108年数学科指考全方位解析-(乙)

108年大學指考數學科試題分析與展望

壹、108年數學指考(乙)試題整體分析

本年度試題著重觀念的理解和運用，並融入生活情境，例如多選7以上班通勤使用不同交通工具的速度來估測時間，而像多選6如何購買到不同組合的公仔，第二部份第2題汽機車停放格大小跟成本利潤的概念等，主要皆在評量數學觀念理解與生活應用。

此份試題出題由淺入深，在單選題的評量皆是以單一章節或概念為主，多選題許多問題在評量能否使用數學策略進行判斷，例如多選5、多選6，以列表格的方式最能快速釐清問題本質；非選擇題則考驗學生主動用數學式表達解題過程的能力，不太需要記憶過多公式，也避免刁鑽計算，只要把握基本概念即可作答。

此份試卷最容易下手的還是選填題，幾乎都只需要一個觀念即可得到答案，偏重測驗數學基本認知，也鼓勵學生不要放棄數學。

貳、題目分布：

(1) 108年指考(乙)冊別範圍分布

冊別第一冊第二冊第三冊第四冊選修(上) 選修(下)

占分22 32 32 6 8 0

(2) 102–107年指考(乙)各單元範圍分布

參、試題解析

第壹部分﹕選擇題（單選題、多選題及選填題共占74分） 一、單選題（占18分）

答 案：(3)

難易度：易

出 處：第一冊－數與數線 解 析：

120.1299a ==

，10.0199b ==， 則111

0.1999

a b -=

==。

2. 坐標平面上，直線2y x =與直線35y x =-+將坐標平面分割成四個區域。試問下列哪一個選項中的點會和點(1,1)在同一個區域？ (1) ()20,56- (2) ()13,33- (3) ()1,1- (4) ()15,29-- (5) ()20,29--

答 案：(1) 難易度：中

出 處：第三冊－線性規劃

解 析：

利用同側則同號之原理可得(20,56)-與(1,1)為同區域。

3. 若向量12(,)A a a =，向量12(,)B b b =，且內積1A B ⋅=，則矩陣乘積121122a a b a a b ⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦等於下列哪一個

選項？ (1) []11 (2) []22

(3) 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦

(4) 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦

(5) 1111⎡⎤⎢⎥⎣⎦

答 案：(3) 難易度：中

出 處：第四冊－矩陣的運算 解 析：

1A B ⋅=

11221a b a b ⇒+=

1211122122112211a a b a b a b a a b a b a b +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦

⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

二、多選題（占32分）

答 案：(2)(3) 難易度：中

出 處：第一冊－指數與對數的應用 解 析：

由題：10log 111log 2ab a

b ≤<⎧⎪

⎨≤<⎪⎩ 11log log

13a

ab b

⇒≤+≤ 11log()13a

ab b

⇒≤⨯≤

211log()13a ⇒≤≤ 112log 13a ⇒≤≤

1113log 22

a ⇒

≤≤ 則a 的對數值，首數為5或6，a ∴可能為6或7位數。

答案：(2)(4)

難易度：難

出處：第二冊－排列、組合

解析：

(1)中心放 ，三個 放邊，會使某行（或某列）同為 ，而違反規則。

(2)中心放 ，要二角或二邊放 才有可能合於規則。

(3)中心放 ，亦有可能一角、兩邊放 而合於規則，例：

(4)中心放 ，則二角與二邊必放 有2類

可轉四個方向

可轉四個方向

則共2（類）4

=（法）。

⨯（方向）8

(5)中心放 ，有類：

（一角二邊）與

（二角一邊）

各可轉四個方向，則共2（類）4

=（法）。

⨯（方向）8

6.某商店出售10種不同款式的公仔。今甲、乙、丙三人都各自收集公仔。試選出正確的選項。

(1)若甲、乙兩人各自收集6款公仔，則他們兩人合起來一定會收集到這10款不同的公仔

(2)若甲、乙兩人各自收集7款公仔，則至少有4款公仔是兩人都擁有

(3)若甲、乙、丙三人各自收集6款公仔﹐則至少有1款公仔是三人都擁有

(4)若甲、乙、丙三人各自收集7款公仔﹐則至少有2款公仔是三人都擁有

(5)若甲、乙、丙三人各自收集8款公仔﹐則至少有4款公仔是三人都擁有

答案：(2)(5)

難易度：難

出處：第二冊－邏輯、集合與計數原理

解析：

(1)列出交集最少與最多的表格：

聯集最多：

聯集最少：

則6()10

≤⋃≤。

n A B

(2)交集最少：

交集最多：

則4()7

甲乙。

≤⋂≤

n

(3)交集最少：

交集最多：

則0()6

甲乙丙。

n

≤⋃⋃≤(4)交集最少：

交集最多：

則1()7

甲乙丙。

n

≤⋂⋂≤(5)交集最少：

交集最多：

答 案：(3)(4) 難易度：中偏難

出 處：第二冊－機率的定義與性質 解 析： (1) 無法確定

(2) 反例：腳踏車5天，每天40分鐘，則共200分鐘。

但若4天腳踏車每天30分鐘，1天步行60分鐘，則共180分鐘。 (3) 設x 天步行，y 天腳踏車

5

60250x y x Ty +=⎧⇒⎨

+=⎩

則合於條件唯一可能(,)(3,2)x y =。 (4) 通勤時間至少90分鐘有兩種： (步行,步行)或(步行,腳踏車)

21113

()2!0.752224

p ⇒=+⨯⨯==

註：兩天腳踏車有可能不到90分鐘。