初三数学一对一讲义
一对一讲义
圆梦教育一对一讲义教师:学生:日期:星期:时段:课题九年级上册数学第一章复习熟练掌握并运用有关的几何证明定理及推理，能够做到举一反三学习目标与分析学习重点等腰三角形性质；直角三角形性质；线段的垂直平分线及其性质学习方法先回顾所学定理及推理，再结合相关题目加深理解与记忆，总结做题规律学习内容与过程教师分析与批改第一节：你能证明吗重要定理、推理：1、三角形全等条件：SSS SAS ASA AAS2、定理：等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）3、推论：等腰三角形顶角的角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合。
4、规律：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰的中线相等，两腰上的高相等。
5、定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
（等角对等边）6、规律：过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.。
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.7、反证法步骤：1）假设: 先假设命题的结论不成立;2）归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;3）结论: 由矛盾的结果判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确.8、定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。
9、定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
对应练习题：1、 由在同一三角形中“等角对等边”“等边对等角”两个定理我们可以联想到大边对_________，大角对_________；2、如图1，D 在AC 上，且AB =BD =DC ，∠C =40°，则∠A =_________，∠ABD =_________；3、△ABC 中，∠BAC =90°，∠B =60°，AD ⊥BC 于D ，AE 是斜边上的中线，若DB = 4，则AB =_________，BC =_________；4、若等腰△ABC 的顶角为∠A ，底角为∠B =α，则α的取值范围是 （ ）（A ） α＜45° （B ） α＜90° （C ） 0°＜α＜90°（D ） 90°＜α＜180°5、△ABC 中， AB =AC ， CD 是△ABC 的角平分线， 延长BA 到E 使DE =DC ， 连结EC ，若∠E =51°，则∠B 等于 （ ）（A ）60°（B ）52°（C ）51°（D ）78°6、如图3，在AB =AC 的△ABC 中，D 点在AC 边上，使BD =BC ，E 点在AB 边上，使AD =DE =EB ，求∠ED B ；7、如图5，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 是垂足，ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，求证：AD =AF ；图1D CB A 图3E D CB A 图5F ED C B A第二节：直角三角形重要定理、推理：1、 定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
初中一对一精品辅导讲义：反比例函数
教学目标 重点、难点 考点及考试要求1、理解反比例函数的概念。
2、反比例函数的图像及相关性质。
反比例函数的图像和性质：掌握反比例函数的定义、图像和性质的应用。
考点 1：反比例函数的有关概念 考点 2：反比例函数与一次函数的联系 考点 3：反比例函数在生活中的运用教第一课时学内容反比例函数知识考点（1）考点一：反比例函数的概念 一般地，函数 y (k为常数，k 0） 叫做反比例函数。
k 为比例系数，其中自变量 x 的取值范围是 xk ≠0 的一切实数。
因为 k ≠0,x≠0，所以 y= 的函数值 y 也不等于 0，因此可以知道 y 的取值范围是 xk xy≠0 的一切实数。
k (k≠0)还可写成 y=kx-1 或 xy=k(k≠0)的形式; x k (2)反比例函数 y= (k≠0)的右边是自变量的分式,而且这个分式的分母是自变量的一次单项式, x(1)反比例函数 y=分子是一个非零实数,如 y=5 1 2 ,y=等都是反比例函数,但 y= 就不是反比例函数. 1 3x x 1 x 3（3）反比例函数中的k 是一个分式，自变量 x≠0；函数与 x 轴、y 轴无交点。
x（4）用待定系数法求反比例函数的解析式k 反比例函数 y= 中只有一个待定系数 k，所以只要知道一对 x、y 的值或其图象上的一个点的坐 x标，我们就可以用待定系数法求反比例函数的解析式。
其中 k 的值就是 x 与 y 的乘积。
典型例题： 例 1．若函数 y (m 2 m) x m23m1是反比例函数，则 m 的值是______。
例 2．在下列函数中，y 是 x 的反比例函数是（ ） 2 1 y 2 y A y 2x 1 B C 5x x 例 3．反比例函数过点（6，-2） ，则它的解析式为D2y x。
例 4．已知：y=y1+y2，其中 y1 与 x 成反比例，y2 与 x-2 成正比例，但当 x=1 时，y=-1，当 x=3 时， y=3，求函数 y 的解析式。
二次函数综合应用 初三人教版数学讲义 一对一
二次函数综合应用例1（2019年山东济宁第15题）如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____．例2（2019年山东泰安第16题4分）若二次函数y ＝x 2+bx ﹣5的对称轴为直线x ＝2，则关于x 的方程x 2+bx ﹣5＝2x ﹣13的解为 x 1＝2，x 2＝4 ．解：∵二次函数y ＝x 2+bx ﹣5的对称轴为直线x ＝2，∴22-=b，得b ＝﹣4， 则x 2+bx ﹣5＝2x ﹣13可化为：x 2﹣4x ﹣5＝2x ﹣13，解得，x 1＝2，x 2＝4．故意答案为：x 1＝2，x 2＝4．考点一：二次函数与一元二次方程及不等式的联系1、（2016山东滨州第10题）抛物线12222+-=x x y 与坐标轴的交点个数是（ B ）A ．0B ．1C ．2D ．32、（2014东营，9,3分）若函数()12122++++=m x m mx y 的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为（ ) A ．0B ．0或2C ．2或-2D ．0，2或-23、（2017湖北荆门，10,3分）若二次函数mx x y +=2的图象的对称轴是x=3，则关于x 的方程72=+mx x 的解为（ D ）A ．6,021==x xB ．7,121==x xC ．7,121-==x xD ．7,121=-=x x经典例题随堂小练4、（2015天津，12,3分）已知抛物线623612++-=x x y 与x 轴交于点A,点B 与y 轴交于点C ，若D 为AB 的中点，则CD 的长为（ ） A ．415 B ．29 C ．213 D ．2155、（2017青岛，11,3分）若抛物线m x x y +-=62与x 轴没有交点，则m 的取值范围是 m ＞9 ． 解：∵抛物线y=x 2﹣6x+m 与x 轴没有交点，∴△=b 2﹣4ac ＜0，∴（﹣6）2﹣4×1•m ＜0，解得m ＞9． 6、（2016宁夏，10,3分）若二次函数m x x y +-=22的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围 . 7、（2017江苏南京，26,8分）已知函数()()为常数m m x m x y +-+-=12.（1）该函数的图象与x 轴公共点的个数是（ D ） A ．0B ．1C ．2D ．1或2（2）求证：无论m 为何值，该函数的图象的顶点都在函数()21+=x y 的图象上. （3）当32≤≤-m 时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.二次函数的实际应用 1、利润问题； 2、面积问题； 3、几何问题.T —基础梳理小 结 基础梳理例1（2017,济宁，18，7分）某商店经销一种学生用双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：y=﹣x+60（30≤x ≤60）．设这种双肩包每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（1）()30w x y =-⋅ ()()3060x x =-⋅-+2901800x x =-+-所以w 与x 的函数关系式为：2901800w x x =-+-（30≤x ≤60）（2）()2290180045225w x x x =-+-=--+. ∵﹣1＜0，∴当x=45时，w 有最大值．w 最大值为225．答：销售单价定为45元时，每天销售利润最大，最大销售利润225元．（3）当w=200时，可得方程()245225200x --+=．解得 x 1=40，x 2=50．