2019年全国中考数学真题分类汇编3：代数几何综合压轴题

代数几何综合压轴题

一、选择题

1. （2019年四川省达州市）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B（2

，

2），点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．下列结论：

①OA＝BC＝2；②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2＝7；③在运动过程中，∠CDP是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为（，0）．其中正确结论的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】矩形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质

【解答】解：①∵四边形OABC是矩形，B（2，2），

∴OA＝BC＝2；故①正确；

②∵点D为OA的中点，

∴OD＝OA＝，

∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（）2＝7，故②正确；

③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，

∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，

∴EF＝OC＝2，

设PE＝a，则PF＝EF﹣PE＝2﹣a，

在Rt△BEP中，tan∠CBO＝＝＝，∴BE＝PE＝a，

∴CE＝BC﹣BE＝2﹣a＝（2﹣a），

∵PD⊥PC，

∴∠CPE+∠FPD＝90°，

∵∠CPE+∠PCE＝90°，

∴∠FPD＝∠ECP，

∵∠CEP＝∠PFD＝90°，

∴△CEP∽△PFD，

∴＝，

∴＝，

∴FD＝，

∴tan∠PDC＝＝＝，

∴∠PDC＝60°，故③正确；

④∵B（2，2），四边形OABC是矩形，∴OA＝2，AB＝2，

∵tan∠AOB＝＝，

∴∠AOB＝30°，

当△ODP为等腰三角形时，

Ⅰ、OD＝PD，

∴∠DOP ＝∠DPO ＝30°，

∴∠ODP ＝60°， ∴∠ODC ＝60°， ∴OD ＝

OC ＝，

Ⅱ、OP ＝OD ，

∴∠ODP ＝∠OPD ＝75°， ∵∠COD ＝∠CPD ＝90°，

∴∠OCP ＝105°＞90°，故不合题意舍去； Ⅲ、OP ＝PD ， ∴∠POD ＝∠PDO ＝30°，

∴∠OCP ＝150°＞90°故不合题意舍去， ∴当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为（，0）．故④正确，

故选：D ． 二、解答题

1. （2019年四川省攀枝花市）已知抛物线2y x bx c =-++的对称轴为直线x=1，其图像与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点(0,3)C 。 （1）求b ，c 的值； （2）直线l 与x 轴交于点P 。

①如图1，若l ∥y 轴，且与线段AC 及抛物线分别相交于点E 、F ，点C 关于直线

1x =的对称点为D ，求四边形CEDF 面积的最大值；

②如图2，若直线l 与线段BC 相交于点Q ，当△PCQ∽△ CAP 时，求直线l 的表达式。

【考点】二次函数极值问题、三角函数、相似三角形 【解答】解：（1）由题可知

123

b

c ⎧-

=⎪-⎨⎪=⎩ 解得23b c =⎧⎨=⎩

（2）①由题可知(2,3)D ，CD EF ⊥ ∴2CD =

由（1）可知(3,0)A ，(1,0)B - ∴AC l ：3y x =-+

设2(,23)F e e e -++，则(,3)E e e -+ ∴23EF e e =-+

∴12CEDF S CD EF =

四边形 22393()24

e e e =-+=--+ ∴当32e =时，四边形CEDF 的面积最大，最大值为9

4

②由（1）可知45OAC OCA ∠=∠=︒ 由PCQ ∆∽CAP ∆可得45QCP OAC ∠=∠=︒ ∴QCP OCA ∠=∠ ∴ACP BCO ∠=∠ 由(1,0)B -，(0,3)C 可得1

tan 3

BCO ∠=

∴1tan 3

ACP ∠=

作PH AC ⊥于H 点，设(,0)P m ，则3AP m =-

∴)2PH AH m ==

-

，(3)2

CH m =+

)

1

tan 3m PH ACP CH -==∠=

即

3133m m -=+ 解得3

2m = ∴3(,0)2P ∴l ：32

y x =-+

2.（2019年山东省滨州市）如图①，抛物线y ＝﹣

x 2+x +4与y 轴交于点A ，与x 轴交于

点B ，C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． （1）求直线AD 的函数解析式；

（2）如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离； ②当点P 到直线AD 的距离为

时，求sin ∠PAD 的值．

【考点】待定系数法、二次函数极值问题、三角函数、分类讨论思想 【解答】解：（1）当x ＝0时，y ＝4，则点A 的坐标为（0，4）， 当y ＝0时，0＝﹣

x 2+x +4，解得，x 1＝﹣4，x 2＝8，则点B 的坐标为（﹣4，0），点C

的坐标为（8，0），

∴OA＝OB＝4，

∴∠OBA＝∠OAB＝45°，

∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，

∴∠BAD＝90°，

∴OAD＝45°，

∴∠ODA＝45°，

∴OA＝OD，

∴点D的坐标为（4，0），

设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，

，得，

即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；

（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，

设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），

∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，

∴PN⊥x轴，

∴PN∥y轴，

∴∠OAD＝∠PNH＝45°，

作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，

∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，

∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），

即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；

②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，