高一数学上学期期末考试试题(含解析)
重庆市第十一中学校2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题及答案(含解析)
5.已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
解析：∵ 在 上单调递增，
∴ ，解得 ，
故实数 的取值范围是
故选：C
6.已知 ， ， ，则（）
A. B.
C. D.
【Hale Waihona Puke 案】D解析：则有：
故有：
故选：D
7.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：
【答案】ABC
解析：A：因为 ，所以 ，所以函数 的定义域为 ，故A正确；
B： ，由
，
所以函数 的值域为 ，故B正确；
C：因为 ，
所以函数 是奇函数，所以C正确；
D：因为函数 是增函数，因为 ，
所以函数 是减函数，
所以函数 是增函数，
故 是增函数，故D不正确，
故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
故选:CD.
11.函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，对于函数 ，下列说法正确的是（）
A. 是 的一个周期B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递减D. 的图象关于点 对称
【答案】ABD
解析：函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 ，
A.函数的最小正周期是 ，所以 是 的一个周期，故A正确；
故选：C.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9.已知某扇形的周长为 ，面积为 ，则该扇形圆心角的弧度数可能是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
解析：设扇形的半径为 ，所对弧长为 ，
河南省郑州中学2024届高一上数学期末复习检测试题含解析
19．已知函数
f
x
a 3x 1 3x 1
（1）当 a 1时，解方程 lg f 2x lg f x 1 lg16 ；
（1）用“五点法”做出函数 f x 在 x 0, 2 上的简图；
（2）若方程
f
x
a在
x
2 3
,
5 6
上有两个实根，求
a
的取值范围.
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D
【解题分析】利用分段函数在 R 上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.
A.
1 3
,1
B.
,
1 3
1,
C.
1 3
,
1 3
D.
,
1 3
1 3
,
7．下面四个不等式中不正确的为
A. sin 1 1 15 15
B. 20.9 0.92
C.
ln
1 2
log3
1 2
D. 20.3 0.30.2
8．函数 f (x) 2 tan( x 3) 的最小正周期为 2
【解题分析】设函数 y x2 4x 3 ，求出 x [0, 4]时 y 的取值范围，再根据 a [2, 2]讨论 a 的取值范围，判断 f x
是否能取得最大值 3 ,从而求出对应的概率值
【题目详解】在区间 2, 2 上任取一个数 a ，基本事件空间对应区间的长度是 4 ， 由 y x2 4x 3 x 22 1, x [0，4] ，得 y [1,3] ，
湖南省高一上学期期末数学试题(解析版)
【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】特称命题的否定是全称命题，
因此原命题的否定是： x R, x2 2x 2 0 ．
故选：D．
3. 如果函数 y f (x) 在[a, b] 上的图象是连续不断的一条曲线，那么“ f (a) f (b) 0 ”是“函数 y f (x) 在
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
6. 已知函数 f x 4x 2x1 4 ， x 1,1 ，则函数 y f x 的值域为（ ）．
A. 3,
B. 3, 4
C.
3,
13 4
D.
13 4
,
4
【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
则 m p ，故有 m p n ．
故选：B
D. p n m
【点睛】关键点点睛：本题的关键是换底公式的应用，关键是利用换底公式，变形，比较大小.
8.
设a, b
R ，定义运算 a b
a, a b, a
b b
，则函数
f (x) sin x cos x 的最小值为（
）
A. 1
B. 2 2
故选：A
【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判断，属于中档题.
4. 半径为 1，圆心角为 2 弧度的扇形的面积是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题中条件，由扇形的面积公式，可直接得出结果
【详解】半径为 1，圆心角为 2 弧度的扇形的面积是 S 1 lr 1 r2 1 12 2 1（其中 l 为扇形所对
新疆高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知全集，集合，则（ ）1234{}U =，，，{}{2,12}3A B ==，，()U A B ðA ． B ． C ． D ．{134}，，{3}4，{}3{}4【答案】D 【分析】先求的并集再求补集即可.,A B 【详解】易知，则，{1,2,3}A B È={}()4U A B ⋃=ð故选：D.2．不等式的解集为（ ）2230x x +-<A ．B ． {}31x x x -或{}31x x -<<C ．D ．{}13x x x -或{}13x x -<<【答案】B【分析】利用一元二次不等式的解法求解.【详解】不等式可化为： 2230x x +-<，()()310x x +-<解得，31x -<<所以不等式的解集为，{}31x x -<<故选：B3．已知，，那么角的终边在（ ） 3sin 5α=-3tan 4α=αA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】由已知条件得到角的终边所在象限 α【详解】由则角的终边在第三象限或者第四象限； 35sin α=-α由则角的终边在第一象限或者第三象限； 34tan α=α综上角的终边在第三象限，故选αC 【点睛】本题考查了由三角函数值判断角的范围，根据三角函数值符号特征求出结果，较为简单，也可以记忆“一正二正弦，三切四余弦”4．已知角α的终边经过点，那么的值为P （3,-4）sin αA ．B ．C ．D ． 43-45-34-35【答案】B【分析】由三角函数的定义直接可求得sin a.【详解】∵知角a 的终边经过点P ，3,4-（）∴sin a ， 45-==故选B ．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．5．已知函数，则（ ） ,0()1,0x e x f x x x ⎧≤=⎨->⎩()()1f f =A ．0B ．1C ．eD ． 1e -【答案】B【解析】运用代入法进行求解即可.【详解】，0((1))(0)1f f f e ===故选：B6．若，且为第四象限角，则的值为（ ） 12cos 13α=αtan αA ． B ． C ． D ． 125125-512512-【答案】D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于，且为第四象限角， 12cos 13α=α所以， 5sin 13α==-. sin 5tan cos 12ααα==-故选：D7．已知函数，则在下列区间上，函数必有零点的是2()x f x e x =-A ．B ．C ．D ． (2,1)--(1,0)-(0,1)(1,2)【答案】B【详解】f(－2)＝－4＜0，f(－1)＝－1＜0，f(0)＝e 0＝1＞0，f(1)＝e －1＞0，f(2)＝e 2－4＞0. 21e 1e由零点存在性定理,∵f(－1)·f(0)＜0，∴f(x)在(－1,0)上必有零点,故选B.点睛:本题考查零点存在性定理的应用,属于基础题.如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不()y f x =断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得()()0f a f b <A ()y f x =(),c a b ∈,这个c 也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.()0f c =()0f x =8．若=log20.5，b=20.5，c=0.52，则，b ，c 三个数的大小关系是（ ）a a A ．＜b ＜cB ．b ＜c ＜C ．＜c ＜bD ．c ＜＜ba a a a 【答案】C【详解】a=log 20.5＜0，b=20.5＞1，0＜c=0.52＜1，则a ＜c ＜b ，故选C ．二、多选题9．（多选题）下列命题中的真命题是（ ）A ．B ． 1R,20x x -∀∈>()2N ,10x x *∀∈->C ．D ． 00R,lg 1x x ∃∈<00R,tan 2x x ∃∈=【答案】ACD【分析】根据对应函数的性质，判断命题的真假.【详解】指数函数值域为，所以，A 选项正确；()0,∞+1R,20x x -∀∈>当时，，所以是假命题，B 选项错误；1x =()210x -=()2N ,10x x *∀∈->当时，，所以，C 选项正确；01x =0lg 01x =<00R,lg 1x x ∃∈<函数值域为R ，所以，D 选项正确.tan y x =00R,tan 2x x ∃∈=故选：ACD.10．下列结论中，正确的是（ ）A ．函数是指数函数12x y -=B ．函数的值域是21(1)y ax a =+>[1,)+∞C ．若，则(0,1)m n a a a a >>≠m n >D ．函数的图像必过定点2()3(0,1)x f x a a a -=->≠(2,2)-【答案】BD【解析】对每一个选项进行逐一判断其真假，得出答案.【详解】选项A. 根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A 不正确.12x y -=选项B. 当时，，故B 正确.1a >211y ax =+≥选项C. 当时，函数单调递减，由，则，故C 不正确.01a <<x y a =m n a a >m n <选项D. 由，可得的图象恒过点，故D 正确.22(2)32f a -=-=-()f x (2,2)-故选：BD【点睛】本题考查命题真假的判断，考查指数函数的定义、单调性以及图象过定点的应用，属于基础题.11．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上()0,∞+单调递增且图象关于轴对称的是（ ）y A ． B ．()3f x x =()2f x x =C ．D ．2y x -=()f x x =【答案】BD 【解析】根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果.【详解】A 选项，定义域为，在上显然单调递增，但，即()3f x x =R ()0,∞+()()3f x x f x -=-≠不是偶函数，其图象不关于轴对称，A 排除；()3f x x =y B 选项，定义域为，在上显然单调递增，且， ()2f x x =R ()0,∞+()()()22f x x x f x -=-==所以是偶函数，图象关于轴对称，即B 正确；()2f x x =y C 选项，定义域为，在上显然单调递减，C 排除；2y x -=()(),00,-∞⋃+∞()0,∞+D 选项，的定义域为，在上显然单调递增，且，所以()f x x =R ()0,∞+()()f x x x f x -=-==是偶函数，图象关于轴对称，即D 正确.()f x x =y 故选：BD.12．已知函数，若函数（m ∈R ）恰有两个零点，则m ()()()[)21,,12,1,x x x f x x ∞∞⎧+∈-⎪=⎨∈+⎪⎩()()g x f x m =-的取值范围可以为（ ）A ．m ≤2B ．m ≥4C ．0<m ＜2D ．m >3【答案】BC 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，根据因为函数（m ∈R ）(),y f x y m ==()()g x f x m =-恰有两个零点，利用数形结合法求解.【详解】令，得，()()0g x f x m =-=()f x m =在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：(),y f x y m ==因为函数（m ∈R ）恰有两个零点，()()g x f x m =-由图象知：m ≥4或0<m ＜2，故选：BC三、填空题13．函数的定义域是______．lg(2)y x =-【答案】(,2)-∞【详解】由题设有，解得，故函数的定义域为，填．20x ->2x <(),2∞-(),2∞-14．已知扇形的半径为1cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为_____cm 2．【答案】1【详解】试题分析：直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，所以扇形的面积为：=1．故答案为1．15．设，，则________.ln 3a =7l n b =e a b +=【答案】21【分析】由对数运算性质可得答案.【详解】.372121l n l n l n e e e a b ++===故答案为：.2116．已知，则的解集为________．()1423x x f x +=--()0f x <【答案】{}2log 3x x <【分析】由一元二次不等式与指数不等式的解法求解即可【详解】即，也即，()0f x <14230x x +--<()222230x x -⋅-<所以， ()()23210x x -⋅+<解得，解得.023x <<2log 3x <所以的解集为，()0f x <{}2log 3x x <故答案为：{}2log 3x x <四、解答题17．计算下列各式的值：(1)； ()22230327389.682--⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2).07log 2(9.8)log lg 25lg 47+-+++【答案】(1)3； (2)132 【分析】（1）根据指数幂的运算，即可得到结果；（2）根据对数的运算性质，代入计算即可得到结果.【详解】（1）原式 2323334122⎛⎫⨯-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3=（2）原式()323log 3lg 25421=+⨯++ 3232=++ 132=18．已知二次函数，.223y x ax =++[4,6]x ∈-（1）若，写出函数的单调增区间和减区间；1a =-（2）若，求函数的最大值和最小值；2a =-（3）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围.[4,6]-a 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，，当[1,6][4,1]-2x =min 1y =-4x =-时，.（3）或.max 35y =4a ≥6a ≤-【详解】（1）当时，，， 1a =-()222312y x x x =-+=-+[]4,6x ∈-又因为抛物线开口向上，所以它的单调递增区间为，单调递减区间为.[]1,6[]4,1-（2）当时，，， 2a =-()224321y x x x =-+=--[]4,6x ∈-图像开口向上，所以当时，，当时，. 2x =min 1y =-4x =-()2max 42136135y =---=-=（3）若函数在上是单调函数，则由得知它的对称轴为[]4,6-()222233y x ax x a a =++=++-x a =-，若它在上单调，则或，∴或.[]4,6-4a -≤-6a -≥4a ≥6a ≤-19．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．【答案】(1)(－1，1)；(2)奇函数，证明见解析；(3)(0，1)．【分析】（1）结合真数大于零得到关于的不等式组即可求得函数的定义域；x（2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性；（3）结合函数的单调性得到关于的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果．x 【详解】（1）要使函数有意义，则， 1010x x +>⎧⎨->⎩解得，即函数的定义域为；11x -<<()f x (1,1)-（2）函数的定义域关于坐标原点对称，()log (1)log (1)[log (1)log (1)]()a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=- 是奇函数．()f x ∴（3）若时，由得，1a >()0f x >log (1)log (1)a a x x +>-则，求解关于实数的不等式可得， 1111x x x -<<⎧⎨+>-⎩x 01x <<故不等式的解集为．(0,1)20．已知 3tan 4α=-(1)求，的值；sin αcos α(2)求的值. πcos()2cos(π)2()sin(π)2cos()f ααααα+-+=-+-【答案】(1)，或； 3sin 5α=4cos 5α=-34sin ,cos 55αα=-=(2)115【分析】（1）根据条件结合同角三角函数的平方关系，即可得到结果； （2）先由诱导公式将化简，然后由同角三角函数的关系，代入计算即可得到结果. ()f α【详解】（1）根据题意可得，，解得或 22sin 3tan cos 4sin cos 1ααααα⎧==-⎪⎨⎪+=⎩3sin 54cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩3sin 54cos 5αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2） π3cos()2cos(π)2sin 2cos tan 21124()3sin(π)2cos()sin 2cos tan 2524f ααααααααααα+-++-+-+=====-+-++-+21．设函数()230f x ax bx a =++¹，（1）若不等式的解集为，求的值()0f x >()1,3-,a b（2）若，，，求的最小值. ()14f =0a >0b >14a b +【答案】（1）；（2）9. 12a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）由不等式的解集为，得到是方程的两根，由根与系数的()0f x >()1,3-1,3-()0f x =关系可求a ，b 值；（2）由，得到，将所求变形为展开，整理为基本不等式的形式求最()14f =1a b +=()14a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭小值．【详解】（1）的解集是知是方程的两根.()0f x >()1,3-1,3-()0f x =由根与系数的关系可得，解得. 31313a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨⎪-+=-⎪⎩12a b =-⎧⎨=⎩（2）得，()14f =1a b +=∵，， 0a >0b >∴ ()141445b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， 59≥+=当且仅当时取得等号，2b a =∴的最小值是. 14a b+9【点睛】关键点点睛：该主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，关键要明确应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.22．已知定义域为R 的函数是奇函数. 12()22x x b f x +-+=+（1）求b 的值；（2）判断函数的单调性；()f x （3）若对任意的，不等式恒成立，求k 的取值范围.t R ∈()()22220f t t f t k -+-<【答案】（1）1；（2）减函数；（3）. 13k <-【分析】（1）由是R 上的奇函数，可得，可求出的值；()f x ()00=f b （2）由（1）可知的表达式，任取R ，且，比较与0的大小关系，()f x 12,x x ∈12x x <()()12f x f x -可得出函数的单调性；（3）由是奇函数，可将不等式转化为，再结合函数是R 上的减函数，()f x ()()2222f t t f k t -<-可知对一切，恒成立，令即可求出答案.t R ∈2320t t k -->∆<0【详解】（1）因为是奇函数，所以，()f x (0)0f =即，∴ 10122b b -=⇒=+112()22xx f x +-=+（2）由（1）知， 11211()22221x x x f x +-==-+++设则 12x x <()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++因为函数在R 上是增函数且，∴2x y =12x x <21220x x ->又，∴即 ()()1221210x x ++>()()120f x f x ->()()12f x f x >∴在上为减函数.()f x (,)∞∞-+（3）因是奇函数，从而不等式：()f x ()()22220f t t f t k -+-<等价于，因为减函数，由上式推得：.即对一()()()222222f t t f t k f k t -<--=-()f x 2222t t k t ->-切有：，t R ∈2320t t k -->从而判别式. 141203k k ∆=+<⇒<-【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的应用，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算求解能力，属于中档题.。
广东深圳中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题 答案解析
深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题评分标准年级：高一 科目：数学命题人：贺险峰 审题人：邱才颙、黎建蒙单项选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CB AB CC BA多项选择题：题号 9 10 11 12 答案 ABCACDBCAB二、填空题:13． 95 ． 14． 12 ． 15. 43 ． 16．1[4,]2−一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【详解】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”， “老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”， 所以最合理的是按年龄段分层随机抽样. 故选：C2．【详解】因为7πrad 3154=，终边落在第四象限，且与45−角终边相同，故与7π4的终边相同的角的集合{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==−+⋅ 即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限. 故选：B.3．【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=， 又22sin cos 1αα+=，则225cos 31sin cos ααα−===. 故选：A4．【详解】因为21cos 212sin 3αα=−=，所以3sin 3α=±，因为()0,πα∈，所以3sin 3α=. 故选：B .5．【详解】因为某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，又因为1sin(160π)1t −≤≤，所以11525()11525P t −≤≤+，即90()140P t ≤≤， 即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ，故①正确； 因为收缩压为140mmhg ，舒张压为90mmhg ，均超过健康范围， 即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确； 对于函数()11525sin(160π)P t t =+，其最小正周期2π1160π80T ==（min ）， 则此人的心跳为180T=次/分，故④正确； 故选：C6．【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为138.7%3>，A 说法正确；2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为131.5%24.2%55.7%2+=>，B 说法正确；2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7% 2.5%36.2%−=，C 说法错误；2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为21.4%19.0%20.2%2+=，D 说法正确． 故选：C ．7．【详解】将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到2sin 2y x =的图象， 再向右平移π6个单位长度，得到()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤−∈−⎢⎥⎣⎦，令π23x t −=，π2π,33t ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则关于t 的方程2sin t a =在π2π,33−⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根1t ，2t ，所以12πt t +=，即12ππ22π33x x −+−=，则125π6x x +=，所以()125π3tan tan 63x x +==−． 故选：B8．【详解】考虑三角函数的定义域，将选项代入验证可得最大“好整数”为1 故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确； 根据弧度的定义知，180︒一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确. 故选：ABC.10．【详解】ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos cos 332x x ⎛⎫=−−== ⎪⎝⎭，A 正确；tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒()()tan 10351tan10tan 35tan10tan 35=︒+︒−︒︒+︒︒tan 451=︒=，B 不对；22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522︒︒==︒=−︒−︒，C 正确；()2311cos 403sin502cos 2012223sin 503sin503sin502−︒−︒−︒===−︒−︒−︒，D 正确. 故选：ACD11．【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值， 所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A 错误；因为(0.00820.0120.01540.030)10700.651a a a a ++++++⨯=+=，解得0.005a =， 所以B 正确；该校竞赛成绩的平均分的估计值550.00510650.00810x =⨯⨯+⨯⨯+750.01210850.01510950.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10540.0051011520.0051090.7+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=分，所以C 正确．设这组数据的第30百分位数为m ，则(0.0050.0080.012)10(80)0.015100.3m ++⨯+−⨯⨯=，解得2413m =， 所以D 错误． 故选：BC ．12．【详解】因为ππ31sin ,cos ,3322⎛⎫⎛⎫−=− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由三角函数的定义得1sin 2α=，3cos 2α=−，所以5π2π,6k k α∈=+Z ， 则()()cos sin 2sin cos 2sin 2f x x x x ααα=−=−5π5πsin 22πsin 2,66x k x k ∈⎛⎫⎛⎫=−−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，A: 22111cos 22sin 222αα⎛⎫−==⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确；B ：因为5π62π4ππsin sin 1332f ⎛⎫⎛⎫=−== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴，故B 正确；C ：将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度， 所得到的函数解析式为5π5πsin 2sin 2665π6y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+−=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；D ：令()0f x =，得5πsin 206x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，解得5π5ππ2π,,6122k x k k x k ∈∈−=⇒=+Z Z ， 仅0k =，1，即5π11π,1212x =符合题意， 即()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个零点，故D 错误.故选：AB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．【详解】设所求平均成绩为x ，由题意得5092309020x ⨯=⨯+⨯，∴95x =. 故答案为：9514．【详解】因为π02α<<且11cos c 2πos 73α=<=，则ππ32α<<， 又02βπ<<，所以π3παβ<+<，且()533sin 142αβ+=<， 所以π2π3αβ<+<，则()()211cos 1sin 14αβαβ+=−−+=−，243sin 1cos 7αα=−=， 所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+−=+++⎡⎤⎣⎦111534311471472=−⨯+⨯=. 故答案为：12 15．【详解】因为函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，则()()f x f x −=−，即sin cos cos sin x x ϕωωϕ=−， 又因为0ω>，所以sin 0ϕ=，因为π02ϕ≤≤，所以0ϕ=；故()sin f x x ω=； 又因为图象关于点3π,04A ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则3ππ4k ω=，Z k ∈，所以43k ω=，Z k ∈，因为函数在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12ππ24ω⨯≥，得04ω<≤；所以43ω=， 故答案为：43.16．【详解】cos cos sin sin cos cos 1y αβαβαβ=−+−−(cos 1)cos (sin )sin (cos 1)βαβαβ=+−−+22(cos 1)sin sin()(cos 1)ββαϕβ=+++−+22cos sin()(cos 1)βαϕβ=++−+由sin()[1,1]αϕ+∈−，得22cos (cos 1)22cos (cos 1)y ββββ−+−+≤≤+−+， 令1cos t β=+，则[0,2]t ∈，则2222t t y t t ≤≤−−−， 所以22212()422y t t t ≥−−=−++≥−，当且仅当2t =，即cos 1β=时取等号，且222112()222y t t t ≤−=−−+≤，当且仅当22t =，即1cos 2β=−时取等号， 所以y 的取值范围为1[4,]2−.故答案为：1[4,]2−四、解答题：本题共6小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本题满分10分）已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫−−− ⎪⎝⎭=⎛⎫−−− ⎪⎝⎭(1)化简()f α；(2)若α是第三象限角，且()1sin π5α−=，求()f α的值.【详解】（1）()f α=()sin cos sin cos sin sin αααααα⋅⋅−==−⋅ --------------5分（2）由诱导公式可知()1sin πsin 5αα−=−=，即1sin 5α=−--------7分又α是第三象限角，所以22126cos 1sin 155αα⎛⎫=−−=−−=− ⎪⎝⎭------------9分 所以()26cos 5f αα=−=.-----------------------10分18（本题满分12分）据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求a 和n 的值；(2)若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；(3)在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？ 【详解】（1）()0.0150.0250.0500.0650.0850.0500.0200.0150.00531a +++++++++⨯=，1.300a ∴=--------------------2分 用水量在(]9,12的频率为0.06530.195⨯=，392000.195n ∴==（户）---------------4分 （2）()0.0150.0250.0500.0650.08530.720.8++++⨯=<，()0.0150.0250.0500.0650.0850.05030.870.8+++++⨯=>，0.800.7215316.60.870.72−∴+⨯=−（吨）-------------------------8分（3）设该市居民月用水量最多为m 吨，因为16.6349.870⨯=<，所以m 16.6>， 则()16.6316.6570w m =⨯+−⨯≤，解得20.64m ≤，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．------------------------12分19（本题满分12分）已知函数()()223sin πcos 2cos f x x x x =−+．(1)若ππ,63x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；(2)若函数()()1g x f x =−在区间π,6m ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．【详解】（1）由题意得()()223sin πcos 2cos f x x x x=−+π3sin2cos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，-----------------4分当ππ,63x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2[,]666x +∈−，则1πsin 2126x ⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为[]0,3；---------------------6分（2）由题()()π2sin 216g x x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=−⎭=在区间π,6m ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，--------7分当π,6x m ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,2]666u x m =+∈−+，原问题转化为sin y u =在ππ[,2]66m −+有且仅有2个零点，-----------------9分故π5π11ππ22π,61212 m m ≤+<≤<解得，即5π11π,1212m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭的取值范围是.-------------12分20（本题满分12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份． （参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【详解】（1）函数()0,1x y ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>在()0,∞+上都是增函数， 随着x 的增加，函数()0,1xy ka k a =>>的值增加的越来越快，而函数()120,0y px k p k =+>>的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型()0,1xy ka k a =>>符合要求，------2分根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为*32323N 2,11,x y x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭；---6分（2）当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3，---------8分 由3233210323x⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，得3102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，-------------9分 所以32lg1011log 10 5.93lg3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈−−，----------------11分 又*N x ∈，所以6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．-----------12分21（本题满分12分）已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线2x π=−是其图象的一条对称轴.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*R,N n λ∈∈，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值.【详解】（1）由三角函数的周期公式可得2π2πω==，()()sin 2f x x ϕ∴=+，--------2分 令()π2πZ 2x k k ϕ+=+∈，得()ππZ 422k x k ϕ=−+∈， 由于直线2x π=−为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()πππZ 2422k k ϕ−=−+∈， 得()3ππZ 2k k ϕ=+∈，由于0πϕ<<，1k ∴=−，则2ϕπ=， 因此，()πsin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；-------------------4分（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到函数ππcos 2cos 2sin 242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−=−= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，-----------------6分()()()2cos 2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=−++，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ−−=，令[]sin 1,1t x =∈−，得2210t t λ−−=，280λ∆=+>，则关于t 的二次方程2210t t λ−−=必有两不等实根1t 、2t ，则1212t t =−，则1t 、2t 异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()0,πN n n *∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ−−=在()()0,πN n n *∈也有偶数个根，不合乎题意；-----------8分（ii ）当11t =−时，则2102t <<，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根， 所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,1348π上有36742022⨯=个根， 由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上有两个实数解， 因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在区间()0,1349π上有2024个根，不合乎题意，-------------------10分 （iii ）当11t =，则2102t −<<，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ−−=在()0,1348π上有36742022⨯=个根， 由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ−−=在区间()0,1349π上有2023个根，合乎题意； 此时，2211110λλ⨯−⨯−=−=，得1λ=，综上所述：1λ=，1349n =.---------------------------12分22（本题满分12分）已知二次函数()f x 满足：()2132f x x x +=++．()24log 231xg x ⎛⎫=+ ⎪−⎝⎭(1)求()f x 的解析式；(2)求()g x 的单调性与值域（不必证明）； (3)设()2cos cos 2h x x m x =+（,2ππ2x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦），若()()f h x g h x ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值． 【详解】（1）由题意()2132f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =−，有()22(1)3(1)2f t t t t t =−+−+=+，故()2f x x x =+ ------------2分（2）函数()24log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪−⎝⎭，由420031x x +>⇒>−，即定义域为()0,+∞， 且4231xu =+−在()0,+∞上单调递减及2log y u =单调递增 所以()24log 231xg x ⎛⎫=+⎪−⎝⎭在()0,+∞上单调递减.---------------4分 且()g x 的值域是()1,+∞------------------6分（3）结合（2）结论知()24log 231xg x ⎛⎫=+⎪−⎝⎭在()0,+∞上单调递减且()12g =， 又()2f x x x =+在()0,+∞上单调递增且()12f =故当1x ≥时，()()2,01f x g x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<， 由()()()1f h x g h x h x ≥⇒≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦恒成立，-----------------8分 即()22cos 2cos 11x m x +−≥在,22x ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦上恒成立，设[]cos 0,1x t =∈， 则不等式()22210mt t m +−+≥在[]0,1t ∈上恒成立，-----------9分 ①当0m =时，不等式化为210t −≥，显然不满足恒成立； ②当0m >时，将0t =代入得()10m −+≥，与0m >矛盾； ③当0m <时，只需()()10,1,12210,1,m m m m m m −+≥⎧≤−⎧⎪⇒⇒=−⎨⎨+−+≥≥−⎪⎩⎩，综上，实数m 的值为1−．---------------------12分。
北京市通州区2023-2024学年高一上学期期末质量检测试题 数学含解析