∵50＞48，∴x 2=50不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种健身球每天想要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．1、（2019年山东临沂第14题3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m ；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h ＝30m 时，t ＝1.5s ．其中正确的是（ ）A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②③经典例题随堂小练解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m ；故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；④设函数解析式为：h ＝a （t ﹣3）2+40， 把O （0，0）代入得0＝a （0﹣3）2+40，解得a ＝﹣，∴函数解析式为h ＝﹣（t ﹣3）2+40，把h ＝30代入解析式得，30＝﹣（t ﹣3）2+40，解得：t ＝4.5或t ＝1.5，∴小球的高度h ＝30m 时，t ＝1.5s 或4.5s ，故④错误；故选：D ．2、（2017辽宁沈阳，15,3分）某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，且销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售单价是 元时，才能在半月内获得最大利润.3、（2017德州，22，10分）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式； （2）求出水柱的最大高度是多少？解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x 轴，水管所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为：y=a （x ﹣1）2+h ，代入（0，2）和（3，0）得：⎩⎨⎧=+=+204h a h a ，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=3832h a ，∴抛物线的解析式为：y=32-（x ﹣1）2+38；即y=32-x 2+34x+2（0≤x ≤3）；（2）y=32-x 2+34x+2（0≤x ≤3），当x=1时，y=38，即水柱的最大高度为38m ．4、（2019年山东青岛第22题）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式；（2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润 w （元）最大？最大利润是多少？（3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？【答案】（1）0.24R m =；（2）50x =时，w 最大1200=；（3）70x =时，每天的销售量为20件. 解：（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为：y=kx+b ，将点（30，100）、（45，70）代入一次函数表达式得：100307045k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，解得：2160k b -⎧⎨⎩＝＝，故函数的表达式为：y=-2x+160；（2）由题意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，∵-2＜0，故当x ＜55时，w 随x 的增大而增大，而30≤x ≤50，∴当x=50时，w 由最大值，此时，w=1200， 故销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润1200元；（3）由题意得：（x-30）（-2x+160）≥800，解得：x ≤70，∴每天的销售量y=-2x+160≥20， ∴每天的销售量最少应为20件．5、（2017潍坊，23,9分）工人师傅用一块长为10dm ，宽为6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）（1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为12dm 2时，裁掉的正方形边长多大？（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？（1）如图所示：设裁掉的正方形的边长为xdm ，由题意可得（10﹣2x ）（6﹣2x ）=12，即x 2﹣8x+12=0，解得x=2或x=6（舍去），答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2；（2）∵长不大于宽的五倍，∴10﹣2x≤5（6﹣2x），解得0＜x≤2.5，设总费用为w元，由题意可知w=0.5×2x（16﹣4x）+2（10﹣2x）（6﹣2x）=4x2﹣48x+120=4（x﹣6）2﹣24，∵对称轴为x=6，开口向上，∴当0＜x≤2.5时，w随x的增大而减小，∴当x=2.5时，w有最小值，最小值为25元，答：当裁掉边长为2.5dm的正方形时，总费用最低，最低费用为25元．6、（2016福建泉州，24,9分）某进口专营店销售一种“特产”，其成本价是20元/千克，根据以往的销售情况描出销售量y（千克/天）与售价x（元/千克）的关系，如图所示。
二次函数一对一辅导讲义(1对1辅导精品)
教学目标1、使学生理解二次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定系数法求二次函数解析式。
2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
重点、难点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
考点及考试要求 考点1：二次函数的有关概念考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系考点3：二次函数在生活中的运用教 学 内 容第一课时 二次函数知识重要考点（1）考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数注意点：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，而b 、c 为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。
（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2为整式） 典型例题：例1： 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时， 是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c （a ≠0）， 对称轴：直线x=ab 2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， )（2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）, 对称轴:直线x=22x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为 ；对称轴是 。
例2：二次函数y=-4（1+2x ）（x-3）的一般形式是 。
九年级一对一教案-第6讲-一元二次方程19版
第6讲一元二次方程1.一元二次方程定义2.一元二次方程的根3.解一元二次方程4.根的判别5.韦达定理6.一元二次方程应用知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1. 一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，其中ax 2、bx 、c 分别叫做二次项、一次项、常数项，a 、b 、c 分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．例：方程20aax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－1.【例题1】 （2017秋•郓城县期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．3x 2+﹣1=0B ．5x 2﹣6y ﹣3=0 C．ax 2﹣x +2=0D ．3x 2﹣2x ﹣1=0【例题剖析】概念理解题：能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键【例题2】 关于x 的方程是一元二次方程，则a= ．