三角恒等变换复习(公开课精华)

课堂小结：
三角恒等变换实际上是对角、函数名称，以及函数形 （结构）的变换，这类问题，无论是求值化简证明以及 复杂的综合问题，一般的考虑方法是： ⑴ 找差异：角、名、形的差异； ⑵ 建立关系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间 可以用哪个公式联系起来； ⑶ 变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变 形后，正用或逆用公式. （4）常用技巧： ①弦化切 ②化“1” ③正切的和、积 ⑤“升幂”与“降次” ⑥辅助角 ④角变换

2
，所以0 ， 2 7 2 ,于是sin( )= 10 10
又cos( )=
2 所以 cos cos 2 3 由 ， 知， = 4 2
变式1：
分析：因为 sin 2sin(2 ), 即 sin cos cos sin 所以 sin 2sin 2 sin cos cos sin
（2） 已知，为锐角，且tan( + )= 3,sin =2sin(2 + ), 求的值.
所以 sin cos = 3cos sin 即 tan( ) 3tan 因为 tan( ) 3, 所以 tan 1
又 0， ，故 = 4 2
典型例题：
2 1 分析：f(x)＝sin x－2cos x＝ 5 sin x cos x ， 5 5 1 2 令 cos ＝ ，sin ＝ ， 5 5 则 f(x)＝ 5 sin( ＋x)， π 当 x ＝2kπ ＋ (k∈Z)时，sin( ＋x)有最大值 1，f(x)有最大值 5 ， 2 π 即 θ ＝2kπ ＋ － (k∈Z)， 2 π 2 2 5 π 所以 cos θ ＝ cos 2kπ+ ＝ cos ＝sin ＝ . 2 5 5 2
3. 二倍角公式:
sin 2 2 sin cos
变形
(sin cos ) 1 sin 2
2
2
1 2sin
2
变形
1 cos 2 sin 2
变形
2 tan tan2 2 1 tan
（ 降幂公式 ）
基本知识框架：
S
几何法，三 角函数线
所以 （0， ） 4 1 因为 （0，）且tan 1 7 3 故 （ ，），所以2 , 4 4 又 tan(2 ) tan 1 3 所以2 - =4
1 3
2 2 cos ( ) （ ，则 3 4 1 2 C. D. 2 3
) 3 D. 4
）
π π 3 7 ， 2.(2012·山东理)若 θ∈ 4 2 ，sin 2θ＝ ，则 sin θ＝( 8 3 A. 5 4 B. 5 C. 7 4
3． （2013·四川理）设 sin 2 sin , (
(5)化简
1 1 1 1 3 cos 2 （ 2 ) 2 2 2 2 2
3 1 tan （6）已知sin( ) , sin( ) , 则 5 5 tan
考题体验：
1． （2013·高考课标卷）已知 sin 2
A.
1 6
B.
基本公式： 1、两角和与差的三角函数公式：
sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin
sin( )
cos( ) cos cos sin sin tan tan . tan( ) 1 tan tan
例 2、(2013 全国Ⅰ)设当 x＝θ 时，函数 f(x)＝sin x－2cos x 取得最大值， 则 cos θ ＝__________.
考向二：求值问题
π 1 (2013 全国Ⅱ)设 θ 为第二象限角，若 tan ，则 4 2
sin θ ＋cos θ ＝__________.
S 2
T T
C
S
C
C 2
C S
2 2
T2
T
2
基础练习：
计算：
(1) cos74 sin 14 sin 74 cos14 (2) sin 20 cos110 cos160 sin 70