通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷（答案在最后）2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，{}21A x x =-<≤，则U A =ð（）A.{}1x x ≤ B.{}1x x ≥C.{2x x ≤-或}1x > D.{2x x <-或}1x ≥2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A.y =B.2(1)y x =- C.2xy -= D.()ln f x x=-3.若,,a b c ∈R 且a b >，则（）A.22ac bc> B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b > D.||||a b >4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数()ln e xf x =的定义域和值域相同的是（）A.y x= B.ln e xy = C.y = D.y=5.已知0.32=a ，0.3log 2b =，0.30.5c =，则（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c >> D.a c b>>6.已知函数2()log 23f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)7.若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取一个值为（）A.π- B.2π-C.4π D.2π8.设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件9.国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L K V =+（K 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）标准对数视力表A.4.8B.4.9C.5.0D.5.110.设函数()2x f x =，2()g x x =，()log (1)a m x x a =>，()(0)n x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 和()g x 的图象有且只有两个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立C.0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x m x <成立D.当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln(2)f x x =-的定义域是__________.12.计算：124(lg 2lg5)-+=__________．13.函数()2()1ln f x x x =-的零点个数为__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点ππcos 2,sin 266P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0=t 时，则tan α=__________；当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积是__________.15.设函数(),22,2x a x f x a x ≥=-<⎪⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①当2a =时，方程()f x a =有唯一解；②当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 的值域为[0,)+∞；④存在实数a ，使得()f x 在区间()0,∞+上单调递增；其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,5M y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求sin α，sin β的值；（2）求cos POM ∠的值.17.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π64π3sin()A x ωϕ+022-0（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有点向右平行移动π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.18.若函数()2cos (sin cos )1(04)f x x x x ωωωω=+-<<.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在.（1）求()f x 的解析式与最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.条件①：π8f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件②：R x ∀∈，()8πf x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立；条件③：函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.19.函数()e e 4x x f x m -=+-，m ∈R .（1）若()f x 为偶函数，求m 的值及函数()f x 的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数m 的取值范围.20.某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI ）与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足如图连续曲线，并测得当天AQI 的取大值为106.当[0,12]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(12,24]x ∈时，曲线是函数log (10)103a y x =--+图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.21.已知有m 个连续正整数元素的有限集合{}1,2,3,,1,m S m m =- （N m +∈，2m ≥），记有序数对()12,,,m A a a a = ，若对任意i ，{}()1,2,,j m i j ∈≠ ，i a ，j m a S ∈且i j a a ≠，A 同时满足下列条件，则称A 为m 元完备数对.条件①：12231m m a a a a a a --≤-≤≤- ；条件②：122312m m a a a a a a m --+-++-=+ .（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；（2）试证明不存在8元完备数对.通州区2023—2024学年第一学期高一年级期末质量检测数学试卷2024年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集U =R ，{}21A x x =-<≤，则U A =ð（）A.{}1x x ≤B.{}1x x ≥C.{2x x ≤-或}1x > D.{2x x <-或}1x ≥【答案】C 【解析】【分析】根据补集的定义即可求解.【详解】因为全集U =R ，{}21A x x =-<≤，所以{}U |21A x x x =≤->或ð.故选：C2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A.y =B.2(1)y x =- C.2xy -= D.()ln f x x=-【答案】A 【解析】【分析】根据初等基本函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论.【详解】对于A ：因为函数y =(1,)-+∞上是增函数，所以满足条件，故A 正确；对于B ：因为函数2(1)y x =-在(0,1)上是减函数，所以不满足条件，故B 错误；对于C ：因为函数2xy -=在R 上为减函数，所以不满足条件，故C 错误；对于D ：因为函数()ln f x x =-在(0,)+∞上为减函数，所以不满足条件，故D 错误.3.若,,a b c ∈R 且a b >，则（）A.22ac bc >B.1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.33a b > D.||||a b >【答案】C 【解析】【分析】依据不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可．【详解】因为,,a b c ∈R 且a b >，对于A 选项：当0c =时不成立；对于B 选项：1()2xy =单调递减，所以不成立；对于C 选项：3y x =在(,)-∞+∞单调递增，成立；对于D 选项：举反例1,2a b =-=-，不成立．故选：C ．4.下列函数中，其定义域和值域分别与函数()ln e xf x =的定义域和值域相同的是（）A.y x =B.ln e xy = C.y = D.y=【答案】D 【解析】【分析】利用幂函数、指数函数、对数函数的定义域、值域一一判定选项即可.【详解】易知()ln exf x x ==，且0x >，ln e 0x >，故其定义域与值域均为()0,∞+.显然A 选项定义域与值域均为R ，故A 错误；因为ln e x y x ==，且e 0x >恒成立，即其定义域与值域均为R ，故B 错误；0y x ==≥，即其定义域为R ，值域为[)0,∞+，故C 错误；0y=>，且0x >，故其定义域与值域均为()0,∞+，即D 正确.故选：D5.已知0.32=a ，0.3log 2b =，0.30.5c =，则（）A.c a b>> B.c b a>> C.a b c>> D.a c b>>【分析】先判断出a b c 、、的范围，再比较大小即可.【详解】因为0.30221a =>=，所以1a >；0.30.3log 2log 10b =<=，0b <；0.3000.50.51c <=<=，01c <<；所以a c b >>.故选：D6.已知函数2()log 23f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A.(1,0)- B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)【答案】C 【解析】【分析】利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，23y x =-在R 上单调递增，所以2()log 23f x x x =+-在()0,∞+上单调递增，因为()110f =-<，()22log 222320f =+⨯-=>，故函数()f x 零点的区间是(1,2).故选：C7.若函数()cos(2)f x x ϕ=+是奇函数，则ϕ可取一个值为（）A.π-B.2π-C.4π D.2π【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式及正弦函数的性质求出ϕ的取值，从而解得.【详解】解：根据诱导公式及正弦函数的性质可知()π212k ϕ=-⋅，Z k ∈，令0k =，可得ϕ的一个值为π2-.故选：B8.设x ∈R ，则“cos 0x =”是“sin 1x =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【分析】分别解出cos 0x =、sin 1x =，结合充分、必要条件的定义即可求解.【详解】由cos 0x =，得ππ,Z 2x k k =+∈，由sin 1x =，得π2π,Z 2x k k =+∈，又ππ2π,Z π,Z 22x x k k x x k k ⎧⎫⎧⎫=+∈⊆=+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，所以“cos 0x =”是“sin 1x =”的必要不充分条件.故选：B.9.国家标准对数视力表是由我国第一个眼科光学研究室的创办者缪天荣发明设计的，如图是5米测距下的标准对数视力表的一部分.图中左边一列数据为标准对数记录法记录的近似值L ：4.0，4.1，4.2…对应右边一列数据为小数记录法记录的近似值V ：0.1，0.12，0.15….已知标准对数记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足lg L K V =+（K 为常数）.某同学测得视力的小数记录法数据为0.6，则其标准对数记录法的数据约为（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）（）标准对数视力表A.4.8B.4.9C.5.0D.5.1【答案】A 【解析】【分析】利用公式结合对数运算法则计算函数关系式即可.【详解】由题意可知4.0lg 0.14lg 0.15K K =+⇒=-=，所以5lg L V =+，故()5lg 0.65lg3lg55lg31lg 2 4.78 4.8+=+-=+--≈≈，故A 正确.故选：A10.设函数()2x f x =，2()g x x =，()log (1)a m x x a =>，()(0)n x kx k =>，则下列结论正确的是（）A.函数()f x 和()g x 的图象有且只有两个公共点B.0x ∃∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立C.0(0,)x ∃∈+∞，使得()()00f x m x <成立D.当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解【答案】D 【解析】【分析】作出函数()f x 和()g x 的图象，结合函数图象即可判断A B ；根据指数函数和对数函数的图象即可判断C ；根据当1k a =时，函数()log (1)a m x x a =>和1()n x kx x a==的图象都过过点(),1a ，即可判断D.【详解】对于A ，如图所示，作出函数()f x 和()g x 的图象，由图可知，函数()f x 和()g x 的图象有三个公共点，故A 错误；对于B ，由A 选项可知，当>4x 时，()()f x g x >，所以不存在0x ∈R ，当0x x >时，使得()()f x g x <恒成立，故B 错误；对于C ，如图，作出函数()2x f x =，()log (1)a m x x a =>的图象，由图可知，函数()2x f x =的图象在y x =的图象的上方，函数()log (1)a m x x a =>的图象在y x =的图象的下方，所以()0,x ∞∀∈+，()()f x m x >，所以不存在0(0,)x ∈+∞，使得()()00f x m x <成立，故C 错误；对于D ，因为1,0a k >>，1ak ≤，当1k a=时，函数()log (1)a m x x a =>的图象过点(),1a ，函数1()n x kx x a==的图象过点(),1a ，即直线与函数图象有交点，当1k a<时，直线斜率更小，直线与函数图象有交点，所以当1ak ≤时，方程()()m x n x =有解，故D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：判定函数()f x 的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令()0f x =，将函数()f x 的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()ln(2)f x x =-的定义域是__________.【答案】(,2)-∞【解析】【分析】利用对数的限制条件可得答案.【详解】由题意得，20x ->得2x <，所以定义域是(,2)-∞.故答案为：(,2)-∞12.计算：124(lg 2lg5)-+=__________．【答案】1【解析】【分析】利用分数指数幂运算和对数运算性质求解即可【详解】124(lg2lg5)2lg10211-+=-=-=.故答案为：113.函数()2()1ln f x x x =-的零点个数为__________.【答案】1【解析】【分析】令()0f x =，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果.【详解】()2()1ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，令()2()1ln 0f x x x =-=，则210x -=或ln 0x =，解得1x =或=1x -（舍）.故答案为：114.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边经过点ππcos 2,sin 266P t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当0=t 时，则tan α=__________；当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积是__________.【答案】①.3-②.π6【解析】【分析】当0=t 时，求出点P 对应的1P 坐标，即可求得tan α的值，当π6t =时，求出点P 对应的2P 坐标，即可确定扇形12O P P 的圆心角，从而可以求得线段OP 扫过的面积.【详解】当0=t 时，ππ3cos cos 662⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ1sin sin 662⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时点P位于点11,22P ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，所以132tan 332α-==-，此时，1π6xOP ∠=-，当π6t =时，πππcos 2cos 6662⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πππ1sin 2sin 6662⎛⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时点P位于点21,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，此时，2π6xOP ∠=，所以12πππ663POP ⎛⎫∠=--= ⎪⎝⎭，且1OP =，所以 12ππ133PP =⨯=，所以当t 由0变化到π6时，线段OP 扫过的面积就是扇形12O P P 的面积，即121ππ1236OP P S =⨯⨯=扇形，故答案为：33-，π6.15.设函数(),22,2x a x f x a x ≥=-<⎪⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论：①当2a =时，方程()f x a =有唯一解；②当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解；③对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 的值域为[0,)+∞；④存在实数a ，使得()f x 在区间()0,∞+上单调递增；其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②【解析】【分析】直接解方程可判定①，分类讨论解方程可判定②，利用幂函数与指数函数的单调性可判定③，利用分段函数的性质可判定④.【详解】当2a =时，()2,222,2x x f x x ≥=-<⎪⎩，则方程()2f x =，若2,222x x ≥∴=⇒=，若2,222242xxx x <∴=-⇒=⇒=，与前提矛盾，舍去，所以当2a =时，方程()f x a =有唯一解2x =，故①正确；当(0,1)a ∈时，若2,2x a a x ≥∴=⇒=，若2,2xx a a <∴=-，易知2x y a =-在(),2∞-上单调递减，则当log 2a x ≤时,20x y a =-≥，且2x y a =-在(),2∞-上单调递减，当log 22a x <<时，20x y a =-<，则2(2)2x f x a a =-<-，此时()()()222222102a aaa a a a a --=+-=-+<⇒<-，作出函数()f x 与y a =的草图如下，可知当(0,1)a ∈时，方程()f x a =有三个解，故②正确；因为0a >且1a ≠，可知0y a =+>恒成立，若()0,1a ∈，由上可知2x y a =-在(),2∞-上单调递减，且()log 2log 20a a x =<时，20x y a =-=，此时20xy a =-≥；若1a >，易知2x y a =-在(),2∞-上单调递增，即222x y a a =-<-，（i 1a ≥>时，20x y a =-<，则20xa ->，（ii ）当a >()log 2log 22a a x =<时，20xy a =-=，此时20x y a =-≥；1a ≥>时，()f x 取不到最小值0，故③错误；由上可知()0,1a ∈和)∞+时，()f x 在(),log 2a ∞-上单调递减，1a ≥>时，()f x 在(),2∞-上单调递减，故④错误.故答案为：①②【点睛】难点点睛：难点在第二个结论和第三个结论，需要利用指数函数的单调性与零点分类讨论参数的范围，讨论容易遗漏.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点14,5P y ⎛⎫⎪⎝⎭，2,5M y ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求sin α，sin β的值；（2）求cos POM ∠的值.【答案】（1）3sin 5α=，5sin 5β=.（2）5-【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义计算即可；（2）利用余弦的差角公式计算即可.【小问1详解】根据题意可知：1sin 0y α=>，4cos 5α=，则3sin 5α==，同理2sin 0y β=>，cos 5β=-，则sin 5β==；【小问2详解】易知POM βα∠=-，所以()cos cos cos cos sin sin POM βαβαβα∠=-=+4355555=-⨯+⨯=-.17.某同学用“五点法”画函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ35π64π3sin()A x ωϕ+022-0（1）求函数()y f x =的解析式；（2）将函数()y f x =图象上所有点向右平行移动π3个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】（1）π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.【解析】【分析】（1）由五点法，可求周期，从而求出ω，代点求出ϕ，从而求出()y f x =的解析式.（2）根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的单调性，即可得出.【小问1详解】由表格知，2A =且4πππ233T =-=，即2πT =，故2π1T ω==，由ππ32+=ωϕ，则ππ32ϕ+=，故π6ϕ=，则π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由题意知ππ()2sin 36⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g x f x x ，由πππ2π2π262k x k -+≤-≤+，Z k ∈，所以π2π2π2π33k x k -+≤≤+，Z k ∈，即函数()y g x =的单调增区间为π2π2π,2π33k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈.18.若函数()2cos (sin cos )1(04)f x x x x ωωωω=+-<<.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在.（1）求()f x 的解析式与最小正周期；（2）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.条件①：π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭条件②：R x ∀∈，()8πf x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立；条件③：函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，πT =（2；最小值1-【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简()f x ，若选条件①可推得函数()f x 不存在，选择条件②③，可求得函数的解析式，进而得到最小正周期；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，借助正弦函数性质可求出最值.【小问1详解】因为2()2sin cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-，04ω<<，所以π()sin 2cos 224f x x x x ωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，若选条件①：因为π()24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小值为.所以π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 存在.若选条件②：因为x ∀∈R ，()8πf x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.故()f x 在π8x =处取最大值，即πππ2π442k ω+=+，k ∈Z ，所以18k ω=+，因为04ω<<，故1ω=，所以π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为：πT =.若选条件③：因为函数()f x 的图象关于点π,08⎛⎫-⎪⎝⎭对称.ππ044ω⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以πππ44k ω-+=，k ∈Z ，即14k ω=-，k ∈Z ，因为04ω<<，故1ω=.所以π()24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为：πT =.【小问2详解】因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故当ππ242x +=，即π8x =时，()f x ；故当π5π244x +=，即π2x =时，()f x 取最小值1-.19.函数()e e 4x x f x m -=+-，m ∈R .（1）若()f x 为偶函数，求m 的值及函数()f x 的最小值；（2）当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，求实数m 的取值范围.【答案】（1）1m =，2-（2）(4,)m ∈+∞【解析】【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数()e e 4x x f x m -=+-计算m ，利用换元法e 0x u =>，结合基本不等式进行最小值的求解即可.（2）由于函数()f x 图像恒在x 轴上方，所以函数()0f x >，进行参数分离，得到24e e ,[1,1]x x m x >-∈-恒成立，结合换元法进行讨论即可.【小问1详解】因为函数()e e 4x x f x m -=+-为偶函数.所以()()f x f x -=恒成立，即e e 4e e 4x x x x m m --+-=+-恒成立.即()(1)ee 0xx m ---=恒成立，解得1m =，所以1()e e 4e 4exxx x f x -=+-=+-，令e 0x u =>，1442y u u =+-≥-=-，当且仅当1u =，即0x =时，等号成立.所以函数()f x 的最小值为2-.【小问2详解】当[1,1]x ∈-时，函数()f x 的图象恒在x 轴上方，故当[1,1]x ∈-时()e e 40x x f x m -=+->恒成立.即24e e ,[1,1]x x m x >-∈-恒成立.令2()4e e x x h x =-，令e x t =，1,e e t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.因为24y t t =-，对称轴为2t =，故当2t =即ln 2x =时，()h x 取最大值4，故(4,)m ∈+∞.20.某城市2024年1月1日的空气质量指数（简称AQI ）与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足如图连续曲线，并测得当天AQI 的取大值为106.当[0,12]x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(12,24]x ∈时，曲线是函数log (10)103a y x =--+图象的一部分.根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于101时，空气就属于污染状态.（1）求函数()y f x =的解析式；（2）该城市2024年1月1日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由.【答案】20.()()[]()(]2210106,0,12log 10103,12,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨--+∈⎪⎩ 21.这一天在1014x -≤≤这个时间段的空气，空气属于污染状态，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据图象结合二次函数运算求解；（2）由（1）可得()f x 的解析式，分类讨论解不等式()101f x ≥即可得结果.【小问1详解】当[0,12]x ∈时，由图像可得：二次函数开口向下，顶点坐标为(10,106)，且过()8,102，()12,102，可设2()(10)106f x b x =-+，0b <，代入点(8,102)可得2(810)106102b -+=，解得1b =-，故当[0,12]x ∈时，2()(10)106f x x =--+；点(12,102)代入log (10)103a y x =--+，解得2a =，故当(12,24]x ∈时，2()log (10)103f x x =--+；()()[]()(]2210106,0,12log 10103,12,24x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨--+∈⎪⎩ .【小问2详解】当[0,12]x ∈时，令2()(10)106101f x x =--+≥，解得1012x ≤≤，当(12,24]x ∈时，令2()log (10)103101f x x =--+≥，解得1214x <≤，所以1014x -≤≤，综上所述：这一天在1014x ≤≤这个时间段的空气，空气属于污染状态.21.已知有m 个连续正整数元素的有限集合{}1,2,3,,1,m S m m =- （N m +∈，2m ≥），记有序数对()12,,,m A a a a = ，若对任意i ，{}()1,2,,j m i j ∈≠ ，i a ，j m a S ∈且i j a a ≠，A 同时满足下列条件，则称A 为m 元完备数对.条件①：12231m m a a a a a a --≤-≤≤- ；条件②：122312m m a a a a a a m --+-++-=+ .（1）试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；（2）试证明不存在8元完备数对.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用m 元完备数对的定义推理判断即得.（2）令1(1,2,,7)k k k b a a k +=-= ，根据m 元完备数对的定义确定k b 的所有可能情况，再导出矛盾即可.【小问1详解】当3m =时，由12(1,2)+-≤=i i a a i ，得12235-+-<a a a a ，不符合题意，所以不存在3元完备数对；当4m =时，当13a =，22a =，34a =，41a =时，满足122331a a a a a a -≤-≤-且1223346-+-+-=a a a a a a ，符合题意，所以(3,2,4,1)A =为4元完备数对.【小问2详解】假设存在8元完备数对，当8m =时，令1(1,2,,7)k k k b a a k +=-= ，则1211b b b ≤≤≤≤ ，且12710b b b +++= ，则k b 有以下三种可能：①()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ ；②()()()1,1,2,,52,63,7k k b k k ⎧=⎪==⎨⎪=⎩；③()()1,1,2,,42,5,6,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩当()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，于是126b b b === ，即1223671a a a a a a -=-==-= ，由112|(1,2,,7)|||k k k k a a a a k +++--== ，得112k k k k a a a a +++-=-或121k k k k a a a a +++--=，而,{1,2,3,4,5,6,7,8},,i j i j i j a a ∈≠≠，则有112k k k k a a a a +++-=-，因此1a ，2a ，…，7a ，8a 分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，由74b =得874a a =+或874a a =-，与已知矛盾，则当()()1,1,2,,64,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，不存在8元完备数对；当()()()1,1,2,,52,63,7k k b k k ⎧=⎪==⎨⎪=⎩或()()1,1,2,,42,5,6,7k k b k ⎧=⎪=⎨=⎪⎩ 时，同理不存在8元完备数对，所以不存在8元完备数对.【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.。
河南省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合,集合,则=( ){}2|4A x x =>{}23|B y y x ==-+A B ⋂A ．B ．()2,3(]2,3C ． D ．()(],22,3-∞- ()(),22,3-∞-⋃【答案】C【分析】求出集合,利用交集的定义求解即可.,A B 【详解】因为或,,{}{242A x x x x ==<-}2x >{}{}2|33B y y x y y ==-+=≤所以或. {2A B x x ⋂=<-}23x <≤故选:C.2．命题“，”的否定为（ ） 0x ∃≥210x -≥A ．， B ．， 0x ∀<210x -<0x ∃≥210x -≥C ．， D ．，0x ∃≥210x -<0x ∀≥210x -<【答案】D【分析】利用含有一个量词命题的否定的定义求解.【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题， 0x ∃≥210x -≥所以其否定是全称量词命题，即为，， 0x ∀≥210x -<故选：D3．函数，若，则（ ） 3()tan 2f x ax bx x =--+()1f m =()f m -=A ．1 B ．－1 C ．3 D ．－3【答案】C【分析】先求出，再整体代入即得解.3tan 1am bm m --=-【详解】由题得，()3tan 21f m am bm m =--+=3tan 1am bm m ∴--=-所以.()33tan 2(tan )2123f m am bm m am bm m +-=-++=---+=+=故选：C4．若函数在上不单调，则实数取值范围是（ ） 231y x mx m =-+-[3,4]-m A ． B ．C ．D ．[6,8]-(6,8)-(,6][8,)-∞-⋃+∞(,6)(8,)-∞-⋃+∞【答案】B【分析】利用二次函数的对称轴与所给区间的关系即可得解. 【详解】因为二次函数的对称轴方程为，且在上不单调， 231y x mx m =-+-2mx =[3,4]-所以，解得， 342m-<<68m -<<故选：B5．已知函数，若，则不等式的解集为（ ）()32log 12313x x a x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩()1f a =()28(2)f x f x -<A ． B ． C ． D ．(2,4)-(2,)-+∞(4,2)-(1,4)-【答案】A【分析】先由，求得，再判断其单调性，然后由，利用其单调性求()1f a =()f x ()28(2)f x f x -<解.【详解】解：因为函数，且，()32log 12313x x a x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩()1f a =当时，，解得， 1a ≥3log 1a a +=1a =当时，，解得（舍去）， 1a <22313a -+=1a =所以，32log 1,1()23,13x x x f x x -+≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩当时，单调递增；1x ≥3()log 1f x x =+当时，，单调递增，且， 1x <22()33x f x -=+1232log 1133-+=+所以在R 上递增，()f x 因为，()28(2)f x f x -<所以，即， 282x x -<2280x x --<解得， 24-<<x 故选：A6．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城，有学者根据公布数据建立了某地区某种疾病累计确诊病例数的单位：天）的Logistic 模型：，其中为最大()(I t t ()()0.24531e t K I t --=+K 确诊病例数．当时，则t 约为（ ） ()0.8I t K =()ln 4 1.39≈A ．48B ．72C ．63D ．59【答案】D【分析】根据题意得到，再两边取对数求解即可.0.24(53)()0.81e t K I t K --==+【详解】由题意得：，0.24(53)()0.81e t KI t K --==+即， 0.24(53)e41t --=两边取对数得， 10.24(53)ln ln 4 1.394t --==-≈-即， 0.24(53) 1.39t -≈解得， 59t ≈故选：D.7．锐角三角形的内角A ，B ，C 满足：，则有（ ） cos sin 2cos sin A B B C =A ． B ． sin 2cos 0B C -=sin 2cos 0B C +=C ． D ．sin 2sin 0B C -=sin 2sin 0B C +=【答案】C【分析】由三角恒等变换化简可得，得出，再由诱导公式即可得解. A B =π2C B =-【详解】因为， cos sin 2cos sin A B B C =所以， 2cos sin cos cos sin A B B B C =又，所以， π02B <<cos 0B ≠所以， 2cos sin sin sin()sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+即，又为锐角， in 0()s A B -=,A B 所以，故，A B =π2C B =-所以，， sin sin(π2)sin 2C B B =-=cos cos(π2)cos 2C B B =-=-故， sin 2sin 0B C -=故选：C 8．已知，则等于（ ） 1124m m+=+2log m m A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－4【答案】C【分析】首先根据已知条件得到，再根据求解即128mm ⋅=()2222log log 2log log 2m m m m m m +=+=⋅可.【详解】因为，所以，即.1124m m+=128m m =128mm ⋅=所以. ()222221log log 2log log 2log 38m mm m m m +=+=⋅==-故选：C二、多选题9．下列说法中，正确的是（ ）A ．集合和表示同一个集合 {}1,2A =(){}1,2B =B ．函数的单调增区间为()f x [3,1]--C ．若，则用a ，b 表示2log 3a =2log 5b =303log 401b a b +=++D ．已知是定义在上的奇函数，当时，，则当时，()f x (,0)(0,)-∞+∞ 0x >21()1f x x x=+-0x < 21()1f x x x=--+【答案】BC【分析】对于A ，根据集合的定义即可判断；对于B ，利用复合函数的单调性即可判断；对于C ，利用对数的换底公式及运算性质即可判断；对于D ，利用函数的奇偶性求对称区间上的解析式即可判断.【详解】对于A ，集合中元素为数，集合为点，可知表示的不是同一个集合，{1,2}A ={(1,2)}B =所以A 选项错误；对于B ，根据解得函数的定义域为， 2320x x --≥()f x =[3,1]-令则，232t x x =--y =为二次函数，开口向下，对称轴为，232t x x =--()2121x -=-=-⨯-所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，232t x x =--[]3,1--[]1,1-函数为增函数，根据复合函数的单调性可知函数，y =()f x =[]3,1--所以B 选项正确；对于C ，因为，，根据对数的换底公式可得2log 3a =2log 5b =，所以C 选项正确；22223022222log 40log (58)log log 83log 40log 30log (352155)log 3log log 2b a b ⨯++==+==⨯⨯+++对于D ，因为当时，，可令，则，所以 0x >21()1f x x x=+-0x <0x ->， 2211()()11()f x x x x x-=-+-=---又因为是定义在上的奇函数，所以与题干结果不()f x (,0)(0,)-∞+∞ 21()()1f x f x x x=--=-++符，所以D 选项错误； 故选：BC.10．下列函数中，最小正周期为的是（ ） πA ． B ．|sin |y x =πtan 6y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ． D ．cos ||y x =πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】依次判断选项中的函数周期即可得到答案。
