2016王式安概率论冲刺班讲义

{
{
㊃5㊃
例8
, 设随机变量 X 服从标准正态分布, 其分布函数为 Φ( 求随机变量Y = Φ( 的分布函数. x) X)
2 x , 0< x <3 , ) 例9 ( 设随机变量 X 的概率密度为 f( 1 3 x)= 9 , 其他 . 0 , , 2 X ɤ1 ì ï ï , 令随机变量Y = íX, 1< X <2 ï , î1 2ɤ X. ( ( Ⅰ )求Y 的分布函数 ; Ⅱ )求概率 P{ X ɤY} .
( } ; Ⅰ )求 P{ X = 1|Z = 0
)设随机变量 X 与Y 独立同分布 , 例6 ( 且 X 的概率分布为 0 7
X P
1 2 3
2 1 3
,
{ , { 记U = m a x X, Y} V=m i n X, Y} . ( ) ( , ) ; ( ( Ⅰ 求 U V 的概率分布 Ⅱ )求 U 与 V 的协方差 c o v U, V) .
例7
1, 如果考生不知道正确解法就瞎猜 , 试求 : 4 ( Ⅰ )该考生答对此选择题的概率 . ( 而不是瞎猜的概率 . Ⅱ )当考生答对了 ,
某一选择题有 4 个选项 , 已知考生知道正确解法的概率为 2 , 考生因粗心犯错的概率为 3
㊃3㊃
主要考点 : 离散型和连续型随机变量 , 分布函数 , 分布律 , 概率密度 , 常见分布 , 随机变量函数 1. 的分布 , 随机变量独立 . 典型例题分析 2. ] , ( }= 例 1 设随机变量 X 与Y 相互独立 , 且均服从 U [ 则 P{ 0, 3 m i n X, Y)<1 .
1 { ) } } 例9 ( 设随机变量 X, 1 4 Y 的概率分布相同 , X 的概率分布为P { X =0 P X =1 = , = 3
1, 若 X >0, ì ï ï ( ) [ , ] , 例1 0 0 0 设随机变量 X ~ U -1 2 随机变量Y = í 0, 若 X = 0, ï î-1, 若 X <0, 则方差 D Y= .
{
( } Ⅲ) P{ X +Y <1 .
㊃6㊃
2 0 1 6 冲刺讲义 1 在给定 )设随机变量 X 的概率分布为P { } } 例1 1 ( 1 4 X =1 X =2 X =i的条件 = P{ = , 2 ) ( ) 下, 随机变量Y 服从均匀分布 U ( 0, i i = 1, 2 . ( Ⅱ )求 E Y.
㊃8㊃
2 0 1 6 冲刺讲义
2 ������k = 1 )独立同分布 , 设随机变量 X1 , 其方差为σ 记X X2 , , Xn ( n ȡ1 X >0, i, ð ki =1 ������ ������ ( , , 则c 1ɤk ɤ n, o v X X 1ɤs t ɤ n 的值等于 s, t)
㊃1 0㊃
2 0 1 6 冲刺讲义 大数定律 , 中心极限定理 Ⅱ 第三章 主要考点 : 切比雪夫不等式 , 三个大数定律 , 两个中心极限定理 1. 典型例题分析 2. 例1 =
4, }ɤ 则根据切比雪夫不等式有 P{ X ȡ2 3
设随机变量 X 的密度函数f( 满足 x)
ʏ
0
+ɕ
2 x) d x = 1, x x) d x = 1, x x) d x f( f( f( 0 0
Ⅲ 1题 9分 2题 1 7分 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 5 1 4 1 4 1 4 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 5 1 1 1 2 1 5 2 8 1 1 1 2 1 5
1 4
1 4 1 4
1 4 1 4 1 4 1 4
㊃1㊃
主要考点 : 随机事件的关系 , 运算和规律 , 概率性质 , 条件概率 . 1. 事件独立性 , 五大公式 . 典型例题分析 2. ������| ������) 例 1 设 P( 且 P( 则 P( A) 4, P( A B) 2, A| B) A B A ɣB) =0. =0. +P( =1, = .
例5
k
σ ( A) . ( , ) m a x s t 2 ( ( , ) C) σ m a x s t .
2
σ ( B) . ( , ) m i n s t 2 ( ( , ) D) σ m i n s t .
