小学奥数-整数裂项
(完整版)五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和(A级).学生版.docx
整数裂项与分数裂和考试要求（1）能熟练运算常规裂和型题目；（2）复杂整数裂项运算；（3）分子隐蔽的裂和型运算。
知识结构一、复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加 1 的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N。
N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0 时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
二、“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a bab1 1（2） a 2b2 a 2b2a ba b a b a b b a a b a b a b b a裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
重难点（1）复整数裂的特点及灵活运用（2）分子蔽的裂和型运算。
例题精讲一、整数裂【例 1】算：1 3 2 4 3 5 4 6 L 99 101【巩固】算： 3 5 5 7 7 9 L 97 99 99 101【例 2】算1016 22 16 22 28 L 70 76 82 76 8288【巩固】 3 3 3 4 4 4 L 79 7979【例 4】计算：1 1 1 2 2 2 3 3 3 L 99 99 99 100 100 100【例 5】1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L100【巩固】 3 3 6 3 6 9 L 3 6 L300二、分数裂和【例 6】填空：51，71，91 62123204 111， 131， 151 3054265675791113151719【巩固】计算： 1122030425672906【例7】 5 6 6 7 78 8 9 9 1056677889910【巩固】36579111357612203042【例 8】计算：132579101119 3457820212435【巩固】12379111725 3571220283042【例 9】111112010263827 2330314151119120123124【巩固】3549637791105 1 316122030425688【例10】122222321821921922021223181919201212221222321222324212 2 2262【巩固】1323132333132333431323263 13课堂检测1、1 4 4 7 7 10 L 4952 =_________57911131517192、计算： 11220304256729063 、1179817512 22 22 32 20042 20052 20052 200624、22 3L20052005 20061 20045、 11 11L 11111223299 2家庭作业1、 1 1 2 2 3 3 L 50 502、 2 4 6 4 6 8 L 96 98 1003、 1 2 3 7911 21 313 5 7 12 20 28 40 564 、(11) (22) (33) L(88) (99 ) 2349105、 1 2 1 2 3 1 2 3 4 L 1 2 3 L 502 23 2 34 2 3 L 50教学反馈学生对本次课的评价○特别满意○满意○一般家长意见及建议家长签字：。
五年级奥数计算综合整数裂项与分数裂和A级学生版
考试要求（1） 能熟练运算常规裂和型题目；（2） 复杂整数裂项运算；（3） 分子隐蔽的裂和型运算。
一知识结构一、 复杂整数裂项型运算复杂整数裂项特点：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。
其巧解方法 是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差 与因数个数加1的乘积。
整数裂项口诀：等差数列数，依次取几个。
所有积之和，裂项来求作。
后延减前伸，差数除以N°N 取什么值，两数相乘积。
公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加 正。
对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
此外，有些算式可以先通过变形，使之符合要求，再利用裂项求解。
“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同 时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
QOo JL JLS 整数裂项与分数裂和 :口 （1） a + b a b 11 -- = --- 1 -- = —I- a x b a x b a x b b a （2） a 2 + b 2 a 2 b 2 a b --- = ---- 1 - = + --a xb a x b a x b b a重难点（1）复杂整数裂项的特点及灵活运用（2）分子隐蔽的裂和型运算。
【例1】计算：1x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + 4 义6 + L + 99 x101【巩固】计算：3x5 + 5x7 + 7x9+L + 97x99 + 99x101【例2】计算10 x16x 22 +16x 22x 28 + L + 70 x 76x 82 + 76 x 82x 88MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和（A级）.学生版Page 2 of 8【巩固】3x3x3 + 4x4x4+L + 79x79x79【例4】计算：1x1x1 + 2 x 2 x 2 + 3 x 3 x 3 + L + 99 x 99x 99 +100x100x 100(1 + 2 )+(1 + 2 + 3)+(1 + 2 + 3 + 4 )+L +(1 + 2 + 3+L【例5】1 ++100)【巩固】3 + (3 + 6)+(3 + 6 + 9)+L +(3 + 6+L + 300)MSDC模块化分级讲义体系五年级奥数.计算综合.整数裂项与分数裂和（A级）.学生版Page 3 of 8分数裂和5+6 6+7 7+8 8+9 9+10_ + 一 +5x6 6x7 7x8 8x9 9x10【巩固】计算: 【例6】填空: 9 20 15 561- 5 7 —+ — 6 12 9 11 -- + ---- - 20 30 13 15 17 19. +-- — --- + ..... 42 56 72 903- 21 - 4 + 1 - O 1 【例7】1 2 3 7 9 11 17 25—+ — + — + — + — + --- + — + 3 5 7 12 20 28 30 42(35 49 63 77 91 105 1 —+ —+ ― I 6 12 20 30 42 56 )12 + 22 22 + 32 182 + 192 192 + 202+ + .. + + 1X 2 2 X 3 18 X 19 19 x 20 【例8】计算: 1 3 2 5 7 9 10 11 + - + - + - + - + — + — + — 3 4 5 7 8 20 21 24 19 + 一 35 【巩固】 【例9】 1 1 1 1 1 20 —+ - + — + — + — + — + 2 3 30 31 41 51 10-- + 26 ----- + 120 38 27 ----- 1 ---- 123 124 【巩固】 【例10】1、 1 x 4 + 4 x 7 + 7 x 10+L + 49 x 52= 12 12 + 22 12 + 22 + 32 【巩固】13 — 17万+ 13 + 23 + 12 + 22 + 32 + 42 ----------- + _ 1 2 + 22 +_ + 26213 + 23 +... + 263 2、 计算: 5 7 911 13 15 -+ + 十 一 6 12 20 30 42 56 17 19 H -- 72 903、 1 1 7 9 8 17 5 一+ 一 + 一 + 一 + 一 + 一 + 一 4 5 12 20 15 30 1232 -1)家庭作业1、1x 1 + 2 x 2 + 3 x 3+L + 50 x 502、 2 x 4 x 6 + 4 x 6 x 8 + L + 96 x 98 x 1004、 12 + 22 22 + 32 T 20042 + 20052 20052 + 20062 ------- + --------+ L + ---------------- + ---------------- 1x 2 2x 3 2004 x 2005 2005 x 20065、1 2 3 8 94、(1-3x (2-3)x (3 — /X L x (8 — -)x (9 —m) 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 T 1 + 2 + 3+L + 50 ---- x -------- x ------------- x L x -------------------- 22 +3 2 + 3 +4 2 + 3+L + 503、 1 2 3 7 9 11 21 31 - + - + — + ― + — + 一 + 一+一3 5 7 12 20 28 40 56 教学反馈 5、。