
2
a2 b2
,得 2
a2
1 ,从而 a2=2 b2,c=b. 2
设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2) 在椭圆上 .
则 x12+2 y1 2=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，
(x12－ x22)+2( y12－ y22)=0, y1 y 2 x1 x2
x1 x2 4, y1 y 2 2.
2
2
2
2
又 x1 2 b2
y1 b2
1,
x2 2b 2
y2 b2
1,
两式相减，得
x12
x
2 2
2
2b
y12
y
2 2
0.
2
b
(x1 x 2 )( x1 x 2 ) 2( y1 y2 )( y1 y2 ) 0,
F2
y A
C1
O
F1
x
B
又 x1 x2
4.y1
y2
2.得 y1 x1
x1 x 2 . 2( y1 y2 )
设 AB 中点为 (x0,y0),则 kAB=－ x0 , 2 y0
又 (x0,y0)在直线
1
1
y= x 上， y0=
f
1(x 0,y 0)=0
点 P0(x 0,y 0) 是 C1， C2 的交点
f
2(x 0,y 0) =0
方程组有 n 个不同的实数解，两条曲线就有 n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线
就没有 交点 .
2. 圆
圆的定义
点集：｛ M｜｜ OM｜ =r ｝，其中定点 O为圆心，定长 r 为半径 .
2023年高考数学二轮复习讲练测(新高考)专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类(原卷版)
专题13 圆锥曲线压轴解答题常考套路归类【命题规律】解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：（1）解析几何通性通法研究；（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题； （3）解析几何中的常见模型；解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕这八个字的内容与三大核心考点展开．【核心考点目录】核心考点一：轨迹方程核心考点二：向量搭桥进行翻译 核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 核心考点四：斜率之和差商积问题 核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 核心考点六：定值问题 核心考点七：定点问题 核心考点八：三点共线问题 核心考点九：中点弦与对称问题 核心考点十：四点共圆问题 核心考点十一：切线问题 核心考点十二：定比点差法 核心考点十三：齐次化 核心考点十四：极点极线问题【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆22112x y +=．设A ，B 是椭圆上异于(0,1)P 的两点，且点0,21Q ⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB 上，直线,PA PB 分别交直线132y x =-+于C ，D 两点．（1）求点P 到椭圆上点的距离的最大值； （2）求||CD 的最小值．2．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点为(2,0)F ，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P 且斜率为Q M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．3．（2022·全国·统考高考真题）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(),0D p ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，3MF =． （1）求C 的方程；（2）设直线,MD ND 与C 的另一个交点分别为A ，B ，记直线,MN AB 的倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时，求直线AB 的方程．4．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭两点．（1）求E 的方程；（2）设过点()1,2P -的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =．证明：直线HN 过定点．5．（2022·全国·统考高考真题）已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0． （1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=PAQ △的面积．【方法技巧与总结】1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．【核心考点】核心考点一：轨迹方程 【规律方法】求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线为y =，且一个焦点到渐（1）求双曲线方程；（2）过点()0,1的直线l 与双曲线交于异支两点,,P Q OM OP OQ =+，求点M 的轨迹方程．例2．（2022春·吉林辽源·高三辽源市第五中学校校考期中）已知过定点()01P ，的直线l 交曲线2214y x -=于A ，B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为45︒，求AB ；（2）若线段AB 的中点为M ，求点M 的轨迹方程．例3．（2022·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研究问题． （1）已知动点P 为圆222:O x y r +=外一点，过P 引圆O 的两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，若0PA PB ⋅=，求动点P 的轨迹方程；（2）若动点Q 为椭圆22:194x y M +=外一点，过Q 引椭圆M 的两条切线QC 、QD ，C 、D 为切点，若0QC QD ⋅=，求出动点Q 的轨迹方程；（3）在（2）问中若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，其余条件都不变，那么动点Q 的轨迹方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．核心考点二：向量搭桥进行翻译 【规律方法】把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决． 【典型例题】例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考一模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，倾斜角为30︒的直线过椭圆的左焦点1F 和上顶点B ，且11ABF S =△A 为右顶点）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点(0,)M m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点P ，Q ，且2PM MQ =，求实数m 的取值范围．例5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =(),0A a 、()0,B b（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若经过点(且斜率为k 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，则是否存在常数k ，使得OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 的值；如果不存在，请说明理由．例6．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线2212:14x y bΓ-=与圆2222:4(0)x y b b Γ+=+>交于点(),(A A A x y 第一象限)，曲线Γ为1Γ、2Γ上取满足A x x >的部分．（1）若A x b 的值；（2）当b =2Γ与x 轴交点记作点1F 、2F ，P 是曲线Γ上一点，且在第一象限，且18PF =，求12F PF ∠；（3）过点20,22b D ⎛⎫+ ⎪⎝⎭斜率为2b-的直线l 与曲线Γ只有两个交点，记为M 、N ，用b 表示OM ON ⋅，并求OM ON ⋅的取值范围．例7．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，()4,6P 是C 上一点． （1）求C 的方程；（2）过点()1,1M 的直线与C 交于两点A ，B ，与直线:312l y x =-交于点N ．设NA AM λ=，NB BM μ=，求证：λμ+为定值．核心考点三：弦长、面积背景的条件翻译 【规律方法】首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点设线、直由联立、看判别式、韦达定理．将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数间的关系．【典型例题】例8．（2022春·内蒙古呼和浩特·高三呼市二中阶段练习）已知椭圆222:1(0)8x y C a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为C 上一点，且当1PF x ⊥轴时，2103PF =． （1）求C 的方程；（2）设C 在点P 处的切线交x 轴于点Q ，证明：1221PF QF PF QF ⋅=⋅．例9．（2022春·江苏徐州·高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，直线l 过C 的焦点且垂直于x 轴，直线l 被C （1）求C 的方程；（2）若C 与y 轴的正半轴相交于点P ，点A 在x 轴的负半轴上，点B 在C 上，PA PB ⊥，60PAB ∠=︒，求PAB 的面积．例10．（2022春·浙江金华·高三期末）已知双曲线22:143x y C -=上一点()4,3P ，直线()0y x b b =-+<交C于A ，B 点．（1）证明：直线PA 与直线PB 的斜率之和为定值； （2）若PAB 的外接圆经过原点O ，求PAB 的面积．核心考点四：斜率之和差商积问题 【规律方法】在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．【典型例题】例11．（2022·浙江·模拟预测）已知曲线C 上的任意一点到点)F和直线x =． （1）求曲线C 的方程；（2）记曲线的左顶点为A ，过()4,0B 的直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，P ，Q 均在y 轴右侧，直线AP ，AQ 与y 轴分别交于M ，N 两点．若直线MB ，NB 的斜率分别为1k ，2k ，判断12k k 是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．例12．（2022春·云南昆明·高三昆明市第三中学校考期末）如图，已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 斜率大于零的直线l 交抛物线于A 、B 两点，且与其准线交于点D ．（1）若线段AB 的长为5，求直线l 的方程；（2）在C 上是否存在点M ，使得对任意直线l ，直线,,MA MD MB 的斜率始终成等差数列，若存在求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例13．（2022·安徽·校联考二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，其右焦点为)F．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的右顶点为A ，若点,P Q 在椭圆C 上，且满足直线AP 与AQ 的斜率之积为120，求APQ △面积的最大值．例14．（2022春·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，H ⎛ ⎝⎭是C 上一点． （1）求C 的方程．（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k ．证明：①12k k 为定值；②点M 在定直线上．核心考点五：弦长、面积范围与最值问题 【规律方法】弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线与椭圆相交得到的OAB 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于OAB ，有以下三种常见的表达式：①1||||2OABSAB OH =⋅（随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②121||2OABSOM y y =⋅-（横截距已知的条件下使用） ③121||2OABS ON x x =⋅-（纵截距已知的条件下使用） 【典型例题】例15．（2021秋·上海普陀·高三曹杨二中阶段练习）已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C ．（1）已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程； （2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ； （3）求线段AC 长的取值范围．例16．（2022·四川达州·统考一模）平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆22:14x C y +=， 椭圆2:16x E +214y =．设点P 为椭圆C 上任意一点， 过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于A B ，两点， 射线PO 交椭圆E 于点Q ．（1）求 OQ OP的值；（2）求 ABQ 面积的最大值．例17．（2022春·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3460x y ++=与圆222()x y b a +-=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点)M作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆C 分别交于,,,A B C D 四点，如图，求四边形ACBD 的面积的取值范围．核心考点六：定值问题 【规律方法】求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【典型例题】例18．（2022春·广东肇庆·高三肇庆市第一中学校考阶段练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率是2，直线l 过双曲线C 的右焦点F ，且与双曲线C 的右支交于,A B 两点．当直线l 垂直于x 轴时，6AB =．（1）求双曲线C 的标准方程．（2）记双曲线C 的左､右顶点分别是,D E ，直线AD 与BE 交于点P ，试问点P 是否恒在某直线上？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．例19．（2022春·湖南株洲·高三校联考阶段练习）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的右焦点为F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，12B FB △为等腰直角三角形，且直线1FB 与圆221x y +=相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B ），直线1B E ，2B D 相交于点Q ．证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上．例20．（2022春·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点为()()2,0,0,1A B -．（1）求椭圆E 的方程及其焦距；（2）过点()2,1P -的直线与椭圆E 交于不同的两点,C D ，直线,BC BD 分别与x 轴交于点,M N ，求AM AN的值．核心考点七：定点问题 【规律方法】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明． 【典型例题】例21．（2023·河南郑州·高三阶段练习）已知抛物线2:2C y px =（其中6p >-F ，点M 、N 分别为抛物线C 上两个动点，满足以MN 为直径的圆过点F ，设点E 为MN 的中点，当MN EF ⊥时，点E 的坐标为()3-． （1）求抛物线C 的方程；（2）直线MF 、NF 与抛物线的另一个交点分别为A 、B ，点P 、Q 分别为AM 、BN 的中点，证明：直线PQ 过定点．例22．（2023春·甘肃兰州·高三兰化一中校考阶段练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，斜率为2的直线经过点A ，且点F （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于E 、F 两点（E 、F 两点与A 、B 两点不重合），且以EF 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，证明：直线l 过定点，并求出该定点坐标．例23．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知动圆M 与圆(22:4A x y +=及圆(22:4B x y +=中的一个外切，另一个内切．（1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若直线l 与轨迹C 相交于P 、Q 两点，以线段PQ 为直径的圆经过轨迹C 与x 轴正半轴的交点D ，证明直线l 经过一个不在轨迹C 上的定点，并求出该定点的坐标．核心考点八：三点共线问题 【规律方法】证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”．【典型例题】例24．（2023·全国·高三专题练习）已知2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右焦点为2F ，点2F 到E 的一条渐近线2F 的直线与E 相交于,A B 两点．当AB x ⊥轴时，||AB = （1）求E 的方程．（2）若3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，N 是直线1x =上一点，当,,B M N 三点共线时，判断直线AN 的斜率是否为定值．若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．例25．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，且离心（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =例26．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线．核心考点九：中点弦与对称问题 【规律方法】对于中点弦问题常用点差法解决． 【典型例题】例27．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，点A ，B 分别为椭圆E 的左右顶点，点C 在E 上，且ABC 面积的最大值为 （1）求椭圆E 的方程；（2）设F 为E 的左焦点，点D 在直线x ＝﹣4上，过F 作DF 的垂线交椭圆E 于M ，N 两点．证明：直线OD 平分线段MN ．例28．（2023春·江苏南京·高三统考阶段练习）已知O 为坐标原点，点⎛ ⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，直线l ：=+y x m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为12-．（1）求C 的方程；（2）若=1m ，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．例29．（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，记准线l 与x 轴的交点为A ，过A 作直线交抛物线C 于()11,M x y ，()22,N x y （21x x >）两点．（1）若122x x p +=，求MF NF +的值；（2）若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；（3）若P ，Q 是准线l 上关于x 轴对称的两点，问直线PM 与QN 的交点是否在一条定直线上？请说明理由．核心考点十：四点共圆问题 【规律方法】 证明四点共圆的方法：方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则可肯定这四点共圆．方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为180︒，并且任何一个外角都等于它的内对角）．方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．【典型例题】例30．（2022春·山西运城·高三校考阶段练习）已知点(4,4)M 在抛物线2:2x py Γ=上，过动点P 作抛物线的两条切线，切点分别为A ､B ，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为2-． （1）证明：直线AB 过定点；（2）过A ､B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C ､D ，问：是否存在一点P 使得A ､C ､P ､D 四点共圆？若存在，求所有满足条件的P 点；若不存在，请说明理由．例31．（2022·浙江丽水·高三统考竞赛）如图，已知抛物线24x y =的焦点为F ，直线:l y m =与抛物线交于,D E 两点，过,D E 分别作抛物线的切线12,l l ，12,l l 交于点A ．过抛物线上一点M （在l 下方）作切线3l ，交12,l l 于点,B C ．（1）当=1m 时，求ABC 面积的最大值； （2）证明A B F C 、、、四点共圆．例32．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A ，()1,1B -，动点P 满足OP mOA nOB =+，且1mn =．设动点P 形成的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的标准方程；（2）过点()2,2T 的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，试判断是否存在直线l ，使得A ，B ，M ，N 四点共圆．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．核心考点十一：切线问题 【规律方法】（1）若点()00,P x y 是圆222x y r +=上的点，则过点P 的切线方程为0x x +20y y r =．（2）若点()00,P x y 是圆222x y r +=外的点，由点P 向圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为200x x y y r +=．（3）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b +=上的点，则过点P 的切线方程为00221x x y ya b+=．（4）若点()00,P x y 是椭圆22221x y a b+=外的点，由点P 向椭圆引两条切线，切点分别为A ，B ，则弦AB 所在直线方程为00221x x y ya b+=． 【典型例题】例33．（2023·全国·高三校联考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22143x y +=的左、右顶点分别为,A B ，过左焦点1F 的直线与椭圆交于点,P Q （点Q 在点P 的上方）．（1）求证：直线,AP AQ 的斜率乘积为定值；（2）过点,P Q 分别作椭圆的切线，设两切线交于点M ，证明：1MF PQ ⊥．例34．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F，且点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点 （1）求椭圆C 的标准方程（2）过椭圆22122:153x y C a b +=-上异于其顶点的任一点Q ，作圆224:3O x y +=的切线，切点分别为M ，(N M ，N 不在坐标轴上），若直线MN 的横纵截距分别为m ，n ，求证：22113m n +为定值例35．（2023·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆1Γ和抛物线2Γ有相同的焦点(1,0)，椭圆1Γ的离心率为12，抛物线2Γ的顶点为原点．（1）求椭圆1Γ和抛物线2Γ的方程；（2）设点P 为抛物线2Γ准线上的任意一点，过点P 作抛物线2Γ的两条切线PA ，PB ，其中,A B 为切点．设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值．核心考点十二：定比点差法 【典型例题】例36．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，过右焦点F 且斜率为k （0k >）的直线与C 相交于A ，B 两点，若3AF FB =，求k例37．已知22194x y +=，过点(0,3)P 的直线交椭圆于A ，B （可以重合），求PA PB 取值范围．例38．已知椭圆22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11PF F A λ=，22PF F B μ=若2λ=，求μ的值．核心考点十三：齐次化 【典型例题】例39．已知抛物线2:4C y x =，过点(4,0)的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点，O 为坐标原点．证明：90POQ ︒∠=．例40．如图，椭圆22:12x E y +=，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q（均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．例41．已知椭圆22:14x C y +=，设直线l 不经过点2(0,1)P 且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：直线l 过定点．核心考点十四：极点极线问题 【典型例题】例42．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点()4,0P 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q 在定直线上．例43．（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B 分别是双曲线22:14y E x -=的左，右顶点，直线l （不与坐标轴垂直）过点()2,0N ，且与双曲线E 交于C ，D 两点．（1）若3CN ND =，求直线l 的方程；（2）若直线AC 与BD 相交于点P ，求证：点P 在定直线上．例44．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b +=>>与y 轴的交点,A B （点A 位于点B的上方），F 为左焦点，原点O 到直线FA 2． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设2b =，直线4y kx =+与椭圆C 交于不同的两点,M N ，求证：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．【新题速递】1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，直线l ：=1x -，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，分别以PQ ，PF 为直径作圆1C 和圆2C ，且圆1C 和圆2C 交于P ，R 两点，且PQR PFR ∠=∠．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）若直线1l ：x my a =+交轨迹E 于A ，B 两点，直线2l ：1x =与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线2l 两侧，直线1l 与2l 交于点N 且MA BN AN MB ⋅=⋅，求MAB △面积的最大值．