直线与方程复习

.
x+y-1=0或3x+2y=0
(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；
4x+y-6=0或3x+2y-7=0
(5) 经过点N(-1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截
距的和为零.
3x y 0或 x y 4 0
24
变式练习2
• 求适合下列条件的直线方程. • 过点Q（0，-4），且倾斜角为直线
两点式 点P1(x1，y1)和点P2(x2，y2) 截距式 在x轴上的截距a
在y轴上的截距b
y y1 x x1 不垂直于x、y轴的直线 y1 y2 x1 x2
x y 1 ab
不垂直于x、y轴的直线 不过原点的直线
一般式 两个独立的条件 Ax By C 0 A、B不同时为零
4
判断两条直线的位置关系
A1B2 A2B1 0 B1C2 B2C1 0
A1B2 A2B1 0 A1A2 B1B2 0 5
直线的交点个数与直线位置的关系
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
一组 无数解
无解
两条直线L1,L2的公共点 一个 无数个 零个
直线L1,L2间的位置关系 相交 重合
• 综上，所求直线方程为x=2或3x-4y-10=0.
• (Ⅱ)结合几何图形， 可知当l⊥直线OP时，距
离最大为5，此时直线l的方程为2x-y-5=0.
如图，已知正方形ABCD的中心为E(-1,0)，一边 AB所在的直线方程为x-3y-5=0，求其他各边所在 的直线方程。
y C D
x E
B A
29
的斜率k的取值范围应是k≤-1或k≥3.
•
直线的倾斜角和斜率的对应关系是一
个比较难的知识点，建议通过正切函数
y=tanx在［0, π）∪（ π ,π）上的图象变化
2
2
来理解它.
• 变式练习1 已知点A（-3，4），B（3，
2），过点P（2，-1）的直线l与线段
AB没有公共点，则直线l的斜率k的取
值范围为
平行 重合 相交 垂直
L1:y=k1x+b1 L2:Y=K2x+b2 （K1,k2均存在）
K1=K2且b1≠b2
K1=K2且b1=b2
K1≠K2
K1k2=-1
L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0 （A1、B1 , A2 、 B2 均不同 时为0）
A1B2 A2B1 0 B1C2 B2C1 0
-1＜k＜. 3
•
可用补集思想求得-1<k<3.
• 重点突破：直线方程的求法 • 例2 (Ⅰ)求经过点A(-5，2)且在x轴上的截距
等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；
• (Ⅱ)若一直线被直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0
截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条
直线方程.
•
(Ⅰ)讨论截距为零和不为零两种情
• 3 x+y+3=0的倾斜角的一半.
• 易得直线 3 x+y+3=0的斜率为- 3,则 倾斜角为 2π，所以所求直线的倾斜角
3
为 π ，故斜率为 3 , 3
• 由点斜式得所求的直线方程为y= 3x-4.
例3
• 已知点P（2，-1），过P点作直线l. • （Ⅰ）若原点O到直线l的距离为2，求l
的方程； • （Ⅱ）求原点O到直线l的距离取最大值
• 重点突破：直线的倾斜角与斜率
• 例1 已知点A（-3，4），B（3，2），过点P （2，-1）的直线l与线段AB有公共点，求直 线l的斜率k的取值范围.
•
从直线l的极端位置PA，PB入手，分
别求出其斜率，再考虑变化过程斜率的变化
情况.
•
直线PA的斜率k1=-1，直线PB的斜率
k2=3，所以要使l与线段AB有公共点，直线l
时l的方程，并求原点O到l的最大距离.
• (Ⅰ)①当l⊥x轴时，满足题意， • 所以所求直线方程为x=2； • ②当l不与x轴垂直时，直线方程可设为
y+1=k(x-2)，即kx-y-2k-1=0.
• 由已知得 1 2k 2，解得k= 3 .
1 k2
4
• 所以所求直线方程为3x-4y-10=0.
• （2）经过两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）
的直线的斜率公式 （其中x1≠x2）.
k y2 y1 x2 x1
3
直线方程归纳
名 称 已知条件
标准方程 适用范围
点斜式 点P1(x1，y1)和斜率k y y1 k(x x1) 不垂直于x轴的直线
斜截式 斜率k和y轴上的截距 y kx b 不垂直于x轴的直线
例3：在△ABC中，BC边上的高所在的直线的方程
为x 2y 1 0，∠A的平分线所在直线的方程为
，
若点yB的0坐标为（1，2），求点 A和y点 C的坐标．
B
A
x
C 32
例4：⑴已知A(2，0)，B(－2，－2)，在直线L：
x＋y－3 = 0上求一点P使PA+ PB 最小.
⑵直线l：y=2x＋3，A（3，4），B（11，0），
y - 1 x. 6
•
应用直线方程的几种形式
假设直线方程时须注意其应用的
适用条件；选用恰当的参变量，
可简化运算量.