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a ＜b ，那么有:)11(11b a a b b a --=⨯(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a bb a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2))1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n(3))1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n nn n n n +=+2)1((4))2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5)!)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和：1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n 2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n 3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 13)1311(31+=+-=n n n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n 特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n 212311321n n n n =++++-++-++++ ）（）（2127531n n =-++++）（6)12)(1(21222++=+++n n n n 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（ ()()412121222333+=++=+++n n n n 平方差公式))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式2222)(b ab a b a +±=±。
小学奥数教程整数裂项.教师版 全国通用
整数裂项根本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+ 【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，互相抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×〔4－1〕＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×〔5－2〕＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×〔51－48〕=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 此题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进展计算．对于项数较多的情况，可以进展如下变形：所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭另解：由于()21n n n n +=+，所以原式()()()222112299=++++++采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论． 【答案】330【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×〔10－1〕＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×〔13－4〕＝7×10×13－4×7×10例题精讲知识点拨整数裂项49×52×9＝49×52×〔55－46〕＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =〔49×52×55＋1×4×2〕÷9＝15572【答案】15572【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 3】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进展整数裂项．所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+ 而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进展整数裂项：原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，此题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进展计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯， 那么123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯如今知道A 与B 的和了，假如能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯ 其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出【答案】2008008【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!= 【答案】2009! 【例 4】 计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯ 【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算 【解析】 设原式=B A122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ ()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即ba ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有:(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a bb a ab a ba 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1 (541)431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n nn n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n nn n n S n2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n nn n S n证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n nn n n S n3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n 4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n 5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， 特殊数列求和公式平方差公式 ))((22b a b a b a -+=- 完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±。
6 小学奥数——因数与倍数 与 整数裂项
B.102
C.156
D.180
3.一根木头长 24 分米，要锯成 4 分米长的木棍.若每锯一次要 3 分钟，锯完一段休息 2
分钟，则全部锯完需要 ( ) 分钟.
A.23
B.25
C.28
D.30
4.一块三角形地，三条边分别 12 米、15 米、9 米，每 3 米种一棵树，一共要种 ( ) 棵
树.
A.9
度从一楼走到五楼王老师家要用 ( ) 分钟. A. 15 4 B.3 C. 20 3 D.以上都不对 43.校园内有一圆形花坛，花坛周围一共种了 15 棵月季花，每两棵月季花的距离都是 2
第 9页（共 16页）
米，那么花坛的周长是 ( )
A.30 B.3 C.28 D.15 44.奶奶折一个纸鹤用 3 分钟，每折好一个需要休息 1 分钟，奶奶从 2 时 30 分开始折， 她折好第 5 个纸鹤时已经到了 ( )
（4）两个数都扩大 10 倍，两个数乘积扩大 100 倍.
A.1
B.2
C.3
D.4
22.用四个数码 1，3，4 和 6 所组成的没有重复数字的所有整数中，是 6 的倍数的有 ( )
A.1
B.2