2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆C 中心在原点O 为()0,1F ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，直线,OA OB 分别与直线2y =相交于,M N 两点，若MON ∠为锐角，求直线l 斜率k 的取值范围．3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数()32ln 13x f x x x x =-+-．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()y f x =在点A 处的切线为1l ，函数()e e x xg x -=-的图象在点B 处的切线为2l ，12l l ∥，求直线AB 的方程．4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，||2||OA OB =．（1）若12BF F △的面积为1C 的标准方程；（2）如图，过点(1,0)P 作斜率(0)k k >的直线l 交椭圆1C 于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线SN 交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使OM ON OQ +=，记四边形OMQN 的面积为1S ，求21OT OQ S k⋅-的最大值．5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，过左焦点F 的直线1(0)x ty t =-≠交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于P 点，PM MF λ=，PN NF μ=，记OMN ，2OMF △，2ONF △（2F 为C 的右焦点）的面积分别为123,,S S S ．（1）证明：λμ+为定值；（2）若123S mS S μ=+，42λ-≤≤-，求m 的取值范围．6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率2e =，22a c=． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l 与该椭圆交于M N 、两点，且222263F M F N +=l 的方程．7．（2023·全国·高三专题练习）设12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y D a b a b +=>>的左､右焦点，过2F 作倾斜角为π3的直线交椭圆D 于,A B 两点，1F 到直线AB 的距离为3，连接椭圆D 的四个顶点得到的菱形面积为4． （1）求椭圆D 的方程；（2）已知点()1,0M -，设E 是椭圆D 上的一点，过,E M 两点的直线l 交y 轴于点C ，若CE EM λ=，求λ的取值范围；（3）作直线1l 与椭圆D 交于不同的两点,P Q ，其中P 点的坐标为()2,0-，若点()0,N t 是线段PQ 垂直平分线上一点，且满足4NP NQ ⋅=，求实数t 的值．8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，,A B 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右顶点，焦距长为P 在椭圆E 上，直线,PA PB 的斜率之积为14-．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知O 为坐标原点，点()2,2C -，直线PC 交椭圆E 于点(,M M P 不重合），直线,BM OC 交于点G ．求证：直线,AP AG 的斜率之积为定值，并求出该定值．9．（2023·全国·高三专题练习）已知F ，F '分别是椭圆221:171617C x y +=的上、下焦点，直线1l 过点F '且垂直于椭圆长轴，动直线2l 垂直1l 于点G ，线段GF 的垂直平分线交2l 于点H ，点H 的轨迹为2C ． （1）求轨迹2C 的方程；（2）若动点P 在直线:20l x y --=上运动，且过点P 作轨迹2C 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，试猜想PFA ∠与PFB ∠的大小关系，并证明你的结论的正确性．10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆22x a ＋22y b ＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1，0），离心率为F 作两条互相垂直的弦AB ，CD ．（1）求椭圆的标准方程；（2）求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆22:12+=x E y ，经过点(1,1)M ，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q （均异于点(0,1)A -，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2．12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，A ，B ，P 是椭圆上的三个动点，且11PF F A λ=，22PF F B μ=，若2λ=，求μ的值．13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且直线1:1x y l a b +=被椭圆1C ． （1）求椭圆1C 的方程；（2）以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线2:4l y =上的动点M 作圆2C 的两条切线，设切点为,A B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求||||CD AB ⋅的取值范围．14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F ，动点P 在椭圆上，且使得1290F PF ∠=︒的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为2（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线x =-T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为A ，B ，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点C ，D ，求弦||CD 长的取值范围．15．（2023·全国·高三专题练习）已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左、右焦点，且右焦点2F 的坐标为(1,0)，点(P 在椭圆C 上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程（2）若过点2F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且||AB =l 的方程；。
人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(拔高)：圆锥曲线第二章 常见条件翻译转化
第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为 ()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分 适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单简单简单【例1】.已知椭圆0a b （＞＞）的左焦点为-0F c （，）,右顶点为A ,点E 的坐标为0c （，）,EFA 的面积为. (I)求椭圆的离心率;(II)设点Q 在线段AE 上,||FQ =,延长线段FQ 与椭圆交于点P ,点M N ，在x 轴上,PM QN ,且直线PM 与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c . (i)求直线FP 的斜率; (ii)求椭圆的方程.【解答】解:(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得.又由b 2=a 2﹣c 2,可得2c 2+ac ﹣a 2=0,即2e 2+e ﹣1=0.又因为0＜e ＜1,解得.所以,椭圆的离心率为;(2)(ⅰ)依题意,设直线FP 的方程为x=my ﹣c(m >0),则直线FP 的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE 的方程为,即x +2y ﹣2c=0,与直线FP的方程联立,可解得 ,即点Q 的坐标为.由已知|FQ |=,有,整理得3m 2﹣4m=0, 所以,即直线FP 的斜率为.(ii)解:由a=2c,可得 ,故椭圆方程可以表示为.由(i)得直线FP 的方程为3x ﹣4y +3c=0,与椭圆方程联立消去y,整理得7x2+6cx ﹣13c2=0,解得(舍去),或x=c.因此可得点 ,进而可得,所以.由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN ⊥FP ,所以,所以¡÷FQN 的面积为 ,同理¡÷FPM 的面积等于 ,由四边形PQNM 的面积为3c,得,整理得c 2=2c,又由c >0,得c=2. 所以,椭圆的方程为.【例2】.如图,已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ,长轴均为MN 且在x 轴上,短轴长分别为2m ,2()n m n ,过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ,2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为,,,A B C D .记mnλ=,△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . (1)当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,求λ的值;(2)当λ变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=?并说明理由.O xyBA C DMN【答案】依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C :22221x y a m +=,2C :22221x y a n +=. 其中0a m n >>>, 1.m nλ=>(1)解法1:如图1,若直线l 与y 轴重合,即直线l 的方程为0x =,则111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=,所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =,可得A y m =,B y n =,D y m =-,于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+. 解法2:如图1,若直线l 与y 轴重合,则||||||BD OB OD m n =+=+,||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=,211||||||22S AB ON a AB =⋅=. 所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=,则11λλλ+=-,化简得2210λλ--=. 由1λ>,可解得21λ=+. 故当直线l 与y 轴重合时,若12S S λ=,则21λ=+.O xyBA第22题解答图1CDMN OxyBA 第22题解答图2C DMN(2)解法1:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为122|0|11ak ak d k k --==++,222|0|11ak ak d k k -==++,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==,即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =,所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-, ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+,于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1,C 2的方程联立,可求得222A am x a k m=+,222B an x a k n=+.根据对称性可知C B x x =-,D A x x =-,于是222222221||2||||21||A D A B B C k x x x AD m a k n BC x n a k m k x x +-+===++-. ② 从而由①和②式可得2222221(1)a k n a k m λλλ++=+-. ③令1(1)t λλλ+=-,则由m n >,可得1t ≠,于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠,所以20k >. 于是③式关于k 有解,当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-, 等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>,可解得11t λ<<,即111(1)λλλλ+<<-,由1λ>,解得12λ>+,所以当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=;当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=. 根据对称性, 不妨设直线l :(0)y kx k =>,点(,0)M a -,(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ,2d ,则因为122|0|11ak ak d kk--==++,222|0|11ak ak d kk-==++,所以12d d =.又111||2S BD d =,221||2S AB d =,所以12||||S BD S AB λ==. 因为221||||||1||B D A B A B A B k x x x x BD AB x x k x x λ+-+===-+-,所以11A B x x λλ+=-.由点(,)A A A x kx ,(,)B B B x kx 分别在C 1,C 2上,可得222221A A x k x a m +=,222221B B x k x a n +=,两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=, 依题意0A B x x >>,所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >,所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-,可解得1ABx x λ<<.从而111λλλ+<<-,解得12λ>+,所以 当112λ<≤+时,不存在与坐标轴不重合的直线l ,使得12S S λ=;当12λ>+时,存在与坐标轴不重合的直线l 使得12S S λ=.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.已知一条曲线 在 轴右边, 上每一点到点 的距离减去它到 轴距离的差都是 .(1)求曲线 的方程;(2)是否存在正数 ,对于过点 且与曲线 有两个交点 的任一直线,都有＜ 若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由.【解答】解:(1)设P(x,y)是曲线C 上任意一点,那么点P(x,y)满足:化简得y 2=4x(x >0).(2)设过点M(m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). 设l 的方程为x=ty +m,由 得y 2﹣4ty ﹣4m=0,△=16(t 2+m)>0,于是①又＜ ⇔(x 1﹣1)(x 2﹣1)+y 1y 2=x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1+y 1y 2＜0②又,于是不等式②等价于 ＜ ⇔＜ ③由①式,不等式③等价于m 2﹣6m +1＜4t 2④对任意实数t,4t 2的最小值为0,所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2﹣6m +1＜0,解得 ＜ ＜ .由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线,都有＜ ,且m 的取值范围 .【例2】.已知椭圆E:过点 ,且离心率 为. (1)求椭圆 的方程;(2)设直线 ﹣ 交椭圆 于 两点,判断点与以线段 为直径的圆的位置关系,并说明理由.【解答】解法一:(1)由已知得,解得 , ∴椭圆E 的方程为.(2)设点A(x 1y 1),B(x 2,y 2),AB 中点为H(x 0,y 0).由,化为(m 2+2)y 2﹣2my ﹣3=0,∴y 1+y 2= ,y 1y 2= ,∴y 0=. G,∴|GH |2= = + =+ +.===,故|GH|2﹣=+=﹣+=0.∴,故G在以AB为直径的圆外.解法二:(1)同解法一.(2)设点A(x1y1),B(x2,y2),则==.由,化为(m2+2)y2﹣2my﹣3=0,∴y1+y2=,y1y2=,从而==+y1y2=+=﹣+=0.∴0,又不共线,∴∠AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】.如图,椭圆经过点,离心率,直线的方程为.(1)求椭圆的方程;(2)是经过右焦点的任一弦(不经过点),设直线与直线相交于点,记的斜率分别为123,,k k k .问:是否存在常数 ,使得123k k k λ+=？若存在,求 的值;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)椭圆C:经过点P (1, ),可得 ①由离心率e= 得 =,即a=2c,则b 2=3c 2②,代入①解得c=1,a=2,b= 故椭圆的方程为(2)方法一:由题意可设AB 的斜率为k,则直线AB 的方程为y=k(x ﹣1)③代入椭圆方程并整理得(4k 2+3)x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12=0 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1+x 2=④ 在方程③中,令x=4得,M 的坐标为(4,3k), 从而=k ﹣ 注意到A,F,B 共线,则有k=k AF =k BF ,即有 ==k 所以k 1+k 2= += + ﹣ +) =2k ﹣ × ⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣,所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二:设B(x0,y0)(x0≠1),则直线FB的方程为令x=4,求得M(4,)从而直线PM的斜率为k3=,联立,得A(),则直线PA的斜率k1=,直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3,故存在常数λ=2符合题意【例2】.设椭圆的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线与椭圆交于不在轴上,垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且∠∠,求直线的斜率.【解答】解:(1)由+=,得+=,即=,∴a[a2﹣(a2﹣3)]=3a(a2﹣3),解得a=2.∴椭圆方程为;(2)由已知设直线l的方程为y=k(x﹣2),(k≠0),设B(x1,y1),M(x0,k(x0﹣2)),∵∠MOA=∠MAO,∴x0=1,再设H(0,y H),联立,得(3+4k2)x2﹣16k2x+16k2﹣12=0.△=(﹣16k2)2﹣4(3+4k2)(16k2﹣12)=144>0.由根与系数的关系得,∴,MH所在直线方程为y﹣k(x0﹣2)=﹣(x﹣x0),令x=0,得y H=(k+)x0﹣2k,∵BF⊥HF,∴,即1﹣x1+y1y H=1﹣[(k+)x0﹣2k]=0,整理得:=1,即8k2=3.∴k=﹣或k=.【例3】.已知椭圆222)：＞,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个+=9(0C x y m m交点,线段的中点为.(1)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;(2)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形？若能,求此时的斜率;若不能,说明理由.【解答】解:(1)设直线l:y=kx+b,(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(x M,y M),将y=kx+b代入9x2+y2=m2(m>0),得(k2+9)x2+2kbx+b2﹣m2=0,则判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,则x1+x2=,则x M==,y M=kx M+b=,于是直线OM的斜率k OM==,即k OM•k=﹣9,∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值.(2)四边形OAPB能为平行四边形.∵直线l过点(,m),∴由判别式△=4k2b2﹣4(k2+9)(b2﹣m2)>0,即k2m2>9b2﹣9m2,∵b=m﹣m,∴k2m2>9(m﹣m)2﹣9m2,即k2>k2﹣6k,即6k>0,则k>0,∴l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k≠3,由(1)知OM的方程为y=x,设P的横坐标为x P,由得,即x P=,将点(,m)的坐标代入l的方程得b=,即l的方程为y=kx+,将y=x,代入y=kx+,得kx+=x解得x M=,四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分,即x P=2x M,于是=2×,解得k1=4﹣或k2=4+,∵k i>0,k i≠3,i=1,2,∴当l的斜率为4﹣或4+时,四边形OAPB能为平行四边形.。
高三数二轮专题复习课件圆锥曲线
|PF2| ＝ |PF2|| ＝ 点 F 不在直线 l 上，
2a(2a>|F1 2a(2a<|F1 P 到 l 距离为 d，|PF|
F2|)
F2|)
＝d
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专题五
第二讲
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椭圆
标准 方程
焦点在x轴上 ax22＋by22＝1
(a>b>0)
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高频考点
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圆锥曲线的定义与标准方程 已知直线l1：x－y＋5＝0，和l2：x＋4＝0，抛
物线C：y2＝16x，P是C上一动点，则P到l1与l2距离之和的最 小值为________．
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疑难误区警示 1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c2＝a2＋b2，双 曲线中c2＝a2－b2的区别． 2．注意焦点在x轴上与y轴上的双曲线的渐近线方程的区 别． 3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交 点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．
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考向聚焦
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考向分析 (1)考查椭圆的定义、性质、标准方程、离心率的计算等． (2)考查双曲线的定义、性质、标准方程、离心率、渐近 线． (3)考查抛物线的定义、性质、标准方程． (4)考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线相交弦长等．
2020版《3年高考2年模拟》(二轮)第2讲 圆锥曲线的方程与性质(可自主编辑PPT)
近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为 (高考A导航 )
A. 3 2
4
B. 3 2
2
C.2 2 D.3 2 答案 A 由双曲线的方程为 x2 - y2 =1,知a=2,b= 2,故c= a2 b2 = 6,渐近线
42
的方程为y=± 2 x.
2
不妨设点P在第一象限,作PQ⊥OF于Q,如图,
考点一
栏目索引
1.(2019安徽合肥一模,3)设双曲线C:
x2 a2
-
y2 b2
=1(a>0,b>0)的高虚考轴导航长为4,一条渐近
线为y= 1 x,则双曲线C的方程为 ( A )
2
A. x2 - y2 =1
16 4
C. x2 - y2 =1
64 16
B. x2 - y2 =1
4 16
D.x2- y2 =1
于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的高圆考导与航l存在公共点,
则C的离心率的取值范围是 ( A )
A. 0,
5
5
C. 0,
2
2
B.
5 5
,1
D.
2 2
,1
考点二 栏目索引
答案 A 由题设知,直线l: x + y =1,即bx-cy+bc=0,以AB为直径的圆的圆心为
x2 8
-
y2 12
=1的左、右焦点分别是F1,F2,若
双曲线右支上存在一点M,使(OuuMuur
uuur
+OF2
uuuur
)·F2M
uuuur
=0(O为坐标高原考点导航),且|F1M
uuuur
2020新高考数学二轮冲刺圆锥曲线全归纳(压轴题全解析)
MA MB
AB
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，即
( x,4
2
y)
( x,2)
0
，即
y
1
x2
2
。
4
【例 3】已知抛物线 C ： y2 2x 的焦点为 F ，平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A，B 两点，
交 C 的准线于 P，Q 两点． （I）若 F 在线段 AB 上， R 是 PQ 的中点，证明 AR FQ ； （II）若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程.
5 轨迹 C 的方程.
解 析 设 M 的 坐 标 为 (x, y) ， P 的 坐 标 为 (x0 , y0 ) ， 因 为 M 为 PD 上 一 点 ， 且
|MD|=
4 5
|PD|，所以
x
y
x0
4 5
y0
x0 y0
x 5 4
y
，又
P (x0 ,
y0 )
若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线平行;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线
A圆
B 椭圆
C 线段
D 一段抛物线
解析
设点
M
(x0
,
y0
),
P(x,
人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳：圆锥曲线第二章 常见条件翻译转化(中档)
