2018年安徽中考数学专题复习几何探究题

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2018年中考数学-----几何综合题汇总3

2018年中考数学-----几何综合题汇总31．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ．（2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决：当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF 与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．（1）如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：BE+CF=AB；（3）如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC 的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=（BE﹣CF）．3．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM、射线AE于点F、D．（1）直接写出∠NDE的度数；（2）如图2、图3，当∠EAC为锐角或钝角时，其他条件不变，（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；（3）如图4，若∠EAC=15°，∠ACM=60°，直线CM与AB交于G，BD=，其他条件不变，求线段AM的长．4．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点．（1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：．（2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA•PB=k•AB．5．【问题提出】如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF；试证明：AB=DB+AF。

2018年安徽省中考数学试卷(含答案解析版)

2018年安徽省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（4分）（2018•安徽）﹣8的绝对值是（）A．﹣8 B．8 C．±8 D．﹣【考点】15：绝对值．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：∵﹣8＜0，∴|﹣8|=8．故选：B．【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（4分）（2018•安徽）2017年我省粮食总产量为695.2亿斤．其中695.2亿用科学记数法表示为（）A．6.952×106B．6.952×108C．6.952×1010D．695.2×108【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：695.2亿=695 2000 0000=6.952×1010，故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（4分）（2018•安徽）下列运算正确的是（）A．（a2）3=a5B．a4•a2=a8 C．a6÷a3=a2D．（ab）3=a3b3【考点】48：同底数幂的除法；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．【解答】解：∵（a2）3=a6，∴选项A不符合题意；∵a4•a2=a6，∴选项B不符合题意；∵a6÷a3=a3，∴选项C不符合题意；∵（ab）3=a3b3，∴选项D符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（4分）（2018•安徽）一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主（正）视图为（）A．B．C．D．【考点】U2：简单组合体的三视图．【专题】55F：投影与视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看上边是一个三角形，下边是一个矩形，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．5．（4分）（2018•安徽）下列分解因式正确的是（）A．﹣x2+4x=﹣x（x+4） B．x2+xy+x=x（x+y）C．x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2 D．x2﹣4x+4=（x+2）（x﹣2）【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用公式法以及提取公因式法分解因式分别分析得出答案．【解答】解：A、﹣x2+4x=﹣x（x﹣4），故此选项错误；B、x2+xy+x=x（x+y+1），故此选项错误；C、x（x﹣y）+y（y﹣x）=（x﹣y）2，故此选项正确；D、x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，正确应用公式是解题关键．6．（4分）（2018•安徽）据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则（）A．b=（1+22.1%×2）a B．b=（1+22.1%）2a C．b=（1+22.1%）×2a D．b=22.1%×2a【考点】32：列代数式．【专题】123：增长率问题．【分析】根据2016年的有效发明专利数×（1+年平均增长率）2=2018年的有效发明专利数．【解答】解：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=（1+22.1%）2a．故选：B．【点评】考查了列代数式，掌握2次增长或下降之类方程的等量关系是解决本题的关键．7．（4分）（2018•安徽）若关于x的一元二次方程x（x+1）+ax=0有两个相等的实数根，则实数a的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣2或2 D．﹣3或1【考点】AA：根的判别式．【专题】45 ：判别式法．【分析】将原方程变形为一般式，根据根的判别式△=0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：原方程可变形为x2+（a+1）x=0．∵该方程有两个相等的实数根，∴△=（a+1）2﹣4×1×0=0，解得：a=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．8．（4分）（2018•安徽）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产A．甲、乙的众数相同B．甲、乙的中位数相同C．甲的平均数小于乙的平均数D．甲的方差小于乙的方差【考点】W7：方差；W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；对于n个数x1，x2，…，x n，则x¯=（x1+x2+…+x n）就叫做这n个数的算术平均数；s2=[（x1﹣x¯）2+（x2﹣x¯）2+…+（x n﹣x¯）2]进行计算即可．【解答】解：A、甲的众数为7，乙的众数为8，故原题说法错误；B、甲的中位数为7，乙的中位数为4，故原题说法错误；C、甲的平均数为6，乙的平均数为5，故原题说法错误；D、甲的方差为4.4，乙的方差为6.4，甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确；故选：D．【点评】此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握三种数的概念和方差公式．9．（4分）（2018•安徽）▱ABCD中，E，F的对角线BD上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．【专题】555：多边形与平行四边形．【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；A、若BE=DF，则OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF，故本选项不符合题意；B、若AE=CF，则无法判断OE=OE，故本选项符合题意；C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE=OF，故本选项不符合题意；D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．10．（4分）（2018•安徽）如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1．正方形ABCD 的边长为，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处．将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A 与点N重合为止．记点C平移的距离为x，正方形ABCD的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y 关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】E7：动点问题的函数图象．【专题】25 ：动点型；53：函数及其图象．【分析】当0＜x≤1时，y=2x，当1＜x≤2时，y=2，当2＜x≤3时，y=﹣2x+6，由此即可判断；【解答】解：当0＜x≤1时，y=2x，当1＜x≤2时，y=2，当2＜x≤3时，y=﹣2x+6，∴函数图象是A，故选：A．【点评】本题考查动点问题函数图象、分段函数等知识，解题的关键是理解题意，学会构建函数关系式解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）（2018•安徽）不等式＞1的解集是x＞10．【考点】C6：解一元一次不等式．【专题】11 ：计算题；524：一元一次不等式(组)及应用．【分析】根据解一元一次不等式得基本步骤依次计算可得．【解答】解：去分母，得：x﹣8＞2，移项，得：x＞2+8，合并同类项，得：x＞10，故答案为：x＞10．【点评】本题考查了解一元一次不等式：有分母先去分母，再去括号，然后进行移项，把含未知数的项移到不等式的左边，再进行合并同类项，最后把未知数的系数化为1可得到不等式的解集．12．（5分）（2018•安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE=60°．【考点】MC：切线的性质；L8：菱形的性质．【专题】17 ：推理填空题．【分析】连接OA，根据菱形的性质得到△AOB是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD，同理计算即可．【解答】解：连接OA，∵四边形ABOC是菱形，∴BA=BO，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∵点D是AB的中点，∴直线OD是线段AB的垂直平分线，∴OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB，∴∠AOD=∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为：60．【点评】本题考查的是切线的性质、等边三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键13．（5分）（2018•安徽）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A（2，m），AB ⊥x轴于点B．平移直线y=kx，使其经过点B，得到直线l，则直线l对应的函数表达式是y=x﹣3．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】1 ：常规题型．【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出A点坐标，进而得出正比例函数解析式，再利用平移的性质得出答案．【解答】解：∵正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A（2，m），∴2m=6，解得：m=3，故A（2，3），则3=2k，解得：k=，故正比例函数解析式为：y=x，∵AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx，使其经过点B，∴B（2，0），∴设平移后的解析式为：y=x+b，则0=3+b，解得：b=﹣3，故直线l对应的函数表达式是：y=x﹣3．故答案为：y=x﹣3．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确得出A，B点坐标是解题关键．14．（5分）（2018•安徽）矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为或3．【考点】S7：相似三角形的性质；KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】根据勾股定理求出BD，分PD=DA、P′D=P′A两种情况，根据相似三角形的性质计算．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=90°，∴BD==10，当PD=DA=8时，BP=BD﹣PD=2，∵△PBE∽△DBC，∴=，即=，解得，PE=，当P′D=P′A时，点P′为BD的中点，∴P′E′=CD=3，故答案为：或3．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、勾股定理和矩形的性质，掌握相似三角形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）（2018•安徽）计算：50﹣（﹣2）+×．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂．【专题】1 ：常规题型．【分析】首先计算零次幂和乘法，然后再计算加减即可．【解答】解：原式=1+2+4=7．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．16．（8分）（2018•安徽）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？请解答上述问题．【考点】8A：一元一次方程的应用．【专题】521：一次方程（组）及应用．【分析】设城中有x户人家，根据鹿的总数是100列出方程并解答．【解答】解：设城中有x户人家，依题意得：x+=100解得x=75．答：城中有75户人家．【点评】考查了一元一次方程的应用．解题的关键是找准等量关系，列出方程．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）（2018•安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1（点A，B 的对应点分别为A1，B1），画出线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；（3）以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是20个平方单位．【考点】SD：作图﹣位似变换；R8：作图﹣旋转变换．【专题】13 ：作图题．【分析】（1）以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，即可画出线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，即可画出线段A2B1；（3）连接AA2，即可得到四边形AA1B1A2为正方形，进而得出其面积．【解答】解：（1）如图所示，线段A1B1即为所求；（2）如图所示，线段A2B1即为所求；（3）由图可得，四边形AA1B1A2为正方形，∴四边形AA1B1A2的面积是（）2=（）2=20．故答案为：20．【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转的性质以及勾股定理等知识的运用，利用相似变换的性质得出对应点的位置是解题关键．18．（8分）（2018•安徽）观察以下等式：第1个等式：++×=1，第2个等式：++×=1，第3个等式：++×=1，第4个等式：++×=1，第5个等式：++×=1，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：（用含n的等式表示），并证明．【考点】37：规律型：数字的变化类．【专题】2A ：规律型；513：分式．【分析】以序号n为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n的基础上依次加1，每个分字分别是1和n﹣1【解答】解：（1）根据已知规律，第6个分式分母为6和7，分子分别为1和5故应填：（2）根据题意，第n个分式分母为n和n+1，分子分别为1和n﹣1故应填：证明：=∴等式成立【点评】本题是规律探究题，同时考查分式计算．解答过程中，要注意各式中相同位置数字的变化规律，并将其用代数式表示出来．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）（2018•安徽）为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB=∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD=1.8米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】1 ：常规题型．【分析】根据平行线的性质得出∠FED=45°．解等腰直角△DEF，得出DE=DF=1.8米，EF=DE=米．证明∠AEF=90°．解直角△AEF，求出AE=EF•tan∠AFE≈18.036米．再解直角△ABE，即可求出AB=AE•sin ∠AEB≈18米．【解答】解：由题意，可得∠FED=45°．在直角△DEF中，∵∠FDE=90°，∠FED=45°，∴DE=DF=1.8米，EF=DE=米．∵∠AEB=∠FED=45°，∴∠AEF=180°﹣∠AEB﹣∠FED=90°．在直角△AEF中，∵∠AEF=90°，∠AFE=39.3°+45°=84.3°，∴AE=EF•tan∠AFE≈×10.02=18.036（米）．在直角△ABE中，∵∠ABE=90°，∠AEB=45°，∴AB=AE•sin∠AEB≈18.036×≈18（米）．故旗杆AB的高度约为18米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，平行线的性质，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．20．（10分）（2018•安徽）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．【考点】N3：作图—复杂作图；MA：三角形的外接圆与外心．【专题】13 ：作图题．【分析】（1）利用基本作图作AE平分∠BAC；（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得到OE⊥BC，则BF=3，OF=2，然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=，在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE．【解答】解：（1）如图，AE为所作；（2）连接OE交BC于F，连接OC，如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=，∴OE⊥BC，∴BF=3，∴OF=5﹣3=2，在Rt△OCF中，CF==，在Rt△CEF中，CE==．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的外心．六、解答题（本大题满分12分）21．（12分）（2018•安徽）“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有50人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为30%；（2）赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由；（3）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图．【专题】11 ：计算题．【分析】（1）用“59.5～69.5”这组的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；再计算出“89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比，然后用1分别减去其它三组的百分比得到“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比；（2）利用“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为40%可判断他不能获奖；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）5÷10%=50，所以本次比赛参赛选手共有50人，“89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为×100%=24%，所以“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为1﹣10%﹣36%﹣24%=30%；故答案为50，30%；（2）他不能获奖．理由如下：他的成绩位于“69.5～79.5”之间，而“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为10%+30%=40%，因为成绩由高到低前60%的参赛选手获奖，他位于后40%，所以他不能获奖；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率==．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．七、解答题（本题满分12分）22．（12分）（2018•安徽）小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【专题】12 ：应用题；536：二次函数的应用．【分析】（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根据“总利润=盆数×每盆的利润”可得函数解析式；（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，所以W1=（50+x）（160﹣2x）=﹣2x2+60x+8000，W2=19（50﹣x）=﹣19x+950；（2）根据题意，得：W=W1+W2=﹣2x2+60x+8000﹣19x+950=﹣2x2+41x+8950=﹣2（x﹣）2+，∵﹣2＜0，且x为整数，∴当x=10时，W取得最大值，最大值为9160，答：当x=10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是9160元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，据此列出函数解析式及二次函数的性质．八、解答题（本题满分14分）23．（14分）（2018•安徽）如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边AC上一点，DE⊥AB于点E．点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F．（1）求证：CM=EM；（2）若∠BAC=50°，求∠EMF的大小；（3）如图2，若△DAE≌△CEM，点N为CM的中点，求证：AN∥EM．【考点】KY：三角形综合题．【专题】152：几何综合题．【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明；（2）利用四边形内角和定理求出∠CME即可解决问题；（3）首先证明△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，设FM=a，则AE=CM=EM=a，EF=2a，推出=，=，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠DCB=90°，∵DM=MB，∴CM=DB，EM=DB，∴CM=EM．（2）解：∵∠AED=90°，∠A=50°，∴∠ADE=40°，∠CDE=140°，∵CM=DM=ME，∴∠NCD=∠MDC，∠MDE=∠MED，∴∠CME=360°﹣2×140°=80°，∴∠EMF=180°﹣∠CME=100°．（3）证明：如图2中，设FM=a．∵△DAE≌△CEM，CM=EM，∴AE=ED=EM=CM=DM，∠AED=∠CME=90°∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等边三角形，∴∠DEM=60°，∠MEF=30°，∴AE=CM=EM=a，EF=2a，∵CN=NM，∴MN=a，∴=，=，∴=，∴EM∥AN．【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。