山东省潍坊市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则集合A ，B 的关系是（ ） {}N A x y x =∈{}4,3,2,1B =A ． B ． C ．D ．B A ⊆A B =B A ∈A B ⊆【答案】A【分析】计算得到，据此得到集合的关系.{}0,1,2,3,4A =【详解】，，故错误； {}{N}0,1,2,3,4A xy x ==∈=∣{}4,3,2,1B =A B =集合中元素都是集合元素，故正确；B A B A ⊆是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故错误；A B ，∈B A ∈集合中元素存在不属于集合的元素，故错误. A B A B ⊆故选：A2．函数的定义域为（ ）()()2ln 2f x x x =-A ． B ． (,0)(2,)-∞+∞ (,0][2,)-∞⋃+∞C ． D ．()0,2[]0,2【答案】C【分析】根据对数型函数的定义域运算求解. 【详解】令，解得，220x x ->02x <<故函数的定义域为.()()2ln 2f x x x =-()0,2故选：C.3．命题“，”的否定形式是（ ） 2x ∀>240x -≠A ．， B ．， 2x ∃>240x -≠2x ∀≤240x -=C ．， D ．，2x ∃>240x -=2x ∃≤240x -=【答案】C【分析】根据全称命题的否定形式可直接得到结果.【详解】由全称命题的否定可知：原命题的否定为，. 2x ∃>240x -=故选：C.4．已知，，，则（ ） 0.13a =30.3b =0.2log 3c =A ． B ．C ．D ．a b c <<c b a <<b a c <<c<a<b 【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出结果.0,1【详解】，.3000.10.20.2log 3log 100.30.3133<=<<==< c b a ∴<<故选：B.5．某市四区夜市地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图、图所示，为提升夜市消费品质，现用12分层抽样的方法抽取的摊位进行调查分析，则抽取的样本容量与区被抽取的食品摊位数分别6%A 为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，21024210272522425227【答案】D【分析】根据分层抽样原则，结合统计图表直接计算即可.【详解】根据分层抽样原则知：抽取的样本容量为；()1000800100014006%252+++⨯=区抽取的食品摊位数为.A 10006%0.4527⨯⨯=故选：D.6．小刚参与一种答题游戏，需要解答A ，B ，C 三道题．已知他答对这三道题的概率分别为a ，a ，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为1214（ ） A ． B ．C ．D ．12131415【答案】C【分析】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，并利用D ，E ，F 构造相应的事件，根据概率加法公式与乘法公式求解相应事件的概率.【详解】记小刚解答A ，B ，C 三道题正确分别为事件D ，E ，F ，且D ，E ，F 相互独立， 且. ()()()1,2P D P E a P F ===恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， DEF DEF DEF ++DEF DEF DEF ，，所以()()()()P DEF DEF DEF P DEF P DEF P DEF ++=++()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F =++，()()11111112224a a a a a a ⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭整理得，他三道题都答错为事件，()2112a -=DEF 故.()()()()()()22111111224P DEF P D P E P F a a ⎛⎫==--=-= ⎪⎝⎭故选：C.7．定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且R ()f x ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >，则不等式的解集是（ ） ()10f =()0f x >A ． B ． ()1,1-()()1,01,-⋃+∞C ． D ．()(),10,1-∞-⋃()(),11,-∞-⋃+∞【答案】B【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定的单调性，结合可得不等式()f x ()()110f f -=-=的解集.【详解】对任意的，，有， ()12,0,x x ∈+∞12x x <()()21f x f x >在上单调递增，又定义域为，， ()f x \()0,∞+()f x R ()10f =在上单调递增，且，；()f x \(),0∞-()()110f f -=-=()00f =则当或时，， 10x -<<1x >()0f x >即不等式的解集为. ()0f x >()()1,01,-⋃+∞故选：B.8．已知函数，若函数有七个不同的零点，()11,02ln ,0x x f x x x +⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()()()24433g x f x t f x t =-+⎤⎦+⎡⎣则实数t 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先以为整体分析可得：和共有7个不同的根，再结合的图象()f x ()34f x =()f x t =()f x 分析求解.【详解】令，解得或， ()()()()244330g x f x t f x t =-+⎦+⎤⎣=⎡()34f x =()f x t =作出函数的图象，如图所示，()y f x =与有4个交点，即方程有4个不相等的实根，()y f x =34y =()34f x =由题意可得：方程有3个不相等的实根，即与有3个交点， ()f x t =()y f x =y t =故实数t 的取值范围是.{}10,12⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解． （2）分离参数、转化为求函数的值域问题求解．二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．的最小值为 B ．无最小值 ()4f x x x=+4()4f x x x=+C ．的最大值为D ．无最大值()()3f x x x =-94()()3f x x x =-【答案】BC【分析】结合基本不等式和二次函数性质依次判断各个选项即可.【详解】对于AB ，当时，（当且仅当时取等号）； 0x >44x x +≥=2x =当时，（当且仅当时取等号）， 0x <()444x x x x ⎡⎤⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2x =-的值域为，无最小值，A 错误，B 正确； ()4f x x x∴=+(][),44,-∞-⋃+∞对于CD ，，()()22393324f x x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭当时，取得最大值，最大值为，C 正确，D 错误. ∴32x =()f x 94故选：BC.10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） (0,)+∞A ． B ．C ．D ．y x =||e x y =-12log y x =13y x -=【答案】BC【分析】A 选项不满足单调性；D 不满足奇偶性，B 、C 选项均为偶函数且在上单调递减正(0,)+∞确.【详解】在上单调递增，A 选项错误；y x =()0,∞+，故为偶函数，当时为单调递减函数，B()e ,)()e (xxf x f x f x =--==-||e x y =-()0,x ∈+∞e x y =-选项正确；，故为偶函数，当时为单调递1122()()log ,log ()g g g x x x x x =-==12log y x =()0,x ∈+∞12log y x =减函数，C 选项正确；是奇函数，D 选项错误. 13y x -=故选：BC11．如图，已知正方体顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的1111ABCD A B C D -某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为，则下列n P 说法正确的是（ ）A ．B ． 123P =259P =C ．D ．点Q 移动4次后恰好位于点的概率为012133n n P P +=+1C 【答案】ABD【分析】根据题意找出在下或上底面时，随机移动一次仍在原底面及另一底面的概率即可逐步分Q 析计算确定各选项的正误.【详解】依题意，每一个顶点由3个相邻的点，其中两个在同一底面.所以当点在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为：， Q 23在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为：，13所以，故A 选项正确； 123P =对于B ：，故B 选项正确；22211533339P =⨯+⨯=对于C ：，故C 选项错误； ()1211113333n n n n P P P P +=+-=+对于D ：点由点移动到点处至少需要3次， Q A 1C 任意折返都需要2次移动，所以移动4次后不可能 到达点，所以点Q 移动4次后恰好位于点的概率为0. 1C 1C 故D 选项正确； 故选：ABD.12．已知实数a ，b 满足，，则（ ） 22a a +=22log 1b b +=A ． B ． C ． D ．22a b +=102a <<122a b->5384b <<【答案】ACD【分析】构建，根据单调性结合零点存在性定理可得，再利用指对数互()22xf x x =+-13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭化结合不等式性质、函数单调性分析判断. 【详解】对B ：∵，则，22a a +=220a a +-=构建，则在上单调递增，且，()22xf x x =+-()f x R 3413350,202244f f ⎛⎫⎛⎫=<=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故在上有且仅有一个零点，B 错误；()f x R 13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对A ：∵，则， 22log 1b b +=222log 20b b +-=令，则，即，22log t b =22t b =220t t +-=∴，即，故，A 正确； 2lo 2g a t b ==22a b =22a b +=对D ：∵，则，D 正确； 22a b +=253,284a b -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭对C ：∵，且在上单调递增， 23211224a a ab a ---=-=>->-2x y =R ∴，C 正确. 11222a b-->=故选：ACD.【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的方法：（1）直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．（2）零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a ，b ]上是连续的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．（3）数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题13．已知一元二次方程的两根分别为和，则______． 22340x x +-=1x 2x 1211x x +=【答案】## 340.75【分析】利用韦达定理可直接求得结果.【详解】由韦达定理知：，，. 1232x x +=-122x x =-1212121134x x x x x x +∴+==故答案为：. 3414．已知函数（且）的图象恒过定点M ，则点M 的坐标为______．1log (2)3a y x =-+0a >1a ≠【答案】13,3⎛⎫⎪⎝⎭【分析】函数存在参数，当时所求出的横纵坐标即是定点坐标． log (2)0a x -=【详解】令，解得，此时，故定点坐标为． log (2)0a x -=3x =13y =13,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为：13,3⎛⎫⎪⎝⎭15．将一组正数，，，…，的平均数和方差分别记为与，若，1x 2x 3x 10x x 2s 10214500i i x ==∑250s =，则______． x =【答案】20【分析】列出方差公式，代入数据，即可求解.【详解】由题意得，()10221110i i s x x ==-∑， 102211105010i i x x =⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑代入数据得，， ()214500105010x -=解得.20x =故答案为：2016．已知两条直线：和：，直线，分别与函数的图象相交1l 1y m =+2l ()221y m m =+>-1l 2l 2x y =于点A ，B ，点A ，B 在x 轴上的投影分别为C ，D ，当m 变化时，的最小值为______． CD【答案】()2log 2-【分析】分别求出直线，与函数的图象交点的横坐标，再根据对数运算与基本不等式求1l 2l 2x y =最值.【详解】由与函数相交得，解得，所以，1y m =+2x y =21x m =+()2log 1x m =+()()2log 1,0C m +同理可得，()()22log 2,0D m +所以，()()222222log 2log 1log 1m CD m m m +=+-+=+令，()2231211m g m m m m +==++-++因为， 所以,当且仅当时取最小值. 1m >-()31221g m m m =++-≥-+1m =所以 ()()22min log 2log 2CD ==所以的最小值为. CD ()2log 2-故答案为:()2log 2【点睛】利用基本不等式求最值时要注意成立的条件，一正二定三相等，遇到非正可通过提取负号转化为正的；没有定值时可对式子变形得到积定或和定再用基本不等式；取不到等号时可借助于函数的单调性求最值.四、解答题17．设全集，已知集合，． U =R {}11A x a x a =-+≤≤+401x B xx -⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若，求实数a 的取值范围． A B ⋂=∅【答案】(1)或；{1x x <}2x ≥(2). 23a ≤≤【分析】（1）由已知解出集合A ，B ，根据并集的运算即可得出答案； （2）若，根据集合间关系列出不等式，即可求出实数a 的取值范围. A B ⋂=∅【详解】（1）当，， 3a ={}24A x x =≤≤由得，所以或， 401x x ->-(4)(1)0x x -->{1B x x =<}4x >或；{1A B x x ∴⋃=<}2x ≥（2）已知， {}11A x a x a =-+≤≤+由（1）知或， {1B x x =<}4x >因为，且， A B ⋂=∅B ≠∅∴且， 11a -+≥14a +≤解得，23a ≤≤所以实数a 的取值范围为.23a ≤≤18．已知函数．()22f x x ax a =-+(1)若的解集为，求实数的取值范围； ()0f x ≥R a (2)当时，解关于的不等式． 3a ≠-x ()()43f x a a x >-+【答案】(1) []0,1(2)答案见解析【分析】（1）由一元二次不等式在上恒成立可得，由此可解得结果；R 0∆≤（2）将所求不等式化为，分别在和的情况下解不等式即可. ()()30x x a +->3a >-3a <-【详解】（1）由题意知：在上恒成立，，解得：， 220x ax a -+≥R 2440a a ∴∆=-≤01a ≤≤即实数的取值范围为.a []0,1（2）由得：；()()43f x a a x >-+()()()23330x a x a x x a +--=+->当时，的解为或； 3a >-()()30x x a +->3x <-x a >当时，的解为或；3a <-()()30x x a +->x a <3x >-综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为3a >-()(),3,a -∞-+∞ 3a <-.()(),3,a -∞-+∞ 19．受疫情影响年下半年多地又陆续开启“线上教学模式”．某机构经过调查发现学生的上课2022注意力指数与听课时间（单位：）之间满足如下关系：()f t t min ，其中，且．已知在区间上的最大()()224,016log 889,1645a mt mt n t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩0m >0a >1a ≠()y f t =[)0,16值为，最小值为，且的图象过点． 8870()y f t =()16,86(1)试求的函数关系式；()y f t =(2)若注意力指数大于等于时听课效果最佳，则教师在什么时间段内安排核心内容，能使学生听85课效果最佳？请说明理由．【答案】(1) ()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪=⎨-+≤≤⎪⎩(2)教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳1224t ⎡⎤∈-⎣⎦【分析】（1）根据二次函数最值和函数所过点可构造不等式求得的值，由此可得； ,,m n a ()f x （2）分别在和的情况下，由可解不等式求得结果.016t ≤<1645t ≤≤()85f t ≥【详解】（1）当时，，[)0,16t ∈()()()222412144f t m t t n m t m n =--+=--++，解得：； ()()()()max min 1214488070f t f m n f t f n ⎧==+=⎪∴⎨===⎪⎩1870m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩又，，解得：， ()16log 88986a f =+=log 83a ∴=-12a =.()()2121370,0168log 889,1645t t t f t t t ⎧-++≤<⎪∴=⎨-+≤≤⎪⎩（2）当时，令，解得：；16t ≤<21370858t t -++≥1216t -≤<当时，令，解得：；1645t ≤≤()12log 88985t -+≥1624t ≤≤教师在内安排核心内容，能使学生听课效果最佳.∴1224t ⎡⎤∈-⎣⎦20．已知函数，函数． ()()33log log 39x f x x =⋅()1425x x g x +=-+(1)求函数的最小值；()f x (2)若存在实数，使不等式成立，求实数x 的取值范围．[]1,2m Î-()()0f x g m -≥【答案】(1) 94-(2)或 109x <≤27x ≥【分析】（1）将化为关于的二次函数后求最小值；()f x 3log x （2）由题意知，求得后再解关于的二次不等式即可.min ()()f x g m ≥min ()g m 3log x 【详解】（1） ()()3333()log log (3)log 2log 19x f x x x x =⋅=-+ ()233log log 2x x =--， 2319log 24x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∴显然当即, ， 31log 2x =x =min 9()4f x =-∴的最小值为. ()f x 94-（2）因为存在实数，使不等式成立，[]1,2m Î-()()0f x g m -≥所以， 又，min ()()f x g m ≥()()21421524x x x g x +=-+-=+所以，()()2124m g m -=+又，显然当时，，[]1,2m Î-0m =()()02min 2414g m -=+=所以有，即，可得， ()4f x ≥()233log log 24x x --≥()()33log 2log 30x x +-≥所以或，解得 或. 3log 2x ≤-3log 3x ≥109x <≤27x ≥故实数x 的取值范围为或. 109x <≤27x ≥21．某中学为了解高一年级数学文化知识竞赛的得分情况，从参赛的1000名学生中随机抽取了50名学生的成绩进行分析．经统计，这50名学生的成绩全部介于55分和95分之间，将数据按照如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得[)55,60[)60,65[]90,95到的频率分布直方图的一部分．已知第一组和第八组人数相同，第七组的人数为3人．(1)求第六组的频率；若比赛成绩由高到低的前15%为优秀等级，试估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数（精确到0.1）；(2)若从样本中成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取两名学生，记他们的成绩分别为x ，y ，从下面两个条件中选一个，求事件E 的概率．()P E ①事件E ：；[]0,5x y -∈②事件E ：．(]5,15x y -∈注：如果①②都做，只按第①个计分．【答案】(1)0.08；81.8(2)选①：；选②： 715815【分析】（1）根据频率之和为1计算第六组的频率；先判断优秀等级的最低分数所在区间，再根据不低于此分数所占的频率为0.12求得此分数.（2）分别求出第六组和第八组的人数，列举出随机抽取两名学生的所有情况，再求出事件E 所包含事件的个数的概率，根据古典概型求解.【详解】（1）第七组的频率为， 30.0650＝所以第六组的频率为，()10.0650.00820.0160.0420.060.08--⨯++⨯+=第八组的频率为0.04，第七、八两组的频率之和为0.10，第六、七、八组的频率之和为0.18，设优秀等级的最低分数为，则，m 8085m <<由，解得， 850.040.060.080.155m -++⨯=81.8m ≈故估计该校参赛的高一年级1000名学生的成绩中优秀等级的最低分数.81.8（2）第六组的人数为4人，设为,，第八组的人数为2人，设为， [80,85),a b ,c d [90,95],A B 随机抽取两名学生，则有共15种情况，,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad bc bd cd aA bA cA dA aB bB cB dB AB选①：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生在同一组，[]:0,5E x y -∈所以事件包含的基本事件为共7种情况，E ,,,,,,ab ac ad bc bd cd AB 故. 7()15P E =选②：因事件发生当且仅当随机抽取的两名学生不在同一组，(]:5,15E x y -∈所以事件包含的基本事件为共8种情况，E ,,,,,,,aA bA cA dA aB bB cB dB 故. 8()15P E =22．已知函数的定义域为D ，对于给定的正整数k ，若存在，使得函数满足：()f x [],a b D ⊆()f x 函数在上是单调函数且的最小值为ka ，最大值为kb ，则称函数是“倍缩函()f x [],a b ()f x ()f x 数”，区间是函数的“k 倍值区间”．[],a b ()f x (1)判断函数是否是“倍缩函数”？（只需直接写出结果）()3f x x =(2)证明：函数存在“2倍值区间”；()ln 3g x x =+(3)设函数，，若函数存在“k 倍值区间”，求k 的值． ()2841x h x x =+10,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦()h x 【答案】(1)是，理由见详解(2)证明见详解(3){}4,5,6,7k ∈【分析】（1）取，结合题意分析说明；1,1,1k a b ==-=（2）根据题意分析可得至少有两个不相等的实根，构建函数结合零点存在性定理分析ln 32x x +=证明；（3）先根据单调性的定义证明在上单调递增，根据题意分析可得在内()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦至少有两个不相等的实根，根据函数零点分析运算即可得结果.【详解】（1）取，1,1,1k a b ==-=∵在上单调递增，()3f x x =[]1,1-∴在上的最小值为，最大值为，且， ()3f x x =[]1,1-()1f -()1f ()()()1111,1111f f -=-=⨯-==⨯故函数是“倍缩函数”.()3f x x =（2）取，2k =∵函数在上单调递增，()ln 3g x x =+[],a b 若函数存在“2倍值区间”，等价于存在，使得成立， ()ln 3g x x =+0a b <<ln 32ln 32a a b b+=⎧⎨+=⎩等价于至少有两个不相等的实根，ln 32x x +=等价于至少有两个零点，()ln 23G x x x =-+∵，且在定义内连续不断， ()()()332e 0,110,2ln 210e G G G -=-<=>=-<()G x ∴在区间内均存在零点，()G x ()()3e ,1,1,2-故函数存在“2倍值区间”.()ln 3g x x =+（3）对，且，则， 121,0,2x x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦12x x <()()()()()()12121212222212128148841414141x x x x x x h x h x x x x x ---=-=++++∵，则， 12102x x ≤<≤221212120,140,410,410x x x x x x -<->+>+>∴，即，()()120h x h x -<()()12h x h x <故函数在上单调递增， ()h x 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦若函数存在“k 倍值区间”，即存在，使得成立， ()h x *10,2a b k ≤<≤∈N 22841841a ka ab kb b ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即在内至少有两个不相等的实根， 2841x kx x =+10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∵是方程的根，则在内有实根， 0x =2841x kx x =+2841k x =+10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦若，则，即，且， 10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦[)284,841x ∈+[)4,8k ∈*k ∈N ∴，即.4,5,6,7k ={}4,5,6,7k ∈【点睛】方法点睛：利用函数零点求参数值或取值范围的方法（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解．（2）分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．。
重庆市巴蜀2023-2024学年高一上学期1月期末数学试题含解析
高2026届高一（上）期末考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效．3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试时间120分钟一、单选题：本题共8小题，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.7sin π6=（）A. B.12-C.12D.32【答案】B 【解析】【分析】结合诱导公式计算即可求解.【详解】由题意知，7πππ1sin sin πsin 6662⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭.故选：B2.若a b >，c ∈R ，则下列不等式一定成立的是（）A.11a b< B.22ac bc > C.e e a b--< D.cos cos a b<【答案】C 【解析】【分析】举例说明即可判断ABD.由指数函数的单调性与不等式的基本性质即可判断C.【详解】A ：当a b >时，令1,1a b ==-，则11a b>，故A 错误；B ：当0c =时，22ac bc =，故B 错误；C ：当a b >时，e e 0a b >>，则11e ea b <，即e <e a b --，故C 正确；D ：当a b >时，令π0,2a b ==-，则π1cos 0cos()02=>-=，即cos cos a b >，故D 错误.故选：C3.在扇形OAB 中，已知弦2AB =，60AOB ∠=︒，则扇形OAB 的面积为（）A.π3B.2π3C.πD.4π3【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算直接得出结果.【详解】由题意知，设扇形的圆心角为α，半径为r ，则扇形的面积为2211π2π22233S r α==⨯⨯=.故选：B4.函数()()22log 2f x x x =-+的单调递增区间为（）A.(),1-∞ B.()0,1 C.()1,2 D.()1,+∞【答案】B 【解析】【分析】由对数函数的单调性结合复合函数的同增异减即可得答案.【详解】由题意得220x x -+>，解得02x <<，22y x x =-+开口向下，对称轴为1x =，所以22y x x =-+在(0,1)上递增，在(1,2)上递减；因为2log y x =是定义域上的递增函数，利用复合函数的同增异减可得22()log (2)f x x x =-+的单调递增区间为(0,1)，故选：B.5.“11sin 3t -≤<”是“7cos 29t >”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要条件D.既不充分也不必要【答案】B 【解析】【分析】首先根据7cos 29t >，求得sin t 的取值范围，再判断集合的包含关系，根据充分，必要条件，即可判断选项.【详解】27711cos 212sin sin 9933t t t >⇔->⇔-<<，因为11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭11,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭所以11sin 3t -<<是11sin 33t -<<的必要不充分条件．故选：B 6.已知352a =，2512b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，122log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c a b >>B.a c b>> C.a b c>> D.c b a>>【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断即可.【详解】因为3255221a b =>=>，112221log log 132c =<=，故a b c >>.故选：C.7.已知ππ,36a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足π12cos 613⎛⎫+=- ⎪⎝⎭αα，3sin 5β=，则πcos 3⎛⎫++= ⎪⎝⎭αβ（）A.5665-B.1665-C.1665D.5665【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦公式和辅助角公式可得π12sin 313a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由题意，利用同角三角函数的关系求得π5cos 313⎛⎫+= ⎪⎝⎭α，4cos 5β=-，再次利用两角和的余弦公式计算即可求解.【详解】π12112cos cos sin 6132213a a ⎛⎫+=-⇒⋅-⋅=- ⎪⎝⎭ααα，112cos sin 2213a a +=，得π12sin 313a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ππ,36⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ α，ππ0,32⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭α，π5cos 313α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 5=β，π,π2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos 5β∴==-，ππππcos cos cos cos sin sin 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭αβαβαβαβ541235613513565⎛⎫=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.故选：A8.已知函数()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，且在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为（）A .22,93⎛⎫⎪⎝⎭ B.22814,,9399⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.22814,,9399⎛⎫⎛⎤⋃⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦D.22814,,9399⎛⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】先由()f x 在π,012⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，得02ω<≤，再由()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，得πππ03233π0ππ23ωω⎧-<-<⎪⎪⎨⎪<-≤⎪⎩或ππ2π02333πππ2π23ωω⎧≤-≤⎪⎪⎨⎪<-≤⎪⎩，取并集结合02ω<≤的前提条件，即可得答案.【详解】当π,012x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，ππππ,31233x ωω⎛⎫-∈--- ⎪⎝⎭，因为()f x 在π,012⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，故πππ1232--≥-ω，则02ω<≤；当π3π,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，πππ3ππ,32323x ωωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，且πππ2π,2333ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，3πππ8π,2333ω⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦，又因为()f x 在π3π,22⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有1个零点，故讨论两种情况：①πππ0223233π930ππ23ωωω⎧-<-<⎪⎪⇒<<⎨⎪<-≤⎪⎩，②ππ2π08142333π99ππ2π23ωωω⎧≤-≤⎪⎪⇒<≤⎨⎪<-≤⎪⎩，综上：ω的取值范围为22814,,9399⎛⎫⎛⎤⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故选：C.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）9.已知幂函数()()1233a f x a a x =-+，则下列说法正确的有（）A.1a =或2B.()f x 一定为奇函数C.()f x 一定为增函数D.()f x 必过点()1,1【答案】ACD 【解析】【分析】根据幂函数系数为1，求出幂函数解析式，判断A ；根据幂函数性质判断BCD.【详解】根据幂函数的定义，可得23311a a a -+=⇒=或2，故A 正确；当2a =时，()f x =B 错误；1a =或2时，()f x x =或()f x =，都是增函数，故C 正确；幂函数均经过点()1,1，故D 正确故选：ACD10.下图是函数())s 0(in π()f x A x =+<<ωϕϕ的部分图像，则（）A.2πT =B.π3ϕ=C.π,06⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 D.()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（Z k ∈）【答案】BCD 【解析】【分析】由图象可得πT =，由2πT ω=可求出ω，再将π12⎛⎝代入可求出ϕ可判断A ，B ；由三角函数的性质可判断C ，D .【详解】根据图像象得35ππ3ππ246124T T =-=⇒=⇒=ω，故A 错误；π12x =时，πππ22π2π1223k k ⨯+=+⇒=+ϕϕ，0πϕ<< ，π3ϕ∴=，故()π23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ20663f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 正确；令πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈．故D 正确．故选：BCD .11.下列说法正确的有（）A.()1lg lg f x x x=+的最小值为2 B.()()ln 12ln f x x x =-最大值为18C.()sin 1sin 22xxf x -=+的最小值为 D.()222cos 1sin cos x f x x x=+的最小值为2【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式的应用，结合选项依次求解即可.【详解】A ：当lg 0x <时，11lg [(lg )()]2lg lg x x x x +=--+-≤--，当且仅当1(lg )()lg x x-=-即lg 1x =-时等号成立，故A 错误；B ：()()2112ln 12ln 12ln 12ln 2248x x x x +-⋅-≤=，当且仅当2ln 12ln x x =-即1ln 4x =时等号成立，故B 正确；C ：sin 1sin22x x -+≥=当且仅当1sin 1sin sin 2x x x =-⇒=时等号成立，故C 正确；D ：22222222cos 1cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x ++=+2222cos sin 113sin cos x x x x =++≥+=当且仅当222222cos sin sin cos sin cos x x x x x x=⇒=时等号成立，故D 错误．故选：BC12.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，且()()4g x f x =+，()()()()4f x y f x y g x f y ++-=-，()31g -=，则下列说法正确的有（）A.()11f =B.()f x 为奇函数C.()f x 的周期为6D.()202613k f k ==-∑【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知得()()4g x f x -=，将()()()()4f x y f x y g x f y ++-=-转化为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，给,x y 取值推导奇偶性和周期性解决问题.【详解】对于A ，()()311g f -==，故A 正确；()()4g x f x =+ ，()()4g x f x ∴-=，()()()()f x y f x y f x f y ∴++-=，令1y =，则()()()11f x f x f x ++-=①，()()()21f x f x f x ∴++=+②，①+②可得()()120f x f x -++=，()()30f x f x ∴++=，()()360f x f x ∴+++=，()()6f x f x ∴=+，因此6T =，故C 正确；令0x =，()()()()0f y f y f f y +-=，令1x =，0y =，()()()2110f f f =，则()02f =，故0x =，()()()()()2f y f y f y f y f y +-=⇒=-，故()f x 为偶函数，所以B 不正确；因为()()()6f x f x f x =+=-，故()f x 关于3x =对称，且()02f =，()11f =，令1x =，1y =，则()21f =-，令2x =，1y =，()32f =-，则()()421f f ==-，()()511f f ==，()()602f f ==，一个周期的和为0，则()()()()()2026112343k f k f f f f ==+++=-∑，故D 正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.函数()()2ln 1f x x =-______【答案】()1,+∞【解析】【分析】由对数函数的定义域以及含分式型函数的定义域求解即可.【详解】由题意可得21010x x ⎧->⎨+>⎩，解得1x >，故答案为：(1,)+∞.14.()23e 1log 9log 8-+⋅=______【答案】7【解析】【分析】由指数运算与对数运算的性质直接求解即可.【详解】()()()02323232323e 1log 9log 81+log 3log 2=1+2log 33log 2=1+6log 3log 2=7-+⋅=⋅⋅⋅，故答案为：7.15.已知1tan 3x =，则1sin 2cos 2x x +=______【答案】2【解析】【分析】根据二倍角公式以及齐次式即可求解.【详解】2222222211121sin 2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 332cos 2cos sin 1tan 113x x x x x x x x x x x ⎛⎫++⨯ ⎪+++++⎝⎭===--⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：216.函数()ln ,02πln 2·sin ,24x x f x xx ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩，若存在010a b c d <<<<<，使得()()f a f b =()()f c f d ==，则()2364c d a a b++的取值范围是______【答案】313,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据函数()f x 图象与性质得1ab =，12c d +=，对所求表达式消元后得916a a+，再根据函数图象求出112a <<即可求出取值范围.【详解】由()()f a fb =，得1ln ln lna b b=-=，则1ab =，由()()f c f d =，得12c d +=，则()2396416c d a a a ba++=+，由图象知，112a <<，结合对勾函数单调性知916a a +在13,24a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递减，在3,14a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时单调递增，所以当34a =时，916a a +取得最小值32，当12a =时913168a a +=，当1a =时9251616a a +=，所以9313,1628a a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：313,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：函数零点问题要充分利用函数与方程的基本思想，并充分利用数形结合画出函数图象，利用图象即可求得参数范围以及零点问题.四、解答题（本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合201x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，集合()(){}10B x x x a =+-<（1a >-）（1）当3a =时，求A B ⋂；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）()1,2（2）[)2,+∞【解析】【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式化简集合,A B ，即可根据交运算求解，（2）根据集合的包含关系即可求解.【小问1详解】()()20120121x x x x x -<⇔--<⇒<<-，所以()1,2A =当3a =时，解得()1,3B =-，则()1,2A B ⋂=【小问2详解】由（1）及题设()1,2A =，()1,B a =-，A B ⊆ ，2a ∴≥18.平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆的交点为1,33P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（1）求sin α，tan 2α；（2）化简并求值：()()7πsin tan π2πcos cos π2⎛⎫+- ⎪⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎝⎭αααα.【答案】18.sin 3α=，tan27α=19.1cos α，3-【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出sin ,cos ,tan ααα，再由二倍角的正切公式即可求出tan 2α.（2）由诱导公式和同角三角函数的商数关系化简已知式即可得出答案.【小问1详解】根据三角函数的定义：1cos 3α=-，sin 3α=，则tan α=-22tan tan 21tan 77-===--ααα.【小问2详解】()()()7πsin sin tan πcos cos tan 12cos 3πsin cos sin cos cos cos cos π2αααααααααααααα⎛⎫+-⋅ ⎪-⎝⎭====--⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭.19.双曲函数是工程数学中一类重要的函数，它也是一类最重要的基本初等函数，它的性质非常丰富，常见的两类双曲函数为正余弦双曲函数，解析式如下：双曲正弦函数e e sinh 2x x x --=，双曲余弦函数：e e cosh 2x xx -+=（1）请选择下列2个结论中的一个结论进行证明：选择______（若两个均选择，则按照第一个计分）①22cosh sinh 1x x -=②22cosh 2cosh sinh x x x=+（2）求函数22cosh sinh cosh y x x x =++在R 上的值域.【答案】19.选择见解析，证明见解析20.[)2,+∞【解析】【分析】（1）由题意直接求出22cosh sinh x x -、22cosh sinh x x +的值，即可证明；（2）由（1），222()cosh sinh cosh 2cosh 1cosh f x x x x x x =++=-+，令cosh t x =，利用换元法可得()()221f x g t t t ==-+(1)t ≥，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】若选择①：由题意e e sinh 2x x x --=，e e cosh 2x x x -+=，则()()22222222e e e e e e 2e e 24cosh sinh 12244x x x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫+-++-+--=-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若选择②：()()2222222222e e e e e e 2e e 2e e cosh sinh cosh 22242x x x x x x x x x x x x x -----⎛⎫⎛⎫+-++++-++=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；【小问2详解】法一：由（1）知，22cosh sinh 1x x -=，则222cosh sinh cosh 2cosh 1cosh x x x x x ++=-+，令cosh t x =，则e e 122x x t -+=≥=，当且仅当0x =时取等，令()()222cosh sinh cosh 21f x x x x g t t t =++==-+，又函数()g t 在[)1,+∞上单调递增，故()()22g t g ≥=，故()g t 的值域为[)2,+∞，即22cosh sinh cosh y x x x =++的值域为[)2,+∞；法二：22e e e e cosh 2cosh 22x x x xx x --+⋅+=≥，令e e 2x x t -=+≥，222222e e 2e e 2x x x x t t --=++⇒+=-，令()()cosh 2cosh f x x x g t =+=，则()()22111922224g t t t t ⎡⎤⎛⎫=-+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以()g t 在[)2,+∞上单调递增，故()()22g t g ≥=，故()g t 的值域为[)2,+∞，即22cosh sinh cosh y x x x =++的值域为[)2,+∞.20.已知函数()2121x x f x -=+，()()41log 212xg x x=--（1）解不等式211212x x ->-+；（2）方程()()()44log log 21xg x af x =--（0a >）在[]2log 3,2上有解，求a 的取值范围？【答案】（1）()2log 3,-+∞（2）815,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用换元法可得123x>，即可根据指数函数的单调性即可求解，（2）根据对数的运算性质可将问题转化为()()21212x x xa +-=在[]2log 3,2上有解，利用换元法，结合函数的单调性即可求解.【小问1详解】211212x x ->-+，令2x t=（0t >），()()111211123t t t t t ->-⇒->-+⇒>+故22112log log 333xx >⇒>=-【小问2详解】()()44421log 21log 2log 2xxxx g x -=--=，()()444log log 21log 21xxa af x --=+()()44212121log log 2212x x x x x xaa -+-=⇒=+，故()()()44log log 21xg x af x =--（0a >）在[]2log 3,2上有解，等价于()()21212x x xa +-=在[]2log 3,2上有解，令[]23,4xt =∈，()()()()2212111112x x xt t t y t ttt+-+--====-，[]3,4t ∈，故函数1y t t=-在[]3,4t ∈上单调递增，则当3t =，83y =，当4t =，154y =，故815,34a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦21.