材料力学竞赛答案

一、（10分）如图所示悬臂梁OA ，O 端固定，在其底部有一光滑曲面4cx w =，其中c 为已知常数。

已知梁的抗弯刚度为EI ，长为l ，问在梁上作用何种形式载荷才能使梁恰好与曲面重合且不产生压力。

EI -EI -EI -
当x=l 时 F S =212EIcl M -=
二．（10分）等截面多跨梁如图所示，C 处为中间铰，受均布荷载作用。

试画出该梁挠曲线的大致形状。

弯矩图
挠曲线大致形状 4cx A
x 题一图 荷载图 EIcl 2
三、（10分）图示梁AB 弯曲刚度为EI ，抗弯截面系数为W ，B 端由拉压刚度为EA 的杆BD 连接，已知23
1Aa I =。

若重量为P 的重物以水平速度v 冲击在梁的中点C 处，求杆BD 和梁AB 内的最大冲击动应力。

=∆st
st 杆
σst 梁σ3
22
4gPa EI v g
v K =∆=st d 杆杆st d d σσK
=
梁梁st d d σσK =
四．（10分）图示钢筋AD 长度为3a ，总重量为W ，对称地放置于宽为a 的刚性平台上。

试求钢筋与平台间的最大间隙δ。

设EI 为常量。

EI
Wa EI a a W EI a a W EI ql EI l M 115219384352166384521634442e =-⨯=-⨯=δ
题三图
26a a
W 26a a W W q =
五．（10分）以绕带焊接而成的圆管如图所示，焊缝为螺旋线。

管的内径d=300mm，壁厚t=1mm，内压p=0.5MPa。

求沿焊缝斜面上的正应力和切应力。

焊缝斜面上一点单元体
MPa
5.
37
10
1
4
10
300
10
5.0
43
3
6
=
⨯
⨯
⨯
⨯
⨯
=
=
-
-
t
pd
x
σ
MPa
75
2
=
=
t
pd
y
σ，0
=
xy
τ
沿焊缝斜面上的正应力和切应力
MPa
53
)
80
cos(
2
75
5.
37
2
75
5.
37
2
sin
2
cos
2
2
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
-
+
+
=
-
-
+
+
=
α
τ
α
σ
σ
σ
σ
σ
αxy
y
x
y
x
MPa
5.
18
)
80
sin(
2
75
5.
37
2
cos
2
sin
2
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
-
-
=
-
-
=
α
τ
α
σ
σ
τ
αxy
y
x
六．（10分）两根钢轨铆接成组合梁，其连接情况如图所示。

每根钢轨的横截
面积A=8000mm2，形心距离底边的高度c = 80mm，每一钢轨横截面对其自身
形心轴的惯性矩4
4
1
m m
10
1600⨯
=
Z
I，铆钉间距s =150mm，直径mm
20
=
d，
许用切应力MPa
95
]
[=
τ。

若梁内剪力kN
50
S
=
F，试校核铆钉的剪切强度。

不
考虑上下两钢轨间的摩擦。

组合梁横截面对z轴的惯性矩
4
6
12
2
8
2
1
m
10
4.
133
)
10
8000
80
10
1600
(
2
)
(
2-
-
-⨯
=
⨯
⨯
+
⨯
⨯
=
+
⨯
=A
c
I
I z
z
F S
F S
M M
1
1
z
题三图
σ
铆钉连接处的纵向截面切应力z
zC bI S F *=S τ 每个铆钉承受的剪力为
kN
85.17104.1332101501080108000105021216
3363=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=⋅⋅=----*sb bI S F sb F z
zC S S τ铆 铆钉横截面上切应力[]τMPa 85.5610201085.17446
232
<=⨯⨯⨯⨯==-ππτd F 铆
铆S 所以铆钉满足剪切强度要求。

七．（10分）如图所示，钢制曲拐的横截面直径为20mm ，C 端与钢丝相连，钢丝的横截直径为1mm 。

曲拐和钢丝的弹性模量同为GPa 200=E ，GPa 84=G 。

若钢丝的温度降低C 80 ，且C /10126 -⨯=α，试求（1）曲拐截面A 的顶点的应力状态，（2）C 点的垂直位移。

题七图 T
（1）一次静不定，建立相当系统。

正则方程：01111=∆+t X δ
m/N 1094.81413.06.03.0)6.03226.03.03223.0(15P 2211-⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=EA
GI EI δ m 103848041012561--⨯-=⨯⨯⨯-=∆-=∆t l t α
N 431111=∆-=δt
X 曲拐截面A 的顶点的应力状态图
MPa 87.3210206.0433232
9
331=⨯⨯⨯⨯===-ππσd a X W M MPa 22.810
203.0431616
9331
P =⨯⨯⨯⨯===-ππτd b X W T C 点的垂直位移
-⨯=-∆=-5110384EA l X t l w C αm 104.2744
10110200443569--⨯=⨯⨯⨯⨯⨯π
八．（15分）如图所示矩形截面压杆，截面尺寸为mm 40mm 80⨯，在图(a)所示平面内（x-y 面，正视图）两端铰支，1=μ。

在图(b)所示平面内（x-z 面，俯视图）可取8.0=μ。

材料为Q235钢，100P =λ，600=λ，206=E GPa ，304=a MPa ，12.1=b MPa ，试求该压杆的临界力。

题八图
x σ
图(a)中，5.8608
.0289.021=⨯⨯=
=z a i l μλ 图(b)中，4.13804.0289.028.0=⨯⨯==y b i l μλ 所以在图(b)中，(x-z 面内)易失稳，细长杆
kN 3.3391040804
.1381020614.3629
222cr =⨯⨯⨯⨯⨯==-A E F λπ
九、（15分）试求图示平面刚架点E 的水平位移。

设各杆抗弯刚度均为EI 。

（计算中可忽略轴力和剪力的影响）
单位荷载法：
q
2 ql /2 222+
EI
ql l l ql l l ql l l ql EI w C 6)4
8324222221(14
222-=⋅⋅⋅+⋅⋅--⋅⋅⋅-=
（方向向左）。