【例题剖析】对一元二次方程一般形式的理解题：【例题3】 （2017•河北模拟）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x +m 2﹣5m +4=0，常数项为0，则m 值等于（ ） A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．0【例题剖析】对一元二次方程一般解的理解题：【例题4】（2017秋•抚顺县期末）关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．3【例题5】（2017秋•潮南区期末）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则代数式m2﹣m+3=（）A．﹣2B．1C．0D．5【例题6】已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=．【例题剖析】对一元二次方程一般解的理解转换计算：【例题7】（2017•临海市模拟）若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的一个实数根，则2014﹣m2+5m的值是（）A．2011B．2012C．2013D．20142.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=242b b aca-±-（b2－4ac≥0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=－3,k=6.【例题剖析】解一元二次方程-直接开平方法的【新定义题】【练习1】给出一种运算：对于函数y=x n，规定y'=nx n﹣1．例如：若函数y=x4，则有y'=4x3．已知函数y=x3，则方程y'=36的解是（）A．x1=x2=0B．x1=2，x2=﹣2C．x1=2，x2=﹣2D．x1=4，x2=﹣4【练习2】（2017春•甘州区校级期中）在实数范围内定义运算“★”，其规则为a★b=a2﹣b2，则方程（4★3）★x=13的根为．【练习3】在实属范围内定义新运算“⊕”其法则为a⊕b=a2﹣b2，则（4⊕3）⊕x=24的解为．【练习4】（2017春•鄂州期中）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+2与2m﹣5，则=．考点1 ：解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【例题剖析】解一元二次方程-配方法【例题8】利用配方法解方程2x2﹣x﹣2=0时，应先将其变形为（）B．C．D．A．【例题9】用配方法解一元二次方程2x2﹣4x+1=0，变形正确的是（）A．（x﹣）2=0B．（x﹣）2=C．（x﹣1）2=D．（x﹣1）2=0考点2 ：解一元二次方程-公式法【例题剖析】解一元二次方程-公式法【例题10】已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（）A．﹣2＜a＜﹣1B．2＜a＜3C．﹣3＜a＜﹣4D．4＜a＜5【例题11】若一元二次方程x2+x﹣1=0的较大根是m，则（）A．m＞2B．m＜﹣1C．1＜m＜2D．0＜m＜1【例题12】用公式法解方程：3x2+5（2x+1）=0．考点3 ：解一元二次方程-因式分解法【例题剖析】解一元二次方程-因式分解法【例题13】（2017•霍山县校级模拟）使分式的值等于零的x是（）A．6B．﹣1或6C．﹣1D．﹣6【例题剖析】解一元二次方程-因式分解法实际运用【练习5】（2017•高新区一模）对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：a★b=．若2★m=36，则实数m等于（）A．8.5B．4C．4或﹣4.5D．4或﹣4.5或8.5【练习6】定义一种新运算：a♣b=a（a﹣b），例如，4♣3=4×（4﹣3）=4，若x♣2=3，则x的值是（）A．x=3B．x=﹣1C．x1=3，x2=1D．x1=3，x2=﹣1【练习7】（2017秋•凉州区期末）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．考点4 ：换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【例题剖析】解一元二次方程-换元法【例题14】（2017秋•鄂城区期中）已知x是实数且满足（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3=0，那么x2+3x的值为（）A．3B．﹣3或1C．1D．﹣1或3【例题15】已知（x2+y2）2﹣y2=x2+6，则x2+y2的值是（）A．﹣2B．3C．﹣2或3D．﹣2且3【例题16】已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）=8，则a2﹣b2的值为（）A．﹣2B．4C．4或﹣2D．﹣4或2【例题17】（2017秋•宜城市期中）已知方程ax2+bx+c=0的解是x1=2，x2=﹣3，则方程a（x+1）2+b（x+1）+c=0的解是（）A．x1=1，x2=﹣4B．x1=﹣1，x2=﹣4C．x1=﹣1，x2=4D．x1=1，x2=4知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当Δ＝24b ac->0时，原方程有两个不相等的实数根．(2)当Δ＝24b ac-=0时，原方程有两个相等的实数根．(3)当Δ＝24b ac-<0时，原方程没有实数根．例：方程2210x x+-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根.【例题剖析】解一元二次方程-根的情况判别【例题18】一元二次方程3x2﹣6x+4=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个实数根【例题19】（2017•咸宁）已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【例题剖析】解一元二次方程-根判别的相关计算【练习8】（2018•泸县校级一模）关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0B．k＞0C．k≥﹣1D．k＞﹣1【练习9】（2017•广州）关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（）A．q＜16B．q＞16C．q≤4D．q≥4*4.根与系数的关系（1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.（2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.与一元二次方程两根相关代数式的常见变形：(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2－2x1x2,12121211x xx x x x++=等.失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时★=b2－4ac≥0.（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．【例题剖析】根与系数的关系的直接计算【例题20】（2017秋•武昌区月考）方程x2﹣6x+10=0的根的情况是（）A．两个实根和为6B．两个实根之积为10C．没有实数根D．有两个相等的实数根【例题21】已知x1，x2是一元二次方程x2﹣6x﹣15=0的两个根，则x1+x2等于（）A．﹣6B．6C．﹣15D．15【例题22】两个不等的实数a、b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，则ab的值为（）A．1B．﹣1C．D．【例题23】（2017春•莱城区期末）已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长度是关于x的方程x2﹣13x+36=0的两个实数根，则此菱形的面积是（）A．18B．30C．36D．不确定【例题剖析】根与系数的关系的逆运算【练习10】（2017•烟台）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1=0的两个根，且x1+x2=1﹣x1x2，则m的值为（）A．﹣1或2B．1或﹣2C．﹣2D．1【练习11】（2017•新疆）已知关于x的方程x2+x﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（）A．﹣3B．﹣2C．3D．6【练习12】（2017•雅安）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣k﹣1=0的两根，且x1x2=﹣3，则k的值为（）A．1B．2C．3D．4【例题剖析】根与系数的关系的转换计算【模型A】+【练习13】若方程x2﹣3x﹣4=0的两根分别为x1和x2，则+的值是（）A．1B．2C．﹣D．﹣【练习14】（2017•黔东南州）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（）A．2B．﹣1C．D．