已知函数()2000ππ2sin sin 2sin 266f x x x x C ωωω⎛⎫⎛⎫=+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（R C ∈）有最大值为2，且相邻的两条对称轴的距离为π2（1）求函数()f x 的解析式，并求其对称轴方程；（2）将()f t 向右平移π6个单位，再将横坐标伸长为原来的24π倍，再将纵坐标扩大为原来的25倍，再将其向上平移60个单位，得到()g t ，则可以用函数()sin()H g t A t B ωϕ==++模型来模拟某摩天轮的座舱距离地面高度H 随时间t （单位：分钟）变化的情况．已知该摩天轮有24个座舱，游客在座舱转到离地面最近的位置进仓，若甲、乙已经坐在a ，b 两个座舱里，且a ，b 中间隔了3个座舱，如图所示，在运行一周的过程中，求两人距离地面高度差h 关于时间t 的函数解析式，并求最大值．【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，ππ32k x =+，Z k ∈（2）ππ()50sin 126f x t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，50【解析】【分析】（1）由二倍角公式与两角和与差的正弦公式化简得()0π2sin 216f x x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再结合最值及周期即可得解析式；（2）由正弦型函数的平移变换与伸缩变换得变换后的解析式为ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，则ππ50sin 126h H H ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭甲乙，再求最值即可.【小问1详解】()00001cos 2π22sin 2cos 32cos 2126x f x x C x x C ωωωω-=⨯++=-++0π2sin 216x C ω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，所以2121C C ++=⇒=-，因为相邻两条对称轴的距离为π2，所以半周期为ππ22T T =⇒=，故002ππ12=⇒=ωω，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令ππππ2π6232k x k x -=+⇒=+，Z k ∈【小问2详解】()f t 向右平移π6得到π2sin 22y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将横坐标伸长为原来的24π倍，得到ππ2sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将纵坐标扩大为原来的25倍，得到ππ50sin 122y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将其向上平移60个单位，得到ππ50sin 60122y t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭游客甲与游客乙中间隔了3个座舱，则相隔了2ππ4243⨯=，令ππ50sin 60122H t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭甲，则π5π50sin 60126H t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭乙，则πππ5π50sin sin 122126h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭甲乙π1πcos 12212t t =-ππ50sin 126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12ω=，24T =，024t ≤≤，故πππ11π61266t -≤-≤，当πππ1262t -=或3π82t ⇒=或20时，max 50h =22.已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()0f x ≠，满足()()()f x y x y f x f y xy ++=，()12f =，令()()f x g x x=，设当0x >时，都有()()2g x f >（1）计算()2f ，并证明()g x 在()0,∞+上单调递增；（2）对任意的2a ≥-，b ∈R ，总存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()000sin 2sin cos 1g x a x x b g t ++++>成立，求t 的取值范围？【答案】（1）()21f =，证明见解析（2）30,2⎛- ⎝【解析】【分析】（1）利用赋值法，令1x y ==即可求得()2f 的值，由条件得()()()g x y g x g y +=，令120x x >>，判断()()12g x g x -的符号，可得出答案；（2）由题意得，任意的2a ≥-，b ∈R ，总存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()000sin 2sin cos 1x a x x b t ++++>，令000πsin cos 4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，则任意的2a ≥-，b ∈R ，存在m ⎡∈⎣，使得2m am b t ++>，则令()2m m am b =++ϕ，只需()max m t >ϕ，根据二次函数的性质分类讨论求解.【小问1详解】令1x y ==，()()()222211f f f =⇒=，()()()()()()f x y f x y f y x y f x f x f y xy x y x y+++=⇒=⋅+，则()()()g x y g x g y +=，令120x x >>，则()()()()121222g x g x g x x x g x -=-+-()()()1222g x x g x g x =--()()()2121g x g x x =--，因为120x x ->，所以()121g x x ->，又因为20x >，故()20g x >，所以()()()21210g x g x x -->，所以()()12g x g x >，因此()g x 在()0,∞+上单调递增.【小问2详解】由（1）可知，()g x 在()0,∞+上单调递增，()()()000sin 2sin cos 1g x a x x b g t ++++>，故任意的2a ≥-，b ∈R ，总存在0ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()000sin 2sin cos 1x a x x b t ++++>，令000πsin cos 4m x x x ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，2200012sin cos sin 21m x x x m =+⇒=-，()2000sin 2sin cos 1x a x x b m am b ++++=++，则任意的2a ≥-，b ∈R ，存在m ⎡∈⎣，使得2m am b t ++>，则令()2m m am b =++ϕ，只需()max m t >ϕ，因为2a ≥-，所以12am =-≤，故2y m am b =++在⎡⎣上单调递增，max 2y b =+，min 1y a b =++，则当：①210b a b ++++≥时，()max 22m b b =++=++ϕ，②210b a b ++++<，()max 11m a b a b =++=--ϕ，则：()))max132,2131,2a b b m a a b b ϕ⎧++⎪+≥-⎪=⎨++⎪---<-⎪⎩，将其视为关于b 的函数，令其为()h b ，则()h b 在)12,23a ⎪++⎛⎫-∞- ⎝⎭上递减，在)213,2a ⎡⎫++-+∞⎪⎢⎪⎢⎣⎭上递增，则())()min2132112113222222a h b h a a ⎛⎫++-=-=+≥⨯-+= ⎪⎝⎭，。
安徽省六安2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含答案
六安2023年秋学期高一年级期末考试数学试卷（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知命题P ：0x ∃∈R ，0302xx >，则它的否定形式为（）A.0x ∃∈R ，0302x x ≤ B.x ∀∈R ，32>x x C.0x R ∃∉，0302x x ≤ D.x ∀∈R ，32≤xx 【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“0:P x R ∃∈，0302xx >”的否定为：“:P x R ⌝∀∈，32≤x x ”.故选：D.2.π3α=是1cos 2α=的（）条件A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值判断充分性，通过举反例说明不满足必要性即可.【详解】若π3α=，故可得1cos 2α=，满足充分性；若π3α=-，显然满足1cos 2α=，但无法推出π3α=，故必要性不成立；故π3α=是1cos 2α=的充分不必要条件.故选：C .3.函数2()log f x x x =+的零点所在区间为（）A.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择.【详解】2,log y x y x ==在()0,+∞上都是单调增函数，故()y f x =在()0,+∞上是单调增函数；又21111log 308888f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，21111log 204444f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，21111log 102222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()211log 110f =+=>；故()f x 的零点所在区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.4.设2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，sin37c =︒，则a ，b ，c 之间的大小关系是（）A.a b c >>B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】通过三个数与0，1的关系即可解出.【详解】由题意，22log 0.3log 10a =<=，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，0sin 37sin 451c <=︒<︒<，∴01a c b <<<<.故选：D.5.函数()sin ln ||f x x x =⋅的大致图象是A. B.C. D.【解析】【详解】函数()=sin ln f x x x ⋅是奇函数，图像关于原点对称，故排除,A B 当2x =时，()2sin 2ln 20f =⨯>，故排除D 故选C点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行：（1）求出函数的定义域，对图象进行排除；（2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除；（3）根据函数图象的变化趋势判断；（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断．6.若43m =，则3log 12=（）A.1m m+ B.21m m+ C.2m m+ D.212m m+【答案】A 【解析】【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解.【详解】由43m=得：4log 3m =，则334111log 121log 411log 3m m m+=+=+=+=故选：A7.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，OA AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.32BC B.34BC uu u r C.32BC-D.34BC - 【答案】B 【解析】【分析】根据题意得出BC 为外接圆的直径，且AOC 是等边三角形，从而求出向量BA 在向量BC上的投影向量.【详解】∵ABC 的外接圆的圆心为O ，且2AO AB AC =+，∴O 为BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，∴90BAC ∠=︒．∵OA AC = ，∴AOC 是等边三角形.设D 为OC 的中点，则34BD BC =.∴向量BA 在向量BC上的投影向量为3cos 4BD BC BA ABC BC BC BC BC∠⋅=⋅=.故选:B.8.已知函数()cos ]2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（）A.()f x 为偶函数B.()f x 的值域为{0,1}C.()f x 为周期函数，且最小正周期2T =D.()f x 与7|1og |l y x =-的图像恰有一个公共点【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值排除AC ，根据余弦函数的性质可求出函数的值域进而判断B ，根据函数的值域判断D .【详解】对于A ，由于1cos 012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1πcos 022f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()y f x =不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()ππZ 22x k k =⋅∈，而πcos 2k ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-，故B 错误；对于C ，由于()[]()π1.1cos 1.1cos 12f π⎛⎫-=⨯-=-=-⎪⎝⎭，()[]π0.9cos 0.9cos 012f ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，()()1.10.9f f -≠，故C 错误；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标.令7log 11x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos 4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点.令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.）A.sin15cos15︒+︒B.222cossin 1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1tan151tan15+︒-︒D.2sin15cos15︒︒【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换公式，求解即可.【详解】对于A 选项，原式45)2=︒+︒=，故A 选项错误；对于B 选项，原式2cosπ6==，故B 选项正确；对于C 选项，原式tan 45tan15tan 601tan 45tan15︒+︒==︒=-︒︒C 选项正确；对于D 选项，原式1sin 302=︒=，故D 选项错误.故选：BC.10.若0a b >>，0c <，则下列不等式中正确的是（）A.c c a b< B.ac bc< C.b c ba c a +>+ D.2b a a b+>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质看判断B 选项；利用作差法可判断ACD 选项.【详解】因为0a b >>，0c <，对于A 选项，()0c b a c c a b ab--=>，所以，c c a b >，A 错；对于B 选项，由不等式的基本性质可得ac bc <，B 对；对于C 选项，()()()()()a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==+++，a c +的符号不确定，无法得出b c a c ++与ba的大小关系，C 错；对于D 选项，()222220a b b a a ab b a b ab ab--++-==>，则2b a a b +>，D 对.故选：BD.11.如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列结论正确的是（）A.CB OA=B.0OA OB OC ++=C.OF OD OC OB+=-D.OA FA DE BC⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】利用相等向量的定义可判断A 选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项；利用平面向量线性运算可判断C 选项；利用平面向量数量积的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由正六边形的几何性质可知，60AOB OBC BOC ABO ∠=∠=∠=∠= ，所以，//OA BC ，//AB OC ，则四边形OABC 为平行四边形，故CB OA =，A 对；对于B 选项，因为四边形OABC 为平行四边形，由平面向量加法的平行四边形法则可得20OA OB OC OB ++=≠，B 错；对于C 选项，由正六边形的几何性质可知，OF OD DE EF ===，则四边形ODEF 为菱形，所以，OF OD OE += ，OC OB BC -=，易知ODE 为等边三角形，则OE DE BC == ，故OF OD OC OB +=-，C 对；对于D 选项，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，易知CB EF =，则21cos 602OA FA AO AF AO AF a ⋅=⋅=⋅=，21cos1202DE BC DE CB DE EF ED EF ED EF a ⋅=-⋅=-⋅=⋅=⋅=- ，所以，OA FA DE BC ⋅≠⋅，D 错.故选：AC.12.已知函数()()πsin 0,2f x x ϕωϕω⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有（）A.若1ω=，则()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.若()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，则232966ω<≤C.若把()f x 的图象向左平移π6个单位后得到的函数为偶函数，则ω的最小值为2D.若2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()()sin f x x ωϕ=+与()()tan g x x ωϕ=+有3个交点【答案】ABC 【解析】【分析】由已知条件求出π6ϕ=，利用正弦型函数的单调性可判断A 选项；利用函数()f x 在()0,π上的零点个数可得出关于实数ω的不等式，解出ω的取值范围，可判断B 选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断C 选项；当2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，解方程()()f x g x =，可判断D 选项.【详解】因为函数()()πsin 0,2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()1sin 20==f φ，又因为ππ22ϕ-<<，所以，π6ϕ=，对于A 选项，若1ω=，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当π5π,36x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，则πππ26x <+<，所以，函数()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，A 对；对于B 选项，因为()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππππ666x ωω<+<+，因为()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，则π4ππ5π6ω<+≤，解得232966ω<≤，B 对；对于C 选项，把()f x 的图象向左平移π6个单位，可得到函数ππππsin sin 6666y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，则()ππππ662k k ω+=+∈Z ，可得()62k k ω=+∈Z ，因为0ω>，故当0k =时，ω取最小值2，C 对；对于D 选项，因为2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且0ω>，则πππ262x ω-<+<，由πsin ππ6sin tan π66cos 6x x x x ωωωω⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，可得πsin 06x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则π06x ω+=，故当2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，则()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()πta 6n g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭只有1个交点，D 错.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为________．（用弧度制表示）【答案】2π3【解析】【分析】利用扇形弧长公式，面积公式列方程求解即可.【详解】设圆心角为α，扇形半径为r ，依题可得6πr α=，2127π2r α=，解得2π3α=，9r =.故答案为：2π314.已知简谐运动ππ()2sin ||32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(0,1)，则该简谐运动初相ϕ为________．【答案】π6##1π6【解析】【分析】将点代入函数中，结合所求量范围求解即可.【详解】将(0,1)代入函数中，可得()12sin ϕ=，解得π2πZ 6k k =+∈，ϕ，已知π||2ϕ<，解得ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=.故答案为：π615.求值：()cos 40110︒+︒=__________．【答案】1【解析】【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.【详解】()sin10cos10cos 40110cos 401cos 40cos10cos10︒︒+︒⎛⎫︒+︒=︒+=⨯︒ ⎪︒︒⎝⎭()2sin 30cos10cos30sin102sin40sin80cos 40cos40cos10cos10cos10︒︒+︒︒︒︒=⨯︒=⨯︒=︒︒︒()sin 9010cos101cos10cos10︒-︒︒===︒︒．故答案为：1．16.已知方程12sin π01x x-=-，则当[2,4]x ∈-时，该方程所有实根的和为________．【答案】8【解析】【分析】作出1()1f x x=-，()2sin πg x x =的图象，通过图象的对称性可得方程所有实根的和.【详解】方程12sin π01x x -=-，即12sin π1x x=-，令1()1f x x =-，()2sin πg x x =，1()1f x x =-的图象可由1y x=-的图象向右平移1个单位得到，故关于点(1,0)对称，同时(1,0)也是()2sin πg x x =的一个对称中心；作图可得()f x ，()g x 的图象，观察它们在[2,4]x ∈-时的图象，可知二者的图象都关于(1,0)点成中心对称且()f x ，()g x 图象在[2,4]-上共有8个交点，这8个交点两两成对关于点(1,0)对称，每一对关于(1,0)对称的交点的横坐标的和为2，故所有8个交点的横坐标的和为248⨯=，即方程12sin π01x x-=-所有实根的和为8.故答案为：8.【点睛】方法点睛：（1）转化法，方程12sin π01x x-=-的根的问题，转化为1()1f x x =-，()2sin πg x x=的图象的交点问题；（2）数形结合：作出函数1()1f x x=-，()2sin πg x x =的图象，判断其对称性，从而求解问题.四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{30}A x x =-≤<，集合{}22B x x x =->．（1）求A B ⋂；（2）若集合{}22C x a x a =≤≤+，且()C A B ⊆ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}20A B x x ⋂=-<<（2）{}2a a >【解析】【分析】（1）计算{}21B x x =-<<，再计算交集得到答案.（2）考虑C =∅和C ≠∅两种情况，根据集合的包含关系得到答案.【小问1详解】{}{}2221B x x x x x =->=-<<，{}20A B x x ⋂=-<<.【小问2详解】当C =∅时，22a a >+，即2a >，满足条件；当C ≠∅时，22a a ≤+且2220a a >-⎧⎨+<⎩，无解.综上所述：实数a 的取值范围{}2a a >.18.如图，以Ox 为始边作角α与(0π)<<<ββα，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3sin()5sin 22cos()cos 2ππααπαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）若5sin 13β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin()αβ+的值．【答案】（1）32（2）3365【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简求值即可.（2）利用两角和的正弦公式处理即可.【小问1详解】由题得3cos 5α=-，4sin 5α=，4tan 3α=-，所以433sin()5sin 353sin 5cos 3255342cos sin 22cos()cos 2255ααααααααπ⎛⎫⎛⎫π-+-⨯+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===π+⎛⎫⎛⎫--+⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由题得，5sin 13β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12cos 13β=，所以4123533sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=+-⨯= ⎪⎝⎭19.已知函数π()cos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；23x π-3π-2ππ32π53πx6π512π23π1112ππ()f x 1211-12（2）将()y f x =的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移π2个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称中心．【答案】（1）表格及图象见解析（2）ππ,03k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k ∈Z 【解析】【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图；（2）先通过图象变换得到()cos 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后令πππ62x k +=+可得对称中心．【小问1详解】π()cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：π23x -π3-π2π3π25π3xπ65π122π311π12π()f x 1211-012图象如图：【小问2详解】()f x 的图象横坐标扩大为原来的2倍得πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位后，得()cos cos 236g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令πππ62x k +=+，()k ∈Z ，得ππ3x k =+，()k ∈Z ，所以函数()g x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+⎪⎝⎭，()k ∈Z ．20.已知函数2()2sin cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．【答案】（1）π，π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎣⎦()k ∈Z ；（2）[1,2].【解析】【分析】（1）将()f x 化简为三角函数的一般式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果；（2）根据x 的取值范围，求得23x π+的范围，结合正弦函数单调性，即可求得结果.【小问1详解】2π()2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 最小正周期为22ππ=；由ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，解得单调递减区间是π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问2详解】当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,336x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，又sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；则π5π236x +=，即π4x =时，()f x 取得最小值1，ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值2，故当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[1,2]．21.六安一中新校区有一处矩形地块ABCD ，如图所示，50AB =米，BC =米，为了便于校园绿化，计划在矩形地块内铺设三条绿化带OE ，EF 和OF ，考虑到整体规划，要求O 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且π2EOF ∠=．（1）设BOE α∠=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试将OEF 的周长l 表示成α的函数关系式；（2）在（1）的条件下，为增加夜间照明亮度，决定在两条绿化带OE 和OF 上按装智能照明装置，已知两条绿化带每米增加智能照明装置的费用均为m 元，当新加装的智能照明装置的费用最低时，求α大小（备注：7πsin124+=）【答案】（1）25(1sin cos )sin cos l αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）π4【解析】【分析】（1）分别在Rt BOE 和Rt AOF △中，表示出,OE OF ，即可求出EF ，从而求得OEF 的周长l 表示成α的函数关系式；（2）结合（1）可得出OE OF +的表达式，利用三角代换，令sin cos t αα+=，化简OE OF +的表达式，即为501t tOE OF +=-，再结合函数1y t t =-的单调性，即可确定OE OF +何时取得最小值，即可求得答案.【小问1详解】由题意知50AB =，O 是边AB 的中点，在Rt BOE 中，由BOE α∠=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得25cos OE α=，由于π2EOF ∠=，故在Rt AOF △中，π2AOF α∠=-，AFO α∠=，可得25sin OF α=，又在Rt EOF △中，由勾股定理得25sin cos EF αα===，所以25252525(1sin cos )cos sin sin cos sin cos l αααααααα++=++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】根据题意，要使费用最低，只需OE OF +最小即可，由（1）得25(sin cos )sin cos OE OF αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，得2225(sin cos )25505011sin cos 12t t OE OF t t t t αααα++===---=，由于πsin cos )4t ααα=+=+，5ππ7π12412α≤+≤，而5π7πsinsin 12124+==，故312t +≤≤，令1()f t t t=-，则1()f t t t=-在(0,)+∞上为增函数，则max 2()2f t f ==，所以当t =时，501t tOE OF +=-最小，此时π4α=，即当新加装的智能照明装置的费用最低时，π4α=．22.已知函数1()log 1a x f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当12a =时，函数()()g x f x b =-在()1,∞+有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[,]m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】22.,1(),)1(-∞-⋃+∞23.()0,+∞24.存在，03a <<-【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解；（2）根据题意分析可知()f x b =在(1,)+∞上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解；（3）根据定义域和值域可得01a <<，且1m n <<，结合单调性分析可知2()(1)10h x ax a x =+-+=有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解.【小问1详解】由101x x ->+，得1x >或1x <-．所以()f x 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞．【小问2详解】令12()111x t x x x -==-++，可知()t x 在()1,∞+上为增函数，可得()()10t x t >=，且()1t x <，可知()t x 的值域为()0,1，因为12a =，则12log y x =在定义域内为减函数，可得()12log 10f x >=，所以函数()f x 在()1,+∞上的值域为()0,+∞，又因为函数()()g x f x b =-在()3,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()3,∞+上有且只有一个解，所以b 的范围是()0,+∞．【小问3详解】存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[,]m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log 1log +<+a a n m ，可得01a <<，且1m n <<．令12()111x t x x x -==-++，可知()t x 在(1,)+∞上为增函数，因为01a <<，则log a y x =在定义域内为减函数，所以()f x 在(1,)+∞上为减函数，可得()()()()1log log 11log log 1a a aa m f m am m n f n an n -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，可知11x ax x -=+在(1,)+∞上有两个互异实根，可得2(1)10ax a x +-+=，即2()(1)10h x ax a x =+-+=有两个大于1相异实数根．则()()2Δ14011210a a a a h ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得03a <<-，所以实数a的取值范围(0,3-.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；。
河北省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．设、、、、是均含有个元素的集合，且，1A 2A 3A L 7A 217A A ⋂=∅()11,2,3,,6i i A A i +⋂=∅= ，记，则中元素个数的最小值是（ ） 1237B A A A A =⋃⋃⋃⋃ B A ． B ．C ．D ．5678【答案】A【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由1x 2x L ()4n x n ≥B 4n ≥n 小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合1x 2x L ()4n x n ≥B 3n =12A A ⋂≠∅乎题意.①假设集合中含有个元素，可设，则，B 4{}112,A x x ={}24634,A A A x x ===，这与矛盾；{}35712,A A A x x ===17A A ⋂=∅②假设集合中含有个元素，可设，，B 5{}1612,A A x x =={}2734,A A x x ==，，，满足题意. {}351,A x x ={}423,A x x ={}545,A x x =综上所述，集合中元素个数最少为. B 5故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查集合元素个数的最值的求解，解题的关键在于对集合元素的个数由小到大进行分类，对集合中的元素进行分析，验证题中条件是否成立即可.2．已知函数的定义域为，则“”是“是周期为2的周期函数”的()f x R ()()10f x f x ++=()f x （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分又不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】通过可以得出，反过来不可以，反例见详解. ()()10f x f x ++=()()2f x f x +=【详解】由得，， ()()10f x f x ++=()()1f x f x +=-所以，，即.()()()()()()()111fx f x f x f x ++=-+=--=()()2f x f x +=所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分条件. ()()10f x f x ++=()f x 如下图是一个周期为得函数，2得不出，()()10f x f x ++=所以“”是“是周期为2的周期函数”的不必要条件. ()()10f x f x ++=()f x 所以“”是“是周期为2的周期函数”的充分不必要条件. ()()10f x f x ++=()f x 故选：A.3．已知命题：任意，命题：存在，若“且”是假p 2[1,2],0x x a ∈-…q 2000,220x x ax a ∈++-=R p q 命题，则实数的取值范围是（ ） a A ． B ．C ．或D ．且2a -…1a ≤2a -…=1a 2a >-1a ≠【答案】D【分析】当命题为p 真时，此问题为恒成立问题，用最值法，转化为当x ∈[1，2]时，（x 2﹣a ）min ≥0，可求出 a ≤1，当命题q 为真时，为二次方程有解问题，用“ ”判断，可得a ≤﹣2或∆a ≥1，先判定“且”是真命题，即p 真q 真时，的范围，再求出实数a 的补集即可． p q a 【详解】当命题为p 真时，即：“∀x ∈[1，2]，x 2﹣a ≥0“， 即当x ∈[1，2]时，（x 2﹣a ）min ≥0， 又当x ＝1时，x 2﹣a 取最小值1﹣a ， 所以1﹣a ≥0， 即a ≤1，当命题q 为真时，即：∃x ∈R ，x 2+2ax +2﹣a ＝0， 所以＝4a 2﹣4（2﹣a ）≥0， ∆所以a ≤﹣2或a ≥1， 又命题“p 且q ”是真命题， 所以p 真q 真，即，121a a a ≤≤-≥⎧⎨⎩或即实数a 的取值范围是：或；2a ≤-=1a 故命题“p 且q ”是假命题时，实数a 的取值范围是且. 2a >-1a ≠故选：D ．4．已知函数的定义域为R ，为偶函数，，当时，()f x ()2f x -()()20f x f x -+-=[]2,1x ∈--（且），且．则（ ）()14x f x ax a =--0a >1a ≠()24f -=()131k f k ==∑A ．16 B ．20 C ．24 D ．28【答案】C【分析】由条件可知有对称轴，对称中心，推出具有周期性，由()f x 2x =-(1,0)-4T =()24f -=求得的值，可分别计算，结合周期性计算即可.a (1),(2),(3),(4)f f f f ()131k f k =∑【详解】因为是偶函数，所以，所以， ()2f x -()2(2)f x f x --=-()(4)f x f x =--所以函数关于直线对称，()f x 2x =-又因为，所以， ()()20f x f x -+-=()()2f x f x --=-所以，所以关于点中心对称， ()(2)f x f x =---()f x (1,0)-由及得 ()(4)f x f x =--()(2)f x f x =---(4)(2)f x f x --=---所以 (4)(2)()f x f x f x --=---=-所以函数的周期为， ()f x 4因为当时，（且），且， []2,1x ∈--()14xf x ax a =--0a >1a ≠()24f -=所以，解得：或，因为且，所以. 21424a a -=+-2a =4a =-0a >1a ≠2a =所以当时，，[]2,1x ∈--()1()242xf x x =--所以，，， (2)4,(1)0f f -=-=(3)(1)0f f -=-=(0)(2)4f f =--=-，，， (1)(14)(3)0f f f =-=-=(2)(2)4f f =-=(3)(1)0f f =-=，所以，(4)(0)4f f ==-(1)(2)(3)(4)8f f f f +++=所以,()131(1)+3824k f k f ==⨯=∑故选：.C 5．下列命题中，正确的有（ ）个①对应：是映射，也是函数； 21R,R,:1A B f x y x ==→=+②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；(1)f x -()2f x ,102⎛⎫⎪⎝⎭，③幂函数与图像有且只有两个交点；23y x -=4y x =④当时，方程恒有两个实根.0b >210xb --=A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】对于①，由映射和函数的定义判断即可； 对于②，由抽象函数的定义求解即可； 对于③，结合幂函数的性质作出图象即可判断；对于④，将问题转化为与的图象交点个数的问题，作出图象即可判断.21xy =-y b =【详解】解：对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的21R,R,:1A B f x y x ==→=+定义，故①对；对于②，若函数的定义域是（1,2），则 故函数()1f x -1x -()()10,1,20,10,2x x ⎛⎫∈∴∈⇒∈ ⎪⎝⎭()2f x 的定义域为，故②对102⎛⎫⎪⎝⎭，对于③，幂函数上单调递增，在上单调递减且图像过23y x-==(,0)-∞(0,)+∞ ，为偶函数，在上单调递减，在上单调递增且图像过()()1,1,1,1-4y x =(,0)-∞(0,)+∞()()1,1,1,1-所以两个图像有且只有两个交点；故③对；于④，当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个1x >21x-1b >210x b --=实根.故④错；故选：C6．已知定义域为R 的偶函数和奇函数满足：．若存在实数a ，使得关()f x ()g x ()()2xf xg x +=于x 的不等式在区间上恒成立，则正整数n 的最小值为（ ） ()()()()0--≤nf x a g x a []1,2A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据奇偶性列方程组求得，，利用它们的单调性确定在11()22x x f x ---=+11()22x x g x ---=-上的值域，再由不等式有或求a 的范围，进而求出正整数n 的范围.[]1,2()()a f x n g x a ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩()()a f x n g x a⎧≤⎪⎨⎪≥⎩【详解】由题设，，又，()()()()2x f x g x f x g x --+-=-=()()2xf xg x +=联立可得：，，11()22x x f x ---=+11()22x x g x ---=-又当且仅当时等号成立，即在上递减，在上递增，()1f x ≥=0x =()f x (,0)-∞(0,)+∞所以，在上，[]1,2517()[,48f x ∈而在上递增，故，11()22x x g x ---=-[]1,2315()[,]48g x ∈若，则且n 为正整数，只需即可.