(完整)2018年安徽中考数学试题与答案1,推荐文档

2018年安徽省初中毕业学业考试数学本试卷共8大题，计23小题，满分150分，考试时间120分钟题号一二三四五六七八总分得分一、选择题<本题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项同，其中只有一个正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内.每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的<不论是否写在括号内）一律得0分.8pPgeoDkvT1.－2，0，2，－3这四个数中最大的是………………………………………………………【】A.－1B.0C.1D.22.安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学记数法表示3804.2千正确的是…………【】8pPgeoDkvTA.3804.2×103B.380.42×104C.3.842×106D.3.842×1058pPgeoDkvT3.下图是五个相同的小正方体搭成的几体体，其左视图是…………………………………【】第3题图和2D= ，【】 4. 设，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是………………………………【】 A.1和2B.2和3C.3和4D.4 和55. 从下五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M ，“这个四边形是等腰梯形”.下列推断正确的是……………………………………………… ……【】8pPgeoDkvT A.事件M 是不可能事件B. 事件M 是必然事件C.事件M 发生的概率为D. 事件M 发生的概率为6如图，D 是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E 、F 、G 、H分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是……………【】 8pPgeoDkvTA.7B.9C.10D. 117.如图，⊙半径是1，A 、B 、C 是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧的长是…【】A. B. C. D.8. 一元二次方程的根是………………【】A.－1B. 2C. 1和2D. －19. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，C点P 在四边形ABCD 上，若P 到BD 的距离为，则点P 的个数为…………A.1B.2C.3D.4第7题图第6题图：共4小题，每小题5分，满分20分） =_________.二、填空题<本 11.因式分解：第13题图题 10. 如图所示，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一动点，过P 垂直于AC 的直线交菱形ABCD 的边于M 、N 两点，设AC=2，BD=1，AP=x ，则△AMN的面积为y ，则y 关于x 的函数图象的大致形状是………………………………………………【】8pPgeoDkvT12. 根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E 与地震级数n 的关系为：，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是．8pPgeoDkvT13. 如图，⊙O的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB=CD ，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是.8pPgeoDkvT14. 定义运算，下列给出了关于这种运算的几点结论①②③若，则④若，则a=0.其中正确结论序号是.<把在横线上填上你认为所有正确结论的序号）三、<本题共2小题，每小题8分，满分16分15. 先化简，再求值：，其中x=－2【解】第10题图中，一蚂蚁从原点O 出发次移动1个单位.其行走路标：A1<____， ____ ），第17题图的坐 A3<____ vT 16. 江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000千克的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量3倍还多2000千克.求粗加工的该种山货质量.8pPgeoDkvT 【解】四、<本题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 17.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；<1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；(2>以图中的O 为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2. 【解】18、在平面直角坐标系，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每线如下图所示.8pPgeoDkvT(1>填写下列各点，），A12<，）；8pPgeoD k第18题图<2>写出点An 的坐标(n 是正整数>；【解】(3>指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向.【解】五、<本题共2小题，每小题10分，满分20分）满分10分，成绩达到6乙两组学生成绩分布的 19.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度.已知在离地面1500m ，高度C 处的飞机，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB 的长.8pPgeoDkvT 【解】20、一次学科测验，学生得分均为整数，分以上(包括6分>为合格.成绩达到9分为优秀.这次测验中甲条形统计图如下8pPgeoDkvT第19题图<1）请补充完成下面的成绩统计分析表：<2）甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组.但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要高于甲组.请你给出三条支持乙组学生观点的理由.8pPgeoDkvT 【解】六、<本题满分12分）21. 如图函数的图象与函数 <x ＞0）的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于C点.已知A 点的坐标为(2，1>，C 点坐标为(0，3>.8pPgeoDkvT<1）求函数的表达式和B 点坐标；【解】面积分别为；第22题图(1>长度最大，最大值为___ 第22题图(，EP h1＞0，h2＞0，h3＞0 <2）观察图象，比较当x ＞0时，和的大小.【解】七、<本题满分12分）22. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将△ABC绕顶点C 顺时针旋转，旋转角为θ<0°＜θ＜180°），得到△A/B/C.8pPgeoDkvT(1>如图(1>，当AB∥CB/时，设AB 与CB/相交于D.证明：△A/ CD是等边三角形；【解】<2）如图(2>，连接A/A 、B/B ，设△ACA/和△BCB/的S△ACA/和S△BCB/. 求证：S△ACA/∶S△BCB/=1∶3 【证】 <3）如图(3>，设AC 中点为E ，A/B/中点为P ，AC=a ，连接EP ，当θ=°时_.8pPgeoDkvT 【解】八、<本题满分14分）2> 第22题图(3>23. 如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3< ）.8pPgeoDkvT (1>求证h1=h3；【解】(2> 设正方形ABCD 的面积为S.求证S=<h2+h3）2＋h12；【解】 (3>若 ,当h1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h1的变化情况.【解】第23题图2018年安徽省初中毕业学业考试数学参考答案1～5ACACB 6～10DBDBC11. ； 12. 100； 13. 14. ①③.15. 原式=.16. 设粗加工的该种山货质量为x 千克，根据题意，得 x+(3x+2000>=10000.解得 x=2000.答：粗加工的该种山货质量为2000千克.17. 如下图18．⑴A1(0,1>A3(1,0> A12(6,0>⑵An(2n,0> ⑶向上19. 简答：∵OA， OB=OC=1500，∴AB=(m>.答：隧道AB 的长约为635m.20. <1）甲组：中位数 7；乙组：平均数7，中位数7<2）<答案不唯一）①因为乙组学生的平均成绩高于甲组学生的平均成绩，所以乙组学生的成绩好于甲组；C 2C 1B 2CA 2B 1BA 1 A·O②因为甲乙两组学生成绩的平均分相差不大，而乙组学生的方差低于甲组学生的方差，说明乙组学生成绩的波动性比甲组小，所以乙组学生的成绩好于甲组；8pPgeoDkvT③因为乙组学生成绩的最低分高于甲组学生的最低分，所以乙组学生的成绩好于甲组.21.(1>由题意，得解得∴又A点在函数上，所以，解得所以解方程组得所以点B的坐标为<1, 2）<2）当0＜x＜1或x＞2时，y1＜y2;当1＜x＜2时，y1＞y2;当x=1或x=2时，y1=y2.22.<1）易求得 , , 因此得证.(2>易证得∽,且相似比为，得证.<3）120°，23.<1）过A点作AF⊥l3分别交l2、l3于点E、F，过C点作CH⊥l2分别交l2、l3于点H、G，8pPgeoDkvT证△ABE≌△CDG即可.<2）易证△ABE≌△BCH≌△CDG≌△DAF,且两直角边长分别为h1、h1+h2,四边形E FGH是边长为h2的正方形，8pPgeoDkvT所以.(3>由题意，得所以又解得0＜h1＜∴当0＜h1＜时，S随h1的增大而减小；当h1= 时，S取得最小值；当＜h1＜时，S随h1的增大而增大.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《几何探究型问题》经典题型及测试题（含答案）题型解读1.考查类型：①动点探究题；②平移、旋转、折叠探究题；③图形形状变化探究题.2.考查内容：①多与特殊四边形的性质、三角形全等、相似的判定和性质有关；②涉及平移、旋转或折叠的相关性质；③多与二次函数的性质有关.3.备考指导：在做此类题型时，要观察题中已知条件，并结合题设，联系相关的知识解题，对结果猜想题根据前面问题大胆猜想，往往是解题的突破口．类型一动点探究题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN.(1)若BM＝BN，求t的值；(2)若△MBN与△ABC相似，求t的值；(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．2.如图①，菱形ABCD中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF的顶点G在菱形对角线AC上运动，角的两边分别交边BC、CD于点E、F.(1)如图②，当顶点G运动到与点A重合时，求证：EC＋CF＝BC；(2)知识探究：①如图③，当顶点G运动到AC中点时，探究线段EC、CF与BC的数量关系；②在顶点G 的运动过程中，若ACCG ＝t ，请直接写出线段EC 、CF 与BC 的数量关系(不需要写出证明过程)；(3)问题解决：如图④，已知菱形边长为8，BG ＝7，CF ＝65，当t ＞2时，求EC 的长度．图①3.已知：如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm .对角线AC ，BD 交于点O ，点P 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DC 方向匀速运动，速度为1 cm /s ；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO 并延长，交BC 于点E ，过点Q 作QF∥AC，交BD 于点F.设运动时间为t(s )(0<t<6)，解答下列问题： (1)当t 为何值时，△AOP 是等腰三角形？(2)设五边形OECQF 的面积为S(cm 2)，试确定S 与t 的函数关系式；(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；(4)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使OD 平分∠COP？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由．4.某数学兴趣小组在数学课外活动中，研究三角形和正方形的性质时，做了如下探究：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF. (1)观察猜想如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：____________． ②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：____________(将结论直接写在横线上)． (2)数学思考如图②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． (3)拓展延伸如图③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．类型二平移、旋转、折叠探究题5.如图①，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B 、C 分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时，如图②，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图③，延长DB交CF于点H.①求证：BD⊥CF；②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．图①图②图③6.在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD，BE.(1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F.①求证：△ABD是等边三角形；②求证：BF⊥AD，AF＝DF；③请直接．．写出BE的长；(2)在旋转过程中，过点D作DG垂直于直线AB，垂足为点G，连接CE，当∠DAG＝∠ACB，且线段DG与线段AE无公共点时，请直接．．写出BE＋CE的值．温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．7.已知矩形ABCD中AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA，若△OCP与△PDA的面积比为1∶ 4，求边CD 的长；(2)如图②，在(1)的条件下擦去AO、OP，连接BP，动点M在线段AP上(点M不与点P、A重合)，动点N 在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律，若不变，求出线段EF的长度．图①图②8.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图①，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD>90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图②所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图①中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图③所示的△AC′D，连接DB、C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形．请你证明这个结论；实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图③中BC＝13 cm，AC＝10 cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C″D′，连接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；(4)请你参照以上操作，将图①中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图④中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．9.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AFBF的值．10.如图①，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，BP ＝1，∠MPN ＝90°，将∠MPN 绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB(或AD)于点E ，PN 交边AD(或CD)于点F ，当PN 旋转至PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止．(1)特殊情形：如图②，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；(2)类比探究：如图③，在旋转过程中，PEPF 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；(3)拓展延伸：设AE ＝t ，△EPF 的面积为S ，试确定S 关于t 的函数关系式；当S ＝4.2时，求所对应的t 值．11.如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积；(2)将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为316时，求矩形平移的距离；(3)如图③，将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E1F1G1H1，将矩形E1F1G1H1绕G1点按顺时针方向旋转，当H1落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E2F2G1H2，设旋转角为α，求cosα的值．类型三图形形状变化探究题12.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.图①(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．图②(3)填空：在上述(1)(2)的基础上可得在图③中∠BOC＝________(填写度数)．图③图④(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形，BE和CD仍相交于点O，猜想∠BOC的度数为____________________(用含n的式子表示)．13.阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形．如图①，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把1sinα的值叫做这个平行四边形的变形度．(1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是________；猜想证明：(2)设矩形的面积为S1，其变形后的平行四边形面积为S2，试猜想S1，S2，1sinα之间的数量关系，并说明理由；拓展探究：(3)如图②，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，且AB2＝AE·AD，这个矩形发生变形后为平行四边形A1B1C1D1，E1为E的对应点，连接B1E1，B1D1，若矩形ABCD的面积为4m(m>0)，平行四边形A1B1C1D1的面积为2m(m>0)，试求∠A1E1B1＋∠A1D1B1的度数．14.已知AC ，EC 分别为四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在△ABC 内，∠CAE ＋∠CBE＝90°. (1)如图①，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE∽△CBF； ②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长；(2)如图②，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EFFC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图③，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程)．15.已知点O 是△ABC 内任意一点，连接OA 并延长到E ，使得AE ＝OA ，以OB ，OC 为邻边作▱OBFC ，连接OF ，与BC 交于点H ，再连接EF.(1)如图①，若△ABC 为等边三角形，求证：①EF⊥BC； ②EF ＝3BC ；(2)如图②，若△ABC 为等腰直角三角形(BC 为斜边)，猜想(1)中的两个结论是否成立？若成立，直接写出结论即可；若不成立，请你直接写出你的猜想结果；(3)如图③，若△ABC 是等腰三角形，且AB ＝AC ＝kBC ，请你直接写出EF 与BC 之间的数量关系．类型一动点探究题1. 解：(1)根据题意BM ＝2t ，BN ＝BC －3t ，而BC ＝5×tan 60°＝5 3.∴当BM ＝BN 时，2t ＝53－3t ，解得t ＝103－15. (2)分类讨论：①当∠BMN ＝∠ACB ＝90°时，如解图①， △NBM ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BM BN ，∴2t 53－3t ＝32，解得t ＝157.②当∠BNM ＝∠ACB ＝90°时，如解图②， △MBN ∽△ABC ，cos B ＝cos 30°＝BNBM， ∴53－3t 2t ＝32，解得t ＝52. 因此当运动时间是157秒或52秒时，△MBN 与△ABC 相似．第1题解图(3)由于△ABC 面积是定值，∴当四边形ACNM 面积最小时，△MBN 面积最大，而△MBN 的面积是S ＝12BM ×BN ×sin B＝12×2t ×(53－3t)×12＝－32t 2＋532t ，由于a ＝－32＜0， ∴当t ＝－5322×（－32）＝52时，△MBN 面积最大，最大值是－32×(52)2＋532×52＝2538，因此四边形ACNM 面积最小值是12×5×53－2538＝7538.2. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°，∠B ＝∠ACF ＝60°，AB ＝BC ， ∴AB ＝AC ，∵∠BAE ＋∠EAC ＝∠EAC ＋∠CAF ＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF ，在△BAE 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF AB ＝AC ∠B ＝∠ACF， ∴△BAE ≌△CAF(ASA )， ∴BE ＝CF ，∴EC ＋CF ＝EC ＋BE ＝BC ，即EC ＋CF ＝BC ；(2)解：①线段EC ，CF 与BC 的数量关系为： EC ＋CF ＝12BC.理由如下：如解图①，过点A 作AE′∥EG ，AF ′∥GF ，分别交BC 、CD 于E′、F′.第2题解图①类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵G 为AC 中点，AE ′∥EG ， ∴CE CE′＝CG AC ＝12， ∴CE ＝12CE′，同理可得：CF ＝12CF′，∴CE ＋CF ＝12CE′＋12CF′＝12(CE′＋CF′)＝12BC ，即CE ＋CF ＝12BC ；②CE ＋CF ＝1tBC ；【解法提示】类比(1)可得：E′C ＋CF′＝BC ， ∵AE ′∥EG ，ACCG ＝t ，∴CE CE′＝CG AC ＝1t，∴CE ＝1tCE′，同理可得：CF ＝1tCF′，∴CE ＋CF ＝1t CE′＋1t CF′＝1t (CE′＋CF′)＝1t BC ，即CE ＋CF ＝1tBC.(3)解：如解图②，连接BD 与AC 交于点H.第2题解图②在Rt △ABH 中，∵AB ＝8，∠BAC ＝60°， ∴BH ＝AB·sin 60°＝8×32＝43， AH ＝CH ＝AB·cos 60°＝8×12＝4，∴GH ＝BG 2－BH 2＝72－（43）2＝1， ∴CG ＝4－1＝3， ∴CG AC ＝38， ∴t ＝83(t ＞2)，由(2)②得：CE ＋CF ＝1t BC ，∴CE ＝1t BC －CF ＝38×8－65＝95.∴EC 的长度为95.3. 解：(1)分三种情况： ①若AP ＝AO ，在矩形ABCD 中，∵AB ＝6，BC ＝8， ∴AC ＝10，第3题解图①∴AO ＝CO ＝5，∴AP ＝5， ∴t ＝5，②若AP ＝PO ＝t ，在矩形ABCD 中， ∵AD ∥BC ，∴∠PAO ＝∠OCE ，∠APO ＝∠OEC ，又∵OA ＝OC ，∴△APO ≌△CEO ，∴PO ＝OE ＝t.如解图①，作AG ∥PE 交BC 于点G ，则四边形APEG 是平行四边形， ∴AG ＝PE ＝2t ，GE ＝AP ＝t. 又∵EC ＝AP ＝t ，∴BG ＝8－2t.在Rt △ABG 中，根据勾股定理知62＋(8－2t)2＝(2t)2，解得t ＝258.第3题解图②③若OP ＝AO ＝5，则t ＝0或t ＝8，不合题意，舍去．综上可知，当t ＝5或t ＝258时，△AOP 是等腰三角形．(2)如解图②，作OM ⊥BC ，垂足是M ，作ON ⊥CD ，垂足是N. 则OM ＝12AB ＝3，ON ＝12BC ＝4，∴S △OEC ＝12·CE·OM ＝12·t·3＝32t ，S △OCD ＝12·CD·ON ＝12·6·4＝12.∵QF ∥AC ，∴△DFQ ∽△DOC ， ∴S △DFQ S △DOC ＝(DQ DC)2，即S △DFQ 12＝(t 6)2，∴S △DFQ ＝13t 2，∴S 四边形OFQC ＝12－13t 2，∴S 五边形OECQF ＝S 四边形OFQC ＋S △OEC ＝12－13t 2＋32t ，即S ＝－13t 2＋32t ＋12(0＜t ＜6)．(3)存在．理由如下：要使S 五边形OECQF ：S △ACD ＝9∶16，即(－13t 2＋32t ＋12)∶(12×6×8)＝9∶16，解得t 1＝3，t 2＝1.5，两个解都符合题意，∴存在两个t 值，使S 五边形OECQF ∶S △ACD ＝9∶16，此时t 1＝3，t 2＝1.5； (4)存在．理由如下：如解图③，作DI ⊥OP ，垂足是I ，DJ ⊥OC ，垂足是J ，第3题解图③作AG ∥PE 交BC 于点G.∵S △OCD ＝12·OC·DJ ＝12·5·DJ ，且由(2)知，S △OCD ＝12，∴DJ ＝245.∵OD 平分∠POC ，DI ⊥OP ，DJ ⊥OC ， ∴DI ＝DJ ＝245＝4.8.∵AG ∥PE ，∴∠DPI ＝∠DAG .∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠AGB ，∴∠DPI ＝∠AGB ， ∴Rt △ABG ∽Rt △DIP.由(1)知，在Rt △ABG 中，BG ＝8－2t ， ∴AB DI ＝BG IP ，∴64.8＝8－2t IP， ∴IP ＝45(8－2t)．在Rt △DPI 中，根据勾股定理得 (245)2＋[45(8－2t)]2＝(8－t)2，解得t ＝11239.(t ＝0不合题意，舍去)4. (1)解：①BC ⊥CF ；②BC ＝CD ＋CF. 【解法提示】①∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ， ∵BC ＝CD ＋BD ， ∴BC ＝CD ＋CF.(2)解：结论①仍然成立，②不成立． ①证明：∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ，∴∠ACF ＝∠ABD ＝180°－45°＝135°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，即BC ⊥CF ； ②结论为：BC ＝CD －CF. 证明：∵△ABD ≌△ACF ， ∴BD ＝CF ，∵BC ＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.(3)解：如解图，过点E 作EM ⊥CF 于M ，作EN ⊥BD 于点N ，过点A 作AH ⊥BD 于点H. ∵AB ＝AC ＝22，第4题解图∴BC ＝4，AH ＝12BC ＝2，∵CD ＝14BC ，∴CD ＝1，∵∠BAC ＝∠DAF ＝90°， ∴∠BAD ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AF ， ∴△ABD ≌△ACF ， ∴∠ACF ＝∠ABC ＝45°， ∵∠ACB ＝45°， ∴∠BCF ＝90°，∴CN ＝ME ，CM ＝EN ， ∴∠AGC ＝∠ABC ＝45°， ∴CG ＝BC ＝4，∵∠ADE ＝90°，∴∠ADH ＋∠EDN ＝∠EDN ＋∠DEN ＝90°， ∴∠ADH ＝∠DEN ，又∵∠AHC ＝∠DNE ＝90°，AD ＝DE ， ∴△AHD ≌△DNE ，∴DN ＝AH ＝2，EN ＝DH ＝3， ∴CM ＝EN ＝3，ME ＝CN ＝3，则GM ＝CG －CM ＝4－3＝1， ∴EG ＝EM 2＋GM 2＝10.类型二平移、旋转、折叠探究题5. (1)解：BD ＝CF 成立．理由如下：∵AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ＝θ，AF ＝AD ， ∴△ACF ≌△ABD ，∴CF ＝BD.(2)①证明：由(1)得，△ACF ≌△ABD ， ∴∠HFN ＝∠ADN ，在△HFN 与△ADN 中，∵∠HFN ＝∠ADN ，∠HNF ＝∠AND ， ∴∠NHF ＝∠NAD ＝90°，第5题解图∴HD ⊥HF ，即BD ⊥CF.②解：如解图，连接DF ，延长AB ，与DF 交于点M ，在△MAD 中，∵∠MAD ＝∠MDA ＝45°， ∴∠BMD ＝90°.在Rt △BMD 与Rt △FHD 中， ∵∠MDB ＝∠HDF ，∴△BMD ∽△FHD.∵AB ＝2，AD ＝32，四边形ADEF 是正方形， ∴MA ＝MD ＝322＝3，∴MB ＝MA －AB ＝3－2＝1，BD ＝MB 2＋MD 2＝12＋32＝10，又∵MD HD ＝BD FD ，即3HD ＝106，∴DH ＝9105.6. (1)①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 是等边三角形；②证明：由①得△ABD 是等边三角形， ∴AB ＝BD ，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△ADE，∴AC＝AE，BC＝DE，又∵AC＝BC，∴EA＝ED，∴点B，E在AD的中垂线上，∴BE是AD的中垂线，∵点F在BE的延长线上，∴BF⊥AD，AF＝DF；③解：BE的长为33－4；【解法提示】由②知AF＝12AD＝12AB＝3，AE＝AC＝5，BF⊥AD，由勾股定理得EF＝AE2－AF2＝4.在等边△ABD中，AB＝6，BF⊥AD，∴BF＝32AB＝33，∴BE＝33－4.(2)解：BE＋CE的值为13；第6题解图【解法提示】如解图，∵∠DAG＝∠ACB，∴∠DAB＝2∠CAB.∵∠DAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CAB，∴∠BAE＝∠CBA，∴AE∥BC，∵AE＝AC＝BC，∴四边形ACBE是菱形，∴CE 垂直平分AB ，BE ＝AC ＝5.设CE 交AB 于M ，则CM ⊥AB ，CM ＝EM ，AM ＝BM ， ∴在Rt △ACM 中，AC ＝5，AM ＝3，由勾股定理得CM ＝4， ∴CE ＝8， ∴CE ＋BE ＝13.7. 解：(1)由矩形性质与折叠可知，∠APO ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠CPO ＋∠DPA ＝∠DPA ＋∠DAP ＝90°， ∴∠DAP ＝∠CPO ， ∴△OCP ∽△PDA ， ∴S △OCP S △PDA ＝(CP DA)2，即14＝(CP8)2，∴CP ＝4，设CD ＝x ，则DP ＝x －4，AP ＝AB ＝CD ＝x ， ∵AP 2－DP 2＝AD 2， ∴x 2－(x －4)2＝82，解得x ＝10，故CD ＝10. (2)第7题解图线段EF 的长度始终不发生变化，为2 5.证明：如解图，过点N 作NG ⊥PB ，与PB 的延长线相交于点G ， ∵AB ＝AP ，∴∠APB ＝∠ABP ＝∠GBN ，在△PME 和△BNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEP ＝∠NGB ＝90°∠MPE ＝∠NBG MP ＝NB， ∴△PME ≌△BNG(AAS )， ∴ME ＝NG ，PE ＝BG ，在△FME 和△FNG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠MEF ＝∠NGF ∠MFE ＝∠NFG ME ＝NG，∴△FME ≌△FNG(AAS )， ∴EF ＝GF ， ∴EF ＝12EG ，∵BP ＝BE ＋EP ＝BE ＋GB ＝EG ， ∴EF ＝12BP ，∵BP ＝BC 2＋CP 2＝82＋42＝45， ∴EF ＝12BP ＝2 5.8. (1)解：菱形．(2)证明：如解图①，作AE ⊥CC′于点E ，由旋转得AC′＝AC ，∴∠CAE ＝∠C′AE ＝12α＝∠BAC ，第8题解图①∵四边形ABCD 是菱形， ∴BA ＝BC ，BC ＝DC′， ∴∠BCA ＝∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BCA ， ∴AE ∥BC ，同理AE ∥DC′， ∴BC ∥DC ′，∴四边形BCC′D 是平行四边形，又∵AE ∥BC ，∠CEA ＝90°， ∴∠BCC ′＝180°－∠CEA ＝90°，∴四边形BCC′D 是矩形．(3)解：如解图①，过点B 作BF ⊥AC 于点F ， ∵BA ＝BC ，∴CF ＝AF ＝12AC ＝12×10＝5.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2－CF 2＝132－52＝12. 在△ACE 和△CBF 中，∵∠CAE ＝∠BCF ，∠CEA ＝∠BFC ＝90°， ∴△ACE ∽△CBF ， ∴CE BF ＝AC BC ，即CE 12＝1013，解得CE ＝12013.∵AC ＝AC′，AE ⊥CC ′， ∴CC ′＝2CE ＝2×12013＝24013.当四边形BCC″D′恰好为正方形时，分两种情况： ①点C″在边CC′上，a ＝CC′－13＝24013－13＝7113，②点C″在边C′C 的延长线上，a ＝CC′＋13＝24013＋13＝40913.综上所述，a 的值为7113或40913.第8题解图②(4)解：答案不唯一，例：画出正确图形如解图②所示．平移及构图方法：将△ACD 沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到△A ′C ′D ，连接A′B ，DC.结论：四边形A′BCD 是平行四边形．9. 解：(1)∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF ， ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF .∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴S △AEF S △ACB ＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC ， ∴S △AEF S △ABC ＝(AE AB )2， ∴(AE AB )2＝14. 在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝42＋32＝5， ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52.(2)第9题解图①①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图①，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ， ∴∠CAB ＝∠CEM ， ∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形．又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②如解图①，连接AM ，AM 与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则ME ＝AE ＝x ，EC ＝4－x. ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴△ECM ∽△ACB. ∴EC AC ＝EMAB ， ∵AB ＝5，AC ＝4， ∴4－x 4＝x5，解得x ＝209，∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169.在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43. ∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S 菱形AEMF ＝4S △AOE ＝2OE·AO. 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠MAC ， ∴OE AO ＝CM AC. ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE·CM ，∴6OE 2＝209×43，∴OE ＝2109，∴EF ＝4109. (3)如解图②，第9题解图②过点F 作FH ⊥CB 于点H ，在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ，∴CH ＝NH －NC ＝74x －1.∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x.在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan ∠FBH ＝tan ∠ABC ， ∴HF BH ＝CA BC ， ∴x4－74x ＝43，解得x ＝85，∴HF ＝85.∵∠B ＝∠B ，∠BHF ＝∠BCA ＝90°， ∴△BHF ∽△BCA ， ∴HF CA ＝BFBA，即HF·BA ＝CA·BF ， ∴85×5＝4BF ，∴BF ＝2，∴AF ＝AB －BF ＝3， ∴AF BF ＝32. 10. 解：(1)△ABP ∽△PCD. 【解法提示】∵∠MPN ＝90°， ∴∠APB ＋∠DPC ＝90°， ∵∠B ＝90°，∴∠APB ＋∠BAP ＝90°， ∴∠DPC ＝∠BAP ，又∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△ABP ∽△PCD.(2)在旋转过程中，PEPF 的值为定值．如解图，过点F 作FG ⊥BC ，垂足为G.第10题解图类比(1)可得：△EBP ∽△PGF ， ∴EP PF ＝PB FG， ∵∠A ＝∠B ＝∠FGB ＝90°， ∴四边形ABGF 是矩形， ∴FG ＝AB ＝2， ∵BP ＝1， ∴PE PF ＝12，即在旋转过程中，PE PF 的值为定值12.(3)由(2)知△EBP ∽△PGF ， ∴EB PG ＝BP GF ＝12，又∵AE ＝t ， ∴BE ＝2－t ，∴PG ＝2(2－t)＝4－2t ，∴AF ＝BG ＝BP ＋PG ＝1＋(4－2t)＝5－2t ，∴S ＝S 矩形ABGF －S △AEF －S △BEP －S △PFG＝2(5－2t)－12t(5－2t)－12×1×(2－t)－12×2×(4－2t)＝t 2－4t ＋5,即S ＝t 2－4t ＋5(0≤t ≤2)，当S ＝4.2时，4.2＝t 2－4t ＋5，解得：t 1＝2－455，t 2＝2＋455(不合题意，舍去)．∴t 的值是2－455.11. 解：(1)如解图①，在△ABC 中， ∵∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝1， ∴AB ＝2，又∵D 是AB 的中点，第11题解图①∴AD ＝1，CD ＝12AB ＝1，又∵EF 是△ACD 的中位线，∴EF ＝DF ＝12，在△ACD 中，AD ＝CD ，∠A ＝60°，∴△ACD 为等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，在△FGD 中，GF ＝DF·sin 60°＝34， ∴矩形EFGH 的面积S ＝EF·GF ＝12×34＝38.(2)如解图②，设矩形移动的距离为x ，则0＜x ≤12，①当矩形与△CBD 重叠部分为三角形时，则0＜x ≤14，重叠部分的面积S ＝12x·3x ＝316，第11题解图②∴x ＝24＞14(舍去)， ②当矩形与△CBD 重叠部分为直角梯形时，则14＜x ≤12，重叠部分的面积S ＝34x －12×14×34＝316， ∴x ＝38，即矩形移动的距离为38时，矩形与△CBD 重叠部分的面积是316.第11题解图③(3)如解图③，作H 2Q ⊥AB 于Q ，设DQ ＝m ，则H 2Q ＝3m ，又DG 1＝14，H 2G 1＝12，在Rt △H 2QG 1中， (3m)2＋(m ＋14)2＝(12)2，解得m 1＝－1＋1316，m 2＝－1－1316＜0(舍去)，∴cos α＝QG 1F 1G 1＝－1＋1316＋1412＝3＋138.类型三图形形状变化探究题12. (1)证明：∵△ABD 、△ACE 是等边三角形， ∴AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠CAE ＝∠DAB ＝60°，∴∠CAE ＋∠BAC ＝∠DAB ＋∠BAC ，即∠BAE ＝∠DAC ，在△ABE 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠BAE ＝∠DAC AE ＝AC， ∴△ABE ≌△ADC(SAS )． (2)解：∠BOC ＝90°.理由如下：由(1)得△ABE ≌△ADC ，∴∠EBA ＝∠CDA.∵∠FBA ＋∠FDA ＝180°，∴∠FBA －∠EBA ＋∠FDA ＋∠CDA ＝180°，即∠FBO ＋∠FDO ＝180°.在四边形FBOD 中，∠F ＝90°， ∴∠DOB ＝360°－∠F －(∠FBO ＋∠FDO)＝90°， ∴∠BOC ＝90°. (3)解：72°.【解法提示】∠BOC ＝180°－108°＝72°.(4)解：180°－180°·（n －2）n.【解法提示】由(3)可知，∠BOC 度数应为180°减去正多边形内角度数． 13. 解：(1)233.【解法提示】sin 120°＝32，故这个平行四边形的变形度是233. (2)1sin α＝S 1S 2，理由如下：如解图，设矩形的长和宽分别为a ，b ，其变形后的平行四边形的高为h ，第13题解图则S 1＝ab ，S 2＝ah ，sin α＝hb ，∴S 1S 2＝ab ah ＝b h ，又∵1sin α＝b h ，∴1sin α＝S 1S 2. (3)由AB 2＝AE·AD ，可得A 1B 21＝A 1E 1·A 1D 1，即A 1B 1A 1D 1＝A 1E 1A 1B 1. 又∵∠B 1A 1E 1＝∠D 1A 1B 1， ∴△B 1A 1E 1∽△D 1A 1B 1， ∴∠A 1B 1E 1＝∠A 1D 1B 1， ∵A 1D 1∥B 1C 1，∴∠A 1E 1B 1＝∠C 1B 1E 1，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝∠C 1B 1E 1＋∠A 1B 1E 1＝∠A 1B 1C 1. 由(2)结论1sin α＝S 1S 2，可得1sin ∠A 1B 1C 1＝4m2m ＝2，∴sin ∠A 1B 1C 1＝12，∴∠A 1B 1C 1＝30°，∴∠A 1E 1B 1＋∠A 1D 1B 1＝30°. 14. (1)①证明：如解图①， ∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°，第14题解图①∴∠ACE ＝∠BCF ，又∵四边形ABCD 和EFCG 是正方形， ∴AC BC ＝CECF＝2， ∴△CAE ∽△CBF.②解：∵AE BF ＝ACBC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝AE2＝2，由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF ，又∵∠CAE ＋∠CBE ＝90°， ∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°，第14题解图②由CE 2＝2EF 2＝2(BE 2＋BF 2)＝6，解得CE ＝ 6.(2)解：连接BF ，如解图②，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，AC BC ＝AE BF，由AB BC ＝EFFC＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1， CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1，∴CE EF ＝ACAB ＝k 2＋1k ，AE BF ＝AC BC＝k 2＋1， ∴EF ＝kCE k 2＋1，EF 2＝k 2CE 2k 2＋1，BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1，∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k2(BE 2＋BF 2)， ∴32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)解：p 2－n 2＝(2＋2)m 2.【解法提示】如解图③，连接BF ，同(1)证△CAE ∽△CBF ，可得∠EBF ＝90°，过点C 作CH ⊥AB 交AB 延长线于点H ，类比第(2)问得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，第14题解图③EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)， ∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2，∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.15. 证明：(1)①连接AH ，如解图①. 第15题解图①∵四边形OBFC 是平行四边形， ∴BH ＝HC ＝12BC ，OH ＝HF ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB ＝BC ，AH ⊥BC ，在Rt △ABH 中，AH 2＝AB 2－BH 2， ∴AH ＝BC 2－（12BC ）2＝32BC ，∵OA ＝AE ，OH ＝HF ，∴AH 是△OEF 的中位线， ∴AH ＝12EF ，AH ∥EF ，∴EF ⊥BC.②由①得AH ＝32BC ，∵AH ＝12EF∴32BC ＝12EF ，∴EF ＝3BC.(2)EF ⊥AB 仍然成立，EF ＝BC.第15题解图②【解法提示】如解图②，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(2BH)2－BH2＝BH2，∴AH＝BH＝12BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，EF＝2AH＝BC.第15题解图③(3)EF＝4k2－1 BC.【解法提示】如解图③，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝kBC，∴AH⊥BC，在Rt△ABH中，AH2＝AB2－BH2＝(kBC)2－(12＝(k2－14)BC2，2BC)∴AH＝12－1 BC，24k∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝12EF，AH∥EF，∴EF⊥BC，12－1 BC＝12EF，24k∴EF＝4k2－1 BC.。