﹣2【练习15】设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则=（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【模型B】x12+x22【练习16】若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（）A．6B．﹣6C．18D．﹣18【练习17】已知一元二次方程x2﹣3x﹣4=0的两根为x1，x2，则x12+x22=．【模型C】+【练习18】设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+的值是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣6或﹣5D．6或5【练习19】设x1，x2是方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根，则+的值是（）A．﹣6B．﹣5C．﹣6或﹣5D．6或5【模型D】n m【练习20】（2017•绵阳）关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1，则n m 的值为（）A．﹣8B．8C．16D．﹣16【练习21】（2018•宜宾模拟）已知x1，x2是关于x的方程x2+ax﹣2b=0的两实数根，且x1+x2=﹣2，x1•x2=1，则b a的值是．【模型E】根的加、积混合【练习22】（2017•仙桃）若α、β为方程2x2﹣5x﹣1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为（）A．﹣13B．12C．14D．15【练习23】设a，b是方程x2+x﹣2012=0的两个根，则a2+2a+b的值为（）A．2009B．2010C．2011D．2012【练习24】（2017•日照模拟）已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2﹣ab+3a+b的值为（）A．2B．3C．﹣2D．8【练习25】已知m、n是方程x2+3x﹣2=0的两个实数根，则m2+4m+n+2mn的值为（）A．1B．3C．﹣5D．﹣9【练习26】（2017•昆明模拟）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1x2﹣x1﹣x2的值是（）B．﹣C．D．﹣A．【练习27】（2017秋•金堂县期末）若x1，x2是关于x的方程x2﹣2x﹣5=0的两根，则代数式x12﹣3x1﹣x2﹣6的值是．知识点三：一元二次方程的应用4.列一元二次方程解应用题（1）解题步骤：①审题；②设未知数；★ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答．运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.（2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.★平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；★利润问题：利润=售价－成本；利润率=利润/成本×100%；★传播、比赛问题：★面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.1、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）“每每型”：在经济问题中常常出现这样的描述：“单价每降低1元，每天可多售出10件。
九年级一对一教案-第7讲-分式方程
第7讲分式方程1.分式方程的基本概念2.解分式方程3.分式方程的增根4.列表法解决分式方程的应用知识点一：分式方程及其解法关键点拨及对应举例1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程．例：在下列方程中，①210x+=；①4x y+=-；①11xx=-，其中是分式方程的是①.【例题1】（2017秋•建昌县期末）下列方程是分式方程的是（）A．B．C．x2﹣1=3D．2x+1=3x【例题2】下列方程属于分式方程的是（）A．+5=0B．+2=0C．3x2+x﹣3=0D．﹣x=12.解分式方程基本思路：分式方程整式方程例：将方程12211x x+=--转化为整式方程可得：1－2＝2(x－1).解法步骤：(1)去分母，将分式方程化为整式方程；(2)解所得的整式方程；(3) 检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去．验根的方法：【解分式方程】【例题1】（2018•南通）解方程：．方程两边同乘以最简公分母约去分母未知数的值最简公分母值为零值不为零是增根是方程的根【例题2】（2018•贺州）解分式方程：+1=．依据分式方程的增根确定字母参数的方法（1）将分式方程化为整式方程（2）用含有字母参数的代数式表示x （3）根据情况确定值【练习1】若分式方程的解为正数，则a的取值范围是．【练习2】（2017秋•黔南州期末）已知关于x的分式方程=l的解是x≠l的非负数，则m的取值范围是．【练习3】（2017•荆州）若关于x的分式方程=2的解为负数，则k的取值范围为．【练习4】关于x的方程=1的解是非负数，则a的取值范围是（）A．a≥﹣3B．a≤﹣3C．a≥﹣3且a D．a≤﹣3且a依据分式方程的增根确定字母参数的方法（1）先将分式方程转化为整式方程（2）由题意求出增根（3）将增根代入所化得的整式方程，解出字母3.增根使分式方程中的分母为0的根即为增根.例：若分式方程11x=-有增根，则增根为1.【例题1】解关于x的方程+1=（其中m为常数）产生增根，则常数m 的值等于．【例题2】（2017•宿迁）若关于x的分式方程=﹣3有增根，则实数m 的值是．【例题3】若分式方程有增根，则m=．【例题4】（2018•潍坊）当m=时，解分式方程=会出现增根．知识点二：分式方程的应用4.列分式方程解应用题的一般步骤(1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答．在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.公式：（1）数量问题；（2）销售问题（利润=售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（3）工程问题①工作量=人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和=工作总量（4）行程问题（路程=速度×时间）；【例题1】在“校园文化”建设中，某校用8 000元购进一批绿色植物，种植在礼堂前的空地处．根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿植植物．若两次所买植物的盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元．则第二批绿植每盆的价格为元．总价单价数量第一批第二批【例题2】（2017•枣阳市模拟）某校学生利用双休时间去距学校20km的白水寺参观，一部分学生骑自行车先走，过了40min后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，骑车学生的速度是km/h．路程速度时间骑车汽车【例题3】（2017•南通）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做4个，甲做60个所用的时间与乙做40个所用的时间相等，则乙每小时所做零件的个数为．工作总量工作效率时间甲乙【例题4】（2018•菏泽）列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？总价单价数量笔记本电脑台式电脑【练习1】（2018春•渠县期末）“母亲节”前夕，某花店用3000元购进了第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用4000元购进第二批盒装花．已知第二批所购花的进价比第一批每盒少3元，且数量是第一批盒数的1.5倍．问第一批盒装花每盒的进价是多少元？【练习2】（2018春•红河州期末）为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，保护生态环境，某村计划在荒山上植树1200棵，实际每天植树的数量是原计划的1.5倍，结果比原计划提前了5天完成任务，求原计划每天植树多少棵？【练习3】（2018•徐州）徐州至北京的高铁里程约为700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁A与“复兴号”高铁B前往北京．已知A车的平均速度比B车的平均速度慢80km/h，A车的行驶时间比B车的行驶时间多40%，两车的行驶时间分别为多少？【练习4】（2018•威海）某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？【练习5】（2018•云南）某社区积极响应正在开展的“创文活动”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造．已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成300平方米的绿化面积少用3小时，乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？