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；
2x-y+5=0
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；
(Ａ)x＋y－5=0 (B)2x－y－1=0 (C)x－2y＋4=0 (D)2x＋y－7=0
5、如果直线mx＋y－n=0与x＋my－1=0平行，则
有（ D）
(A)m=1
(B)m=±1
(C)m=1且n≠－1 (D)m=－1且n≠-1或者m=1且n≠1 35
在l上找一点P，y 使P到A、B距离之差最大.
P
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PA=PA，
B
P A， PA+ PB= PA， + PB
x A
33
练习
• 1、直线9x－4y=36的纵截距为（
• (A)9
(B)－9
(C) －4
）B (D) 4 9
2k（、3，A如）则图k（1，<k直2）<k线3 的A斜率分别为k1、ky2、
（B）k3<k1<k2
21
• （Ⅱ）设所求直线与直线4x+y+6=0,3x-5y6=0分别相交于A，B.
• 设A(a,-4a-6)，则由中点坐标公式知B(-a,4a+6)
• 将B(-a,4a+6)代入3x-5y-6=0， • 得3(-a)-5(4a+6)-6=0，解得a= 36 .
23
• 从而求得 A（ 36 , 6 ）, B（36 , 6 ），所以所求 直线方程为 23 23 23 23
平行，则点P（-1，0）到直线ax+2y-6=0
的距离等于 5 .
•
因为两直线平行，
•
所以有a(a-1)=2，即a2-a-2=0，
• 解得a=2或a=-1，
• 但当a=2时，两直线重合，不合题意，故只 有a=-1，
• 所以点P到直线-x+2y-6=0的距离等于 5
• 易错点：判断两直线平行时要检验是否重合.
况，分别设出直线方程，代入求解
• (Ⅰ)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直
线方程为y=kx，将(-5，2)代入得k=- 2 ,此时直
线方程y=- 2 x,即2x+5y=0；
5
5
• ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求的直线
方程为 x y 1，将(-5，2)代入得a=- 1 ，此时
2a a
2
（C）k3<k2< k1 （D）k1< k3< k2
O
L3 L2 x
L1
34
3、过点（－2，1）在两条坐标轴上的截距绝对
值相等的直线条数有（ C）
(A)1
(B)2
(C)3 (D)4
4、设Ａ、Ｂ是x轴上的两点，点Ｐ的横坐标为２， 且|ＰＡ|＝|ＰＢ|，若直线ＰＡ的方程为x－y＋1=0， 则直线ＰＢ的方程是（ A）
直线方程为x+2y+1=0.
• 综上所述，所求直线方程为2x+5y=0或
x+2y+1=0.
• 例2 重点突破：直线方程的求法 • (Ⅱ)若一直线被直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0
截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条 直线方程. • • (Ⅱ)设所求直线与已知一直线的交点坐标 A(a,b)，与另一直线的交点B，因为原点为 AB的中点，所以点B(-a,-b)在相应的直线上， 联立方程组求解.
2π
• A.
π
B.
3
3
5π • C. 6
D. π 6
• 2.已知α∈R，直线xsinα-y+1=0的斜
率的取值范围是（ C ）
• A.（-∞,+∞） B.（0,1］
• C.［-1,1］
D.（0,+∞）
3. 设直线l1的方程为x＋y＝2，
直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当
时， l1与l2相交；
(1)当 a≠1 时， l1与l2相交； (2)当 a＝1 时， l1与l2平行，
它们间的距离为
；
(3)当
时， l1与l2垂直.
12
3. 设直线l1的方程为x＋y＝2，
直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 a≠1 时， l1与l2相交；
(2)当 a＝1 时， l1与l2平行，
2
它们间的距离为 2
• 1.直线的倾斜角：理解直线的倾 斜角的概念要注意三点：
• （1）直线向上的方向； • （2）与x轴的正方向； • （3）所成的最小正角，其范围
是［0,π）.
2
• 2.直线的斜率：
• （1）定义：倾斜角不是90°的直线它 的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜 率，常用k表示，即 k=tanα.
• α=90°的直线斜率不存在；
(2)当
时， l1与l2平行，
它们间的距离为
；
(3)当
时， l1与l2垂直.
10
3. 设直线l1的方程为x＋y＝2，
直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 a≠1 时， l1与l2相交；
(2)当
时， l1与l2平行，
它们间的距离为
；
(3)当
时， l1与l2垂直.
11
3. 设直线l1的方程为x＋y＝2， 直线l2的方程为ax＋y＝1.
平行
6
关于距离的公式
1、两点间的距离公式
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
2,中点坐标公式
x0
y0
x1 x2
2 y1 y2
2
3.点到直线的距离公式：d Ax0 By0 C A2 B2
两平行直线间的距离公式：
d
C1 C2
A2 B2
7
• 1.直线 3x-y+1=0的倾斜角等于（ B ）
；
(3)当
时， l1与l2垂直.
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3. 设直线l1的方程为x＋y＝2，
直线l2的方程为ax＋y＝1.
(1)当 a≠1 时， l1与l2相交；
(2)当 a＝1 时， l1与l2平行，
2
它们间的距离为 2
；
(3)当 a＝－1 时， l1与l2垂直.
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• 4.若直线ax+2y-6=0与x+(a-1)y-(a2-1)=0