第四章电路定理
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解： 1、如图断开电路；
2、求开路电压
20V +
+ 12V -
Uabo= - 20V U a b o =12+3 = 1 5 V
3、求R0
R 0 =6 Ω
4、恢复原电路
a
R0 + Uabo b I
U abo 9 I= R0 10
例.
6
求U0 。 – 6I + a +
解
(1) 求开路电压Uoc
4V
2Ω
I
Uab=4V Req=2Ω
I=1A
例：
I
求电流 I 。 解： 1、如图断开电路 2、求开路电压 Uabo=4+4+1=9V
+ 4V -
- 4V +
a
b
3、求R0
电源置0
R0
R0=2+2.4 =4.4Ω
4、恢复原电路
I
U abo I =1.8A R0 0.6
I
例: 求电流 I 。
二、说明 1、叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性 电路； 2、叠加时，电路的联接以及电路所有电阻和受 控源都不予更动；
3、叠加时要注意电流和电压的参考方向与电源分别 作用时的方向关系(代数和)； 4、不能用叠加定理来计算功率，因为功率不是电流 或电压的一次函数。以电阻为例：
p i R (i1 i2 ) R i1 R i2 R
i i
i
( 2) ( 2) 1 1 ( 2) 2
图a
i1
( 2)
i2
+
i2
( 2)
图b
图c
i
(1) 1
i1
i2
(1)
( 2)
i2
( 2)
图b 在图b中 在图c中
图c
(1)
i1 i2
( 2)
(1)
10 1A 64
4 i1 4 1.6A 64 6 ( 2) i2 4 2.4A 64
诺顿定理也称为等Leabharlann Baidu电流源定理
应用电压源和电阻的串联组合与电流源和电 导的并联组合之间的等效变换，可推得诺 顿定理。
i + Ns u i + u -
i Req + -
isc
+
Geq u -
uoc
例2
求电压U。
解 本题用诺顿定理求 比较方便。因a、b 处的短路电流比开 路电压容易求。
(1) 求短路电流Isc
来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网
络，可等效变换为较简单的含源支路 ( 电压源 与电阻串联或电流源与电阻并联支路 ), 使分 析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给 出了等效含源支路及其计算方法。
一、戴维宁定理
内容
一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口， 对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串 联组合等效置换，此电压源的电压等于一端口 的开路电压，电阻等于一端口的全部独立电源 置零后的输入电阻。
( 2)
9.6V
u3 u3 u3
(1)
( 2)
29.2V
方法1：考虑各个电阻 和总电流的分流关系
15A + 30V+ 11V 11A + 8V-
4A 3A + 2V + 1V 1A
+ 3V -
方法2：倒退法。先假设末端电阻两端的电压为1V
给定的电压源电压为82V， 这相当于将激励增加了82/41倍（即K=2）， 故各支元件的电压和电流也同样增加了2倍。 本例计算是先从梯形电路最远离电源的一端算起， 倒退到激励处，故把这种计算方法叫做“倒退法”。 此方法利用了线性电路的一个特性－－－齐性定理。
U0 =9 (2/3)I0=6I0
Req = U0 /I0=6
a + U0 b Req Uoc + –
独立源置零 (3) 等效电路
3 U0 9 3V 6 3
6
9V
3
•请同学们自己复习输入电阻Rin和等效电阻的求法.