第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为12AB x =-==即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式)120AB y k =-=≠三、三角形面积求法【例1】.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F:(−2,0),F:(2,0),点P(3,√7)在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程;(2)记O 为坐标原点,过点02Q （，）的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、,若OEF V 的面积为2√2,求直线l 的方程.【解答】解:(1):依题意,由a 2+b 2=4,得双曲线方程为x 2a 2−y 24−a 2=1(0＜a 2＜4),将点(3,√7)代入上式,得9a 2−74−a 2=1.解得a 2=18(舍去)或a 2=2,故所求双曲线方程为x 22−y 22=1.(2):依题意,可设直线l 的方程为y=kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1﹣k 2)x 2﹣4kx ﹣6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F, ∴{1−k 2≠0△=(−4k)2+4×6(1−k)2>0⇔{k ≠±1−√3＜k ＜√3 ∴k ∈(﹣√3,−1)∪(1,√3).设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),则由①式得x 1+x 2=4k 1−k2,x 1x 2=﹣61−k 2,于是,|EF |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+k 2)(x 1−x 2)2=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅2√2√3−k 2|1−k 2|而原点O 到直线l 的距离d=2√1+k 2, ∴S △OEF =12d ⋅|EF|=12⋅2√1+k 2⋅√1+k2⋅2√2√3−k 2|1−k 2|=2√2√3−k 2|1−k 2|.若S △OEF =2√2,即2√2√3−k 2|1−k 2|=2√2⇔k 4−k 2−2=0,解得k=±√2,满足②.故满足条件的直线l 有两条,其方程分别为y=√2x +2和y =−√2x +2.【例2】.设椭圆x 2a2+y 2b 2=10a b （＞＞）的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12.已知A 是抛物线220y px p （＞）的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l 上两点P Q ，关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于A ),直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD V 的面积为√62,求直线AP 的方程.【解答】(1)解:设F 的坐标为(﹣c,0).依题意可得{c a =12a =p2a −c =12解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2﹣c 2=34.所以,椭圆的方程为x 2+4y 23=1,抛物线的方程为y 2=4x.(2)解:直线l 的方程为x=﹣1,设直线AP 的方程为x=my +1(m ≠0),联立方程组{x =−1x =my +1,解得点P(﹣1,﹣2m ),故Q(﹣1,2m).联立方程组{x =my +1x 2+4y 23=1,消去x,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得y=0,或y=﹣6m3m 2+4∴B(−3m 2+43m 2+4,−6m3m 2+4).∴直线BQ 的方程为(−6m3m 2+4﹣2m )(x +1)﹣(−3m 2+43m 2+4+1)(y ﹣2m)=0,令y=0,解得x=2−3m 23m 2+2,故D(2−3m 23m 2+2,0).∴|AD |=1﹣2−3m 23m 2+2=6m 23m 2+2.又∵△APD 的面积为√62,∴12×6m 23m 2+2×2|m|=√62,整理得3m 2﹣2√6|m |+2=0,解得|m |=√63,∴m=±√63. ∴直线AP 的方程为3x +√6y ﹣3=0,或3x ﹣√6y ﹣3=0.【例3】已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为(2,0)F -,离心率为3.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,T 为直线3x =-上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P ,Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.(1)由已知得:63c a =,,所以6a = 又由222a b c =+,解得2b =,所以椭圆的标准方程为:. (2)设T 点的坐标为(3,)m -,则直线TF 的斜率03(2)TF m k m -==----.当0m ≠时,直线PQ 的斜率1PQ k m=,直线PQ 的方程是 当0m =时,直线PQ 的方程是2x =-,也符合的形式.将代入椭圆方程得:.其判别式22168(3)0m m ∆=++>.设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP QT =u u u r u u u r,即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩解得1m =±.此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++g .【例4】.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点(√3,12)焦点2c =22162x y +=2x my =-2x my =-2x my =-22(3)420m y my +--=12(F F ,圆O 的直径为12F F . (1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于A B ，两点.若OAB V 的面积为2√67,求直线l 的方程. 【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0),∵焦点F 1(﹣√3,0),F 2(√3,0),∴c =√3. ∵∴3a 2+14b 2=1,又a 2﹣b 2=c 2=3,解得a=2,b=1. ∴椭圆C 的方程为:x 24+y 2=1,圆O 的方程为:x 2+y 2=3.(2)①可知直线l 与圆O 相切,也与椭圆C,且切点在第一象限,因此k 一定小于0, ∴可设直线l 的方程为y=kx +m,(k ＜0,m >0). 由圆心(0,0)到直线l 的距离等于圆半径√3,可得m 21+k 2=3,即m 2=3+3k 2.由{y =kx +mx 2+4y 2=4,可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0, △=(8km)2﹣4(4k 2+1)(4m 2﹣4)=0,可得m 2=4k 2+1,∴3k 2+3=4k 2+1,结合k ＜0,m >0,解得k=﹣√2,m=3. 将k=﹣√2,m=3代入{x 2+y 2=3y =kx +m 可得x 2−2√2x +2=0,解得x=√2,y=1,故点P 的坐标为(√2,1). ②设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{k ＜0,m >0m 2=3+3k 2△>0⇒k ＜﹣√2.联立直线与椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0,|x 2﹣x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√4k 2+1−m 24k 2+1,O 到直线l 的距离d=|m|√1+k 2,|AB |=√1+k 2|x 2﹣x 1|=4√4k 2+1−m 24k 2+1⋅√1+k 2,△OAB 的面积为S=12×4√4k 2+1−m 24k 2+1⋅√1+k 2×|m|√1+k 2=12×4√k 2−24k 2+1×√1+k 2×√3=2√67,解得k=﹣√5,(正值舍去),m=3√2. ∴y=﹣√5x +3√2为所求.【例5】.在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点1,1A -（）关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ,问:是否存在点P 使得PAB V 与PMN V 的面积相等？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.若存在点P 使得PAB V与PMN V 的面积相等,设点P 的坐标为00(,)x y所以||||||||PA PN PM PB =所以000|1||3||3||1|x x x x +-=--即 2200(3)|1|x x -=-,解得0x 53=因为220034x y +=,所以0339y =±,故存在点P 使得PAB V与PMN V 的面积相等,此时点P 的坐标为533(,)39±. 【例6】.已知抛物线22C y x =：的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点,交C 的准线于P Q ，两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ P ;(2)若PQF V 的面积是ABF V 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解答】(1)证明:连接RF,PF,由AP=AF,BQ=BF 及AP ∥BQ,得∠AFP +∠BFQ=90°, ∴∠PFQ=90°,∵R 是PQ 的中点,∴RF=RP=RQ,∴△PAR ≌△FAR,∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,∵∠BQF +∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR, ∴∠FQB=∠PAR,∴∠PRA=∠PQF,∴AR ∥FQ. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F(12,0),准线为 x=﹣12, S △PQF =12|PQ |=12|y 1﹣y 2|, 设直线AB 与x 轴交点为N,∴S △ABF =12|FN ||y 1﹣y 2|,∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,∴2|FN |=1,∴x N =1,即N(1,0).设AB 中点为M(x,y),由{y 12=2x 1y 22=2x 2得y 12−y 22=2(x 1﹣x 2),又y 1−y 2x 1−x 2=y x−1,∴yx−1=1y,即y 2=x ﹣1.∴AB 中点轨迹方程为y 2=x ﹣1.【例7】.设椭圆x 2a+y 2b =10a b （＞＞）的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为√53,||AB = √13. (1)求椭圆的方程;(2)设直线0l y kx k =：（＜）与椭圆交于P Q ，两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P M ，均在第四象限.若BPM V 的面积是BPQ V 面积的2倍,求k 的值.【解答】解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得c 2a 2=59,又a 2=b 2+c 2, 解得a=3,b=2,∴椭圆的方程为:x 29+y 24=1,(2)设点P(x 1,y 1),M(x 2,y 2),(x 2>x 1>0).则Q(﹣x 1,﹣y 1).∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,∴|PM |=2|PQ |,从而x 2﹣x 1=2[x 1﹣(﹣x 1)], ∴x 2=5x 1,易知直线AB 的方程为:2x +3y=6.由{2x +3y =6y =kx ,可得x 2=63k+2>0.由{4x 2+9y 2=36y =kx ,可得x 1=6√9k 2+4,⇒√9k 2+4=5(3k +2),⇒18k 2+25k +8=0,解得k=﹣89或k=﹣12.由x 2=63k+2>0.可得k >−23,故k=﹣12,【例8】.已知椭圆C 的两个顶点分别为2020A B （-，），（，）,焦点在x 轴上,离心率为√32. (1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M N ，,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:BDE V 与BDN V 的面积之比为45：. 【解答】解:(1)由椭圆的焦点在x 轴上,设椭圆方程:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则a=2,e=c a =√32,则c=√3,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆C 的方程x 24+y 2=1;(2)证明:设D(x 0,0),(﹣2＜x 0＜2),M(x 0,y 0),N(x 0,﹣y 0),y 0>0,由M,N 在椭圆上,则x 024+y 02=1,则x 02=4﹣4y 02, 则直线AM 的斜率k AM =y 0−0x 0+2=y 0x 0+2,直线DE 的斜率k DE =﹣x 0+2y 0,直线DE 的方程:y=﹣x 0+2y 0(x ﹣x 0),直线BN 的斜率k BN =−y 0x 0−2,直线BN 的方程y=−y 0x 0−2(x ﹣2), {y =−x 0+2y 0(x −x 0)y =−y 0x 0−2(x −2),解得:{x =4x 0+25y =−45y 0, 过E 做EH ⊥x 轴,△BHE ∽△BDN,则丨EH 丨=4y 05,则丨EH 丨丨ND 丨=45,∴:△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5.【例9】如图7,椭圆,轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长.(1)求,的方程;(2)设与轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线与相交于点,直线,MA MB 分别与相交与,D E .22122:1(0)x y C a b a b +=>>3x22:C y x b =-1C 1C 2C 2C y l 2C 1C(i)证明:;(ii)记,MAB MDE V V 的面积分别是12,S S .问:是否存在直线,使得=?请说明理由.故,(II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为k ,则直线的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,x x 是上述方程的两个实根,于是1212,1x x k x x +==-.又点M 的坐标为(0,1)- 所以故,即.(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.于是由得,解得或则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.MD ME ⊥l 21S S 32171C 2C l l于是.因此.由题意知,,解得或.又由点、的坐标可知,,所以.故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,−√3),(0,√3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C . (1)写出C 的方程;(2)设直线y =kx +1与C 交于A,B 两点.k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →|的值是多少？ 【解答】解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,−√3),(0,√3)为焦点, 长半轴为2的椭圆.它的短半轴b =√22−(√3)2=1, 故曲线C的方程为x 2+y 24=1.(4分)(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足{x 2+y 24=1y =kx +1.消去y 并整理得(k 2+4)x 2+2kx ﹣3=0, 故x 1+x 2=−2k k 2+4,x 1x 2=−3k 2+4.(6分)OA →⊥OB →,即x 1x 2+y 1y 2=0.而y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1,于是x 1x 2+y 1y 2=−3k 2+4−3k 2k 2+4−2k 2k 2+4+1=−4k 2+1k 2+4.所以k =±12时,x 1x 2+y 1y 2=0,故OA →⊥OB →.(8分)当k =±12时,x 1+x 2=∓417,x 1x 2=−1217.|AB|→=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)(x 2−x 1)2,而(x 2﹣x 1)2=(x 2+x 1)2﹣4x 1x 2=42172+4×4×317=43×13172, 所以|AB|→=4√6517.(12分)【例2】.在直角坐标系xOy 中,椭圆1C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为12F F ，.2F 也是抛物线224C y x =：的焦点,点M 为1C 与2C 在第一象限的交点,且2||MF =53.(1)求1C 的方程;(2)平面上的点N 满足MN →=MF 1→+MF 2→,直线l MN P ,且与1C 交于A B ，两点,若OA →⋅OB →=0,求直线l 的方程.【解答】解:(1)由C 2:y 2=4x 知F 2(1,0).设M(x 1,y 1),M 在C 2上,因为|MF 2|=53,所以x 1+1=53,得x 1=23,y 1=2√63.M 在C 1上,且椭圆C 1的半焦距c=1, 于是{49a 2+83b 2=1b 2=a 2−1.消去b 2并整理得9a 4﹣37a 2+4=0,解得a=2(a =13不合题意,舍去).故椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1.(2)由MF 1→+MF 2→=MN →知四边形MF 1NF 2是平行四边形,其中心为坐标原点O, 因为l ∥MN,所以l 与OM 的斜率相同,故l 的斜率k =2√6323=√6.设l 的方程为y =√6(x −m).由{3x 2+4y 2=12y =√6(x −m)消去y 并化简得9x 2﹣16mx +8m 2﹣4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1+x 2=16m 9,x 1x 2=8m 2−49.因为OA →⊥OB →,所以x 1x 2+y 1y 2=0.x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+6(x 1﹣m)(x 2﹣m)=7x 1x 2﹣6m(x 1+x 2)+6m 2=7⋅8m 2−49−6m ⋅16m 9+6m 2=19(14m 2−28)=0.所以m =±√2.此时△=(16m)2﹣4×9(8m 2﹣4)>0,故所求直线l 的方程为y =√6x −2√3,或y =√6x +2√3.【例3】.已知双曲线C:x 22−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√3,右准线方程为x =√33(I)求双曲线C 的方程;(2)设直线l 是圆222O x y +=：上动点0000)((0)P x y x y ≠，处的切线,l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，,证明AOB ∠的大小为定值.【解答】解:(1)由题意,{a 2c =√33ca =√3,解得a=1,c=√3,b 2=c 2﹣a 2=2,∴所求双曲C的方程x 2−y 22=1.(2)设P(m,n)(mn ≠0)在x 2+y 2=2上,圆在点P(m,n)处的切线方程为y ﹣n=﹣mn(x ﹣m),化简得mx +ny=2.{x 2−y 22=1mx +ny =2以及m 2+n 2=2得(3m 2﹣4)x 2﹣4mx +8﹣2m 2=0, ∵切L 与双曲线C 交于不同的两点A 、B,且0＜m 2＜2, 3m 2﹣4≠0,且△=16m 2﹣4(3m 2﹣4)(8﹣2m 2)>0, 设A 、B 两点的坐标分别(x 1,y 1),(x 2,y 2),x 1+x 2=4m3m 2−4,x 1x 2=8−2m 23m 2−4.∵cos∠AOB =OA →⋅OB→|OA →|⋅|OB →|,且OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+1y 02(2−x 0x 1)(2−x 0x 2) =x 1x 2+12−m 2[4﹣2m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2]=8−2m 23m 2−4+12−m 2[4﹣8m 23m 2−4+m 2(8−2m 2)3m 2−4]=8−2m 23m 2−4﹣8−2m 23m 2−4=0.∴∠AOB 的大小为900.【例4】.设12F F ，分别是C:x 22+y 2b2=10a b （＞＞）的左,右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15||||MN F N ,求a,b . 【解答】解:(1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,∴M 的横坐标为c,当x=c 时,y=b 2a ,即M(c,b 2a),若直线MN 的斜率为34,即tan ∠MF 1F 2=b 2a2c =b 22ac =34,即b 2=32ac =a 2﹣c 2,即c 2+32ac ﹣a 2=0,则e 2+32e −1=0,即2e 2+3e ﹣2=0解得e=12或e=﹣2(舍去),即e=12.(2)由题意,原点O 是F 1F 2的中点,则直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,设M(c,y),(y >0),则c 2a 2+y 2b 2=1,即y 2=b4a2,解得y=b 2a ,∵OD 是△MF 1F 2的中位线,∴b 2a=4,即b 2=4a,由|MN |=5|F 1N |,则|MF 1|=4|F 1N |, 解得|DF 1|=2|F 1N |, 即DF 1→=2F 1N →设N(x 1,y 1),由题意知y 1＜0,则(﹣c,﹣2)=2(x 1+c,y 1).即{2(x 1+c)=−c 2y 1=−2,即{x 1=−32cy 1=−1代入椭圆方程得9c 24a 2+1b 2=1,将b 2=4a代入得9(a 2−4a)4a 2+14a=1,解得a=7,b=2√7.【例5】.如图,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为12F F ，,线段12OF OF ，的中点分别为12B B ，,且12AB B V 是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过1B 作直线交椭圆于P Q ，两点,使22PB QB ,求2PB Q V 的面积.【解答】解:(1)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F 2(c,0)∵△AB 1B 2是的直角三角形,|AB 1|=AB 2|,∴∠B 1AB 2为直角,从而|OA |=|OB 2|,即b =c2∵c 2=a 2﹣b 2,∴a 2=5b 2,c 2=4b 2,∴e =c a =25√5在△AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,∴S=12|B 1B 2||OA |=c2⋅b =b 2∵S=4,∴b 2=4,∴a 2=5b 2=20∴椭圆标准方程为x 220+y 24=1;(2)由(1)知B 1(﹣2,0),B 2(2,0),由题意,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x=my ﹣2代入椭圆方程,消元可得(m 2+5)y 2﹣4my ﹣16=0① 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴y 1+y 2=4m m 2+5,y 1y 2=−16m 2+5∵B 2P→=(x 1−2,y 1),B 2Q→=(x 2−2,y 2)∴B 2P →⋅B 2Q→=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=−16m 2−64m 2+5∵PB 2⊥QB 2,∴B 2P →⋅B 2Q→=0∴−16m 2−64m 2+5=0,∴m=±2当m=±2时,①可化为9y 2±8y ﹣16﹣0,∴|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=89√10∴△PB 2Q 的面积S=12|B 1B 2||y 1﹣y 2|=12×4×89√10=169√10.【例5】.如图,抛物线E:24y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C 与准线l 交于不同的两点M,N . (1)若点C 的纵坐标为2,求|MN|;(2)若2||||||•AF AM AN =,求圆C 的半径.【解答】解:(I)抛物线E:y 2=4x 的准线l:x=﹣1,由点C 的纵坐标为2,得C(1,2),故C 到准线的距离d=2,又|OC |=√5, ∴|MN |=2√|OC|2−d 2=2√5−4=2. (II)设C(y 024,y 0),则圆C 的方程为(x ﹣y 024)2+(y ﹣y 0)2=y 0416+y 02, 即x 2﹣y 022x +y 2﹣2y 0y=0,由x=﹣1得y 2﹣2y 0y +1+y 022=0,设M(﹣1,y 1),N(﹣1,y 2),则{ △=4y 02−4(1+y 022)=2y 02−4>0y 1y 2=y 022+1,由|AF |2=|AM |•|AN |,得|y 1y 2|=4,∴1+y 022=4,解得y 0=±√6,此时△>0∴圆心C 的坐标为(32,±√6),|OC |2=334,从而|OC |=√332. 即圆C 的半径为√332. 【例6】.如图,O 为坐标原点,双曲线1C ：x 2a 12−y 2b 12=11100a b （＞，＞）和椭圆C 2:y 2a 22+x 2b 22=1220a b （＞＞）均过点P(2√33,1),且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12C C 、的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A 、B 两点,与2C 只有一个公共点,且|OA →+OB →|=|AB →|？证明你的结论.【解答】解:(1)设椭圆C 2的焦距为2c 2,由题意可得2a 1=2,∴a 1=1,c 2=1.由于点P(2√33,1)在上,∴(2√33)2﹣1b 12=1,b 12=3,∴双曲线C 1的方程为:x 2﹣y 23=1.再由椭圆的定义可得 2a 2=√(2√33−0)2+(1−1)2+√(2√33−0)2+(1+1)2=2√3,∴a 2=√3,∴b 22=a 22﹣c 22=2,∴椭圆C 2的方程为:y23+x 22=1.(2)不存在满足条件的直线l.(1)若直线l 垂直于x 轴,则由题意可得直线l 得方程为x=√2,或 x=﹣√2.当x=√2时,可得 A(√2,√3)、B(√2,﹣√3),求得|OA →+OB →|=2√2,|AB →|=2√3, 显然,|OA →+OB →|≠|AB →|.同理,当x=﹣√2时,也有|OA →+OB →|≠|AB →|.(2)若直线l 不垂直于x 轴,设直线l 得方程为 y=kx +m,由{y =kx +mx 2−y 23=1可得(3﹣k 2)x 2﹣2mkx ﹣m 2﹣3=0,∴x 1+x 2=2km3−k 2,x 1•x 2=m2+3k 2−3.于是,y 1•y 2=k 2x 1•x 2+km(x 1+x 2)+m 2=3k 2−3m 2k 2−3.由 {y =kx +my 23+x 22=1可得 (2k 2+3)x 2+4kmx +2m 2﹣6=0,根据直线l 和C 1仅有一个交点,∴判别式△=16k 2m 2﹣8(2k 2+3)(m 2﹣3)=0,∴2k 2=m 2﹣3.∴OA →⋅OB →=x 1•x 2+y 1•y 2=−k 2−3k 2−3≠0,∴(OA →+OB →)2≠(OA →−OB →)2,∴|OA →+OB →|≠|AB →|.【例7】.双曲线2221y x b-=0b （＞）的左、右焦点分别为12F F ，,直线l 过2F 且与双曲线交于A B ，两点.(1)直线l 的倾斜角为π2,1F AB V 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设b =√3,若l 的斜率存在,且(F 1A →+F 1B →)•AB →=0,求l 的斜率.【解答】解:(1)双曲线x 2﹣y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,a=1,c 2=1+b 2,直线l 过F 2且与双曲线交于A,B 两点,直线l 的倾斜角为π2,△F 1AB 是等边三角形, 可得:A(c,b 2),可得:√32⋅2b 2=2c ,3b 4=4(a 2+b 2), 即3b 4﹣4b 2﹣4=0,b >0,解得b 2=2.所求双曲线方程为:x 2﹣y 22=1, 其渐近线方程为y=±√2x.(2)b=√3,双曲线x 2﹣y 23=1,可得F 1(﹣2,0),F 2(2,0). 