()()a f x n g x a⎧≥⎪⎨⎪≤⎩15584n a ≤≤2n ≥若，则且n 为正整数，不成立； ()()a f x n g x a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩17384n a ≤≤综上，正整数n 的最小值为2. 故选：B【点睛】关键点点睛：利用奇偶性列方程组求、解析式，并根据单调性求闭区间上的值()f x ()g x 域，最后由不等式恒成立求参数a 的范围，即可得n 的范围.7．定义域为的函数，若关于x 的方程恰有5个不同的实R ()lg 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩2()()0f x bf x c ++=数解，，，，，则等于（ ） 1x 2x 3x 4x 5x ()12345f x x x x x ++++A ．1 B ．C ．D ．02lg 23lg 2【答案】C【分析】分析出函数的图象关于直线对称，分析可知为关于的方程()f x 2x =2x 的一根，求出的值，即可得解. ()()20f x bf x c ++=12345x x x x x ++++【详解】令，作出函数的大致图象，()u f x =()u f x =当时，， 2x ≠()()4lg 42lg 2lg 2f x x x x f x -=--=-=-=故函数的图象关于直线对称，()f x 2x =因为关于的方程恰有个不同的实数根，x ()()20f x bf x c ++=5则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， u 20u bu c ++=1u 2u 121u =设方程的两根分别为、，且，则， ()1u f x =1x 2x 12x x <124x x +=所以，，， 3456x x x ++=12345=10x x x x x ++++因此，. ()10lg83lg 2f ==故选：C.8．已知定义在上的函数满足，当时，，若对任意R ()f x ()()12f x f x +=()0,1x ∈()1sin π4f x x =-，都有的取值范围是（ ）(],x m ∈-∞()f x ≥m A ． B ． C ．D ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】由题意可得当时，，且，令(]2,3x ∈()()()[]=42=sin π21,0f x f x x --∈--(]π2π,3πx ∈，得或，结合图象即可得的取值范围.sin πx -=73x =83x =m【详解】解：由得：， ()()12f x f x +=()()21f x f x =-又当时，，(]0,1x ∈()11sin π,044f x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦故当时，；(]1,2x ∈()11sin[π(1)],022f x x ⎡⎤=--∈-⎢⎥⎣⎦依此类推得：当时，，且.(]2,3x ∈()()[]42sin[π(2)]1,0f x f x x =-=--∈-(]π2π,3πx ∈如图.由或，解得或.故若对sin πx -=sin πx =ππ2π3x =+2π2ππ3x =+73x =83x =任意，都有.(],x m ∈-∞()f x …73m …故选：B.二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．，B ．若，则x ∀∈R 12x x+≥0a b <<3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若，则D ．若，，，则 ()20x x -<()2log 0,1x ∈0a >0b >1a b +≤104ab <≤【答案】BD【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误. 【详解】当时，为负数，所以A 不正确； 0x <1x x+若，则，考虑函数在R 上单调递增， 0a b <<110b a<<3()f x x =所以，即，所以B 正确；11()()f f a b >3311()()a b>若，则，，所以C 不正确； ()20x x -<02x <<2log (,1)x ∈-∞若，， 0a >0b >1a b +≤21,0(224a b a b ab ++≤<≤=所以D 正确.故选：BD【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.10．已知函数，则下列说法正确的是（ ） ()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+A ．，为奇函数 ,R a b ∃∈()f x B ．，为偶函数 R,R b a ∃∈∀∈()f x C ．，的值为常数 ,R a b ∃∈()f x D ．，有最小值 R,R b a ∃∈∀∈()f x 【答案】BCD【分析】对于A 、B ，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C ；对于D ，将函数解析式变形为，分和两种情()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦()0a f x -=()0a f x -≠况讨论，即可判断.【详解】解：因为，，()()222,R 1ax bx f x a b x ++=∈+x ∈R 对于A ：若为奇函数，则，即， ()f x ()()f x f x -=-22222211ax bx ax bx x x -+++=-++即，显然方程不恒成立，故不存在，使得为奇函数，故A 错220ax +=220ax +=,R a b ∈()f x 误；对于B ：若为偶函数，则，即， ()f x ()()f x f x -=22222211ax bx ax bx x x -+++=++即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B 正确；0bx =0b =0bx =0b =R a ∀∈()f x 对于C ：当，时为常数函数，故C 正确；2a =0b =()222221x f x x +==+对于D ：的定义域为，，()f x R ()2221ax bx f x x ++=+所以，()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦当，即时变形为，()0a f x -=()f x a =()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦20bx a +-=当时方程有解，0b ≠20bx a +-=当、时方程在上恒成立， 0b =2a =20bx a +-=R 当，即时，()0a f x -≠()f x a ≠方程在上有解，所以，()()220a f x x bx f x -++-=⎡⎤⎣⎦R ()()2420b a f x f x ∆=---≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦即，()()()2244280fx a f x a b -++-≤因为， ()()()22221621681620a a b a b ⎡⎤+--=-+≥⎣⎦当、时变形为，解得0b =2a =()()()2244280f x a f x a b -++-≤()()2416160f x f x -+≤()2f x =，当或时，可以求得的两个值，0b ≠2a ≠()()()2244280fx a f x a b -++-=()f x 不妨设为和，则，m n ()m n <2284m n a a b mn +=+⎧⎪⎨-=⎪⎩所以解得，()()()2244280fx a f x a b -++-≤()m f x n ≤≤所以当时，，有最小值，故D 正确； 0b ≠R a ∀∈()f x 故选：BCD11．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在()f x D [],a b D ⊆()f x ()f x [],a b 上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区()f x [],a b [](),0ka kb k >[],a b ()f x k 间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（ ） A ．B ． ()ln f x x =()()10f x x x=>C ．D ． ()()20f x x x =≥()()2011xf x x x =≤≤+【答案】BC【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a 、b 的存在性，即可得答案. 【详解】A ：为增函数，()ln f x x =若存在“3倍值区间”，则，()ln f x x =[],a b ()()ln 3ln 3f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩结合及的图象知，方程无解， ln y x =3y x =ln 3x x =故不存在“3倍值区间”，A 错误； ()ln f x x =B ：为减函数， ()()10f x x x=>若存在“3倍值区间”，则有，得，又，，[],a b ()()1313f a b a f b a b ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩13ab =0a >0b >所以可取，，13a =1b =所以存在“3倍值区间”，B 正确； ()()10f x x x=>C ：为增函数，()()20f x x x =≥若存在“3倍值区间”，则，得， ()()20f x x x =≥[],a b ()()2233f a a af b b b ⎧==⎪⎨==⎪⎩03a b =⎧⎨=⎩所以存在“3倍值区间”，C 正确；()()20f x x x =≥D ：当时，；当时，，从而可得在上单调递增， 0x =()0f x =01x <≤()11f x x x=+()f x []0,1若存在“3倍值区间”且，则有，解得，不()21x f x x =+[],a b [][],0,1a b ⊆()()223131a f a a a b f b b b ⎧==⎪⎪+⎨⎪==⎪+⎩00a b =⎧⎨=⎩符合题意， 所以不存在“3倍值区间”，D 错误． ()()2011xf x x x =≤≤+故选：BC12．已知函数，则（ ）()|sin |cos ,R f x x x x =∈A ．函数的值域为()f x 11[,22-B ．函数是一个偶函数，也是一个周期函数 ()f x C ．直线是函数的一条对称轴 34x π=()f x D ．方程有且仅有一个实数根 4()log f x x =【答案】ABD【分析】利用函数的奇偶性、周期性分析判断A ，B ；利用对称的性质验证判断C ；利用零点()f x 存在性定理分析判断D 作答.【详解】显然，，即函数是偶函数，()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=--==()f x 又，函数是周期函数，是它的一个周(2)|sin(2)|cos(2)|sin |cos ()f x x x x x f x πππ+=++==()f x 2π期，B 正确；当时，，的最小值为，最大值为，0πx ≤≤022x π≤≤1()sin cos sin 22f x x x x ==12-12即当时，的取值集合是，因是偶函数，则当时，的取值集0x π≤≤()f x 11[,22-()f x 0x π-≤≤()f x 合是，11[,22-因此，当时，的取值集合是，而是的周期，所以，的值x ππ-≤≤()f x 11[,]22-2π()f x x ∈R ()f x 域为，A 正确；11[,22-因，，即函数图象上的点关于直线的对称点不在此1()42f π=51()42f π=-()f x 1(,)42π34x π=51(,)42π函数图象上，C 不正确； 因当时，恒有成立，而的值域为，方程在上无零2x >41log 2x >()f x 11[,]22-4()log f x x =(2,)+∞点，又当或时，的值与的值异号，即方程在、上都01x <<22x π<<()f x 4log x 4()log f x x =(0,1)(,2)2π无零点，令，，显然在单调递减，441()()log sin 2log 2g x f x x x x =-=-[1,]2x π∈()g x [1,]2π而，，于是得存在唯一，使得，1(1)sin 202g =>4()log 022g ππ=-<0(1,2x π∈0()0g x =因此，方程在上有唯一实根，则方程在上有唯一实根，又4()log f x x =[1,]2π4()log f x x =(0,)+∞定义域为，4log x (0,)+∞所以方程有且仅有一个实数根，D 正确. 4()log f x x =故选：ABD【点睛】结论点睛：函数的定义域为D ，，存在常数a 使得()y f x =x D ∀∈，则函数图象关于直线对称.()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-()y f x =x a =三、填空题13．设函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围()22f x x x a =++x ()()0f f x <a 为____________.【答案】 ⎫+∞⎪⎪⎭【分析】根据题意，设，可知，从而将不等式的解集为空集，转化为()f x t =1t a ≥-()()0f f x <在区间上的解集为空集，从得出而在区间上恒成()0f t <[)1,a -+∞()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞立，根据二次函数的图象与性质，得出，开口向上，对称轴为，且()211y t a =++-1t =-44a ∆=-，分类讨论和两种情况，进而根据一元二次不等式恒成立问题，即可求出的取值范围. 0∆≤0∆>a 【详解】解：根据题意，可知， ()()222111f x x x a x a a =++=++-≥-设，则，()f x t =1t a ≥-因为不等式的解集为空集， ()()0f f x <即在区间上的解集为空集，()0f t <[)1,a -+∞即在区间上无解，()222110y t t a t a =++=++-<[)1,a -+∞所以在区间上恒成立，()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞对于二次函数，开口向上，对称轴为，()211y t a =++-1t =-，44a ∴∆=-当，即时，则，440∆=-≤a 1a ≥101a -≥>-所以在区间上恒成立，符合题意；()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞当，即时，440a ∆=-≥1a ≤令，解得： ()2110y t a =++-≥1t ≤-1t ≥-要使得在区间上恒成立，()2110y t a =++-≥[)1,a -+∞只需满足且 11a t ->=-11a -≥-即且，解得：， 0a >210a a +-≥a ≤a ≥又因为， 1a ≤1a ≤<综上得，实数a 的取值范围是. ⎫+∞⎪⎪⎭故答案为：. ⎫+∞⎪⎪⎭14．已知定义在整数集合上的函数，对任意的，，都有Z ()f x x Z y ∈且，则______.()()()()4f x y f x y f x f y ++-=()114f =()()()()0122016f f f f +++⋅⋅⋅+=【答案】##0.5 12【分析】先用赋值法得到，即为周期为6的函数，从而得到()()6f x f x +=()f x ，赋值法求出()()()()()()()()()()0122016336012345f f f f f f f f f f ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦，从而求出答案.()()()()()3450,2,,,f f f f f 【详解】中， ()()()()4f x y f x y f x f y ++-=令得：， 1y =()()()()()1141f x f x f x f f x ++-==所以，()()()21f x f x f x ++=+故，即， ()()()()21f x f x f x f x +++-=()()21f x f x +=--所以，()()3f x f x +=-将代替得：， 3x +x ()()63f x f x +=-+从而得到， ()()6f x f x +=即为周期为6的函数， ()f x 由于，20166336=⨯故，()()()()()()()()()()0122016336012345f f f f f f f f f f ⎡⎤+++⋅⋅⋅+=+++++⎣⎦中，()()()()4f x y f x y f x f y ++-=令得：， 1,0x y ==()()()()11410f f f f +=⋅因为，所以，()114f =()102f =令得：， 1x y ==()()()()1204114f f f f +=⋅=因为，所以， ()102f =()124f =-令得：，即， 2,1x y ==()()()()31421f f f f +=()11344f +=-解得：，()132f =-令得：，即， 2x y ==()()()()40422f f f f +=()11424f +=解得：，()144f =-令得：，即， 4,1x y ==()()()()53441f f f f +=()11524f -=-解得：， ()154f =从而， ()()()()()()1111110120244424354f f f f f f +++++=+---+=故. ()()()()()()10122016201602f f f f f f +++⋅⋅⋅+===故答案为：. 1215．已知定义域为，对于任意，，当时，则的()8ln 2+=-x f x xD 1x 2x D ∈122x x -=()()12f x f x -最小值是______． 【答案】32ln 2【分析】先求出函数的定义域,根据函数的性质设，因,则()8ln2+=-x f x x()8,2-12x x <122x x -=，，则,根据单调性和对数212x x =+()18,0∈-x ()()()()2111211202ln 18f x f x f x f x x x ⎛⎫-=+-=- ⎪+⎝⎭函数性质可知，当取得最小值，即时，取得最小值,代入即可得出结论.2118+x x 14x =-【详解】解：由题意，由，即，解得， 802+>-x x()()820+-<x x 82x -<<∴函数定义域为，不妨设， ()f x ()8,2-12x x <∵122x x -=∴，，212x x =+()18,0∈-x ∴()()()()112111112882lnln 222+++-=+-=----x x f x f x f x f x x x ， ()()()211112211111110282020ln ln ln 1888+-⎛⎫+-===- ⎪-+++⎝⎭x x x x x x x x x x ∵，则，∴， ()18,0∈-x 21180+<x x 21120118->+x x ∴，∴，21120ln 108⎛⎫-> ⎪+⎝⎭x x ()()2121120ln 18⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭f x f x x x 根据对数函数性质可知，当取得最小值，即时，取得最小值，2118+x x 14x =-()()21-f x f x∴. ()()()()212min 2093ln 1ln 2ln 42484⎡⎤-=-==⎢⎥-+⨯-⎢⎥⎣⎦f x f x 故答案为:32ln 2【点睛】本题考查对数运算以及对数函数单调性的判断,属于中档题.16．在函数图象与x 轴的所有交点中，点离原点最近，则可以等于()()()sin 20f x x ϕϕ=->,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭ϕ__________（写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） π3【分析】先求出与x 轴的所有交点，再结合题意得到恒成立，整理得()f x π222kϕϕ≤+，分类讨论，与三种情况，结合恒成立可得到，从而π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭1k ≥1k ≤-11k -<<π02ϕ<≤得解.【详解】因为，()()()sin 20f x x ϕϕ=->令，即，得，即，则图象与x 轴的()0f x =()sin 20x ϕ-=2π,Z x k k ϕ-=∈π,Z 22kx k ϕ=+∈()f x 所有交点为，π,0,Z 22k k ϕ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭因为其中点离原点最近，所以恒成立，,02ϕ⎛⎫⎪⎝⎭π,Z 222k k ϕϕ≤+∈不等式两边平方整理得，π02k k ϕ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭当时，，因为，故恒成立； 1k ≥π02k ϕ+≥0ϕ>π02kϕ+≥当时，，即恒成立，因为，则，故；1k ≤-π02k ϕ+≤π2kϕ≤-ππ22k -≥π2ϕ≤π02ϕ<≤当，即时，显然上述不等式恒成立， 11k -<<0k =综上，由于上述分类情况要同时成立，故，所以可以等于.π02ϕ<≤ϕπ3故答案为：（答案不唯一）. π3四、解答题17．对于非空数集A ，若其最大元素为M ，最小元素为m ，则称集合A 的幅值为，若集A T M m =-合A 中只有一个元素，则. 0A T =(1)若，求；{2,3,4,5}A =A T(2)若，，求{}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ 123A A A A = 的最大值，并写出取最大值时的一组；123A A A T T T ++123,,A A A (3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，*N 123,,,,n A A A A L 12355n A A A A T T T T ++++= 求n 的最大值. 【答案】(1)3A T =(2)的最大值为， 123A A A T T T ++18{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===(3)n 的最大值为11【分析】（1）根据新定义即可求出；（2）由，且要使得取到{},,,(,1,2,3,)i i i i i j A a b c A A A i j i j =⊆=∅=≠ 123A A A A = 123A A A T T T ++最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分123,,A A A T T T 布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.（3）要n 的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的123,,,,n A A A A L *N 非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可. 123,,,,n A A A A L 【详解】（1）由集合知，， {2,3,4,5}A =5,2M m ==所以.523A T M m =-=-=（2）因为，， {}{1,2,3,,9},,,,(,1,2,3,)i i i i i j A A a b c A A A i j i j ==⊆=∅=≠ 123A A A A = 由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同， 123,,A A A 根据定义要让取到最大值，123A A A T T T ++则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中， 123,,A A A T T T 4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为， 123A A A T T T ++78912318++---=所以有一组满足题意，{}{}{}1231,9,4,2,8,53,7,6,A A A ===（3）要n 的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为， 1,2 ，因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，123,,,,n A A A A L *N不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如, 1A *N 10A T =1{1}A =则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如， 2A *N 21A T =2{1,2}A =同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，3A *N 32A T =3{1,2,3}A =是集合中有个元素的非空真子集，且，例如， n A *N n 1n A T n =-{1,2,3,,}n A n = 所以， 123012(1)n A A A A T T T T n ++++=++++- ()1552n n -==解得或（舍去）， 11n =10n =-所以n 的最大值为11.【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.18．已知函数. ()()()21,R f x ax x a =+-∈(1)若，解不等式； 12a =()0f x ≥(2)解关于的不等式. x ()0f x <【答案】(1)或 {4x x ≤-}1x ≥(2)答案见解析【分析】（1）利用二次不等式的解法解之即可；（2）分类讨论，，，与五种情况，利用二次不等式的解法解之0a =0a =20a -<<2a =-2a <-即可，注意时不等号的方向. 0a >【详解】（1）当时，，12a =()()()()11214122f x x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭所以由得，解得或， ()0f x ≥()()14102x x +-≥4x ≤-1x ≥故的解集为或. ()0f x ≥{4x x ≤-}1x ≥（2）由得，()0f x <()()210ax x +-<当时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 0a =()210x -<1x <{}1x x <令，解得或， ()()210ax x +-=12x a=-21x =当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或；21a->20a -<<1x <2x a >-{1x x <2x a ⎫>-⎬⎭当，即时，不等式化为，解得，故不等式的解集为； 21a-=2a =-()210x ->1x ≠{}1x x ≠当，即时，不等式解得或，故不等式的解集为或；201a <-<2a <-2x a <-1x >2x x a ⎧<-⎨⎩}1x >当，即时，不等式解得，故不等式的解集为；201a -<<0a >21x a -<<21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭综上：当时，不等式的解集为；0a >21x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当时，不等式的解集为；0a ={}1x x <当时，不等式的解集为或；20a -<<{1x x <2x a ⎫>-⎬⎭当时，不等式的解集为；2a =-{}1x x ≠当时，不等式的解集为或；2a <-2x x a ⎧<-⎨⎩}1x >19．对于在某个区间上有意义的函数，如果存在一次函数使得对于任意的[),a +∞()f x ()g x kx b =+，有恒成立，则称函数是函数在区间上的弱渐近函),x a ⎡∈+∞⎣()()1f x g x -≤()g x ()f x [),a +∞数．(1)判断是否是函数上的弱渐近函数，并说明理由． ()g x x =()f x =[)1,+∞(2)若函数是函数在区间上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围； ()31g x x =+()3mf x x x=+[)4,+∞(3)是否存在函数，使得是函数上的弱渐近函数？若存在，求()g x kx =()g x ()f x =[)1,+∞出实数k 的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)08m ≤≤(3)不存在，理由见解析【分析】（1）首先代入与并化简整理成，然后判断()f x()g x [)()()()1,f x g x x -=∈+∞函数的单调性，最后利用函数单调性即可得，进而得证结论； (]()()0,1f x g x -∈（2）首先代入与，根据题意可得在区间上恒成立，解绝()f x ()g x ()()11mf xg x x-=-≤[)4,+∞对值不等式得在区间上恒成立，根据解恒成立问题可得参数的取值范围； 02m x ≤≤[)4,+∞m （3）利用反证法，然后求出满足恒成立条件的参数的范围，通过是无解的导出矛盾，进而验证k k 结论.【详解】（1）[)()()1,f x g x x x --==∈+∞因为上单调递增，y x =[)1,+∞所以在区间上单调递减，故当时取得最大值，最大值为 ()()f x g x -[)1,+∞1x =1故，得证．(]()()0,1f x g x -∈（2）因为函数是函数在区间上的弱渐近函数， ()31g x x =+()3mf x x x=+[)4,+∞所以在区间上恒成立， ()()11mf xg x x-=-≤[)4,+∞即在区间上恒成立， 111mx-≤-≤[)4,+∞整理得：在区间上恒成立， 02m x ≤≤[)4,+∞因为在上的最小值为， 2y x =[)4,∈+∞x 8得． 08m ≤≤（3）不存在.假设存在，则有 [)()()()1,f x g x kx x -=∀∈+∞即，对任意成立， 11kx -≤[)1,x∞∈+，对任意成立．k ≤≤[)1,x∞∈+等价于，对任意成立max min k ≤≤[)1,x ∞∈+令，得， ()11h x x -(]0,1t =∈()21h t t t =-+当时，取得最大值，最大值为； 12t =14令，得， ()21h x x ==+(]0,1t =∈()22h t t t =+易知 ()(]20,2h t ∈可得，不存在． 104k ≤≤所以，假设不成立，不存在函数是函数上的弱渐近函数． ()g x kx =()f x =[)1,+∞20．依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为：个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数．应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其它扣除．其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元．税率与速算扣除数见下表：级数全年应纳税所得额所在区间税率（%）速算扣除数1[]0,36000 3 02 (]36000,14400010 25203(]144000,30000020 16920 … ………(1)设全年应纳税所得额为（不超过300000元）元，应缴纳个税税额为元，求； t y ()y f t =(2)小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老金、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其它扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？(3)设小王全年综合所得收入额为（不超过521700元）元，应缴纳综合所得个税税额为元，求x y 关于的函数解析式；并计算小王全年综合所得收入额由189600元增加到249600元，那么他全y x 年缴纳多少综合所得个税？注：“综合所得”包括工资、薪金，劳务报酬，稿酬，特许权使用费；“专项扣除”包括居民个人按照国家规定的范围和标准缴纳的基本养老保险、基本医疗保险费、失业保险等社会保险费和住房公积金等；“专项附加扣除”包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等支出；“其他扣除”是指除上述基本减除费用、专项扣除、专项附加扣除之外，由国务院决定以扣除方式减少纳税的优惠政策规定的费用．【答案】(1)()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩(2)元1029.6(3)；5712元 [](](](]0,0,1467000.243520.8,146700,1917000.0814256,191700,3267000.1640392,326700,521700x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩【分析】（1）由税率与速算扣除数表列分段函数即可；（2）根据公式计算即可；（3）先求出小王全年应纳税所得额（注意讨论的情况），再结合分类讨论即可.0=t ()y f t =【详解】（1）根据税率与速算扣除数表，可得.()[](](]0.03,0,360000.12520,36000,1440000.216920,144000,300000t t y f t t t t t ⎧∈⎪==-∈⎨⎪-∈⎩（2）小王应纳税所得额为()189600600001896008%2%1%9%52800456034320t =--´+++--=元.则小王全年应缴纳综合所得个税为：.()343200.03343201029.6y f ==⨯=（3）小王全年应纳税所得额为，()600008%2%1%9%5280045600.8117360t x x x =--+++--=-由，则有. 0.81173600146700t x t =-=Þ=[]()0,0,1467000.8117360,146700,x t x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩则当；[]0,146700,0,0.030x t y t Î===当；(](]146700,191700,0,36000,0.030.243520.8x t y t x ÎÎ==-当；(](]191700,326700,36000,144000,0.125200.0814256x t y t x ÎÎ=-=-当.(](]326700,521700,144000,300000,0.2169200.1640392x t y t x ÎÎ=-=-故关于的函数解析式为. y x [](](](]0,0,1467000.243520.8,146700,1917000.0814256,191700,3267000.1640392,326700,521700x x x y x x x x ⎧∈⎪-∈⎪=⎨-∈⎪⎪-∈⎩故当时，.249600x =0.08249600142565712y =⨯-=∴小王全年应缴纳综合所得个税为5712元.21．已知函数，其中.()()sin 2sin cos 1sin cos 2f x x x x x x a =++-+-R a ∈(1)当时，若，求的值； 1a =()034f x =0sin 2x (2)记的最大值为，求的表达式并求出的最小值.()f x ()g a ()g a ()g a 【答案】(1) 09sin 216x =(2)， ()12g a a =+()min 1g a =【分析】（1）令，可得，即可得答案；sin cos x x t +=()()()31f x h t t ==-（2）分、、、四种情况讨论，每种情况下得到函数的单调性，即16a ≥1126a -<<12a =-12a <-可得答案.【详解】（1）令，则，，sin cos x x t +=t ⎡∈⎣21sin 2t x =+∴， ()()()2112f x h t t t t a ==-+--当时，， 1a =()()()()()()()23112112314f x h t t t t t t t t ==-+--=-++-=-=∴， 54t =∴. 20259sin 2111616x t =-=-=（2）， ()()()()2222121,21122121,2t a a t a h t t t t a a t a t a ⎧-++-≥⎪=-+--=⎨+--<⎪⎩①当，即时，在上单调递增， 2124a a +≥16a ≥()h tt ⎡∈⎣∴. ()()max 12g a h t ha ===+②当，即时， 2124a a +<16a <1°.时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调1126a -<<()h t )2a ⎡⎣212,4a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭214a +⎛ ⎝递增，∴， ()(){}max 2,g a h a h=记 ()()))222411124214s a h a h aa a a =-=----=+-在上单调递增，，∴，()s a 11,26a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()106s a s ⎛⎫<< ⎪⎝⎭()()20s a h a h =-<∴.()12g a h a ==+2°.时，.12a =-()12g a h a ==+3°.时，， 12a <-()({}max ,g a h h =而， (12112h a h a =-+<<=+∴. ()12g a h a ==+综上，对，，R a ∀∈()12g a h a ==+∴，当. ()min 1g a =a =22．如图，矩形的长，两点分别在轴，轴的正半轴上移动，ABCDAD =1AB =,A D x y 两点在第一象限.求的最大值., B C 2OB【答案】7+【分析】过点作，垂足为，设，求得的坐标，由两点间的B BH OA ⊥H OAD θ∠=,,,OA BH AH B 距离公式，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】由题意，过点作，垂足为，设， B BH OA ⊥H (02OAD πθθ∠=<<则， ,,sin()cos ,cos()sin 222BAH OA BH AH πππθθθθθθ∠=-==-==-=所以，sin ,cos )B θθθ+所以222sin )cos 76cos 22OB θθθθθ=++=++， 73πθ=++又由，可得， 02πθ<<42333πππθ<+<所以当时，取得最大值12πθ=2OB 7+【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，其中解答中注意运用三角函数的定义和二倍角公式和正弦函数的图象与性质，着重考查了化简与运算能力，属于中档试题.。
山东省济南市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题含答案
济南市2024年高一学情检测数学试题（答案在最后）本试卷共6页，满分150分.考试时间为120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用0.5mm 黑色签字笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.据教育部统计，2024届全国普通高校毕业生规模达1179万人，将数字11790000用科学记数法表示为（）A.71.17910⨯B.81.17910⨯C.611.7910⨯ D.80.117910⨯【答案】A【解析】【分析】由科学记数法要求可得.【详解】711790000 1.17910=⨯，故选：A .2.下列运算正确的是（）A.232a a a -=B.222()a b a b +=+C.322a b a a÷= D.2224()a b a b =【答案】D【解析】【分析】举例说明判断ABC ；利用幂的运算法则判断D.【详解】对于A ，()233a a a a -=-，A 错误；对于B ，()2222a b a ab b +=++，B 错误；对于C ，3222a b a ab ÷=，C 错误；对于D ，2222242()()a b a b a b ==，D 正确.故选：D3.小刚同学一周的跳绳训练成绩（单位：次/分钟）如下：156，158，158，160，162，165，169.这组数据的众数和中位数分别是（）A.160，162B.158，162C.160，160D.158，160【答案】D【解析】【分析】根据众数和中位数的定义易得.【详解】因在156，158，158，160，162，165，169这组数据中，158出现了2次，次数最多，故众数是158；根据中位数的定义知，按照从小到大排列的七个数据中，第四个数160为这组数据的中位数.故选：D.4.某几何体是由四个大小相同的小立方块搭成，其俯视图如图所示，图中数字表示该位置上的小立方块个数，则这个几何体的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三视图的相关概念分析即可.【详解】由题意可知从前方看第一排有3个正方体，且从左到右依次有2个、1个，第二排有1个正方体在左侧，故A 正确.故选：A5.已知点()13,A y -，()2,3B -，()21,C y -，()32,D y 都在反比例函数k y x=0k ≠）的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A.213y y y << B.312y y y <<C.231y y y << D.132y y y <<【答案】B【解析】【分析】首先代入点B 的坐标，得到函数的解析式，再代入其他点的坐标，即可判断.【详解】将点()2,3B -代入反比例函数32k =-，得6k =-，即反比例函数的解析式是6y x -=，将点,,A C D 的坐标代入函数解析式，得12y =，26y =，33y =-，即312y y y <<.故选：B6.如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足为E ，F ，则PE PF +的值为（）A.125 B.245 C.5 D.285【答案】B【解析】【分析】连接OP ，利用勾股定理列式求出BD ，再根据矩形的对角线相等且相互平分求出,OA OD ，然后根据AOD AOP DOP S S S =+△△△列式求解即可.【详解】如图，连接OP ，四边形ABCD 为矩形，6AB =，8AD =，10BD ∴===，11052OA OD ∴==⨯=，AOD AOP DOP S S S =+ ，11112222AD AB AO PE OD PF ∴⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，111168552222PE PF ∴⨯⨯⨯=⨯⋅+⨯⋅，解得245PE PF +=，故选：B.7.如图，在ABCD 中，2AB =，3AD =，60ABC ∠= ，在AB 和AD 上分别截取()AE AE AB <，AF ，使AE AF =，分别以,E F 为圆心，以大于12EF 的长为半径作弧，两弧在DAB ∠内交于点G ，作射线AG 交BC 于点H ，连接DH ，分别以,D H 为圆心，以大于12DH 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和N ，作直线MN 交CD 于点K ，则CK 的长为（）A.34 B.23 C.35 D.12【答案】C【解析】【分析】利用角平分线、垂直平分线的作法与性质确定相应线段长度，利用全等三角形、相似三角形的判定与性质计算即可.【详解】如图所示，设直线MN 分别交直线,,BC AD HD 于,,P Q S ，作HR AD ⊥，垂足为R ，根据题意易知,AG MN 分别为BAD ∠的角平分线，线段DH 的垂直平分线，所以60BAH ABC ∠=∠= ，所以ABH 为正三角形，则2,1,2,AH BH AR CH DR HR ======，所以2DH SD ==，而3tan 2QS ADH SD ∠==，则217,44QS DQ ==，易证HSP DSQ ≅ ，故73,44DQ HP CP HP CH ===-=，易知CKP DKQ ，故372CP CK CK QD KD CK =⇒=-，解之得35CK =.故选：C 8.如图，抛物线24y x x =-+，顶点为A ，抛物线与x 轴正半轴的交点为B ，连接AB ，C 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），过点C 作//CD AB 交y 轴于点D ，连接AD 交抛物线于点E ，连接OE 交CD 于点F ，若34DOF DEF S S =△△，则点C 的横坐标为（）A.43 B.65 C.76 D.87【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出点,A B 坐标，设点0(,0)C x 并表示点,,D E F 的坐标，再利用三角形面积关系列式计算即得.【详解】抛物线2(2)4y x =--+的顶点(2,4)A ，由0,0y x =>，得4x =，即点(4,0)B ，设直线AB 方程为y kx b =+，由4204k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得2,8k b =-=，则直线:28AB y x =-+，设点00(,0),04C x x <<，由//CD AB ，设直线CD 方程为2y x c =-+，由0x x =，得02c x =，由0x =，得02y c x ==，即点0(0,2)D x ，直线0:22CD y x x =-+，设直线AD 的方程为y mx n =+，则0242x n m n=⎧⎨=+⎩，解得002,2m x n x =-=，即直线00:(2)2AD y x x x =-+，由002(2)24y x x x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，解得02004x x y x x =⎧⎨=-+⎩，即点2000(,4)E x x x -+，显然DOE DOC S S = ，由34DOF DEF S S =△△，得37DOF DOE S S = ，则37DOF DOC S S = ，因此点0038(,)77F x x ，由37DOF DOE S S = ，得||3||7OF OE =，因此020083747x x x =-+，解得043x =，所以点C 的横坐标为43.故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离y （km ）与时间x （h ）的关系，则（）A.小明家与图书馆的距离为2kmB.小明的匀速步行速度是3km/hC.小明在图书馆查阅资料的时间为1.5hD.小明与小亮交谈的时间为0.4h【答案】AD【解析】【分析】由图象可判断A 选项；结合图象可求小明的匀速步行速度，可判断B 选项；通过计算点C 到D 所需的时间，可判断C 选项；通过计算点E 到F 所需的时间，可判断D 选项.【详解】对于A ：由图象可知小明家与图书馆的距离为2km ，故A 正确；对于B ：因为小明沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，所以小明的匀速步行速度是()24km /h 0.5=，故B 错误；对于C ：小明返回的路上走()20.8 1.2km -=后遇到小亮，则走1.2km 所需的时间为()1.20.3h 4=，所以小明在图书馆查阅资料的时间为()2.60.50.3 1.8h --=，故C 错误；对于D ：走0.8km 所需的时间为()0.80.2h 4=，所以小明与小亮交谈的时间为()3.2 2.60.20.4h --=，故D 正确.