《数系的扩充和复数的概念》教案及说明

第3章 数系的扩充与复数的引入

§3.1.1数系的扩充和复数的概念

【教学目标】

1．了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因，数集的扩展过程

以及复数的分类表；

2．理解复数的有关概念以及符号表示；

3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；

4.在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数

的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以

及数与现实世界的联系．

【教学重点】引进虚数单位i 的必要性、对i 的规定以及复数的有关概念．

【教学难点】复数概念的理解．

【教学过程】

1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生

进行简明扼要的概括和总结） 自然数 整数 有理数 无理数 实数

2．提出问题

我们知道，对于实系数一元二次方程012=+x ，没有实数根．我们能否将

实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

3．组织讨论，研究问题

我们说，实系数一元二次方程012=+x 没有实数根．实际上，就是在实数

范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个

什么问题呢？

组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1

的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．

4．引入新数i ，并给出它的两条性质

根据前面讨论结果，我们引入一个新数i ，i

叫做虚数单位，并规定：

（1）12-=i ；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律

仍然成立．

有了前面的讨论，引入新数i ，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决

前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i ±）．

5．提出复数的概念

根据虚数单位i 的第（2）条性质，i 可以与实数b 相乘，再与实数a 相加．由

于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成bi a +这样，数的范围又

扩充了，出现了形如 ),(R b a bi a ∈+的数，我们把它们叫做复数．

全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示，显然有：

N*N Z Q R C ．

【巩固练习】

下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分

别指出这些复数的实部与虚部各是什么？

例1.实数m 分别取什么值时，复数z ＝m+1＋(m-1)i 是

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为m ∈R ，所以m+1，m-1都是实数，由复数z ＝a ＋bi 是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m 的值．

.1,0

10131,0121011为纯虚数时，即）当（为虚数；时，即）当（为实数；

时，，即）当解（z m m m z m m z m m -=⎩⎨⎧≠-=+≠≠-==-

6．提出两个复数相等的定义，即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部

分别对应相等．也就是

由此容易得出：

6

cos 6sin ,,0,2,7212ππi i i i --+

）纯虚数）虚数；（是（为何值时，复数当且练习：已知复数21,)()1(2z m R m i m i m z ∈+-+=

例2 已知i y y i x )3()12(--=+-,其中，x,y ∈R ，求x 与y ．

分析：因为x ，y ∈R ，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x ，y 的方程组，

解这个方程组，可求出x ，y 的值．

4,25)

3(112==⎩⎨⎧--==-y x y y x 解得解：由复数相等可知

练习：.),(023)21(2的值求实数已知m R m i mi x i x ∈=--++

【课堂游戏】

【想一想】两个复数是否可以比较大小.

【归纳总结】

一、数系的扩充；

二、复数有关的概念：

1、复数的代数形式；

2、复数的实部、虚部。

3、虚数、纯虚数；

4、复数的相等.

【布置作业】

习题3.1A 组 1 2 3

《数系的扩充与复数的概念》教案说明

《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中数学实验教材选修2-2第三章第一节的内容，课时安排约一课时。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

学习目标为（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；（2）理

解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

复数的概念是整个复数内容的基础，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的。虚数单位、实部、虚部的命名，复数想等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，都应促进对复数实质的理解，即复数实际上是一有序实数对。类比实数可以用数轴表示，把复数在直角坐标系中表示出来，就得到了复数的几何表示，这就把数和形有机的结合了起来。另外复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，运用复数法可以解决函数最值、三角恒等式、组合问题、不等式问题、数列问题等。而复数在电力、热力学、流体力学、固体力学、系统分析、信号分析、反常积分等方面都有应用。

在学习本节课的过程中，复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，采用讲解已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解。另外虚数单位i和实数进行四则运算也不容易接受。复数的相等和复数的相关概念（比如实部、虚部、虚数、纯虚数等）这些学生很容易理解。

本节课我采用数学典故吸引学生，让学生知道数系的扩充过程，从而为虚数单位的引入打下基础，在讲解例题后用游戏的方式巩固教学效果。另外我还充分利用多媒体，提高教学效果，在设疑、提示、观察、类比、练习、游戏等活动中启发学生，让学生动手、动口、动脑，培养学生的思维能力。

在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i。学生能清楚的知道一个复数什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么。让学生在经历一系列的活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，从而提高分析问题和解决问题的能力。

教学中应注意几个问题，注意与以前所学过的数的内容的衔接，在以前，