中学数学难题向量巧解

利用向量巧解中学数学题

摘要：向量是沟通代数、三角、几何等内容的桥梁之一，利用向量解决一些数学问题，将大大简化解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。本文首先回顾了向量的一些基本性质，接着分别从空间几何，平面解析几何、不等式、最值问题，以及其他一些数学问题总结归纳向量在解决一系列数学问题中的应用，并举例说明使用向量更加快捷直观地解决一些较复杂的数学问题.

关键字：向量；向量法应用；数学题；解题方法

Abstract: This paper looks back some basic properties of vector at first, and then summarizing and inducing vector’s application in a series of mathematics problems in every aspect(Space geometry, Flat surface analytic geometry, Maximum and Minimum, Inequality and something other mathematics problems), and illustrating them with examples,it will be faster to work out some different mathematics problems by using vector.

Keywords: Vector；Vector’s application；Mathematical problem ；Soluting method

目录

1.前言

随着新课改逐步深入，向量及其运算成为高中数学新增内容，它融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，是中学数学知识的一个重要交汇点，常与函数、复数、导数、平面几何、立体几何和平面解析几何等方面内容交叉渗透，使数学问题情境新颖别致，自然流畅，令人赏心悦目。能够灵活和综合应用向量法思维解决数学中的问题，对于我们拓展解题思路、提高解决效率、掌握解题技巧等方面起到了很好的直观帮助。

2.向量基本性质回顾

1.向量的概念

既有方向又有大小的量叫做向量（物理学中叫做矢量），只有大小没有方向的量叫做数量（物理学中叫做标量）。

2.向量的几何表示

具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作AB。（AB是印刷体，书写体是上面加个→）

有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|。

有向线段包含3个因素：起点、方向和长度。

长度等于0的向量叫做零向量，记作0。零向量的方向是任意的；且零向量与任何向量都垂直。长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。

3.相等向量与共线向量

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，记作

a//b，零向量与任意向量平行，即0//a。

任意一组平行向量都可移到同一直线上，因此平行向量也叫共线向量。4.向量的运算

4.1加法运算

AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。（首尾相连，

指向终点）

已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行

四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法

则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：

0＋a＝a＋0＝a。

|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

4.2减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向

量的相反向量仍然是零向量。

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0

（2）a－b＝a＋(－b)

4.3数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，

|λa|＝|λ||a|，当λ> 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ< 0时，λa

的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa= 0。

设λ、μ是实数，那么：

（1）(λμ)a= λ(μa)

（2）(λ + μ)a= λa+ μa

（3）λ(a±b) = λa± λb

（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

5.向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，

a，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上记作b·

（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。

a等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影a的几何意义：数量积b·

b·

|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 向量的数量积的性质

(1) a ·a =|a |2≥0 (2) b ·

a =a ·

b (3)()b ·a k =()b ·a k =()

b k a

(4)()c b ·+a = b ·

a +

b ·a (5) b ·

a =0⇔a ⊥

b 6.平面向量的基本定理

如果1e 和2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量

a ，有且只有一对实数λ、μ，使a = λ1e ＋μ2e 。

7.空间向量的基本性质 7.1共线向量定理

对空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a =λb

7.2共面向量定理

如果两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使p =x a +y b 7.3向量的数量积

b ·a =cos

7.4数量积的性质

a ⊥

b ⇔b ·

a =0 |a |

2

=a a ·

3.向量巧解空间几何中的问题

3.1向量巧解角的问题

3.1.1求异面直线a 与b 所成角θ

求异面直线的夹角的传统解法是把空间角转化为平面角并用余弦定理来解，向量法在教材中的引入，使得在以往传统几何法的基础上又多了以向量为工具的向量