C.3
D.4
23.若干位小朋友排成一行，从左面第一个人开始，每隔 2 人发一个苹果，从右面第一
人开始，每隔 4 人发一个桔子，结果有 10 个小朋友苹果和桔子都拿到了，那么这些小朋友
第 8页（共 16页）
地砖上.那么这一排地砖共有 ( ) 块（从下列选项中选出符合条件的答案）. A.39 B.40 C.47 D.49 E.53 39. a 、 b 和 c 是三个自然数，在 a b c 中，不一定成立的是 ( ) A. a 一定是 b 的倍数 B. a 一定能被 b 整除 C. a 一定是 b 和 c 的最小公倍数 D. b 一定是 a 的约数 40.一个圆的直径缩小 2 倍，周长与面积分别缩小 ( ) A.2 倍与 4 倍 B.2 倍与 2 倍 C.4 倍与 4 倍 D.4 倍与 2 倍 41.下列四组数中，两个数只有公约数 1 的数是 ( ) A.13 和 91 B.21 和 51 C.34 和 51 D.15 和 28 42.五楼的王老师病了，小孙帮王老师送早点，从一楼到二楼用了 3 分钟，用同样的速 4
整数裂项,小学奥数整数裂项公式方法讲解
整数裂项，小学奥数整数裂项公式方法讲解在小学奥数中有一些非常长的整数算式，仅仅用一般的运算法则满足不了计算要求，这时候我们要找式子中各乘式之间的规律，把各乘式裂项，前后抵消，从而简化计算。
规律和之前G老师讲过的分数裂项法十分类似。
先看一道整数裂项的经典例题：【例1】1x2+2x3+3x4+4x5+……98x99+99x100分析：题中计算式共有99个乘法式子相加，如果一个一个计算下来，恐怕一个下午就过去了，G老师告诉同学们，遇见这种复杂的计算式，一定是有规律的，数学重点考查的是思维。
能不能想办法把乘法式子换成两个数的差，再让其中一些项抵消掉，就像分数裂项的形式，最后只剩下头和尾呢？1x2=(1x2x3-0x1x2)÷3;2x3=(2x3x4-1x2x3)÷3;3x4=(3x4x5-2x3x4)÷3;……99x100=(99x100x101-98x99x100)÷3;规律是不是找着了？原式=(1x2x3-0x1x2+2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+……+99x100x101-98x99x100)÷3=99x100x101÷3=333300整数裂项法就是将整数乘积化成两个乘积差的形式，这个差也不是随便乘一个数，而是要根据题目中各项数字公差来确定的。
比如在例1中，1x2和2x3这两项，1与2，2与3的的差都是1，我们就在1x2这一项乘以（2+1），再减去(1-1)x1x2；2x3这一项，也化成[2x3x(3+1)-(2-1)x2x3]……这样就刚好可以前后项互相抵消，然后再除以后延与前伸的差[(3+1)-(2-1)]。
整数裂项法应用：式中各项数字成等差数列，将各项后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差。
【例2】1x3+3x5+5x7+……+95x97+97x99分析：算式中各个项中数字之差都是2，满足整数裂项条件，后延一位，减去前伸一位，再除以后延与前伸的差6。
小学奥数 整数裂项 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
整数裂项基本公式 (1) 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+【例 1】 1223344950⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 这是整数的裂项。
裂项思想是：瞻前顾后，相互抵消。
设S ＝1223344950⨯+⨯+⨯++⨯1×2×3＝1×2×32×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×33×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×503S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51S ＝49×50×51÷3＝41650【答案】41650【巩固】 1223344556677889910⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况，可以进行如下变形：()()()()()()()()()12111111211333n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+， 所以原式1111112323412391011891033333⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1910113303=⨯⨯⨯= 另解：由于()21n n n n +=+，所以 原式()()()222112299=++++++()()222129129=+++++++119101991062=⨯⨯⨯+⨯⨯330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ⨯+⨯++⨯+=++这一结论． 【答案】330例题精讲知识点拨整数裂项【例 2】 14477104952⨯+⨯+⨯++⨯=_________【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 设S ＝14477104952⨯+⨯+⨯++⨯ 1×4×9＝1×4×7＋1×4×24×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7 7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10………….49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×529S ＝49×52×55＋1×4×2S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572【答案】15572【例 3】 12323434591011⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 ()()()()()()()()111212311244n n n n n n n n n n n ++=+++--++，所以， 原式11111123423451234910111289101144444⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭191011124=⨯⨯⨯⨯2970= 从中还可以看出，()()()()()1123234345121234n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=+++ 【答案】2970【例 4】 计算：135357171921⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯= ．【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可以进行整数裂项．357913573578⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 5791135795798⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 17192123151719211719218⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以原式35791357171921231517192113588⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+++1719212313571358⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯+171921231358⨯⨯⨯+⨯⨯=19503= 也可适用公式．原式()()()()()()323325255219219192=-⨯⨯++-⨯⨯+++-⨯⨯+()()()22222232352519219=-⨯+-⨯++-⨯ ()()333351943519=+++-⨯+++()()3333135194135193=++++-⨯+++++ 而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 22221120218101144=⨯⨯-⨯⨯⨯19900=， 21351910100++++==，所以原式1990041003=-⨯+19503=．