3 2
1
1 4
(3)1 2 sin 22.5
sin( 2 ) sin 例2：求证 2 cos( ) sin sin
证明：左边
sin( 2 ) 2 cos( ) sin sin sin[( ) ] 2 cos( ) sin sin sin( ) cos cos( ) sin sin sin sin 右边
基本思想：
理解三角函数中的4个“三”： （1）从知识层面看：三角函数公式系统的三条主线 ——同角关系式、诱导公式、变换公式（和、差、 倍角）. （2）从问题层面看：三角变换三大问题——求值、化 简、证明. （3）从方法层面看：“三个统一”——解决三角函数 问题时要从“统一角度、统一函数名、统一运算 结构”方面 思考 （4）从算法层面看：使用公式的三重境——顺用、 逆用、变用.
a b sin(x ) . b 其中 由 sin ， cos 2 2
2 2
这个公式 有什么作 用？
a a b
2 2
a b
确定.
说明： 利用辅助角公式可以将形如 y =a sin +b cos 的函 数，转化为一个角的一种三角函数形式。便于后面求三 角函数的最小正周期、最大（小）值、单调区间等。
变式2 ：
1 π 1 tan 1 分析：由 tan ，得 tan θ ＝ ， 3 4 1 tan 2 1 即 sin θ ＝ cos θ . 3 10 2 2 cos 2 1 . 将其代入 sin θ ＋cos θ ＝1，得 9 3 10 10 因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ ＝ ，sin θ ＝ ， 10 10 10 sin θ ＋cos θ ＝ . 5
2

(4) sin 15 cos15


2 2
tan12 tan33 (5) 1 tan12 tan33
（公式变，逆用）
1
典型例题：
例1：已知 ，为锐角， cos
求 cos 的值
1 13 , cos( ) 7 14
注：⑴ 常用角的变换：
① ( ) ② 2 ( ) ( )
tan( )
tan tan . 1 tan tan
2、辅助角公式
a sin x b cos x a b sin x cos x ) 2 2 ( a b a 2 b2 a 2 b2 2 2 (cos sinx sin cos x ) a b
解： ，为锐角 0
1 13 又 cos , cos( ) 7 14 4 3 3 3 sin , sin( ) , 7 14
③ 2 ( )
④ ⑤ ( ) ( ) 4 4 ⑵ 注意对角范围的要求。
tanC tan[ ( A B)] tan(A B)
2 3 8 5 3 . tan A tan B 11 1 tan A tan B来自百度文库1 2 3
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换 技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
课后巩固：
5 1 (1) sin sin 12 12
(2) cos20 cos40 cos60 cos80
(3)函数f ( x) cos2 x 2 sin x的值域为
sin 7 cos15 sin 8 (4) cos 7 sin15 sin 8
=
2
cos cos[( ) ]

2
cos( ) cos sin( ) sin
23 98
[借题发挥]解决此类问题的关键在于寻找条件和结论中的角的关系， 分析角与角之间的互余、互补关系，合理拆、凑，把未知角 用已知角表示．
变式练习：
且 (0, )

考向一：求角问题
变式1：
分析：因为tan 因为 0， 2 因为0
π α 1 2 （1）已知 0＜α＜2＜β＜π，tan2＝2，cos(β－α)＝ 10 ，求 β 的值．
1
4 = ,所以tan = 2 2 3 4 3 ，所以sin = ,cos 5 5

2 4.（2013· 江苏理）已知 a＝(cos ,sin )，b (cos ,sin ) ， 0 ，
设 c (0,1) ，若 a b c ，求 , 的值。
, ) ,则 tan 2 的值是_________.
1、A
2 、D
3、
3
4、
5 6
6
典型例题：
1 1 例 1：已知 , (0, ) 且 tan( ) , tan ，求 2 的值. 2 7 tan( ) tan 1 分析：因为tan =tan ( ) 1 1 tan( ) tan 3
（ 2 ）由
1 sin2B 3 , cos2 B sin2 B
即 cos B sinB 3 , cos B sinB
(cosB si nB )2 得 3 , 2 2 cos B si n B
cos B 0 , tan B 2 ,
1 tan B 3 , 1 tan B

sin( 2 ) sin 2 cos( ) sin sin
[借题发挥]证明的本质是化异为同，可以说，证明是有目 标的有目的化简. 左右归一或变更结论，常用定义法、化弦 法、拆项拆角法、1的变换法、公式变形法等方法．
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量 m (1 , 3 ) , n (cos A , sinA) , m n 1 . 1 sin 2 B （ 2 ） 若 3 , 求 tanC . （ 1 ） 求角 A； 2 2 cos B sin B 解：(1) m n 1 , (1 , 3 ) (cos A , sinA) 1 , 即 3 sinA cos A 1 , 2( 3 sin A 1 cos A) 1 , 2 2 sin(A ) 1 . 6 2 0 A , A 5 , 6 6 6 A , 即 A . 6 6 3