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线的斜率为:k=y 2−y 1x 2−x 1,直线l 的方程为:y=k(x ﹣2), 由题意可得:{y =kx −2kx 2−y 23=1,消去y 可得:(3﹣k 2)x 2+4k 2x ﹣4k 2﹣3=0, △=36(1+k 2)>0且3﹣k 2≠0,可得x 1+x 2=4k 2k 2−3, 则y 1+y 2=k(x 1+x 2﹣4)=k(4k 2k 2−3﹣4)=12kk 2−3. F 1A →=(x 1+2,y 1),F 1B →=(x 2+2,y 2),(F 1A →+F 1B →)•AB →=0可得:(x 1+x 2+4,y 1+y 2)•(x 1﹣x 2,y 1﹣y 2)=0, 可得x 1+x 2+4+(y 1+y 2)k=0,得4k 2k 2−3+4+12k k 2−3•k=0 可得:k 2=35,解得k=±√155. l 的斜率为:±√155.【例8】.设O 为坐标原点,动点M 在椭圆22:12x C y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NP →=√2NM →.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x =−3上,且OP →•PQ →=1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【解答】解:(1)设M(x 0,y 0),由题意可得N(x 0,0), 设P(x,y),由点P 满足NP →=√2NM →.可得(x ﹣x 0,y)=√2(0,y 0),可得x ﹣x 0=0,y=√2y 0,即有x 0=x,y 0=y √2, 代入椭圆方程x 22+y 2=1,可得x 22+y 22=1, 即有点P 的轨迹方程为圆x 2+y 2=2;(2)证明:设Q(﹣3,m),P(√2cos α,√2sin α),(0≤α＜2π), OP →•PQ →=1,可得(√2cos α,√2sin α)•(﹣3﹣√2cos α,m ﹣√2sin α)=1,即为﹣3√2cos α﹣2cos 2α+√2msin α﹣2sin 2α=1,当α=0时,上式不成立,则0＜α＜2π,解得m=3(1+√2cosα)√2sinα,即有Q(﹣3,3(1+√2cosα)√2sinα), 椭圆x 22+y 2=1的左焦点F(﹣1,0), 由PF →•OQ →=(﹣1﹣√2cos α,﹣√2sin α)•(﹣3,3(1+√2cosα)√2sinα) =3+3√2cos α﹣3(1+√2cos α)=0.可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.另解:设Q(﹣3,t),P(m,n),由OP →•PQ →=1,可得(m,n)•(﹣3﹣m,t ﹣n)=﹣3m ﹣m 2+nt ﹣n 2=1,又P 在圆x 2+y 2=2上,可得m 2+n 2=2,即有nt=3+3m,又椭圆的左焦点F(﹣1,0), PF →•OQ →=(﹣1﹣m,﹣n)•(﹣3,t)=3+3m ﹣nt=3+3m ﹣3﹣3m=0,则PF →⊥OQ →,可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【例9】.已知椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=10a b （＞＞）的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A,B .(1)求椭圆M 的方程;(2)若k =1,求||AB 的最大值;(Ⅲ)设20P （-，）,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C,D 和点Q(−74,14)共线,求k .【解答】解:(1)由题意可知:2c=2√2,则c=√2,椭圆的离心率e=c a =√63, 则a=√3,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆的标准方程:x 23+y 2=1;(2)设直线AB 的方程为:y=x +m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{y =x +m x 23+y 2=1,整理得:4x 2+6mx +3m 2﹣3=0,△=(6m)2﹣4×4×3(m 2﹣1)>0, 整理得:m 2＜4,x 1+x 2=﹣3m2,x 1x 2=3(m 2−1)4,∴|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√62√4−m 2, ∴当m=0时,|AB |取最大值,最大值为√6;(Ⅲ)设直线PA 的斜率k PA =y 1x 1+2,直线PA 的方程为:y=y 1x 1+2(x +2), 联立{y =y 1x 1+2(x +2)x 23+y 2=1, 消去y 整理得:(x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12﹣3x 12﹣12x 1﹣12)=0,由x 123+y 12=1代入上式得,整理得:(4x 1+7)x 2+(12﹣4x 12)x ﹣(7x 12+12x 1)=0, x 1•x C =﹣(7x 12+12x 1)4x 1+7,x C =﹣7x 1+124x 1+7,则y C =y 1x 1+2(﹣7x 1+124x 1+7+2)=y 14x 1+7, 则C(﹣7x 1+124x 1+7,y 14x 1+7),同理可得:D(﹣7x 2+124x 2+7,y 24x 2+7), 由Q(﹣74,14),则QC →=(14(4x 1+7),4y 1−4x 1−74(4x 1+7)),QD →=(14(4x 2+7),4y 2−4x 2−74(4x 2+7)), 由QC →与QD →共线,则14(4x 1+7)×4y 2−4x 2−74(4x 2+7)=14(4x 2+7)×4y 1−4x 1−74(4x 1+7), 整理得:y 2﹣x 2=y 1﹣x 1,则直线AB 的斜率k=y 1−y 2x 1−x 2=1,∴k 的值为1. 第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】设抛物线22C y x ：,点20A （，）,20B （-，）,过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点. (1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;(2)证明:∠ABM =∠ABN .【解答】解:(1)当l 与x 轴垂直时,x=2,代入抛物线解得y=±2,所以M(2,2)或M(2,﹣2), 直线BM 的方程:y=12x +1,或:y=﹣12x ﹣1. (2)证明:设直线l 的方程为l:x=ty +2,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),联立直线l 与抛物线方程得{y 2=2x x =ty +2,消x 得y 2﹣2ty ﹣4=0, 即y 1+y 2=2t,y 1y 2=﹣4, 则有k BN +k BM =y 1x 1+2+y 2x 2+2=(y 222×y 1+y 122×y 2)+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2)=(y 1+y 2)(y 1y 22+2)(x 1+2)(x 2+2)=0, 所以直线BN 与BM 的倾斜角互补,∴∠ABM=∠ABN.【例2】.设椭圆2212x C y +=：的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA =∠OMB .【解答】解:(1)c=√2−1=1,∴F(1,0),∵l 与x 轴垂直,∴x=1,由{x =1x 22+y 2=1,解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22, ∴A(1.√22),或(1,﹣√22), ∴直线AM 的方程为y=﹣√22x +√2,y=√22x ﹣√2,证明:(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,∴∠OMA=∠OMB,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＜√2,x2＜√2,直线MA,MB的斜率之和为k MA,k MB之和为k MA+k MB=y1x1−2+y2x2−2,由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得k MA+k MB=2kx1x2−3k(x1+x2)+4k (x1−2)(x2−2),将y=k(x﹣1)代入x22+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,∴x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2−22k2+1,∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=12k2+1(4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k)=0从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB,综上∠OMA=∠OMB.【例3】.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1),且离心率为√22.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP 与AQ斜率之和为2.【解答】解:(1)由题设知,c a =√22,b=1, 结合a 2=b 2+c 2,解得a=√2,所以x 22+y 2=1;(2)证明:由题意设直线PQ 的方程为y=k(x ﹣1)+1(k ≠0),代入椭圆方程x 22+y 2=1, 可得(1+2k 2)x 2﹣4k(k ﹣1)x +2k(k ﹣2)=0,由已知得(1,1)在椭圆外,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),x 1x 2≠0, 则x 1+x 2=4k(k−1)1+2k 2,x 1x 2=2k(k−2)1+2k 2, 且△=16k 2(k ﹣1)2﹣8k(k ﹣2)(1+2k 2)>0,解得k >0或k ＜﹣2. 则有直线AP,AQ 的斜率之和为k AP +k AQ =y 1+1x 1+y 2+1x 2=kx 1+2−k x 1+kx 2+2−k x 2=2k +(2﹣k)(1x 1+1x 2)=2k +(2﹣k)•x 1+x 2x 1x 2=2k +(2﹣k)•4k(k−1)2k(k−2)=2k ﹣2(k ﹣1)=2. 即有直线AP 与AQ 斜率之和为2.。
人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(基础)：圆锥曲线第二章 常见条件翻译转化
第二章常见条件翻译转化 第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单简单简单【例1】.设12F F ，分别是椭圆22210+1y E x b b=：（＜＜）的左、右焦点,过1F 的直线l 与E 相交于A B 、两点,且22||||||AF AB BF ，，成等差数列. (1)求||AB ;(2)若直线l 的斜率1为,求b 的值.【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF 2|+|AB |+|BF 2|=4又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得|AB|=43(2)L 的方程式为y=x +c,其中c =√1−b 2设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则A,B 两点坐标满足方程组{y =x +cx 2+y 2b2=1.,化简得(1+b 2)x 2+2cx +1﹣2b 2=0.则x1+x 2=−2c 1+b 2,x 1x 2=1−2b21+b2. 因为直线AB 的斜率为1,所以|AB|=√2|x 2−x 1|即43=√2|x 2−x 1|.则89=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4(1−b 2)(1+b 2)2−4(1−2b 2)1+b 2=8b 4(1+b 2)2.解得b =√22.【例2】.如图,12F F ，分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=10a b （＞＞）的左、右焦点,A 是椭圆C 的顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ∠=︒. (1)求椭圆C 的离心率;(2)已知1AF B V 的面积为403,求a b ，的值.【解答】解:(1)∠F 1AF 2=60°⇔a=2c ⇔e=c a =12.(2)设|BF 2|=m,则|BF 1|=2a ﹣m,在三角形BF 1F 2中,|BF 1|2=|BF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|BF 2||F 1F 2|cos120°⇔(2a ﹣m)2=m 2+a 2+am.⇔m=35a .△AF 1B 面积S=12|BA ||F 1A |sin60°⇔12×a ×(a +35a)×√32=40√3⇔a=10,∴c=5,b=5√3. 【例3】.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于,A B 两点,若线段AB 的长为8,则p =_____.解析 设过焦点(,0)2p F 且倾斜角为45°的直线方程为2py x =-,联立直线方程与抛物线方程得222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩,消y 得22304p x px -+=.xyOP设A ,B 两点的坐标为11(,)x y ,22(,)x y ,则121234x x p px x +=⎧⎪⎨=⎪⎩, 故21211AB x x =+-=212122()4x x x x ⋅+-＝222(3)p p ⋅-＝222p ⋅＝4p ＝8,则p ＝2.【例4】.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22, 直线(1)y k x =-与椭圆C 交于不同的两点,M N . (1)求椭圆C 的方程(2)当AMN ∆的面积为103时,求k 的值. 解析:(1)由题意得,,解得,,所以椭圆的方程为.(2)由,得.设点,,则,. 因为直线恒过椭圆内一点,所以恒成立.由根与系数的关系得:,.所以,又因为点到直线的距离,所以的面积为,即,解得.【例5】.圆224x y +=的切线与x 轴正半轴,y 轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P (如图). (1)求点P 的坐标;(2)焦点在x 轴上的椭圆C 过点P ,且与直线:+3l y x =交于A,B 两点,若PAB ∆的面积为2,求C 的标准方程.解析:(1)设切点坐标为00(x ,y )00(x 0,y 0)>>.则切线斜率为0x y -.切线方程为0000y (x x )x y y -=--.即004x x y y +=.此时,两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积000014482S x y x y =⋅⋅=.由22000042x y x y +=≥知当且仅当002x y ==时,00x y 有最大值.即S 有最小值.因此点P 的坐标为(2,2).(2)设C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>.点1122A(x ,y ),B(x ,y ).由点P 在C 上知22221a b+=.并由22221,3,x y a b y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22243620b x x b ++-=.又12,x x 是方程的根,因此12221224362x x b b x x b ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,由113y x =+,223y x =+,得241224824822b b AB x x b -+=-=⋅.由点P 到直线l 的距离为32及13222PAB S AB ∆==得429180b b -+=.解得26b =或3.因此26b =,23a =(舍)或23b =,26a =.从而所求C 的方程为22163x y +=.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.设椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ,过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A,B两点,直线l 的倾斜角为60°,AF →=2FB →. (1)求椭圆C 的离心率;(2)如果|AB|=154,求椭圆C 的方程.【解答】解:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由题意知y 1>0,y 2＜0. (1)直线l 的方程为y =√3(x +c),其中c =√a 2−b 2.联立{y =√3(x +c)x 2a 2+y 2b 2=1 得 (3a 2+b 2)y 2−2√3b 2cy −3b 4=0.解得y 1=√3b2(c+2a)3a 2+b2,y 2=√3b2(c−2a)3a 2+b2. 因为AF →=2FB →,所以﹣y 1=2y 2.即﹣√3b 2(c+2a)3a 2+b 2=2 √3b 2(c−2a)3a 2+b 2,解得离心率e =c a =23.(6分)(2)因为|AB|=√1+1k2⋅|y 2−y 1|,∴154=√1+13•4√3ab 23a 2+b2.由c a =23 得b =√53a ,所以54a =154,解得a=3,b =√5. 故椭圆C 的方程为x 29+y 25=1.(12分)【例2】.已知椭圆1C ：x 2421y +=,椭圆2C 以1C 的长轴为短轴,且与1C 有相同的离心率.(1)求椭圆2C 的方程;(2)设O 为坐标原点,点A B ，分别在椭圆1C 和2C 上,OB →=2OA →,求直线AB 的方程.【解答】解:(1)椭圆C 1:x 24+y 2=1的长轴长为4,离心率为e =c a =√32∵椭圆C 2以C 1的长轴为短轴,且与C 1有相同的离心率∴椭圆C 2的焦点在y 轴上,2b=4,为e =c a =√32∴b=2,a=4∴椭圆C 2的方程为y 216+x 24=1;(2)设A,B 的坐标分别为(x A ,y A ),(x B ,y B ), ∵OB →=2OA →∴O,A,B 三点共线,当斜率不存在时,OB →=2OA →不成立,∴点A,B 不在y 轴上 当斜率存在时,设AB 的方程为y=kx将y=kx 代入x 24+y 2=1,消元可得(1+4k 2)x 2=4,∴x A 2=41+4k 2 将y=kx 代入y 216+x 24=1,消元可得(4+k 2)x 2=16,∴x B 2=164+k2 ∵OB →=2OA →,∴x B 2=4x A 2∴164+k 2=161+4k 2,解得k=±1,∴AB 的方程为y=±x【例3】.已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24+y 23=1交于A B ，两点,线段AB 的中点为(1)(0)M m m ，＞. (1)证明:k <−12;(2)设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →+FA →+FB →=0→.证明:|FA →|,|FP →|,|FB →|成等差数列,并求该数列的公差.【解答】解:(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)∵线段AB 的中点为M(1,m)∴x 1+x 2=2,y 1+y 2=2m将A,B 代入椭圆C:x 24+y 23=1中,可得{3x 12+4y 12=123x 22+4y 22=12两式相减可得, 3(x 1+x 2)(x 1﹣x 2)+4(y 1+y 2)(y 1﹣y 2)=0, 即6(x 1﹣x 2)+8m(y 1﹣y 2)=0∴k=y 1−y 2x 1−x 2=﹣68m =﹣34m点M(1,m)在椭圆内,即14+m 23＜1,(m >0)解得0＜m ＜32∴k =−34m ＜−12.①(2)由题意得F(1,0),设P(x 3,y 3),则x 1﹣1+x 2﹣1+x 3﹣1=0,y 1+y 2+y 3=0, 由(1)及题设得x 3=3﹣(x 1+x 2)=1,y 3=﹣(y 1+y 2)=﹣2m ＜0.又点P 在C 上,所以m=34,从而P(1,﹣32),|FP →|=32.于是|FA →|=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2﹣x 12.同理|FB →|=2﹣x 22.所以|FA →|+|FB →|=4﹣12(x 1+x 2)=3,故|FA →|+|FB →|=2|FP →|,即|FA →|,|FP →|,|FP →|成等差数列.设改数列的公差为d,则2|d |=||FB →|−|FA →||=12|x 1﹣x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2②将m=34代入①得k=﹣1.所以l 的方程为y=﹣x +74,代入C 的方程,并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=1,x 1x 2=128,代入②解得|d |=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或﹣3√2128.第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】.如图,抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点112212P A x y B x y （，），（，），（，）均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程;(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y 的值及直线AB 的斜率.【解答】解:(I)由已知条件,可设抛物线的方程为y 2=2px∵点P(1,2)在抛物线上∴22=2p ×1,得p=2，故所求抛物线的方程是y 2=4x 准线方程是x=﹣1(II)设直线PA 的斜率为k PA ,直线PB 的斜率为k PB则k PA =y 1−2x 1−1(x 1≠1),k PB =y 2−2x 2−1(x 2≠1)∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补∴k PA =﹣k PB 由A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在抛物线上,得y 12=4x 1(1)y 22=4x 2(2) ∴y 1−214y 12−1=−y 2−214y 22−1∴y 1+2=﹣(y 2+2) ∴y 1+y 2=﹣4由(1)﹣(2)得直线AB 的斜率k AB =y 2−y 1x 2−x 1=4y 1+y 2=−44=−1(x 1≠x 2)【例2】.设A B ，为曲线C:y =x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程. 【解答】解:(1)设A(x 1,x 124),B(x 2,x 224)为曲线C:y=x 24上两点,则直线AB 的斜率为k=x 124−x 224x 1−x 2=14(x 1+x 2)=14×4=1;(2)设直线AB 的方程为y=x +t,代入曲线C:y=x 24,可得x 2﹣4x ﹣4t=0,即有x 1+x 2=4,x 1x 2=﹣4t,再由y=x 24的导数为y ′=12x,设M(m,m 24),可得M 处切线的斜率为12m,由C 在M 处的切线与直线AB 平行,可得12m=1,解得m=2,即M(2,1),由AM ⊥BM 可得,k AM •k BM =﹣1,即为x 124−1x 1−2•x 224−1x 2−2=﹣1,化为x 1x 2+2(x 1+x 2)+20=0,即为﹣4t +8+20=0, 解得t=7.则直线AB 的方程为y=x +7。
圆锥曲线数学高考二轮复习【优质PPT】
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例的准2（线200方8安程徽文为）x设=4椭。圆C:ax22by22 1(ab0)，其相应于焦点F(2,0)
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知过点 F1(2,0) 倾斜角为θ的直线交椭圆于两点，
求证：AB
2
42
COS2
（Ⅲ）过点F1(-2,0)作两条互相垂 直的直线分别交椭圆C于A、B和D、
几何问题代数化思想、曲线与方程思想、消元思
想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想; 在07、08年数学高考试卷圆锥曲线内容的考查中体现 的淋漓尽致。
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3 08年真题回顾
3.1 轨迹或曲线方程问题：
此类问题重点考查学生用坐标法或定义法求动点 的轨迹方程的能力、待定系数法求已知曲线方程的能 力以及考查学生几何问题代数化的思想方法。如：全 国（I）（文、理），安徽（文），安徽（理），广 东（文，理），湖北（理），江西（理），辽宁 （文），山东（文），浙江（文，理），重庆（文， 理）均涉及轨迹方程问题或圆锥曲线标准方程问题。
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如教研室二轮专题资料42页
x2 y2
例6 已知双曲线 a2 b2 （1 a>b>0）的左右焦点分别为F1、 F2 、P为双曲线左支上一点，P到左准线的距离为d。
（1）若双曲线的一条渐近线是 y 3x ，问是否存在点P
使d、PF 1 、PF 2 成等比数列？若存在，求出点P坐标；若不 存在，说明理由。
倒2
轨迹、最值
倒2
最值、存在性
倒3
轨迹、面积
倒1
轨迹
倒1
定点
同理科
椭圆
最值
高考数学二轮6-2圆锥曲线
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(2)当m＝ 2 时，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝ 0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？
[解析] (1)设S(x，y)，则kSA＝xy＋－m0 ，kSB＝xy－－m0 . 由题意得x2－y2m2＝－m12， 即mx22＋y2＝1(x≠±m)． ∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上 的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长 为2.
结合①式有5r2＝4，r＝2 5 5∈(0,1)， 当切线斜率不存在时，x2＋y2＝45也满足题意， 故所求圆的方程为x2＋y2＝45.
[例5] (2011·德州模拟)已知实数m>1，定点A(－ m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之 积为－m12.
(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲 线；
(1)求双曲线的离心率； (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足O→C＝ λO→A＋O→B，求 λ 的值．
[解析]
(1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线
x2 a2
－
y2 b2
＝1
上，有ax202－by202＝1
由题意又有x0y－0 a·x0y＋0 a＝15，可得a2＝5b2，
当x∈[1， 2]时，|AB|＝23 6x＋1x单调递 增．
所以436≤|AB|≤2 3.
圆锥曲线常见条件翻译转化(精华)
f ( x, y ) = 0
的两组解,
A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,则 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 是方程组
F ( x, y ) = 0
方程组消元后化为关于 x或y 的一元二次方程 Ax + Bx + c =
0 ( A ≠ 0 ) ,判别式
圆锥曲线常见条件翻译转化
第一节:三角形的面积表达
一、直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系的判断
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax + By + c =
0
代入圆锥曲线 C 的方程 F ( x, y ) = 0 ,消去 y (也可以消去 x )得到关系一个变量的
0
Ax + By + c =
线 C 相切,即有唯一的公共点(切点); ∆ < 0 ,直线 l 与曲线 C
二、圆锥曲线的弦
连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦
直 线 l : f ( x, y ) = 0 , 曲 线 C : F ( x, y ) = 0, A, B 为 l 与 C 的 两 个 不 同 的 交 点 , 坐 标 分 别 为
1
= 1（a＞b＞0）的左焦点为 F ,右顶点为 A ,离心率为 .已知 A 是
2
1
抛物线 y 2 = 2 px
（p＞0）的焦点, F 到抛物线的准线 l 的距离为 .