【答案】19503【巩固】 计算：101622162228707682768288⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 可进行整数裂项： 原式1016222841016221622283410162228=2424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 707682886470768276828894707682882424⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1016222841016221622283410162228=24242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+-++ 7076828864707682768288947076828824242424⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-+- 768288944101622=2424⨯⨯⨯⨯⨯⨯- 768288944101622=24⨯⨯⨯-⨯⨯⨯ =2147376【答案】2147376【巩固】 计算：123434565678979899100⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯=【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 一般的整数裂项各项之间都是连续的，本题中各项之间是断开的，为此可以将中间缺少的项补上，再进行计算．记原式为A ，再设23454567678996979899B =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯，则123423453456979899100A B +=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯197989910010119010098805=⨯⨯⨯⨯⨯=， 现在知道A 与B 的和了，如果能再求出A 与B 的差，那么A 、B 的值就都可以求出来了．12342345345645675678979899100A B -=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯⨯⨯4(123345567...979899)=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯222242(21)4(41)6(61)98(981)⎡⎤=⨯⨯-+⨯-+⨯-++⨯-⎣⎦33334(24698)4(24698)=⨯++++-⨯++++221148495041004942=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯48010200= 所以，()1901009880480102002974510040A =+÷=．【答案】974510040【例 5】 2004200320032002200220012001200021⨯-⨯+⨯-⨯++⨯【考点】整数裂项 【难度】3星 【题型】计算【解析】 原式20032200123212=⨯+⨯++⨯+⨯()213520012003=⨯+++++()21200310022=⨯+⨯÷2008008=其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出2135200120031002+++++=【答案】2008008【例 6】 11!22!33!20082008!⨯+⨯+⨯++⨯=【考点】整数裂项 【难度】4星 【题型】计算【解析】 观察发现22!221(31)213!2!⨯=⨯⨯=-⨯⨯=-，33!3321(41)3214!3!⨯=⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯=-，……20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=-，可见，原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!=【答案】2009!【例 7】 计算：1234569910023459899⨯+⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯【考点】整数裂项 【难度】5星 【题型】计算【解析】 设原式=BA122334989999100A B +=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯()()()11230122341239910010198991003=⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯++⨯⨯-⨯⨯⎡⎤⎣⎦ 1991001013333003=⨯⨯⨯= 1232992501005000B A -=⨯+⨯++⨯=⨯=3333005000338333330050003283B A +==- 【答案】33833283。
六年级下册小学奥数计算模块整数裂项全国通用共24张
目录CONTENTS Nhomakorabea1
知识概述
3
总结归纳
2
例题讲解
4
课后作业
知识概述
重要程度
整数裂项与分数裂项的原理类似，都是设法进行抵消，需要进行归纳递推，简单说就是 找出规律并应用规律进行求解
基本内容
1 2 2 3 3 4 4 5 n(n 1) 1 [n(n 1)(n 2) 01 2] 3
()
计算：
练习1
1 2 2 3 3 4 98 99 99 100
计算：
挑战1
1 3 3 5 5 7 7 9 97 99
计算：
例题2
1 2 3 2 3 4 3 4 5 98 99 100
计算：
练习2
1 3 5 3 5 7 5 7 9 97 99 101
1 2 3 2 3 4 3 4 5 n(n 1)(n 2) 1 [n(n 1)(n 2)(n 3) 01 2 3] 3
解题步骤
题目形式比较单一，符号要求，直接求解，不符合要求，选择其它方法
1 2 23 3 4 45 n(n 1) 1 [n(n 1)(n 2) 01 2] 3
例题讲解
找规律：
例题1
2 3 1 [2 3 4 1 2 3]； 3
3 5 1 [3 5 7 1 3 5]；
6 通过引导学生对试验现象的质疑与验证，让学生体会到随机事件发生可能性的大小与事物出现数量之间的相互关系；通过根据试验的统计结果对下一次试验结果的推测，使学生进
一步感受不确定现象的特点。
一、复习导入
()
1、昨天，我们来到了文具店，在解决购物的过程中，学习了简单的小数加、减法。（贴标题）现在呀，我想给女儿买一个书包和一本练习本，老师带了30元够不够？（精算和估算
整数裂项知识点
整数裂项知识点一、知识概述《整数裂项知识点》①基本定义：整数裂项呢，简单说就是把一个整数乘积形式的式子分解成几个式子相加减的形式。
比如说n×(n + 1)，可以裂项成n×(n + 1)= (n²+ n)等类似这样更方便运算或者找规律的形式。
②重要程度：在数学学科里，特别是小学奥数和中学数学数列、求和等问题里非常重要。
好多复杂的计算、找规律问题，用整数裂项就能很巧妙地解决，就像一把钥匙打开难题的锁。
③前置知识：得先掌握好基本的整数运算，像加、减、乘、除，还有简单的数列知识，比如等差数列这些。
要是这些都没学明白，整数裂项就有点难理解了。
④应用价值：实际中像算一堆有规律物品的总数。
打个比方，有一堆相同形状的积木，按照一定规律摆放，每一层的积木数量是个整数列，要算总数用整数裂项就可能轻松解决，在工程计算、经济计算中类似的有规律数量计算也会用到。
二、知识体系①知识图谱：在数学里，它是数列知识体系中的一部分，是为了更简便求解数列和或者一些与整数乘积相关运算的分支。
②关联知识：和数列、代数运算、数学归纳法等知识密切相关。
数列求和时可能用到整数裂项来简化式子；代数运算里它又属于一种特殊的式子变形技巧；数学归纳法有时候可以用来验证整数裂项的正确性。
③重难点分析：- 掌握难度：说实话，一开始挺难掌握的。
因为要学会找出规律来裂项，不是随便拆拆就行。
像有时候一个式子同时包含几种可能的裂项形式，要准确找到，有一定挑战性。
- 关键点：关键是要找到正确的裂项形式。
所以得对式子观察得特别仔细，看看每个数和整体式子的关系，然后根据式子的特点来裂项。
④考点分析：- 在考试中的重要性：在奥数竞赛和中学数学考试里，这可是个常考内容啊，特别是在和数列有关的大题中经常出现。
- 考查方式：一般是给个需要求和或者化简的式子，让你用整数裂项的方法进行计算或者化简。
有时候也会出在找规律的题型里，让你先找出裂项规律，再进行计算。
小学奥数