故选：AD.10.如图，点B 在线段AD 上，分别以线段AB 和线段BD 为边在线段AD 的同侧作等边三角形ABC 和等边三角形BDE ，连接AE ，AE 与BC 相交于点G ，连接CD ，CD 与AE ，BE 分别相交于点F ，H ，连接BF ，GH ，则（）A.//GH ADB.FB 平分GFH ∠C.GE BD= D.ABE CBD≅△△【答案】ABD【解析】【分析】结合图形和题设条件，易得ABE CBD ≅△△，可推得D 项；由此得到ABE CBD ∠=∠，可证GBE HBD ≅ ，可得GB HB =，从而得到正三角形BGH ，由60GHB HBD ∠==∠ 易得A 正确；再由全等三角形的对应边上的高相等，易得点B 到AFD ∠的两边距离相等，故得B 项正确；对于C 项，可采用反向推理，假设结论正确，经过推理产生矛盾，即得原命题不成立，排除C 项.【详解】因ABC V 和BFD △都是正三角形，故,,60AB BC BE BD ABC EBD ==∠=∠= ，则ABC CBE FBD CBE ∠+∠=∠+∠,即ABE CBD ∠=∠，由AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩可得ABE CBD ≅△△，故D 正确；由ABE CBD ≅△△可得，AEB CDB ∠=∠,因18026060CBE ∠=-⨯= ，由GBE HBD BE BD GEB HDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩可得，GBE HBD ≅ ,则有GB HB =，故BGH V 为正三角形，则60GHB HBD ∠==∠ ,故//GH AD ，即A正确；如图，分别作,BM AE BN CD ⊥⊥,垂足分别是,M N ，由上知，ABE CBD ≅△△，故BM BN =，由角平分线的性质定理，可得FB 平分GFH ∠，故B 正确；对于C 项，假设GE BD =，则GE BE =,故60EGB EBG ∠=∠= ，而在ACG 中，60,60ACG CAG CAB ∠=∠<∠= ,故60CGA EGB ∠=∠>产生矛盾，故假设不成立，即C 错误.故选：ABD .11.如图1，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，4BC =，动点D 从点A 开始沿AB 边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E 从点B 开始沿BC 边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE ，F 为DE 中点，连接AF ，CF ，设时间为t （s ），2DE 为y ，y 关于t 的函数图象如图2所示，则（）A.当1t =时， 2.5DE = B.2AB =C.DE 有最小值，最小值为2 D.AF CF +【答案】BD【解析】【分析】设AB a =，列出y 关于t 的函数式，结合图2，列方程求出a 的值，判断B 项，继而代值检验A 项；利用二次函数的图象性质，即可得到DE 的最小值，判断C 项；最后通过建系，将AF CF +转化为14+，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值.【详解】设AB a =，则0.5,0.5,0.5AD t BD a t BE t ==-=，则22222(0.5)(0.5)0.5y DE a t t t at a ==-+=-+（*），由图2知，函数220.5y t at a =-+经过点(1,2.5)，整理得，220a a --=，解得2a =或1a =-（舍去），故B 正确；由B 项知，20.524y t t =-+，当1t =时，0.524 2.5y =-+=，即2 2.5DE =,故A 错误；对于C ，由题意易得，04t ≤≤，由220.524=0.5(2)2y t t t =-+-+可得，当2t =时，min 2y =，即DE 故C 错误；对于D ，如图，以点B 为原点,,OA OC 所在直线分别为,x y 轴建立直角坐标系.则(2,0),(0,4),(20.5,0),(0,0.5)A C D t E t -，因F 为DE 中点，故11(1,)44F t t -，于是AF CF +=+14=+结合此式特点，设(,),(4,0),(4,16)P t t M N -,则1()4AF CF PM PN +=+,作出图形如下.作出点(4,0)M -关于直线y x =的对称点1(0,4)M -，连接1M N ,交直线y x =于点P ，则点P 即为使PM PN +取得最小值的点.(理由：可在直线y x =上任取点(,)P t t '''，利用对称性特点，即可证明P M P N PM PN ''+>+,即得)，此时22min 1()4(164)426PM PN M N +==++=即AF CF +的最小值为26.故选：BD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在平面直角坐标系中有五个点，分别是()1,3A ，()3,4B -，()2,3C --，()4,3D ，()3,5E -，从中任选一个点，选到的这个点恰好在第一象限的概率是______.【答案】25##0.4【解析】【分析】利用概率公式求解即可求得答案.【详解】五个点中在第一象限的点有A 和D 两个，从中任选一个点共有5种等可能的结果，这个点恰好在第一象限有2种结果，所以从中任选一个点恰好在第一象限的概率是25.故答案为：25.13.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AB =，ABC V 的周长为14，则AB 边上的高为________.【答案】73##123【解析】【分析】利用勾股定理和完全平方公式以及三角形面积可得结果.【详解】根据题意可设,BC a AC b ==，所以146BC C AB A a b =++++=，可得8a b +=，又90ACB ∠=︒，利用勾股定理可得222226BC AC a b ++==；可得2236a b +=；所以()222228236a b a b ab ab +=+-=-=，即14ab =；设AB 边上的高为h ，由三角形面积可得6ab AB h h =⋅=，解得14763h ==.故答案为：7314.如图，在矩形纸片ABCD 中，4AB =，6AD =，E 为AD 中点，F 为边CD 上一点，连接EF ，将DEF 沿EF 翻折，点D 的对应点为D ¢，G 为边BC 上一点，连接AG ，将ABG 沿AG 翻折，点B 的对应点恰好也为D ¢，则BG =________.【答案】6-【解析】【分析】过D ¢作SU AD ⊥，交AD 于S ，交BC 于U ，过E 作EH AD '⊥，利用等积法可求3D S '=，再根据Rt D GU '△可求BG 的长度.【详解】由题设3,4AE D E AD AB ==='='，过D ¢作SU AD ⊥，交AD 于S ，交BC 于U ，过E 作EH AD '⊥，则2AH HD ='=，则EH ==，故1122AD AE D S '=⨯'，所以3D S '=，故83AS ==，故83BU =，设BG x =，则D G x '=，故222845433x x ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故6x =-故答案为：6-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.先化简再求值：（1）求22111244x x x x x x x ---÷+--+的值，其中3x =；（2）求222x y y x y x y x y---+-的值，其中2x y =.【答案】（1）12（2）43【解析】【分析】（1）先因式分解进行化简，进而代入3x =即可求解；（2）先同分母进行化简并转化x y 的表达式，进而代入2x y=即可求解.【小问1详解】()()()2222111=12441211x x x x x x x x x x x x x x -----÷-⋅+--++--+121x x x x --++=()21x x x --=+21x =+.即3x =代入可得21312=+.【小问2详解】()()()()222222x x y y x y x y y y x y x y x y x y x y x y +----=--+--+-22222x xy xy y y x y +-+-=-222x x y =-221x y x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭.即2x y =代入可得2224213=-.16.某超市销售,A B 两种品牌的牛奶，购买3箱A 种品牌的牛奶和2箱B 种品牌的牛奶共需285元；购买2箱A 种品牌的牛奶和5箱B 种品牌的牛奶共需410元.（1）求A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是多少元？（2）若某公司购买,A B 两种品牌的牛奶共20箱，且A 种品牌牛奶的数量至少比B 种品牌牛奶的数量多6箱，又不超过B 种品牌牛奶的3倍，购买,A B 两种品牌的牛奶各多少箱才能使总费用最少？最少总费用为多少元？【答案】（1）A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.（2）最小费用为12005151125-⨯=（元），此时购买,A B 两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.【解析】【分析】（1）设A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是,x y 元，根据题设列方程组后可求各自的单价；（2）购买A 品牌的牛奶a 箱，则购买总费用12005C a =-，由题设条件可得a 可为13,14,15中的某个数，故可求最小费用及相应的箱数.【小问1详解】设A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是,x y 元，则3228525410x y x y +=⎧⎨+=⎩，故5560x y =⎧⎨=⎩.故A 种品牌的牛奶，B 种品牌的牛奶每箱价格分别是55元、60元.【小问2详解】设购买A 品牌的牛奶a 箱，则购买B 品牌的牛奶20a -箱，此时总费用()55602012005C a a a =+-=-，而()206320a a a a ≥-+⎧⎨≤-⎩，故1315a ≤≤，而a 为整数，故a 可为13,14,15中的某个数，故C 的最小费用为12005151125-⨯=（元），此时购买,A B 两种品牌的牛奶分别为15箱、5箱.17.如图，在O 中，AB 是直径，点C 是O 上一点，9AC =，3BC =，点E 在AB 上，2AE BE =，连接CE 并延长交O 于点D ，连接AD ，AF CD ⊥，垂足为F .（1）求证：ADF ABC △△；（2）求DF 的长.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角为直角可判断90AFD ACB ︒∠=∠=，再利用同弧所对的圆周角相等，可得ADF ABC ∠=∠，从而证明ADF ABC △△；（2）在Rt ABC △中，求出tan 3ABC ∠=，AB =利用tan tan 3ABC ADF ∠=∠=，设DF x =，把Rt ADF 的三边表示出来，再利用CBE ADE 求出103DE x =，最后在Rt AEF 中求出x 的值，也即是DF 的长.【小问1详解】AB 是O 的直径，BC AB ∴⊥，90AFD ACB ︒∴∠=∠=，又ADF ABC ∠=∠ ,ADF ABC ∴ .【小问2详解】在Rt ABC △中，9tan 33AC ABC BC ∠===，AB ==又2AE BE =，则AE =BE =，又ABC ADF ∠=∠，tan tan 3ABC ADF ∴∠=∠=，在Rt ADF 中，设DF x =，则3AF x =，故AD ==，又CEB AED ∠=∠，CBE ADE ∴ ，BC BE DA DE ∴=10DE=，解得103DE x =，10733EF DE DF x x x ∴=-=-=，在Rt AEF 中，222AF EF AE +=，即()(222733x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得x =，即DF =.18.已知抛物线223y mx mx =--（0m >），根据以上材料解答下列问题：（1）若该抛物线经过点(3,0)A ，求m 的值；（2）在（1）的条件下，B ，C 为该抛物线上两点，线段BC 的中点为D ，若点(2,1)D ，求直线BC 的表达式；以下是解决问题的一种思路，仅供大家参考：设直线BC 的表达式为：y kx b =+，(,),(,)B B C C B x y C x y ，则有223B B B y mx mx =--①，223C C C y mx mx =--②.①-②得：()()()()()2222B C B C B C B C B C B C y y m x x m x x m x x x x m x x -=---=+---，两边同除以()B C x x -，得()2B C B C B Cy y k m x x m x x -==+--……；（3）该抛物线上两点E ，F ，直线EF的表达式为：()2y mx n =+（0n ≥）.(ⅰ).请说明线段EF 的中点在一条定直线1l 上；(ⅱ).将ⅰ中的定直线1l 绕原点O 顺时针旋转45°得到直线2l ，当13x <<时，该抛物线与2l 只有一个交点，求m 的取值范围.【答案】（1）1m =（2）23y x =-（3）ⅰ.线段EF的中点在定直线1:2l x =上；ⅱ.1m ≥或12m =或103m <≤.【解析】【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，计算即得m 的值；（2）按照题中的思路先求出2B C k x x =-+，再由线段BC 的中点为(2,1)D 求得k 的值，利用直线BC 经过点(2,1)D 即可求得直线BC 的表达式；（3）(ⅰ)由22)23y mx n y mx mx ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去y ，利用韦达定理即可得到线段EF的中点在定直线1:2l x =上；(ⅱ)根据题意，作出图形，利用平面几何知识即可求得2:5l y x =-；根据函数223y mx mx =--与2:5l y x =-在13x <<时的图象特点，依题意可得34332m m --<-⎧⎨->-⎩，解之即得.【小问1详解】因223y mx mx =--经过点(3,0)A ，则9306m m --=，解得，1m =；【小问2详解】1m =时，2223(1)4y x x x =--=--，设直线BC 的表达式为：y kx b =+，(,),(,)B B C C B x y C x y ,则223B B B y mx mx =--①，223C C C y mx mx =--②.由①-②：222((2))()B C B C B C B C B C y y x x x x x x x x -=---=--+，两边同除以()B C x x -，则2B C B C B Cy y k x x x x -=+--=，因线段BC 的中点为(2,1)D ，则22C B x x +=，即2222k =⨯-=，则2y x b =+，将点(2,1)D 代入解得，3b =-，故直线BC 的表达式为：23y x =-；【小问3详解】（i）由22)23y mx n y mx mx ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩消去y，整理得，230mx n ---=，依题意，设(,),(,)E E F F E x y F x y ,EF 的中点为(,)M M M x y ,则E F x x +=22F M E x x x =+=，即线段EF的中点在定直线1:2l x =上；(ⅱ)如图，将定直线1:2l x =绕原点O 顺时针旋转45°得到直线2l ,则点(,0)2A 转到了点1A ,则1522OA OA ==,设点111(,)A x y ，2(,0)B x 则11525525cos45,sin 45,2222x y ===-=-oo 215x ==,即155(,)22A -，(5,0)B ,设2:l y mx n =+，则得，505522m n m n +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得，15m n =⎧⎨=-⎩，即得2:5l y x =-；因抛物线2223(1)3y mx mx m x m =--=---的对称轴为1x =，故该函数在13x <<时，y 随着x 的增大而增大，且1x =时，3y m =--，3x =时，33y m =-，要使抛物线与2:5l y x =-只有一个交点，可分以下种情况讨论：①当抛物线顶点在直线下方时，如上图可得，34332m m --<-⎧⎨->-⎩，解得1m >；②抛物线顶点在直线上，如上图，即1m =时，由2235y x x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得1x =或2x =，因13x <<，故符合题意；③抛物线与直线相切，且切点横坐标满足13x <<，如上图，由2235y mx mx y x ⎧=--⎨=-⎩消去y ，可得2(21)20mx m x -++=，由2(21)80m m ∆=+-=解得，12m =，代入方程可得2440x x -+=，解得2x =，符合题意；④如上图，抛物线顶点在直线上方，但在13x <<内只有一个交点，须使34332m m -->-⎧⎨-≤-⎩，又0m >，解得103m <≤.综上可得m 的取值范围为：1m ≥或12m =或103m <≤.19.在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒.（1）如图1，在ACE △中，120CAE ∠=︒，2AE AC =，F 是AE 中点，连接BF .若1BC =，求线段BF 的长；（2）如图2，在BCD △中，120BDC ∠=︒，2BD CD =，F 是AB 中点，连接DF ，求BF DF的值；（3）如图3，在CDE 中，120CDE ∠=︒，2DE CD =，E 是AB 中点，F 是AE 中点，连接BD ，DF ，求DF BD的值.【答案】（17（221（3）32【解析】【分析】（1）由90BAF ∠=︒，2AB =，3AF =，可求BF 的长；（2）将BCD △绕点C 顺时针旋转60︒得FCD '△，证明,,B D D '三点共线，FD BD '⊥，设1CD DD '==，勾股定理求出FD 和BF 即可；（3）将CDE 绕点C 顺时针旋转60︒，得CD B '△，证明,,B D D '三点共线，ED BD '⊥，//ED FD '，设1CD =，求出BD 和FD 即可.【小问1详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒.若1BC =，则2AB =，AC =，如图1，在ACE △中，120CAE ∠=︒，由30BAC ∠=︒，得90BAF ∠=︒2AE AC =，F 是AE 中点，则AF AC ==Rt ABF中，BF ==.【小问2详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，F 是AB 中点，连接FC ，则BFC △为等边三角形，如图所示，将BCD △绕点C 顺时针旋转60︒，得FCD '△，CD CD '=，60DCD '∠=︒，则CDD '△为等边三角形，60CDD '∠=︒，又120BDC ∠=︒，则,,B D D '三点共线，120FD C BDC '∠=∠=︒，60CD D '∠=︒，则60FD D '∠=︒，2BD CD =，则2FD D D ''=，FDD '△中，60FD D '∠=︒，2FD D D ''=，H 为FD '中点，连接DH ，则有DD HD ''=，DHD ' 为等边三角形，DH FH HD '==，60DHD ︒'∠=，30HFD HDF =︒∠=∠，所以FDD '△为直角三角形，FD BD '⊥，不妨设1CD DD '==，则2FD BD '==，223FD FD D D ''=-=227BF FD BD =+=所以72133BF DF ==；【小问3详解】在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，CDE 中，120CDE ∠=︒，2DE CD =，E 是AB 中点，F 是AE 中点，将CDE 绕点C 逆时针旋转60︒，得CD B '△，如图所示，由（2）同理可得CDD '△为等边三角形，,,B D D '三点共线，ED BD '⊥，由2DE CD =，有2BD D D ''=，又2BE EF =，则有//ED FD '，得FD BD ⊥，不妨设1CD DD CD ''===，则2BD ED '==，3BD =。
四川省宜宾市2023-2024学年高一上学期期末数学试题含解析
宜宾高2023级高一上期期末考试数学试题（答案在最后）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I 卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知A ，B 均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},则A=（）A.{1，3}B.{3，7，9}C.{3，5，9}D.{3，9}【答案】D 【解析】【详解】因为A ，B 均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},所以，3∈A ，9∈A ，若5∈A ，则5∉B ，从而5∈∁U B ，则(∁U B)∩A={5，9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理可得：1∉A ，7∉A.故选D ．2.已知点()43P ,-是角α终边上的一点，则()sin πα-=A.35B.35-C.45-D.45【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的定义求出sinα，然后再根据诱导公式求出()sin πα-即可．【详解】∵点()4,3P -是角α终边上的一点，∴3sinα5=，∴()3sin sinα5πα-==．故选A．【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用，解题的关键是根据定义求出正弦值，然后再用诱导公式求解，解题时要注意三角函数值的符号，属于基础题．3.设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=,()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x-=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.4.函数()ln 23f x x x =+-的零点所在的区间是（）A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】B 【解析】【分析】易知函数()ln 23f x x x =+-是()0,∞+上的增函数,(1)(2)0f f ⋅<,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间.【详解】函数ln y x =是()0,∞+上的增函数,23y x =-是R 上的增函数,故函数()ln 23f x x x =+-是()0,∞+上的增函数.(1)ln12310f =+-=-<,(2)ln 2223ln 210f =+⨯-=+>,则()0,1x ∈时,()0f x <;()2,x ∈+∞时,()0f x >,因为(1)(2)0f f ⋅<,所以函数()ln 23f x x x =+-在区间()1,2上存在零点.故选:B.【点睛】本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题.5.若集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-，则A B ⋂等于A.(3,3)- B.(2,2)- C.[2,2)- D.[2,3)-【答案】C【解析】【分析】解不等式,可得集合A 与集合B,根据交集运算即可得解.【详解】集合2{|60}A x x x =+-<，2{|0}3x B x x +=≤-解不等式,可得{|32}A x x =-<<，{|23}B x x =-≤<所以[){|32}{|23}2,2A B x x x x =-<<⋂-≤<=- 所以选C【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.6.若函数()32m f x x -=在()0,∞+上单调递减，则实数m 的取值范围为（）A.2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数的单调性求解.【详解】因为函数()32m f x x -=在()0,∞+上单调递减，所以320m -<,解得23m <，故选:C.7.定义{}*1,,A B Z Z xy x A y B ==+∈∈，设集合{}0,1A =，集合{}1,2,3B =，则*A B 集合的子集的个数是（）A.14B.15C.16D.17【答案】C 【解析】【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可.【详解】因为{}*1,2,3,4A B =，所以*A B 集合的子集的个数是4216=，故选：C8.函数()f x 的定义域为D ，若满足：(1)()f x 在D 内是单调函数；(2)存在,22m n D ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，使得()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，那么就称函数()f x 为“梦想函数”.若函数()()log xa f x a t =+()0,1a a >≠是“梦想函数”，则t 的取值范围是A.1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B.1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D.1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据“梦想函数”定义将问题改写为22log log m a n a a t ma t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+=⎪⎪⎝⎭⎩，等价转化为20x x a a t --=有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解.【详解】因为函数()()()log 0,1xa f x a ta a =+>≠是“梦想函数”，所以()f x 在,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[],m n ，且函数是单调递增的.所以22log log m a na a t m a t n ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩，即22m mnna t a a t a ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩∴20xx a a t --=有2个不等的正实数根，令2xw a =即20w w t --=有两个不等正根，∴140t ∆=+>且两根之积等于0t ->，解得104t -<<.故选：A.【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.方程2210x x -+=的解集中有两个元素B.0N ∉C.2∈{|x x 是质数｝D.1Q 3∈【答案】CD 【解析】【分析】利用集合元素的性质、元素与集合的关系判断作答.【详解】对于A ，方程2210x x -+=有等根1，因此方程2210x x -+=的解集中只有1个元素，A 错误；对于B ，0是自然数，B 错误；对于C ，2是最小的质数，C 正确；对于D ，13是正分数，是有理数，D 正确.故选：CD 10.已知23x <<，23y <<，则（）A.629x y <+<B.223x y <-< C.11x y -<-< D.49xy <<【答案】ACD 【解析】【分析】根据不等式的基本性质，逐个选项进行判断求解即可.【详解】由已知得，426x <<，23y ->->-，得到，对于A ，由426x <<和23y <<，得到629x y <+<，A 正确；对于B ，由426x <<和32y -<-<-，得到124x y <-<，与题意不符，故B 错误；对于C ，由23x <<，32y -<-<-，得到11x y -<-<，C 正确；对于D ，由23x <<，23y <<，得到49xy <<，D 正确；故选：ACD11.若函数()221f x x x=-，则（）A.函数()f x 为偶函数B.函数()f x 在定义域上单调递增C.函数()f x 的值域为RD.()1f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】ACD【解析】【分析】由函数奇偶性的定义判断选项A ，分别判断(),0x ∈-∞与()0,x ∈+∞时，函数2y x =与21y x =的单调性，从而得函数()f x 的单调性，分析x →-∞与0x -→对应的()f x 取值范围，计算得1f x ⎛⎫⎪⎝⎭，并判断与()f x 的关系.【详解】因为函数()f x 定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()()()222211f x x x f x xx -=--=-=-，所以函数()f x 为偶函数，A 正确；当(),0x ∈-∞时，2y x =单调递减，21y x =单调递增，所以函数()221f x x x =-单调递减，当()0,x ∈+∞时，2y x =单调递增，21y x=单调递减，所以函数()221f x x x =-单调递增，B错误；当x →-∞时，221,0→+∞→x x ，所以221⎛⎫-→+∞ ⎪⎝⎭x x ，当0x -→时，2210,→→+∞x x ，所以221⎛⎫-→-∞ ⎪⎝⎭x x ，所以函数()f x 的值域为R ，C 正确；()2222111⎛⎫-=-⎛⎫= ⎪⎝-=- ⎪⎝⎭⎭x x f x x f x x ，D 正确.故选：ACD12.已知x ，()0,y ∈+∞，设2M x y =+，N xy =，则以下四个命题中正确的是（）A.若1N =，则MB.若6M N +=，则N 有最大值2C.若1M =，则108N <≤D.若231M N =+，则M 有最小值85【答案】BC 【解析】【分析】利用基本不等式及二次函数性质求各项对应代数式的最值，注意取值条件，即可判断各项正误.【详解】A ：1N xy ==，由2M x y =+≥=,2x y ==B ：26M N x y xy xy +=++=≥+，当且仅当1,2x y ==时等号成立，即60xy +-=+≤，可得002xy <≤⇒<≤，所以N 有最大值2，对；C ：2112M x y y x =+=⇒=-，则221122(48N xy x x x ==-=--+，又x ，()0,y ∈+∞，则120x ->，可得102x <<，所以108N <≤，对；D ：由题设223(2)31(2)18x y xy x y +=+≤⋅++，即28(2)255x y x y +≤⇒+≤，当且仅当,105x y ==时等号成立，所以05M <≤，错.故选：BC第II 卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知集合{}{}21,3,0,3,A B m =-=，若B A ⊆，则实数m 的值为__________.【答案】0【解析】【分析】解方程20m =即得解.【详解】解：因为B A ⊆，所以21m =-（舍去）或20m =，所以0m =.故答案为：014.化简()()sin 400sin 230cos850tan 50︒-︒︒-︒的结果为______．【答案】cos50︒【解析】【分析】先根据诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系：切化弦得解.【详解】()()()()()()()()sin 36040sin 18050sin 400sin 230sin 40sin 50sin 50=cos50sin 50cos850tan 50cos 7209040tan 50sin 40tan 50cos50︒+︒-︒+︒⎡⎤︒-︒︒︒︒⎣⎦===︒︒︒-︒︒+︒+︒-︒-︒-︒︒故填cos50︒．【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的关系，属于基础题.15.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae －bt (cm 3)，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一.【答案】16【解析】【分析】根据经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，得到e －8b＝12，然后又容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝ae－bt＝18a 联立求解.【详解】当t ＝8时，y ＝ae －8b＝12a ，所以e－8b＝12.容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝ae －bt＝18a ，所以e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24.所以再经过16min 容器中的沙子只有开始时的八分之一.故答案为：16【点睛】本题主要考查指数型函数的应用，属于基础题.16.设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－211x+，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是________.【答案】1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】判断()f x 的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解.【详解】由f (x )＝ln(1＋|x |)－211x+()()()21ln 11x f x x =+--=-+-，且其定义域为R ，故f (x )为R 上的偶函数，于是f (x )＞f (2x －1)即为f (|x |)＞f (|2x －1|).当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－211x +，()21ln 1,1y x y x=+=-+在[)0,∞+均是单调增函数，所以f (x )为[0，＋∞)上的增函数，则由f (|x |)＞f (|2x －1|)得|x |＞|2x －1|，两边平方得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1.故答案为：1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及利用函数性质解不等式，属综合基础题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值（1）210232183(2(9.6)()()4272----+（2）7log 2327log lg 25lg 473+++.【答案】（1）12；（2）154.【解析】【分析】（1）利用指数的运算规则进行求解；（2）利用对数的运算规则进行求解.【详解】（1）原式1213222223292332211432233⨯-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭312=-12=;（2）原式()31424333log lg 2542log 3lg1023-=+⨯+=++1224=-++154=.18.已知集合{}45A x x =-<<，{}36B x x =-<<，{}|121,R C x m x m m =-≤≤+∈.（1）求A B ⋃，A B ⋂；（2）若()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}46A B x x ⋃=-<<，{}35A B x x ⋂=-<<（2）2m <-或22m -<<.【解析】【分析】（1）根据集合的交并运算求得A B ⋃，A B ⋂；（2）根据C 是否为空集进行分类讨论，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】{}45A x x =-<<，{}36B x x =-<<，∴{}46A B x x ⋃=-<<，{}35A B x x ⋂=-<<.【小问2详解】{}35A B x x ⋂=-<<，当C =∅时，121m m ->+，∴2m <-．当C ≠∅时，213215m m m ≥-⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，∴22m -<<．综上所述，2m <-或22m -<<.19.已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，且[1,0]x ∈-时，2()1xf x x =+．（1）求函数()f x 的表达式；（2）判断并证明函数在区间[0,1]上的单调性．【答案】（1）22,[0,1]1(),[1,0)1xx x f x x x x -⎧∈⎪⎪+=⎨⎪∈-⎪+⎩（2）单调减函数，证明见解析【解析】【分析】（1）设[0,1]x ∈，则[1,0]x -∈-，根据()f x 是偶函数，可知()()f x f x -=，然后分两段写出函数()f x 解析式即可；（2）利用函数单调性的定义，即可判断函数的单调性，并可证明结果．【小问1详解】解：设[0,1]x ∈，则[1,0]x -∈-，2()1xf x x --=+，因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即2()1xf x x -=+，所以22,[0,1]1(),[1,0)1xx x f x x x x -⎧∈⎪⎪+=⎨⎪∈-⎪+⎩．【小问2详解】解：设1201x x <<<，()()()()()()211221212222212111111x x x x x x f x f x x x x x -----=-=++++，∵1201x x <<<，∴210x x ->，1210x x -<，∴()()21f x f x <，∴()f x 在[0,1]为单调减函数．20.已知函数()sin(),22f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对任意x ∈R 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）对于任意x ∈R ，不等式()1f x m -≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）2m ≥【解析】【分析】（1）根据()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭得到函数()f x 的对称轴，再利用对称轴列方程，求ϕ即可；（2）根据函数()f x 的解析式求出()1f x -的最大值即可得到m 的范围.【小问1详解】因为对任意x ∈R 都有()3f x f x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以6x π=是函数()f x 的一条对称轴，si 616n f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得()Z 3k k πϕπ=+∈，又,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为对任意x ∈R ，不等式()1f x m -≤，所以()max 1m f x ≥-，因为()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R ，所以()[]()[]sin 1,110,23f x x f x π⎛⎫=+∈-⇒-∈ ⎪⎝⎭，所以2m ≥.21.某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产x 万件，需另投入成本为()C x 万元．当年产量不足60万件时，()213802C x x x =+万元；当年产量不小于60万件时，()810004102550C x x x =+-万元．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润=销售收入－总成本）（1）写出年利润L 万元关于年产量x 万件的函数解析式；（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．【答案】21.()2120150,060,281000240010,60,x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩22.年产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大值为600万元【解析】【分析】（1）利用“利润=销售收入－总成本”求得L 关于x 的函数解析式.（2）根据二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.【小问1详解】当060x ≤<时，()22114003801502015022L x x x x x x =---=-+-，当60x ≥时，()81000810004004102550150240010L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以()2120150,060,281000240010,60,x x x L x x x x ⎧-+-≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当060x ≤<时，()()221120*********L x x x x =-+-=--+，所以当20x =时，()L x 取得最大值()2050L =（万元）；当60x ≥时，()81000240010240021090600L x x x ⎛⎫=-+≤-⨯⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当8100010x x=，即90x =时等号成立．综上，当90x =时，()L x 取得最大值600万元．所以年产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大值为600万元．22.已知函数()1ln1kx f x x -=+为奇函数．（1）求实数k 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m <<【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的定义和条件()()0f x f x +-=，求出k 的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；（3）假设存在,αβ，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为,22m m ln m ln m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()f x 在()1,+∞上递增，程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，可得m 的不等式组，解不等式即可得到实数m 的取值范围，即可得到判断存在性.【详解】（1）因为函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数，所以()()0f x f x +-=，即()()()()22211111ln ln ln ln 011111kx kx kx kx k x x x x x x -------+===+-++-+-对定义域内任意x 恒成立，所以21k =，即1k =±，显然1k ≠-，又当1k =时，1()ln1x f x x -=+的定义域关于原点对称．所以1k =为满足题意的值．（2）结论：()f x 在(),1∞-，()1,+∞上均为增函数．证明：由（1）知()1ln 1x f x x -=+，其定义域为()(),11,-∞-+∞U ，任取12,(1,)x x ∈+∞，不妨设12x x <，则()()()()()()11212222111111ln 111ln 1ln x x x x f x f x x x x x --+=+--=++--，因为()()()()()121212111120x x x x x x -+-+-=-<，又()()12110x x +->，所以()()()()1212110111x x x x -+<<+-，所以()()()()()()12121211ln 011x x f x f x x x -+-=<+-，即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,+∞上为增函数．同理，()f x 在(),1∞-上为增函数．（3）由（2）知()f x 在()1,+∞上为增函数，又因为函数()f x 在[],αβ上的值域为11ln ,ln 22m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以0m >，且1ln ln ,121ln ln 12m m m m αααβββ⎧-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎪⎨-⎛⎫⎪=- ⎪⎪+⎝⎭⎩，所以1,12112m m m m αααβββ-⎧=-⎪+⎪⎨-⎪=-+⎪⎩，即,αβ是方程112x m mx x -=-+的两实根，问题等价于方程211022m m mx x ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭在()1,+∞上有两个不等实根，令()21122m m h x mx x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭，对称轴1124x m =-则()201112414102210m m m m m h m >⎧⎪⎪->⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪∆=---> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪=>⎩，即0205229m m m m >⎧⎪⎪<<⎨⎪⎪><⎩或，解得209m <<．【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.。
华大新2025届高一数学第一学期期末综合测试试题含解析
f
(x)
tan
2
x
3
1
的对称中心是
k 2
6
,1
，
k Z
，
其中正确命题的序号是________.