2
【例 2】.设椭圆
2
+
2
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称,直线 AP 与椭圆相交于点 B ( B 异于 A ),直线 BQ 与 x 轴
人教A版2020届高考数学二轮复习讲义及题型归纳(中档)：圆锥曲线第二章 常见条件翻译转化
第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为 ()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单简单简单【例1】.已知双曲线的两个焦点为点 在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程;(2)记O 为坐标原点,过点02Q （，）的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、,若OEF 的面积为 ,求直线l 的方程.【解答】解:(1):依题意,由a 2+b 2=4,得双曲线方程为(0＜a 2＜4),将点(3, )代入上式,得.解得a 2=18(舍去)或a 2=2,故所求双曲线方程为.(2):依题意,可设直线l 的方程为y=kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1﹣k 2)x 2﹣4kx ﹣6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F, ∴＜ ＜ ∴k ∈(﹣ )∪(1, ).设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),则由①式得x 1+x 2=,x 1x 2=﹣, 于是,|EF |==而原点O 到直线l 的距离d=, ∴S △OEF =.若S △OEF = ,即,解得k=± ,满足②.故满足条件的直线l 有两条,其方程分别为y= 和 .【例2】.设椭圆0a b （＞＞）的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为.已知A 是抛物线220y px p （＞）的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l 上两点P Q ，关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于A ),直线BQ 与x 轴相交于点D.若APD的面积为,求直线AP的方程.【解答】(1)解:设F的坐标为(﹣c,0).依题意可得解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2﹣c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),联立方程组,解得点P(﹣1,﹣),故Q(﹣1,).联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣∴B().∴直线BQ的方程为(﹣)(x+1)﹣()(y﹣)=0,令y=0,解得x=,故D(,0).∴|AD|=1﹣=.又∵△APD的面积为,∴×=,整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=,∴m=±.∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0,或3x﹣y﹣3=0.【例3】已知椭圆C:22221x ya b+=(0a b>>)的左焦点为(2,0)F-,离心率为63.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设O为坐标原点,T为直线3x=-上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.(1)由已知得:63c a =,,所以6a = 又由222a b c =+,解得2b =,所以椭圆的标准方程为:. (2)设T 点的坐标为(3,)m -,则直线TF 的斜率03(2)TF m k m -==----.当0m ≠时,直线PQ 的斜率1PQ k m=,直线PQ 的方程是 当0m =时,直线PQ 的方程是2x =-,也符合的形式.将代入椭圆方程得:.其判别式22168(3)0m m ∆=++>.设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP QT =,即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩解得1m =±.此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++.【例4】.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点()焦点2c =22162x y +=2x my =-2x my =-2x my =-22(3)420m y my +--=12(30),(30)F F -，，,圆O 的直径为12F F .(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于A B ，两点.若OAB 的面积为,求直线l 的方程.【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为,∵焦点F 1(﹣ ,0),F 2( ,0),∴ . ∵∴,又a 2﹣b 2=c 2=3,解得a=2,b=1. ∴椭圆C 的方程为:,圆O 的方程为:x 2+y 2=3.(2)①可知直线l 与圆O 相切,也与椭圆C,且切点在第一象限,因此k 一定小于0, ∴可设直线l 的方程为y=kx +m,(k ＜0,m >0). 由圆心(0,0)到直线l 的距离等于圆半径 ,可得即 .由,可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0, △=(8km)2﹣4(4k 2+1)(4m 2﹣4)=0,可得m 2=4k 2+1,∴3k 2+3=4k 2+1,结合k ＜0,m >0,解得k=﹣ ,m=3. 将k=﹣ ,m=3代入 可得 ,解得x= ,y=1,故点P 的坐标为( . ②设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由 ＜⇒k ＜﹣ .联立直线与椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0,|x 2﹣x 1|==,O 到直线l 的距离d=,|AB |=|x 2﹣x 1|=,△OAB 的面积为S===,解得k=﹣ ,(正值舍去),m=3 . ∴y=﹣ 为所求.【例5】.在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点1,1A -（）关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ,问:是否存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由. 若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等,设点P 的坐标为00(,)x y则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠,因为sin sin APB MPN ∠=∠,所以||||||||PA PN PM PB =所以000|1||3||3||1|x x x x +-=--即 2200(3)|1|x x -=-,解得0x 53=因为220034x y +=,所以0339y =±,故存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等,此时点P 的坐标为533(,)39±. 【例6】.已知抛物线22C y x =：的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点,交C 的准线于P Q ，两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ ;(2)若PQF 的面积是ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解答】(1)证明:连接RF,PF,由AP=AF,BQ=BF 及AP ∥BQ,得∠AFP +∠BFQ=90°, ∴∠PFQ=90°,∵R 是PQ 的中点,∴RF=RP=RQ,∴△PAR ≌△FAR,∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,∵∠BQF +∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR, ∴∠FQB=∠PAR,∴∠PRA=∠PQF,∴AR ∥FQ. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F( ,0),准线为 x=﹣ , S △PQF = |PQ |=|y 1﹣y 2|, 设直线AB 与x 轴交点为N,∴S △ABF =|FN ||y 1﹣y 2|,∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,∴2|FN |=1,∴x N =1,即N(1,0).设AB 中点为M(x,y),由得 =2(x 1﹣x 2),又 = , ∴=,即y 2=x ﹣1.∴AB 中点轨迹方程为y 2=x ﹣1.【例7】.设椭圆0a b （＞＞）的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为,||AB = . (1)求椭圆的方程;(2)设直线0l y kx k =：（＜）与椭圆交于P Q ，两点, 与直线AB 交于点M ,且点P M ，均在第四象限.若BPM 的面积是BPQ 面积的2倍,求k 的值.【解答】解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得,又a 2=b 2+c 2, 解得a=3,b=2,∴椭圆的方程为:,(2)设点P(x 1,y 1),M(x 2,y 2),(x 2>x 1>0).则Q(﹣x 1,﹣y 1).∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,∴|PM |=2|PQ |,从而x 2﹣x 1=2[x 1﹣(﹣x 1)], ∴x 2=5x 1,易知直线AB 的方程为:2x +3y=6.由 ,可得0.由 ,可得,⇒ ,⇒18k 2+25k +8=0,解得k=﹣ 或k=﹣.由0.可得k ,故k=﹣,【例8】.已知椭圆C 的两个顶点分别为2020A B （-，），（，）,焦点在x 轴上,离心率为. (1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M N ，,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:BDE 与BDN 的面积之比为45：. 【解答】解:(1)由椭圆的焦点在x 轴上,设椭圆方程:(a >b >0),则a=2,e= =,则c= ,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆C 的方程;(2)证明:设D(x 0,0),(﹣2＜x 0＜2),M(x 0,y 0),N(x 0,﹣y 0),y 0>0,由M,N 在椭圆上,则,则x 02=4﹣4y 02, 则直线AM 的斜率k AM = = ,直线DE 的斜率k DE =﹣ ,直线DE 的方程:y=﹣(x ﹣x 0),直线BN 的斜率k BN =,直线BN 的方程y=(x ﹣2),,解得:, 过E 做EH ⊥x 轴,△BHE ∽△BDN,则丨EH 丨=,则丨 丨丨 丨=,∴:△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5.【例9】如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长.(1)求,的方程;(2)设与轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线与相交于点,直线,MA MB 分别与相交与,D E .22122:1(0)x y C a b a b +=>>32x22:C y x b =-1C 1C 2C 2C y l 2C 1C(i)证明:;(ii)记,MAB MDE 的面积分别是12,S S .问:是否存在直线,使得=?请说明理由.解析:(I)由题意知32c e a ==,从而2a b =,又2b a =,解得2,1a b ==. 故,的方程分别为2221,14x y y x +==-. (II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为k ,则直线的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,x x 是上述方程的两个实根,于是1212,1x x k x x +==-.又点M 的坐标为(0,1)- 所以故,即.(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.于是由得,解得或则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.MD ME ⊥l 21S S 32171C 2C l l于是.因此.由题意知,,解得或.又由点、的坐标可知,,所以.故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.在平面直角坐标系xOy中,点到两点的距离之和等于,设点的轨迹为.(1)写出的方程;(2)设直线与交于两点.为何值时⊥？此时的值是多少？【解答】解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以为焦点,长半轴为2的椭圆.它的短半轴,故曲线C的方程为.(4分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足消去y并整理得(k2+4)x2+2kx﹣3=0,故.(6分),即x 1x 2+y 1y 2=0.而y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1,于是.所以时,x 1x 2+y 1y 2=0,故 .(8分)当时,, 而(x 2﹣x 1)2=(x 2+x 1)2﹣4x 1x 2=,所以.(12分)【例2】.在直角坐标系 中,椭圆1C ：的左、右焦点分别为12F F ，.2F 也是抛物线224C y x =：的焦点,点M 为1C 与2C 在第一象限的交点,且2||MF =.(1)求1C 的方程;(2)平面上的点N 满足,直线l M N ,且与1C 交于A B ，两点,若,求直线 的方程. 【解答】解:(1)由C 2:y 2=4x 知F 2(1,0).设M(x 1,y 1),M 在C 2上,因为,所以 ,得.M 在C 1上,且椭圆C 1的半焦距c=1, 于是消去b 2并整理得9a 4﹣37a 2+4=0,解得a=2(不合题意,舍去).故椭圆C 1的方程为.(2)由知四边形MF 1NF 2是平行四边形,其中心为坐标原点O, 因为l ∥MN,所以l 与OM 的斜率相同,故l 的斜率.设l 的方程为 .由消去y 并化简得9x 2﹣16mx +8m 2﹣4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),.因为,所以x 1x 2+y 1y 2=0.x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+6(x 1﹣m)(x 2﹣m)=7x 1x 2﹣6m(x 1+x 2)+6m 2==.所以 .此时△=(16m)2﹣4×9(8m 2﹣4)>0,故所求直线l 的方程为 ,或 .【例3】.已知双曲线的离心率为 ,右准线方程为(I)求双曲线 的方程;(2)设直线 是圆222O x y +=：上动点0000)((0)P x y x y ≠，处的切线, 与双曲线C 交于不同的两点A B ，,证明AOB ∠的大小为定值.【解答】解:(1)由题意,,解得a=1,c= ,b 2=c 2﹣a 2=2,∴所求双曲C的方程.(2)设P(m,n)(mn ≠0)在x 2+y 2=2上,圆在点P(m,n)处的切线方程为y ﹣n=﹣(x ﹣m),化简得mx +ny=2.以及m 2+n 2=2得(3m 2﹣4)x 2﹣4mx +8﹣2m 2=0, ∵切L 与双曲线C 交于不同的两点A 、B,且0＜m 2＜2, 3m 2﹣4≠0,且△=16m 2﹣4(3m 2﹣4)(8﹣2m 2)>0, 设A 、B 两点的坐标分别(x 1,y 1),(x 2,y 2),x 1+x 2=,x 1x 2=.∵,且=x 1x 2+[4﹣2m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2]=+[4﹣+]=﹣=0. ∴∠AOB 的大小为900.【例4】.设12F F ，分别是0a b （＞＞）的左,右焦点, 是 上一点且2MF 与 轴垂直,直线1MF 与 的另一个交点为 .(1)若直线 的斜率为,求 的离心率;(2)若直线 在 轴上的截距为 ,且15||||MN F N ,求 . 【解答】解:(1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直, ∴M 的横坐标为c,当x=c 时,y=,即M(c,),若直线MN 的斜率为 ,即tan ∠MF 1F 2=,即b 2= =a 2﹣c 2,即c 2+﹣a 2=0,则 ,即2e 2+3e ﹣2=0解得e= 或e=﹣2(舍去),即e=.(2)由题意,原点O 是F 1F 2的中点,则直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,设M(c,y),(y >0),则,即,解得y= ,∵OD 是△MF 1F 2的中位线,∴=4,即b 2=4a,由|MN |=5|F 1N |,则|MF 1|=4|F 1N |, 解得|DF 1|=2|F 1N |, 即设N(x 1,y 1),由题意知y 1＜0,则(﹣c,﹣2)=2(x 1+c,y 1).即 ,即代入椭圆方程得 ,将b 2=4a 代入得,解得a=7,b= .【例5】.如图,设椭圆的中心为原点 ,长轴在 轴上,上顶点为 ,左、右焦点分别为12F F ，,线段12OF OF ，的中点分别为12B B ，,且12AB B 是面积为 的直角三角形.(1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过1B 作直线交椭圆于P Q ，两点,使22PB QB ,求2PB Q 的面积.【解答】解:(1)设椭圆的方程为,F 2(c,0)∵△AB 1B 2是的直角三角形,|AB 1|=AB 2|,∴∠B 1AB 2为直角,从而|OA |=|OB 2|,即∵c 2=a 2﹣b 2,∴a 2=5b 2,c 2=4b 2,∴在△AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,∴S= |B 1B 2||OA |=∵S=4,∴b 2=4,∴a 2=5b 2=20∴椭圆标准方程为;(2)由(1)知B 1(﹣2,0),B 2(2,0),由题意,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x=my ﹣2代入椭圆方程,消元可得(m 2+5)y 2﹣4my ﹣16=0① 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴∵∴=∵PB 2⊥QB 2,∴∴,∴m=±2当m=±2时,①可化为9y 2±8y ﹣16﹣0,∴|y 1﹣y 2|==∴△PB 2Q 的面积S= |B 1B 2||y 1﹣y 2|= ×4× =.【例5】.如图,抛物线E:24y x =的焦点为F ,准线 与 轴的交点为 .点 在抛物线 上,以 为圆心, 为半径作圆,设圆 与准线 交于不同的两点 . (1)若点 的纵坐标为 ,求 ;(2)若2||||||•AF AM AN =,求圆 的半径.【解答】解:(I)抛物线E:y2=4x 的准线l:x=﹣1,由点C 的纵坐标为2,得C(1,2),故C 到准线的距离d=2,又|OC |= , ∴|MN |=2 = =2. (II)设C(,y 0),则圆C 的方程为(x ﹣)2+(y ﹣y 0)2=, 即x 2﹣ +y 2﹣2y 0y=0,由x=﹣1得y 2﹣2y 0y +1+=0,设M(﹣1,y 1),N(﹣1,y 2),则, 由|AF |2=|AM |•|AN |,得|y 1y 2|=4,∴1+=4,解得y 0= ,此时△>0∴圆心C 的坐标为( ),|OC |2= ,从而|OC |= .即圆C 的半径为.【例6】.如图, 为坐标原点,双曲线1C ：1100a b （＞，＞）和椭圆C 2:220a b （＞＞）均过点,且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12C C 、的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A 、B 两点,与2C 只有一个公共点,且|+|=||？证明你的结论.【解答】解:(1)设椭圆C 2的焦距为2c 2,由题意可得2a 1=2,∴a 1=1,c 2=1.由于点P( ,1)在上,∴﹣ =1, =3,∴双曲线C 1的方程为:x 2﹣=1.再由椭圆的定义可得 2a 2=+=2 ,∴a 2= ,∴= ﹣ =2,∴椭圆C 2的方程为:+=1.(2)不存在满足条件的直线l.(1)若直线l 垂直于x 轴,则由题意可得直线l 得方程为x= ,或 x=﹣ .当x=时,可得A()、B(,﹣),求得||=2,||=2,显然,|+|≠||.同理,当x=﹣时,也有|+|≠||.(2)若直线l不垂直于x轴,设直线l得方程为y=kx+m,由可得(3﹣k2)x2﹣2mkx﹣m2﹣3=0,∴x1+x2=,x1•x2=.于是,y1•y2=k2x1•x2+km(x1+x2)+m2=.由可得(2k2+3)x2+4kmx+2m2﹣6=0,根据直线l和C1仅有一个交点,∴判别式△=16k2m2﹣8(2k2+3)(m2﹣3)=0,∴2k2=m2﹣3.∴=x1•x2+y1•y2=≠0,∴≠,∴|+|≠||.【例7】.双曲线2221yxb-=0b（＞）的左、右焦点分别为12F F，,直线过2F且与双曲线交于A B，两点.(1)直线的倾斜角为,1F AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设,若的斜率存在,且(+)•=0,求的斜率.【解答】解:(1)双曲线x2﹣=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,a=1,c2=1+b2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点,直线l的倾斜角为,△F1AB是等边三角形,可得:A(c,b2),可得:,3b4=4(a2+b2),即3b4﹣4b2﹣4=0,b>0,解得b2=2.所求双曲线方程为:x2﹣=1,其渐近线方程为y=±x.(2)b=,双曲线x2﹣=1,可得F1(﹣2,0),F2(2,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),直线的斜率为:k=,直线l的方程为:y=k(x﹣2),由题意可得:,消去y可得:(3﹣k2)x2+4k2x﹣4k2﹣3=0,△=36(1+k2)>0且3﹣k2≠0,可得x1+x2=,则y1+y2=k(x1+x2﹣4)=k(﹣4)=.=(x1+2,y1),=(x2+2,y2),(+)•=0可得:(x1+x2+4,y1+y2)•(x1﹣x2,y1﹣y2)=0,可得x1+x2+4+(y1+y2)k=0,得+4+•k=0可得:k2=,解得k=±.l的斜率为:±.【例8】.设为坐标原点,动点在椭圆22:12xC y+=上,过作轴的垂线,垂足为,点满足=.(1)求点的轨迹方程;(2)设点在直线上,且•=1.证明:过点且垂直于的直线过的左焦点.【解答】解:(1)设M(x0,y0),由题意可得N(x0,0),设P(x,y),由点P满足=.可得(x﹣x0,y)=(0,y0),可得x﹣x0=0,y=y0,即有x0=x,y0=,代入椭圆方程+y2=1,可得+=1,即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2;(2)证明:设Q(﹣3,m),P(cosα,sinα),(0≤α＜2π),•=1,可得(cosα,sinα)•(﹣3﹣cosα,m﹣sinα)=1,即为﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1,当α=0时,上式不成立,则0＜α＜2π,解得m=,即有Q(﹣3,),椭圆+y2=1的左焦点F(﹣1,0),由•=(﹣1﹣cosα,﹣sinα)•(﹣3,)=3+3cosα﹣3(1+cosα)=0.可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.另解:设Q(﹣3,t),P(m,n),由•=1,可得(m,n)•(﹣3﹣m,t ﹣n)=﹣3m ﹣m 2+nt ﹣n 2=1,又P 在圆x 2+y 2=2上,可得m 2+n 2=2,即有nt=3+3m,又椭圆的左焦点F(﹣1,0), • =(﹣1﹣m,﹣n)•(﹣3,t)=3+3m ﹣nt=3+3m ﹣3﹣3m=0,则 ⊥,可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【例9】.已知椭圆 0a b （＞＞）的离心率为 ,焦距为2 .斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点 .(1)求椭圆 的方程;(2)若 ,求||AB 的最大值;(Ⅲ)设20P （-，）,直线PA 与椭圆 的另一个交点为 ,直线 与椭圆 的另一个交点为 .若 和点 共线,求 .【解答】解:(1)由题意可知:2c=2 ,则c= ,椭圆的离心率e= =, 则a= ,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆的标准方程:;(2)设直线AB 的方程为:y=x +m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立,整理得:4x 2+6mx +3m 2﹣3=0,△=(6m)2﹣4×4×3(m 2﹣1)>0, 整理得:m 2＜4,x 1+x 2=﹣,x 1x 2= ,∴|AB |= =, ∴当m=0时,|AB |取最大值,最大值为 ;(Ⅲ)设直线PA 的斜率k PA = ,直线PA 的方程为:y=(x +2), 联立, 消去y 整理得:(x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12﹣3x 12﹣12x 1﹣12)=0,由代入上式得,整理得:(4x 1+7)x 2+(12﹣4x 12)x ﹣(7x 12+12x 1)=0, x 1•x C =﹣ ,x C =﹣ ,则y C = (﹣ +2)=, 则C(﹣),同理可得:D(﹣ ), 由Q(﹣ ),则 =( ), =(), 由 与 共线,则 × = ×, 整理得:y 2﹣x 2=y 1﹣x 1,则直线AB 的斜率k==1,∴k 的值为1. 第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】设抛物线22C y x ：,点20A （，）,20B （-，）,过点 的直线 与 交于 两点. (1)当 与 轴垂直时,求直线 的方程;(2)证明:∠ ∠ .【解答】解:(1)当l与x轴垂直时,x=2,代入抛物线解得y=±2,所以M(2,2)或M(2,﹣2),直线BM的方程:y=x+1,或:y=﹣x﹣1.(2)证明:设直线l的方程为l:x=ty+2,M(x1,y1),N(x2,y2),联立直线l与抛物线方程得,消x得y2﹣2ty﹣4=0,即y1+y2=2t,y1y2=﹣4,则有k BN+k BM=+===0,所以直线BN与BM的倾斜角互补,∴∠ABM=∠ABN.【例2】.设椭圆2212xC y+=：的右焦点为,过F的直线与交于两点,点的坐标为.(1)当与轴垂直时,求直线的方程;(2)设为坐标原点,证明:∠∠.【解答】解:(1)c==1,∴F(1,0),∵l与x轴垂直,∴x=1,由,解得或,∴A(1.),或(1,﹣),∴直线AM的方程为y=﹣x+,y=x﹣,证明:(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,∴∠OMA=∠OMB,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＜,x2＜,直线MA,MB的斜率之和为k MA,k MB之和为k MA+k MB=+,由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得k MA+k MB=,将y=k(x﹣1)代入+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,∴x1+x2=,x1x2=,∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=(4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k)=0从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB,综上∠OMA=∠OMB.【例3】.如图,椭圆经过点,且离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点(均异于点),证明:直线与斜率之和为.【解答】解:(1)由题设知,=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=,所以+y2=1;(2)证明:由题意设直线PQ的方程为y=k(x﹣1)+1(k≠0),代入椭圆方程+y2=1,可得(1+2k2)x2﹣4k(k﹣1)x+2k(k﹣2)=0,由已知得(1,1)在椭圆外,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=,x1x2=,且△=16k2(k﹣1)2﹣8k(k﹣2)(1+2k2)>0,解得k>0或k＜﹣2.则有直线AP,AQ的斜率之和为k AP+k AQ=+=+=2k+(2﹣k)(+)=2k+(2﹣k)•=2k+(2﹣k)•=2k﹣2(k﹣1)=2.即有直线AP与AQ斜率之和为2。
高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课ppt课件
C.钝角三角形 D.随m，n变化而变化
类型二 圆锥曲线的性质及其运用
∴ba2＝12，ba＝ 22，
答案 解析
(2)知抛物线y2＝4x的准线与双曲线 代入双曲线方程－可得a2＝15， y2＝1交于A，B两点，点F为抛物 线的焦点，假设△FAB为直角三角形，那么该双曲线的离心率于是c＝ a2＋1＝是56. ____.
类型三 直线与圆锥曲线的位置关系
所以 x1＋x2＝1＋4k22k2，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝1－＋22kk2.
(1)求椭圆的规范方程； 解答
所以 AB 的中点坐标为(1＋2k22k2，1＋－2kk2).
(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，假设y轴上一点M(0①当k≠0时，，AB的中垂线方程为y－1＋－2kk2＝－1k(x－1＋2k22k2)， )满足 |MA|＝|MB|，求直线l的斜率k的值. 解答
所以 sin ∠F1PF2＝82711，所以
＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2
S △ F P ＝12×3×9×82711＝4
1
11.即△F1PF2 的面积为 4
F2
11.
跟踪训练 1 已知椭圆xm2＋y2＝1(m>1)和双曲线xn2－y2＝1(n>0)有相同的焦 点 F1，F2，P 是它们的一个交点，则△F1PF2 的形状是
设P为椭圆 xa22＋yb22 ＝1(a>b>0)上恣意一点(不在x轴上)，F1，F2为焦点且 ∠F1PF2＝α，那么△PF1F2为焦点三角形(如图).