1． 试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+…+99×100．【分析与解】方法一：整数裂项原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+…+99×100×3)÷3=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+…+99×100×(101-98)]÷3(123⨯⨯234+⨯⨯123-⨯⨯345+⨯⨯234-⨯⨯456+⨯⨯345-⨯⨯567+⨯⨯456-⨯⨯991001019899100++⨯⨯-⨯⨯)3991001013331011003333100333300.÷=⨯⨯÷=⨯⨯=⨯=方程二：利用平方差公式12+22+32+42+…+n 2=2(1)(21).6n n n n ⨯+⨯+=原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+…+992+99=12+22+32+42+52+…+992+1+2+3+4+5+…+99 =991001999910062⨯⨯⨯+=328350+4950=333300．第1讲 多位数的运算多位数的运算，涉及利用99999k 个＝10k -1，提出公因数，递推等方法求解问题．一、99999k 个＝10k -1的运用在多位数运算中，我们往往运用99999k 个＝10k -1来转化问题；如：200433333个×59049 我们把200433333个转化为20049999个9÷3，于是原式为200433333个×59049=（20049999个9÷3）×59049=20049999个9×19683=（200410000个0-1）×19683=19683×200410000个0-19683而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；200491968299999999个+1如：2004919999199991968299999999119683196829998031611968299980317+-+个个个，于是为199991968299980317个．简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数． 原式=200433333个×2×3×3×20083333个3=200433333个×2×3×20089999个9=2003199998个9×（200810000个0-1）=2003199998个9×200810000个0-2003199998个9=2003920089200392003920030200392003019999799999999911999981999979998000011199997999800002+-+个个个个个个个,于是为2003920030199997999800002个个.2．计算11112004个1－22221002个2=A ×A ，求A ．【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有1111n 个1，从而找出突破口.11112004个1－22221002个2=11111002个100001002个0－11111002个1=11111002个1×（100001002个0-1） =11111002个1×（99991002个9）=11111002个1×（11111002个1×3×3）=A 2所以，A ＝33331002个3.3．计算66662004个6×66662003个6×25的乘积数字和是多少?【分析与解】我们还是利用9999k 个9=100001-k 个0来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成9999k 个9，于是我们就创造条件使用：66662004个6×666672003个6×25=[23×（20049999个9）]×[23×（20049999个9）+1]×25=[23×（100001-2004个0）]×[23×（100002004个0）+1]×25 =13×13×[2×100002004个0-2]×[2×（100002004个0）+1]×25 =259×[4×100004008个0-2×100002004个0-2] =1009×99994008个9-509×20049999个9=100×40081111个1-50×20041111个1=400812004511110055550-个个(求差过程详见评注)=12004511110555502004个个所以原式的乘积为12004511110555502004个个那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024． 评注：对于400812004511110055550-个个的计算，我们再详细的说一说．400812004511110055550-个个=200512003120050200451111000011110055550+-个个个个=20041200312005920045111109999111110055550++-个个个个=2004120031200441111044449111101+个个个=2004120045111105555个个4．计算199821998222222222⨯个个的积?【分析与解】 我们先还是同上例来凑成k 99999个；199821998222222222⨯个个＝19982199892999922229⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭个个＝1998219980210000122229⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭个个＝1998419980110000144449⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎪⎝⎭个个＝19984199841998014444000044449⎛⎫⨯- ⎪⎪⎝⎭个个个 ＝1997419975144443555569⨯个个(求差过程详见评注)我们知道944444个能被9整除，商为：049382716．又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45，可以被9整除． 84444355个4能被9整除，商为04938271595；我们知道55559个5能被9整除，商为：061728395；这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除． 555566个5能被9整除，商为0617284．于是，最终的商为： 22004938271622106172839549382716049382716049382716049382715950617283950617283950617284个个评注：对于199841998044440000个个-199844444个计算，我们再详细的说一说．199841998044440000个个-199844444个 ＝199741998444439999个个9+1-199844444个＝199741998444435555个个5+1＝1997419974444355556个个5.二、提出公因式有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等．5.计算：（1998+19981998+199819981998+…19981998个199819981998）÷（1999+19991999+199919991999 (19981999)个199919991999）×1999【分析与解】19981998个199819981998＝1998×19981001个100110011001原式＝1998（1+10001+100010001+ (19981001)个100110011001）÷［1999×（1+10001+100010001+…19981001个100110011001）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998.6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少?【分析与解】 我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．设1993×123=M ，则(1000×123＝)123000<M<(2000×123=)246000，所以M 为6位数，并且末位不是0；令M ＝abcdef则M ×999999＝M ×（1000000-1）＝1000000M-M ＝000000abcdef -abcdef ＝()1999999abcdef f -+1－abcdef＝()()()()()()()1999999abcdef f a b c d e f -------+1 ＝()()()()()()()19999991abcdeff a b c d e f -------+那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f －1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f +1)=9×6=54．所以原式的计算结果的数字和为54．评注：M ×k 99999个的数字和为9×k ．(其中M 的位数为x ，且x ≤k)．7．试求9×99×9999×99999999×…×99999256个×99999512个×999991024个乘积的数字和为多少?【分析与解】设9×99×9999×99999999×…×99999256个×99999512个×999991024个＝M ，于是M×999991024个类似的情况，于是，确定好M 的位数即可；注意到9×99×9999×99999999×…×99999256个×99999512个＝M ，则M<10×100×100013×100000000×…×256010000个×010000512个＝010000k 个其中k=1+2+4+8+16+…+512=1024－l=1023；即M<0100001023个，即M 最多为1023位数，所以满足的使用条件，那么M 与999991024个乘积的数字和为1024×9=10240—1024=9216．原式的乘积数字和为9216．三、递推法的运用有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法．8．我们定义完全平方数A 2=A×A ，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方?