二、诺顿定理
一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口， 对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组 合等效变换，电流源的电流等于该一端口的短路电 流，电导等于把该一端口全部独立电源置零后的输 入电导。
u 负载 –
负载的功率:
uoc 2 P RL ( ) Req RL
P
uoc 2 P RL ( ) Req RL
对P求导：
2 P ' uoc
P max
0
RL
( Req RL ) 2 2 RL ( Req RL ) ( Req RL )
4
0
2 oc
RL Req
Pmax
u 4 Req
•最大功率匹配条件
RL Req
最大功率 匹配条件
Pmax
u 4 Req
2 oc
匹配:RL=Req时,P达到最大值， 称负载电阻与一端口的输入电阻匹配
扩音机为例
Ri
ui
信号源的内阻Ri为 1kΩ， 扬声器上不可能得到最大功率。
变 压 器
R=8Ω
为了使阻抗匹配，在信号源和扬声器之间连上一个变
Uoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V
+
9V – 3
I
+ 3 Uoc U0 – –
b
a Req Uoc + – b + (2) 求等效电阻Req 方法：加压求流
3
U0
-
6 3
I0 6 I – + I
a + U – b
U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0
2 2
2 2
注意:应用叠加定理分析电路时, •若电压源不作用,则 把该电压源的电压置零， 即在该电压源处用短路替代； •若电流源不作用,则 把该电流源的电流置零， 即在该电流源处用开路替代。
例
i1 i2
i i i1 i 1
i2 i
i
=
(1) 1 (1)
(1) (1) 1 1 (1) 2
Isc
U ( 3 1) 4 16V
a ＋ 1A U 4 b －
4.4 最大功率传输定理
一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端 口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从 电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工 程意义的。
i A
i + Req 应用戴维 + 宁定理 Uoc – + u – RL
( 2)
( 2)
u3
所以
10i1
( 2)
4i2
( 2)
25.6V
u3 u3 u3
(1)
( 2)
19.6V
i1
上例中，增 加一个电压 源，求u3
10i1
u3
(a)
i
(1) 1
10i
(1) 1
i1
+
( 2)
10i
( 2) 1
+
=
i2
( 2)
u3
(b)
(1)
i2
( 2)
u3
(c)
注
(1)
最大功率传输定理用于一端口电路给定, 负载电阻可调的情况;
一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于 端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大 功率时,电路的传输效率并不一定是50%; 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 或诺顿定理最方便.
(2)
(3)
齐性定理
线性电路中，当所有激励（电压源和电流源） 都增大或缩小K倍， K为实常数， 响应（电压和电流）也将同样增大或缩小K倍。
这里所谓的激励是指独立电源；
必须全部激励同时增大或缩小K倍， 否则将导致错误的结果。 用齐性定理分析梯形电路特别有效。
§4.2 替代定理
替代定理:给定任意一个线性电阻电路，其中第k条
u3
(c)
( 2)
(b)
i
(1) 1
10i
(1) 1
i1
( 2)
10i1
( 2)
i2
(1)
u3
(1)
i2
( 2)
u3
(c)
( 2)
(b)
在图b中 在图c中
10 i1 i2 1A 64 (1) (1) (1) u3 10i1 4i2 6V
(1) (1)
4 i1 4 1.6A 64 6 ( 2) i2 4 2.4A 64
压器。 变压器还有变换负载阻抗的作用，以实现匹配，采用 不同的变比，把负载变成所需要的、比较合适的数值。
例
含源一端口外接可调电阻R， 当R等于多少时，它可以从电路 中获得最大功率？ 求此最大功率。 一端口的戴维宁等效电路可作前述方法求得： Uoc=4V Req=20kΩ
结点电压法求开路电压
10 3 Uoc 5 =4V 1 1 5 20
I sc
6 3 + 24V – 6 3
6 6 a + 1A I Req U sc – b
24 1 24 3 3A 6 // 6 3 2 3 // 6 6 3 6
(2) 求等效电阻Req (3) 诺顿等效电路:
Req 6 // 3 6 // 3 // 6 6 4
第四章 电路定理
§4.1 §4.2 §4.3 §4.5 叠加定理** 替代定理 戴维宁定理** 互易定理
§4.1 叠加定理
一、内容
在线性电阻电路中，任一支路电流（或支路电 压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该 支路产生的电流（或电压）之叠加。
i i
(1)
i ＋
( 2)
u u (1) u ( 2)＋
( 2)
i
(1) 1
10i
(1) 1
i1
( 2)
10i
( 2) 1
+
i2
( 2)
u3
(b)
(1)
i2
( 2)
u3
(c)
( 2)
在图b中
在图c中
( 2)
前面已知 u3 19.6V
所以
(1)
6 i1 i2 0.6A 64 ( 2) ( 2) ( 2) u3 10i1 4i2 6
i1 i2
所以
i1 i
(1) 1 (1)
i
( 2) 1 ( 2)
1 1.6 0.6A 1 2.4 3.4A
i2 i2 i2
i1
求 u3 例：
10i1
受控电压源
i2
(a)
u3
i
=
(1) 1
10i
(1) 1
i1
+
( 2)
10i1
( 2)
i2
(1)
u3
(1)
i2
( 2)
戴维宁定理也称为等效电压源定理
1
Ns
1′
外 电 路
Req + uoc -
1
1′
外 电 路
1
Ns
1′
+ uoc -
1
No
Req
1′
注意: uoc 的方向
例:
1A
I
利用戴维宁定理求电流I
a
电压源置零,用短路替代 电流源置零,用开路替代
变成无源
b
Req + 1V a
Req=2Ω b Uab=4V
I 1A
支路的电压uk和电流ik已知，那么这条支路就可以 用一个具有电压等于uk的独立电压源，或者用一个 具有电流等于ik的独立电流源来替代，替代后电路 中全部电压和电流均将保持原值。
ik Rk ik
uk
usk
uk
us is
u s uk
is ik
替代定理既适用于线性电路也适用于非线性电路.
