向量一题多解
高三数学向量专题复习(高考题型汇总及讲解)(1)
向量专题复习向量是高考的一个亮点，因为向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视。
一、平面向量加、减、实数与向量积 （一）基本知识点提示1、重点要理解向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量、反向量、相等向量、两向量的夹角等概念。
2、了解平面向量基本定理和空间向量基本定理。
3、向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4、向量形式的三角形不等式：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜(试问：取等号的条件是什么?)；向量形式的平行四边形定理：2（｜a ｜2+｜b ｜2）=｜a －b ｜2+｜a +b ｜25、实数与向量的乘法（即数乘的意义）实数λ与向量的积是一个向量，记λ，它的长度与方向规定如下：(1)｜λa ｜=｜λ｜²｜a ｜;(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ=0时，λ=,方向是任意的.6、共线向量定理的应用：若≠，则∥⇔存在唯一实数对λ使得=λ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(其中=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）) （二）典型例题例1、O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足).,0[||||+∞∈++=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心+是在∠BAC 的平分线上，∴选B例2、对于任意非零向量与，求证：｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜证明：(1)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-｜｜＜｜±｜＜｜｜+｜｜(3)两个非零向量a 与b 共线时，①a 与b 同向，则a +b 的方向与a 、b 相同且｜a +b ｜=｜a ｜＋｜b ｜.②a 与b 异向时，则a +b 的方向与模较大的向量方向相同，设|a |＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
高二数学平面向量试题答案及解析
高二数学平面向量试题答案及解析1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组；①；②；③；④.【答案】①④【解析】由得，所以①唯一确定数列，由得，方程的解不定，所以②不能唯一确定数列，由得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列，由得，所以④唯一确定数列.【考点】数列基本量运算2.下列各组向量中不平行的是（）A．a="(1,2,-2),b=(-2,-4,4)"B．c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C．e="(2,3,0)," f="(0,0,0)"D．g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)【答案】D【解析】略3.已知则 ,．【答案】；【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，，为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则4.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．5.已知向量，，若，则__________________．【答案】或【解析】两向量平行，所以，解得：或．【考点】向量平行的坐标表示6.设，向量，且，则（）A．﹣2B．4C．﹣1D．0【答案】D【解析】向量，且，可得，解得或（舍去，因为）．则．故选：D．【考点】平面向量数量积的运算7.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．【答案】120【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，所以．【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．8.已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于平面向量满足,且,那么代入可知向量与的夹角的余弦值为，即可知向量与的夹角为，选C．【考点】向量的数量积公式．9.设，，且，则锐角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即，由二倍角公式得，故选C．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的基本定理．【思路点晴】本题主要考查的向量的基本概念与简单运算、向量的坐标运算，属于容易题．本题通过向量共线，得，代入坐标运算的公式；再由二倍角公式，得到关于角的三角函数值，从而求得锐角的值．10.在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是．【答案】【解析】设，表示以为圆心，r=1为半径的圆，而，所以，，，故得最大值为【考点】1．圆的标准方程；2．向量模的运算11.若||=1，||=2，=+，且⊥，则与的夹角为________。