16．已知定义在区间[a 2023, 2024]上的奇函数 f (x) 满足： f (2 x) f (x) ，且当 x [1, 0] 时，
f (x) a log2 (b x) ，则 f (2021) f (2022) ____________.
【解析】可直接根据题意转化为方程 x x 1 2x 2t 有两个根，然后利用分类讨论思想去掉绝对值再利用判别式即
可求得各个 t 的值
【详解】由题意得方程 x x 1 2x 2t 有两个不等实根，
当方程有两个非负根时，
令 x 0 时，则方程为 x x 1 2x 2t ，整理得 x2 3x 2t 0
4sin
0
（1）求
tan
4
的值；
（2）求
sin
2
2
的值.
20．如图，已知在正四棱锥 P ABCD 中， M 为侧棱 PD 的中点，
（1）证明： PB / /平面ACM ；
连接 AC、BD 相交于点 O
（2）证明： 平面ACM 平面PBD ；
（3）设 AB 2 ,若质点从点 A 沿平面 PAD 与平面 PCD 的表 棱锥 P ABCD 的体积
AO ∴ AOA 60 .
故选：C
【点睛】本题考查了二面角的平面角的作法，重点考查了运算能力，属基础题. 7、B 【解析】由三角函数的定义即可得到结果.
【详解】∵ 480 角的终边上一点 (4, a) ， ∴ tan 480 tan1200 3 a ，
2025届陕西省西安市高新第一中学数学高一上期末经典试题含解析
所以|2 a b | 2 的最大值，最小值分别是：16，0；
所以|2 a b | 的最大值，最小值分别是 4，0； 故选：D 【点睛】本题考查了向量的坐标运算以及三角函数解析式的化简；利用了两角差的正弦公式以及正弦函数的有界性
B.
y
sin
2x
6
C. y cos2x
D.
y
cos
2x
6
9．已知函数
f
x
1
2
x
1,
x
0
，若存在不相等的实数
a，b，c，d
满足
f a
f b
f c
f d ，则
lg x, x 0
.a b c d 的取值范围为（）
A 0,
C.
2,
61 10
B.
2,
81 10
D.
法错误的是（ ）
A.是奇函数且图象关于点
2
,
0
对称
B. 偶函数且图象关于点（π，0）对称
C.是奇函数且图象关于直线 x 对称
是2
D.是偶函数且图象关于直线 x 对称
8．将函数 y=sin（2x+ ）的图象向右平移 个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为（ ）
6
6
A. y sin2x
x)
Asin(
x)
Acos x ，
g(
x)
A sin(
x)
Acos x ，
2
2
2
2
所以 g( x) g( x) ，因此函数 g(x) Asin x 关于直线 x 对称，因此选项 A 不正确，
自贡市中职校2023-2024学年度高一上末考试数学试卷 (含答案)
中职高一数学上期末试卷 第1页 共9页自贡市中等职业学校2023-2024学年高一年级上学期期末考试数 学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共60分）注意事项：1.选择题必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.2.第I 卷共1个大题，15个小题.每个小题4分，共60分.一、选择题（每小题4分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}1,2,3A =，集合{}3,4,5B =，则AB =（ ）A. φB. {}3C. {}1,2D. {}1,2,3,4,5 2.函数()f x =）A. {}|2x R x ∈≠B. {}|<2x R x ∈C. {}|2x R x ∈≥D. {}|>2x R x ∈3. 已知函数()y f x =的对应关系如下表，函数()y g x =的图象是如图的曲线ABC ，其中(1, 3)(2, 1)(3, 2)A B C ，，，则()()2f g 的值为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0中职高一数学上期末试卷 第2页 共9页4. 若>a b ,下列说法正确的是（ ）A. 1>2a b +-B. >ac bcC. 22>ac bcD. 2>2b a 5. (1)(2)0x x -+≤的解集为（ ）A. {}|12x x -≤≤B. {}|21x x -≤≤C. {}|21x x x ≤-≥或D. {}|12x x x ≤-≥或 6. 函数1()f x x=的单调递减区间是（ ） A . (, 0)(0, +)-∞∞和 B . (, 0)(0, +)-∞∞C . (, 0)-∞D . (0, +)∞7. 已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且(1)3f =，则(1)f -=（ ） A. 1- B. 3- C. 3 D. 1 8. 下列所给图象是函数图象的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 9. “>0x ”是“>1x ”的（ ）A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 下列不等式中，解集为{}11x x -<<的是（ ）A. 210x -≤B. 10x -≤C.()()1011x x ≤+-D. 101x x -≤+中职高一数学上期末试卷 第3页 共9页11. 已知函数1()(>1)x f x a a -=,则该函数图象必经过定点（ ） A. (0, 1) B. (0, 2) C. (1, 2) D. (1, 1)12. 若函数2()21f x x mx =+-在区间(3, )-+∞上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ） A. 3m ≥ B. 3m ≤ C. 3m ≥- D. 3m ≤-13. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则随机调查的100位学生阅读过《西游记》的学生人数为（ ）A. 50B. 60C. 70D. 8014. 已知函数()f x 是定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，且()10f -=，若对于任意两个实数x 1，()20,x ∈+∞且12x x ≠，不等式()()12120f x f x x x -<-恒成立，则不等式()0xf x >的解集是（ ）A. ()(),10,1-∞-B. ()(),11,-∞-+∞C. ()()1,01,-+∞ D. ()()1,00,1-15. 计算0122222()x x N ++++∈,令0122222x S =++++Ⅰ，将Ⅰ两边同时乘以2：123122222x S +=+++Ⅰ，用Ⅰ−Ⅰ得到：2S S -=1231(2222)x ++++_012(2222)x ++++，得到121x S +=-；观察该式子的特点，每一项都是前一项的2倍（除第一项外）；运算思路是将代数式每一项乘2后再与原式相减，数学上把这种运算的方法叫做“错位相减”，那么当 0121013333S =++++时候，则1S 的值为（ ）A. 1131- B. 1031- C. 11312- D. 10312-中职高一数学上期末试卷 第4页 共9页第Ⅱ卷（非选择题 共90分）注意事项：1. 非选择题必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.答在试题卷上无效.2. 本部分共2个大题，12个小题.共90分.二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 不等式2<1x -的解集为 .（注意：用区间表示）17. 分段函数()22, 11, 2<1x x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪+-≤⎩，则分段函数的定义域为________． 18. 若()12f x x =-，则(2)f -= .19. 2023年第31届世界大学生运动会（成都大运会）是中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会，也是中国西部第一次举办的世界性综合运动会，有关吉祥物“蓉宝”的纪念徽章、盲盒等商品成为抢手货，市场供不应求。
吉林省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一数学试题本试卷满分150分，共2页．考试时间为150分钟．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）{}0,1,2,3A ={}03B x x =<<A B = A. B.C.D.()0,3()1,2(){}1,2{}1,2【答案】D 【解析】【分析】直接根据交集的定义得答案.【详解】集合，， {}0,1,2,3A ={}03B x x =<<则. {}1,2A B = 故选：D.2. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） ()f x []0,4()()2g x f x =+A. B.C.D.[]22-,[]0,2[]2,6[]2,4【答案】A 【解析】【分析】由函数的定义域，可得，求出的范围，即可得到函数的定义域. ()f x 024x ≤+≤x ()g x 【详解】因为函数的定义域为， ()f x []0,4所以，解得， 024x ≤+≤22x -≤≤所以函数的定义域为. ()()2g x f x =+[]22-,故选：A.3. 在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）2y ax bx =+x y b =A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】判断b 的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可． 【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C ，x y b =0b >1b ≠如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：， 0a >b x a=-所以B 正确；对称轴在x 轴左侧，C 不正确； 如果，二次函数有一个零点，所以D 不正确． a<00bx a=->故选：B ．4. 若，则（ ） 3cos 65πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2sin 3α⎛⎫ ⎝π-⎪⎭=A. B.C. D.35-3545-45【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式即可求解.2sin sin 326ππααπ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫⎪⎭⎦⎝【详解】，23sin sin cos 32665πππαααπ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎪⎝⎭故选：A5. 函数的单调递增区间为（）()20.5log 2y x x=--A.B.C.D.1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】【分析】求出函数的定义域，根据二次函数以及对数函数的单调性求出复合函数的递增区间即可. 【详解】由，解得：，故函数的定义域是， 220x x -->2<<1x -()2,1-函数在上单调递增，在上单调递减， 22u x x =--12,2⎛⎫--⎪⎝⎭1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭而函数在定义域内是单调递减函数，0.5log y u =根据复合函数单调性之间的关系可知，函数的单调递增区间是. ()20.5log 2y x x =--1,12⎛⎫-⎪⎝⎭故选：D6. 若是定义域在上的奇函数，且，则下列结论错误的是（ ） ()f x R ()()22f x f x -+=+A. B. 的图象关于直线对称 ()40f =()y f x =1x =C .D. 若，则()()8f x f x +=()31f -=-()20231f =-【答案】B 【解析】【分析】A 选项，由奇函数性质得到，再用赋值法得到；B 选项，由()00f =()()400f f ==得到函数关于对称；C 选项，有奇偶性和推导出()()22f x f x -+=+2x =()()22f x f x -+=+；D 选项，利用函数周期性和奇偶性求出答案.()()8f x f x +=【详解】因为是定义域在上的奇函数，所以，且， ()f x R ()00f =()()f x f x -=-A 选项，中，令得：，A 正确； ()()22f x f x -+=+2x =()()400f f ==B 选项，因为，故的图象关于直线对称，B 错误；2222x x -+++=()y f x =2x =C 选项，中，将替换为得：，即()()22f x f x -+=+x 2x +()()224f x f x --+=+，()()4f x f x -=+所以，故，()()4f x f x -=+()()4fx f x --=所以，所以的一个周期为8，则，C 正确； ()()44f x f x +=-()f x ()()8f x f x +=D 选项，因为的一个周期为8，所以，()f x ()()()2023825311f f f =⨯-=-因为为奇函数，所以，()f x ()()()202311f f f =-=-中，令得：，()()4f x f x --=1x =()()31f f -=-因为，所以，故，所以，D 正确.()31f -=-()11f -=-()11f =()()202311f f =-=-故选：B7. 某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为5000kg ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x （a ，b ，x 均大于零），则（ ） A. B. C. D. 2a bx +=2a bx +≤2a bx +>2a bx +≥【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得，求出，即可由基本不等式得出大小关系． ()()()2111a b x ++=+x 【详解】由题可得，，即，所以()()()250001150001a b x ++=+()()()2111a b x ++=+，当且仅当时取等号．()()111122a b a b x ++++=≤-==a b 故选：B ．8. 已知，，且，，则（ ） 3cos()5αβ-=5sin 13β=-(02πα∈，(0)2πβ∈-sin α=A. B. C.D.6365-3365-33656365【答案】C 【解析】【分析】根据角的范围算出，，再根据展开计算即可． sin()αβ-cos βsin sin[()]ααββ=-+【详解】∵，，∴，(02πα∈，(0)2πβ∈-，(0)αβπ-∈，又，， 3cos()5αβ-=5sin 13β=-∴，， 4sin()5αβ-==12cos 13β==则． 4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin ()51351365ααββαββαββ=-+=-⋅+-⋅=⨯+⨯-=故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法不正确的是（ ） A. 735°与15°是终边相同的角B. 若一扇形的圆心角为，半径为3cm ，则该扇形面积为 15︒23πcm 4C. 设是锐角，则角为第一或第二象限角 α2αD. 函数的图象可由函数的图象向右平移之后得到 sin 2y x =πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，利用角的定义得到与终边相同；B 选项，将角度化为弧度，利用扇形面积公式735︒15︒求出答案；C 选项，举出反例即可；D 选项，利用左加右减求出函数的平移过程. 【详解】A 选项，，故与是终边相同的角，A 说法正确；735236015︒=⨯︒+︒735︒15︒B 选项，扇形的圆心角为，即， 15︒151ππ18012θ==因为半径cm ，则该扇形面积为，B 说法错误； 3R =222111π3221πc 23m 8S R θ==⨯⨯=C 选项，当时，，此时为轴线角，不属于任何象限角，C 说法错误；π4α=π22α=2αD 选项，函数的图象向右平移之后得到，D 说法正确. πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π6ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫=+-=⎪⎝⎭故选：BC10. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 11a b>a b <B. 命题“，使得”的否定是“，都有” R x ∃∈210x x ++<R x ∀∈210x x ++≥C. 关于的不等式对于任意的都成立，则x 210ax ax -+>x ∈R 04a <<D. 若，则，(121f x +=+()2243f x x x =++[)1,x ∞∈+【答案】ACD 【解析】【分析】AC 可举出反例，B 选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；D 选项，利用换元法求解函数的解析式，注意定义域.【详解】A 选项，当时，满足，但此时，故A 选项说法错误； 2,1a b ==-11a b>a b >B 选项，命题“，使得”的否定是“，都有”，B 正确； R x ∃∈210x x ++<R x ∀∈210x x ++≥C 选项，当时，对于任意的成立，满足要求， 0a =2110ax ax -+=>x ∈R 当时，由，解得， 0a ≠Δ0<04a <<故，C 说法错误； 04a ≤<D 选项，令，则，故，11t +=≥()21x t =-()()22211243f t t t t =-+=-+故，，D 说法错误. ()2243f x x x =-+[)1,x ∞∈+故选：ACD11. 整数集Z 中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，其k []k []{}5Z k n k n =+∈中．以下判断正确的是（ ） {}0,1,2,3,4k ∈A.B.[]20233∈[]22-∈C. D. 若，则整数，属同一类[][][][][]Z 01234= []0a b -∈a b 【答案】ACD 【解析】【分析】根据“类”的定义，对选项进行分析，得到答案.【详解】A 选项，，故，A 正确； 202354043=⨯+[]20233∈B 选项，，故，B 错误；()2513-=⨯-+[]23-∈C 选项，全体整数被5除的余数只能是0,1,2,3,4，故，C 正确；[][][][][]Z 01234= D 选项，由题意可知能被5整除，故分别被5除的余数相同，故整数，属同一类，D 正确. a b -,a b a b 故选：ACD12. 已知，若恰有3个零点，则的可能值为（ ）()254,022,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩()y f x a x =-a A. 0 B. 1 C. D. 232【答案】AD 【解析】【分析】由得，利用数形结合即可得到结论.()0f x a x -=()f x a x =【详解】由得，作出函数，|的图像，如图所示．()0f x a x -=()f x a x =()y f x =y a x =当，满足条件，0a =当时，此时与有三个交点， 2a ≥y a x =()y f x =故符合条件的满足或． a 0a =2a ≥故选：AD【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图像交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图像，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 计算______． 23lg12427216πlog log 839-⎛⎫++-= ⎪⎝⎭【答案】 49【解析】【分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可. 【详解】 22333lg10242227216224πlog log πlog log 839333-⨯⎛⎫⎛⎫++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22223441log 1133499⎛⎫⎛⎫=++⨯=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：. 4914. 已知函数的零点在区间内，，则______． ()2xf x x =+(),1n n +Z n ∈n =【答案】1-【解析】【分析】利用零点存在定理可得答案.【详解】明显函数在上单调递增，且为连续函数，()2xf x x =+R 又，， ()010f =>()1021112f --+=--=<由零点存在定理得函数的零点在区间内，()2xf x x =+()1,0-故. 1n =-故答案为：.1-15. 在中，已知,则___________. ABC ∆7sin cos 17A A +=tan A =【答案】 158-【解析】【分析】根据三角函数的基本关系式，分别求解的值，联立方程组，求得sin cos ,sin cos A A A A +-的值，即可求解得值.sin ,cos A A tan A 【详解】根据三角函数的基本关系式，由, 7sin cos 17A A +=可得， 2249(sin cos )sin 2sin cos 12sin cos 289A A A A A A A A +=++=+=则，又由在中，所以， 2402sin cos 0289A A =-<ABC ∆(,)2A ππ∈又由， 22240529(sin cos )sin cos 2sin cos 1289289A A A A A A -=+-=+=则，23sin cos 17A A -=联立方程组 ，解得， 7sin cos 1723sin cos 17A A A A ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩158sin ,cos 1717A A ==-所以. sin 15tan cos 8A A A ==-【点睛】本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系式的化简、求值问题，其中解答中合理利用同角三角函数的基本关系式，建立方程组，求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，sin ,cos A A 属于中档试题.16. 已知函数，若在定义域内存在实数，使得，其中为正整数，则称函数()y f x =x ()()f x kf x -=-k 为定义域上的“阶局部奇函数”，若是上的“1阶局部奇函数”，则实()y f x =k ()()2log f x x m =+[]1,1-数的取值范围是______． m【答案】 (【解析】【分析】根据题意，先分析函数的定义域，由“1阶局部奇函数”的定义可得在区间上有解，结合对数函数的性质分析可得答案.22log ()log ()0x m x m ++-+=[]1,1-【详解】根据题意，，，必有在区间上恒成立，故m >1， ()()2log f x x m =+[]1,1x ∈-0x m +>[]1,1-若 是上的“1阶局部奇函数”，()()2log f x x m =+[]1,1-则在区间有解，即在区间 上有解， ()()f x f x -=-[]1,1-22log ()log ()0x m x m ++-+=[]1,1-变形可得︰，若其在区间上有解， 221x m =-[]1,1-必有，则有， 2011m ≤-≤212m ≤≤又由，则有，即的取值范围为 .1m >1m <≤m (故答案为：(四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 设全集，，集合，. U =R R a ∈10,R 4x A xx x -⎧⎫=<∈⎨⎬+⎩⎭{}12,R B x a x a x =-≤≤+∈（1）当时，求，；1a =A B ⋃()U A B ∩ð（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. x B ∈x A ∈a 【答案】（1），{}43|A B x x -⋃=<≤(){}|40U A B x x ⋂=-<<ð（2） ()3,1--【解析】【分析】（1）首先解分式不等式求出集合，再根据并集、补集、交集的定义计算可得； A （2）依题意可得 ，即可得到不等式组，解得即可. B A 【小问1详解】解：由，等价于，解得， 104x x -<+()()140x x -+<41x -<<所以，{}10,R |414x A xx x x x -⎧⎫=<∈=-<<⎨⎬+⎩⎭当时，1a ={}03,R B x x x =≤≤∈所以，或， {}43|A B x x -⋃=<≤{|0U B x x =<ð3}x >所以； (){}|40U A B x x ⋂=-<<ð【小问2详解】解：因为“”是“”的充分不必要条件， x B ∈x A ∈所以 ，B A 显然，故，21a a +>-B ≠∅所以，解得，即实数的取值范围为.2141a a +<⎧⎨-<-⎩31a -<<-a ()3,1--18. 已知函数的图象的一部分如图所示： ()()sin 0,0,,R 2f x A x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>><∈ ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）求函数图象的对称轴方程及对称中心． ()f x 【答案】（1）；（2）对称轴，；对称中心为，()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭41x k =+()k Z ∈(41,0)k -．()k Z ∈【解析】【分析】（1）根据图形的最高点最低点，得到，以及观察到一个周期的长度为8，求出，在2A =4πω=代入点的坐标即可求出，从而得到表达式；(1,2)4πϕ=（2）利用正弦曲线的对称轴和对称中心，将看作整体进行计算即可.44x ππ+【详解】解：（1）由题图知，，2A =8T =，，又图象经过点，28T πω== 4πω∴=(1,2)．，， 2sin 24πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭||2πϕ< 4πϕ∴=()2sin 44f x x ππ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（2）令，．，442x k ππππ+=+Z k ∈41x k ∴=+()Z k ∈图象的对称轴，()f x 41x k =+()k Z ∈令，．．44x k πππ+=k Z ∈()41x k k Z ∴=-∈图象的对称中心为，()f x ()41,0k -()k Z ∈19. 已知函数． ()2π1sin cos cos 64f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；()f x （2）求函数在上的值域． ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】（1）； π63π2ππ,,Z ,Z k k k ⎡⎤+∈∈⎢⎥⎣⎦（2） 11[,]42-【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式以及二倍角公式化简，可得，即可根()f x 1π()sin(2)26f x x =+据三角函数周期公式以及正弦函数的单调性求得答案.（2）根据，确定，结合正弦函数性质，即可求得答案. π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦【小问1详解】由题意得 ()2π1sin cos cos 64f x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭， 21111πcos cos 2cos 2sin(2)24426x x x x x x =+-=+=+故函数的最小正周期为， ()f x 2ππ2T ==由，解得， ππ63π2π22π,Z 22k x k k +≤+≤+∈π2πππ,Z 63k x k k +≤≤+∈可得的单调递减区间为 . ()f x 63π2ππ,,Z ,Z k k k ⎡⎤+∈∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】 ， πππ7π660,2,6,2x x ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 故，故， π1sin(2)[,1]26x +∈-()11[,]42f x ∈-所以函数在上的值域为. ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦11[,]42-20. 我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本万，每生产（千部）手机，需另投入可变成本万元，且250x ()R x ，由市场调研知，每部手机售价万元，且全年内生产的手机2102001000,040()100008018450,40x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩0.8当年能全部销售完.（利润销售额－固定成本－可变成本）=（1）求2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式；()W x x （2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1） 2106001250,040()100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元1008000【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合利润销售额－固定成本－可变成本的公式，分，两=040x <<40x ≥种情况讨论，即可求解．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．【小问1详解】解：当时，040x <<，()22()0.81000102001000250106001250W x x x x x x =⨯-++-=-+-当时，， 40x ≥1000010000()0.8100080184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故． 2106001250,040()100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】解：若时，，040x <<()22()10600125010307750W x x x x =-+-=--+当时，万元， 30x =max ()7750W x =当时，， 40x≥10000()820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时，万元， 10000x x=100x =max ()8000W x =故年产量为（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是万元．2023100800021. 已知定义域为的函数是奇函数． R ()122xx b f x a+-=+（1）求实数、的值；a b （2）判断函数在的单调性并给予证明；()f x R （3）求函数的值域．()f x 【答案】（1）2,1a b ==（2）单调递减，证明见详解（3） 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用，列方程求出、的值，然后验证函数为奇函数即()00f =()()011f f +-=a b ()f x 可；（2）任取，然后通过计算的正负来判断证明单调性；12x x >()()12f x f x -（3）以为基础，利用不等式的性质计算的范围，即为函数的值域. 120x +>121222x +-+()f x 【小问1详解】定义域为的函数是奇函数 R ()122x x b f x a+-=+，，∴()00f =()()011f f +-=即，解得， 110222041b a b b a a--⎧=⎪⎪+⎨--⎪+=⎪++⎩21a b =⎧⎨=⎩即， ()11222xx f x +-=+又 ()()111112121221022222222x x x x x x x x f x f x -+-+++----+-=+=+=++++是奇函数， ()11222xx f x +-∴=+；2,1a b ∴==【小问2详解】由（1）得，其为定义域在上的单调减函数， ()11122222122x x x f x ++-=+=-++R 任取，12x x >， ()()()()()2112121112111122121222222222222x x x x x x f x f x ++++++⎛⎫⎛⎫∴-=---= ⎪ ⎪++++⎝+⎭-+⎝⎭，，12x x > 1211x x ∴+>+1211220x x ++∴>>，即，()()120f x f x ∴-<()()12f x f x <函数是上单调递减函数；∴()f x R 【小问3详解】，120x +> ，1222x +∴+>， 1110222x +∴<<+， 120122x +∴<<+， 1121122222x +∴-<-<+即函数的值域为 ()f x 11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭22. 给定，若存在实数使得成立，则定义为的点．已知函数R t ∈0x ()00f x tx =0x ()f x *t ．()()26R f x ax bx b x =+++∈（1）当，时，求的点；1a =3b =-()f x *1（2）设，，若函数在上存在两个相异的点，求实数t 的取值范围； 1a =4b =-()f x ()0,∞+*t （3）对于任意的，总存在，使得函数存在两个相异的点，求实数t 的取值1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,0b ∈-()f x *t 范围．【答案】（1）的点为1和3；()f x *1（2）；()4-++∞（3）或．t <-2t >【解析】【分析】（1）根据给定的定义，解一元二次方程作答.（2）根据给定的定义及已知，借助二次函数在有两个不同零点求解作答.()0,∞+（3）根据给定的定义，利用一元二次方程恒有两个不等实根列式，再结合恒成立的条件及一元二次不等式在区间上有解求解作答.【小问1详解】当，时，，依题意，，即，解得或1a =3b =-()233f x x x =-+233x x x -+=2430x x -+=1x =，3x =所以当，时，的点为1和3.1a =3b =-()f x *1【小问2详解】当，时，，依题意，在上有两个不同实数解， 1a =4b =-()242f x x x =-+242x x tx -+=()0,∞+即在上有两个不同实数解，令， ()2420x t x -++=()0,∞+()()242g x x t x =-++因此函数在上有两个零点，而，因此，解得()g x ()0,∞+()020g =>2Δ(4)80402t t ⎧=+->⎪⎨+>⎪⎩4t >-+所以实数t 的取值范围是．()4-++∞【小问3详解】因函数总存在两个相异的点，则方程，即恒有两个不()f x *t ()f x tx =()()2600ax b t x b a +-++=≠等实根，依题意，对任意的，总存在使成立， 1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,0b ∈-()()2460b t a b ∆=--+>即对任意的，总存在使成立，而恒成立， 1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]2,0b ∈-()246b t a b ->+244a ≤≤于是得存在，不等式成立，而，[]2,0b ∈-()246b t b ->+()22242(2)2406b t b t b t b ->⇔-++->+从而得不等式在上有解，又二次函数开口向上， 22()2(2)240h b b t b t =-++->[]2,0-()h b 因此或，解得或，2(2)4120h t t -=+->2(0)240ht =->24120t t+->6t <-2t >解得，，则有或，2240t ->t <-t >t <-2t >所以实数t 的取值范围是或．t <-2t >【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。
2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题+答案解析
2023-2024学年北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则()A. B. C. D.2.某学校有高中学生1500人，初中学生1000人．学生社团创办文创店，想了解初高中学生对学校吉祥物设计的需求，用分层抽样的方式随机抽取若干人进行问卷调查．已知在初中学生中随机抽取了100人，则在高中学生中抽取了()A.150人B.200人C.250人D.300人3.命题“”的否定是()A. B.C. D.4.方程组的解集是()A. B.C. D.5.某部门调查了200名学生每周的课外活动时间单位：，制成了如图所示的频率分布直方图，其中课外活动时间的范围是，并分成五组．根据直方图，判断这200名学生中每周的课外活动时间不少于14h的人数是()A.56B.80C.144D.1846.若实数a，b满足，则下列不等式成立的是()A. B. C. D.7.函数的零点所在的区间为()A. B. C. D.8.在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是()A. B.C. D.9.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是()A. B. C. D.10.已知，则实数a，b，c的大小关系是()A. B. C. D.11.已知函数，则“”是“为奇函数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.已知函数，则不等式的解集为()A. B. C. D.13.科赫曲线是几何中最简单的分形．科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线……在分形中，一个图形通常由N个与它的上一级图形相似，且相似比为r的部分组成．若，则称D为该图形的分形维数．那么科赫曲线的分形维数是()A. B. C.1 D.14.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省湛江市2023-2024学年高一上学期期末考试 数学(含答案)
