函数图像中的面积问题
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中考数学专题复习
------函数图象中的面积问题
晋江市松熹中学 赖素新
1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图 形的面积，并能用函数图象的性质解决相关 问题； 2.领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想 在函数问题中的应用.
1.直线y=-3x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，
6 则△ABO的面积是________ ．
对称，则反比例函数 y 组成的阴影部分的面积等于_______ π （结果保留π）．
k 的图象与⊙A、⊙B相交 x
例1.如图，直线y=-3x+6交x轴、y轴于A、B两点，直线y=x+2交
x轴、y轴于C、D两点,两直线交于点E.求四边形ODEA的面积．
y=-3x+6 y=x+2
D
E
C
F
k 例2．如图，已知点A在x轴上,∠0AB=90°,双曲线 y 与AB交 x 于点C,与OB交于点D.
S△NBC m m 2 2
3 3 27 (m ) 2 2 2 8
(-1,0) A O
B (3,0)
3 当m 时， 2
x
2 27 y=-x +2x+3 S△NBC 最大值为 8
解：S
△NBC
S四边形NBOC S△BOC
y
C
S梯形NHOC S△BHN S△BOC
(0,3) 1 1 1 （OC NH） OH BH NH OC OB 2 2 2
N
3 2 9 m m 2 2
(-1,0)A O
3
B(3,0) H
x
y=-x2+2x+3
解：过点C作CG⊥NF，垂足为点G，
由B、C两点的坐标可求得yBC= -x+3 ∴点N的坐标(m,-m2+2m+3);点F的坐标为（m,-m+3）
B (3,0)
x
y=-x2+2x+3
分析: yBC=-x+3 yMN=-x+b y抛物线=-x2+2x+3
M
判别式b2-4ac=0
- x2+2x+3=-x+b
y
(0,3)C
21 b 4
N
N
y MN x
21 4
(-1,0) A O
B (3,0)
y抛物线=-x2+2x+3
3 15 N点坐标为（ ， ） . 2 4 2+2x+3 27 y=-x S△ NBC 8
(1)若 若点 的坐标为 ，点 为OB中点，求△ 的面积. (2) ODB ： DB=1：2(6,4) ，若△ OBAD 的面积等于 9，求AOC k的值。 分析：OD:DB=1:2
OD:OB=1:3
(3,2)
面积比=1:9 S△OBA=9 S△ODE=1
E
(6,4)
6 y x
K=2
例3.已知二次函数y=-x2+2x+3的图像分别交x轴、y轴于A、B、 C三点. （1）若D为抛物线上的一动点(点D与点C不重合)，且 S△ABD=S△ABC；求点D的坐标.
第1题
第2题
3.如图，抛物线 y
y轴交于C点，若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
1 2 3 x x 2 的图象与x轴交于A、B两点，与 2 2
M点坐标为﹙2，－3﹚时 △MBC的面积最大值为4
伟大的成功和辛勤的劳动是成正比 例关系的，有一分劳动，就会有一分收 获。双手向上就是开口向上的抛物线。 它告诉我们人生就如同抛物线，要一步 一步向上努力，不要放弃，虽然道路弯 曲，但最终定能看到广阔的天空。人生 哲理，一切尽在函数中…
x
本节课你有哪些收获？
1.如图，直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C，两直线与y轴交
于A、B两点.则S△ABC=____________ . 2
2.如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别 4 6 与反比例函数 y 和 y 的图象交于A、B两点．若点C是y x x 轴上任意一点，连接AC、BC，则S△ABC=_________ . 5
y
(0,3) C
D1 ( 2 ,3 )
(-1,0) A
o
D3 ( 1 7,-3 )
B (3,0)
x
D2
( 1 7 ,-3 )
例3.已知二次函数y=-x2+2x+3的图象分别交x轴、y轴于A、B、 C三点. （2）已知点N为二次函数图象上的一个动点，且点N在直线 BC的上方（点N与B、C不重合），设点N的横坐标为m. ①用含m的代数式表示△NBC面积; y N ②求△NBC面积的最大值. (0,3)C 3 2 9
2.二次函数y=-x2+2x+3的图象交x轴于A、B 6 两点，交y轴于点C，△ABC的面积为_______.
k 的图象如图所示， x
D
3.反比例函数 y
点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，
-4. 4.如图，已知半径为1的⊙A、⊙B关于原点O中心
NF= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m
S
△NBC
S△CNF S△BFN
1 1 NF CG NF BH 2 2
y=-x+3 y (0,3)C
N
G
1 NF (CG BH ) 2
F (-1,0)A O
H
1 NF OB 2 1 ( m 2 3m) 3 2 3 2 9 m m 2 2
------函数图象中的面积问题
晋江市松熹中学 赖素新
1.学会用代数法表示与函数图象相关的几何图 形的面积，并能用函数图象的性质解决相关 问题； 2.领会转化、数形结合、分类讨论的数学思想 在函数问题中的应用.