2023年高考之立体几何和空间向量考点解读
3
=
2
1
1
|AB|·|BC|=
×2×
2
2
1
所 以 VP-ABC = S△ABC ·|PM|=
2 2=2 2,
3
1
26
。
×2 2× 3=
3
3
考查,
一是空间线面关系 的 命 题 真 假 的 判 断,
以选填题的形式考查,
属 于 基 础 题;
二是空间
线线、
线面、
面面平行和垂 直 关 系 交 汇 的 综 合
命题,
(
2)若 ∠POF =1
2
0
°,求 三 棱 锥 PABC
|A1A| -|AM| =
2
6
。
2
2
1
2=
2
解 析:(
1)连 接 DE ,
OF ,设 |AF|=
→
→
→
则 B→
t|AC|,
F =BA + AF = (
1-t)
BA +
→
→
所求体积 V =
76
。
=
6
1
6
×(
4+1+ 4×1)
×
3
2
考点解读:空 间 几 何 体 的 结 构 特 征 是 立
则该圆锥的
1
2
0
°,
4
体积为(
胡银伟
33
2
=
2
-
3
2
2
|PC| -|OC|
2
2
=
= 6。所以圆锥的体积 V
1
1
2
2
π×|OA| ×|PO|= π× (3)× 6=
高二数学空间向量试题答案及解析
高二数学空间向量试题答案及解析1.如图，将边长为2，有一个锐角为60°的菱形，沿着较短的对角线对折，使得，为的中点.（Ⅰ）求证：（Ⅱ）求三棱锥的体积；（Ⅲ）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）1；（3）【解析】（1）利用线面垂直的判断定理证明线面垂直，条件齐全.（2）利用棱锥的体积公式求体积.（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算.（5）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（Ⅰ）连接，由已知得和是等边三角形，为的中点，又边长为2，由于，在中，，（Ⅱ）,（Ⅲ）解法一：过，连接AE，，即二面角的余弦值为.解法二：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则显然，平面的法向量为设：平面的法向量，由,，∴二面角的余弦值为.【考点】（1）空间中线面垂直的判定；（2）三棱锥的体积公式；（3）利用空间向量证明线线垂直和求夹角.2.如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，.⑴当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；⑵当的值为多少时，二面角的大小是45.【答案】（1），（2）.【解析】（1）此小题考查用空间向量解决线面角问题，只需找到面的法向量与线的方向向量，注意用好如下公式：，且线面角的范围为：；（2）此小题考查的是用空间向量解决面面角问题，只需找到两个面的法向量，但由于点坐标未知，可先设出，利用二面角的大小是45，求出点坐标，从而可得到的长度，则易求出其比值.试题解析：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得，⑴因为为中点，则，设是平面的一个法向量，则，得，取，则，设直线与平面的法向量的夹角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为；⑵设，设是平面的一个法向量，则，取，则，是平面的一个法向量，，得，即，所以当时，二面角的大小是.【考点】运用空间向量解决线面角与面面角问题，要掌握线面角与面面角的公式，要注意合理建系.3.在空间直角坐标系中，若两点间的距离为10，则__________．【答案】.【解析】直接利用空间两点间的距离公式可得，解之得，即为所求.【考点】空间两点间的距离公式．4. A(5，-5，-6)、B(10，8，5)两点的距离等于 .【答案】.【解析】∵，，由空间中两点之间距离公式可得：.【考点】空间坐标系中两点之间距离计算.5.如图，边长为1的正三角形所在平面与直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分别是线段、的中点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．（1）分别是的中点，．又，所以．，……2分四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分又，，平面平面……5分（2）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分于是可建立如图所示的空间直角坐标系．则有，，，，，．…7分设平面的法向量为，由．取，得．……9分平面的法向量为．10分…11分而二面角的大小为钝角，二面角的余弦值为．【考点】1．用空间向量求平面间的夹角；2．平面与平面平行的判定．6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为 ()．A．B．C．D．【答案】B【解析】设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴•＝2×2−2×2−1×1＝−1，|| ＝ 3， | |＝3;∴cos＜,＞＝，所以sin＜,＞=．