热力学第一定律对理想气体的应用

§2.2 热力学第一定律对理想气体的应用

2．2．1、等容过程 气体等容变化时，有=T P 恒量，而且外界对气体做功0=∆-=V p W 。根据

热力学第一定律有△E=Q 。在等容过程中，气体吸收的热量全部用于增加内能，温度升高；反之，气体放出的热量是以减小内能为代价的，温度降低。p V i T C n E Q V ∆⋅⋅=∆⋅=∆=2 式中R i T E v T Q C V ⋅=∆∆=∆=2)(。

2．2．1、等压过程

气体在等压过程中，有=T V 恒量，如容器中的活塞在大气环境中无摩擦地自

由移动。

根据热力学第一定律可知：气体等压膨胀时，从外界吸收的热量Q ，一部分用来增加内能，温度升高，另一部分用于对外作功；气体等压压缩时，外界对气体做的功和气体温度降低所减少的内能，都转化为向外放出的热量。且有T nR V p W ∆-=∆-=

T nC Q p ∆=

V p i T nC E v ∆⋅=∆=∆2

定压摩尔热容量p C 与定容摩尔热容量V C 的关系有R C C v p +=。该式表明：

1mol 理想气体等压升高1K 比等容升高1k 要多吸热8.31J ，这是因为1mol 理想气体等压膨胀温度升高1K 时要对外做功8.31J 的缘故。

2．2．3、等温过程

气体在等温过程中，有pV =恒量。例如，气体在恒温装置内或者与大热源想接触时所发生的变化。

理想气体的内能只与温度有关，所以理想气体在等温过程中内能不变，即△E =0，因此有Q=-W 。即气体作等温膨胀，压强减小，吸收的热量完全用来对外界做功；气体作等温压缩，压强增大，外界的对气体所做的功全部转化为对外放出的热量。2．2．4、绝热过程

气体始终不与外界交换热量的过程称之为绝热过程，即Q=0。例如用隔热良好的材料把容器包起来，或者由于过程进行得很快来不及和外界发生热交换，这些都可视作绝热过程。理想气体发生绝热变化时，p 、V 、T 三量会同时发生变化，仍遵循=T pV 恒

量。根据热力学第一定律，因Q=0，有

)(21122V p V p i T nC E W v -=∆=∆=

这表明气体被绝热压缩时，外界所作的功全部用来增加气体内能，体积变小、温度升高、压强增大；气体绝热膨胀时，气体对外做功是以减小内能为代价的，此时体积变大、温度降低、压强减小。气体绝热膨胀降温是液化气体获得低温的重要方法。例：0.020kg 的氦气温度由17℃升高到27℃。若在升温过程中，①体积保持不变，②压强保持不变；③不与外界交换热量。试分别求出气体内能的增量，吸收的热量，外界对气体做的功。气体的内能是个状态量，且仅是温度的函数。在上述三个过程中气体内能的

增量是相同的且均为：

J T nC E v 6231031.85.15=⨯⨯⨯=∆=∆

① 等容过程中0=W ，J E Q 623=∆=

② 在等压过程中T R C n T nC Q V P ∆+=∆=)(

J 310039.11031.85.25⨯=⨯⨯⨯=

J Q E W 416-=-∆=

③ 在绝热过程中0=Q ，J E W 623=∆=

1mol 温度为27℃的氦气，以1100-⋅s m 的定向速度注入体积为15L 的真空容器中，容器四周绝热。求平衡后的气体压强。平衡后的气体压强包括两部分：其一是温度27℃，体积15L 的2mol 氦气的压强0p ；其二是定向运动转向为热运动使气体温度升高△T 所导致的附加压强△p 。即有V T R n T V R n p p p ∆⋅+⋅=∆+=00

氦气定向运动的动能完全转化为气体内能的增量：

T R n mv ∆⋅=23212 ∴

V v M V RT n p 32

0+⋅=a a P P 535103.3)107.1103.3(⨯≈⨯+⨯= 2．2．5、其他过程

理想气体的其他过程，可以灵活地运用下列关系处理问题。

气态方程：nRT pV =

热力学第一定律：T nC Q W E V ∆⋅=+=∆

功：W=±(ρ-V 图中过程曲线下面积)

过程方程：由过程曲线的几何关系找出过程的P ～V 关系式。若某理想气体

经历V-T 图中的双曲线过程，其过程方程为：VT=C 或者

C pV =2 2．2．6、绝热过程的方程

绝热过程的状态方程是

u u V P V P 211=其中v p C C u /=

2．2．7、循环过程

系统由某一状态出发，经历一系列过程又回到原来状态的过程，称为循环过程。热机循环过程在P-V 图上是一根顺时针绕向的闭合曲线(如图2-2-1)。系统经过循环过程回到原来状态，因此△E=0。由图可见，在ABC 过程中，系统对外界作

正功，在CDA 过程中，外界对系统作正功。在

热机循环中，系统对外界所作的总功：='W (P-V 图中循环曲线所包围的面积)而且由热力学第一定律可知：在整个循环中系统绕从外界吸收的热量总和1Q ，必然大于放出的热量总和2Q ，而且W Q Q '=-21

热机效率表示吸收来的热量有多少转化为有用的功，是热机性能的重要标志之一，效率的定义为

12

11Q Q Q W -='=η＜1

例1一台四冲程内燃机的压缩比r =9.5，热机抽出的空气和气体燃料的温度为

图2-2-1

27℃，在larm=KPa 310压强下的体积为0V ，如图2-2-2所示，从1→2是绝热压

缩过程；2→3混合气体燃爆，压强加倍；从3→4活塞外推，气体绝热膨胀至体积05.9V ；这是排气阀门打开，压强回到初始值larm(压缩比是气缸最大与最小体积比，γ是比热容比)。(1)确定状态1、2、3、4的压强和温度；(2)求此循环的热效率。分析：本题为实际热机的等容加热循环——奥托循环。其热效率取决于压缩比。

解：对于绝热过程，有='V p 恒量，结合状态方程，有1-r TV

恒量。

(1)状态1，atm p 11=，K T 3001= 101102)(--=γγrV T V T

得K T 3.738461.23002=⨯=，atm p 38.232=

在状态3，atm p p 76.46223==，K T T 6.1476223==

用绝热过程计算状态4，由1

03104)(--=γγγV T V T 得K T 6004=,atm p 24=。

(2)热效率公式中商的分母是2→3过程中的吸热，这热量是在这一过程中燃烧燃料所获得的。因为在这一过程中体积不变，不做功，所以吸收的热量等于气体内能的增加，即)(23T T m C V -，转化为功的有用能量是2→3过程吸热与4→1过程放热之差：)()(1413T T m C T T m C V V -+-

热效率为：

2

3142342311)()(T T T T T T m C T T T T m C V V --+=---+=η