2
������ = 1 )独立同分布 , ) 设随机变量 X1 , 均服从 N ( 记X X2 , , Xn ( n >1 0, 1 . X i, ð ni =1 ������ i = 1, 则Y1 与Yn 的相关系数ρ 等于 Yi = X 2, , n. i -X , 1 1 1 1 ( ( ( ( A) . B) . C) . D) - . n-1 n-1 n n
æ æ 1 ö2 ö )设ξ, , ç0 ç ÷ ÷ 的 随 机 变 量, 例3 ( 是两个相互独立且 均 服 从 正 态 分 布 则随机变量 9 6 N η è è 2ø ø )= . | | ξ-η| 的数学期望 E( ξ-η|
)设两个随机变量 X, 例4 ( 且都服从均值为 0, 方差为 1 的正态分布 , 则随机 9 8 Y 相互独立 , 2 )= 变量 |X -Y | 的方差 D( . |X -Y |
Ⅱ
第一章
随机变量及其分布
例2
2 ) , ( ) , , 设随机变量 X 服从正态分布 N ( 且 P{ 则μ 的值 σ σ >0 X <σ}> P{ X >σ} μ, σ ( ( ( ( A)小于 1. B)等于 1. C)大于 1. D)不能确定 .
) 例3 ( 设随机变量Y 服从参数为1的指数分布 , 则 P{ 1 3 a 为常数且大于零 , Y ɤa+1 Y> | } a = .
{
x y, e 0< x < y, 其他 . 0, ( ; ( 求Y 的边缘概率密度 ; Ⅰ )求 ( X, Y)的概率密度 f( x, Ⅱ) y)
例1 0
率密度为 f Y X( y|x)= |
) , ) 设随机变量 X 服从指数分布E ( 在 X = x( 的条件下 , 随机变量Y 的条件概 1 x >0
)已知随机变量 X 与Y 的概率分布分别为 例8 ( 0 9
1 且 P{ X =Y}= . 4 ( Ⅰ )求二维随机变量 ( X, Y)的概率分布 ; ( ) 求 与 的相关系数 Ⅱ X Y ρXY .
X -1 1 P 2
1 1 2
Y , P
0 1 4
1 3 4
,
㊃9㊃
2, 且 X 与Y 的相关系数ρXY = 1 . 3 2 ( ) ( , ) ; 求 的概率分布 Ⅰ XY ( } Ⅱ )求 P{ X +Y ɤ1 .
b 0. 1
( D) a = 0. 1 b = 0. 4.
㊃4㊃
2 0 1 6 冲刺讲义 )袋中有一个红球 , 例5 ( 两个黑球 , 三个白 球 , 现 有 放 回 地 从 袋 中 取 两 次, 每 次 取 一 个 球, 0 9 以 X, 黑球与白球的个数 . Y, Z 分别表示两次取球所取得的红球 , ( Ⅱ )求二维随机变量 ( X, Y)的概率分布 .
㊃2㊃
2 0 1 6 冲刺讲义 ) 例6 ( 已知甲 ㊁ 乙两箱中装有同种产品 , 其中甲箱中装有3件合格品和3件次品 , 乙箱中仅 0 3 装有 3 件合格品 , 从甲箱中取 3 件产品放入乙箱后求 : ( Ⅰ )乙箱中次品件数 X 的数学期望 ; ( Ⅱ )从乙箱中任取一件产品是次品的概率 .
( ; Ⅰ )求Y 的分布函数 FY ( y)
1, 0< y < x <1, x, f( y)= x 其他 . 0, ( ) ( ) ; 求 的边缘概率密度 Ⅰ Y fY y ( ( ; Ⅱ )求条件概率密度 f x) Y X y| | ( } Ⅲ )求 P{ X +Y >1 .