故选B .【考点】用空间向量求平面间的夹角.7.已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分别是线段AB、BC的中点．(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD；(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A－PD－F的余弦值．【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3).【解析】解法一（向量法）（I）建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，分别求出直线PF与FD的平行向量，然后根据两个向量的数量积为0，得到PF⊥FD；（2）求出平面PFD的法向量（含参数t），及EG的方向向量，进而根据线面平行，则两个垂直数量积为0，构造方程求出t值，得到G点位置；（3）由是平面PAD的法向量，根据PB与平面ABCD所成的角为45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．解法二（几何法）（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；（2）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.试题解析：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1,1,0)，D(0,2,0)．不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF⊥FD.(2)解：设平面PFD的法向量为n=(x，y，z)，由得令z=1，解得：x=y=.∴n=.设G点坐标为(0,0，m)，E，则，要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，从而满足AG=AP的点G即为所求．(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量为n= .∴.故所求二面角A－PD－F的余弦值为.【考点】1.用空间向量求平面间的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系；3.直线与平面平行的判定．8.已知三棱柱，平面，，，四边形为正方形，分别为中点．（1）求证：∥面；（2）求二面角——的余弦值．【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）只要证出∥，由直线与平面平行的判定定理即可得证（2）建立空间直角坐标系，利用求二面角的公式求解试题解析：（1）在中、分别是、的中点∴∥又∵平面，平面∴∥平面（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，∴，平面的一个法向量设平面的一个法向量为则即取.∴∴二面角的余弦值是.【考点】直线与平面平行的判定定理，在空间直角坐标系中求二面角9.如图，直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分别为的中点.（1）求>的值；（2）求证：【答案】（1）>的值为；（2）证明过程详见试题解析.【解析】（1）先以C为原点建立空间坐标系，由已知易求出，进而可求>的值；（2）由（1）所建立的空间坐标系可写出、、的坐标表示，即可知，从而得证.试题解析：以C为原点，CA、CB、CC1所在的直线分别为轴、轴、轴，建立坐标系（1）依题意得,∴∴ ,∴>= 6分(2) 依题意得∴,∴,,∴ ,∴,∴∴ 12分【考点】空间坐标系、线面垂直的判定方法.10.如右图，正方体的棱长为1．应用空间向量方法求：⑴求和的夹角⑵．【答案】（1）（2）对于线线垂直的证明可以运用几何性质法也可以运用向量法来证明向量的垂直即可。
一节“一题多解”课的听课感悟
一节“一题多解”课的听课感悟作者：范叔旺来源：《学习与科普》2019年第14期摘要：习题课的教学，尤其高三数学课，以复习课为主，为达到攻克重点、难点，教师大多采用一题多解、一题多变的形式教学。
但是，在一题多解课上，一道题有很多种解法，是不是每种解法都要讲，讲到什么程度，怎样取舍对学生更好在课堂上怎样体现学生的主体地位，怎样把握好这个度，一直是笔者思考的问题。
前一阶段，笔者听了堂一题多解课，颇有感触。
关键词：解题思路感悟1.题目展现由于不同学生思考问题的角度不完全一样，因此展示两类方法6种解法，帮助学生建立相对完整的处理这类问题的方法体系，这样的体系，具有导向作用。
虽然坐标法和基底法都是处理向量问题的通行通法，但是由于处理的方式不一样，导致运算量不同。
这说明通性通法虽然思路具有较强的规律性，但解题效率存在着差异。
因此，一题多解的实质不在方法的罗列，而在思路的分析和方法的对比，在对比中揭示方法的优劣，让学生在今后的解题活动中，有序提取解题方法，有效提高解题效率。
从而也挖掘了习题的内涵，激发学生学习的兴趣，使不同层次的学生的数学思维能力都得到提高。
2.评说2.1精炼选题，让学生有充分的发挥空间整节课只有一个例子，后面的也是这道题的变式，此例虽然是一道老题，但有分量，有代表性，基本上能将向量的思想与方法体现出来，体现了转化与化归思想，做到了少而精。
2.2学生参与度高学生积极参与，能力较强，向量的基本方法（两边平方与坐标法）掌握得不错，教师在这方面下的工夫得到了体现，作为一所省二级重点高中的中等学生来说，非常难得。