另外,支路K也可用一个电阻来代替,替代电阻为Rs:
R u /i
s k
k
ik Rk
uk
Rs
usk
例：
i1 i2
i3
u3
u3
20 4 + + 4 6
1 1 1 6 8 4
=8V
i3 1A
i1 i2
i3
u3 8V
u3
i3 1A
§4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中，常常碰到只需研究某一支路 的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路
等效电阻
Req
Req=16+20//5 =20kΩ
i
电阻R的改变不会影响原一端口的戴维宁等效电路， R吸收的功率为 U2 R
p i2R
oc
( Req R) 2
R变化时，最大功率发生在dp/dR=0的条件下。 这时有R=Req 。 本题中， Req=20kΩ，故R=20kΩ时才能获得最大功率， 2 uoc pmax 0.2mW 4Req
2、求开路电压
20V +
+ 12V -
Uabo= - 20V U a b o =12+3 = 1 5 V
3、求R0
R 0 =6 Ω
4、恢复原电路
a
R0 + Uabo b I
U abo 9 I= R0 10
例.
6
求U0 。 – 6I + a +
解
(1) 求开路电压Uoc
4V
2Ω
I
Uab=4V Req=2Ω
I=1A
例：
I
求电流 I 。 解： 1、如图断开电路 2、求开路电压 Uabo=4+4+1=9V
+ 4V -
- 4V +
a
b
3、求R0
电源置0
R0
R0=2+2.4 =4.4Ω
4、恢复原电路
I
U abo I =1.8A R0 0.6
I
例: 求电流 I 。
二、说明 1、叠加定理适用于线性电路，不适用于非线性 电路； 2、叠加时，电路的联接以及电路所有电阻和受 控源都不予更动；
3、叠加时要注意电流和电压的参考方向与电源分别 作用时的方向关系(代数和)； 4、不能用叠加定理来计算功率，因为功率不是电流 或电压的一次函数。以电阻为例：
p i R (i1 i2 ) R i1 R i2 R
i i
i
( 2) ( 2) 1 1 ( 2) 2
图a
i1
( 2)
i2
+
i2
( 2)
图b
图c
i
(1) 1
i1
i2
(1)
( 2)
i2
( 2)
图b 在图b中 在图c中
图c
(1)
i1 i2
( 2)
(1)
10 1A 64
4 i1 4 1.6A 64 6 ( 2) i2 4 2.4A 64
诺顿定理也称为等Leabharlann Baidu电流源定理
应用电压源和电阻的串联组合与电流源和电 导的并联组合之间的等效变换，可推得诺 顿定理。
i + Ns u i + u -
i Req + -
isc
+
Geq u -
uoc
例2
求电压U。
解 本题用诺顿定理求 比较方便。因a、b 处的短路电流比开 路电压容易求。
(1) 求短路电流Isc
来说，电路的其余部分就成为一个有源二端网
络，可等效变换为较简单的含源支路 ( 电压源 与电阻串联或电流源与电阻并联支路 ), 使分 析和计算简化。戴维宁定理和诺顿定理正是给 出了等效含源支路及其计算方法。
一、戴维宁定理
内容
一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口， 对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串 联组合等效置换，此电压源的电压等于一端口 的开路电压，电阻等于一端口的全部独立电源 置零后的输入电阻。
( 2)
9.6V
u3 u3 u3
(1)
( 2)
29.2V
方法1：考虑各个电阻 和总电流的分流关系
15A + 30V+ 11V 11A + 8V-
4A 3A + 2V + 1V 1A
+ 3V -
方法2：倒退法。先假设末端电阻两端的电压为1V
给定的电压源电压为82V， 这相当于将激励增加了82/41倍（即K=2）， 故各支元件的电压和电流也同样增加了2倍。 本例计算是先从梯形电路最远离电源的一端算起， 倒退到激励处，故把这种计算方法叫做“倒退法”。 此方法利用了线性电路的一个特性－－－齐性定理。
U0 =9 (2/3)I0=6I0
Req = U0 /I0=6
a + U0 b Req Uoc + –
独立源置零 (3) 等效电路
3 U0 9 3V 6 3
6
9V
3
•请同学们自己复习输入电阻Rin和等效电阻的求法.
