平均变化率

选修2－2 导数及其应用

1.1.1 平 均 变 化 率 （总第47导学案）

一、【教学目标】

1．感受平均变化率广泛存在于日常生活中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。

2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

二、【教学重点、难点】

重点：平均变化率的数学意义 难点：平均变化率的实际意义和数学意义

三、【教学过程】

（一）生活实例：

现有启东市某年3月和4月某天日最高气温记载.

观察：“3月18日到4月18日”与“4月18日到4月20日”的温度变化发现：后者短短两

天时间温度相差C 0

8.14，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了﹗”，前者温差C 01.15，甚至超过了C 08.14，而人们却不会发出上述感叹。这是为什么呢？

因为前者变化缓慢，后者变化太快。那么用怎样的数学模型来刻画变量变化的快、慢？ 这就是本课学习的“平均变化率”。

（二）数学模型：以3月18日作为第一天，用曲线图表示为：

1、曲线上BC 之间一段几乎成了“直线”，由此联想如何量化直线的倾斜程度？。

2、由点B 上升到C 点，考察y C —y B 的大小为 ；同时考察x C —x B 的大小

为 。平均变化率为 。

3、气温在区间[1，32]上的平均变化率 ，

与气温[32,34]上的平均变化率比较，A 、B 之间的温差与B 、C 之间的温差几乎相同，但平均变化率相差很大，即平均变化率越大，曲线越陡峭。

4、一般地，函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 。 (d)

20

（三）典题探讨：

例1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时

间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？

例2、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器

甲中水的体积0.1()52t V t -=⨯（单位：3

cm ）， 计算第一个10s 内V 的平均变化率。

甲

乙 注意：负号表示容器甲中的水在减少。

例3、已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：

（1）[1，3]； （2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]。 作出图形，借助图像感知割线斜率k 的变化，发现割线→切线，斜率k →切线的斜率。

例4、如图，路灯高地面8m ，一个身高为1.6m 的人以84m/min 的速度离开路灯。

（1）求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系；

（2）求人离开路灯的第一个10s 内身影的平均变化率。

（四）课堂小结：

1、一般地，求函数()f x 在区间[x 1，x 2]上的平均变化率的步骤：

① 求自变量的增量12x x x -=∆；② 求函数的增量)()(12x f x f y -=∆； ③ 求平均变化率=∆∆x

y 2121()()f x f x x x --。 ２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”。

3、对于函数)(x f y =，当自变量x 在0x 处有改变量x ∆时，函数值y 相应地有改变量y ∆， 则)(x f 从0x 到x x ∆+0的平均变化率有更一般的形式x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00

课 外 作 业

1、已知函数等于时，函数值的增量变为由，当y x x y ∆-=211

。 2、函数1)(2

-=x x f 在区间[]m ，1上的平均变化率为3，则m 的值为 。 3、在函数12)(2-=x x f 的图像上取一点（1，1）及邻近一点)1,1(y x ∆+∆+，则

=∆∆x

y 。 4、设函数)(x f y =，当自变量由0x 变到x x ∆+0时，函数的改变量=∆y 。

5、物体作直线运动的方程为t t S 532-=（位移单位是m ，时间单位是s ），则物体在2s 到4s 时的平均速度是 ，2s 到3s 的平均速度是 。

6、已知函数[]x x x x x f y ∆+∈=00,),(，下列说法不正确的是 。 ① )()(00x f x x f y -∆+=∆叫函数值的增量； ②

x y ∆∆一定是个变量； ③ x

x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00叫做函数在[]x x x ∆+00,是的平均变化率； ④ x

y ∆∆可以是一个常数。 7、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，

试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12

个月该婴儿体重的平均变化率。

8、已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）=—2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）

的平均变化率。并指出y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？

9、甲、乙、丙三人炒股，甲一年前入市，赔了10800元，乙半年前入市，赔了6000元，丙

一个月前入市，赚了800元，试比较这三人的月收益率。

10、某人在推动一物体前进时所做的功（单位：J ）关于时间（单位：S ）的函数为

W=t t t 1662

3+-求此人从1S 末到3S 末所做功的平均变化率。

11、证明函数12)(+=x x f 的图像上任意两点之间的平均变化率为一个常数，并求出这

个常数。

12、求下列函数在给定区间上的平均变化率：

（1）[]422)(，，∈=x x f x ； （2）；，，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈=40sin πx x y

（3）[]t t t t t t ∆+∈=0025)(S ，，； （4）[]31

22)(2，，∈+-=x x x x f .

13、已知曲线2)(x x f =，试计算：

（1）)(x f 在1到2，1到

23，1到45的平均变化率； （2）)(x f 在1到

n n 1+的平均变化率。

14、已知质点M 按规律322+=t S 做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ），

（1）设从ts 时刻起经过ts ∆时，位移的增量记为s ∆，求t

s ∆∆； （2）当t=2，01.0=∆t 时，求

t

s ∆∆； （3）当t=2，01.0-=∆t 时，求t s ∆∆；

15、一边长为10cm 的正方形薄铁片，加热后膨胀，当温度为C t 0时，边长变为

10（1+at ）cm ，a 为常数，试求在时间[]t t t ∆+,内铁片面积的平均膨胀率。