【练习6】（2018•宜宾）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%，结果比原计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部．【练习7】（2018•大连）甲、乙两名学生练习打字，甲打135个字所用时间与乙打180个字所用时间相同．已知甲平均每分钟比乙少打20个字，求甲平均每分钟打字的个数．【练习8】（2018•襄阳）正在建设的“汉十高铁”竣工通车后，若襄阳至武汉段路程与当前动车行驶的路程相等，约为325千米，且高铁行驶的速度是当前动车行驶速度的2.5倍，则从襄阳到武汉乘坐高铁比动车所用时间少1.5小时．求高铁的速度．【练习9】（2018•广安）某车行去年A型车的销售总额为6万元，今年每辆车的售价比去年减少400元．若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．（1）求今年A型车每辆车的售价．（2）该车行计划新进一批A型车和B型车共45辆，已知A、B型车的进货价格分别是1100元、1400元，今年B型车的销售价格是2000元，要求B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获得最大利润，最大利润是多少11。
人教版数学九年级上学期机构一对一讲义：二次函数的应用
1．能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2．经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．3．掌握二次函数在实际问题中及几何综合中的应用。
重点：① 二次函数中销售利润问题、几何面积问题及抛物问题的理解及灵活运用。
② 二次函数与最值问题、几何图形存在性问题的综合应用。
难点：二次函数与最值问题、存在性问题。
1．一般地，形如 的函数叫做二次函数，当 时，是一次函数．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 .3．抛物线的开口方向由a 确定，当a ＞0时，开口 ；当a ＜0时，开口 ；a 的值越大，开口越 ．4．抛物线与y 轴的交点坐标为 ．当c ＞0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＜0时，与y 轴的 半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过 ． 5．若a 0，当x ＝2ba -时，y 有最小值，为 ； 若a 0，当x ＝2ba-时，y 有最大值，为 ．6．当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而 ．7．当m ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象向 平移 个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象向 平移 个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左 右 ；上 下 ．知识回顾知识重难点教学目标二次函数的实际应用精讲精练知识点一、二次函数的实际应用列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
三角形及其全等 初三人教版数学讲义 一对一
星级 教学目标
教学重难点
授课日期及时段
三角形及其全等
年 级：初三 辅导科目：数学
课 时 数： 学科教师：
T—基础梳理
C—难点梳理
★
★★
1、三角形的相关概念及边角性质； 2、全等三角形的概念，性质及判定.
1、三角形的相关概念及边角性质；
2、全等三角形的概念，性质及判定.
小结
基础梳理
C—难点梳理
二、全等三角形
1、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”） （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”） （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。 直角三角形全等的判定： 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对 应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）
AD=DB，AE=EC，可得 DE∥BC，∠ADE=∠ABF=30°，所以 AF= 1 AB=4，由勾股定理可得 BF=4 3 ．故选 D． 2
3
9、（2015 湖南常德，15,3 分）如图，在△ABC 中， B 40 ，三角形 ABC 的外角 DAC和ACF 的平分线 交于点 E，则 AEC 70 度.
长是（ D ）
A．5
B．7
C．8
D．10
8、（2016 辽宁葫芦岛第 9 题）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，AF⊥BC，垂足为点 F，∠ ADE=30°，DF=4，则 BF 的长为（ ）
人教版中考数学复习机构一对一讲义：实数、整式及分式
实数、整式及分式(2019-2-23)
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三、数与式提高专题
精讲精练
题型 1 新定义运算：
a*b 例 1、对于两个不相等的实数 a、b，定义一种新的运算如下，
a﹣ a bb（a
b＞0） ，
3*2 如：
32 3﹣2
5 ，那么 6*（5*4）=
．
题型 2：逆用幂的运算性质
题型二：计算
例 2：计算：
+（2018﹣π）0
实数、整式及分式(2019-2-23)
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变式练习 2：
（1）先化简，再求值： a2 1 a2 2a 1 ,其中a 1
a 1
a2 a
2 3
（2）已知 1 + 1 = ab
5
（a≠b），求
a
ba
b
a
b
a
b
的值．
题型三：找规律（提高题型）
D．2.1³1011 元
2、若 x 2y+9 与|x﹣y﹣3|互为相反数，则 x+y 的值为（
）
A． 3
B． 9
C． 12
D． 27
实数、整式及分式(2019-2-23)
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3、下列计算正确的是（ ）
A．a＋a＝2a
B．b3²b3＝2b3
C．a3÷a＝a3
D．(a5)2＝a7
A． （1，4）
B． （5，0）
C． （6，4）
D． （3，0）
实数、整式及分式(2019-2-23)
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（3）阅读材料：求 1+2+22+23+24+…+22017 的值． 解：设 S=1+2+22+23+24+…+22016+22017，将等式两边同时乘以 2 得：
初中一对一精品辅导讲义：一次函数一对一辅导复习讲义
x+乞垂直，则k点的教学目标1、进一步掌握一次函数和正比例函数的•图象和性质，并能灵活解题。
2、根据不同的条件，会求一次函数的解析式。
3、学会.利用一次函数的图象和性质解决实际问题。
重点、难点使学生进一步理解一.次函数的概念，会熟练地运用待定系数法求一次函数的解析式。
考点及考试要求考点1：确定自变量的取值范围考点2：函数图象考点3：图象与坐标轴围成的面积问题考点4：求一次函数的表达式，确定函数值考点5：利用一次函数解决实际问题教学内容第一课时一次函数知识回顾一、知识回顾P知识点「次函昨像1、一次函数y=kx+b的图像是经过点2、截距与斜率：直线y=kx+b(kHO)①b是与y轴的交点的纵坐标叫做这条直线在y轴上的截距，简称直线的截距.①由于k的值的不同，直线相对于x轴正方向的倾斜程度也不同，常数k称为直线的斜率.3、两条直线的平行：①如果直线y二kix+bi(艮工0)与直线y二k2x+b2(kz^O)平行，那么k】=k x>5工b2.②如果ki=ki>biHb2,那么直线y=kix+bi(ki^O)与直线y二k：x+b：(k：H0)平行.③直线y=kx+b(kHO,b>0)可以看成是由直线y=也向上平移b个单位得到.0；2^已知函数答案：Pl(b0)、变式练习：在直角坐标系中，己知B(2,2),在y 轴上确定点A,使AAOB 为等腰三角形, 则符合条件的点A 的坐标是 翌例3.一次函数y=kx +b 的自变量x 的取值范围是-3<x<6,相应函数值的取值范围是 -5<y<-2，则这个函数的解析式为• 分析：这个题并不难，只是学生很容易忽视一个答案，只是把x=-3,y=-5和x 二6,y 二-2代入解析』址例4、下图图象中，不可能是关于x 的一次函数y 二nix-(m-3)的图象的是( A.>c - >D- 1、关于x 的一次函数y 二kx+F+1的图象可能是正确的是( 2、下面图象中，关于x 的一次函数y=-mx-(zzz-3)的图象可能是(【答案】c变式练习: B• XD.O3.图中表示一次函数y=〃ir+〃与正比例函数y=（m>n是常数，〃〃心0）图象的是（）三、归纳总结归纳1・一次函数图像的识别K决定升降，b决定截距，多个函数图像注意k、b的统一性。
