同济第六《高等数学》教案版第章无穷级数

第

十一章 无穷级数

教学目的：

1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。

2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。

3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。

5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。

6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。

8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。

9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α

+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。

11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。

教学重点 ：

1、级数的基本性质及收敛的必要条件。

2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别；

3、交错级数的莱布尼茨判别法；

4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域；

5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α

+的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。

教学难点：

1、 比较判别法的极限形式；

2、 莱布尼茨判别法；

3、 任意项级数的绝对收敛与条件收敛；

4、 函数项级数的收敛域及和函数；

5、 泰勒级数；

6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。

§11. 1 常数项级数的概念和性质

一、常数项级数的概念

常数项级数: 给定一个数列

u 1, u 2, u 3, ⋅ ⋅ ⋅, u n , ⋅ ⋅ ⋅,

则由这数列构成的表达式

u 1 + u 2 + u 3 + ⋅ ⋅ ⋅+ u n + ⋅ ⋅ ⋅

叫做常数项)无穷级数, 简称常数项)级数, 记为∑∞=1

n n u , 即

3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞=n n n u u u u u ,

其中第n 项u n 叫做级数的一般项.

级数的部分和: 作级数∑∞=1

n n u 的前n 项和

n n i i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211

称为级数∑∞=1

n n u 的部分和.

级数敛散性定义: 如果级数∑∞=1n n u 的部分和数列}{n s 有极限s , 即s s n n =∞

→lim ,

则称无穷级数∑∞

=1n n u 收敛, 这时极限s 叫做这级数的和,

并写成

3211⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++==∑∞

=n n n u u u u u s ;

如果}{n s 没有极限, 则称无穷级数∑∞=1

n n u 发散.

余项: 当级数∑∞=1n n u 收敛时, 其部分和s n 是级数∑∞=1

n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差值

r n =s -s n =u n +1+u n +2+ ⋅ ⋅ ⋅

叫做级数∑∞

=1n n u 的余项.

例1 讨论等比级数(几何级数)

20⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞

=n n n aq aq aq a aq 的敛散性, 其中a ≠0, q 叫做级数的公比.

例1 讨论等比级数n n aq ∑∞

=0(a ≠0)的敛散性.

解 如果q ≠1, 则部分和

q

aq q a q aq a aq aq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 12. 当|q |<1时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0

收敛, 其和为q a -1. 当|q |>1时, 因为∞=∞→n n s lim , 所以此时级数n n aq ∑∞=0

发散. 如果|q |=1, 则当q =1时, s n =na →∞, 因此级数n n aq ∑∞

=0发散;

当q =-1时, 级数n n aq ∑∞

=0成为

a -a +a -a + ⋅ ⋅ ⋅,

时|q |=1时, 因为s n 随着n 为奇数或偶数而等于a 或零,

所以s n 的极限不存在, 从而这时级数n n aq ∑∞

=0

也发散.

综上所述, 如果|q |<1, 则级数n n aq ∑∞=0收敛, 其和为q a -1; 如果|q |≥1, 则级数n n aq ∑∞=0发散. 仅当|q |<1时, 几何级数

n n aq ∑∞

=0a ≠0)收敛, 其和为q a -1. 例2 证明级数

1+2+3+⋅ ⋅ ⋅+n +⋅ ⋅ ⋅

是发散的.

证 此级数的部分和为 2)1( 321+=

+⋅⋅⋅+++=n n n s n . 显然, ∞=∞→n n s lim , 因此所给级数是发散的.

例3 判别无穷级数

)

1(1 431321211⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅n n 的收敛性.

解 由于

111)1(1+-=+=

n n n n u n , 因此

)

1(1 431321211++⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅=n n s n 1

11)111( )3121()21

1(+-=+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n