2018年中考数学总复习经典(几何)试题(含答案)

中考数学总复习经典题(几何)（二）几何试题1、如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上．四边形EFGB 也为正方形，设△AFC 的面积为S ，则（）A ．S=2B ．S=2.4C ．S=4D ．S 与BE 长度有关2、正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图4所示，点G 在线段DK 上，正方形BEFG 的边长为4，则DEK △的面积为：（Ａ）10 （Ｂ）12 （Ｃ）14 （Ｄ）163、如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，2EF BE =，则AFC S =△ 2cm ．4、如图，在△ABC 中, ο70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使得AB CC ///, 则=∠/BAB （）A. ο30 B. ο35 C. ο40 D. ο50 5、如图，1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆1的半径）得图形34,,,,n P P P L L ，记纸板n P 的面积为n S ，试计算求出2S = ；3S = ；并猜想得到1n n S S --= ()2n ≥。

6、如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E F ，分别是AB CD ，的中点，18AD BC PEF =∠=o ，，则PFE ∠的度数是．（第16题）CFD BE A P （第6题）ADCEF GB 3题图 D ABRP F CGK图4E8题10题 12题7、如图，点G 是ABC △的重心，CG 的延长线交AB 于D ，5cm GA =，4cm GC =，3cm GB =，将ADG △绕点D 旋转180o得到BDE △，则DE = cm ，ABC △的面积= cm 2．8、如图，已知梯形ABCD ，AD BC ∥，4AD DC ==，8BC =，点N 在BC 上，2CN =，E 是AB 中点，在AC 上找一点M 使EM MN +的值最小，此时其最小值一定等于（） A ．6B ．8C ．4D ．439、将一副直角三角板按图示方法放置（直角顶点重合），则AOB DOC ∠+∠= o．10、已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ．过点A 作AE 的垂线交DE 于点P ．若AE＝AP ＝1，PB ＝ 5 ．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 的距离为 2 ；③EB ⊥ED ；④S △APD ＋S △APB ＝1＋ 6 ；⑤S 正方形ABCD ＝4＋ 6 ．其中正确结论的序号是（）A ．①③④B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①③⑤11、如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为（） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:412、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，AE 、DE ，△ADE 的面积为3，则BC 的长为． 13、如图,四边形OABC 为菱形,点B 、C 在以点O 为为圆心的上，若OA = 3，∠1 = ∠2，则扇形OEF 的面积为_________.14、如图,点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C.若∠AOB = 60o,OC = 4,则点P 到OA 的距离PD 等于__________. 15、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（）A ．32 B ．76 C ．256D ．2B AC D O P (第14题) AD B EC （第15题） ABE G CD（第7题）C D AO B30°45°A D EM(第11题(第13题)O A B C F 1 2 E E D（第20题）16、如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且OP AB //．若阴影部分的面积为π9，则弦AB 的长为（）A ．3B ．4C ．6D ．917、如图，等腰△ABC 中，底边a BC =，︒=∠36A ，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，设215-=k ，则=DE （）A ．a k 2B ．a k 3C ．2k aD ．3ka18、如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是19、如图，把矩形纸条ABCD 沿EF 、GH 同时折叠，B 、C 两点恰好落在AD 边的P 点处，若∠FPH=90°，PF=8，PH=6，则矩形ABCD 的边BC 长为． 20、．梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠ADC +∠BCD =90°，以AD 、AB 、BC 为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S 1、S 2、S 3 ，且S 1 +S 3 =4S 2，则CD =（）A. 2.5ABB. 3ABC. 3.5ABD. 4AB21、如图,在□ABCD 中，AB =3，AD =4，∠ABC =60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 .22、如图，已知a ∥b ，∠1=70°，∠2=40°，则∠3= __________。

18年安徽省中考数学试题及参考答案word版

2018年安徽省中考数学试题及参考答案word版2018年安徽省中考数学试题及参考答案一、选择题1．﹣8的绝对值是A．﹣8B．8 C．±8D．? 2．2017年我省粮食总产量为亿斤，其中亿用科学记数法表示为A．×106B．×108 C．×1010D．×108 3．下列运算正确的是A．a218??3?a5B．a4a2?a8 C．a6?a3?a2D．?ab??a3b3 34．一个圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置，其主视图为5．下列分解因式正确的是A．﹣x2+4x=﹣x B．x2+xy+x=x C．x+y2 D．x2﹣4x+4= 6．据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长%，假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则A．b=aB．b=2a C．b=×2a D．b=%×2a 7．若关于x的一元二次方程x+ax=0有两个相等的实数根，则a的值为A．-1 B．1C．-2或2D．-3或 1 8．为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：甲乙 2 2 6 3 7 4 7 8 8 8 关于以上数据，说法正确的是A．甲、乙的众数相同B．甲、乙的中位数相同 1 C．甲的平均数小于乙的平均数D．甲的方差小于乙的方差9．平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点。

下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF 10．如图，直线l1，l2都与直线l垂直，垂足分别为M，N，MN=1。

正方形ABCD 的边长为2，对角线AC在直线l上，且点C位于点M处。

将正方形ABCD沿l 向右平移，直到点A与点N重合为止。

记点C平移的距离为x，正方形ABCD 的边位于l1，l2之间部分的长度和为y，则y关于x的函数图象大致为二、填空题11．不等式x?8＞1的解集是。

2018年安徽省中考数学试卷（含答案与解析）

2018年安徽省中考数学试卷（含答案与解析）数学试卷第1页(共18页) 数学试卷第2页(共18页)绝密★启用前安徽省2018年初中学业水平考试数学(考试时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.8-的绝对值是( ) A .8-B .8C .8±D .18-2.2017年我省粮食总产量为695.2亿斤，其中695.2亿科学记数法表示为( ) A .66.95210? B .86.95210? C .106.95210?D .8695.210? 3.下列运算正确的是( )A .235()a a =B .428a a a =C .632a a a ÷=D .333()ab a b =4.一个由圆柱和圆锥组成的几何体如图水平放置,其主(正)视图为( )ABC D(第4题)5.下列分解因式正确的是( )A .24(4)x x x x -+=-+B .2()x xy x x x y ++=+C .2()()()x x y y y x x y -+-=-D .244(2)(2)x x x x -+=+-6.据省统计局发布,2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%.假定2018年的年增长率保持不变,2016年和2018年我省有效发明专利分别为a 万件和b 万件,则( )A .(122.1%2)b a =+?B .2(122.1%)b a =+C .(122.1%)2b a =+?D .22.1%2b a =?7.若关于x 的一元二次方程(1)0x x ax ++=有两个相等的实数根,则实数a 的值为( ) A .1-B .1C .2-或2D .3-或18.为考察两名实习工人的工作情况,质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲8关于以上数据,说法正确的是( )A .甲、乙的众数相同B .甲、乙的中位数相同C .甲的平均数小于乙的平均数D .甲的方差小于乙的方差 9.ABCD Y 中,E ,F 是对角线BD 上不同的两点.下列条件中,不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( ) A .BE DF = B .AE CF = C .AF CE ∥D .BAE DCF ∠=∠10.如图,直线1l ，2l 都与直线l 垂直，垂足分别为M ,N ,1MN =.正方形ABCD 的边长,对角线AC 在直线l 上，且点C 位于点M 处,将正方形ABCD 沿l 向右平移，直到点A 与点N 重合为止.记点C 平移的距离为x ,正方形ABCD 的边位于1l ,2l 之间部分的长度和为y ,则y 关于x 的函数图象大致为( )毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷第3页(共18页) 数学试卷第4页(共18页)ABCD(第10题)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)11.不等式812x -＞的解集是 . 12.如图,菱形ABOC 的边,AB AC 分别与O e 相切于点,D E .若点D 是边AB 的中点,则DOE ∠=.(第12题)(第13题)13.如图,正比例函数y kx =与反比例函数6y x=的图象有一个交点()2,A m ,AB x ⊥轴于点B .平移直线y kx =,使其经过点B ,得到直线l ,则直线l 对应的函数表达式是 .14.矩形ABCD 中,6,8AB BC ==.点P 在矩形ABCD 的内部,点E 在边BC 上,满足PBE DBC V V ∽,若APD V 是等腰三角形,则PE 的长为 . 三、解答题(本大题共2小题,共16分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分8分)计算：05(2)--16.(本小题满分8分)《孙子算经》中有这样一道题,原文如下：“今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问：城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问：城中有多少户人家？请解答上述问题. 四、解答题(本大题共2小题,共16分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010?网格中,已知点,,O A B 均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O 为位似中心,将线段AB 放大为原来的2倍,得到线段11A B (点,A B 的对应点分别为11,A B ).画出线段11A B .(2)将线段11A B 绕点1B 逆时针旋转90得到线段21A B .画出线段21A B . (3)以112,,,A A B A 为顶点的四边形112AA B A 的面积是个平方单位.(第17题)18.(本小题满分8分) 观察以下等式：第1个等式：101011212++?=, 第2个等式：111112323++?=,第3个等式：121213434++?=,第4个等式：131314545++?=,第5个等式：141415656++?=,……按照以上规律,解决下列问题：(1)写出第6个等式： .(2)写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示),并证明.五、解答题(本大题共2小题,共20分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分10分)为了测量竖直旗杆AB 的高度,某综合实践小组在地面D 处竖直放置标杆CD ,并在数学试卷第5页(共18页) 数学试卷第6页(共18页)地面上水平放置个平面镜E ,使得,,B E D 在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F 处通过平面镜E 恰好观测到旗杆顶A (此时AEB FED ∠=∠).在F 处测得旗杆顶A 的仰角为39.3,平面镜E 的俯角为45, 1.8m FD =,问：旗杆AB 的高度约为多少米？(结果保留整数.参考数据：tan39.30.82,tan84.310.02≈≈)(第19题)20.(本小题满分10分)如图,O e 为锐角三角形ABC 的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出BAC ∠的平分线,并标出它与劣弧BC 的交点E (保留作图痕迹,不写作法).(2)若(1)中的点E 到弦BC 的距离为3,求弦CE 的长.(第20题)六、解答题(本大题共1小题,共12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(本小题满分9分)“校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下：(第21题)(1)本次比赛参赛选手共有人,扇形统计图中“69.579.5～”这一组人数占总参赛人数的百分比为 .(2)赛前规定,成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分,试判断他能否获奖,并说明理由.(3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率.七、解答题(本大题共1小题,共12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 22.(本小题满分12分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆.售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现：①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元.②花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x 盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为12,W W (单位：元). (1)用含x 的代数式分别表示12,W W .(2)当x 取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大？最大总利润是多少？八、解答题(本大题共1小题,共14分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 23.(本小题满分14分)如图1,在Rt ABC V 中,90ACB ∠=,点D 为边AC 上一点,DE AB ⊥于点E ,点M 为BD 中点,CM 的延长线交AB 于点F.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷第7页(共18页) 数学试卷第8页(共18页)(第23题)(1)求证：CM EM =.(2)若50BAC ∠=,求EMF ∠的大小.(3)如图2,若DAE CEM V V ≌,点N 为CM 的中点,求证：AN EM ∥.数学试卷第9页(共18页) 数学试卷第10页(共18页)安徽省2018年初中学业水平考试数学答案解析一、选择题 1.【答案】B【解析】∵80-＜，∴|88|-=．故选：B . 【考点】绝对值. 2.【答案】C【解析】695.2亿1069520000000 6.95210==?，故选：C ．【考点】科学记数法. 3.【答案】D【解析】Q 236()a a =，∴选项A 不符合题意；Q 426a a a =，∴选项B 不符合题意；Q 633a a a ÷=，∴选项C 不符合题意；Q 333()ab a b =，∴选项D 符合题意．故选：D ．【考点】幂的运算． 4.【答案】A【解析】从正面看上边是一个三角形，下边是一个矩形，故选：A ．【考点】三视图． 5.【答案】C【解析】A 、24(4)x x x x -+=--，故此选项错误；B 、2(1)x xy x x x y ++=++，故此选项错误；C 、2()()()x x y y y x x y -+-=-，故此选项正确；D 、2244(2)x x x -+=-，故此选项错误；故选：C ．【考点】分解因式． 6.【答案】B【解析】因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a 万件和b 万件，所以2(122.1%)b a =+．故选：B ．【考点】增长率问题． 7.【答案】A【解析】原方程可变形为2(1)0x a x ++=．∵该方程有两个相等的实数根，∴2(1)4100a ?=+-??=，解得：1a =-．故选：A ．【考点】一元二次方程根的判别式. 8.【答案】D【解析】A 、甲的众数为7，乙的众数为8，故原题说法错误；B 、甲的中位数为7，乙的中位数为4，故原题说法错误；C 、甲的平均数为6，乙的平均数为5，故原题说法错误；D 、甲的方差为4.4，乙的方差为6.4，甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确；故选：D ．【考点】众数，中位数，平均数，方差. 9.【答案】B【解析】如图，连接AC 与BD 相交于O ，在ABCD 中，,OA OC OB OD ==，要使四边形AECF 为平行四边形，只需证明得到OE OF =即可；A 、若B E D F =，则OB BE OD DF -=-，即O E O F=，故本选项不符合题意；B 、若A E C F=，则无法判断OE OE =，故本选项符合题意；C 、AF CE ∥能够利用“角角边”证明和COE △全等，从而得到OE OF =，故本选项不符合题意；D 、BAE DCF ∠=∠能够利用“角角边”证明ABE △和CDF △全等，从而得到DF BE =，然后同A ，故本选项不符合题意；故选：B ．数学试卷第11页(共18页) 数学试卷第12页(共18页)【考点】一元二次方程根的判别式. 10.【答案】A【解析】当01x ＜≤时，y =，当12x ＜≤时，y =，当23x ＜≤时，y =-+，∴函数图象是A ，故选：A ．【考点】动点问题的函数图象. 二、填空题 11.【答案】10x ＞【解析】去分母，得：82x -＞，移项，得：28x +＞，合并同类项，得：10x ＞，故答案为：10x ＞.【考点】解一元一次不等式. 12.【答案】60【解析】连接OA ，四边形ABOC 是菱形，∴B A BO =，∵AB 与O e 相切于点D ，∴OD AB ⊥，∵点D 是AB 的中点，∴直线OD 是线段AB 的垂直平分线，∴OA OB =，∴AOB △是等边三角形，∵AB 与O 相切于点D ，∴O D A B ⊥，∴30AOD AOB ∠=∠=，同理，30AOE ∠=，∴60DOE AOD AOE ∠=∠+∠=，故答案为：60．【考点】圆的切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质. 13.【答案】332y x =- 【解析】∵正比例函数y kx =与反比例函数6y x =的图象有一个交点(2,)A m ，∴26m =，解得：3m =，故(2,3)A ，则32k =，解得：32k =，故正比例函数解析式为：3 2y x =，∵AB x ⊥轴于点B ，平移直线y kx =，使其经过点B ，∴(2,0)B ，∴设平移后的解析式为：32y x b =+，则03b =+，解得：3b =-，故直线l 对应的函数表达式是：332y x =-．故答案为：332y x =-．【考点】一次函数与反比例函数的图象与性质，图形的平移． 14.【答案】3或65【解析】∵四边形ABCD 为矩形，∴90BAD ∠=，∴10BD ==，当8PD DA ==时，2BP BD PD =-=，∵PBEDBC △∽△，∴B P P E B D C D=，即2106PE=，解得，65PE =，当P D P A '='时，点P '为BD 的中点，∴132P E CD ''==，故答案为：3或65．【考点】矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质. 三、解答题15.【答案】解：原式1247=++=.【解析】首先计算零次幂和乘法，然后再计算加减即可．【考点】实数的运算，零指数幂．16.【答案】解：设城中有x 户人家，根据题意，得1003xx +=，解得75x =.答：城中有75户人家.【解析】设城中有x 户人家，根据鹿的总数是100列出方程并解答．【考点】一元一次方程的应用. 四、解答题17.【答案】解：（1）线段11A B 如图1所示.数学试卷第13页(共18页) 数学试卷第14页(共18页)图1（2）线段21A B 如图1所示. （3）20【解析】（1）以点O 为位似中心，将线段AB 放大为原来的2倍，即可画出线段11A B ；（2）将线段11A B 绕点1B 逆时针旋转90得到线段，即21A B 可画出线段21A B ；（3）连接2AA ，即可得到四边形112AA B A 为正方形，进而得出其面积．【考点】位似变换，旋转的性质，勾股定理.18.【答案】解：（1）151516767++?= （2）1111111n n n n n n --++?=++ 证明如下：左边21(1)(1)1(1)(1)n n n n n nn n n n ++-+-+====++右边，∴猜想正确.【解析】以序号n 为前提，依此观察每个分数，可以用发现，每个分母在n 的基础上依次加1，每个分字分别是1和1n -．【考点】规律探究，分式计算．五、解答题19.【答案】解法一：由题意知，45AEB FED ∠=∠=，∴90AEF ∠=. 在Rt AEF △中，tan tan84.310.02AEAFE FE=∠=≈. 在ABE △和FDE △中，90ABE FDE AEB FED ∠=∠=∠=∠，，∴ABE FDE △∽△，∴10.02AB AEFD FE==，∴10.0218.03618(m)AB FD =?=≈. 答：旗杆AB 的高度约为18m .解法二：如图，过点F 作FG AB ⊥于点G ，则 1.8AG AB GB AB FD AB =-=-=-. 由题意，知ABE △和FDE △均为等腰三角形，∴, 1.8m AB BE DE FD ===，∴ 1.8FG DB DE BE AB ==+=+.在Rt AFG △中，tan tan39.3AGAFG FG=∠=，即1.80.821.8AB AB -≈+，解得18.218(m)AB =≈. 答：旗杆AB 的高度约为18m .【解析】根据平行线的性质得出45FED ∠=．解等腰直角DEF △，得出 1.8DE DF ==米，EF ==米．证明90AEF ∠=．解直角AEF △，求出t a n 1862A E E F A F E =∠≈米．再解直角ABE △，即可求出s i n1A B A E A E B =∠≈米．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，平行线的性质.20.【答案】解：（1）如图，AE 即为所求.数学试卷第15页(共18页) 数学试卷第16页(共18页)（2）如图，连接OE 交BC 于点M ，连接,OC CE . ∵BAE CAE ∠=∠，∴BE EC =，∴OE BC ⊥，∴3EM =.在Rt OMC △中，532,5OM OE EM OC =-=-==，∴22225421MC OC OM =-=-=.在Rt EMC △中，22292130CE EM MC =+=+=.∴CE =【解析】（1）利用基本作图作AE 平分BAC ∠；（2）连接OE 交BC 于F ，连接OC ，如图，根据圆周角定理得到BE CE =，再根据垂径定理得到O E BC ⊥，则3BF =，2OF =，然后在Rt OCF △中利用勾股定理计算出CF =，在Rt CEF △中利用勾股定理可计算出CE ．【考点】作图—复杂作图，三角形的外接圆与外心．六、解答题21.【答案】（1）5030%（2）“89.59.5～”这一组人数占总参赛人数的百分比为(48)5024%+÷=，79.5分以上的人数占总参赛人数的百分比为24%36%60%+=.所以最低获奖成绩应该为79.5分以上，故他不能获奖.（3）用A ,B 表示2名男生，用a,b 表示2名女生，则从这4名学生中任选2人共有(A,B)，(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)，(a,b)这6种等可能结果.其中为1男1女的有(A,a)，(A,b)，(B,a)，(B,b)这4种结果，故所求概率4263P ==.【解析】（1）用“59.5～69.5”这组的人数除以它所占的百分比可得到调查的总人数；再计算出“89.5～99.5”这一组人数占总参赛人数的百分比，然后用1分别减去其它三组的百分比得到“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比；（2）利用“59.5～69.5”和“69.5～79.5”两分数段的百分比为40%可判断他不能获奖；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．【考点】列表法．七、解答题22.【答案】解：（1）21(50)(1602)2608000W x x x x =+-=-++，2(50)1919950W x x =-?=-+.（2）2212417328124189502()48W W W x x x =+=-++=--+. 由于x 取整数，根据二次函数性质，得当10x =时，总利润W 最大，最大总利润是9 160元.【解析】（1）设培植的盆景比第一期增加x 盆，则第二期盆景有(50)x +盆，花卉有(50)x -盆，根据“总利润=盆数?每盆的利润”可得函数解析式；（2）将盆景的利润加上花卉的利润可得总利润关于x 的函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．【考点】二次函数的应用．八、解答题23.【答案】（1）证明：由已知，在Rt BCD △中，90BCD ∠=，M 为斜边BD 的中点，∴12CM BD =. 又∵DE AB ⊥，同理，12EM BD =，∴CM EM =.（2）解：由已知，得905040CBA ∠=-=，又由（1）知，CM BM EM ==，∴2()280CME CMD DME CBM ABM CBA ∠=∠+∠=∠+∠=∠=. ∴180100EMF CME ∠=-∠=.数学试卷第17页(共18页) 数学试卷第18页(共18页)（3）证明：∵DAE CEM △≌△，∴90,,CME DEA DE CM AE EM ∠=∠===. 又∵CM DM EM ==，∴DM DE EM ==. ∴DEM △是等边三角形，∴30MEF DEF DEM ∠=∠-∠=.方法一：在Rt EMF △中，∵90,30EMF MEF ∠=∠=，∴12MF EF =. 又∵111222NM CM EM AE ===，∴1111()2222FN FM NM EF AE AE EF AF =+=+=+=.∴12MF NF EF AF ==. ∵AFN EFM ∠=∠，∴AFN EFM △∽△ ∴NAF MEF ∠=∠，∴AN EM ∥.方法二：如图，连接AM ，则1152EAM EMA MEF ∠=∠=∠=，∴75AMC EMC EMA ∠=∠-∠=①.又∵30CMD EMC MD ∠=∠-∠=，且MC MD =，∴1(18030)752 ACM ∠=-=②. 由①②知，AC AM =. 又∵N 为CM 的中点，∴AN CM ⊥. ∵EM CM ⊥，∴AN EM ∥.【解析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质定理即可证明；（2）利用四边形内角和定理求出CME ∠即可解决问题；（3）首先证明ADE △是等腰直角三角形，DEM △是等边三角形，设FM a =，则AE CM EM a ==，2EF a =，推出3FM MN =， 3EF AE =，由此即可解决问题.【考点】三角形综合题，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理．。

中考数学专题复习几何探究练习(三)