初三数学一对一讲义 李子灵
初三数学一对一讲义李子灵一、选择题：1．2-等于A．2 B．－2 C．±2 D．±1 22．计算－2x2＋3x2的结果为A．－5x2B．5x2C．－x2D．x23．若式子12x-在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x>1 B．x<1 C．x≥1 D．x≤14．一组数据：0，1，2，3，3，5，5，10的中位数是A．2.5 B．3 C．3.5 D．55．世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为A．5 B．6 C．7 D．86．已知二次函数y＝x2－3x＋m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝37．如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB等于A．55°B．60°C．65°D．70°8．如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝kx(x>0)的图象经过顶点B，则k的值为A．12 B．20 C．24 D．329．已知x －1x ＝3，则4－12x 2＋32x 的值为 A ．1 B ．32 C ．52 D ．7210．如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则PA ＋PC 的最小值为A ．132B ．312C ．3192+D ．27二、填空题：11．计算：a 4÷a 2＝ ．12．因式分解：a 2＋2a ＋1＝ ．13．方程15121x x =-+的解为 ． 16．如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC ∥OA ，劣弧BC 的弧长为 ．（结果保留π）17．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为2的正方形，顶点A ，C 分别在x ，y 轴的正半轴上．点Q 在对角线OB 上，且OQ ＝OC ，连接CQ 并延长CQ 交边AB 于点P ，则点P 的坐标为( ， )．18．如图，在矩形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠后得到△AFE ，且点F 在矩形ABCD 内部．将AF 延长交边BC 于点G ．若1CG GB k =，则AD AB = （用含k 的代数式表示）．三、解答题：19．计算：()()031319-+++． 20． 解不等式组：()21213x x x -≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩21．先化简，再求值：23111xxx x-⎛⎫÷+-⎪--⎝⎭，其中x＝3－2．22．苏州某旅行社组织甲、乙两个旅游团分别到西安、北京旅游．已知这两个旅游团共有55人，甲旅游团的人数比乙旅游团的人数的2倍少5人．问甲、乙两个旅游团各有多少人？24．如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上．(1)现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等．．．但面积相等的三角形是（只需要填一个三角形）；(2)先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）．25．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P到海岸线l的距离；(2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处．此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述2小题的结果都保留根号）26．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长BP交边AD于点F，交CD的延长线于点G．(1)求证：△APB≌△APD；(2)已知DF：FA＝1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x＝6时，求线段FG的长．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．(1)求证：BD＝BF；(2)若CF＝1，cosB＝35，求⊙O的半径．29．如图，已知抛物线y＝12x2＋bx＋c（b，c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．(1)b＝，点B的横坐标为（上述结果均用含c的代数式表示）；(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y＝12x2＋bx＋c交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；。
初中一对一精品辅导讲义：集合与函数概念一对一辅导复习讲义
教学目标1、通过复习熟练掌握集合概念及其运算，以及集合的几种表示方法2、通过复习熟练掌握函数的概念以及函数的性质，进一步体会运动变化、数形结合、代数转化以及集合与对应的数学思想方法重点、难点 集合的概念与表示、集合的运算、函数的概念以及函数的性质；集合的运算、函数的概念以及性质的具体运用考点及考试要求考点1：集合的概念及其运算 考点2：函数的基本性质 考点3：函数及其表示教 学 内 容第一课时 集合与函数的概念知识梳理1. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（ ） A. M a ∈ B. M a ∉ C. a ＝ M D. a > M2. 已知M ＝{x|y ＝x 2－1} ， N ＝{y|y ＝x 2－1}， 那么M ∩N ＝（ ） A. Φ B. M C. N D. R3．若函数的定义域为[－2，2]，则函数的定义域是（ ）A ．[－4，4]B ．[－2，2]C ． [0，2]D ． [0，4] 4.已知，则的值为（ ）A.2B.3C.4D.-15.已知)0(1)21(22≠-=-x xx x f ，则)21(f =6. 已知集合B,A }02|{},04|{22⊆>--=<++=且x x x B p x x x A 求实数p 的范围。
知识网络课前检测知识梳理集合 函数映射集合与函数概念1.集合与元素（1）集合元素的三个特征：确定性、互异性、 无序性.（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系， 用符号____或_____表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、 区间法.(4)常用数集：自然数集N ；正整数集N*（或N+）;整 数集Z ；有理数集Q ；实数集R. 2.集合间的基本关系(1)子集的性质:对任意的x ∈A ，都有x ∈B ，则A B ⊆（或B A ⊇）. 真子集的性质： 若A ⊆B ，且在B 中至少有一个元素x ∈B ，但x ∉A ， 则_（或）.∅ ⊆A ； A ⊆A ； A ⊆B ， B ⊆C ⇒A ⊆ C.若A 含有n 个元素,则A 的子集有___个,A 的非空子集有___个,A 的非空真子集有____个. (2)集合相等：若A ⊆B 且B ⊆A,则A=B . 3.集合的运算及其性质(1)集合的并、交、补运算的概念. (2)集合的运算性质并集的性质: A ∪∅=A ；A ∪A=A ；A ∪B=B ∪A ；A ∪B=A ⇔B ⊆A. 交集的性质： A ∩∅=∅；A ∩A=A ；A ∩B=B ∩A ；A ∩B=A ⇔A ⊆B. 补集的性质：4.函数的基本概念（1）函数定义 (2)函数的定义域、值域 (3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系.(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等。
人教版中考数学复习机构一对一讲义：初三数学冲刺教材
3、已知 x 2, x 4, x 5 ，则 x a 2bc 的值为________. 【例 2】 1、已知 a b 6, a b 30, 则a b _____
2 2
2、如果 2a 2b 1 2a 2b 1 63 ，那么 a b _______ ． 变式练习： 1、 （成都中考） 已知 an
2 2
2
二：1、实数的分类：实数有两种分类方式：
正整数 有理数 整数 0 负整数 实数 分数 无理数：无限不循环小数
2、二次根式的运算律： ① a · b =______________ （a≥0，b≥0） ②
正有理数 正实数 正无理数 实数 0 负有理数 负实数 负无理数
m
a n a m n
(m、n 都是正整数)
0
⑤零指数与负指数：规定① a 1(a 0) ② a p 2、平方差公式： a b a b a b
2 2
1 ( a 0 ，p 是正整数) ap
平方差公式： (a b) a 2ab b
3
状元廊学校中考冲刺班教材
x 3y x2 9 ( x 3)
2
3、已知：
0 ，则
x =_____________________. y
的值.