二、诺顿定理
一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口， 对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组 合等效变换，电流源的电流等于该一端口的短路电 流，电导等于把该一端口全部独立电源置零后的输 入电导。
u 负载 –
负载的功率:
uoc 2 P RL ( ) Req RL
P
uoc 2 P RL ( ) Req RL
对P求导：
2 P ' uoc
P max
0
RL
( Req RL ) 2 2 RL ( Req RL ) ( Req RL )
4
0
2 oc
RL Req
Pmax
u 4 Req
•最大功率匹配条件
RL Req
最大功率 匹配条件
Pmax
u 4 Req
2 oc
匹配:RL=Req时,P达到最大值， 称负载电阻与一端口的输入电阻匹配
扩音机为例
Ri
ui
信号源的内阻Ri为 1kΩ， 扬声器上不可能得到最大功率。
变 压 器
R=8Ω
为了使阻抗匹配，在信号源和扬声器之间连上一个变
Uoc=6I+3I I=9/9=1A Uoc=9V
+
9V – 3
I
+ 3 Uoc U0 – –
b
a Req Uoc + – b + (2) 求等效电阻Req 方法：加压求流
3
U0
-
6 3
I0 6 I – + I
a + U – b
U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0
2 2
2 2
注意:应用叠加定理分析电路时, •若电压源不作用,则 把该电压源的电压置零， 即在该电压源处用短路替代； •若电流源不作用,则 把该电流源的电流置零， 即在该电流源处用开路替代。
例
i1 i2
i i i1 i 1
i2 i
i
=
(1) 1 (1)
(1) (1) 1 1 (1) 2
Isc
U ( 3 1) 4 16V
a ＋ 1A U 4 b －
4.4 最大功率传输定理
一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时，一端 口电路传输给负载的功率就不同，讨论负载为何值时能从 电路获取最大功率，及最大功率的值是多少的问题是有工 程意义的。
i A
i + Req 应用戴维 + 宁定理 Uoc – + u – RL
( 2)
( 2)
u3
所以
10i1
( 2)
4i2
( 2)
25.6V
u3 u3 u3
(1)
( 2)
19.6V
i1
上例中，增 加一个电压 源，求u3
10i1
u3
(a)
i
(1) 1
10i
(1) 1
i1
+
( 2)
10i
( 2) 1
+
=
i2
( 2)
u3
(b)
(1)
i2
( 2)
u3
(c)
注
(1)
最大功率传输定理用于一端口电路给定, 负载电阻可调的情况;
一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于 端口内部消耗的功率,因此当负载获取最大 功率时,电路的传输效率并不一定是50%; 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 或诺顿定理最方便.