1.由双曲线标准方程求其渐近线方程时，最简单实用的办法是：把标准方
程中的 1 换成 0，即可得到两条渐近线的方程.如双曲线Байду номын сангаасx22－by22＝1(a>0，b>0)
二轮复习课件---圆锥曲线
圆锥曲线（1）知识内容：圆锥曲线定义和标准方程：椭圆、双曲线的第一、二定义、抛物线定义 具体目标：1．圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，如果涉及到其焦点（两相异定点），那么将优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其焦点、准线（一定点和不过该点的一定直线）或离心率，那么将优先选用圆锥曲线的第二定义；涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用。
2．利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序？3．圆锥曲线标准方程中的字母,a b 及,,c e p 的关系各有什么不同？长轴、短轴与他们的关系？ 练习过关：1.设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于 ． 2.设椭圆()1112222>=-+m m y m x 上一点P 到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P 点到右准线的距离为 ．3.设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=o ，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为 ．4.已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ．5.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ．6.已知)(y x P ，是椭圆191622=+y x 上的一个动点，则y x +的最大值是 ．7.抛物线28y x =-的焦点坐标为 ．8.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ．9.设椭圆22221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ．10已知椭圆221102x y m m +=--，长轴在y 轴上. 若焦距为4，则m 等于 ． 11. 已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ．12.已知抛物线22y px =的准线与双曲线222x y -=的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为 ．13.如图，已知双曲线以长方形ABCD 的顶点A ，B 为左、右焦点，且过C ，D 两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为 ．14.已知对k R ∈，直线10y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围是 ．圆锥曲线（2）知识内容：圆锥曲线离心率、直线和圆锥曲线的位置关系、渐近线、轨迹方程、定点、定值 具体目标：1．离心率的大小与曲线的形状有何关系？（椭圆的圆扁程度，双曲线的张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？求离心率的方法有几种？求渐近线的方法有哪些？ 2. 如何判定直线过定点、曲线过定点？什么是定值？3．在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价求解，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常会遇到与“弦”相关的问题，“平行弦”问题的关键是“斜率”；而“中点弦”问题关键是用“韦达定理”或“点参数”或“弦长公式”。
(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》检测卷(答案解析)(3)
一、选择题1．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．192．直线3y x与曲线2||194y x x -=的公共点的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知()5,0F 是双曲线()2222:=10,0x y C a b a b->>的右焦点，点(A .若对双曲线C 左支上的任意点M ，均有10MA MF +≥成立，则双曲线C 的离心率的最大值为（ ）A B ．5C ．52D ．64．已知点()P m n ,是抛物线214y x =-上一动点，则A．4B ．5C D ．65．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线20x y -=过点F 且与双曲线C 在第一象限的交点为P ，O 为坐标原点，||||OP OF =，则双曲线的离心率为（ ）A BC ．2D 6．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线分别交抛物线于A ，B 两点，若4AF =，1BF =，则p =（ ） A ．165B ．2C ．85D ．17．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF F B =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）A B ．52C D ．538．设1F 、2F 是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线C 右支上一点.若126PF PF a +=，且122PF F S =△，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）A 0y ±=B ．0x ±=C 20y ±=D ．20x =9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±10．已知1F 、2F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左右焦点，点P 在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为A ，O 为坐标原点，若OA =，则该双曲线的离心率为（ ）A B C ．2 D 11．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ，若2ABF 为等边三角形，则该双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．BC ．D ．12．已知点P 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，点()2,0A a ，当PA 最小时，点P不在顶点位置，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．)+∞C ．(D ．(二、填空题13．已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ，若0OM MF ⋅=，||MN b =，则C 的离心率为________.14．已知ABC 中，()1,0B -、()1,0C ，1k 、2k 分别是直线AB 和AC 的斜率.关于点A 有如下四个命题：①若A 是双曲线2212y x -=上的点，则122k k ⋅=；②若122k k ⋅=-，则A 是椭圆2212x y +=上的点；③若121k k ，则A 是圆221x y +=上的点；④若2AB AC =，则A 点的轨迹是圆. 其中所有真命题的序号是__________．15．设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是椭圆C 上的点，圆2229a x y +=与线段PF 交于A ,B 两点，若A ,B 三等分线段PF ，则椭圆C 的离心率为____________.16．已知圆22:68210C x y x y ++++=，点A 是圆C 上任一点，抛物线28y x =的准线为l ，设抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ，则m PA +的最小值为_______17．过双曲线M ：2213x y -=的右焦点F 作圆C ：221(1)2x y ++=的切线，此切线与M 的右支交于A ，B 两点，则||AB =___________.18．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.19．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，A ()00,x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =________.20．已知椭圆222:1(06x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．三、解答题21．已知直线:1l y kx =+过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A 、B 两点，点M 为AB 中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C 、D 两点，求MCD △面积取得最小值时直线l 的方程.22．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点在圆221x y +=上.（1）求抛物线的方程；（2）圆上一点00,x y 处的切线交抛物线于两点,A B ，且满足2AOB π∠=(O 为坐标原点)，求0y 的值.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为M ，离心率为6，12MF F△的面积为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F ，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，当1ABF 面积最大时，求直线l 的方程. 24．已知抛物线C ：()220y px p =>过点()2,4T -．（1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）已知点()4,0A ，过点()4,0B -的直线l 交抛物线C 于点M 、N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P 、Q ．求PBBQ的值． 25．已知抛物线28y x =的焦点为F ，且A 是抛物线上一点. （1）若4AF =求点A 的坐标；（2）直线l ：y x m =+与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求实数m 的值.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点421,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，离心率为53.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与圆22:1O x y +=相切，且与椭圆C 交于M ，N 两点，Q 为椭圆C 上一个动点(点O ，Q 分别位于直线l 两侧)，求四边形OMQN 面积的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =； 圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=--- 22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．2．C解析：C 【分析】由于已知曲线函数中含有绝对值符号， 将x 以0为分界进行分类讨论，当x ≥0时，曲线为焦点在y 轴上的双曲线，当x <0时，曲线为焦点在y 轴上的椭圆，进而在坐标系中作出直线与曲线的图像，从而可得出交点个数. 【详解】当0x ≥时，曲线2194x xy -=的方程为22194y x -=当0x <时，曲线2194x xy -=的方程为22194y x +=，∴曲线2194x xy -=的图象如图，在同一坐标系中作出直线3y x的图象，可得直线与曲线交点个数为3个．故选：C 【点晴】本题讨论曲线类型再利用数形结合法求交点个数是解题的关键．3．C解析：C 【分析】设E 是双曲线的左焦点，利用双曲线的定义把MF 转化为ME 后易得MA ME +的最小值，从而得a 的最小值，由此得离心率的最大值． 【详解】设E 是双曲线的左焦点，M 在左支上，则2MF ME a -=，2MF ME a =+，22MA MF MA ME a EA a +=++≥+，当且仅当E A M ,,三点共线时等号成立．则222(5)(11)210EA a a +=-+≥，2a ≥，所以552c e a a ==≤． 故选：C ．【点睛】思路点睛：本题考查双曲线的定义的应用．在涉及双曲线上的点与一个焦点和另外一个定点距离和或差的最值时，常常利用双曲线的定义把到已知焦点的距离转化为到另一焦点的距离，从而利用三点共线取得最值求解．4．D解析：D 【分析】 先把抛物线214y x =-化为标准方程，求出焦点F (0,-1),运用抛物线的定义，找到2222(1)(4)(5)m n m n ++-++.【详解】 由214y x =-，得24x y =-． 则214y x =-的焦点为()0,1F -．准线为:1l y =． 2222(1)(4)(5)m n m n ++-++点()P m n ,到()0,1F-与点()4,5A -的距离之和，如图示：根据抛物线的定义点()P m n ,到()0,1F -的距离等于点()P m n ,到l 的距离，2222(1)(4)(5)m n m n ++-++|PF |+|PA |=|PP 1|+|PA |,所以当P 运动到Q 时，能够取得最小值. 最小值为：|AQ 1|=()156--=． 故选：D. 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．5．D解析：D 【分析】焦点三角形1PFF 满足||||OP OF =，可根据三角形一边的中线是该边的一半，可判断该三角形是直角三角形.算出该三角形的中位线OH ，可得到12PF =，根据双曲线定义和勾股定理计算出,a c 求解. 【详解】直线250x y -+=过点F ，可得()5,0F - 设右焦点为1F ，PF 的中点为H .因为O 是1FF 的中点，且||||OP OF =，故三角形1PFF 为直角三角形.1PF PF ⊥，故OH PF ⊥由点到直线距离公式有()225112OH ==+-故12PF =，12PF PF a -=，(22221125PF PF F F +==故()2222220a ++=. 可得1a =ce a== 故选：D 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．C解析：C 【分析】直接设出直线方程，用“设而不求法”表示出AF ，BF ，利用性质可解. 【详解】由题意可知直线AB 的斜率一定存在，设为k ，联立2,22,p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩消去y 可得()22222204k p k x k px -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以2124p x x =.又根据抛物线的定142p x +=，212p x +=，所以241224p p p ⎫⎫⎛⎛--= ⎪⎪⎝⎝⎭⎭，解得85p =.故选：C 【点睛】"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.7．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a = 故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．8．A解析：A 【分析】利用双曲线的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可求得123F PF π∠=，利用双曲线的定义以及126PF PF a +=可求得14PF a =，22PF a =，再利用余弦定理可得出ba的值，由此可求得双曲线C 的渐近线方程. 【详解】设12F PF θ∠=，由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 在12PF F △中，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即()()()22212121212222cos 421cos c PF PF PF PF PF PF a PF PF θθ=-+⋅-⋅=+⋅-，所以，222122221cos 1cos c a b PF PF θθ-⋅==--，1222221222sin cos1sin 22sin 21cos tan112sin 22PF F b b b S PF PF θθθθθθθ⋅=⋅====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△，tan2θ∴=0θπ<<，可得022θπ<<，26θπ∴=，所以，3πθ=，由已知可得121226PF PF a PF PF a ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得1242PF aPF a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由余弦定理可得2221212122cos F F PF PF PF PF θ=+-⋅，即222221416416122c a a a a =+-⨯=，则223c a =，即2223a b a +=，b ∴=， 因此，双曲线C的渐近线方程为by x a=±=0y ±=.故选：A. 【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）转化已知条件，得到a 、b 、c 中任意两个量的等量关系；（2）若得到a 、b 的等量关系，则渐近线方程可得；若已知a 、c 或b 、c 之间的等量关系，结合222+=a b c 可求得ba的值，则渐近线方程可求. 9．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >，则()()220045c -+-=，解得3c =，因为2a =，所以22945b c a =-=-=， 所以双曲线的渐进线为：5b y x x a =±=±， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.10．B解析：B 【分析】延长2F A 交1PF 于点Q ，可得1223QF OA b ==，结合双曲线的定义可得,a b 的关系，从而求得离心率． 【详解】延长2F A 交1PF 于点Q ，∵PA 是12F PF ∠的平分线，∴2AQ AF =，2PQ PF =， 又O 是12F F 中点，所以1//QF AO ，且1223QF OA b ==， 又11122QF PF PQ PF PF a =-=-=，∴223a b =，222233()a b c a ==-，∴23c e a ==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的关系，解题方法是延长2F A 交1PF 于点Q ，利用等腰三角形的性质、平行线的性质得出123QF b =，然后由双曲线的定义得出关系式，从而求解．11．C解析：C利用双曲线的定义可求得12AF a =，24AF a =，利用余弦定理可求得ca的值，利用公式21⎛⎫=- ⎪⎝⎭b c a a 可求得该双曲线的渐近线的斜率. 【详解】2ABF 为等边三角形，22AB AF BF ∴==，且260ABF ∠=︒，由双曲线的定义可得121212||BF AB AF a B AF F BF =+-==-，212AF AF a -=，24AF a ∴=，在12AF F △中12AF a =，24AF a =，12120F AF ∠=，由余弦定理可得2212121222cos12027F F c AF AF AF AF a ==+-⋅︒=，即7c a =，所以22222216b b c a c a a a a -⎛⎫===-= ⎪⎝⎭． 因此，该双曲线的渐近线的斜率为6±． 故选：C.【点睛】思路点睛：求解双曲线的渐近线的常用思路：（1）定义法：直接利用a ，b ，求得比值，则焦点在x 轴时渐近线by x a=±，焦点在y 轴时渐近线ay x b=±； （2）构造齐次式，利用已知条件，结合222+=a b c ，构建b a 的关系式（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可.12．C解析：C把P 的坐标表示出来，PA 转化为二次函数，利用二次函数最值取得条件求离心率的范围． 【详解】 设00(,)P x y ，则||PA ==又∵点P 在双曲线上，∴2200221x y a b -=，即2222002b x y b a=-，∴||PA ===．当PA 最小时，0224202a ax e e-=-=>． 又点P 不在顶点位置，∴22aa e>，∴22e <，∴e < ∵双曲线离心率1e >，∴1e <<故选：C ． 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．二、填空题13．2【分析】首先根据可得可计算结合可得是等腰三角形且再由渐进线的斜率可计算出点坐标即可求出点坐标利用结合可得之间的关系即可求解【详解】因为所以即所以为点到渐近线的距离所以可得点为的中点又因为所以所以设解析：2 【分析】首先根据0OM MF ⋅=可得⊥OM MF ，可计算MF b =，结合||MN b =可得OFN △是等腰三角形，且ON c =，再由渐进线的斜率可计算出点N 坐标，即可求出点M 坐标，利用OM a =结合222b c a =-可得,a c 之间的关系，即可求解. 【详解】因为0OM MF ⋅=，所以OM MF ⊥，即⊥OM MF 所以MF 为点(),0F c 到渐近线0bx ay -=的距离，22bcMF b cb a ===+， 所以MF MN b ==，可得点M 为NF 的中点， 又因为⊥OM MF ，所以ON OF c ==， 所以222OM c b a =-=，设双曲线的左焦点为1F ，1FON θ∠=，(),N x y 则()tan tan tan bFON FON aθπ=-∠=-∠=， 因为222c a b =+，所以cos acθ=，sin b c θ=所以cos a x ON c a c θ=-=-⋅=-，sin by ON c b cθ==⋅=， 所以(),N a b -，因为M 为NF 中点，所以,22a M c b -⎛⎫⎪⎝⎭， 222222c a b OM a -⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将222b c a =-代入整理可得：()22224c a c a a -+-= 即222240c ac a --=，所以220e e --=，可得()()210e e -+=， 解得：2e =或1e =-（舍）， 故答案为：2 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率的方法： （1）直接利用公式c e a=； （2）利用变形公式e =； （3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.14．①③【分析】设点可得出结合斜率公式可判断A 选项的正误；求出动点的轨迹方程可判断②的正误；根据求出点的轨迹方程可判断③的正误；由求出点的轨迹方程可判断④的正误【详解】设动点的坐标为对于①由于点是双曲线解析：①③ 【分析】设点(),A x y ，可得出2212y x =+，结合斜率公式可判断A 选项的正误；求出动点A 的轨迹方程，可判断②的正误；根据121k k ，求出点A 的轨迹方程，可判断③的正误；由2AB AC =求出点A 的轨迹方程，可判断④的正误. 【详解】设动点A 的坐标为(),A x y .对于①，由于点A 是双曲线2212y x -=上的点，则2212y x =+，所以，22122221112y y y y k k y x x x =⋅===+--，①正确；对于②，21222111y y y k k x x x =⋅==-+--，化简可得2212y x +=，②错误；对于③，21221111y y y k k x x x =⋅==-+--，化简可得221x y +=，③正确；对于④，由2AB AC ==化简可得2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， 当点A 为圆2251639x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与x 轴的交点时，A 、B 、C 三点无法构成三角形，④错误.故答案为：①③.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.15．【分析】取AB 中点H 后证明H 为PF 中点从而在直角三角形OFH 中利用勾股定理找到求出离心率【详解】如图示取AB 中点H 连结OH 则OH ⊥AB 设椭圆右焦点E 连结PE ∵AB 三等分线段PF ∴H 为PF 中点∵O 为E 解析：17 【分析】取AB 中点H 后，证明H 为PF 中点，从而在直角三角形OFH 中，利用勾股定理，找到221725a c =，求出离心率.【详解】如图示，取AB 中点H ，连结OH ，则OH ⊥AB ，设椭圆右焦点E ，连结PE ∵AB 三等分线段PF ，∴ H 为PF 中点. ∵O 为EF 中点，∴OH ∥PE 设OH=d,则PE=2d ，∴PF=2a-2d ，BH=3a d- 在直角三角形OBH 中，222OB OH BH =+,即22293a a d d -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得：5a d =. 在直角三角形OFH 中，222OF OH FH =+,即()222c d a d =+-，解得：221725a c =，∴离心率175c e a ==. 故答案为：17 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．16．【分析】由抛物线的定义可知结合圆的性质当且仅当三点共线时等号成立取得最值【详解】由圆可得圆心设的焦点为则抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为过点作于点则由抛物线的定义可知所以当且仅当三点共线时等号成立 解析：412-【分析】由抛物线的定义可知m PF =，m PA PF PA +=+结合圆的性质，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立取得最值. 【详解】由圆22:68210C x y x y ++++=可得圆心()3,4C --，2r，设28y x =的焦点为F ，则()2,0F ，:2l x =-，抛物线上任意一点Р到直线l 的距离为m ， 过点P 作PH l ⊥于点H ，则PH m =， 由抛物线的定义可知PH PF =，所以2m PA PH PA PF PA FC r FC +=+=+≥-=-()()223242412=--+-=，当且仅当,,P F C 三点共线时等号成立，所以m PA +2，2. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，利用三点共线即可求解.17．【分析】首先设出直线利用直线与圆相切求直线方程再利用弦长公式求弦长【详解】因为直线过双曲线的右焦点且与圆相切所以直线的斜率存在设直线方程为()由直线与圆相切知解得或当时双曲线的一条渐近线的斜率是该直解析：【分析】首先设出直线，利用直线与圆相切，求直线方程，再利用弦长公式求弦长AB . 【详解】因为直线过双曲线的右焦点且与圆相切，所以直线的斜率存在，设直线方程为0y k -=(2x -)2=，解得1k =或17k =，当17k =时，双曲线的一条渐近线的斜率是3，173<，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去；所以直线方程为2y x =-，联立双曲线方程，消元得2212150x x -+=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则126x x +=，12152x x =，所以12||AB x =-===.故答案为：【点睛】易错点点睛：利用直线与圆相切，得到两个斜率1k =或17k =，需舍去一个，否则出现增根.18．4【分析】设出的坐标写出坐标满足的关系式根据题意写出直线的方程求出的横坐标计算得出的值【详解】解：设则则所以直线的方程为令可得同理有直线的方程为令可得则故答案为：【点睛】圆锥曲线中求定值问题常见的方解析：4 【分析】设出,,M N P 的坐标，写出坐标满足的关系式.根据题意，写出直线PM ，PN 的方程，求出,A B 的横坐标，计算得出mn 的值. 【详解】解：设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==-故答案为：4 【点睛】圆锥曲线中求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19．【分析】根据焦半径公式可得：结合抛物线方程求解出的值【详解】由抛物线的焦半径公式可知：所以故答案为：【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴抛物线上任意一点则；（2 解析：1【分析】根据焦半径公式可得：00524x p x +=，结合抛物线方程求解出0x 的值. 【详解】由抛物线的焦半径公式可知：0015224AF x x =+=，所以01x =， 故答案为：1. 【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 20．①③【分析】运用椭圆的定义可得也在椭圆上分别画出两个椭圆的图形即可判断①正确；通过的变化可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时的值取得最小即可判断③【详解】解：椭圆的两个焦点分别为解析：①③ 【分析】运用椭圆的定义可得P 也在椭圆222166y x b+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；通过b 的变化，可得②不正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，||OP 的值取得最小，即可判断③．【详解】解：椭圆222:1(06x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F ，0)和2(F 0)，短轴的两个端点分别为1(0,)B b -和2(0,)B b ，设(,)P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212||||||||PB PB PF PF +=+， 由椭圆定义可得，12||||2262PB PB a b +==>，即有P 在椭圆222166y x b+=-上． 对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称， 故①正确；对于②，由图象可得轨迹关于x ，y 轴对称，且06b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故②不正确；对于③，点P 靠近坐标轴时(0b →或6)b →，||OP 越大，点P 远离坐标轴时，||OP 越小，所以226b b -=，即23b =时，取得最小值，此时22:163x y G +=，与22163y x += 两方程相加得22222222x y x y +=⇒+=，即||OP 的最小值为 2，故③正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．三、解答题21．（1）24x y =；（2）1y =. 【分析】（1）求出抛物线E 的焦点坐标，将焦点坐标代入直线l 的方程，求出p 的值，即可求得抛物线E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线E 的方程，求出点M 的坐标，求出点M 到CD 的距离以及CD ，可得出MCD △的面积的表达式，利用函数的单调性可求得MCD △面积的最小值，进而可求得对应的直线l 的方程. 【详解】（1）抛物线2:2E x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭在:1l y kx =+上，12p ∴=，2p ∴=，所以，抛物线E 的方程为24x y =； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以，212121616044k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩，则AB 中点()22,21Mk k +，()21241AB x k =-==+，所以，以AB 为直径的圆M 的半径()221r k=+，M 到CD 的距离221d k=+，CD ==((221221212MCD S k k ∴=⨯⨯+=+△，令()20k t t =≥，则(21MCDSt =+[)0,+∞单调递增.当0t =时，即0k =时，MCD Sl 的方程为1y =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 22．（1）24x y =；（2）014y =. 【分析】（1）求出221x y +=与y 轴交点，得出抛物线22(0)x py p =>的焦点，求出p（2）设出直线AB ，与抛物线联立，利用12120x x y y +=求出直线的参数m ，再利用AB 为切线，求出直线方程.再与圆方程联立求出交点纵坐标即可. 【详解】（1）∵抛物线22(0)x py p =>的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 圆221x y +=与y 轴交点为(0,1)，122pp ∴=⇒=， 即24x y =.（2）设直线AB 为y kx m =+(k 一定存在)，224404y kx m x kx m x y=+⎧∴⇒--=⎨=⎩， 2221212124,44x x x x m y y m ∴=-=⋅=，又21212,04042AOB x x y y m m m π∠=∴+=⇒-=⇒=，即直线AB 为24,115y kx k =+=⇒=，2202215(40161y x x x y ⎧=⎪∴=⇒=⎨+=⎪⎩， 20116y ∴=，即014y =.【点睛】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.23．（1）2213x y +=；（2）0x y -=或0x y +=.【分析】（1）由离心率、面积和222a b c =+可得答案；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，:l x ty =+11212AF BF F AF F BSSS=+，结合基本不等式，可得答案.【详解】（1）∵c e a ==，12MF F S bc ==△222a b c =+，解得a =1b =，c =C 的方程为：2213x y +=.（2）()1F ，)2F ，设()11,A x y ，()22,B x y ，已知直线l 的斜率不为0，设直线l：x ty =+2213x ty x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得()22310t y ++-=，故12y y +=，12213y y t =-+，1212121212F F A F F BSSF F y y+=-=因为2312t =≤+=，即1t =±时等号成立，所以直线l 的方程为0x y --=或0x y +=. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了三角形的面积公式，关键点是利用韦达定理表示1212F F AF F BSS+并利用基本不等式求最值，考查了直线与椭圆的位置关系和计算能力.24．（1）4p =；（2）1. 【分析】（1）求出p 后可得焦点到准线的距离.（2）设直线l 的方程为4x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，可用,M N 的坐标表示PB BQ ，再联立直线l 的方程和抛物线的方程，利用韦达定理化简PBBQ可得所求的值. 【详解】（1）因为()2,4T -在抛物线上，164p =即4p =，抛物线C 的焦点到准线的距离为4p =.（2）显然直线l 的斜率不为0，故设直线l 的方程为4x my =-，由248x my y x=-⎧⎨=⎩得28320y my -+=， 由()228320m ∆=->得216m >，设()11,M x y ，()22,N x y ，则128y y m +=，1232y y =，所以()12124my y y y =+. 又114MA y k x =-，224NA y k x =-， 所以直线MA ：()1144y y x x =--，NA ：()2244yy x x =--，令4x =-，得1184P y y x -=-，2284Q y y x -=-，所以121212124848P QPB y y x y my BQx y my y y --==⋅=⋅-- ()()121121211221221248844184844y y y my y y y y my y y y y y y y +---====-+--．【点睛】思路点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x 或y 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x +或1212,y y y y +，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 25．（1）点A 的坐标为()()2,4,2,4-；（2）8-. 【分析】（1）由4AF =根据焦半径公式求出点A 的横坐标，再代入抛物线方程求得纵坐标； （2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，利用韦达定理，结合向量垂直的坐标表示，列方程可求实数m 的值. 【详解】（1）设()00,A x y ，042p AF x =+=，22p=，02x ∴= 所以20082164y y =⨯=⇒=±，∴点A 的坐标为()()2,4,2,4-.（2）由28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1282x x m +=-，212x x m =，121228y y x x m ∴+=++=，()()()2121212128y y x m x m x x m x x m m =++=+++=，又OP OQ ⊥，0OP OQ ∴⋅=，2121280x x y y m m ∴+=+=，0m ∴=或8m =-，经检验，当0m =时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合：不符合题意，当8m =-时，2(24)4640∆=--⨯>，符合题意. 综上，实数m 的值为8-. 【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.26．（1）22194x y +=；（2）最大值为.【分析】（1）将1,3P ⎛ ⎝⎭的坐标代入椭圆方程中，再结合c a =222a b c =+可求出,a b 的值，进而可求得椭圆的方程；（2）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，然后利用点到直线的距离公式求出O 到直线y kx m =+的距离d ，利用弦长公式求出MN 的值，从而有12OMN QMN OMQN S S S MN d =+=⨯四边形△△，化简可求得其范围，当MN 斜率不存在时，直接可得OMQN S =四边形 【详解】（1）因为椭圆C过点P ⎛ ⎝⎭，所以2213219a b +=，因为离心率为33c a =， 又222a b c =+，所以得22194x y +=；（2）（i ）当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，设O 到直线y kx m =+的距离记为d，则d =，联立22,1,94y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()2229418940k x knx n +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，1221894kn x x k +=-+，()21229494n x x k -=+，所以12MN x =-=，因为y kx n =+与圆O1=，因为y kx m =+与椭圆相切，所以2294k m +=，1122OMN QMNOMQN S S S MN d =+=⨯=四边形△△=== 可得OMQN S 四边形随k的增大而增大，即OMQN S <四边形（ii ）当MN斜率不存在时，不妨取1,3M ⎛ ⎝⎭，1,3N ⎛- ⎝⎭，此时()3,0Q ，OMQN S =四边形综上所得四边形OMQN的面积的最大值为【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是当MN 斜率存在时，设MN 与圆O 的切线为y kx n =+，要使四边形OMQN 的面积最大，则Q 到MN 距离要最大，此时过Q 点MN 的平行线必与椭圆C 相切，设为y kx m =+，易得Q 到MN 距离与O 到MN 距离之和等于O 到直线y kx m =+的距离，从而可得2112294OMN QMNOMQN S S S MN d k =+=⨯=⨯+四边形△△，化简可得结果，属于中档题。
最新届高考数学二轮复习系列二轮复习-圆锥曲线
（1）求P点的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上 的一点，M到直线AP的距离 等于 M B ，求椭圆上的点到 A 点M的距离d的最小值.