4、已知： x 2 xy y 0 ，求
3x xy y 5 x 3 xy 4 y
5、如果 x
y 1 z 2
（4） (4 6 4 1 3 8) 2 2 3 2 2 2 324 2 2 1
4
智慧在这里绽放，状ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ从这里起航
初三数学一对一讲义
初三数学一对一讲义1．下列运算，正确的是( )A ．a ＋a 3＝a 4B ．a 2·a 3＝a 6C ．(a 2)3＝a 6D ．a 10÷a 2＝a 5 2．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )A ．(x ＋1)2＝6B ．(x －1)2＝6C ．(x ＋2)2＝9D ．(x －2)2＝9 3．下列事件是必然事件的是( )A ．打开电视机屏幕上正在播放天气预报B ．到电影院任意买一张电影票，座位号是奇数C ．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后偶数点朝上D ．在地球上，抛出去的篮球一定会下落4．如图J3-1，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( )A ．BC ＝2DEB ．△ADE ∽△ABC C 、.AD AE ＝ABACD ．S △ABC ＝3S △ADE图J3-1 图J3-25．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象如图J3-2，则下列结论中正确的是( )A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜06．如图J3-3，在4×6的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 都在格点上，则下列结论不正确的是( )图J3-3①能与线段AB 构成等腰三角形的点有3个；②四边形ABEG 是矩形；③四边形ABDF 是菱形；④△ABD 与△ABF 的面积相等．则说法不正确的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④7．分解因式：a 3b －ab 3＝______________________.8．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于____________度．9．要在一个不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是黄色的概率是25，可以怎样放球____________(只写一种)．10．一块直角边分别为6 cm 和8 cm 的三角形木板如图J3-4，绕6 cm 的边旋转一周，则斜边扫过的面积是________ cm 2(结果用含π的式子表示)．图J3-411．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝8， ①3x ＋y ＝12. ②12．解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2<0，x ＋5≤3x ＋7，并写出它的整数解．13．如图J3-5，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(－2,0)，等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD .(1)△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD ，则平移的距离是________个单位长度； △AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是________；△AOC 绕原点O 顺时针旋转得到△DOB ，则旋转角可以是________度； (2)连接AD ，交OC 于点E ，求∠AEO 的度数．图J3-514．我市某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩(满分为100分)如图J3-6.(1)根据图示填写下表；(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； (3)计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．图J3-615．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位： cm)随其中一条对角线的长x (单位： cm)的变化而变化．(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？1．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A B C D2．下列函数：①y ＝－x ；②y ＝－2x ；③y ＝－1x ；④y ＝x 2.当x <0时，y 随x 的增大而减小的函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．将图J4-1所示的表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是( )A B C D图J4-1 图J4-24．如图J4-2，直线AB ∥CD ，且AC ⊥AD ，∠ACD ＝58°，则∠BAD 的度数为( )A ．29°B ．30°C ．32°D ．58°5．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2x <6，－2＋x >1的解集是( )A ．x >－3B ．x >3C ．－3<x <3D ．无解6．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图J4-3，则被截去部分纸环的个数可能是( )图J4-3A ．2010B ．2011C ．2012D ．2013 7．当x ＝__________时，分式x 2－1x ＋1的值等于0.8．小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图J4-4.根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是________．图J4-49．已知关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b 与c 的值分别为__________．10．如图J4-5，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为________．11．计算：(2013－π)0－⎝⎛⎭⎫12－2－2sin60°＋|3－1|.12．在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x ，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y ，组成一对数(x ，y )．(1)用列表法或画树状图表示出(x ，y )的所有可能出现的结果；(2)求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x ＋y ＝5的解的概率．13．如图J4-6，在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子长度为24米，则旗杆的高度约为多少米？14．如图J4-7，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径r ＝32，AC ＝2，请你求出cos B 的值．15．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1(单位：元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2(单位：元)关于x(单位：个)的函数关系式；(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．。
初三数学一对一第04讲——反比例函数(一)基础讲解[1]
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第三讲 反比例函数（一）——基础掌握第1节 反比例函数本节内容：反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。
当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成xky =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。
反比例函数的自变量x 不能为零。
小注：（1）x ky =也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式； （2）xky =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零；（3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。
■例1下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。
①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23-=⑥21=xy ⑦28xy = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x ky =k (为常数，)0≠k确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。
（1） 求I 与R 的函数关系式；（2） 当R=5欧姆时，求电流强度。
第2节 反比例函数的图象与性质本节内容：反比例函数的图象及其画法 反比例函数的性质（重点） 反比例函数xky =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义（难点） 反比例函数与正比例函数图象的交点反比例函数图象的画法——描点法：（1） 列表——自变量取值应以0（但)0(≠x 为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，再求出对应的y 的值；（2） 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。