【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解：121＝112；12321＝1112；1234321＝11112……于是，我们归纳为1234…n…4321=（1111n 个1）2所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方．评注：以上归纳的公式1234…n…4321＝（1111n 个1）2，只有在n<10时成立．9.①2004420038444488889个个=A 2，求A 为多少?②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？【分析与解】 方法一：问题①直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解： ①注意到有2004420038444488889个个可以看成48444488889n 个n-1个，其中n ＝2004；寻找规律：当n=1时，有49=72；当n=2时，有4489=672；当n=3时，有444889=6672； …… …… 于是，类推有2004420038444488889个个=22003666667个方法二：下面给出严格计算： 2004420038444488889个个=4444400002004个2004个0+20048888个8+1；则4444400002004个2004个0+20048888个8+1＝11112004个1×（4×0100002004个+8）+1＝11112004个1×［4×（999992004个+1）+8］+1 ＝11112004个1×［4×（999992004个）+12］+1＝（11112004个1）2×36+12×11112004个1+1＝（11112004个1）2×62+2×（6×11112004个1）+1＝（666672003个6）2②由①知4444488889 n 个n-1个8＝266667n-1个6，于是数字和为(4n+8n 一8+9)=12n+1=2005；于是，n=167，所以4444488889 167个166个8=266667166个6，所以存在，并且为4444488889 167个166个8.10．计算66662008个6×9×33332008个3的乘积是多少?【分析与解】采用递推的方法6×9×3=162； 66×9×33=19602； 666×9×333=1996002； …… …… 于是，猜想6666n 个6×9×3333n 个3=1996n 个19990000n-1个02 66662008个6×9×33332008个3=9962007个199900002007个02评注：我们与题l 对比，发现题1为66662008个6×9×3×33332004个3使用递推的方法就有障碍,9999k 个9=10k —l 这种方法适用面要广泛一点．练习1．设N=66662000个6×9×77772007个7，则N 的各位数字之和为多少?练习2．乘积99991999个9×99991999个9的积是多少?各位数字之和又是多少?练习3．试求11112008个1×11112008个1的各位数字之和是多少?第2讲 计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲 循环小数与分数]．1．计算：711471826213581333416⨯+⨯-÷【分析与解】原式=7123723174612241488128131233+⨯=⨯=-2．计算：【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5199后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序． 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5． 具体过程如下：原式=5919(3 5.22)19930.41.6910()52719950.5199519(6 5.22)950+-⨯÷+⨯-+=5191.3219930.440.40.59()519950.419950.5191.329-⨯⨯⨯÷+⨯⨯-=199320.41()19950.5+÷⨯=0.410.5÷=1143．计算：1111111987-+-【分析与解】原式=11198711986-+=198613973-=198739734．计算：已知=181111+12+1x+4=，则x 等于多少?【分析与解】方法一：1118x 68114x 112x 7111+11148x 62+214x 1x+4+====+++++++交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有11131118821x 4+==+++，所以18222133x 4+==++；所以13x 42+=，那么x =1.25．5．求944,43,443,...,44...43个这10个数的和．【分析与解】方法一： 944+43+443...44...43++个=1044(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个=104444444...44...49++++-个=1094(999999...999...9)99⨯++++-个 =1004[(101)(1001)(10001)...(1000...01)]99⨯-+-+-++--个 =914111.1009=49382715919⨯-个.方法二：先计算这10个数的个位数字和为39+4=31⨯；再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36339+=； 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32335+=； 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28331+=； 再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24327+=； 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20222+=； 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16218+=； 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12113+=；再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为819+=；最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4． 所以，这10个数的和为4938271591．6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为： 1173(0.60.875)1+0.75+1.8+2.625=6.175=63440⨯+++=7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算：23155(0.625)(0.4)333841235(0.3)( 2.25)3104⨯+ 【分析与解】原式1550.6255155725384218384122562.253⨯=⨯÷=+8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，…．如果111(16)(17)(17)-=⨯，那么方框内应填的数是多少? 【分析与解】111(17)()1(16)(17)(17)(16)=-÷=-=161718111516175⨯⨯-=⨯⨯.9．从和式11111124681012+++++中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1? 【分析与解】 因为1116124+=，所以12,14,16,112的和为l ，因此应去掉18与110.10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929．那么在所有这种数中。
小学奥数裂项公式汇总
裂项运算常用公式一、分数“裂差”型运算(1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ⨯1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜b ，那么有: )11(11b a a b b a --=⨯(2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有：⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+-+⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+⨯+-+⨯+⨯=+⨯+⨯+⨯)3()2()1(1)2()1(131)3()2()1(1n n n n n n n n n n二、分数“裂和”型运算常见的裂和型运算主要有以下两种形式：（1） a b b a b b a a b a b a 11+=⨯+⨯=⨯+（2）a bb ab a b b a a b a b a +=⨯+⨯=⨯+2222裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾”分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