中考数学专题复习几何探究练习（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．【感知】如图①，点C是AB中点，CD⊥AB，P是CD上任意一点，由三角形全等的判定方法“SAS”易证△P AC≌△PBC，得到线段垂直平分线的一条性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”【探究】如图①，在平面直角坐标系中，直线y=-13x+1分别交x轴、y轴于点A和点B，点C是AB中点，CD⊥AB交OA于点D，连结BD，求BD的长【应用】如图①（1）将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AB′，请在图①网格中画出线段AB;（2）若存在一点P，使得P A=PB′，且∠APB′≠90°，当点P的横、纵坐标均为整数时，则AP长度的最小值为______．2．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．【猜想】如图①，①FDM的大小为度．【探究】如图①，过点A作AM1①DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM①①ADM1．【拓展】如图①，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为．3．问题呈现：下图是小明复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小明完成以下学习任务．请根据小明的思路，结合图①，写出完整的证明过程．结论应用：（1）如图①，在四边形ABCD中，AB AD BC=+，DAB∠的平分线和ABC∠的平分线交于CD边上点P．求证：PC PD=；（2）在（1）的条件下，如图①，若10AB=，1tan2PAB∠=．当PBC有一个内角是45︒时，PAD△的面积是．4．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第117页的部分内容．结合图①，补全证明过程．【应用】如图①，直线EF分别交矩形ABCD的边AD、BC于点E、F，将矩形ABCD 沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝3，BC＝4，则四边形ABFE的周长为．【拓展】如图①，直线EF分别交▱ABCD的边AD、BC于点E、F，将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为D′，若AB＝22，BC＝4，①C＝45°，则EF的长为．5．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，10,AB=点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．()1如图①，连接,CD则CD的长为；()2如图①，'B E与AC交于点,//F DB BC'．①求证:四边形'BDB E为菱形；①连接',B C则'B FC的形状为；()3如图①，则CEF∆的周长为；6．【教材呈现】数学课上，赵老师用无刻度的直尺和圆规按照华师版教材八年级上册87页完成角平分线的作法，方法如下：【问题1】赵老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．【问题2】小明发现只利用直角三角板也可以作①AOB的角平分线，方法如下：步骤：①利用三角板上的刻度，在OA、OB上分别截取OM、ON，使OM＝ON．①分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P．①作射线OP，则OP为①AOB的平分线．（1）请写出小明作法的完整证明过程．（2）当tan①AOB＝43时，量得MN＝4cm，直接写出MON△的面积．7．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．定理证明：请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．定理应用：在矩形ABCD中，AB＝2AD，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE＝3BE．（1）如图①，点F在边CB上，连结EF．若13BFCF，则EF与AC的关系为．（2）如图①，将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到线段AE'，连结CE′，点H为CE'的中点，连结BH．设BH的长度为m，若AB＝4，则m的取值范围为．8．在等腰直角三角形纸片ABC中，点D是斜边AB的中点，AB＝10，点E为BC上一点，将纸片沿DE折叠，点B的对应点为点B'．（1）如图①，连接CD，则CD的长为；（2）如图①，B'E与AC交于点F，DB'①BC．①求证：四边形BDB'E为菱形；①连接B'C，则①B'FC的形状为；（3）如图①，则①CEF的周长为．9．如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）当四边形DEFG的形状为矩形时，ABC为______三角形；（3）连接OA，当OA BC时，四边形DEFG的形状为______．10．如图1，正方形ABCD的边长为8cm，点F从点B出发，沿射线AB方向以1cm/秒的速度移动，点E从点D出发，向点A以1cm/秒的速度移动（不与点A重合）．设点E，F同时出发移动t秒．(1)基础探究：如图1，在点E、F移动过程中，连接CE、CF、EF，判断CE与CF的数量与位置关系，并说明理由．(2)应用拓展：如图2，点G、H分别在边AD、BC上，且217cmGH=，连接EF，当EF与GH交于点P，且45GPE∠=︒，若点P为EF的中点，则CF的长度为________，AP的长度为________．参考答案：1．探究：BD 的长为53；应用：(1)见解析；(2)5.【解析】【分析】探究：根据直线解析式，求出点A 、B 坐标，得到BO 、AO 的长，设BD 的长为a ，根据勾股定理列方程可求出BD ；应用：（1）根据旋转的性质作图即可；（2）根据题意可知P 点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B ∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5. 【详解】解：探究：由题意得：当x 0=时，y 1=；当y 0=时，x 3=；()A 3,0∴，()B 0,1. AO 3∴=，BO 1=．设BD 的长为a ．①点C 是AB 中点，CD AB ⊥交OA 于点D ，DA DB a ∴==，OD 3a =-．在Rt BOD 中，BOD 90∠=︒，222BD BO DO ∴=+，()22213a a +-=，5a 3∴=，5BD 3=． BD ∴的长为53．应用：(1)如图，线段'AB 即为所求．(2)根据题意可知P点坐标在AB’线段垂直平分线上，如图所示，点P’是垂直平分线上最近的格点，但是此时'’90AP B∠=︒，不符合题意，根据网格特点可知垂直平分线上下一个格点位置，由网格特点和勾股定理可得符合题意的AP=5.【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键.2．（1）45°；（2）证明见解析；（3）22﹣2．【解析】【分析】（1）证明①CDE=①C1DE和①ADF=①C1DF，可得①FDM=12①ADC=45°；（2）先判断出①DAM1=①BAM，由（1）可知：①FDM=45°，进而判断出①AMD=45°，得出AM=AM1，即可得出结论；（3）先作高线C1G，确定①ACC1的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C1在BD上时，C1G最大，其①AC1C的面积最大，并求此时的面积．【详解】（1）由对称得：CD＝C1D，①CDE＝①C1DE，在正方形ABCD中，AD＝CD，①ADC＝90°，①AD＝C1D，①F是AC1的中点，①DF①AC1，①ADF＝①C1DF，①①FDM＝①FDC1+①EDC1＝12①ADC＝45°；故答案为：45；（2）①DF①AC1，①①DFM＝90°，①①MAM'＝90°，在正方形ABCD中，DA＝BA，①BAD＝90°，①①DAM1＝①BAM，由（1）可知：①FDM＝45°①①DFM＝90°①①AMD＝45°，①①M1＝45°，①AM＝AM1，在：△ABM和△ADM1中，①11BA DABAM DAMAH AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABM①①ADM1（SAS）；（3）如图，过C1作C1G①AC于G，则1AC CS＝12AC•C1G，在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，①AC＝2222+＝22，即AC为定值，当C1G最大值，△AC1C的面积最大，连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，①CD＝C1D＝2，OD＝12AC＝2，①C1G＝C1D﹣OD＝2﹣2，①1AC CS＝12AC•C1G＝12×22（2﹣2）＝22﹣2，故答案为：22﹣2．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是①AMD=45°．3．问题呈现：见解析；结论应用：（1）见解析；（2）403或8 【解析】【分析】问题呈现：由“SAS ”可证△MOP ≌△NOP ，可得PM ＝PN ；结论应用：（1）在AB 上截取AE ＝AD ，连接PE ，由“SAS ”可证△ADP ≌△AEP ，△BPC ≌△BPE ，可得PD ＝PE ＝PC ；（2）延长AP ，BC 交于点H ，由“ASA ”可证△ADP ≌△HCP ，可得CP ＝DP ，AD ＝CH ，S △ADP ＝S △CPH ，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．【详解】问题呈现：证明：①OC 平分AOB ∠，①AOC BOC ∠=∠．在POM 和PON △中，OP OP POM PON OM ON =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①POM PON △≌△．结论应用：在AB 上截取AE AD =，①AP 平分DAB ∠，①DAP BAP ∠=∠，①AP AP =，①ADP AEP △≌△．①PE PD=．①AB AD BC=+，①BE BC=，①BP平分ABC∠，①ABP CBP ∠=∠．①BP BP=．①PBE PBC△≌△．①PE PC=．①PC PD=．（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∵AB＝10，tan∠P AB＝PBPA＝12，∴P A＝2PB，∵P A2+PB2＝AB2，∴PB＝25，P A＝45，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝45，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DP A＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝12×BP×PH＝12×BP×CN+12×PH×CM，∴CM＝CN＝453，∴S△PCH＝12×45×453＝403＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠P AB＝∠H，∴tan H＝tan∠P AB＝12，∴12 PFFH，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝12×4×4＝8，故答案为：8或403．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．4．【教材呈现】证明见解析；【应用】434；【拓展】2103；【解析】【分析】教材呈现：由“ASA”可证①AOE①①COF，可得OE＝OF，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形AFCE是平行四边形，即可证平行四边形AFCE是菱形；应用：过点F作FH①AD于H，由折叠的性质可得AF＝CF，①AFE＝①EFC，由勾股定理可求BF的长，EF的长，拓展：过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，由等腰直角三角形的性质可求AN＝BN＝2，由勾股定理可求AE＝AF＝103，再利用勾股定理可求EF的长．【详解】解：【教材呈现】①四边形ABCD是矩形，①AE①CF，①①EAO＝①FCO，①EF垂直平分AC，①AO＝CO，①AOE＝①COF＝90°，①①AOE①①COF（ASA）①OE＝OF，又①AO＝CO，①四边形AFCE是平行四边形，①EF①AC，①平行四边形AFCE是菱形；【应用】如图，过点F作FH①AD于H，①将矩形ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AF2＝BF2+AB2，①（4﹣BF）2＝BF2+9，①BF＝78，①AF＝CF＝258，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF＝258，①①B＝①BAD＝①AHF＝90°，①四边形ABFH是矩形，①AB＝FH＝3，AH＝BF＝78，①EH＝94，①EF＝22EH FH+＝81916+＝154，①四边形ABFE的周长＝AB+BF+AE+EF＝3+78+258+154＝434，故答案为：434．【拓展】如图，过点A作AN①BC，交CB的延长线于N，过点F作FM①AD于M，①四边形ABCD是平行四边形，①C＝45°，①①ABC＝135°，①①ABN＝45°，①AN①BC，①①ABN＝①BAN＝45°，①AN＝BN＝22AB＝2，①将▱ABCD沿EF翻折，使点C的对称点与点A重合，①AF＝CF，①AFE＝①EFC，①AD①BC，①①AEF＝①EFC＝①AFE，①AE＝AF，①AF2＝AN2+NF2，①AF2＝4+（6﹣AF）2，①AF＝103，①AE＝AF＝103，①AN①MF，AD①BC，①四边形ANFM是平行四边形，①AN①BC，①四边形ANFM是矩形，①AN ＝MF ＝2，①AM ＝22AF MF -＝10049-＝83， ①ME ＝AE ﹣AM ＝23，①EF ＝22MF ME +＝449+＝2103，故答案为：2103．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，菱形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 5．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）①由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒，进而证得'//,B E AB 则有∴四边形'BDB E 为平行四边形，由',BD B D =即可得证；①连接CD,易证得','45DB DC DB E DCA =∠=∠=︒进而证得''FB C FCB ∠=∠，则有'FB FC =，即可得出结论；（3）由'FB FC =和'B E BE =得CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，由等腰直角三角形的性质可求得BC ，即可求得CEF ∆的周长．【详解】解:（1）①①ABC 是等腰直角三角形，D 为斜边AB 的中点，AB=10，①152CD AB ==，故答案为：5；()2①证明:由翻折可知','45DB DB B B =∠=∠=︒'DB ①BC''45,B EC B ∴∠=∠=︒①'45,B EC B ∠=∠=︒①'EB ①BD∴四边形'BDB E 为平行四边形．又',BD B D =∴四边形'BDB E 为菱形；②如图2，连接CD ，则有CD=BD=AD,由翻折可知','45DB DB DB E B =∠=∠=︒①','45DB DC DB E DCA A =∠=∠=∠=︒,①''DB C DCB ∠=∠①DB E CB F DCA FCB ∠+∠=∠+∠'''①''CB F FCB ∠=∠①'FB FC =,①'B FC 的形状为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）如图3，由（2）知'FB FC =，'B E BE =，①CEF ∆的周长=''CE FC EF CE B F EF CE B E CE BE BC ++=++=+=+=，①①ABC 是等腰直角三角形，AB=10，①222100BC AB ==,解得：52BC =，①CEF ∆的周长为52，故答案为：52．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线性质、折叠性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定，解得的关键是认真审题，从图形中分析相关联信息，借助辅助线，利用基本图形的性质进行推理、计算．6．【问题1】SSS ；【问题2】（1）见解析；（2）8．【解析】【分析】问题1：根据SSS证明三角形全等即可．问题2：（1）根据HL证明三角形全等即可解决问题．（2）作MH①OB于H，连接MN．想办法求出ON，MH即可解决问题．【详解】解：问题1：由作图可知：OE＝OD，EC＝DC，OC＝OC，①EOC DOC≌△△（SSS），故答案为SSS．问题2：（1）证明：由作图可知：OM＝ON，①①ONP＝①OMP＝90°，OP＝OP，①Rt ONP≌Rt OMP△（HL），①①PON＝①POM，即OP平分①AOB．（2）解：作MH①OB于H，连接MN．①tan①AOB＝4,3MHOH=①可以假设MH＝4k，OH＝3k，则OM＝ON＝5k，①HN＝2k，在Rt MNH△中，①222,MN HN MH=+①()()222442,k k=+①255k=（负根已经舍弃），①ON＝5k＝25，MH＝4k＝855，①1185258.225MNO S ON MH ==⨯⨯= 【点睛】本题考查的是角平分线的作图与作图原理，三角形全等的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．定理证明：见解析；定理应用：（1）EF ∥AC ，EF ＝14AC ；（2）5﹣32≤BH ≤5+32 【解析】【分析】定理证明：延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，易证①ADE ①①CFE ，再根据全等三角形的性质，进一步可得出CF ①AB ，从而可证明四边形BCFD 是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；定理应用：（1）取AB ，BC 的中点M ，N ，连接MN ．再根据题目中的线段关系，可得出AM ＝BM ，CN ＝BN ，ME ＝EB ，FN ＝FB ，根据三角形的中位线定理即可得出答案；（2）如图①中，延长CB 到T ，连接AT ，TE ′．根据题意得出BH ＝12TE ′，再根据矩形的性质可求得AT 的值，结合题意求得AE 的值，最后根据三角形三边关系即可得出答案．【详解】解：定理证明：如图①中，延长DE 到F ，使FE ＝DE ，连接CF ，在△ADE 和△CFE 中，AE EC AED CEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△CFE （SAS ），∴∠A ＝∠ECF ，AD ＝CF ，∴CF ∥AB ，又∵AD ＝BD ，∴CF＝BD，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF∥BC，DF＝BC，∴DE∥BC，DE＝12BC．定理应用：（1）如图①中，取AB，BC的中点M，N，连接MN．∵AE＝3BE，BF：CF＝1：3，∴AM＝BM，CN＝BN，ME＝EB，FN＝FB，∴MN∥AC，MN＝12AC，EF∥MN，EF＝12MN，∴EF∥AC，EF＝14AC．故答案为：EF∥AC，EF＝14AC．（2）如图①中，延长CB到T，连接AT，TE′．∵CH＝HE′，CB＝BT，∴BH＝12TE′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，∵AB＝4，BC＝AD＝BT＝2，∴AT＝22224225AB BT+=+=，∵AE＝3BE，AB＝4，∴AE＝AE′＝3，∴25﹣3≤TE′≤25+3，∴5﹣32≤BH≤5+32．故答案为：5﹣32≤BH≤5+32．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形三边关系、平行四边形的判定及性质、三角形中位线性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质，综合性比较强，添加合适的辅助线，是解题的关键．8．（1）5；（2）①见解析；①等腰三角形；（3）52．【解析】【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；（2）①由折叠的性质得B'D=BD，B'E=BE，①B'DE=①BDE，证出B'D=BE，得四边形BDB'E是平行四边形，进而得出结论；①证出CD=B'D，得①DCB'=①DB'C，证出DB'①AC，则①ACB'=90°-①DB'C，证出CD①B'E，则①EB'C=90°-①DCB'，得①ACB'=①EB'C，即可得出结论；（3）连接B'C，由等腰直角三角形的性质得BC=22AB=52，①B=45°，CD=12AB=BD，①ACD=12①ACB=45°，证出CF=B'F，进而得出答案．【详解】（1）解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝10，①CD＝12AB＝5，故答案为：5；（2）①证明：由折叠的性质得：B'D＝BD，B'E＝BE，①B'DE＝①BDE，①DB'①BC，①①B'DE＝①BED，①①BDE＝①BED，①BD＝BE，①B'D＝BE，①四边形BDB'E是平行四边形，又①B'D＝BD，①四边形BDB'E为菱形；①解：①①ABC是等腰直角三角形，点D是斜边AB的中点，AB＝BD，①CD＝12由折叠的性质得：B'D＝BD，①CD＝B'D，①①DCB'＝①DB'C，①①ACB＝90°，①AC①BC，①DB'①BC，①DB'①AC，①①ACB'＝90°﹣①DB'C，由①得：四边形BDB'E为菱形，①AB①B'E，①CD①AB，①CD①B'E，①①EB'C＝90°﹣①DCB'，①①ACB'＝①EB'C，①FB'＝FC，即①B'FC为等腰三角形；故答案为：等腰三角形；（3）解：连接B'C，如图①所示：①①ABC 是等腰直角三角形，点D 是斜边AB 的中点，AB ＝10，①BC ＝22AB ＝52，①B ＝45°，CD ＝12AB ＝BD ，①ACD ＝12①ACB ＝45°，由折叠的性质得：B 'D ＝BD ，①B '＝①B ＝45°，①CD ＝B 'D ，①①DCB '＝①DB 'C ，①①FCB '＝①FB 'C ，①CF ＝B 'F ，①①CEF 的周长＝EF +CF +CE ＝EF +B 'F +CE ＝B 'E +CE ＝BE +CE ＝BC ＝52；故答案为：52．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．9．（1）见解析；（2）等腰；（3）菱形．【解析】【分析】（1）由中线BD ，CE 相交于点O ，可得DE 是ABC 的中位线，可得//DE BC ，12DE BC =，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得FG 是OBC 的中位线，可得//FG BC ，12FG BC =，可推出//DE FG ，DE FG =即可；（2）由四边形DEFG 的形状为矩形，可得FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ，由F 、G 分别是OB ，OC 的中点，可得BO=CO ，，由中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，可得EF①OA ，可推出OA①ED ，由等腰三角形性质可得OA 平分①EOD ，可证△AOB①①AOC （SAS ），可得AB=AC 即可；（3）连接OA ，由（1）知四边EFGD 为平行四边形，由中位线性质可得AO=2EF ，2BC FG =，由OA BC =，可得EF=FG 即可．【详解】证明：（1）①中线BD ，CE 相交于点O ，①E 、D 分别为AB 、AC 中点，①DE 是ABC 的中位线，①//DE BC ，12DE BC =，又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①//FG BC ，12FG BC =， ①//DE FG ，DE FG =，①四边形DEFG 是平行四边形；（2）连接OA ，如图①四边形DEFG 的形状为矩形，①FD=EG ，OE=OF=OG=OD ，EF①ED ，①EOF=①DOG ， ①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①BO=CO ，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF①OA ，①OA①ED ，①OA 平分①EOD ，①①EOA=①DOA ，①①BOA=①EOF+①EOA=①DOG+①DOA=①COA ，①AO=AO ，①①AOB①①AOC （SAS ），①AB=AC ，①①ABC 为等腰三角形，故答案为：等腰；（3）当OA BC =时，四边形DEFG 的形状为菱形．由（1）知四边EFGD 为平行四边形，①中线CE ，E 为中点，F 是OB 的中点，①EF 为①ABO 的中位线，①AO=2EF ，又①F 、G 分别是OB ，OC 的中点，①FG 是OBC 的中位线，①2BC FG =，①OA BC =，①2EF=2FG ，①EF=FG ，①四边形DEFG 是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定定理，细心观察图形，利用数形结合从图形中分析线段之间和角之间关系是解题关键．10．(1)CE CF =，CE CF ⊥，理由见解析；(2)217，34；【解析】【分析】（1）根据正方形的性质和运动的距离可证明()EDC FBC SAS ≌△△，可得CE CF =，再利用角之间的关系可证CE CF ⊥；（2）连接EC ，证明四边形GECH 是平行四边形，即可求出CF ，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出AP ．(1)解：①四边形ABCD为正方形,①CD CB=，90EDC ABC BCD∠=∠=∠=︒，①90FBC EDC∠=∠=︒，①ED FB t==，在EDC△和FBC中，90CD CBFBC EDCED FB=⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩①()EDC FBC SAS≌△△，①CE CF=，ECD BCF=∠∠，①90ECD BCE∠+∠=︒，①90BCF BCE∠+∠=︒，即：90ECF∠=︒，①CE CF=，CE CF⊥，(2)解：连接CE，如图①CE CF=，CE CF⊥，①45CEF∠=︒，①45GPE∠=︒，①CEF GPE∠=∠，①CE GH∥，①GE CH∥，①四边形GECH是平行四边形，①217CE GH==，①CE CF =，①217CF =，①2234EF CF ==，①P 是EF 的中点，AFE △是直角三角形，①1342AP EF ==．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定以及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（1）的关键是证明()EDC FBC SAS ≌△△，（2）的关键是证明四边形GECH 是平行四边形．。

安徽省2018年中考数学试题含答案解析(Word版)[1]

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2018年安徽省初中学业水平考试数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,满分40分）1。

的绝对值是( ）A。

B。

8 C. D。

【答案】B【详解】数轴上表示数—8的点到原点的距离是8，所以—8的绝对值是8，故选B.【点睛】本题考查了绝对值的概念，熟记绝对值的概念是解题的关键.2. 2017年我赛粮食总产量为635。

2亿斤,其中635.2亿科学记数法表示（ )A. B。

C. D。

【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a｜<10，n为整数．确定n 的值时,要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值〈1时，n是负数．【详解】635。

2亿=63520000000，63520000000小数点向左移10位得到6。

352,所以635。

2亿用科学记数法表示为：6.352×108，故选C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤｜a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3。

下列运算正确的是（ )A. B。

中考数学专题复习_几何探究题

专题复习几何探究问题一、结论探究【例1】如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=900，点D是BC中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形DEFG绕点D逆时针旋转一定角度后（旋转角大于00，小于或等于3600），如图②，通过观察和测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。

（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值。

'变式练习：已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立（不要求证明）| A D]G图1FA[EG图2、AE图3DFEC BAB'C'二、条件探究【例2】已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ，如图（1）放置，点B 、D 重合，点F 在BC 上，AB 与EF 交于点G ，∠C=∠EFB=900，∠E=∠ABC=300，AB=DE=4 （1）求证：△EGB 是等腰三角形（2）若纸片DEF 不动，问△ABC 绕点F 旋转最小度时，四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形（如图（2）），求此梯形的高。

,【例3】如图，Rt △AB C 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E ，CC 的延长线交BB 于点F ． |（1）证明：△ACE ∽△FBE ；（2）设∠ABC =α，∠CAC =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．；E图1A:CD图2三、类比探究【例4】（1）操作发现：如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求ABAD的值； /（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求ABAD的值．【例5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．AB。