初中一对一精品辅导讲义：实数
1、了解平方根与立方根的概念和表示方法；教学目标2、了解无理数和实数的概念以及实数的分类； 3、知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
重点、难点 考点及考试要求1、平方根与立方根的概念和求法。
2、了解无理数和实数的概念以及对无理数的认识。
掌握平方根，立方根以及实数的各种题型。
教学内容第一课时实数知识梳理1.立方根等于本身的数是 2.如果 3 1 a 1 a, 则 a 3. 64 的立方根是(4) 3 的立方根是; . , .4.已知 3 x 16 的立方根是 4，求 2 x 4 的算术平方根.5.已知 x 3 4 ，求 3 ( x 10) 3 的值.6.比较大小： （1） 3 1.2 （2） 3 （3）32 33 32 .1 ， 3 ， 43 7。
1.实数的分类 正有理数 零 有限小数或无限循环小数 有理数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 注意：无理数有三个条件： （1）是小数； （2）是无限小数； （3）不循环. 无理数有三类： （1）开方开不尽的数； （2）特定意义的数如 等； （3）特定结构的数如 0.1010010001 等. 2. 平方根，立方根， n 次方根 （1）.若一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根。
求这个数的平方根的运算叫做开平方， a 叫做被开方数。
要点：①正数 a 的平方根有两个，它们互为相反数，可以用 a 来表示。
其中 a 表示 a 的正平方根 （又叫算术平方根） ，读作“根号 a ” ， a 表示 a 的负正平方根，读作“负根号 a ” ；负 数没有平方根；零的平方根是零。
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初三数学一对一讲义
1．下列运算，正确的是( )
A ．a ＋a 3＝a 4
B ．a 2·a 3＝a 6
C ．(a 2)3＝a 6
D ．a 10÷a 2＝a 5 2．用配方法解方程x 2－2x －5＝0时，原方程应变形为( )
A ．(x ＋1)2＝6
B ．(x －1)2＝6
C ．(x ＋2)2＝9
D ．(x －2)2＝9 3．下列事件是必然事件的是( )
A ．打开电视机屏幕上正在播放天气预报
B ．到电影院任意买一张电影票，座位号是奇数
C ．掷一枚均匀的骰子，骰子停止转动后偶数点朝上
D ．在地球上，抛出去的篮球一定会下落
4．如图J3-1，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则下列结论不正确的是( )
A ．BC ＝2DE
B ．△ADE ∽△AB
C C 、.A
D A
E ＝AB
AC
D ．S △ABC ＝3S △ADE
图J3-1 图J3-2
5．一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)与反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象如图J3-2，则下列结论中正确的是
( )
A ．k ＞0，b ＞0
B ．k ＞0，b ＜0
C ．k ＜0，b ＞0
D ．k ＜0，b ＜0
6．如图J3-3，在4×6的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 都在格点上，则下列结论不正确的是( )
图J3-3
①能与线段AB 构成等腰三角形的点有3个；②四边形ABEG 是矩形；③四边形ABDF 是菱形；④△ABD 与△ABF 的面积相等．
则说法不正确的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④
7．分解因式：a 3b －ab 3＝______________________.
8．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于____________度．
9．要在一个不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是黄色的概率是2
5
，可以怎样放球____________(只写一种)．
10．一块直角边分别为6 cm 和8 cm 的三角形木板如图J3-4，绕6 cm 的边旋转一周，则斜边扫过的面积是________ cm 2(结果用含π的式子表示)．
图J3-4
11．解方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧
x －y ＝8， ①
3x ＋y ＝12. ②
12．解不等式组：⎩
⎪⎨⎪⎧
x －2<0，
x ＋5≤3x ＋7，并写出它的整数解．
13．如图J3-5，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(－2,0)，等边三角形AOC 经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD .
(1)△AOC 沿x 轴向右平移得到△OBD ，则平移的距离是________个单位长度； △AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是________；
△AOC 绕原点O 顺时针旋转得到△DOB ，则旋转角可以是________度； (2)连接AD ，交OC 于点E ，求∠AEO 的度数．
图J3-5
14．我市某中学举行“中国梦·校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩(满分为100分)如图J3-6.
(1)根据图示填写下表；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好； (3)计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
图J3-6
15．手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60 cm ，菱形的面积S (单位： cm)随其中一条对角线的长x (单位： cm)的变化而变化．
(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)； (2)当x 是多少时，菱形风筝面积S 最大？最大面积是多少？
1．下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A B C D
2．下列函数：①y ＝－x ；②y ＝－2x ；③y ＝－1
x ；④y ＝x 2.当x <0时，y 随x 的增大而减小的函
数有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．将图J4-1所示的表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是( )
A B C D
图J4-1 图J4-2
4．如图J4-2，直线AB ∥CD ，且AC ⊥AD ，∠ACD ＝58°，则∠BAD 的度数为( )
A ．29°
B ．30°
C ．32°
D ．58°
5．不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
－2x <6，
－2＋x >1的解集是( )
A ．x >－3
B ．x >3
C ．－3<x <3
D ．无解
6．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图J4-3，则被截去部分纸环的个数可能是( )
图J4-3
A ．2010
B ．2011
C ．2012
D ．2013 7．当x ＝__________时，分式x 2－1
x ＋1
的值等于0.
8．小张和小李去练习射击，第一轮10发子弹打完后，两人的成绩如图J4-4.根据图中的信息，小张和小李两人中成绩较稳定的是________．
图J4-4
9．已知关于x 的一元二次方程x 2－bx ＋c ＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝－2，则b 与c 的值分别为__________．
10．如图J4-5，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为________．
11．计算：(2013－π)0－⎝⎛⎭⎫12－2
－2sin60°
＋|3－1|.
12．在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x ，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y ，组成一对数(x ，y )．
(1)用列表法或画树状图表示出(x ，y )的所有可能出现的结果；
(2)求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x ＋y ＝5的解的概率．
13．如图J4-6，在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子长度为24米，则旗杆的高度约为多少米？
14．如图J4-7，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，连接CD ，若⊙O 的半径r ＝3
2，
AC ＝2，请你求出cos B 的值．
15．某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：
方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；
方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．
(1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1(单位：元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2(单位：元)关于x(单位：个)的函数关系式；
(2)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．。