裂和：抵消，或 凑整三、整数裂项基本公式(1))1()1(31)1(......433221+-=⨯-++⨯+⨯+⨯n n n n n(2) )1()1)(2(41)1()2(......543432321+--=⨯-⨯-++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n n (3) )1()1(31)2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n n n n n +=+2)1((4) )2)(1()1(41)3)(2)(1(41)2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n(5) !)!1(!n n n n -+=⨯裂项求和部分基本公式1.求和： 1)1(1......541431321211+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n证：1111)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n Λ2.求和：12)12)(12(1971751531311+=+-++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n Λ证：12)1211(21)121121(21)7151(21)5131(21)311(21+=+-=+--++-+-+-=n n n n n S n Λ3.求和：13)13)(23(11071741411+=+-++⨯+⨯+⨯=n n n n S n Λ证：)131231(31)10171(31)7141(31)411(31+--++-+-+-=n n S n Λ 13)1311(31+=+-=n n n4.求和：)2111211(31)2(1641531421311+-+-+=+++⨯+⨯+⨯+⨯=n n n n S n Λ 证：)1111(21)6141(21)5131(21)4121(21)311(21+--++-+-+-+-=n n S n Λ )2111211(31)211(21+-+--+=+-+n n n n5.求和：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)2)(1(12121)2)(1(1543143213211n n n n n S n Λ 证：因为])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n ， ])2)(1(121[21])2)(1(1)1(1[21)431321(21)321211(21++-=++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=∴n n n n n n S n Λ特殊数列求和公式2)1(321+=++n n n Λ 212311321n n n n =++++-++-++++ΛΛ）（）（2127531n n =-++++）（Λ6)12)(1(21222++=+++n n n n Λ 3)14(3)12)(12(1253122222-⨯=-+=-++++n n n n n n ）（Λ ()()412121222333+=++=+++n n n n ΛΛ平方差公式 ))((22b a b a b a -+=-完全平方和（/差）公式 2222)(b ab a b a +±=±（范文素材和资料部分来自网络，供参考。
小学奥数教程-整数裂项 (4) (含答案)
【答案】 41650
【巩固】 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + 4 × 5 + 5 × 6 + 6 × 7 + 7 × 8 + 8 × 9 + 9 ×10 =________
【考点】整数裂项
【难度】3 星
【题型】计算
【解析】 本题项数较少，可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和，但是对于项数较多的情况显然
4
4
原式 =
1 4
×
1×
2
×
3
×
4
+
1 4
×
2
×
3
×
4
×
5
−
1 4
×1×
2
×
3
×
4
+
+
1 4
×
9
×10
×11×12
−
1 4
×
8
×
9
×10
×11
= 1 × 9 ×10 ×11×12 = 2970 4
从中还可以看出，1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + + n × (n + 1) × (n += 2) 1 n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
整数裂项
知识点拨
整数裂项基本公式 (1) 1× 2 + 2 × 3 + 3× 4 + ... + (n −1) × n= 1 (n −1) × n × (n + 1)
3 (2) 1× 2 × 3 + 2 × 3× 4 + 3× 4 × 5 + ... + (n − 2) × (n −1) × n= 1 (n − 2)(n −1)n(n + 1)
小学奥数-整数裂项
小学奥数--整数裂项对于较长得复杂算式,单单靠一般得运算顺序与计算方法就是很难求出结果得。
如果算式中每一项得排列都就是有规律得，那么我们就要利用这个规律进行巧算与简算。
而裂项法就就是一种行之有效得巧算与简算方法。
通常得做法就是:把算式中得每一项裂变成两项得差，而且就是每个裂变得后项(或前项)恰好与上个裂变得前项(或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”得目得。
下面我们以整数裂项为例,谈谈裂项法得运用,并为整数裂项法编制一个易用易记得口诀。
后延减前伸差数除以N例1、计算1×2+2×3+３×４+4×5+…＋9８×９9＋99×100分析:这个算式实际上可以瞧作就是:等差数列１、2、3、4、5……98、９9、１０0，先将所有得相邻两项分别相乘,再求所有乘积得与。
算式得特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
1×2＝(1×2×３-0×1×2)÷(1×3)2×３=(２×3×４-1×２×3)÷(1×３)3×4=(3×4×5-2×3×4)÷(１×３)4×5=（4×５×６－3×４×5)÷(1×3)……98×99＝(98×99×100-97×9８×99)÷(1×3)99×1０0=(９９×100×101-98×99×100）÷(1×3)将以上算式得等号左边与右边分别累加,左边即为所求得算式,右边括号里面诸多项相互抵消,可以简化为(99×10０×１０１-0×1×2)÷3。
六年级奥数整数的裂项与拆分
六年级奥数整数的裂项与拆分六年级奥数整数的裂项与拆分若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去.再把盒子重排了一下.小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子.问：一共有多少只盒子?分析：设原来小球数最少的`盒子里装有a只小球，现在增加了b 只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球.同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球.类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数.所以将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数，据此解答.解：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小聪没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球.同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球.类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数.将42分拆成若干个连续整数的和，因为42=6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7个加数;又因为42=14×3，故可将42：13+14+15，一共有3个加数;又因为42=21×2，故可将42=9+10+11+12，一共有4个加数.所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子.答：一共有7只、4只或3只盒子.。
六年级下册数学课件 小学奥数计算模块整数裂项 全国通用 共24张
整数裂项
1
2
3
循环往复，抵消
4
满足要求，直接求解
5 注意涉及到负数的情况 6 注意应该除以多少
课后作业
计算：
作业1
1 2 2 3 3 4 4 5 999 1000
计算：
作业2
10 1112 1112 13 12 13 14 19 20 21
