垂直于弦的直径

补标
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作业：
课课练-----------课时2
AC A
•O D
•O C ED
在圆中研究有关弦的问题时，常过
圆心作垂直于弦的垂线段，利用垂 径定理来证明线段相等、弧相等, 利用勾股定理列方程进行计算. B 1、同心圆O中，大圆的直径
AB交小圆于点C、D，请问 AC=BD吗？ 2、如果把AB向下平移，弦 AB仍然交小圆于点C、D， 此时图中还有哪些相等的线 段？为什么？
动动脑筋
已知：在⊙O中，AB是直径， CCED＝是D弦E，，AA⌒BC⊥＝CA⌒DD，，垂B⌒足C＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OC、OD，则OC＝OD。 C 因为垂直于弦CD的直径AB所在的 直线既是等腰三角形OCD的对称轴 又是⊙ O的对称轴。所以，当把圆 沿着直径AB折叠时，AB两侧的两 个和B⌒D半D重E圆重合重合。合，因⌒，A此CC点、⌒和BCD分点别重和合⌒A，DC、E CE＝DE，A⌒C＝A⌒D，B⌒C＝B⌒D
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且
O AE B
垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。 O
AE
B
4.如图：在中⊙O，AB=8cm,半径OC⊥AB于 点E,且OE=2CE。 求OC的长。
5.如图：在中⊙O，弦AB分别交OC,OD于点 M,若∠AMC=∠BND求证：AM=BN
O AM NB
C
D
O A EB
D
B
学标
D
在下列图形中，你能否利用垂径定 理找到相等的线段或相等的圆弧
A
B
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A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
O
O
E
C
D
AE
BA
E
B
B
D
C
议标：
•O
已知如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm，若圆心O到AB 的距离为3 cm，则⊙O 的半 径为 5 cm.
ACB
求圆中有关线段的 长度时,常借助垂径 定理转化为直角三 角形,从而利用勾股 定理来解决问题.
若两圆半径分别为5cm
B 和3 2cm，弦AB=8cm,
则AC= 1 cm. 若AB=8cm,CD=4cm,则图中圆
环面积=
练标
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是2 3cm。
O AE B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
C
思考题．已知⊙O的直径是５０ cm，⊙O的两条平
行弦AB=４０ cm ，CD=４８cm，
求弦AB与CD之间的距离。
.
过点Ｏ作直线ＯＥ⊥ＡＢ，交ＣＤ于Ｆ,交AB于E.
E
A
20
25
15
B
A
C 25 24 O7
D
C
F
E
B
.F
D
O
AB、ＣＤ在点O两侧 ＥＦ＝ＯＥ＋ＯＦ＝１５＋７＝２２ AB、ＣＤ在点O同侧 ＥＦ＝ＯＥ－ＯＦ＝１５－７＝８
A
.O
E
D
B
叠 合 法
示标：垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
｝｛ （1）过圆心（直径）
（2）垂直于弦
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
几何语言：
∵AB为⊙O直
径, CD是 弦
A
且AB⊥CD
∴CE=DE
A⌒C＝A⌒D B⌒C＝B⌒D
O
E
C
24.1.2 垂直于弦的直径
支口实验学校 王志江
圆是轴对称图 形，任何一条直径 所在直线都是它的 对称轴。
引标
问题1：作⊙O的直径AB，然后
A
沿着AB对折⊙O，会出现什么
现象，说明了什么？
问题2：在⊙O上取一点C，作
CE⊥AB，垂足为E，CE交⊙O于
D，那么直径AB又有什么性质 呢？
C
O
E
D
B
⌒ ⌒ CE＝DE ， AC＝AD， B⌒C＝⌒BD