y
3
P
2
1
oM F
-1
-2
-3
Bx
变式新题型2：
如图，B（-c，0），C（c，0），AHBC，垂
足为H，且
BH3HC
（I）若 A BA C0， 求以B、C为焦点并且经过点A 的椭圆的离心率；
y
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，
证明 |
F1P|
a
c a
x
；
F1
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程.
Q P
T
o
F2
x
变式新题型2：
已知抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F，直线
l 过定点A(4,0)且与抛物线交于P,Q两点.
（1）若以弦PQ为直径的圆恒过原点O，求p的 值； （2）在（1）的条件下，
若 FPFQFR，求动点R的轨迹方程.
届高考数学二轮复习系列二 轮复习－圆锥曲线
24《圆锥曲线》
变式新题型2：
设x、y R ,i,j为直角坐标平面内x轴、y轴正方
向上的单位向量，若向量a=xi+(y+ 3 )j,b=xi+(y– 3 )j,且|a|+|b|=4.
（1）求点P(x,y)的轨迹C的方程；
（2）若A、B为轨迹C上的两点，满足AM =MB ，
（λ，μR） ，证明λ2+μ2 为定值.
变式新题型3：
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，准线l与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A的直线与抛物线 相交于P、Q两点.
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第二章常见条件翻译转化第一节:三角形的面积表达一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时,通常将直线l 的方程0Ax By c ++=代入圆锥曲线C 的方程(),0F x y = ,消去y (也可以消去x )得到关系一个变量的一元二次方程,,即()0,0Ax By c F x y ++=⎧⎪⎨=⎪⎩ ,消去y 后得20ax bx c ++=(1)当0a =时,即得到一个一元一次方程,则l 与C 相交,且只有一个交点,此时, 若C 为双曲线,则直线l 与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线,则直线l 与抛物线 的对称轴平行(2) 当0a ≠时,0∆> ,直线l 与曲线C 有两个不同的交点; 0∆=,直线l 与曲 线C 相切,即有唯一的公共点(切点); 0∆< ,直线l 与曲线C 二、圆锥曲线的弦连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦直线():,0l f x y = ,曲线():F ,0,A,B C x y =为l 与C 的两个不同的交点,坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则()()1122,,,A x y B x y 是方程组()(),0,0f x y F x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 的两组解, 方程组消元后化为关于x 或y 的一元二次方程20Ax Bx c ++=(0A ≠) ,判别式24B AC ∆=- ,应有0∆> ,所以12,x x 是方程20Ax Bx c ++=的根,由根与系数关系(韦达定理)求出1212,B Cx x x x A A+=-= , 所以,A B 两点间的距离为 ()22221212121141AB k x x k x x x x k A∆=+-=++-=+ ,即弦长公式,弦长 公式也可以写成关于y 的形式()()2221212121140AB k y y k y y y y k =+-=++-≠三、三角形面积求法方法12⨯底高 C ab sin 211212121211:,22S F F y y S F F x x ∆∆=-=-拆分 适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题 备注 不一定简单简单简单【例1】.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的两个焦点为F:(−2,0),F:(2,0),点P(3,√7)在双曲线C 上. (1)求双曲线C 的方程;(2)记O 为坐标原点,过点02Q （，）的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E F 、,若OEF V 的面积为2√2,求直线l 的方程.【解答】解:(1):依题意,由a 2+b 2=4,得双曲线方程为x 2a 2−y 24−a 2=1(0＜a 2＜4),将点(3,√7)代入上式,得9a 2−74−a 2=1.解得a 2=18(舍去)或a 2=2,故所求双曲线方程为x 22−y 22=1.(2):依题意,可设直线l 的方程为y=kx +2,代入双曲线C 的方程并整理, 得(1﹣k 2)x 2﹣4kx ﹣6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F, ∴{1−k 2≠0△=(−4k)2+4×6(1−k)2>0⇔{k ≠±1−√3＜k ＜√3 ∴k ∈(﹣√3,−1)∪(1,√3).设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),则由①式得x 1+x 2=4k 1−k2,x 1x 2=﹣61−k 2,于是,|EF |=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(1+k 2)(x 1−x 2)2=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅2√2√3−k 2|1−k 2|而原点O 到直线l 的距离d=2√1+k 2, ∴S △OEF =12d ⋅|EF|=12⋅2√1+k 2⋅√1+k2⋅2√2√3−k 2|1−k 2|=2√2√3−k 2|1−k 2|.若S △OEF =2√2,即2√2√3−k 2|1−k 2|=2√2⇔k 4−k 2−2=0,解得k=±√2,满足②.故满足条件的直线l 有两条,其方程分别为y=√2x +2和y =−√2x +2.【例2】.设椭圆x 2a2+y 2b 2=10a b （＞＞）的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12.已知A 是抛物线220y px p （＞）的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l 上两点P Q ，关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于A ),直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD V 的面积为√62,求直线AP 的方程.【解答】(1)解:设F 的坐标为(﹣c,0).依题意可得{c a =12a =p2a −c =12解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2﹣c 2=34.所以,椭圆的方程为x 2+4y 23=1,抛物线的方程为y 2=4x.(2)解:直线l 的方程为x=﹣1,设直线AP 的方程为x=my +1(m ≠0),联立方程组{x =−1x =my +1,解得点P(﹣1,﹣2m ),故Q(﹣1,2m).联立方程组{x =my +1x 2+4y 23=1,消去x,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0,解得y=0,或y=﹣6m3m 2+4∴B(−3m 2+43m 2+4,−6m3m 2+4).∴直线BQ 的方程为(−6m3m 2+4﹣2m )(x +1)﹣(−3m 2+43m 2+4+1)(y ﹣2m)=0,令y=0,解得x=2−3m 23m 2+2,故D(2−3m 23m 2+2,0).∴|AD |=1﹣2−3m 23m 2+2=6m 23m 2+2.又∵△APD 的面积为√62,∴12×6m 23m 2+2×2|m|=√62,整理得3m 2﹣2√6|m |+2=0,解得|m |=√63,∴m=±√63. ∴直线AP 的方程为3x +√6y ﹣3=0,或3x ﹣√6y ﹣3=0.【例3】已知椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点为(2,0)F -,离心率为63.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设O 为坐标原点,T 为直线3x =-上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P ,Q .当四边形OPTQ 是平行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.(1)由已知得:63c a =,,所以6a = 又由222a b c =+,解得2b =,所以椭圆的标准方程为:. (2)设T 点的坐标为(3,)m -,则直线TF 的斜率03(2)TF m k m -==----.当0m ≠时,直线PQ 的斜率1PQ k m=,直线PQ 的方程是 当0m =时,直线PQ 的方程是2x =-,也符合的形式.将代入椭圆方程得:.其判别式22168(3)0m m ∆=++>.设1122(,),(,)P x y Q x y ,则121212122224212,,()4333m y y y y x x m y y m m m --+==+=+-=+++. 因为四边形OPTQ 是平行四边形,所以OP QT =u u u r u u u r,即1122(,)(3,)x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩解得1m =±.此时四边形OPTQ 的面积2122214222||||2()423233OPTQ OPQ m S S OF y y m m -==⨯⋅-=-=++g .【例4】.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点(√3,12)焦点2c =22162x y +=2x my =-2x my =-2x my =-22(3)420m y my +--=12(30),(30)F F -，，,圆O 的直径为12F F . (1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于A B ，两点.若OAB V 的面积为2√67,求直线l 的方程. 【解答】解:(1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0),∵焦点F 1(﹣√3,0),F 2(√3,0),∴c =√3. ∵∴3a 2+14b 2=1,又a 2﹣b 2=c 2=3,解得a=2,b=1. ∴椭圆C 的方程为:x 24+y 2=1,圆O 的方程为:x 2+y 2=3.(2)①可知直线l 与圆O 相切,也与椭圆C,且切点在第一象限,因此k 一定小于0, ∴可设直线l 的方程为y=kx +m,(k ＜0,m >0). 由圆心(0,0)到直线l 的距离等于圆半径√3,可得m 21+k 2=3,即m 2=3+3k 2.由{y =kx +mx 2+4y 2=4,可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0, △=(8km)2﹣4(4k 2+1)(4m 2﹣4)=0,可得m 2=4k 2+1,∴3k 2+3=4k 2+1,结合k ＜0,m >0,解得k=﹣√2,m=3. 将k=﹣√2,m=3代入{x 2+y 2=3y =kx +m 可得x 2−2√2x +2=0,解得x=√2,y=1,故点P 的坐标为(√2,1). ②设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{k ＜0,m >0m 2=3+3k 2△>0⇒k ＜﹣√2.联立直线与椭圆方程得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2﹣4=0,|x 2﹣x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√4k 2+1−m 24k 2+1,O 到直线l 的距离d=|m|√1+k 2,|AB |=√1+k 2|x 2﹣x 1|=4√4k 2+1−m 24k 2+1⋅√1+k 2,△OAB 的面积为S=12×4√4k 2+1−m 24k 2+1⋅√1+k 2×|m|√1+k 2=12×4√k 2−24k 2+1×√1+k 2×√3=2√67,解得k=﹣√5,(正值舍去),m=3√2. ∴y=﹣√5x +3√2为所求.【例5】.在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点1,1A -（）关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ,问:是否存在点P 使得PAB V 与PMN V 的面积相等？若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.若存在点P 使得PAB V与PMN V 的面积相等,设点P 的坐标为00(,)x y 则11||||sin ||||sin 22PA PB APB PM PN MPN ∠=∠g g ,因为sin sin APB MPN ∠=∠,所以||||||||PA PN PM PB =所以000|1||3||3||1|x x x x +-=--即 2200(3)|1|x x -=-,解得0x 53=因为220034x y +=,所以0339y =±,故存在点P 使得PAB V与PMN V 的面积相等,此时点P 的坐标为533(,)39±. 【例6】.已知抛物线22C y x =：的焦点为F ,平行于x 轴的两条直线12l l ，分别交C 于A B ，两点,交C 的准线于P Q ，两点.(1)若F 在线段AB 上,R 是PQ 的中点,证明AR FQ P ;(2)若PQF V 的面积是ABF V 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程.【解答】(1)证明:连接RF,PF,由AP=AF,BQ=BF 及AP ∥BQ,得∠AFP +∠BFQ=90°, ∴∠PFQ=90°,∵R 是PQ 的中点,∴RF=RP=RQ,∴△PAR ≌△FAR,∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,∵∠BQF +∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR, ∴∠FQB=∠PAR,∴∠PRA=∠PQF,∴AR ∥FQ. (2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),F(12,0),准线为 x=﹣12, S △PQF =12|PQ |=12|y 1﹣y 2|, 设直线AB 与x 轴交点为N,∴S △ABF =12|FN ||y 1﹣y 2|,∵△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,∴2|FN |=1,∴x N =1,即N(1,0).设AB 中点为M(x,y),由{y 12=2x 1y 22=2x 2得y 12−y 22=2(x 1﹣x 2),又y 1−y 2x 1−x 2=y x−1,∴yx−1=1y,即y 2=x ﹣1.∴AB 中点轨迹方程为y 2=x ﹣1.【例7】.设椭圆x 2a2+y 2b 2=10a b （＞＞）的右顶点为A ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为√53,||AB = √13. (1)求椭圆的方程;(2)设直线0l y kx k =：（＜）与椭圆交于P Q ，两点,l 与直线AB 交于点M ,且点P M ，均在第四象限.若BPM V 的面积是BPQ V 面积的2倍,求k 的值.【解答】解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知可得c 2a 2=59,又a 2=b 2+c 2, 解得a=3,b=2,∴椭圆的方程为:x 29+y 24=1,(2)设点P(x 1,y 1),M(x 2,y 2),(x 2>x 1>0).则Q(﹣x 1,﹣y 1).∵△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍,∴|PM |=2|PQ |,从而x 2﹣x 1=2[x 1﹣(﹣x 1)], ∴x 2=5x 1,易知直线AB 的方程为:2x +3y=6.由{2x +3y =6y =kx ,可得x 2=63k+2>0.由{4x 2+9y 2=36y =kx ,可得x 1=6√9k 2+4,⇒√9k 2+4=5(3k +2),⇒18k 2+25k +8=0,解得k=﹣89或k=﹣12.由x 2=63k+2>0.可得k >−23,故k=﹣12,【例8】.已知椭圆C 的两个顶点分别为2020A B （-，），（，）,焦点在x 轴上,离心率为√32. (1)求椭圆C 的方程;(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M N ，,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:BDE V 与BDN V 的面积之比为45：. 【解答】解:(1)由椭圆的焦点在x 轴上,设椭圆方程:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则a=2,e=c a =√32,则c=√3,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆C 的方程x 24+y 2=1;(2)证明:设D(x 0,0),(﹣2＜x 0＜2),M(x 0,y 0),N(x 0,﹣y 0),y 0>0,由M,N 在椭圆上,则x 024+y 02=1,则x 02=4﹣4y 02, 则直线AM 的斜率k AM =y 0−0x 0+2=y 0x 0+2,直线DE 的斜率k DE =﹣x 0+2y 0,直线DE 的方程:y=﹣x 0+2y 0(x ﹣x 0),直线BN 的斜率k BN =−y 0x 0−2,直线BN 的方程y=−y 0x 0−2(x ﹣2), {y =−x 0+2y 0(x −x 0)y =−y 0x 0−2(x −2),解得:{x =4x 0+25y =−45y 0, 过E 做EH ⊥x 轴,△BHE ∽△BDN,则丨EH 丨=4y 05,则丨EH 丨丨ND 丨=45,∴:△BDE 与△BDN 的面积之比为4:5.【例9】如图7,椭圆的离心率为,轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长.(1)求,的方程;(2)设与轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线与相交于点,直线,MA MB 分别与相交与,D E .22122:1(0)x y C a b a b +=>>32x22:C y x b =-1C 1C 2C 2C y l 2C 1C(i)证明:;(ii)记,MAB MDE V V 的面积分别是12,S S .问:是否存在直线,使得=?请说明理由.解析:(I)由题意知32c e a ==,从而2a b =,又2b a =,解得2,1a b ==. 故,的方程分别为2221,14x y y x +==-. (II)(i)由题意知,直线的斜率存在,设为k ,则直线的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=,设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,x x 是上述方程的两个实根,于是1212,1x x k x x +==-.又点M 的坐标为(0,1)- 所以故,即.(ii)设直线的斜率为,则直线的方程为,由解得或,则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.于是由得,解得或则点的坐标为.又直线的斜率为,同理可得点的坐标为.MD ME ⊥l 21S S 32171C 2C l l于是.因此.由题意知,,解得或.又由点、的坐标可知,,所以.故满足条件的直线存在,且有两条,其方程分别为和.第二节:向量背景的条件翻译【例1】.在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,−√3),(0,√3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C . (1)写出C 的方程;(2)设直线y =kx +1与C 交于A,B 两点.k 为何值时OA →⊥OB →？此时|AB →|的值是多少？ 【解答】解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P 的轨迹C 是以(0,−√3),(0,√3)为焦点, 长半轴为2的椭圆.它的短半轴b =√22−(√3)2=1, 故曲线C的方程为x 2+y 24=1.(4分)(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),其坐标满足{x 2+y 24=1y =kx +1.消去y 并整理得(k 2+4)x 2+2kx ﹣3=0, 故x 1+x 2=−2k k 2+4,x 1x 2=−3k 2+4.(6分)OA →⊥OB →,即x 1x 2+y 1y 2=0.而y 1y 2=k 2x 1x 2+k(x 1+x 2)+1,于是x 1x 2+y 1y 2=−3k 2+4−3k 2k 2+4−2k 2k 2+4+1=−4k 2+1k 2+4.所以k =±12时,x 1x 2+y 1y 2=0,故OA →⊥OB →.(8分)当k =±12时,x 1+x 2=∓417,x 1x 2=−1217.|AB|→=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(1+k 2)(x 2−x 1)2,而(x 2﹣x 1)2=(x 2+x 1)2﹣4x 1x 2=42172+4×4×317=43×13172, 所以|AB|→=4√6517.(12分)【例2】.在直角坐标系xOy 中,椭圆1C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为12F F ，.2F 也是抛物线224C y x =：的焦点,点M 为1C 与2C 在第一象限的交点,且2||MF =53.