平面向量投影的运用

巧 用 投 影 出 奇 制 胜

————向量数量积几何意义的运用

江西省崇义中学 胡述洪 (341300)

向量数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的模与b 在a 方向上投影|b |θcos 的乘积。向量“投影”的概念：|b |θcos 叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影是一个数量，不是向量：⑴当θ为锐角时投影为正值；⑵当θ为钝角时投影为负值；⑶当θ为直角时投影为0；⑷当θ = 0︒时投影为 |b |；⑸当θ= 180︒时投影为 -|b |。

向量的“投影”是高中数学学习中容易忽视的一个内容，多数同学只是在空间向量求距离时，证明点到直线的距离公式才“一睹芳容”，后面又消失得无影无踪。实际上，向量“投影”具有独特的魅力，下面我们通过例题来体会向量“投影”的神奇。

例一．ABC ∆ 中，4==BC AB ，030=∠ABC ，AD 是边BC 上的高，求AD •AC 。 【分析】本题若用普通方法求出AD 、AC

的模及夹角，再求数量积，运算量较大，

也容易出错。如果向量数量积的几何意义，

巧用向量“投影”就能快速求解。 解：易求AD =2， 由向量数量积的几何意义知：

AD •AC 等于AC 在AD 上的投影与AD 的乘积。

BC AD ⊥ ∴ AC 在AD 上的投影就是AD ∴ AD •AC =AD 2= 4

【小结】投影的形式有两种，注意合理选择。本题如选择AD 在AC 上的投影进行计算则显然复杂。

D B C A

例二．等腰三角形ABC 中，2π=A ，2==AC AB ，M 是BC 的中点，P 点在ABC ∆的内部或边界上运动，求BP •AM 的范围。

【分析】本题的常规方法是建立平面直角坐标系，

设P ()y x ,，建立线性约束条件及线性目标函数，利用

线性规划的知识求解。思路跳跃性较大，不易掌握。 下面用向量“投影”巧妙求解。

解： AM 是确定的， =AM 2

∴ 只需求出BP 在AM 上的投影的范围。

由向量“投影”的意义知：

当P 点与M 点重合时， BP ⊥AM ， （BP •AM ）max = 0

当P 点与A 点重合时，BP 在AM 上的投影就是MA ，

注意到此时BP 与AM 的夹角为钝角,（BP •AM ）min = 222-=⨯- 综上， BP •AM ∈ []0,2-

【小结】运用投影解题，要注意：

1、 数形结合。要结合图形寻找向量之间的关系，确定向量的投影。

2、 投影有正负，要根据向量的夹角正确选定符号，避免出错。 例三．平行四边形AB CD 中,AP ⊥BD ,垂足为P 且AP =3, 则AP •AC =__ (2012年湖南卷（文科）15)

【分析】本题若试图通过用数量积的定义直

接求解是徒劳的，因为AC 的模及〈AP ，AC 〉

都求不出。注意到AP ⊥BD ，所以可以考虑将AC 分解成AD AB +，再转化成AB 、AD 在AP 上的投影进行计算。

M C B A

P

D C B A P

解： AC=AD

AB+)=AP•AB+AP•AD

AB+∴AP•AC=AP•(AD

AP⊥BD∴AB在AP上的投影就是AP

∴AP•AB=2AP=9. 同理AP•AD=2AP=9

故AP•AC = 18

【小结】当题目条件中出现垂直的直线时，我们可以考虑通过转化，利用投影解题，往往能起到事半功倍的效果。在空间向量证明点到直线的距离公式，也是用到这种方法。

通过以上例题，我们加深了对向量“投影”的理解，在涉及向量数量积的运算时，只要充分理解向量数量积的几何意义，巧妙运用向量“投影”，就能出奇制胜，快速解题。