(2)
(3)
齐性定理
线性电路中，当所有激励（电压源和电流源） 都增大或缩小K倍， K为实常数， 响应（电压和电流）也将同样增大或缩小K倍。
这里所谓的激励是指独立电源；
必须全部激励同时增大或缩小K倍， 否则将导致错误的结果。 用齐性定理分析梯形电路特别有效。
§4.2 替代定理
替代定理:给定任意一个线性电阻电路，其中第k条
u3
(c)
( 2)
(b)
i
(1) 1
10i
(1) 1
i1
( 2)
10i1
( 2)
i2
(1)
u3
(1)
i2
( 2)
u3
(c)
( 2)
(b)
在图b中 在图c中
10 i1 i2 1A 64 (1) (1) (1) u3 10i1 4i2 6V
(1) (1)
4 i1 4 1.6A 64 6 ( 2) i2 4 2.4A 64
压器。 变压器还有变换负载阻抗的作用，以实现匹配，采用 不同的变比，把负载变成所需要的、比较合适的数值。
例
含源一端口外接可调电阻R， 当R等于多少时，它可以从电路 中获得最大功率？ 求此最大功率。 一端口的戴维宁等效电路可作前述方法求得： Uoc=4V Req=20kΩ
结点电压法求开路电压
10 3 Uoc 5 =4V 1 1 5 20
I sc
6 3 + 24V – 6 3
6 6 a + 1A I Req U sc – b
24 1 24 3 3A 6 // 6 3 2 3 // 6 6 3 6
(2) 求等效电阻Req (3) 诺顿等效电路:
Req 6 // 3 6 // 3 // 6 6 4
第四章 电路定理
§4.1 §4.2 §4.3 §4.5 叠加定理** 替代定理 戴维宁定理** 互易定理
§4.1 叠加定理
一、内容
在线性电阻电路中，任一支路电流（或支路电 压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该 支路产生的电流（或电压）之叠加。
i i
(1)
i ＋
( 2)
u u (1) u ( 2)＋
( 2)
i
(1) 1
10i
(1) 1
i1
( 2)
10i
( 2) 1
+
i2
( 2)
u3
(b)
(1)
i2
( 2)
u3
(c)
( 2)
在图b中
在图c中
( 2)
前面已知 u3 19.6V
所以
(1)
6 i1 i2 0.6A 64 ( 2) ( 2) ( 2) u3 10i1 4i2 6
i1 i2
所以
i1 i
(1) 1 (1)
i
( 2) 1 ( 2)
1 1.6 0.6A 1 2.4 3.4A
i2 i2 i2
i1
求 u3 例：
10i1
受控电压源
i2
(a)
u3
i
=
(1) 1
10i
(1) 1
i1
+
( 2)
10i1
( 2)
i2
(1)
u3
(1)
i2
( 2)
戴维宁定理也称为等效电压源定理
1
Ns
1′
外 电 路
Req + uoc -
1
1′
外 电 路
1
Ns
1′
+ uoc -
1
No
Req
1′
注意: uoc 的方向
例:
1A
I
利用戴维宁定理求电流I
a
电压源置零,用短路替代 电流源置零,用开路替代
变成无源
b
Req + 1V a
Req=2Ω b Uab=4V
I 1A
支路的电压uk和电流ik已知，那么这条支路就可以 用一个具有电压等于uk的独立电压源，或者用一个 具有电流等于ik的独立电流源来替代，替代后电路 中全部电压和电流均将保持原值。
ik Rk ik
uk
usk
uk
us is
u s uk
is ik
替代定理既适用于线性电路也适用于非线性电路.
另外,支路K也可用一个电阻来代替,替代电阻为Rs:
R u /i
s k
k
ik Rk
uk
Rs
usk
例：
i1 i2
i3
u3
u3
20 4 + + 4 6
1 1 1 6 8 4
=8V
i3 1A
i1 i2
i3
u3 8V
u3
i3 1A
§4.3 戴维宁定理和诺顿定理
(Thevenin-Norton Theorem)
工程实际中，常常碰到只需研究某一支路 的电压、电流或功率的问题。对所研究的支路
等效电阻
Req
Req=16+20//5 =20kΩ
i
电阻R的改变不会影响原一端口的戴维宁等效电路， R吸收的功率为 U2 R
p i2R
oc
( Req R) 2
R变化时，最大功率发生在dp/dR=0的条件下。 这时有R=Req 。 本题中， Req=20kΩ，故R=20kΩ时才能获得最大功率， 2 uoc pmax 0.2mW 4Req