1.直线y=-3x+6的图象与坐标轴交于A、B两点，
6 则△ABO的面积是________ ．
对称，则反比例函数 y 组成的阴影部分的面积等于_______ π （结果保留π）．
k 的图象与⊙A、⊙B相交 x
例1.如图，直线y=-3x+6交x轴、y轴于A、B两点，直线y=x+2交
x轴、y轴于C、D两点,两直线交于点E.求四边形ODEA的面积．
y=-3x+6 y=x+2
D
E
C
F
k 例2．如图，已知点A在x轴上,∠0AB=90°,双曲线 y 与AB交 x 于点C,与OB交于点D.
S△NBC m m 2 2
3 3 27 (m ) 2 2 2 8
(-1,0) A O
B (3,0)
3 当m 时， 2
x
2 27 y=-x +2x+3 S△NBC 最大值为 8
解：S
△NBC
S四边形NBOC S△BOC
y
C
S梯形NHOC S△BHN S△BOC
(0,3) 1 1 1 （OC NH） OH BH NH OC OB 2 2 2
N
3 2 9 m m 2 2
(-1,0)A O
3
B(3,0) H
x
y=-x2+2x+3
解：过点C作CG⊥NF，垂足为点G，
由B、C两点的坐标可求得yBC= -x+3 ∴点N的坐标(m,-m2+2m+3);点F的坐标为（m,-m+3）
B (3,0)
x
y=-x2+2x+3
分析: yBC=-x+3 yMN=-x+b y抛物线=-x2+2x+3
M
判别式b2-4ac=0
- x2+2x+3=-x+b
y
(0,3)C
21 b 4
N
N
y MN x
21 4
(-1,0) A O
B (3,0)
y抛物线=-x2+2x+3
3 15 N点坐标为（ ， ） . 2 4 2+2x+3 27 y=-x S△ NBC 8
(1)若 若点 的坐标为 ，点 为OB中点，求△ 的面积. (2) ODB ： DB=1：2(6,4) ，若△ OBAD 的面积等于 9，求AOC k的值。 分析：OD:DB=1:2
OD:OB=1:3
(3,2)
面积比=1:9 S△OBA=9 S△ODE=1
E
(6,4)
6 y x
K=2
例3.已知二次函数y=-x2+2x+3的图像分别交x轴、y轴于A、B、 C三点. （1）若D为抛物线上的一动点(点D与点C不重合)，且 S△ABD=S△ABC；求点D的坐标.
第1题
第2题
3.如图，抛物线 y
y轴交于C点，若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC 的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
1 2 3 x x 2 的图象与x轴交于A、B两点，与 2 2
M点坐标为﹙2，－3﹚时 △MBC的面积最大值为4
伟大的成功和辛勤的劳动是成正比 例关系的，有一分劳动，就会有一分收 获。双手向上就是开口向上的抛物线。 它告诉我们人生就如同抛物线，要一步 一步向上努力，不要放弃，虽然道路弯 曲，但最终定能看到广阔的天空。人生 哲理，一切尽在函数中…
x
本节课你有哪些收获？
1.如图，直线y=2x+3与直线y=-2x-1交于点C，两直线与y轴交
于A、B两点.则S△ABC=____________ . 2
2.如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别 4 6 与反比例函数 y 和 y 的图象交于A、B两点．若点C是y x x 轴上任意一点，连接AC、BC，则S△ABC=_________ . 5
y
(0,3) C
D1 ( 2 ,3 )
(-1,0) A
o
D3 ( 1 7,-3 )
B (3,0)
x
D2
( 1 7 ,-3 )
例3.已知二次函数y=-x2+2x+3的图象分别交x轴、y轴于A、B、 C三点. （2）已知点N为二次函数图象上的一个动点，且点N在直线 BC的上方（点N与B、C不重合），设点N的横坐标为m. ①用含m的代数式表示△NBC面积; y N ②求△NBC面积的最大值. (0,3)C 3 2 9
2.二次函数y=-x2+2x+3的图象交x轴于A、B 6 两点，交y轴于点C，△ABC的面积为_______.
k 的图象如图所示， x
D
3.反比例函数 y
点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，
-4. 4.如图，已知半径为1的⊙A、⊙B关于原点O中心
NF= -m2+2m+3-(-m+3)= -m2+3m
S
△NBC
S△CNF S△BFN
1 1 NF CG NF BH 2 2
y=-x+3 y (0,3)C
N
G
1 NF (CG BH ) 2
F (-1,0)A O
H
1 NF OB 2 1 ( m 2 3m) 3 2 3 2 9 m m 2 2