中考数学压轴题：几何探究题

几何探究题（10道）1.如图①，在锐角△ABC中，∠ABC=45°，高线AD、BE相交于点F．（1）判断BF与AC的数量关系并说明理由．（2）如图②，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD 上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，①求证：AE=EC；②求∠MAC的度数以及线段NE与AC的数量关系．第1题图解：（1）BF=AC，理由是：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB=∠AEF=90°，∵∠ABC=45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD =BD ，∵∠AFE =∠BFD ，∴∠DAC =∠EBC ，在△ADC 和△BDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠=∠=∠90BDF ADC BDAD DBF DAC ， ∴△ADC ≌△BDF （ASA ），∴BF =AC ；（2）①由折叠得：MD =DC ，∵DE ∥AM ，∴AE =EC ，②∵AE =EC ，BE ⊥AC ，∴AB =BC ，由（1）得：△ADC ≌△BDF ，∵△ADC ≌△ADM ，∴△BDF ≌△ADM ，∴∠DBF=∠MAD=22.5°，∴∠MAC=2∠MAD=45°，∵∠NEA=90°，∴△AEN是等腰直角三角形，1AC．∴EN=AE=EC，∴EN=22.在长方形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE，将BG延长交直线DC于点F．（1）如果点G在长方形ABCD的内部，如图①所示．①求证：GF=DF；1DC，AD=4，求AB的长度．②若DF=2（2）如果点G在长方形ABCD的外部，如图②所示，AD的值. DF=kDC（k＞1）．请用含k的代数式表示AB第2题图解：（1）①连接EF ，如解图第2题解图根据翻折的性质得，∠EGF =∠A =90°，EG =AE =ED ，在Rt △EGF 和Rt △EDF 中，⎩⎨⎧==EF EF ED EG ， ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ），∴GF =DF ；②由①知，GF =DF ，设DF =x ，BC =y ，则GF =x ，AD =y ， ∵DC =2DF ，∴CF =x ，DC =AB =BG =2x ，∴BF =BG +GF =3x ；在Rt △BCF 中，BC 2+CF 2=BF 2，即y 2+x 2=（3x ）2 ∴y =22x ，∴ABAD ＝x y 2=2；∵AD=4，（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则GF=x，AD=y，在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，3.将一副三角尺按图①摆放，等腰直角三角尺的直角边DF 恰好垂直平分AB，与AC相交于点G，BC=23cm.（1）求GC的长；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针旋转，使直角边DF 经过点C，另一直角边DE与AC相交于点H，分别过H、C作AB的垂线，垂足分别为M、N，通过观察，猜想MD与ND的数量关系，并验证你的猜想；（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DB方向平移得到△D'E'F'，当D'E'恰好经过（1）中的点G时，请直接写出DD'的长度.第3题图解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=23cm，∴AC=23×3=6cm，AB=43cm，又∵AD=BD，GD⊥AB，∴AD=23cm，在Rt△ADG中，∠BAC=30°，∴DG=2cm，AG=4cm，∴GC=AC－AG=6－4=2cm；（2）MD=ND，证明如下：∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=BD=AD，∵∠B=60°，∴△CDB为等边三角形.1BD，∵CN⊥BD，∴DN=NB=2在△ADH中，∠HDA=180°－60°－90°=30°，∴∠HDA=∠A=30°，1AD，∴MD=ND；∵HM⊥AB，∴AM=MD=2（3）DD'=23cm.【解法提示】如解图，连接GD,GB；∵GD垂直平分AB，∴AG=BG，∴∠GBA=∠A=30°，∠E'D'A=30°，当点D'与点B 重合时，点G在D'E'上，∴DD'=DB=23cm.第3题解图4.（1）如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F．①若AB=6，AE=4，BD=2，则CF= ；②求证：△EBD∽△DCF．（2）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示，问：点D是否存在某一位置，使BD的ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出BC 值；若不存在，请说明理由．（3）如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF．设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为（用含α的表达式表示）．图①图②图③第4题图解：（1）①4；【解法提示】∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°．∵AE=4，∴BE=2，则BE=BD，∴△BDE是等边三角形，∴∠BED=60°，又∵∠EDF=60°，∴∠CDF=180°－∠EDF－∠B=60°，则∠CDF=∠C=60°，∴△CDF是等边三角形，∴CF=CD=BC－BD=6－2=4．②证明：∵∠EDF=60°，∠B=60°，∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，∴∠BED=∠CDF．又∠B=∠C=60°，∴△EBD∽△DCF；（2）存在，如解图①，过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别是M、G、N，第4题解图①∵ED 平分∠BEF 且FD 平分∠CFE ．∴DM =DG =DN ．又∠B =∠C =60°，∠BMD =∠CND =90°，∴△BDM ≌△CDN ，∴BD =CD ，即点D 是BC 的中点，∴BC BD =21；（3）如解图②，连接AO ，作OG ⊥BE ，OD ⊥EF ，OH ⊥CF ，垂足分别是G 、D 、H ．第4题解图②则∠BGO =∠CHO =90°，∵AB =AC ，O 是BC 的中点，∴∠B =∠C ，OB =OC ，∴△OBG ≌△OCH ，∴OG =OH ，GB =CH ，∠BOG =∠COH =90°－α，则∠GOH =180°－（∠BOG +∠COH ）=2α，∴∠EOF =∠B =α，由（2）题可猜想应用EF =ED +DF =GE +FH （可通过半角旋转证明），则C △AEF =AE +EF +AF =AE +EG +FH +AF =AG +AH =2AG ，设AB =m ，则OB =mcosα，GB =mcos 2α．ααcos cos )(222m m m m OB AB AG OB AB AG C C ABC AEF +-=+=+=∆∆=1－cos α． 5.如图，Rt △ACB 中，∠ACB =90°，AC =BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF =AE ．（1）如图①，过F 点作FD ⊥AC 交AC 于D 点，求证：FD =BC ；（2）如图②，连接BF 交AC 于G 点，若AG =3，CG =1，求证：E 点为BC 中点；（3）当E 点在射线CB 上，连接BF 与直线AC 交于G 点，若BC =4，BE =3，直接写出CGAG 的值.第5题图（1）证明：∵FD ⊥AC ，∴∠FDA =90°， ∴∠DFA +∠DAF =90°，同理，∵AF ⊥AE ，∴∠CAE +∠DAF =90°，∴∠DFA =∠CAE ，在△AFD 和△EAC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠AE AF EACAFD ECA ADF 90， ∴△AFD ≌△EAC （AAS ），∴DF =AC ，∵AC =BC ，∴FD =BC ；（2）如解图①，过点F 作FD ⊥AC 于点D ，第5题解图①由（1）得，FD =AC =BC ，AD =CE ，在△FDG 和△BCG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠BC FD BCG FDG BGC FGD 90， ∴△FDG ≌△BCG （AAS ），∴DG =CG =1，∴AD =2，∴CE =2，∵BC =AC =AG +CG =4，∴E 点为BC 中点；（3）311或35.【解法提示】当点E 在CB 的延长线上时，过F 作FD ⊥AG 与AG 的延长线交于点D ，如解图②，第5题解图②BC =AC =4，CE =CB +BE =7，由（1）（2）知：△ADF ≌△ECA ，△GDF ≌△GCB ， ∴CG =GD ，AD =CE =7，∴CG =DG =1.5， ∴CG AG =5.15.14+=311，同理，当点E 在线段BC 上时，CG AG =5.15.14-=35. 6.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为AB 延长线上一点，连接CD ，过A 分别作AM ⊥CD ，垂足为M ，交BC 于点N ，作AP ⊥BC ，垂足为P ，交CD 于点Q ．（1）求证：AN =CQ ；（2）如图，点E 在BA 的延长线上，且AE =BD ，连接EN 并延长交CD 于点F ，求证：DQ =EN ；（3）在（2）的条件下，当AE =32AB 时，求FNEN 的值.第6题图证明：（1）∵AP ⊥BC ，AM ⊥CD ，∴∠APN =∠CPQ =90°，∴∠PNA +∠NAP =∠NAP +∠CQP =90°，∴∠PNA =∠CQP ，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴AP =PC ，∴△APN ≌△CPQ （ASA ），∴AN =CQ ；（2）如解图①，连接BQ ，第6题解图① 由（1）知：AP 是BC 的垂直平分线， ∴BQ =CQ ， ∵AN =CQ ，∴AN =BQ ，∵BQ =CQ ，∴∠QBC =∠QCB =∠NAP ，∵∠PBA =∠PAB =45°，∴∠QBA =∠BAN ，∴∠DBQ =∠NAE ，在△DBQ 和△NAE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE BD EAN DBQ AN BQ , ∴△DBQ ≌△EAN （SAS ），∴DQ =EN ；（3）∵AE =32AB ，即AB AE ＝32， ∴设AE =2x ，AB =3x ，则BD =2x ，DC =34x ，如解图②，过E 作EH ⊥AM ，交MA 的延长线于H ，第6题解图②∴∠H =∠AMD =90°，∴EH ∥DC ，∴△AHE ∽△AMD ，∴52322=+==x x x AD AE AM AH ， ∵∠MAC =∠CDA ，∠ACN =∠DAQ =45°，∴△DQA ∽△ANC ，∴3535===x x AN DQ AC AD ,由（2）知：CQ=AN，∴设AH=8m，AM=20m，AN=17m，则MN=3m，∵EH∥FM，∴△EHN∽△FMN，7.如图，点P是正方形ABCD外一点，连接PA、PD，作BM⊥PA，垂足为E，使BM=PA，再作CN⊥PD，垂足为F，使CN=PD，连接PM、PN．（1）如图①，当PA=PD时，直接写出线段PM、PN的位置关系和数量关系；（2）在（1）的条件下，若∠APD=40°，则∠ABM= ；（3）如图②，当PA≠PD时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．第7题图解：（1）结论：PM=PN，PM⊥PN．理由：如解图①，连接AM，DN．第7题解图①∵四边形ABCD是正方形，∴AB =BC =CD =AD ，∴∠BAD =90°，∵PE ⊥BM ，∴∠AEB =90°，∴∠PAD +∠EAB =90°，∠EAB +∠ABE =90°， ∴∠PAD =∠ABE ，∵PA =PD ，在△PAD 和△ABE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BAAD ABM PAD BMPA , ∴△PAD ≌△MBA （SAS ），∴AM =PD ，∠AMB =∠APD ，∴MA =MB =PA =PD ，同理可证：ND =NC =PA =PD ，∠DNC =∠APD ，∴∠AME =∠DNF ，∵∠AME +∠MAE =90°，∠DNF +∠NDF =90°， ∴∠MAE =∠NDF ，∴∠PAM =∠PDN ，∴△PAM≌△PDN（SAS），∴PM=PN，∠APM=∠DPN=∠AMP=∠DNP，∵∠AME+∠MAE=90°，∠MAE=∠AMP+∠APM=∠APM+∠NPD，∴∠APD+∠APM+∠NPD=90°，∴∠MPN=90°，∴MP⊥PN．（2）70°;【解法提示】∵PA=PD，∠P=40°，∴∠PAD=∠PDA=70°，由（1）可知：∠ABM=∠PAD=70°．（3）结论仍然成立，理由如下：如解图②，连接MA，延长MA交PF于点Q．第7题解图②由（1）可知：∠PAD=∠ABM，在△PAD 和△ABM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BA AD ABM PAD BM PA ∵PA =BM ，AD =BA ，∴△PAD ≌△MBA （SAS ），∴AM =PD ，∠ADP =∠MAB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =CD ，∵∠MAB +∠QAD =90°，∴∠QAD +∠ADP =90°，∴∠AQD =90°，∵PF ⊥CN ，∴∠AQD =∠DFC =90°，∴∠ADQ +∠CDF =90°，∠CDF +∠DCF =90°，∴∠ADQ =∠DCF ，在△ADQ 和△DCF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AD DCF ADQ DFC AQD ，∴△AQD ≌△DFC （AAS ），∴AQ =DF ，DQ =CF ，∵PD =CN ，∴PQ =FN ，MQ =PF ，∵∠MQP =∠PFN =90°，∴△MQP ≌△PFN （SAS ），∴PM =PN ，∠MPQ =∠N ，∵∠N +∠FPN =90°，∴∠MPQ +∠FPN =90°，∴∠MPN =90°，∴PM ⊥PN ．8、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，M 为AB 中点，点P 为BC 延长线上一点，CP ＜BC ，连接PM ，AC =n ，CP =m ．（1）如图①，将射线MP 绕点M 逆时针旋转60°交CA 延长线于点D ，且BC =AD +CP.①在图中找出与∠MDC相等的角，并加以证明；m的值；②求n（2）如图②，若将射线MP绕点M顺时针旋转60°交AC延长线于点H，求CH的长（用含有m，n的式子表示）第8题图①第8题图②解：（1）①结论：∠ADM=∠PMA．理由：如解图①，连接CM．∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵BM=MA，∴CM=MA=BM，∴△AMC是等边三角形，∴∠AMC=∠PMN=60°，∴∠PMC=∠AMD，∵∠BAC=∠AMD+∠ADM=60°，∠AMP+∠PMC=60°∴∠ADM=∠PMA．第8题解图①②如解图①，连接CM、作CK∥AB交PM于点K．∵CK∥AB，由（1）知△AMC是等边三角形，∴∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°，MA=MC,∵CK∥AB，∴∠ACK=∠MAC=60°，∠AMK=∠MKC,∴∠DAM=∠MCK=120°，∵∠ADM=∠AMP,∴∠MKC=∠MDA，在△MCK 和△MAD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠MCMA MAD MCK MDAMKC ，∴△MCK ≌△MAD ，∵CK ∥BM ，∴△PKC ∽△PMB ，∴AD =CK ，∵BC =AD +PC ，整理得：m 2+mn －3n 2=0，（3）如解图②，连接CM 、作CK ∥AB 交PM 于点K ．第8题解图② ∵∠PMH =∠ACM =60°， ∴∠PMC +∠CMH =∠CMH +∠H ，∴∠CMK =∠H ，∵∠HCM =∠MCK =120°，∴△HCM ∽△MCK ，∴CK CM MC HC =， ∴nm mnn n HC 3+=, ∴HC =mn mn 23+. 9. 已知四边形ABCD 是正方形，△BEF 是等腰直角三角形，∠BEF =90°，BE =EF ，连接DF ，G 为DF 的中点，连接EG，CG，EC．（1）如图①，若点E在CB边的延长线上，直接写出EC的值；EG与GC的位置关系及GC（2）将图①中的△BEF绕点B顺时针旋转至图②所示位置，请问（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）将图①中的△BEF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°），若BE=1，AB=2，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．第9题图EC=2，解：（1）EG⊥CG，GC理由如下：如解图①，过G作GH⊥EC于点H，∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC，∵G 为DF 中点， ∴H 为EC 中点， ∴EG =GC ，GH =21（EF +DC ）=21（EB +BC ），即GH =EH =HC ，∴∠EGC =90°，即△EGC 是等腰直角三角形， ∴GC EC =2；第9题解图① 第9题解图② （2）解：结论还成立，理由如下：如图②，延长EG 到H ，使EG =GH ，连接CH 、EC ，延长CD 交EH 于点N ，过E 作BC 的垂线交CB 延长线于点R ，交DF 延长线于点Q ，∵在△EFG 和△HDG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=HG EG DGH FGE GD GF ，∴△EFG ≌△HDG （SAS ），∴DH =EF =BE ，∠FEG =∠DHG ，∴EF ∥DH ，又易证ER ∥CD ，∴∠1=∠2，∴∠1=∠2=90°－∠3=∠4，∴∠EBC =180°－∠4=180°－∠1=∠HDC ，在△EBC 和△HDC 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD BC HDC EBC DH BE ，∴△EBC ≌△HDC ．∴CE =CH ，∠BCE =∠DCH ，∴∠ECH =∠DCH +∠ECD =∠BCE +∠ECD =∠BCD =90°，∴△ECH 是等腰直角三角形， ∵G 为EH 的中点，∴EG ⊥GC ，GCEC =2，即（1）中的结论仍然成立；（3）解:如解图③，连接BD ，第9题解图③∵在正方形ABCD 中，AB =2，∴BD =2，∴cos ∠DBE =BD BE =21， ∴∠DBE =60°，∴∠ABE =∠DBE －∠ABD =15°，∴∠ABF =45°－15°=30°，∴tan ∠ABF =33，∴DE =3BE =3， ∴DF =DE －EF =3－1．10.在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，∠BAC =120°，∠ADE =90°，∠DAE =60°，F 为BC 中点，连接BE 、DF ，G 、H 分别为BE ，DF 的中点，连接GH ．（1）如图①，若D 在△ABC 的边AB 上时，请直接写出线段GH 与HF 的位置关系，HFGH = ．（2）如图②，将图①中的△ADE 绕A 点逆时针旋转至图②所示位置，其他条件不变，（1）中结论是否改变？请说明理由；（3）如图③，将图①中的△ADE 绕A 点顺时针旋转至图③所示位置，若C 、D 、E 三点共线，且AE =2，AC =5，求线段BE 的长.图① 图② 图③第10题图解：（1）如解图①，连接DG ，FG ．第10题解图①∵AB =AC ，BF =CF ，∴AF ⊥BC ，∴∠BAF =∠CAF =60°，∵ED ⊥AB ，∴∠BFE =∠BDE =90°，∵BG =GE ，∴DG =21BE ，GF =21BE ，∴DG =FG ，∵DH =HF ，∴GH ⊥DF ，∵∠BAE =60°，∴∠ABE +∠AEB =120°，∵DG=BG=GF=GE，∴∠GBD=∠GDB，∠GEF=∠GFE，∴∠BGD+∠EGF=120°，∴∠DGF=60°，∴△DGF是等边三角形，GH=tan60°=3．∴HF（2）结论不变．理由：如解图②，延长ED至S，使DS=DE，连接AS，BS，CE，FG，DG．第10题解图②∵∠ADE=90°，DS=DE，∴AS=AE，∠DAE=∠DAS=60°，∴∠BAC=∠SAE=120°，∴∠SAB=∠EAC，∵AB=AC，∴△ABS≌△ACE.∴BS=CE，∠ABS=∠ACE，∵F，G分别为BC，BE中点，∴DG=FG，∵H为DF中点，∴GH⊥HF，延长SB交CE延长线于T，∵∠ABS+∠ABT=∠ACE+∠ABT=180°，∴∠BAC+∠T=180°，∴∠T=60°，延长FG交BT于P，∴∠T=∠BPF=∠DGF=60°，（3）如解图③，延长ED到H，使得DH=DE，连接AH，BH，作BM⊥EC于M，设BC交AH于点O．第10题解图③∵AD⊥EH，ED=DH，∴AE=AH，∴∠AEH=∠AHE=30°，∴∠EAH=∠BAC=120°，∴∠BAH=∠CAE，∵AB=AC，AH=AE，∴△BAH≌△CAE（SAS），∴∠BHA=∠AEC=30°，BH=CE，∴∠OBA=∠OHC=30°，∵∠AOB =∠COH ，∴△AOB ∽△COH ，∴△AOC ∽△BOH ，∴∠BHO =∠AOC =30°，∴∠BHE =30°+30°=60°，在Rt △ADE 中，∵AE =2，∠AED =30°，在Rt △EBM 中，11)1233()]332(21[22=-++=.。