计算：
作业3
1 4 7 4 7 10 7 10 13 10 13 16 13 16 19 16 19 22
教育理念：入乎耳，着乎心，布乎四体，形乎动静 教育理念：入乎耳，着乎心，布乎四体，形乎动静 Your heart is full of fertile seeds,waiting to sprout. 教育理念：入乎耳，着乎心，布乎四体，形乎动静 教学特点：充分挖掘学生自身潜力，用“爱”与“智慧”陪伴学生成长 教育理念：入乎耳，着乎心，布乎四体，形乎动静 教育理念：入乎耳，着乎心，布乎四体，形乎动静 题目形式比较单一，符号要求，直接求解，不符合要求，选择其它方法 教育理念：入乎耳，着乎心，布乎四体，形乎动静 题目形式比较单一，符号要求，直接求解，不符合要求，选择其它方法 Your heart is full of fertile seeds,waiting to sprout. 教育理念：入乎耳，着乎心，布乎四体，形乎动静 兴趣爱好：篮球、足球、羽毛球、桌球、跑步、健身、爬山、摄影、音乐、文学… 题目形式比较单一，符号要求，直接求解，不符合要求，选择其它方法 题目形式比较单一，符号要求，直接求解，不符合要求，选择其它方法 教育理念：入乎耳，着乎心，布乎四体，形乎动静
目录
CONTENTS
1
知识概述
3
总结归纳
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例5、计算1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
分析：n×n=(n-1)×n+n
解：1×1+2×2+3×3+……+99×99+100×100
=1+（1×2+2）+（2×3+3）+……+（98×99+99）+（99×100+100）
2、计算2×4×6+4×6×8+……+94×96×98+96×98×100
3、计算5×5×5+6×6×6+7×7×7+……+65×65×65
4、计算3+（3+6）+（3+6+9）+……+（3+6+9+12+……+300
下面我们以整数裂项为例，谈谈裂项法的运用，并为整数裂项法编制一个易用易记的口诀。
后延减前伸差数除以N
例1、计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋98×99＋99×100
分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。
将以上叙述可以概括一个口诀是：等差数列数，依次取几个。所有积之和，裂项来求作。后延减前伸，差数除以N。N取什么值，两数相乘积。公差要乘以，因个加上一。
需要注意的是：按照公差向前伸展时，当伸展数小于0时，可以取负数，当然是积为负数，减负要加正。对于小学生，这时候通常是把第一项甩出来，按照口诀先算出后面的结果再加上第一项的结果。
=（1×2+2×3+3×4+……+100×101）÷2
=（100×101×102÷3）÷2
=171700
将上面的口诀继续编写是：前延比零小，取负就是了。小学不可为，首项先甩掉。平方和立方，变形再裂项。式长要转化，类比解决它。口诀需熟记，灵活靠练习。
练习题：
1、计算1×4+4×7+7×10+……+94×97+97×100
=2+（2×4+4）+（4×6+6）+（6×8+8）+……+（96×98+98）+（98×100+100）
=（2×4+4×6+6×8+……+96×98+98×100）+（2+4+6+8+……+98+100）
=98×100×102÷6+（2+100）×50÷2
=169150
例7、计算1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100
=（99×101×103-1×3×5）÷6+1×3+98×100×102÷6
=171650+166600
=338250
例9、计算1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100）
解：1+（1+2）+（1+2+3）+……+（1+2+3+4+……+100）
=1×2÷2+2×3÷2+3×4÷2+……+100×101÷2
将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。
解：1×2+2×3+3×4+4×5+……+98×99+99×100
=（99×100×101-0×1×2）÷3
=333300
例2、计算3×5＋5×7＋7×9＋……＋97×99＋99×101
=99×100×101×102÷4+（1+100）×100÷2
=25492400
例8、计算1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101
解：1×3+2×4+3×5+4×6+……+98×100+99×101
=（1×3+3×5+……+99×101）+（2×4+4×6+……+98×100）
解：1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+96×97×98×+97×98×99
=（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）
=23527350
例4、计算10×16×22＋16×22×28＋……＋70×76×82＋76×82×88
分析：算式的特点为：数列公差为6，因数个数为3。
解：10×16×22+16×22×28+……+70×76×82+76×82×88
小学奥数--整数裂项
对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。
分析：这个算式实际上也可以看作是：等差数列3、5、7、9……97、99、101，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为2，因数个数为2。
3×5=（3×5×7-1×3×5）÷（2×3）
5×7=（5×7×9-3×5×7）÷（2×3）
7×9=（7×9×11-5×7×9）÷（2×3）
=1029882÷6
=171647
例3、计算1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋……＋96×97×98＋97×98×99
分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5……98、99、100，先将所有的相邻三项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为3。
1×2×3=（1×2×3×4-0×1×2×3）÷（1×4）
1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）
2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）
3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）
4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）
……
98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）
99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3）
……
97×99=（97×99×101-95×97×99）÷（2×3）
99×101=（99×101×103-97×99×101）÷（2×3）
将等号左右两边分别累加，左边即为所求算式，右边括号里面许多项可以相互抵消。
解：3×5+5×7+7×9+……+97×99+99×101
=（99×101×103-1×3×5）÷（2×3）
=（76×82×88×94-4×10×16×22）÷（6×4）
=2147376
通过以上例题，可以看出这类算式的特点是：从公差一定的数列中依次取出若干个数相乘，再把所有的乘积相加。其巧解方法是：先把算式中最后一项向后延续一个数，再把算式中最前面一项向前伸展一个数，用它们的差除以公差与因数个数加1的乘积。
分析：n×n×n=(n-1)×n×(n+1)+n
解：1×1×1+2×2×2+3×3×3+……+99×99×99+100×100×100
=1+（1×2×3+2）+（2×3×4+3）+……+（98×99×100+99）+（99×100×101+100）
=（1×2×3+2×3×4+……+98×99×100+99×100×101）+（1+2+3+……+99+100）
2×3×4=（2×3×4×5-1×2×3×4）÷（1×4）
3×4×5=（3×4×5×6-2×3×4×5）÷（1×4）
……
96×97×98=（96×97×98×99-95×96×97×98）÷（1×4）
97×98×99=（97×98×99×100-96×97×98×99）÷（1×4）
右边累加，括号内相互抵消，整个结果为（97×98×99×100-0×1×2×3）÷（1×4）。
=（1×2+2×3+……+98×99+99×100）+（1+2+3+……+99+100）
=99×100×101÷3+（1+100）×100÷2
=333300+5050
=338350
例6、计算1×2+3×4+5×6+……+97×98+99×100
分析：(n-1)×n=(n-2)×n+n
解：1×2+3×4+5×6+7×8+……+97×98+99×100