湛江市2023—2024学年度第一学期期末高中调研测试高一数学试卷（答案在最后）（满分：150分，考试时间：120分钟）2024年1月注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.3．作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“(),0x ∀∈-∞，有20x x -=”的否定为（）A.(),0x ∃∈-∞，使20x x -≠ B.[)0,x ∃∈+∞，使20x x -≠C .(),0x ∀∈-∞，有2x x -≠ D.[)0,x ∞∀∈+，有2x x -≠2.若集合{}1,3,5,6,7A =，{}Z 19B x x =∈≤≤，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）A.3B.4C.5D.63.sin 300cos 0︒︒的值为（）A .B.12C.12-D.24.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象如图所示，则ϕ=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π65.函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,46.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradient system ）．密位制的单位是密位，1密位等于周角的16000.密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成0-01，1000密位写成10–00．若一扇形的弧长为4π，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为（）A .4B.3C.2D.17.已知函数()22e4(2)x f x x -=--，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.8.在R 上定义新运算a b ad bc c d =-，若存在实数11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得401mx m x -≤成立，则m 的最小值为（）A.83-B.23-C.0D.83二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合{}1143,A x x k k ==-∈Z ，{}2221,B x x k k ==+∈Z ，则（）A.7A B∈∩ B.13A B∈ C. A B⋃ D.A B B= 10.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a+<+ B.3232a c b c +>+C.a c ab c b+<+ D.<11.下列函数在()1,∞+上单调递增的为（）A.()4f x x x=+B.()ln 2f x x =+C.()225f x x x =-+ D.()2,23,2x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩12.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭，满足()π6f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且在π2π,189⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可能为（）A.1B.3C.5D.7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()2lg1xxf x -=+的定义域为______________．14.已知120πx x ≤<≤，满足12sin sin x x =，则12cos 2x x +=______________．15.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数[]y x =，其中[]x 表示“不超过x的最大整数”，如[]3.143=，[]0.6180=，[]2.718283-=-，则23251lg lg8lg 7log 10⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦________．16.已知函数()214,0222,0x x x x f x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪->⎩，若存在实数a ，b ，c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则()()a b f c +的取值范围是______________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）若α的终边经过点()2,4P -，求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求sin α的值．18.已知幂函数()mf x x =的图象过点()25,5．（1）求()8f 的值；（2）若()()132f a f a +>-，求实数a 的取值范围．19.已知集合()(){}230A x x x =-+≤，{}11B x a x a =-<<+，定义两个集合P ，Q 的差运算：{},P Q x x P x Q -=∈∉且．（1）当1a =时，求A B -与B A -；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．20.随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x 万斤司料.当046x <<时，年收入为4001004x ⎛⎫-⎪+⎝⎭万元；当46x ≥时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为()f x 万元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）.（1）写出年利润()f x 与生产饲料数量x 的函数关系式；（2）求年利润的最大值.21.已知函数()2sin cos sin f x x x x =+．（1）求()f x 的最小值及相应x 的取值；（2）若把()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递增区间．22.已知函数()42x xf x a =-⋅．（1）当2a =时，求()f x 在[]1,2-上的最值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-，若()g x 存在最小值11-，求实数a 的值．湛江市2023—2024学年度第一学期期末高中调研测试高一数学试卷（满分：150分，考试时间：120分钟）2024年1月注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号、考场号和座位号填写在答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．阅读答题卡上面的注意事项，所有题目答案均答在答题卡上，写在本试卷上无效.3．作答选择题时，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.非选择题如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“(),0x ∀∈-∞，有20x x -=”的否定为（）A.(),0x ∃∈-∞，使20x x -≠ B.[)0,x ∃∈+∞，使20x x -≠C.(),0x ∀∈-∞，有2x x -≠ D.[)0,x ∞∀∈+，有2x x -≠【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题否定为特称命题即可.【详解】根据将全称命题否定为特称命题即可.可得“(),0x ∞∀∈-，有20x x -=”的否定为“(),0x ∞∃∈-，使20x x -≠”，故选：A ．2.若集合{}1,3,5,6,7A =，{}Z 19B x x =∈≤≤，则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B 【解析】【分析】利用集合运算求解阴影部分即可.【详解】易知{}1,2,3,4,5,6,7,8,9B =，故图中阴影部分表示的集合为{}2,4,8,9，共4个元素，故选：B ．3.sin 300cos 0︒︒的值为（）A.0B.12C.12-D.【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出答案.【详解】()()sin 300cos 0sin 300360sin 60sin 602︒︒=︒-︒=-︒=-︒=-.故选：D ．4.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（0ω>，0πϕ<<）的图象如图所示，则ϕ=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用()01f =，得到1sin 2ϕ=，结合题意，即可求解.【详解】由函数()f x 的图象知，()02sin 1f ϕ==，则1sin 2ϕ=，因为0ω>，且0x =处在函数()f x 的递减区间，所以5π2π,Z 6k k ϕ=+∈，又因为0πϕ<<，所以5π6ϕ=.故选：D ．5.函数()3ln f x x x=-的零点所在的区间是（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】C 【解析】【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】由于3ln ,==-y x y x均为定义域（0,+∞）内的单调递增函数，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 至多只有一个零点，且()32ln 202f =-<，()3ln 310f =->，故()()230f f ⋅<，所以该函数的零点所在的区间是()2,3.故选：C ．6.角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上还有密位制（gradient system ）．密位制的单位是密位，1密位等于周角的16000.密位的记法很特别，高位与低两位之间用一条短线隔开，例如1密位写成0-01，1000密位写成10–00．若一扇形的弧长为4π，圆心角为40-00密位，则该扇形的半径为（）A.4B.3C.2D.1【答案】B 【解析】【分析】根据题意可得40-00密位的圆心角的弧度为4π3，进而根据扇形的弧长公式即可求解.【详解】40-00密位的圆心角的弧度为2π4π400060003⨯=，设该扇形的半径为r ，由4π4π3r ⨯=，解得3r =，故选：B ．7.已知函数()22e4(2)x f x x -=--，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由特值法，函数的对称性对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为()0222e e 0440(02)4f -=-=-<-，故C 错误；又因为()()4222222e e e4444(42)(2)(2)x x x f x f x x x x -+--+--+=-=-==-+--+-，故函数()f x 的图象关于2x =对称，故B 错误；当x 趋近2时，2e x -趋近1，2(2)x -趋近0，所以()22e 4(2)xf x x -=--趋近正无穷，故D 错误.故选：A .8.在R 上定义新运算a b ad bc c d =-，若存在实数11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得401mx m x -≤成立，则m 的最小值为（）A.83-B.23-C.0D.83【答案】A 【解析】【分析】根据题意，转化为2min 41x m x ⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，令函数()241x f x x =-，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，结合函数的奇偶性和单调性，求得()min 83f x =-，即可求解.【详解】由a b ad bc c d=-，可得()4401mx m x mx m x-=--≤，因为存在实数11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得401mx m x -≤，即2min 41x m x ⎛⎫≥ ⎪-⎝⎭，令函数()241x f x x =-，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由()()f x f x -=-，可得()f x 是奇函数，且()00f =，当102x <≤时，()41f x x x=-，所以()f x 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以()803f x -≤<，同理可得，当102x -≤<时，()803f x <≤，故()min 83f x =-，即83m ≥-，所以实数m 的最小值为83-.故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合{}1143,A x x k k ==-∈Z ，{}2221,B x x k k ==+∈Z ，则（）A.7A B ∈∩B.13A B∈ C. A B⋃ D.A B B= 【答案】BC 【解析】【分析】依题意列举A 、B 中的元素，观察可得答案【详解】依题意，{},3,1,5,9,13,17,21,A =- ，{},3,1,1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,B =-- ，观察可知A ，D 错误，B ，C 正确，故选：BC ．10.已知0c b a <<<，则（）A.ac b bc a+<+ B.3232a c b c +>+C.a c ab c b+<+ D.<【答案】AB 【解析】【分析】根据不等式的性质判断A 、B 、D ，利用赋值法判断C.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc <，且b a <，故ac b bc a +<+，故A 正确；因为0b a <<，所以33a b >，故3232a c b c +>+，故B 正确；取4a =，1b =，12c =-，则7a cb c +=+，4a b =，故C 错误；因为0c <<，则>，故D 错误，故选：AB ．11.下列函数在()1,∞+上单调递增的为（）A.()4f x x x=+B.()ln 2f x x =+ C.()225f x x x =-+ D.()2,23,2x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩【答案】BC 【解析】【分析】A 选项，由对勾函数性质得到A 错误；B 选项，根据对数函数性质直接得到B 正确；C 选项，配方后得到函数的单调性；D 选项，求出()()2.12f f <，故D 错误.【详解】A 选项，由对勾函数性质可知()4f x x x=+在()1,2上单调递减，在()2,∞+上单调递增，故A 错误；B 选项，()ln 2f x x =+在()0,∞+上单调递增，故B 正确；C 选项，()()222514f x x x x =-+=-+在()1,∞+上单调递增，故C 正确；D 选项，因为()25f =，()()22log 5log 552f f ===，故D 错误.故选：BC ．12.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，满足()π6f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且在π2π,189⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的取值可能为（）A.1B.3C.5D.7【答案】AB 【解析】【分析】由()π6f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，知函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称，结合5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知5π12是函数()f x 的零点，进而得到=2+1n ω，Z n ∈，由()f x 在π2π,189⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可得6ω≤，进而1,3,5ω=，分类讨论验证单调性即可判断.【详解】由()π6f x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，知函数()f x 的图象关于直线π12x =-对称，又5π012f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即5π12是函数()f x 的零点，则()()5ππ112π2121121244n T n ω+=+⋅=+⋅⋅，Z n ∈，即=2+1n ω，Z n ∈.由()f x 在π2π,189⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则12π2πππ29186ω⋅≥-=，即6ω≤，所以1,3,5ω=.当1ω=时，由5ππ12k ϕ+=，Z k ∈，得5ππ12k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以5π12ϕ=-，此时当π2π,189x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，5π13π7π,123636x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，所以()5πsin 12f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π2π,189⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故1ω=符合题意；当3ω=时，由5π3π12k ϕ⨯+=，Z k ∈，得5ππ4k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π4ϕ=-，此时当π2π,189x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ5π3,41212x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以()πsin 34f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π2π,189⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故3ω=符合题意；当5ω=时，由5π5π12k ϕ⨯+=，Z k ∈，得25ππ12k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π12ϕ=-，此时当π2π,189x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π7π37π5,123636x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以()πsin 512f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在π2π,189⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故5ω=不符合题意.综上所述，1ω=或3.故选：AB.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.函数()2lg 1x xf x -=+的定义域为______________．【答案】{}12x x -<<【解析】【分析】根据对数真数必须大于零可得不等式，求解得到定义域【详解】依题意，201x x->+，得()()202101x x x x -<⇔-+<+，则12x -<<，故所求定义域为{}12x x -<<．故答案为：{}12x x -<<14.已知120πx x ≤<≤，满足12sin sin x x =，则12cos 2x x +=______________．【答案】0【解析】【分析】根据三角函数的对称性可得12πx x +=，即可代入求解.【详解】因为120πx x ≤<≤，由12sin sin x x =，得12πx x +=，所以12cos02x x +=．故答案为：015.德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数[]y x =，其中[]x 表示“不超过x的最大整数”，如[]3.143=，[]0.6180=，[]2.718283-=-，则2325421lg lg8lg 7log 10⎡⎤-++=⎢⎥⎣⎦________．【答案】1【解析】【分析】通过已知条件确定取整函数[]y x =的取值法则，即[]=x a ，1a x a ≤<+；利用对数运算法则计算2325421lg lg8lg 7log 10-++，进而确定23251lg lg8lg 7log 10⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦的值.【详解】232511lg lg8lg lg lg 252lg 57lg 10742⎛-+=⨯+=+ ⨯⎝，因为()lg 0y x x =>为增函数，所以0lg1lg 5lg101=<<=，112lg 522<+<，故23251lg lg8lg 17log 10⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦．故答案为：116.已知函数()214,0222,0x x x x f x x ⎧--+≤⎪=⎨⎪->⎩，若存在实数a ，b ，c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则()()a b f c +的取值范围是______________．【答案】(]18,2--【解析】【分析】画出分段函数图像，数形结合，找到三根的关系，利用图像交点求出最后结果.【详解】作出函数()f x 的图象，知4a b +=-，()1922f c ≤<，故()()182a b f c -<+≤-，即()()a b f c +的取值范围是(]18,2--．故答案为：(]18,2--四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（1）若α的终边经过点()2,4P -，求πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且π3sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求sin α的值．【答案】（1）13-；（2）7210【解析】【分析】（1）首先根据正切定义求出tan 2α=-，再利用两角和的正切公式计算即可；（2）根据同角三角函数关系求出π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（1）因为α的终边经过点()2,4P -，所以4tan 22α==--，所以()πtan 1211tan 41tan 123ααα+-+⎛⎫+===- ⎪---⎝⎭．（2）因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πππ,444α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且π3sin 045α⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，所以π4cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin sin sin cos cos sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦34525210=⨯+⨯=．18.已知幂函数()mf x x =的图象过点()25,5．（1）求()8f 的值；（2）若()()132f a f a +>-，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()8f =（2）23,32⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）代入点到函数中即可求解解析式，进而可求解值，（2）根据函数的单调性，即可求解.【小问1详解】依题意，255m=，解得12m =，故()12f x x =（0x ≥），则()1288f ==．【小问2详解】易知()12f x x =在[)0,∞+上是增函数，依题意，10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+>-⎩，解得2332a <≤，故实数a 的取值范围为23,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．19.已知集合()(){}230A x x x =-+≤，{}11B x a x a =-<<+，定义两个集合P ，Q 的差运算：{},P Q x x P x Q -=∈∉且．（1）当1a =时，求A B -与B A -；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}30,2A B x x x -=-≤≤=或，B A -=∅．（2）[]2,1-【解析】【分析】（1）用集合的新定义求解即可；（2）由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得到B A ⊆，再利用范围求出即可.【小问1详解】()(){}{}23032A x x x x x =-+≤=-≤≤，当1a =时，{}02B x x =<<，所以{}30,2A B x x x -=-≤≤=或，B A -=∅．【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B A ⊆，故1312a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得21a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]2,1-．20.随着时代的发展以及社会就业压力的增大，大学生自主创业的人数逐年增加.大学生小明和几个志同道合的同学一起创办了一个饲料加工厂.已知该工厂每年的固定成本为10万元，此外每生产1斤饲料的成本为1元，记该工厂每年可以生产x 万斤司料.当046x <<时，年收入为4001004x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭万元；当46x ≥时，年收入为92万元.记该工厂的年利润为()f x 万元（年利润=年收入-固定成本-生产成本）.（1）写出年利润()f x 与生产饲料数量x 的函数关系式；（2）求年利润的最大值.【答案】（1）()40090,046482,46x x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨⎪-≥⎩（2）54【解析】【分析】（1）根据年利润公式列分段函数解析式即可；（2）结合基本不等式和一元二次函数性质分别求分段函数的最值，比较即可得最大值.【小问1详解】由题意，当046x <<时，()f x =400400100109044x x x x ⎛⎫---=-- ⎪++⎝⎭；当46x ≥时，()f x =921082x x --=-；所以()40090,046482,46x x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨⎪-≥⎩；【小问2详解】当046x <<时，()f x ()40040090944945444x x x x ⎡⎤=--=-++≤-⎢⎥++⎣⎦，当且仅当40044x x =++即16x =时等号成立；当46x ≥时，()f x 82824636x =-≤-=；因为5436>，所以当16x =时，年利润()f x 有最大值为54万元.21.已知函数()2sin cos sin f x x x x =+．（1）求()f x 的最小值及相应x 的取值；（2）若把()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 在[]0,π上的单调递增区间．【答案】（1）7π,Z 8x k k π=+∈时，()fx 取得最小值12．（2）π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，13π,π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】【分析】（1）化简得到()π1sin 2242f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，根据正弦型函数的性质，即可求解；（2）化简得到()5π1sin 22122g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合题意，利用正弦型函数的性质，即可求解.【小问1详解】因为()211cos 2π1sin cos sin sin 2sin 222242x f x x x x x x -⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭，所以当π3π22π,Z 42x k k -=+∈，即7ππ,Z 8x k k =+∈时，()f x 取得最小值12．【小问2详解】由函数()ππ15π1sin 2sin 2323422122g x f x x x π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由π5ππ222π,Z 2122k x k k π-≤+≤+∈，可得11ππππ,Z 2424k x k k -≤≤+∈，又[]0,πx ∈，取0k =时，可得π024x ≤≤；取1k =时，可得13ππ24x ≤≤；所以()g x 在[]0,π上的单调递增区间为π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，13π,π24⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22.已知函数()42x x f x a =-⋅．（1）当2a =时，求()f x 在[]1,2-上的最值；（2）设函数()()()g x f x f x =+-，若()g x 存在最小值11-，求实数a 的值．【答案】（1）()f x 最小值为1-；()f x 最大值8（2）6a =【解析】【分析】（1）换元后结合二次函数单调性得到最值；（2）令22x x m -=+，求出2m ≥，转化为()22h m m am =--在区间[)2,+∞上存在最小值11-，分22a ≤和22a >两种情况，结合函数单调性，得到方程，求出实数a 的值.【小问1详解】当2a =时，()()2422222x x x x f x ==-⨯-⨯，令2x t =，因为[]1,2x ∈-，所以1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．所以()22211y t t t =-=--，1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故当1t =时，min 1y =-；当4t =时，max 8y =，即当0x =时，()f x 取得最小值1-；当2x =时，()f x 取得最大值8．【小问2详解】()()()2424222222x x x x x x x x g a a x a ----=-⋅+-⋅=+-⋅+-，令22x x m -=+，则2m =≥，当且仅当22-=x x ，即0x =时，等号成立，于是问题等价转化为()22h m m am =--在区间[)2,+∞上存在最小值11-，二次函数()h m 的对称轴方程为2a m =，当22a ≤，即4a ≤时，()h m 在区间[)2,+∞上单调递增，此时存在最小值()222h a =-，令2211a -=-，解得132a =，不符合题意，舍去；当22a >，即4a >，()h m 在区间2,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以存在最小值222222424a a a a h ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，令22114a --=-，解得6a =（负值舍去）．综上得，6a =．。
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——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
2019学年第一学期高一期末考试
数学试卷
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 已知角的始边是轴的正半轴，终边经过点，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意可知，故.
3. 计算：（）
A. 3
B. 2
C.
D.
【答案】D
【解析】原式.
4. 已知向量，若，则（）
A. B. 9 C. 13 D.
【答案】C
【解析】由于两个向量垂直，故，故.
5. 若幂函数的图象过点，则满足的实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意有，，.
6. 函数的最大值是（）
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】，故最大值为.
7. 下列函数是奇函数，且在上是增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选项为偶函数，选项为非奇非偶函数.选项在为减函数，在为增函数.选项在上为增函数，符合题意.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性.判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称，选项定义域显然不关于原点对称，故为非奇非偶函数.然后计算，化简后看等于还是.函数的单调性中是对钩函数，在不是递增函数.
8. 若，是第二象限角，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于角为第二象限角，故，所以，
，故
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和两角差的正弦公式.首先根据角的正弦值和所在的象限，求得角的余弦值，然后利用二倍角公式求得的正弦值和余弦值，最后利用两角差的正弦公式展开所求式子，代入已知数值即可求得最后结果.
9. 函数的零点为，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，故函数的零点在区间.
10. 在平行四边形中，是中点，是中点，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】连接，由于为中点，故.
11. 曲线，曲线，下列说法正确的是（）
A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到
B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到
C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到
D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到
【答案】B
【解析】由于，故首先横坐标缩小到原来得到，再向左平移个单位得到.故选.
12. 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】当时，原不等式化为，不恒成立，排除，故选.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.
13. 若，则__________．
【答案】
【解析】分子分母同时除以得，解得，故.
14. ，则__________．
【答案】
【解析】，，故原式.
15. 若函数在是单调函数，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由于函数为二次函数，对称轴为，只需对称轴不在区间上即可，即或，解得.
【点睛】本题主要考查二次函数单调区间的知识.对于二次函数来说，它的单调区间主要由开口方向和对称轴来决定.当开口向上时，左减右增，当开口向下是，左增右减.本题中由于题目只需要区间上的单调函数，不需要递增还是递减，故只需对称轴不在给定区间内即可. 16. 已知函数在区间内单调递减，则的最大值为__________．【答案】1
【解析】，根据单调性有，解得，故，解得，当时，.
...............
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合．
（1）求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】【试题分析】（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.
【试题解析】
解：，
（1）；
（2）∵，∴，
∵，∴，∴．
18. 已知向量．
（1）若与共线，求的值；
（2）记，求的最大值和最小值，及相应的的值．
【答案】（1）（2）当时，取得最大值2；当时，取得最小值-1．
【解析】【试题分析】（1）利用两个向量共线，则有，解方程求得的值.（2）利用向量坐标运算化简，进而求得的最大值和最小值，及相应的的值. 【试题解析】
解：（1）∵与共线，∴，
∴，∵，∴；
（2），
∵，∴，∴，∴，
当即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值-1．
19. 已知函数的图象过点．
（1）若，求实数的值；
（2）当时，求函数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】【试题分析】（1）将点代入函数，由此求得的值，进而得出的表达式.解方程，可求得实数的值.（2）将分离常数，得到，它在上为减函数，在区间端点取得最小值和最大值.由此求得函数的值域.
【试题解析】
解：（1），∴，
，
∴，∴；
（2），
显然在与上都是减函数，
∵，∴在上是减函数，
∵，∴．
20. 函数的部分图象如图所示．
（1）求的值；
（2）求图中的值及函数的递增区间．
【答案】（1）（2）
【解析】【试题分析】（1）根据图像最大值求得,根据可求得，在根据图像上一个点，可求得的值.（2）利用求出，利用周期为可求得的值.将代入余弦函数的单调递增区间，求得的范围即函数的递增区间.
【试题解析】
解：（1）由图知，∴，∴，
又，
∴，且，∴；
（2）由（1）知，由，
∴，
由得，
∴的单调增区间为．
21. 已知都是锐角，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】【试题分析】先求得、、和的值.（1）利用
求得的值；（2）利用求得的值.
【试题解析】
解：因为都是锐角，
所以，且，
所以，
（1）；
（2）．
【点睛】本题主要考查同角三角函数关系，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法.先根据题目所给定两个角是锐角和两个正弦值，求得相应的余弦值和倍角的余弦值和正弦值.然后将所求角转化为已知角，最后利用两角和与差的公式求解出结果.
22. 已知函数．
（1）求证：是奇函数；
（2）判断的单调性，并证明；
（3）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析（2）见解析（2）
【解析】【试题分析】（1）定义域为关于原点对称，判断故函数为奇函数.（2）函数在定义域的两个区间上都是减函数.利用定义法，计算，由此判断出函数的单调性.（3）根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式转化为即，解不等式得.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用定义法求函数单调性，考查利用函数的奇偶性和单调性求参数的取值范围.判断函数的奇偶性首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，然后再判断与的关系，进而判断函数的奇偶性.定义法判断函数的单调性，需计算的值来判断.
【试题解析】
（1）证明：由，得，
∵，
∴是奇函数；
（2）解：的单调减区间为与没有增区间，
设，则
．
∵，∴，
∴，
∴，∴，
∴在上是减函数，
同理，在上也是减函数；
（3）是奇函数，∴，
∴化为，
又在上是减函数，∴，∴，即．。