2018年安徽中考数学专题复习填空压轴题之几何图形操作问题

2018年安徽中考数学专题复习几何操作题★1. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a 的度数应为________．第1题图30°或60° 【解析】如解图，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABD ＝12∠ABC ，∠BAC ＝12∠BAD ，AD ∥BC ，∵∠ABC ＝60°，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°，∴∠ABD＝30°，∠BAC ＝60°.∴剪口与折痕所成的角a 的度数应为30°或60°.第1题解图★2. 如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，P 是AC 的中点，过点P 的直线交AB 边于点Q ，若以A ，P ，Q 为顶点的三角形和以A ，B ，C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为________．第2题图43或3 【解析】依据相似三角形的判定定理，过点P 的直线PQ 应有两种作法：一是过点P 作PQ ∥BC ，如解图①，则△AQP ∽△ABC ，此时AQ AB ＝APAC ，所以AQ ＝6×24＝3；二是过点P 作∠APQ ＝∠ABC ，如解图②，则△APQ ∽△ABC ，此时AQ AC ＝APAB ，所以AQ ＝2×46＝43.第2题解图★3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，若点P 在AD 边上，连接BP ，PC ，△BPC 是以PB 为腰的等腰三角形，则PB 的长为________．第3题图5或6 【解析】∵△BPC 是以PB 为腰的等腰三角形，∴有两种可能的情况．如解图，当BP ＝BC 时，∵BC ＝6，∴BP ＝6；当BP ＝PC 时，作BC 的中垂线P ′E 交AD 于点P ′，交BC 于点E ，则AP ′＝12AD ＝3，又∵AB ＝4，在Rt △ABP ′中，∠A ＝90°，∴由勾股定理得BP ′＝AP ′2＋AB 2＝32＋42＝5.综上可知，PB 的长为5或6.第3题解图★4. 如图，AB 是⊙O 的一条弦，点C 是⊙O 上一动点，且∠ACB ＝45°，点E 、F 分别是AC 、BC 的中点，直线EF 与⊙O 交于G 、H 两点．若AB ＝4，当△CEF 为直角三角形时， FH 的长为________．第4题图22－2或22 【解析】连接OA ，OB ，可得∠AOB ＝90°，∵AB ＝4，可得OA ＝2 2. 由E 、F 分别是AC 、BC 的中点，则EF ＝12AB ＝2.如解图①，当∠EFC ＝90°时，△CEF 为直角三角形，此时，∠ABC ＝90°，∴点E 与点O 重合，∴FH ＝OH －EF ＝22－2；如解图②，当∠CEF ＝90°时，△CEF 为直角三角形，此时，∠CAB ＝90°，∴点F 与点O 重合，∴FH ＝OH ＝2 2.第4题解图★5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．第5题图185【解析】如解图，连接BF 交AE 于点H ，则AE ⊥BF ，且BH ＝FH.∵BC ＝6，点E 为BC 的中点，∴BE ＝3，又∵AB ＝4，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝5，∵12AE ·BH ＝12AB ·BE ，∴5·BH ＝4×3，∴BH ＝125，则BF ＝2BH ＝245，∵FE ＝BE ＝EC ，∴∠BFC ＝90°，∴CF ＝BC 2－BF 2＝62－（245）2＝185.第5题解图★6. 四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE ＝3，则CE 的长为________．23或43 【解析】∵AB ＝6，AC ⊥BD ，∠BAD ＝60°，∴OA ＝OC ＝33，当点E 在点O 左侧时，CE ＝OC ＋OE ＝43，当点E 在点O 右侧时，CE ＝OC －OE ＝2 3.∴CE 的长为23或4 3.★7. 如图，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记为B′，折痕为CE ；再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B′C 上，记为D′，折痕为CG ，B ′D ′＝2，BE ＝13BC ，则矩形纸片ABCD 的面积为________．第7题图15 【解析】设BE ＝a ，则BC ＝3a ，由题意可得，CB ＝CB′，CD ＝CD′，BE ＝B′E ＝a ，∵B ′D ′＝2，∴CD ′＝3a －2，∴CD ＝3a －2，∴AE ＝3a －2－a ＝2a －2，∴DB ′＝CB ′2－CD 2＝（3a ）2－（3a －2）2＝12a －4＝23a －1，在Rt △AB ′E 与Rt △DCB ′中，∵∠AB′E ＋∠DB′C ＝90°，∠DCB ′＋∠DB′C ＝90°，∴∠AB ′E ＝∠DCB′，又∵∠A＝∠D ＝90°∴△AB′E ∽△DCB′，∴AE B ′D ＝B ′E CB ′，即2a －223a －1＝a 3a ，解得a 1＝23或a 2＝53.当a＝23时，BC ＝2，∵B ′D ′＝2，CB ＝CB′，∴a ＝23时不符合题意，舍去；当a ＝53时，BC ＝5，AB ＝CD ＝3a －2＝3，∴矩形纸片ABCD 的面积为5×3＝15.★8. 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，则∠ACB 的度数为________．第8题图113°或92° 【解析】∵△BCD ∽△BAC ，∴∠BCD ＝∠A ＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，且∠ADC ＞∠BCD ，∴∠ADC ＞∠A ，即AC ≠CD.①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠ADC ＝12×(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°；②当AD ＝CD 时，∠ACD ＝∠A ＝46°，∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°.综上所述，∠ACB 的度数为113°或92°.★9. 在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝4，点E ，F 在直线AD 上，且四边形BCFE 为菱形．若线段EF 的中点为点M ，则线段AM 的长为________．0．5或5.5 【解析】当E ，F 在直线AD 上，且四边形BCFE 是菱形时，有两种情况：(1)当∠BEF 是锐角时，如解图①，∵四边形BCFE 是菱形，∴FC ＝EF ＝EB ＝BC ＝AD ＝5，∵AB ＝4，∴在Rt △BAE 中，根据勾股定理得：AE ＝BE 2－AB 2＝52－42＝3，∵M 为EF 中点，∴EM ＝2.5，∴AM ＝AE －EM ＝0.5；(2)当∠BEF 是钝角时，如解图②，在Rt △CDF 中，由勾股定理可得FD ＝3，又∵M 为EF 中点，∴FM ＝2.5，∴DM ＝FD －FM ＝3－2.5＝0.5，∴AM ＝AD ＋DM ＝5＋0.5＝5.5，∴线段AM 的长为0.5或5.5.第9题解图★10. 菱形ABCD 的对角线AC ＝6 cm ，BD ＝4 cm ，以AC 为边作正方形ACEF ，则BF 的长为__________．5 cm 或73 cm 【解析】分两种情况：当点B 在正方形ACEF 内部时，如解图①，过点B 作BM ⊥AF 于点M ，则BM ＝OA ＝3 cm ，AM ＝OB ＝2 cm ，AF ＝AC ＝6 cm ，∴MF ＝6－2＝4 cm ，∴BF ＝BM 2＋MF 2＝5 cm ；当点B 在正方形ACEF 外部时，如解图②，过点B作BN ⊥AF ，交FA 的延长线于点N ，则BN ＝OA ＝3 cm ，AN ＝OB ＝2 cm ，AF ＝AC ＝6 cm ，∴NF ＝AF ＋AN ＝6＋2＝8 cm ，∴BF ＝BN 2＋NF 2＝73 cm .综上所述，BF 长为5 cm 或73 cm .第10题解图★11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，OC ＝3，OA ＝26，D 是BC 的中点，将△OCD 沿直线OD 折叠后得到△OGD ，延长OG 交AB 于点E ，连接DE ，则点G 的坐标为________．第11题图(665，35) 【解析】如解图，过点G 作GF ⊥x 轴于点F ，由折叠知，OG ＝OC ＝3，CD ＝GD ＝BD ＝6，∵∠B ＝∠DGE ＝90°，BD ＝GD ，∴Rt △BDE ≌Rt △GDE(HL )，∴EB ＝EG ，设EG ＝EB ＝x ，则AE ＝3－x ，OE ＝x ＋3，∵在Rt △AEO 中，OE 2－AE 2＝OA 2，∴(3＋x)2－(3－x)2＝(26)2，解得x ＝2，∴AE ＝3－2＝1，OE ＝3＋2＝5，∵GF ∥AE ，∴△OGF ∽△OEA ，∴GF AE ＝OG OE ＝OF OA ，即GF 1＝35＝OF 26，∴GF ＝35，OF ＝665，∴G(665，35)．第11题解图★12. 如图，菱形ABCD 的边AB ＝8，∠B ＝60°，P 是AB 上一点，BP ＝3，Q 是边CD 上一动点，将四边形APQD 沿直线PQ 折叠，点A 的对应点为A′，CA ′的长度最小时，CQ 的长为________．第12题图7 【解析】如解图，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵菱形ABCD 的边AB ＝8，∠B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形，∴CH ＝32AB ＝43，AH ＝BH ＝4，∵PB ＝3，∴HP ＝1，在Rt △CHP 中，CP ＝（43）2＋12＝7，∵四边形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点A′，∴点A′在以P 点为圆心，PA 为半径的弧上，∴当点A′在PC 上时，CA ′的值最小，∴∠APQ ＝∠CPQ ，∵CD ∥AB ，∴∠APQ ＝∠CQP ，∴∠CQP ＝∠CPQ ，∴CQ ＝CP ＝7.第12题解图★13. 正方形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，点E 是射线AB 上一点，点F 是直线AD 上一点，BE ＝DF ，连接EF 交线段BD 于点G ，交AO 于点H.若AB ＝3，AG ＝5，则线段EH 的长为________．453或253 【解析】如解图①、②所示，∵正方形的边长为3，∴AC ＝BD ＝32，OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝322，又∵AG ＝5，∴在Rt △AOG 中，由勾股定理得OG ＝22，∴BG＝2，DG ＝22，在解图①中，设EF 交BC 于点K ，易得△BKG ∽△DFG ，则BK DF ＝BG DG ＝12，设BK ＝x ，则BE ＝DF ＝2x ，∵△EBK ∽△EAF ，∴BK AF ＝BE AE ，∴x 3－2x ＝2x 3＋2x ，解得x ＝12，∴BE ＝1，AF ＝2，∴在Rt △BEK 中，EK ＝52，∵AE ＝AB ＋BE ＝4，∴EF ＝AE 2＋AF 2＝42＋22＝25，∴KF ＝EF －EK ＝352，∴GK ＝52，又∵△OGH ∽△OAG ，∴OG 2＝OH·OA ，∴OH ＝26，在Rt △OHG 中，GH ＝53，∴EH ＝EK ＋KG ＋GH ＝52＋52＋53＝453；在解图②中，设EF 交CD 于点K ，同理可得EH ＝253.第13题解图★14. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB ＝3，则菱形AECF 的面积为________．第14题图23【解析】∵四边形AECF是菱形，AB＝3，∴假设BE＝x，则AE＝3－x，CE＝3－x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO＝∠ECO，∵∠ECO＝∠ECB，∴∠ECO＝∠ECB ＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，∴CE＝2x，∴2x＝3－x，解得：x＝1，∴AE＝CE＝2，利用勾股定理得出：BC2＋BE2＝EC2，BC＝EC2－BE2＝22－12＝3，则菱形的面积是：AE·BC ＝2 3.★15. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB＝5，AC＝8.将△AOD 绕点A旋转90°得到△AO′D′，O′、D′分别是O、D的对应点，D与O′的距离为________．第15题图17或65【解析】由菱形的性质与勾股定理可得∠AOD＝90°，AO＝4，OD＝3，由旋转的性质可得AO′＝AO＝4，如解图①，将△AOD绕点A逆时针旋转得到△AO′D′时，过点D作DP⊥AO′于点P，可得四边形PAOD为矩形，∴PA＝OD＝3，PD＝OA＝4，∴PO′＝1，在Rt△DPO′中，由勾股定理可得O′D＝17；如解图②，将△AOD绕点A顺时针旋转得到△AO′D′时，分别延长DB、O′D′，延长线相交于点P，可得四边形OAO′P为正方形，∴OP＝AO′＝AO＝4，O′P＝OA＝4，∴DP＝7，在Rt△DPO′中，由勾股定理可得O′D＝65.第15题解图★16. 如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为D′，连接DD′，当△DD′C是直角三角形时，DE的长为________．第16题图52或2 【解析】如解图①，当点D′落在BC 上时，∠DCD ′＝90°，此时△DD′C 是直角三角形．依题意，得AD ＝AD′＝5，在Rt △ABD ′中，∵AB ＝4，∴BD ′＝3，∴CD ′＝2.设DE ＝x ，则EC ＝4－x ，ED′＝x ，在Rt △ECD ′中，由勾股定理得x 2＝(4－x)2＋22，解得x ＝52，∴DE ＝52；如解图②，当点D′落在以CD 为直径的半圆上时，∠DD ′C ＝90°，此时△DD′C 是直角三角形．由题意易得，DE ＝D′E ＝EC ＝12CD ＝2.综上所述，DE 的长为52或2.第16题解图★17. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠C ＝90°，AD ＝2OB ，BC ＝CD ，点O 为AD 中点，M 为BC 上任意一点，将△ABO 沿着OB 进行折叠，使得点A 的对应点为A′，当AB ＝4时，A ′M 的最小值为________．第17题图6－2 【解析】如解图，连接BD ，由折叠的性质可知AB ＝A′B ＝4，∠ABO ＝∠A′BO ，∵∠C ＝90°，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝45°，又∵AD ＝2OB ，O 是AD 的中点，∴OA ＝OB ，∠ABD ＝90°，即△ABO 是等边三角形，∴∠ABO ＝∠A′BO ＝60°，∵∠ABD ＝90°，∠CBD ＝45°，∴∠ABC ＝∠ABD ＋∠CBD ＝135°，∴∠A ′BM ＝135°－120°＝15°，当A′M ⊥BC 时，A ′M 最短，过点M 作MH ⊥A′B 于点H ，如解图，在Rt △A ′MB 中，取A′B 的中点，记作N ，连接MN ，则BN ＝MN ＝A′N ＝12×4＝2，∠A ′BM ＝∠NMB ＝15°，∴∠A ′NM ＝30°，∴MH ＝12MN ＝1，∴NH ＝MN 2－MH 2＝3，∴A ′H ＝A′N －NH ＝2－3，由勾股定理可得A′M ＝A ′H 2＋MH 2＝6－ 2.第17题解图★18. 在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＋BD ＝40，AB ＝12，点E 是BC 边上一点，直线OE 交CD 边所在的直线于点F ，若OE ＝210，则DF ＝________．18或30 【解析】分两种情况：如解图①，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，∴G 是BC 的中点．当点F 在DC 的延长线上时，延长FO 交AD 于点H ，∵四边形ABCD 是矩形，AC ＋BD ＝40，∴AC ＝BD ＝20.又∵AB ＝12，∴在Rt △ABC 中，BC ＝AD ＝AC 2－AB 2＝16，∴OG ＝12AB ＝6，CG ＝12BC ＝8.∴在Rt △OEG 中，EG ＝OE 2－OG 2＝2，∴CE ＝CG －EG ＝6.又∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OA ＝OC ，∴∠DAO ＝∠BCO ，又∵∠AOH ＝∠COE ，∴△AOH ≌△COE(ASA )，∴AH ＝CE ＝6，∴DH ＝AD －AH ＝10，∵CE ∥DH ，∴DH CE ＝DFCF，即106＝12＋CF CF ，解得CF ＝18，∴DF ＝30；如解图②，过点O 作OG ⊥BC 于点G ，当点F 在CD 的延长线上时，EF 与AD 交于点H ，同理可得DH ＝BE ＝6，由CE ∥DH ，得DH CE ＝DF CF ，即610＝DF DF ＋12，解得DF ＝18. 第18题解图★19. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE ＝3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在点B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为________．第19题图16或45 【解析】如解图①，当B′D ＝B′C 时，过B′点作GH ∥AD ，GH 交AB 于点G ，交DC 于点H ，则∠B′GE ＝90°，此时AG ＝DH ＝12DC ＝8，由AE ＝3，AB ＝16，得BE＝13.由翻折性质得B′E ＝BE ＝13，EG ＝AG －AE ＝5，∴B ′G ＝B ′E 2－EG 2＝12，∴B ′H ＝GH －B′G ＝16－12＝4，∴DB ′＝B ′H 2＋DH 2＝45；第19题解图①如解图②，当DB′＝CD 时，DB ′＝16(已知点F 在BC 上且不与点C 、B 重合)；当CB′＝CD 时，EB ＝EB′，CB ＝CB′，则点E ，C 在BB′的垂直平分线上，∴EC 垂直平分BB′，由折叠可知，F 点与C 点重合，不符合题意．综上所述，DB ′长为45或16.第19题解图②★20. 有一块矩形硬纸板，长为9 cm ，宽为8 cm ，要在硬纸板上剪下一个等腰三角形，腰长为5 cm ，且等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为________cm 2.12．5或10或7.5 【解析】四边形ABCD 是矩形，AD ＝9 cm ，AB ＝8 cm ，可分三种情况：当等腰三角形的两腰均在矩形的边上时，如解图①，在△AEF 中，AE ＝AF ＝5 cm ，S△AEF＝12AE ·AF ＝12.5 cm 2；当等腰三角形的一腰在矩形的边AB 上时，如解图②，AG ＝GH ＝5 cm .在Rt △BGH 中，BG ＝AB －AG ＝8－5＝3 cm ，根据勾股定理得BH ＝4 cm ，∴S △AGH ＝12AG ·BH ＝12×5×4＝10 cm 2；当等腰三角形的一腰在矩形的边AD 上，如解图③，AM ＝MN＝5 cm，在Rt△DMN中，MD＝AD－AM＝9－5＝4 cm，根据勾股定理得DN＝3 cm，∴S△AMN＝12AM·DN＝12×5×3＝7.5 cm2.故等腰三角形的面积为12.5或10或7.5 cm2.第20题解图。

中考数学专题复习几何探究练习(二)

中考数学专题复习几何探究练习（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．[感知]如图①，在①ABCD中，点E为CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F．求证：点E是BF的中点，点D是AF的中点；[应用]如图①，在四边形ABCD中，AD//BC，①BAD＝90°，AB＝4，AD＝3，点E是CD的中点，BE①CD，BE、AD的延长线相交于点F，则AF＝．[拓展]如图①，在①ABC中，点D是AC的中点，点E是AB上一点，1=2BEEA，BD，CE相交于点F，则EFFC＝．2．【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝12AB．证明：作邻边AB上的中线CD，则请你结合图①，将证明过程补充完整．【结论应用】如图①，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点．过点D作DE∥BC交AC于点E．则线段AB与DE的数量关系为．【拓展提升】一副三角板按图①所示摆放，得到△ABD和△BCD．其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°．点E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AB＝8cm．则EF的长为cm．3．【问题原型】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AC为直径作O．求证：点B、D在O上．请完成上面问题的证明，写出完整的证明过程．【发现结论】矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上．【结论应用】如图，已知线段2AB=，以线段AB为对角线构造矩形ACBD．求矩形ACBD面积的最大值．【拓展延伸】如图，在正方形ABCD中，2AB=，点E、F分别为边AB、CD的中点，以线段EF为对角线构造矩形EGFH，矩形EGFH的边与正方形ABCD的对角线AC交于M、N两点，当MN的长最大时，矩形EGFH的面积为_____________________4．【问题原型】如图①，四边形ABDE 、AGFC 都是正方形，AB AC >，连结CE 、BG ．求证：BG CE =．【发现结论】如图①，设图①中的直线CE 与直线BG 交于点H ．求证：EH BG ⊥．【结论应用】将图①中的正方形AGFC 绕着点A 顺时针旋转角度(0360)αα︒<<︒，在整个旋转过程中，当点E 、C 、G 三点在同一条直线上时，若3AB =，2AC =，借助图①，直接写出BG 的长．5．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．如图，在Rt△ABC中，①ACB=90°，CD是斜边AB上的中线．求证：12CD AB=．证明：延长CD至点E，使DE=CD，连结AE、BE．请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．图①【结论应用】（1）如图，在四边形ABCD中，90ABC ADC∠=∠=︒，45DAC∠=︒，30BAC∠=︒，E是AC的中点，连结BE、BD．则DBE∠的度数为°．（2）在ABC中，已知13AB=，12BC=，5CA=，D为边AB的中点，DE AB⊥且与ACB∠的平分线交于点E，则DE的长为．6．教材呈现：如图是华师版九年级上册第64页的课后习题．如图，在ABC中，点D是边AB的四等分点，//DE AC，//DF BC，8AC=，12BC=．求四边形DECF的周长．（1）请完成该题目（补充说明：题目中的点D是边AB靠近点A的四等分点）．（2）小明和小静在复习该题目时分别对这个题目进行了改编，请分别解答小明和小静提出的问题．①小明提出的问题是：如图①，在ABC中，点D是边AB靠近点A的四等分点，//DE AC，//DF BC．当四边形DECF为菱形时，求AC与BC的数量关系？①小静提出的问题是：如图①，在ABC中，点D是边AB靠近点A的四等分点，//DE AC，//DF BC，8BC=，60A∠=︒．则四边形DECF面积的最大值是___________．7．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材102﹣103页的部分内容．性质：直角三角形的斜边中线等于斜边的一半给出上述性质证明中的部分演绎推理的过程如下：已知：如图1，在①ABC中，①ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线．求证：CD＝AB证明：如图2，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE．【问题解决】请结合图3将证明过程补充完整．【应用探究】（1）如图4，在①ABC中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，DF①CE，点F 为垂足，①AEC＝78°，则①BCE为度．（2）如图5，在线段AC上有一点B，AB＝4，AC＝11，分别以AB和BC为边作正方形ABED和正方形BCFG，点E落在边BG上，连接DF，点H为DF的中点，连接GH，则GH的长为．参考答案：1．（1）证明见解析；（2）8；（3）13．【解析】【分析】（1）通过证①DEF ①①CEB ，然后结合▱ABCD 的性质可以得到所证结论成立；（2）与（1）同理可得①DEF ①①CEB ，从而有DF =BC ，结合已知可以证得四边形DFCB 是菱形，所以可得DF =BD ，由勾股定理可得BD =5，最后即可得到AF =8；（3）过A 作AG ①EC 交BD 延长线于G ，则与（1）同理可得AG =FC ，再由平行线分线段成比例可得EF EF BE FC AG BA ==，最后根据1=2BE EA 可以得到结论．【详解】解：（1）证明：①▱ABCD ，①AF ①BC ，AD =BC ，①①F =①EBC ，①在①DEF 和①CEB 中， F EBC DEF BEC DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①DEF ①①CEB ，①BE =EF ，DF =BC =AD ，①点E 是BF 的中点，点D 是AF 的中点；（2）与（1）同理可得①DEF ①①CEB ，①DF =BC ，又由已知可得DF ①BC ，①四边形DFCB 是平行四边形，①BE ①CD ，①四边形DFCB 是菱形，①DF =BD ，①①BAD ＝90°，AB ＝4，AD ＝3，①BD =5，①AF =AD +DF =3+5=8，故答案为8；（3）如图，过A作AG①EC交BD延长线于G，与（1）同理可得①ADG①①CDF，①AG=FC，①AG①EF，①EF EF BE FC AG BA==，①1=2 BEEA，①11 =123 BE BEBA BE EA==++，①13 EFFC=，故答案为13．【点睛】本题考查三角形全等的判定与应用，熟练掌握构造辅助线证三角形全等的方法、三角形全等的判定与性质、平行线分线段成比例定理、及类比的思维方法是解题关键．2．【教材呈现】见解析；【结论应用】BC＝4DE；【拓展提升】2+6．【解析】【分析】【教材呈现】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得CD=BD=AD，再证明△BCD是等边三角形，即可证明结论；【结论应用】取BC的中点，连接DF，应用（1）的结论可得BC=12AB，再证明四边形CEDF是平行四边形，应用平行四边形性质即可得到答案；【拓展提升】过点A作AG①CD交CD的延长线于点G，应用（1）的结论可得出AD，再运用解直角三角形或勾股定理求出BD，BC，AG，最后应用三角形中位线定理即可求出EF．【详解】解：【教材呈现】如图①，作斜边AB上的中线CD，则CD＝BD＝AD，①①ACB＝90°，①A═30°，①①B＝90°﹣①A═90°﹣30°＝60°，①①BCD是等边三角形，①BC＝CD＝12AB．【结论应用】如图①，取BC的中点，连接DF，①①ACB＝90°，①A＝30°，①BC＝12AB，①D，F分别是AB，BC的中点，①DF①AC，①DE①BC，①四边形CEDF是平行四边形，①DE＝CF＝12BC，①DE＝14BC，即BC＝4DE．故答案为：BC＝4DE.【拓展提升】如图①，过点A作AG①CD交CD的延长线于点G，连接AC，交EF于H，①①ADB＝①BCD＝90°，①A＝60°．①CBD＝45°，①①ABD＝30°，①AD＝12AB＝12×8＝4（cm），①BD＝AB•sin①A＝8sin60°＝43（cm），①BC＝BD•cos①CBD＝43cos45°＝26（cm），①①BDC＝90°﹣①CBD＝45°，①①ADG＝180°﹣①ADB﹣①BDC＝45°，①①G＝90°，①AG＝AD•sin①ADG＝4sin45°＝22（cm），①EF①CD，BC①CD，AG①CD，①AG①EF①BC，①点E为AB的中点，∴16cm2EH BC==，12cm2FH AG==①EF＝EH HF+=（2+6）cm；故答案为：2+6．【点睛】本题考查了直角三角形性质，特殊角三角函数值，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质等，熟练掌握直角三角形性质和平行四边形的判定与性质是解题关键．3．问题原型：见解析；结论应用：见解析；发现结论：2；拓展延伸：2【解析】【分析】问题原型：运用矩形对角线互相平分且相等，即可求证四点共圆；结论应用：根据结论矩形面积最大时为正方形，利用对角线的长求得正方形的面积；拓展延伸：由上一问的结论，可知四边形EGFH为正方形, 证明四边形AEOH是正方形，继而求得面积【详解】解：【问题原型】①AC为O直径，①OA为O半径.令OA r=.①四边形ABCE为矩形，①AC BD=，12OA OC AC==，.12OB OD BD==①OB OD OA r===.①点B、D在O上.【结论应用】连续CD交AB于点O，过点D作DE AB⊥于点E.①DE OD≤.由【发现结论】可知，点D在以AB为直径的圆上，即112OD OA AB===，①当1DE OD==即AB CD⊥时，矩形ACBD的面积最大.2AB CD==①矩形ACBD的面积最大值为22112222AB=⨯=.【拓展延伸】如图，连接GH,设AC与EF的交点为O四边形ABCD是正方形2AB∴=,90BAD ADC∠=∠=︒，//AE DF点E、F分别为边AB、CD的中点1AE EB CF FD∴====,2EF=∴四边形AEFD是矩形//EF AD∴EF AB⊥，由【结论应用】可知，2EF=时，矩形EGFH的面积最大为2122EF=此时四边形EGFH为正方形，此时MN最大，EF GH∴⊥,112EO OF OH OG EF=====∴四边形AEOH是正方形∴112AE AH AB===∴2222112EH AE AH=+=+=∴正方形EGFH的面积为：22(2)2EH==【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，灵活运用矩形，正方形的性质和判定是解题的关键．4．【问题原型】见解析；【发现结论】见解析；【结论应用】72-或7+2【解析】【分析】【问题原型】根据题意直接运用全等三角形的判定证明EAC BAG△≌△即可得出答案；【发现结论】由题意结合全等三角形的性质EAC BAG△≌△得到①AEC＝①ABG，进而通过直角三角形的互余关系进行角的等量代换即可；【结论应用】根据题意分EG在AE的右侧和EG在AE的左侧两种情况，进而利用全等三角形的判定与勾股定理进行分析计算即可.【详解】解：【问题原型】①四边形ABDE，AGFC都是正方形，①AE＝AB，AC＝AG，①EAB＝①CAG＝90︒．①①EAC+①CAB＝①GAB+①CAB＝90︒．①①EAC＝①BAG．①EAC BAG△≌△．①BG＝CE．【发现结论】如图，设EH与AB交于点O．①四边形ABDE是正方形，①①EAB＝90︒．①①AEO+①AOE＝90︒．①EAC BAG△≌△，①①AEC＝①ABG．①①BOH＝①AOE，①①OBH+①BOH＝90︒．①①OHB＝90︒．①EH①BG．【结论应用】当EG在AE的右侧时，如图：①EAC BAG△≌△，CG为正方形AGFC的对角线，①①ACG=①AGC＝45︒,①ACE=①AGB＝135︒,①①EGB＝1354590︒-︒=︒,①3AB AE==，2AC AG==，①222222CG=+=，223332BE=+=，设,22BG CE m EG m===+，则有222BG EG BE+=，得到()222218m m++=，解得72m=-或72m=--（舍去）；当EG在AE的左侧时，如图：①EAC BAG△≌△，①BG EC=，①①ACE=①AGB＝45︒,①CGB＝90︒，设EG=n，同理可得n=72-,①227272BG EC CG EG==+=+-=+,综上，BG=72-或7+2．【点睛】本题考查全等三角形的旋转问题以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及勾股定理与设参法的应用是解题的关键.5．【教材呈现】见解析；【结论应用】（1）15；（2）132 【解析】【分析】［教材呈现］倍长中线，求证四边形ACBE 为矩形，根据矩形的性质得证；［结论应用］（1）连接DE，求得DEB ∠的度数，从而求得DBE ∠；（2）以点D 为圆心，DA 为半径作圆交直线DE 于点F ，连接CF ，AF ，BF ，求证E 、F 两点重合，从而求得DE 的长．【详解】［教材呈现］证明：延长CD 到E ，使DE CD =，连接AE 、BE ，CD 是斜边AB 上的中线，AD BD ∴=，又DE CD =，∴四边形ACBE 是平行四边形又90ACB ∠=︒，ACBE ∴是矩形， CE AB ∴=，1122CD CE AB ∴==；［结论应用］解：（1）连接DE ，如下图①90ABC ADC ∠=∠=︒，E 是AC 的中点①12DE AC BE EC === 又①45DAC ∠=︒，30BAC ∠=︒①90,60DEC BEC ∠=︒∠=︒①150DEB ∠=︒①180152DEBDBE︒-∠∠==︒（2）以点D为圆心，DA为半径作圆交直线DE于点F，连接CF，AF，BF，13AB=，12BC=，5CA=．222BC CA AB∴+=，ABC∆∴为直角三角形，①DE AB⊥，∴90DBE∠=︒11904522FCB FDB∴∠=∠=⨯︒=︒，CE平分ACB∠，1452ECB ACB∴∠=∠=︒，FCB ECB∴∠=∠，AB为圆的直径，90AEB∴∠=︒，AEB∴∆是直角三角形，11322DE DF AB∴===．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质，涉及了勾股定理、圆的性质等有关内容，熟练掌握有关性质的证明和应用是解题的关键．6．（1）18；（2）①3BC AC=；① 63【解析】【分析】（1）根据点D是边AB靠近点A的四等分点，得到14AD AB=，34BD AB=，再根据DE①AC，得到△BED①△BCA，即34DE BDAC AB==由此求解即可；（2）①由（1）得34DE AC=，14DF BC=根据四边形DECF是菱形，可得DE=DF，由此求解即可；①根据①BED①①BCA，34DE BDAC AB==，即可得到916BED ABCS S=△△，同理116ADF ABCS S=△△，从而推出63=168ABC ABCDECFS S S=△△四边形，要想四边形DECF面积最大，即三角形ABC的面积最大，再根据A、B、C三点共圆，且弦BC=8，弦BC所对的圆心角度数为120°，如图所示，分别过点A作AE①BC，OF①BC，过点O作OP①AE于P，得出当且仅当A、O、F 三点共线的时候，此时AE有最大值，即三角形ABC的面积有最大值，由此求解即可．【详解】解：（1）①点D是边AB靠近点A的四等分点，①14AD AB=，34BD AB=，①DE①AC，①①BED①①BCA，①34 DE BDAC AB==，①364DE AC==，同理可以求得134DF BC==，①DE①AC，DF①BC，①四边形DECF是平行四边形，①CF=DE=6，CE=DF=3，①四边形DECF的周长=CF+DE+CE+DF=18；（2）①由（1）得34DE AC=，14DF BC=①四边形DECF是菱形，①DE=DF，①3144AC BC=，①3BC AC=；①①DE ①AC ，①①BED ①①BCA ，①34DE BD AC AB ==， ①916BED ABC S S =△△，同理116ADF ABC S S =△△， ①63=168ABC ABC DECF S S S =△△四边形， ①要想四边形DECF 面积最大，即三角形ABC 的面积最大，①BC =8，①A =60°，①可以看做A 、B 、C 三点共圆，且弦BC =8，弦BC 所对的圆心角度数为120°，如图所示，分别过点A 作AE ①BC ，OF ①BC ，过点O 作OP ①AE 于P ，①1=42ABC S BC AE AE =△，由垂径定理可知，4BF BC ==，60BOF COF ==∠∠，①83sin 3BF BO OA FOB ===∠，43=tan 3BF OF FOB =∠，则四边形OFEP 是矩形，①OF =PE ，①AE OE OF ≤+，当且仅当A 、O 、F 三点共线的时候，此时AE 有最大值，即三角形ABC 的面积有最大值， ①43AE AO OF =+=，①4=163ABC S AE =△，①3==638ABC DECF S S △四边形．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，菱形的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．7．问题解决：见解析；应用探究：（1）26︒；（2）322【解析】【分析】问题解决：根据题意证明ADC BDE ≌即可；应用探究：（1）设=BCE α∠，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边对等角可得，EDB EBD ∠=∠DEC DCE α∠=∠=，三角形的外角性质求得3AEC B ECB α∠=∠+∠=，即378α=︒；（2）延长FG 至M ，使得GM GF =，过点D 作DN MG ⊥于点N ，根据正方形的性质以及矩形的性质可得,DN MN 得到长，根据勾股定理即可求得DM ，根据中位线的性质即可求得GH 的长．【详解】问题解决：如图3，延长CD 至点E ，使DE ＝CD ，连接AE ，BECD 为斜边AB 上的中线，AD BD ∴=,DE CD =，∴四边形ACBE 是平行四边形又90ACB ∠=︒∴四边形ACBE 是矩形，∴CE AB =1122CD CE AB ∴== ∴直角三角形的斜边中线等于斜边的一半应用探究：（1）连接ED ，如图，设=BCE α∠AD 是ABC 的高AD BC ∴⊥CE 是中线AE EB ∴=∴Rt ABD △中，12DE AB AE BE === EDB EBD ∴∠=∠ 点F 是CE 的中点，DF ①CE ，DE DC ∴=DEC DCE α∴∠=∠=2EDB DEC DCE α∴∠=∠+∠=2EBD EDB α∴∠=∠=3AEC B ECB α∴∠=∠+∠=78AEC ∠=︒378α=︒26α∴=︒即26BCE ∠=︒故答案为：26（2）如图，延长FG 至M ，使得GM GF =，过点D 作DN MG ⊥于点N ，四边形,ABED BCFG 是正方形，AB ＝4，AC ＝11，则四边形DNGE 是矩形1147FG BC AC AB ∴==-=-=743MN MG NG ∴=-=-=，743DN EG BG BE ==-=-=Rt MND △中223332DM =+=MG GF =，H H 为DF 的中点，13222HG DM ∴== 故答案为：322【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．。