例1 2
设二维随机变量 ( X, Y)的概率密度为
常见分布 期望 ㊁ 方差 相关系数 B㊁ P㊁ U㊁ E㊁ N 协方差 ㊁ 函数的分布
ຫໍສະໝຸດ Baidu
ң 分布函数 ң 数字特征
大数定律 ң 中心极限定理
Ⅲ . 简单随机样本
近十年考题与分布 数学一 2 0 0 6年 数学三 2 0 0 7年 2 0 0 8年 2 0 0 9年 2 0 1 0年 2 0 1 1年 2 0 1 2年 2 0 1 3年 2 0 1 4年 2 0 1 5年 一 三 一 三 一 三 一 三 一 三 一 三 一 三 一 三 一 三
{
㊃7㊃
主要考点 : 数学期望 , 方差 , 协方差 , 相关系数 1. 常用分布的数字特征 , 随机变量函数的数字特征
Ⅱ
第二章
随机变量的数字特征
典型例题分析 2. 2 2 ) , ( ) 例 1 设随机变量 X 服从标准正态分布 N ( 则 E[ 0, 1 X -2 eX ]=
.
)设随机变量 X, ) ]= 例2 ( 且E 则 E[ 1 5 Y 不相关 , X = 2, E Y = 1, D X = 3, X( X +Y -2 ( ) ( ) ( ) ( ) A -3. B 3. C -5. D 5.
Ⅰ 随机事件与概率
)设事件 A 与事件 B 互不相交 , 例2 ( 则 0 9 ������ ������ ( A) P( AB )= 0. ( C) P( A)= 1-P( B) .
( B) P( A B )= P( A) P( B) . ������ ������ ( ) ( ) D P A ɣ B = 1.
ң
2 2 ������, , , X S t F χ, 正态总体抽样分布
ң 统计量
ң 参数估计
ң 点估计 ң 矩估计法 最大似然估计法 区间估计 评估 假设检验
Ⅰ 1题 4分 2 8 2 8
Ⅱ 3题 1 7分 3题 2 1分 2 1 5 2 1 5 4 2 3 4 2 3 3 1 9 3 2 6 4 2 3 4 3 0 4 2 3 4 3 0 3 1 9 3 2 6 3 1 9 4 2 3 2 1 5 2 2 2 3 1 9 2 1 5
例7
, 设随机变量 X 的概率密度为f( 则随机变量 |X| 的概率密度为 x) ( ) ( ) x +f -x ( ( A) x)= f . B) x)= f( x) . +f( -x) 1( 1( f f 2 x) +f( -x) f( , x >0, , x >0, x) +f( -x) f( ( ) ( ) ( 2 Cf D) x)= 1 x = 1( f 0, x ɤ0. 0, x ɤ0.
)设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为 1 , 例3 ( 0 0 A 发生B 不发生的概率与B 9 发生 A 不发生的概率相等 , 则 P( A)= .
例4
1 ( A) . 4
2 则 ( 已知 P( A)= P( B)= , P A|B) B|A)最小可能取值等于 +P( 3 1 ( B) . 3 1 ( C) . 2
)设二维随机变量 ( 例4 ( 0 5 X, Y)的概率分布为
Y 0 X
1
0 0. 4 a .
1
}与 { }相互独立 , 已知随机事件 { 则 X =0 X +Y = 1 ( ) ( ) ( A a = 0. 2 B a = 0. 4 C) a = 0. 3 b = 0. 3. b = 0. 1. b = 0. 2.
例6
n
)设随机变量 X ~ N ( ) , ) , , 例7 ( 且相关系数ρ 则 0 8 0, 1 Y ~ N( 1, 4 X Y =1 ( }= 1. ( }= 1. A) P{ Y =-2 X -1 B) P{ Y =2 X -1 ( }= 1. C) P{ Y =-2 X +1
( }= 1. D) P{ Y =2 X +1
( D) 1.
例5
n 1 1ö kæ ç ÷ ( A) C . n è2ø
连续抛掷一枚硬币 , 第k 次正面向上在第n 次抛掷时发生的概率
n 1 n 1ö kæ ç ÷ ( B) C . n è2ø n
1ö k 1æ ç ÷ ( C) C n 1 è2ø
.
1ö k 1æ ç ÷ ( D) C . n 1 è2ø
2 0 1 6 冲刺讲义
概率论与数理统计
Ⅰ . 随机试验 ң 样本点 样本空间 ң 随机事件 A 关系 , 运算 规律
A) ң 概率 P(
定义 , 性质 五大公式 , 条件概率
几何概型 ң 古典概型 , 伯努里概型
一维 X
ң
离散型
ң ң
Ⅱ . 随机变量
律) ң 分布 ( ң 密度
二维 ( X, Y) 连续型 独立 , 条件