专题18 立体几何综合-2018年全国1卷理科数学高考题相似模拟题分类汇编解析版

专题18 立体几何综合

【母题原题1】【2018新课标1，理18】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.

点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解，属于常规题目，在解题的过程中，需要明确面面垂直的判定定理的条件，这里需要先证明线面垂直，所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系，从而证得结果；对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成，注意相对应的等量关系即可.

【母题原题2】【2017新课标1，理18】

如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.

(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;

(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C的余弦值.

【解析】(1)由已知∠BAP=∠CDP=90°,得AB⊥AP,CD⊥PD.

由于AB∥CD,故AB⊥PD,从而AB⊥平面PAD.

又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.

(2)

在平面PAD内作PF⊥AD,垂足为F.

由(1)可知,AB⊥平面PAD,故AB⊥PF,可得PF⊥平面ABCD.

以F为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.

由(1)及已知可得A,P,B,C.

【母题原题3】【2016新课标1，理18】

如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

(Ⅰ)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.

【解析】 (Ⅰ)由已知可得AF⊥DF,AF⊥FE,

所以AF⊥平面EFDC.

又故平面ABEF⊥平面EFDC.

(Ⅱ)过D作DG⊥EF,垂足为G,由(Ⅰ)知DG⊥平面ABEF.

以G为坐标原点,的方向为x轴正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.

由(Ⅰ)

故∠DFE=60°,则|DF|=2,|DG|=,

可得A(1,4,0),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0,).

设

则

所以可取n=(3,0,-).

设则

同理可取m=(0,,4),

则cos==-.

故二面角E-BC-A的余弦值为-.

【命题热点】从近几年的高考试题来看,线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、二面角等是高考的热点,题型既有选择题、填空题又有解答题,难度中等偏高,客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质,考查二面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容,同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．而直线与平面平行的判定,以及平面与平面平行的判定高考大题连续三年都没涉及,而在小题中考查,从高考试题来看,利用空间向量证明平行与垂直,以及求空间角是高考的热点,题型主要为解答题,难度属于中等,主要考查向量的坐标运算,以及向量的平行与垂直的充要条件,如何用向量法解决空间角问题等,同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．高考考查的热

点可能以锥体或斜棱柱为几何背景,第一问以线面平行,面面平行为主要考查点,第二问可能是求二面角或探索性命题,突出考查空间想象能力和逻辑推理能力,以及分析问题、解决问题的能力,也有可能求线面角． 【应试经验】

1．在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误．

2．可以考虑向量的工具性作用,能用向量解决的尽可能应用向量解决,可使问题简化．

3．在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义,判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．

4．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可．

5．用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证直线a ∥b ,只需证明它们的方向向量满足a b λ=(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外．

6．利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 【基础知识理顺】 1. 线线平行与垂直的证明

证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性,垂直关系的多样性.

2.线面平行与垂直的证明方法

线面平行与垂直位置关系的确定,也是高考考查的热点,在小题中考查关系的确定,在解答题考查证明细节. 线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.

线面平行的证明思考途径：线线平行⇔线面平行⇔面面平行.

线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）