中学数学难题向量巧解

利用向量巧解中学数学题摘要：向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一，利用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。

本文首先回顾了向量的一些基本性质，接着分别从空间几何，平面解析几何、不等式、最值问题，以及其他一些数学问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用，并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题.关键字：向量；向量法应用；数学题；解题方法Abstract: This paper looks back some basic properties of vector at first, and then summarizing and inducing vector’s application in a series of mathematics problems in every aspect(Space geometry, Flat surface analytic geometry, Maximum and Minimum, Inequality and something other mathematics problems), and illustrating them with examples,it will be faster to work out some different mathematics problems by using vector.Keywords: Vector；Vector’s application；Mathematical problem ；Soluting method目录1.前言随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。

能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。

2.向量基本性质回顾1.向量的概念既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。

2.向量的几何表示具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。

（AB是印刷体，书写体是上面加个→）有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。

有向线段包含3个因素：起点、方向和长度。

长度等于0的向量叫做零向量，记作0。

零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。

长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

3.相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，记作a//b，零向量与任意向量平行，即0//a。

任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。

4.向量的运算4.1加法运算AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。

（首尾相连，指向终点）已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。

|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

4.2减法运算与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)4.3数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ> 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa= 0。

设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a= λ(μa)（2）(λ + μ)a= λa+ μa（3）λ(a±b) = λa± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

5.向量的数量积已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，a，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上记作b·（b在a方向上）的投影。

零向量与任意向量的数量积为0。

a等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影a的几何意义：数量积b·b·|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

向量的数量积的性质(1) a ·a =|a |2≥0 (2) b ·a =a ·b (3)()b ·a k =()b ·a k =()b k a(4)()c b ·+a = b ·a +b ·a (5) b ·a =0⇔a ⊥b 6.平面向量的基本定理如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ、μ，使a = λ1e ＋μ2e 。

7.空间向量的基本性质 7.1共线向量定理对空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a =λb7.2共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使p =x a +y b 7.3向量的数量积b ·a =cos<a ,b >7.4数量积的性质a ⊥b ⇔b ·a =0 |a |2=a a ·3.向量巧解空间几何中的问题3.1向量巧解角的问题3.1.1求异面直线a 与b 所成角θ求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解，向量法在教材中的引入，使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量解法。

应掌握如下公式：向量AB 和CD 所成的角记为<AB ,CD >，若AB =（x 1,y 1,z 1）,CD =(x 2,y 2,z 2),则cos<AB ，CD >=CDAB CD AB ··=222222212121212121····z y x z y x z z y y x x ++++++=a ，所以直线AB 和CD 所成的角为arccos a .特别的，AB ⊥CD ⇔AB ·CD =0⇔212121···z z y y x x ++=0。

例1：如图1,三棱柱 AOB-A 101B 1中，平面 OBB 1O 1⊥平面 AOB,∠01OB ＝60°，∠AOB=90°且 OB=OO 1=2，OA=3,求：(1)异面直线 A 1B 与AO 1所成角的大小；(2)略。

分析 1：由条件可得 OA ⊥0B ，OA ⊥010，再结合题干可知共点于 0的三条线段 OA 、0B 、001的长度已知,且两两夹角已知，故可选择以｛OA ,OB ,1OO }为基底来解决异面直线AB 与A0所成角的大小，关键是把所求异面直线上的两个方向向量B A 1、1AO 都表示成基向量 的形式。

图3.1.1解:∵平面OBB 1O 1⊥平面A0B ，0A ⊂平面A0B ，平面OBB 1O 1∩平面 A0B ＝OB ，且 OA ⊥0B ，∴OA ⊥平面OBB 1O 1∴OA ⊥001，即∠AOB ＝90°，∠AOO 1＝90°，因此,选择一组基向量｛OA ,OB ,1OO }，则1AO =1OO -OA ，B A 1=OB -OA -1OO ，∴|1AO |=OA OO OA OO ⋅-+12212=︒⨯⨯-+90cos 32234=7， 同理|B A 1|=112122·2·2·2OO OA OA OB OB OO OO OA OB +--++=7,又190cos 23390cos 23490cos 3260c 22 (1)2211111=︒⨯++︒⨯--︒⨯-︒⨯=++---=os OO OA OA OB OA OO OA OO OB OO B A AO设异面直线A 1B 与AO 1所成角为θ，则71··,cos cos 111111==〉〈=BA AOB A AO B A AO θ， 所以θ=arccos 71.3.1.2求线面所成角θ用向量求线面所成角的公式如下：如图2，若n 为平面α的一条法向量，直线AB 与平面α所成角为θ，则sin θ=nAB n AB ··.图3.1.2.1例2：如图3，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，（1）求BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值；（2）求二面角B-B 1E-D 的余弦值。

图3.1.2.2解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz ，则设正方体的棱长为2，则（1）因为B （2,2,0），B 1(2,2,2),E （0,2,1）,所以BD =（-2，-2，0），1BB =(0,0,2),BE =（-2，0，1），设平面B 1BD 的一个法向量是n =（x,y,z ）,则由n ⊥BD ,n ⊥1BB 得⎩⎨⎧==--02022z y x ，所以⎩⎨⎧=-=0z y x ，令y=1，则有n =（-1，1，0），所以cos<n ,BE >=BEBE ·n ·n =510， 所以sin<n ,BE >=515， 即BE 与平面B 1BD 所成角的余弦值为515. （2）略.3.1.3求二面角的大小用向量法求二面角的大小，一般先找出两平面的法向量，则两个法向量所成的角或它的补角即为二面角的平面角。

公式如下：如图，若平面α、β的法向量分别为n 、m ,则cos<n ，m >=mn m ··n =a ，结合图形判断，若二面角θ为锐角，则θ=arccos a ；若θ为钝角，则θ=π- arccos a .图4例3：上题第（2）问解：令m 、l 分别为平面B 1DE 与平面B 1BE 的法向量，则易知m =（1，1，-2），l =（-1，0，0），所以cos<m ，l >=66··-=lm l m ， 所以二面角B-B 1E-D 的余弦值66.3.2向量巧解距离问题3.2.1求点到平面的距离所谓法向量就是和平面垂直的向量，通过它和平面上任意两不共线向量的乘积为0，可确定法向量．设 P 为平面a 外一点，则点P 到面a 的斜线段向量在平面法向量方向的射影，即为点P 到平面a 的距离．而线到面的距离可通过线上取一点，转化为点面距求之．其公式为0·n PA PO =,其中nn n =0为单位法向量，PO ⊥面α于点O ，A ∈α，PA 为面α的斜线段向量．注意：只有单位法向量才不会改变摄影的长度。