(1)求1C 的方程;(2)平面上的点N 满足MN →=MF 1→+MF 2→,直线l MN P ,且与1C 交于A B ，两点,若OA →⋅OB →=0,求直线l 的方程.【解答】解:(1)由C 2:y 2=4x 知F 2(1,0).设M(x 1,y 1),M 在C 2上,因为|MF 2|=53,所以x 1+1=53,得x 1=23,y 1=2√63.M 在C 1上,且椭圆C 1的半焦距c=1, 于是{49a 2+83b 2=1b 2=a 2−1.消去b 2并整理得9a 4﹣37a 2+4=0,解得a=2(a =13不合题意,舍去).故椭圆C 1的方程为x 24+y 23=1.(2)由MF 1→+MF 2→=MN →知四边形MF 1NF 2是平行四边形,其中心为坐标原点O, 因为l ∥MN,所以l 与OM 的斜率相同,故l 的斜率k =2√6323=√6.设l 的方程为y =√6(x −m).由{3x 2+4y 2=12y =√6(x −m)消去y 并化简得9x 2﹣16mx +8m 2﹣4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),x 1+x 2=16m 9,x 1x 2=8m 2−49.因为OA →⊥OB →,所以x 1x 2+y 1y 2=0.x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+6(x 1﹣m)(x 2﹣m)=7x 1x 2﹣6m(x 1+x 2)+6m 2=7⋅8m 2−49−6m ⋅16m 9+6m 2=19(14m 2−28)=0.所以m =±√2.此时△=(16m)2﹣4×9(8m 2﹣4)>0,故所求直线l 的方程为y =√6x −2√3,或y =√6x +2√3.【例3】.已知双曲线C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√3,右准线方程为x =√33(I)求双曲线C 的方程;(2)设直线l 是圆222O x y +=：上动点0000)((0)P x y x y ≠，处的切线,l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，,证明AOB ∠的大小为定值.【解答】解:(1)由题意,{a 2c =√33ca =√3,解得a=1,c=√3,b 2=c 2﹣a 2=2,∴所求双曲C的方程x 2−y 22=1.(2)设P(m,n)(mn ≠0)在x 2+y 2=2上,圆在点P(m,n)处的切线方程为y ﹣n=﹣mn(x ﹣m),化简得mx +ny=2.{x 2−y 22=1mx +ny =2以及m 2+n 2=2得(3m 2﹣4)x 2﹣4mx +8﹣2m 2=0, ∵切L 与双曲线C 交于不同的两点A 、B,且0＜m 2＜2, 3m 2﹣4≠0,且△=16m 2﹣4(3m 2﹣4)(8﹣2m 2)>0, 设A 、B 两点的坐标分别(x 1,y 1),(x 2,y 2),x 1+x 2=4m3m 2−4,x 1x 2=8−2m 23m 2−4.∵cos∠AOB =OA →⋅OB→|OA →|⋅|OB →|,且OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+1y 02(2−x 0x 1)(2−x 0x 2) =x 1x 2+12−m 2[4﹣2m(x 1+x 2)+m 2x 1x 2]=8−2m 23m 2−4+12−m 2[4﹣8m 23m 2−4+m 2(8−2m 2)3m 2−4]=8−2m 23m 2−4﹣8−2m 23m 2−4=0.∴∠AOB 的大小为900.【例4】.设12F F ，分别是C:x 2a 2+y 2b2=10a b （＞＞）的左,右焦点,M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直,直线1MF 与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34,求C 的离心率;(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2,且15||||MN F N ,求a,b . 【解答】解:(1)∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直,∴M 的横坐标为c,当x=c 时,y=b 2a ,即M(c,b 2a),若直线MN 的斜率为34,即tan ∠MF 1F 2=b 2a2c =b 22ac =34,即b 2=32ac =a 2﹣c 2,即c 2+32ac ﹣a 2=0,则e 2+32e −1=0,即2e 2+3e ﹣2=0解得e=12或e=﹣2(舍去),即e=12.(2)由题意,原点O 是F 1F 2的中点,则直线MF 1与y 轴的交点D(0,2)是线段MF 1的中点,设M(c,y),(y >0),则c 2a 2+y 2b 2=1,即y 2=b4a2,解得y=b 2a ,∵OD 是△MF 1F 2的中位线,∴b 2a=4,即b 2=4a,由|MN |=5|F 1N |,则|MF 1|=4|F 1N |, 解得|DF 1|=2|F 1N |, 即DF 1→=2F 1N →设N(x 1,y 1),由题意知y 1＜0,则(﹣c,﹣2)=2(x 1+c,y 1).即{2(x 1+c)=−c 2y 1=−2,即{x 1=−32cy 1=−1代入椭圆方程得9c 24a 2+1b 2=1,将b 2=4a代入得9(a 2−4a)4a 2+14a=1,解得a=7,b=2√7.【例5】.如图,设椭圆的中心为原点O ,长轴在x 轴上,上顶点为A ,左、右焦点分别为12F F ，,线段12OF OF ，的中点分别为12B B ，,且12AB B V 是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过1B 作直线交椭圆于P Q ，两点,使22PB QB ,求2PB Q V 的面积.【解答】解:(1)设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),F 2(c,0)∵△AB 1B 2是的直角三角形,|AB 1|=AB 2|,∴∠B 1AB 2为直角,从而|OA |=|OB 2|,即b =c2∵c 2=a 2﹣b 2,∴a 2=5b 2,c 2=4b 2,∴e =c a =25√5在△AB 1B 2中,OA ⊥B 1B 2,∴S=12|B 1B 2||OA |=c2⋅b =b 2∵S=4,∴b 2=4,∴a 2=5b 2=20∴椭圆标准方程为x 220+y 24=1;(2)由(1)知B 1(﹣2,0),B 2(2,0),由题意,直线PQ 的倾斜角不为0,故可设直线PQ 的方程为x=my ﹣2代入椭圆方程,消元可得(m 2+5)y 2﹣4my ﹣16=0① 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),∴y 1+y 2=4m m 2+5,y 1y 2=−16m 2+5∵B 2P→=(x 1−2,y 1),B 2Q→=(x 2−2,y 2)∴B 2P →⋅B 2Q→=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=−16m 2−64m 2+5∵PB 2⊥QB 2,∴B 2P →⋅B 2Q→=0∴−16m 2−64m 2+5=0,∴m=±2当m=±2时,①可化为9y 2±8y ﹣16﹣0,∴|y 1﹣y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=89√10∴△PB 2Q 的面积S=12|B 1B 2||y 1﹣y 2|=12×4×89√10=169√10.【例5】.如图,抛物线E:24y x =的焦点为F ,准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上,以C 为圆心,|CO|为半径作圆,设圆C 与准线l 交于不同的两点M,N . (1)若点C 的纵坐标为2,求|MN|;(2)若2||||||•AF AM AN =,求圆C 的半径.【解答】解:(I)抛物线E:y 2=4x 的准线l:x=﹣1,由点C 的纵坐标为2,得C(1,2),故C 到准线的距离d=2,又|OC |=√5, ∴|MN |=2√|OC|2−d 2=2√5−4=2. (II)设C(y 024,y 0),则圆C 的方程为(x ﹣y 024)2+(y ﹣y 0)2=y 0416+y 02, 即x 2﹣y 022x +y 2﹣2y 0y=0,由x=﹣1得y 2﹣2y 0y +1+y 022=0,设M(﹣1,y 1),N(﹣1,y 2),则{ △=4y 02−4(1+y 022)=2y 02−4>0y 1y 2=y 022+1,由|AF |2=|AM |•|AN |,得|y 1y 2|=4,∴1+y 022=4,解得y 0=±√6,此时△>0∴圆心C 的坐标为(32,±√6),|OC |2=334,从而|OC |=√332. 即圆C 的半径为√332. 【例6】.如图,O 为坐标原点,双曲线1C ：x 2a 12−y 2b 12=11100a b （＞，＞）和椭圆C 2:y 2a 22+x 2b 22=1220a b （＞＞）均过点P(2√33,1),且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形. (1)求12C C 、的方程;(2)是否存在直线l ,使得l 与C 1交于A 、B 两点,与2C 只有一个公共点,且|OA →+OB →|=|AB →|？证明你的结论.【解答】解:(1)设椭圆C 2的焦距为2c 2,由题意可得2a 1=2,∴a 1=1,c 2=1.由于点P(2√33,1)在上,∴(2√33)2﹣1b 12=1,b 12=3,∴双曲线C 1的方程为:x 2﹣y 23=1.再由椭圆的定义可得 2a 2=√(2√33−0)2+(1−1)2+√(2√33−0)2+(1+1)2=2√3,∴a 2=√3,∴b 22=a 22﹣c 22=2,∴椭圆C 2的方程为:y23+x 22=1.(2)不存在满足条件的直线l.(1)若直线l 垂直于x 轴,则由题意可得直线l 得方程为x=√2,或 x=﹣√2.当x=√2时,可得 A(√2,√3)、B(√2,﹣√3),求得|OA →+OB →|=2√2,|AB →|=2√3, 显然,|OA →+OB →|≠|AB →|.同理,当x=﹣√2时,也有|OA →+OB →|≠|AB →|.(2)若直线l 不垂直于x 轴,设直线l 得方程为 y=kx +m,由{y =kx +mx 2−y 23=1可得(3﹣k 2)x 2﹣2mkx ﹣m 2﹣3=0,∴x 1+x 2=2km3−k 2,x 1•x 2=m2+3k 2−3.于是,y 1•y 2=k 2x 1•x 2+km(x 1+x 2)+m 2=3k 2−3m 2k 2−3.由 {y =kx +my 23+x 22=1可得 (2k 2+3)x 2+4kmx +2m 2﹣6=0,根据直线l 和C 1仅有一个交点,∴判别式△=16k 2m 2﹣8(2k 2+3)(m 2﹣3)=0,∴2k 2=m 2﹣3.∴OA →⋅OB →=x 1•x 2+y 1•y 2=−k 2−3k 2−3≠0,∴(OA →+OB →)2≠(OA →−OB →)2,∴|OA →+OB →|≠|AB →|.【例7】.双曲线2221y x b-=0b （＞）的左、右焦点分别为12F F ，,直线l 过2F 且与双曲线交于A B ，两点.(1)直线l 的倾斜角为π2,1F AB V 是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设b =√3,若l 的斜率存在,且(F 1A →+F 1B →)•AB →=0,求l 的斜率.【解答】解:(1)双曲线x 2﹣y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,a=1,c 2=1+b 2,直线l 过F 2且与双曲线交于A,B 两点,直线l 的倾斜角为π2,△F 1AB 是等边三角形, 可得:A(c,b 2),可得:√32⋅2b 2=2c ,3b 4=4(a 2+b 2), 即3b 4﹣4b 2﹣4=0,b >0,解得b 2=2.所求双曲线方程为:x 2﹣y 22=1, 其渐近线方程为y=±√2x.(2)b=√3,双曲线x 2﹣y 23=1,可得F 1(﹣2,0),F 2(2,0). 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线的斜率为:k=y 2−y 1x 2−x 1,直线l 的方程为:y=k(x ﹣2), 由题意可得:{y =kx −2kx 2−y 23=1,消去y 可得:(3﹣k 2)x 2+4k 2x ﹣4k 2﹣3=0, △=36(1+k 2)>0且3﹣k 2≠0,可得x 1+x 2=4k 2k 2−3, 则y 1+y 2=k(x 1+x 2﹣4)=k(4k 2k 2−3﹣4)=12kk 2−3. F 1A →=(x 1+2,y 1),F 1B →=(x 2+2,y 2),(F 1A →+F 1B →)•AB →=0可得:(x 1+x 2+4,y 1+y 2)•(x 1﹣x 2,y 1﹣y 2)=0, 可得x 1+x 2+4+(y 1+y 2)k=0,得4k 2k 2−3+4+12k k 2−3•k=0 可得:k 2=35,解得k=±√155. l 的斜率为:±√155.【例8】.设O 为坐标原点,动点M 在椭圆22:12x C y +=上,过M 作x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足NP →=√2NM →.(1)求点P 的轨迹方程;(2)设点Q 在直线x =−3上,且OP →•PQ →=1.证明:过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 【解答】解:(1)设M(x 0,y 0),由题意可得N(x 0,0), 设P(x,y),由点P 满足NP →=√2NM →.可得(x ﹣x 0,y)=√2(0,y 0),可得x ﹣x 0=0,y=√2y 0,即有x 0=x,y 0=y√2, 代入椭圆方程x 22+y 2=1,可得x 22+y 22=1,即有点P 的轨迹方程为圆x 2+y 2=2;(2)证明:设Q(﹣3,m),P(√2cos α,√2sin α),(0≤α＜2π), OP →•PQ →=1,可得(√2cos α,√2sin α)•(﹣3﹣√2cos α,m ﹣√2sin α)=1,即为﹣3√2cos α﹣2cos 2α+√2msin α﹣2sin 2α=1,当α=0时,上式不成立,则0＜α＜2π,解得m=3(1+√2cosα)√2sinα,即有Q(﹣3,3(1+√2cosα)√2sinα),椭圆x 22+y 2=1的左焦点F(﹣1,0), 由PF →•OQ →=(﹣1﹣√2cos α,﹣√2sin α)•(﹣3,3(1+√2cosα)√2sinα) =3+3√2cos α﹣3(1+√2cos α)=0.可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.另解:设Q(﹣3,t),P(m,n),由OP →•PQ →=1,可得(m,n)•(﹣3﹣m,t ﹣n)=﹣3m ﹣m 2+nt ﹣n 2=1,又P 在圆x 2+y 2=2上,可得m 2+n 2=2,即有nt=3+3m,又椭圆的左焦点F(﹣1,0), PF →•OQ →=(﹣1﹣m,﹣n)•(﹣3,t)=3+3m ﹣nt=3+3m ﹣3﹣3m=0,则PF →⊥OQ →,可得过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.【例9】.已知椭圆M:x 2a 2+y 2b 2=10a b （＞＞）的离心率为√63,焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A,B .(1)求椭圆M 的方程;(2)若k =1,求||AB 的最大值;(Ⅲ)设20P （-，）,直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C,D 和点Q(−74,14)共线,求k .【解答】解:(1)由题意可知:2c=2√2,则c=√2,椭圆的离心率e=c a =√63, 则a=√3,b 2=a 2﹣c 2=1,∴椭圆的标准方程:x 23+y 2=1;(2)设直线AB 的方程为:y=x +m,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{y =x +m x 23+y 2=1,整理得:4x 2+6mx +3m 2﹣3=0,△=(6m)2﹣4×4×3(m 2﹣1)>0, 整理得:m 2＜4,x 1+x 2=﹣3m2,x 1x 2=3(m 2−1)4,∴|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√62√4−m 2,∴当m=0时,|AB |取最大值,最大值为√6;(Ⅲ)设直线PA 的斜率k PA =y1x 1+2,直线PA 的方程为:y=y 1x 1+2(x +2),联立{y =y1x 1+2(x +2)x 23+y 2=1,消去y 整理得:(x 12+4x 1+4+3y 12)x 2+12y 12x +(12y 12﹣3x 12﹣12x 1﹣12)=0,由x 123+y 12=1代入上式得,整理得:(4x 1+7)x 2+(12﹣4x 12)x ﹣(7x 12+12x 1)=0, x 1•x C =﹣(7x 12+12x 1)4x 1+7,x C =﹣7x 1+124x 1+7,则y C =y1x 1+2(﹣7x 1+124x 1+7+2)=y 14x 1+7,则C(﹣7x 1+124x 1+7,y 14x 1+7),同理可得:D(﹣7x 2+124x 2+7,y 24x 2+7), 由Q(﹣74,14),则QC →=(14(4x 1+7),4y 1−4x 1−74(4x 1+7)),QD →=(14(4x 2+7),4y 2−4x 2−74(4x 2+7)),由QC →与QD →共线,则14(4x 1+7)×4y 2−4x 2−74(4x 2+7)=14(4x 2+7)×4y 1−4x 1−74(4x 1+7),整理得:y 2﹣x 2=y 1﹣x 1,则直线AB 的斜率k=y1−y 2x 1−x 2=1,∴k 的值为1.第三节:斜率、角度的条件翻译【例1】设抛物线22C y x ：,点20A （，）,20B （-，）,过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;(2)证明:∠ABM =∠ABN .【解答】解:(1)当l 与x 轴垂直时,x=2,代入抛物线解得y=±2,所以M(2,2)或M(2,﹣2), 直线BM 的方程:y=12x +1,或:y=﹣12x ﹣1. (2)证明:设直线l 的方程为l:x=ty +2,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),联立直线l 与抛物线方程得{y 2=2x x =ty +2,消x 得y 2﹣2ty ﹣4=0, 即y 1+y 2=2t,y 1y 2=﹣4, 则有k BN +k BM =y 1x 1+2+y 2x 2+2=(y 222×y 1+y 122×y 2)+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2)=(y 1+y 2)(y 1y 22+2)(x 1+2)(x 2+2)=0, 所以直线BN 与BM 的倾斜角互补,∴∠ABM=∠ABN.【例2】.设椭圆2212x C y +=：的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点M 的坐标为(2,0).(1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;(2)设O 为坐标原点,证明:∠OMA =∠OMB .【解答】解:(1)c=√2−1=1,∴F(1,0),∵l 与x 轴垂直,∴x=1,由{x =1x 22+y 2=1,解得{x =1y =√22或{x =1y =−√22, ∴A(1.√22),或(1,﹣√22), ∴直线AM 的方程为y=﹣√22x +√2,y=√22x ﹣√2,证明:(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,∴∠OMA=∠OMB,当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x﹣1),k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1＜√2,x2＜√2,直线MA,MB的斜率之和为k MA,k MB之和为k MA+k MB=y1x1−2+y2x2−2,由y1=kx1﹣k,y2=kx2﹣k得k MA+k MB=2kx1x2−3k(x1+x2)+4k (x1−2)(x2−2),将y=k(x﹣1)代入x22+y2=1可得(2k2+1)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,∴x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2−22k2+1,∴2kx1x2﹣3k(x1+x2)+4k=12k2+1(4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k)=0从而k MA+k MB=0,故MA,MB的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB,综上∠OMA=∠OMB.【例3】.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1),且离心率为√22.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP 与AQ斜率之和为2.【解答】解:(1)由题设知,c a =√22,b=1,结合a 2=b 2+c 2,解得a=√2,所以x 22+y 2=1;(2)证明:由题意设直线PQ 的方程为y=k(x ﹣1)+1(k ≠0),代入椭圆方程x 22+y 2=1,可得(1+2k 2)x 2﹣4k(k ﹣1)x +2k(k ﹣2)=0,由已知得(1,1)在椭圆外,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),x 1x 2≠0, 则x 1+x 2=4k(k−1)1+2k 2,x 1x 2=2k(k−2)1+2k 2,且△=16k 2(k ﹣1)2﹣8k(k ﹣2)(1+2k 2)>0,解得k >0或k ＜﹣2. 则有直线AP,AQ 的斜率之和为k AP +k AQ =y1+1x 1+y 2+1x 2 =kx 1+2−k x 1+kx 2+2−k x 2=2k +(2﹣k)(1x 1+1x 2)=2k +(2﹣k)•x 1+x 2x 1x 2 =2k +(2﹣k)•4k(k−1)2k(k−2)=2k ﹣2(k ﹣1)=2.即有直线AP 与AQ 斜率之和为2.。