2018年安徽省中考数学解析版

/ ③当 EF= 5 时，四边形 BA CD 为等腰梯形；
/ ④当四边形 BA CD 为等腰梯形时，EF= 5 .
其中正确的是
A D
（把所有正确结论的序号都填在横线上）
B
第 14 题图
C
【答案】①③④。
三、解答题： 15.（2018 安徽第 15 题 8 分）计算：2sin300+(-1)2- 2 2 【解】原式 2
2 3 6
5.（2018 安徽第 5 题 4 分）已知不等式组
x 3 0 其解集在数轴上表示正确的是（ x 1 0
O 1 2 3
）
-2
-1
O
1 A 1
2
3
-2
-1
B
-2
-1
O
C
2
3
-2
-1
O
D
1
2
3
【答案】D. 6.（2018 安徽第 6 题 4 分）如图，AB∥CD,∠A+∠E=75 ,则∠C 为（ 0 0 0 0 A.60 B.65 C.75 D.80
1 x; 2
当 21≤x≤40 时，q=20+ （1）请计算第几天该商品的销售单价为 35 元/件；（2）求该网店第 x 天获得的利润 y 关于 x 的函数关系式；（3）这 40 天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
525 x
1 1 x，当 q=35 时，30+ x=35,解得 x=10 在 1≤x≤20 范围内；②对于 2 2 525 525 q=20+ ，当 q=35 时，20+ =35，解得 x=35 在 21≤x≤40 范围内。综上所述，当第 10 天或 x x

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2018年安徽中考数学专题复习几何探究题类型一与全等三角形有关的探究★1. 如图①，P 是△ABC 的边BC 上的任意一点，M 、N 分别在AB 和AC 边上，且PM ＝PB ，PN ＝PC ，则△PBM 和△PCN 叫做“孪生等腰三角形”．(1)如图②，若△ABC 是等边三角形，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明△PMC ≌△PBN ；(2)如图③，若△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”，证明：BN ＝CM ；(3)如图④，若(2)中P 点在CB 的延长线上，其他条件不变，是否依然有BN ＝CM ，若是，请证明，若不是，请说明理由．第1题图(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ，∴△PBM 和△PCN 是等边三角形， ∴∠BPM ＝∠NPC ＝60°，∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠NPC ＋∠MPN ，即∠BPN ＝∠MPC . 在△PMC 和△PBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)；(2)证明：如题图③，∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵△PBM 和△PCN 是“孪生等腰三角形”， ∴PM ＝PB ，PN ＝PC ，∴∠PBM ＝∠PMB ，∠PCN ＝∠PNC ， ∴∠BPM ＝∠CPN ，∴∠BPM ＋∠MPN ＝∠CPN ＋∠MPN ， ∴∠BPN ＝∠MPC ，在△PMC 和△PBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝∠BPN ，PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)， ∴BN ＝CM ； (3)解：是．证明：如题图④，由(2)易知∠ACB ＝∠PNC ＝∠ABC ＝∠PBM ＝∠PMB ， ∴∠MPB ＝∠NPC ，在△PMC 和△PBN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝PB ∠MPC ＝ ∠BPN ， PC ＝PN∴△PMC ≌△PBN (SAS)， ∴BN ＝CM .★2. 已知∠ABC ＝90°，点P 为射线BC 上任意一点(点P 与点B 不重合)，分别以AB 、AP 为边在∠ABC 的内部作等边△ABE 和△APQ ，连接QE 并延长交BP 于点F .(1)如图①，若AB ＝23，点A 、E 、P 恰好在一条直线上时，求此时EF 的长；(2)如图②，当点A 、E 、P 不在一条直线上时，猜想EF 与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产生新的线段)，并加以证明；(3)若AB ＝23，设BP ＝x ，以QF 为边的等边三角形的面积y ，说明等边三角形的面积y 随x 的变化情况．第2题图解：(1)∵△ABE 是等边三角形， ∴AE ＝AB ，∠BAE ＝∠ABE ＝60°. ∵∠ABC ＝90°，∴∠EBP ＝∠EPB ＝30°，∴BE ＝EP ＝AE ＝23， ∴点E 为AP 的中点， ∴∠FEP ＝90°，∴在Rt △FEP 中，EF ＝EP ·tan30°＝2， ∴EF ＝2； (2)EF ＝BF ，理由如下：∵∠BAP ＝∠BAE －∠EAP ＝60°－∠EAP ， ∠EAQ ＝∠QAP －∠EAP ＝60°－∠EAP ， ∴∠BAP ＝∠EAQ ，在△ABP 和△AEQ 中，AB ＝AE ，∠BAP ＝∠EAQ ，AP ＝AQ ， ∴△ABP ≌△AEQ (SAS)． ∴∠AEQ ＝∠ABP ＝90°. ∴∠BEF ＝180°－∠AEQ －∠AEB ＝180°－90°－60°＝30°.又∵∠EBF ＝90°－60°＝30°， ∴∠BEF ＝∠EBF ， ∴EF ＝BF ；(3)如解图，过点F 作FD ⊥BE 于点D . ∵△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝2 3. 由(2)得∠EBF ＝30°，在Rt △BDF 中，BD ＝ 3.∴BF ＝BDcos30°＝2.∴EF ＝BF ＝2.∵△ABP ≌△AEQ ， ∴QE ＝BP ＝x .∴QF ＝QE ＋EF ＝x ＋2.∴以QF 为边的等边三角形的面积 y ＝12(x ＋2)·32(x ＋2) ＝34(x ＋2)2 ＝34x 2＋3x ＋ 3. ∵BP ＝x ，x >0，∴y 随x 的增大而增大．第2题解图★3. 在△ABC 中，∠BAC 为锐角，AB >AC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D .(1)如图①，若△ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段AC ，CD ，AB 之间的数量关系； (2)如图②，BC 的垂直平分线交AD 的延长线于点E ，交BC 于点F ，连接CE ，BE ，若∠ABE ＝60°，判断AC ，CE ，AB 之间有怎样的数量关系，并加以证明； (3)如图③，BC 的垂直平分线交AD 的延长线于点E ，交BC 于点F .若AC ＋AB ＝3AE ，求∠BAC 的度数．第3题图解：(1)AB ＝AC ＋CD .【解法提示】过D 作DE ⊥AB 交AB 于点E ，如解图①所示， ∵AD 平分∠BAC ，DC ⊥AC ， ∴CD ＝DE ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED (HL)， ∴AC ＝AE ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠B ＝45°，即△BDE 为等腰直角三角形， ∴CD ＝DE ＝EB ，则AB ＝AE ＋EB ＝AC ＋CD ；第3题解图①(2)AB ＝AC ＋CE ；证明：在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，如解图②所示， ∵AD 平分∠BAC ， ∴∠CAE ＝∠BAE ，在△ACE 和△AHE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AH ∠CAE ＝∠BAE AE ＝AE， ∴△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ，∴CE ＝BE ，∴BE ＝HE ，又∵∠ABE ＝60°，∴△EHB 是等边三角形， ∴BE ＝HE ＝HB ，∴AB ＝AH ＋HB ＝AC ＋CE ；第3题解图②(3)在线段AB 上截取AH ＝AC ，连接EH ，作EM ⊥AB 于点M ，如解图③所示，同理可得△ACE ≌△AHE (SAS)， ∴CE ＝HE ，∵EF 垂直平分BC ， ∴CE ＝BE ， ∴HE ＝BE ，∴△EHB 是等腰三角形， ∴HM ＝BM ，∴AC ＋AB ＝AH ＋AB ＝AM －HM ＋AM ＋MB ＝2AM ， ∵AC ＋AB ＝3AE ， ∴AM ＝32AE ，在Rt △AEM 中，cos ∠EAM ＝AM AE ＝32，∴∠EAB ＝30°，∴∠BAC ＝2∠EAB ＝60°.第3题解图③★4. 在△ABC 中，∠ABC ＝2∠ACB ，延长AB 至点D ，使BD ＝BC ，E 是直线BC 上一点，F 是直线AC 上一点，连接DE 、EF ，且∠DEF ＝∠DBC .(1)如图①，若∠D ＝∠EFC ＝15°，AB ＝3，求AC 的长； (2)如图②，当∠BAC ＝45°，点E 在线段BC 的延长线上，点F 在线段AC 的延长线上时，求证：EF ＝DE ；(3)如图③，当∠BAC ＝90°，点E 在线段CB 的延长线上，点F 在线段CA 的延长线上时，求CFBE的值．第4题图(1)解：在△BDE 中，∠D ＋∠DBE ＋∠BED ＝180°， ∵∠BED ＋∠DEF ＋∠FEC ＝180°，∠DEF ＝∠DBC ，∠D ＝∠F ＝15°， ∴∠D ＝∠FEC ＝∠F ＝15°， ∴∠ACB ＝∠F ＋∠CEF ＝30°， ∴∠ABC ＝2∠ACB ＝60°，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，AB ＝3，∠ACB ＝30°， ∴BC ＝2AB ＝23，∴AC ＝BC 2－AB 2＝（23）2－（3）2＝3；(2)证明：如解图①，连接CD ，作EM ⊥EB 交AF 于点M ，记AF 交DE 于点O . ∵∠BAC ＝45°，∠ABC ＝2∠ACB ， ∴∠ABC ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ＝∠EMC ＝45°， ∴EM ＝EC ， ∵BD ＝BC ，∴∠BDC ＝∠BCD ＝45°， ∴∠DCE ＝∠EMF ＝135°， ∵∠DEF ＝∠DBC ＝90°，∠FCD ＝∠DCA ＝90°， ∴∠OEF ＝∠OCD ， ∵∠EOF ＝∠COD ，∴∠OFE ＝∠ODC ，即∠EFM ＝∠EDC ，在△EMF 和△ECD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM ＝∠EDC ∠EMF ＝∠DCE ，EM ＝EC∴△EMF ≌△ECD (AAS)， ∴EF ＝DE ；第4题解图①(3)解：如解图②中，连接CD 、DF ，作NE ⊥CE 交AD 的延长线于点N ，在线段CE 上取一点M ，使得FM ＝FE .∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝2∠ACB ， ∴∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°， ∵DB ＝BC ， ∴∠DBC ＝120°，∠BDC ＝∠BCD ＝30°， ∴∠DBC ＝∠DEF ＝120°，∠DCA ＝∠DCB ＋∠ACB ＝60°，∴∠DEF ＋∠DCF ＝180°， ∴E 、F 、C 、D 四点共圆， ∵∠DCE ＝∠ECF ， ∴DE ︵＝EF ︵，∴DE ＝EF ＝FM ， ∵∠NEB ＝90°，∠NBE ＝∠ABC ＝60°， ∴∠N ＝∠ACM ＝30°，∵∠DBC ＝∠BDE ＋∠DEB ＝120°，∠DEF ＝∠DEB ＋∠FEM ＝∠DEB ＋∠FME ＝120°， ∴∠BDE ＝∠FME ， ∴∠NDE ＝∠FMC ，在△EDN 和△FMC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠N ＝∠FCM ∠NDE ＝∠FMC DE ＝FM， ∴△EDN ≌△FMC (AAS)， ∴NE ＝CF ，在Rt △NEB 中， ∵∠NEB ＝90°，∠N ＝30°， ∴NE ＝3BE ， ∴CF ＝3BE . ∴CFBE＝ 3. 第4题解图②★5. 在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在直线CD 上(不与点C 、D 重合)，连接AP ，平移△ADP ，使点D 移动到点C ，得到△BCQ ，过点Q 作QH ⊥BD 于H ，连接AH ，PH .(1)如图①，若点P 在线段CD 上，求证：AH ＝PH ；(2)如图②，若点P 在线段CD 的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说明理由；(3)若点P 在线段DC 的延长线上，且∠AHQ ＝120°，正方形ABCD 的边长为2，求线段DP 的长．第5题图(1)证明：如解图①，连接HC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°，又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDP ＝∠HQC ＝45°，由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中，⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC DP ＝QC ，∴△HDP ≌△HQC (SAS)，∴HP ＝HC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ， ∴AH ＝PH ；第5题解图①(2)解：(1)中的结论仍然成立；证明：如解图②，连接HC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BDC ＝45°，又∵QH ⊥BD ，∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴HD ＝HQ ，∠HDC ＝∠HQD ＝45°， ∴∠HDP ＝∠HQC ＝135°，由平移的性质可知DP ＝CQ ，在△HDP 和△HQC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧HD ＝HQ ∠HDP ＝∠HQC ，PD ＝CQ∴△HDP ≌△HQC (SAS)， ∴HP ＝HC ，根据正方形是轴对称图形得到HA ＝HC ， ∴AH ＝PH ；第5题解图②(3)解：如解图③，由(1)知，AH＝PH，∵∠AHD＝∠CHD，第5题解图③∴∠AHP＝∠AHD＋∠DHP＝∠CHD＋∠QHC＝90°.∴∠HP A＝45°，∵∠AHQ＝120°，∴∠AHD＝∠CHD＝30°，∴∠QHP＝∠CHD＝∠CHP＝30°，∵∠HCP＝∠HDC＋∠CHD＝45°＋30°＝75°，∴∠CPH＝180°－∠HCP－∠CHP＝180°－75°－30°＝75°，∴∠APD＝30°，在Rt△ADP中，AD＝2，∴DP＝2 3.类型二与相似三角形有关的探究★1. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N.(1)图中相似三角形共有________对；(2)证明：AM2＝MN·MP；(3)若AD＝6，DC∶CP＝2∶1.求BN的长．第1题图(1)解：6.【解法提示】有△AMB ∽△PMD ，△ADM ∽△NBM ，△ABN ∽△PCN ∽△PDA ，△ABD ∽△CDB ，∴共6对相似三角形．(2)证明：∵AD ∥BC ，∴∠ADM ＝∠NBM ，∠DAM ＝∠BNM ， ∴△ADM ∽△NBM ， ∴AM MN ＝DM BM； ∵AB ∥DC ，∴∠P ＝∠BAM ，∠MDP ＝∠ABM ， ∴△PDM ∽△ABM ， ∴PM AM ＝DM BM ， ∴AM MN ＝PM AM， ∴AM 2＝MN ·MP ； (3)解：∵AD ∥BC ，∴∠PCN ＝∠PDA ，又∵∠P ＝∠P ， ∴△PCN ∽△PDA ， ∴PC PD ＝NC AD ， ∵DC ∶CP ＝2∶1， ∴PC PD ＝NC AD ＝13. 又∵AD ＝6， ∴NC ＝2，∴BN ＝BC －CN ＝6－2＝4.★2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，F 是AC 的中点，过AC 上一点D 作DE ∥AB ，交BF 的延长线于点E ，AG ⊥BE ，垂足为点G ，连接BD 、AE .(1)求证：△ABC ∽△BGA;(2)若AF ＝5，AB ＝8，求FG 的长；(3)当AB ＝BC ，∠DBC ＝30°时，求DEBD的值．第2题图(1)证明：∵∠ABC ＝90°，F 是AC 的中点，∴BF ＝12AC ＝AF ,∴∠F AB ＝∠FBA,∵AG ⊥BE, ∴∠AGB ＝90°， ∴∠ABC ＝∠AGB ， ∴△ABC ∽△BGA ； (2)解：∵AF ＝5,∴AC ＝2AF ＝10，BF ＝5， ∵△ABC ∽△BGA ， ∴AB AC ＝BG AB， ∴BG ＝AB 2AC ＝8210＝325，∴FG ＝BG －BF ＝325－5＝75；(3)解：如解图，延长ED 交BC 于点H ，则DH ⊥BC, ∴∠DHC ＝90°，∵AB ＝BC ，F 为AC 的中点， ∴∠C ＝45°，∠CBF ＝45°，∴△DHC 、△BEH 是等腰直角三角形， ∴DH ＝HC ，EH ＝BH ，设DH ＝HC ＝a ， ∵∠DBC ＝30°， ∴BD ＝2a ，BH ＝3a ， ∴EH ＝3a ， ∴DE ＝(3－1)a, ∴DE BD ＝3－12. 第2题解图★3. 如图①，在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E (点E 不与A 、B 重合)，分别连接ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 边AB 上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 边AB 上的“强相似点”.(1)如图①，若∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝40°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；(2)如图②，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，直角顶点C 在直线DE 上，分别过点A ，B 作AD ⊥DE 于点D ，BE ⊥DE 于点E . 求证：△ADC ∽△CEB .(3)如图③，AD ∥BC ，DP 平分∠ADC ，CP 平分∠BCD 交DP 于点P ，过点P 作AB ⊥AD 于点A ，交BC 于点B . 求证：点P 是四边形ABCD 边AB 上的一个强相似点．第3题图(1)解：点E 是四边形ABCD 边AB 上的相似点. 理由如下： ∵∠DEC ＝40°，∴∠DEA ＋∠CEB ＝140°， ∵∠A ＝∠B ＝40°，∴∠ADE ＋∠AED ＝140°， ∴∠ADE ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△BEC ，∴E 点是四边形ABCD 的边AB 上的相似点； (2)证明：∵∠ACB ＝90°，∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°， ∵AD ⊥DE ，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BCE ＝∠CAD ， ∵∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴△ADC ∽△CEB ； (3)证明：∵AD ∥BC ， ∴∠ADC ＋∠BCD ＝180°，∵DP 平分∠ADC ，CP 平分∠BCD ，∴∠CDP ＋∠DCP ＝12(∠ADC ＋∠BCD )＝90°，∵DA ⊥AB ，∴CB ⊥AB ，∴∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°，∵∠ADP ＝∠CDP ，∴△ADP ∽△PDC ，同理△BPC ∽△PDC ，∴△ADP ∽△PDC ∽△BPC ，即点P 是四边形ABCD 边AB 上的一个强相似点． ★4. 在△ABC 中，AB ＝a ，AC ＝b ，点D 、E 分别在AB 、AC 上． (1)如图①，若AD ＝c ，△ADE 与△ABC 相似，求AE 的长；(2)如图②，若DE ∥BC ，将△ADE 绕点A 旋转α，得到△AMN ，连接BM 、CN ，求证：△ABM ∽△ACN ；(3)在(2)的图形中，若△ABC 是直角三角形，且∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°，AB ＝2，DE 是△ABC 的中位线，如图③，请直接写出BMCN的值．第4题图(1)解：∵∠DAE ＝∠BAC ，∴分两种情况： ①若∠ADE ＝∠ABC ，则△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝AE AC， ∴ AE ＝AC ·AD AB ＝bca；②若∠ADE ＝∠ACB ，则△ADE ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AE AB， ∴AE ＝AB ·AD AC ＝acb；(2)证明：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠ABC ，∠AED ＝∠ACB ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴AD AB ＝AEAC ，∵△AMN 是由△ADE 旋转得到的， ∴AM ＝AD ，AN ＝AE ， ∴AM AB ＝AN AC， ∵∠BAM ＝∠CAN ＝α， ∴△ABM ∽△ACN ； (3)解：BM CN ＝233.【解法提示】在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝90°， ∴BC ＝1，AC ＝3，由(2)知△ABM ∽△ACN ， ∴BM CN ＝AB AC ＝23＝233. ★5. 如图①，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠ABC ＝α，过点A 作BC 的平行线与∠ABC 的平分线交于点D ，连接CD .(1)求证：AC ＝AD ；(2)点G 为线段CD 延长线上一点，将GC 绕着点G 逆时针旋转β，与射线BD 交于点E . ①如图②，若α＝β，AH ⊥BC 于点H ，求证：△DEG ∽△AHB ；②如图③，若β＝2α，DG ＝kAD ，求S △DEGS △BCD的值．(用含k 的代数式表示)第5题图(1)证明：如解图①，∵BD 平分∠ABC ， ∴∠1＝∠2.∵AD ∥BC ，∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3，∴AB ＝AD . ∵AB ＝AC ，∴AC ＝AD .第5题解图①(2)①证明：由题意可得：∠AHB ＝90°.∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α， ∴∠ACB ＝∠ABC ＝α.∴∠BAC ＝180°－2α. 由(1)得AB ＝AC ＝AD .∴点B 、C 、D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上． ∴∠BDC ＝12∠BAC ＝90°－α，∴∠GDE ＝∠BDC ＝90°－α， ∵∠G ＝β＝α＝∠ABH ， ∴∠G ＋∠GDE ＝90°. ∴∠DEG ＝∠AHB ＝90°， ∴△DEG ∽△AHB ；②解：如解图②，过A 作AH ⊥BC 于点H ，作∠DGE 的平分线GF ，交DE 于F ，由①知∠GDE ＝90°－α， ∵∠DGE ＝β＝2α， ∴∠DGF ＝α，∴∠ABC ＝∠DGF ＝α，∠DFG ＝180°－∠GDF －∠DGF ＝90°， ∴△DFG ∽△AHB .又∵GF 为∠DGE 的平分线， ∴GF 为DE 的中垂线， ∵AB ＝AD ，GD ＝kAD ， ∴S △DFG S △AHB ＝GD 2AB 2＝GD 2AD 2＝k 2，又∵S △ABC ＝S △BCD ，S △ABC ＝2S △AHB ，S △DEG ＝2S △DFG ， ∴S △DEG S △BCD＝k 2. 第5题解图②类型三与全等和相似三角形有关的探究★1. 如图，设E 、F 分别为正方形ABCD 边BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，过E 、F 分别作AC 的垂线，垂足分别为P 、Q .(1)试找出图中相似三角形(至少3对，全等除外)； (2)求证：AB 2＝AP ·AQ ；(3) 设正方形的边长为4，当P 、Q 重合时，求BE 的长．第1题图(1)解：图中相似三角形有：△ABC ∽△CQF ，△EPC ∽△ADC ，△CPE ∽△CQF ，△CQF ∽△ADC ，△ABE ∽△AQF ，△APE ∽△ADF 等(写出任意3对，即可得分)．(2)证明：∵∠BAE ＋∠EAP ＝∠EAP ＋∠QAF ＝45°， ∴∠BAE ＝∠QAF . 在△ABE 与△AQF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠QAF ∠B ＝∠AQF ＝90°， ∴△ABE ∽△AQF ， ∴AB AQ ＝AEAF. 同理，在△AEP 与△AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAP ＝∠F AD ∠EP A ＝∠D ＝90°， ∴△AEP ∽△AFD . ∴AP AD ＝AEAF ， ∴AB AQ ＝AP AD， ∵AB ＝AD ， ∴AB 2＝AP ·AQ .(3)解：如解图，当P 、Q 重合时， ∵∠EPC ＝∠FQC ＝90°， ∴E 、P 、F 在同一直线上． ∴∠ECP ＝∠FCQ ＝45°， ∴EP ＝FQ ，在△AEP 和△AFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AQ ∠APE ＝∠AQF EP ＝FQ， ∴△AEP ≌△AFP (SAS)， ∴∠EAP ＝12×45°＝22.5°，∴∠BAE ＝45°－∠EAP ＝22.5°， ∴△AEB ≌△AEP (AAS)， ∴EB ＝EP ，AB ＝AP ＝4， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠ACB ＝45°，AC ＝42，又∵EP ＝PC ，∴BE ＝PC ＝AC －AP ＝42－4.第1题解图★2. 已知：在△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝α，点D 是AB 边上任意一点，将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E .(1)如图①，当α＝60°时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系； (2)如图②，当α＝45°时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明；(3)如图③，当α为任意锐角时，依题意补全图形，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明．(用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°)第2题图解： (1)BD ＝AE ；【解法提示】如解图①，连接EC ，当α＝60°时，△ABC 、△DCE 均为等边三角形， ∴EC ＝DC ，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°， ∴∠ACB －∠ACD ＝∠DCE －∠ACD ，即∠BCD ＝∠ACE ，在△BCD 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝EC ∠BCD ＝∠ACE BC ＝AC， ∴△BCD ≌△ACE (SAS)， ∴BD ＝AE ；第2题解图①(2)BD ＝2AE ；证明：如解图②，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F .第2题解图②∵DF ∥AC ，∴∠ACB ＝∠DFB ，∵∠ABC ＝∠ACB ＝α，α＝45°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝∠DFB ＝45°. ∴△DFB 是等腰直角三角形， ∴BD ＝DF ＝22BF . ∵AE ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAE ＝180°， ∵∠DFB ＋∠DFC ＝180°， ∴∠BAE ＝∠DFC ，∵∠ABC ＋∠BCD ＝∠ADC ，∠CDE ＋∠ADE ＝∠ADC ，∠ABC ＝∠CDE ＝α， ∴∠ADE ＝∠BCD ， ∴△ADE ∽△FCD ，∴AE DF ＝AD CF . ∵DF ∥AC ， ∴BD BF ＝AD CF ， ∴AE DF ＝BD BF ＝22， ∴BD ＝DF ＝2AE ；(3)补全图形如解图③，BD ＝2cos α·AE .第2题解图③证明：连接EC ，设AC 与DE 交于点O ， ∴AE ∥BC ，∠EAC ＝∠ACB ＝α，又∵∠EDC ＝α，∴∠EAC ＝∠EDC ＝α， ∵∠AOE ＝∠DOC ， ∴△AOE ∽△DOC ， ∴AO DO ＝OE OC， ∵∠AOD ＝∠EOC ， ∴△AOD ∽△EOC ， ∴∠1＝∠2，又∵∠1＝180°－α－∠3(A 、D 、B 三点共线)， ∠4＝180°－α－∠3(三角形内角和为180°)， ∴∠1＝∠4， ∴∠2＝∠1＝∠4.又∵∠EAC ＝∠ABC ＝α， ∴△BDC ∽△AEC ， ∴BD AE ＝BC AC，又∵BCAC＝2cos α，∴BD ＝2 cos α·AE .★3. 在△ABC 中，点D 在直线AB 上，在直线BC 上取一点E ，连接AE ，DE ，使得 AE ＝DE ，DE 交AC 于点G ，过点D 作DF ∥AC ，交直线BC 于点F ，∠EAC ＝∠DEF .(1)如图①，当点E 在BC 的延长线上，求证：∠EGC ＝∠AEC ；(2)如图①，当点E 在BC 的延长线上，D 为AB 的中点，若DF ＝3，求BE 的长度； (3)当点E 在BC 上，点D 在AB 的延长线上时，如图②所示，若CE ＝10，5EG ＝2DE ，求AG 的长度．第3题图(1)证明：∵DF ∥AC ， ∴∠DFE ＝∠ACE .在△ACE 和△EFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠DEF ∠ACE ＝∠EFD AE ＝ED， ∴△ACE ≌△EFD (AAS)， ∴∠AEC ＝∠EDF . ∵DF ∥AC ，∴∠EGC ＝∠EDF ， ∴∠EGC ＝∠AEC ； (2)解：∵DF ∥AC ， ∴△BDF ∽△BAC ， ∴BF BC ＝DF AC ＝BD BA. ∵D 为AB 的中点， ∴BD BA ＝12，∴BF ＝12BC ，DF ＝12AC . ∴BF ＝CF ，AC ＝2DF ＝6，由(1)可知△ACE ≌△EFD ， ∴AC ＝EF ＝6，CE ＝FD ＝3. ∴BF ＝FC ＝EF －CE ＝3， ∴BE ＝BF ＋FE ＝9； (3)解：∵DF ∥AC ， ∴∠ACE ＝∠EFD .在△ACE 和△EFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠DEF ∠ACE ＝∠EFD AE ＝ED， ∴△ACE ≌△EFD (AAS)， ∴CE ＝FD ＝10，AC ＝EF . ∵DF ∥AC ，∴△DEF ∽△GEC ，∴EF EC ＝DF GC ＝DE GE. ∵5EG ＝2DE ，CE ＝FD ＝10， ∴EF ＝25，GC ＝4，∴AG ＝AC －GC ＝EF －GC ＝25－4＝21. ★4. (1)如图①，在△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝30°，点D ，E 分别在AB ，BC 上，且∠CDE ＝90°，EF ⊥AB 于点F ，BE ＝2AD ，求证：DE ＝CD ；(2)如图②，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在BC 上，连接AD ，E 为AD 上一点，过点E 作BC 的平行线分别交AB ，AC 于点F ，G ，连接BE ，CE ，若∠BEC ＝135°，求证：△BFE ∽△EGC ；(3)在(2)的条件下，若BD ＝2DC ，求BECE的值.第4题图(1)证明：由题意可得，∠BFE ＝∠DFE ＝90°＝∠A ＝∠CDE ， ∵∠ADC ＋∠EDF ＝∠FED ＋∠EDF ＝180°－90°＝90°， ∴∠ADC ＝∠FED . ∵∠BFE ＝90°，∠B ＝30°， ∴BE ＝2FE . ∵BE ＝2AD ， ∴FE ＝AD ，在△FED 和△ADC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FED ＝∠ADC FE ＝AD ∠DFE ＝∠CAD， ∴△FED ≌△ADC (ASA)， ∴DE ＝CD ；(2)证明：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°， ∵FG ∥BC ，∴∠AFG ＝∠ABC ＝∠ACB ＝∠AGF ＝45°， ∴∠BFE ＝∠EGC ＝135°＝∠BEC ， ∴AF ＝AG ，BF ＝GC ，∵∠GEC ＋∠BEC ＝∠GEB ＝∠BFE ＋∠FBE ， ∴∠FBE ＝∠GEC ， ∴△BFE ∽△EGC ；(3)解：由(2)知，△BFE ∽△EGC ，∴BE CE ＝BF EG ＝FE GC， ∵FG ∥BC ，∴△AFE ∽△ABD ，△AEG ∽△ADC ， ∴FE BD ＝AE AD ，AE AD ＝EG DC ， ∴FE BD ＝EG DC， ∵BD ＝2DC ， ∴FE ＝2EG ，又∵BF EG ＝FEGC ，BF ＝GC ，∴BF EG ＝2EG BF ， ∴BFEG＝2， ∴BE CE ＝BFEG＝ 2. ★5. 在矩形ABCD 中，AD ＝4，M 是AD 的中点，点E 是线段AB 上一动点，连接EM 并延长交线段CD 的延长线于点F .(1)如图①，求证：△AEM ≌△DFM ；(2)如图②，若AB ＝2，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 于点G ，求证：△GEF 是等腰直角三角形；(3)如图③，若AB ＝23，过点M 作MG ⊥EF 交线段BC 的延长线于点G ，求MGME的值.第5题图(1)证明∵ABCD 是矩形， ∴∠EAM ＝∠FDM ＝90°，∵M 是AD 的中点，∴AM ＝DM ，在△AME 和△DMF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FDB AM ＝DM ∠AME ＝∠DMF ，∴△AME ≌△DMF (ASA)；(2)证明：过点G 作GH ⊥AD 于H ，如解图①， ∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°，∴四边形ABGH 是矩形． ∴GH ＝AB ＝2， ∵M 是AD 的中点，∴AM ＝12AD ＝2，∴AM ＝GH ，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90° ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°. ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，在△AEM 和△HMG 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝GH ∠AEM ＝∠GMH ∠A ＝∠AHG，∴△AEM ≌△HMG ，∴ME ＝MG ，∴∠EGM ＝45°，由(1)得△AEM ≌△DFM ，∴ME ＝MF ，∵MG ⊥EF ，∴GE ＝GF ，∴∠EGF ＝2∠EGM ＝90°，∴△GEF 是等腰直角三角形．第5题解图①(3)解：过点G 作GH ⊥AD 交AD 延长线于点H ，如解图②， ∵∠A ＝∠B ＝∠AHG ＝90°， ∴四边形ABGH 是矩形， ∴GH ＝AB ＝23，∵MG ⊥EF ，∴∠GME ＝90°， ∴∠AME ＋∠GMH ＝90°， ∵∠AME ＋∠AEM ＝90°， ∴∠AEM ＝∠GMH ，又∵∠A ＝∠GHM ＝90°， ∴△AEM ∽△HMG ， ∴EM MG ＝AMGH，在Rt △GME 中， ∴tan ∠MEG ＝MGEM＝ 3.第5题解图②★6. 已知D 是△ABC 的BC 边上的中点，DE ⊥AB 于点E 、DF ⊥AC 于点F ，且BE ＝CF ，点M 、N 分别是AE 、DE 上的点，AN ⊥FM 于点G .(1)如图①，当∠BAC ＝90°时； ①求证：四边形AEDF 是正方形；②试问AN 与FM 之间的数量关系与四边形AEDF 的两对角线的数量关系相同吗？请证明你的结论；(2)如图②，当AF ∶DF ＝2∶1时，求AN ∶FM 的值．第6题图(1)①证明：∵∠BAC ＝90°，∠AED ＝∠AFD ＝90°， ∴四边形AEDF 是矩形，∵BD ＝DC ，∠DEB ＝∠DFC ＝90°，BE ＝CF ， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)， ∴DE ＝DF ，∴矩形AEDF 是正方形；②解：AN 与FM 之间的数量关系与四边形AEDF 的两条对角线的数量关系相同；理由：在正方形AEDF 中，AF ＝AE ，又∵AN ⊥FM 于G ，∠AMF ＝∠ANE ， ∠AEN ＝∠MAF ＝90°，∴Rt △AEN ≌△Rt △F AM (AAS)， ∴AN ＝FM ，又∵正方形AEDF 的对角线相等，∴AN 与FM 之间的数量关系与四边形AEDF 的两对角线的数量关系相同； (2)解：如解图，连接AD 、EF ，且AD 与EF 相交于点O ，设AF ＝2k ，DF ＝k ，在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ， ∵Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)， ∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ， ∴AB ＝AC ，AE ＝AF ，∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ，DF ⊥AC 于点F ，12×5k ·OF ＝2k ·k ·12，∴OF ＝255k ， ∴EF ＝455k ，又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°，∠AEO ＋∠EAO ＝∠ADE ＋∠EAD ＝180°， ∴∠EMF ＝∠DNA ，∠AEO ＝∠NDA ， ∴△FME ∽△AND ， ∴AN FM ＝AD EF ＝54. 第6题解图★7. 已知正方形ABCD 中，点E 在BC 上，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 于点G ，交CD 于点F .第7题图(1)如图①，连接AF ，若AB ＝4，BE ＝1，求AF 的长；(2)如图②，连接BD ，交AE 于点N ，连接AC ，分别交BD 、BF 于点O 、M ，连接GO ，求证：GO 平分∠AGF ；(3)如图③，在第(2)问的条件下，连接CG ，若CG ⊥GO ，求证：AG ＝2CG . (1)解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC ＝CD ＝AD ＝AB ＝4，∠ABE ＝∠C ＝∠D ＝90°， ∴∠ABG ＋∠CBF ＝90°，∵BF ⊥AE ，∴∠ABG ＋∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CBF ，在△BCF 和△ABE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠ABE BC ＝AB ∠CBF ＝∠BAE ，∴△BCF ≌△ABE (ASA)，∴CF ＝BE ＝1，∴DF ＝CD －CF ＝3， ∴AF ＝AD 2＋DF 2＝42＋32＝5； (2)证明：∵AC ⊥BD ，BF ⊥AE ， ∴∠AOB ＝∠AGB ＝∠AGF ＝90°， ∴A 、B 、G 、O 四点共圆， ∴∠AGO ＝∠ABO ＝45°， ∴∠FGO ＝90°－45°＝45°＝∠AGO ，∴GO 平分∠AGF ；(3)证明：连接EF ，如解图所示： ∵CG ⊥GO ，∴∠OGC ＝90°，∵∠EGF ＝∠BCD ＝90°， ∴∠EGF ＋∠BCD ＝180°， ∴C 、E 、G 、F 四点共圆， ∴∠EFC ＝∠EGC ＝180°－90°－45°＝45°， ∴△CEF 是等腰直角三角形，∴CE ＝CF ，同(1)得：△BCF ≌△ABE ， ∴CF ＝BE ，∴CE ＝BE ＝12 BC ，∴OA ＝12 AC ＝ 22BC ＝ 2CE ，由(1)得：A 、B 、G 、O 四点共圆，∴∠BOG ＝∠BAE ， ∵∠GEC ＝90°＋∠BAE ，∠GOA ＝90°＋∠BOG ， ∴∠GOA ＝∠GEC ，又∵∠EGC ＝∠AGO ＝45°， ∴△AOG ∽△CEG ， ∴AG CG ＝OACE＝ 2， ∴AG ＝ 2 CG .第7题解图★8. 已知点E 在△ABC 内，∠ABC ＝∠EBD ＝α，∠ACB ＝∠EDB ＝60°，∠AEB ＝150°，∠BEC ＝90°.(1)如图①，当α＝60°，求证：△ABE ≌△CBD ；(2)在(1)的条件下，连接CD ，若AE ＝1，试求BD 的长；(3)如图②，当α＝90°时，请写出BDAE的值．第8题图(1)证明：如解图①，连接DC ， ∵∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．同理△EBD 也是等边三角形，∴AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABE ＝60°－∠EBC ＝∠CBD ，在△ABE 与△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD∴△ABE ≌△CBD ；第8题解图①(2)证明：∵△ABE ≌△CBD ，∴AE ＝CD ，∠AEB ＝∠CDB ＝150°， ∴∠EDC ＝150°－∠BDE ＝90°， ∠CED ＝∠BEC －∠BED ＝90°－60°＝30°. 在Rt △EDC 中，CD ED ＝tan30°＝33，∴AE BD ＝33，∴BD ＝3AE ＝3；(3)解：如解图②，连接DC ， ∵∠ABC ＝∠EBD ＝90°，∠ACB ＝∠EDB ＝60°， ∴△ABC ∽△EBD ， ∴AB EB ＝BC BD ，即AB BC ＝EB BD，又∵∠ABE ＝90°－∠EBC ＝∠CBD ，∴△ABE ∽△CBD ，∠AEB ＝∠CDB ＝150°， ∴AE CD ＝BEBD， ∴∠EDC ＝150°－∠BDE ＝90°，∠CED ＝∠BEC －∠BED ＝90°－(90°－∠BDE )＝60°，设BD ＝x ，则在Rt △EBD 中，DE ＝2x ，BE ＝3x ，在Rt △EDC 中，CD ＝DE ·tan60°＝23x ， ∴AE ＝CD ·BE BD ＝23x ·3x x ＝6x ＝6BD ，即BD AE ＝16. 第8题解图②★9. 在锐角△ABC 中，AB ＝6，BC ＝11，∠ACB ＝30°，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到△A 1BC 1.(1)如图①，当点C 1在线段CA 的延长线上时，∠CC 1A 1＝________°； (2)如图②，连接AA 1，CC 1. 若△ABA 1的面积为24，求△CBC 1的面积；(3)如图③，点E 为线段AB 中点，点P 是线段AC 上的动点，在△ABC 绕点B 逆时针旋转过程中，点P 的对应点是P 1，求在旋转过程中，线段EP 1长度的最大值与最小值的差.第9题图(1)解：60；【解法提示】由旋转得：∠A 1C 1B ＝∠C ＝30°，BC ＝BC 1， ∴∠C ＝∠BC 1C ＝30°， ∴∠CC 1A 1＝60°.(2)解：∵△ABC ≌△A 1BC 1，∴BA ＝BA 1，BC ＝BC 1，∠ABC ＝∠A 1BC 1， ∴BA BC ＝BA 1BC 1， ∵∠ABA 1＝∠CBC 1， ∴△ABA 1∽△CBC 1， ∴S △ABA 1S △CBC 1＝(AB BC)2＝(611)2＝36121，∵S △ABA 1＝24， ∴S △CBC 1＝2423；(3)解：如解图，过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴点D 在线段AC 上，在Rt △BCD 中，BD ＝BC ·sin30°＝5.5，以B 为圆心，BD 长为半径画圆交AB 于点P 1′，BP 1有最小值BP 1′. ∴EP 1的最小值为5.5－3＝2.5，以B 为圆心，BC 长为半径画圆交AB 的延长线于点P 1″，BP 1有最大值BP 1″. 此时EP 1的最大值为11＋3＝14，∴线段EP 1的最大值与最小值的差为14－2.5＝11.5.第9题解图★10. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 与AD 相交于F .过F 作FG ⊥BE ，过A 作AG ⊥AB ，AG 与FG 相交于G .(1)如图①，若AC ＝5，DF ＝3，求AB 的长； (2)证明：△BFG 是等腰直角三角形；(3)如图②，当BD ＝2CD 时，连接CF 并延长，分别交AB ，BG 于点H ，I ，求AHHI的值．第10题图(1)解：在△ABD 中，∠ABD ＝45°，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠ABD ＝45°， ∴BD ＝AD ， ∵BE ⊥AC 于E ，∴∠AEB ＝∠BDA ＝90°， ∵∠AFE ＝∠BFD ， ∴∠F AE ＝∠FBD ，在△BFD 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠FBD ＝∠CAD ∠FDB ＝∠CDA BD ＝AD， ∴△BFD ≌△ACD ， ∴BF ＝AC ＝5，在Rt △BDF 中，由勾股定理得BD ＝BF 2－DF 2＝52－32＝4，在Rt △ABD 中，AB ＝BD cos ∠ABD ＝4cos45°＝42；第10题解图(2)如解图，过F 作FP ∥BC 交AB 于点P ，则∠AFP ＝∠ADB ＝90°， ∠APF ＝∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝45°， ∴∠FP A ＝∠F AP ， ∴PF ＝AF . ∵∠BFG ＝90°， ∴∠AFP ＝∠BFG ，∴∠AFG ＋∠GFP ＝∠GFP ＋∠PFB ， ∴∠AFG ＝∠PFB ，设FG 交AB 于Q ， ∵∠GAB ＝∠GFB ＝90°，∠AQG ＝∠FQB ， ∴∠AGQ ＝∠FBQ ，在△AFG 和△PFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFG ＝∠PFB ∠AGF ＝∠PBF AF ＝PF， ∴△AFG ≌△PFB (AAS)， ∴GF ＝BF ， ∵BF ⊥GF ，∴△BFG 是等腰直角三角形；(3)解：∵三角形的三条高交于一点，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴CH ⊥AB ， ∵∠ABD ＝45°， ∴BH ＝CH . ∵BD ＝2CD ，设CD ＝m ，则BC ＝3m ， ∴BH ＝CH ＝322m ，在Rt △ABD 中，BD ＝AD ＝2m ，∴AB ＝22m ， ∴AH ＝AB －BH ＝22m －322m ＝22m .由(2)知△BFG 是等腰直角三角形，∴∠GBF ＝45°＝∠ABD ， ∴∠IBH ＝∠EBC ，。