2.3教学环节流畅自然课堂内容饱满，学生思维活跃，教师讲解到位，精想讲、精炼、废话很少，能将大部分时间还给学生，使学生有充分时间思考、解题。
课堂衔接自然、流畅，整节课下来，教师没有多余的话语，让学生多动、多想、多写，学生的活动充斥整个课堂，思路清晰，课堂效果不错。
2.4没有小结没有课堂小结.笔者认为，并不是每堂课都要有小结，但对于这节课来讲，小结是必要的。
巧用平面向量解立体几何问题
=1+12(2cos60°cos40°)-12(cos40°-cos120°)=1+12cos40°-12cos40°+12cos120°=1-14=34.四、其它转化在求值问题中,除了重组角度转化之外,还应重视三角函数名,结构等方面的转化,如:①切割化弦;②降幂转化来计算.例6 求tan20°+4sin20°的值.分析:对此类问题一般先将切化弦:tan20°+4sin20°=sin20°cos20°+4sin20°=sin20°+4sin20°cos20°cos20°由于题目中出现了20°与40°的角,其和为60°的特殊角,这样就为转化带来了空间,而且方法不是唯一的.变式1 tan20°+4sin20°=sin20°+2sin40°cos20°=sin(60°-40°)+sin40°cos20°=sin60°cos40°-cos60°sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°-12sin40°+2sin40°cos20°=32cos40°+32sin40°cos20°=3(12cos40°+32sin40°)cos20°=3sin70°cos20°=3.变式2 tan20°+4sin20°=sin20°+2sin(60°-20°)cos20°=sin20°+3cos20°-sin20°cos20°=3cos20°cos20°=3.以上几种形式的转化求值问题,只是在三角函数教学中比较普遍存在的转化思想的体现,在很多的具体求值中,还有些异于上述的其它方法.但任何问题的解决都是将未知转化为已知的过程,在三角函数求值中体现得更为突出.在教学中应提炼出来,以便于学生共享.黑龙江省农垦总局哈尔滨分局高级中学(150088)●韩晓辉巧用平面向量解立体几何问题 平面向量是解答立体几何问题的一种快速、简捷的运算工具.不少复杂的立体几何问题,引入平面向量后,通过将空间元素的位置关系转化为数量关系,将过去的形式逻辑证明转化为数值运算,即借助平面使解题模式化,用机械性操作把问题转化,因此,平面向量为立体几何代数化带来了极大的便利.下面,介绍平面向量在立体几何中的应用.例1 如图1,AB、CD为异面直线,CD<平面α,AB∥平面α,M、N分别是AC、BD的中点,求证MN∥平面α证明因为D<平面α,B∥平面α且··数理化学习(高中版)©:.:C A12AB 、CD 异面,所以在α内存在�a 、�b 使AB =�a ,CD =�b ,且�a 、�b 不共线,由M 、N 分别是AC 、BD 的中点,得MN =12(MB +MD )=12[(MA +AB )+(MC +CD )]=12[(MA +AB )+(MC +C D )]=12[-M C +AB +MC +CD ]=12[AB +CD ]=12(�a +�b ),即MN 与�a 、�b 共面.又因为�a 、�b 在平面α内,故MN ∥平面α或MN <平面α,而若MN <平面α,则A B 、C D 同在平面α内,与AB 、CD 为异面直线矛盾,所以MN ∥平面α.例2 正四面体V -ABC 的高VD 的中点为O ,AC 的中点为M.求证:A O 、BO 、CO 两两垂直.证明:设V A =�a,V �b =�b ,VC =�c ,正四面体棱长为m,则VD =13(�a +�b +�c ),A O =16(�b +�c -5�a ),BO =16(�a +�c -5�b ),CO =16(�a +�b -5�c ).因为AO ·BO =136(�b +�c -5�a )·(�a +�c -5�b )=0,所以AO ⊥BO,即AO ⊥BO,同理,AO ⊥CO ,BO ⊥C O.例3 如图3,在三棱锥S -A BC 中,∠S AB =∠S AC =∠AC B =90°,AC =2,SA =23,BC =13,S B =29.证明:(1)SC ⊥BC;(2)求异面直线SC 与AB 所成角α的余弦值.解:(1)证明:由题意,S ·B =,·B =,所以S ·B =(S +)·B =S A ·CB +AC ·C B =0,即SC ⊥BC .(2)因为SC ·AB =(S A +AC)·(AC +C B )=S A ·AC +SA ·C B +AC ·AC +AC ·CB =0+0+|AC |2+0=|AC |2=4,|SC |=(23)2+22=4,|A B |=(13)2+22=17,所以cosα=SC ·AB |SC |·|AB |=4417=1717.例4 如图3,已知平行六面体ABC D -A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,且∠C 1CB =∠C 1C D=∠BC D =60°.(1)证明:C 1C ⊥BD ;(2)当CDCC 1的值为多少时,能使A 1C ⊥平面C 1BD 请给予证明.证明:(1)取C D 、CB 、CC 1为空间的一个基.因为∠C 1CB =∠BC D =60°,ABCD 是棱形,所以|C D |=|CB |,又因为BD =C D -CB,所以CC 1·BD =CC 1·(C D -CB )=CC 1·CD -CC 1·C B =0.所以C 1C ⊥BD.(2)设CDCC 1=λ(λ>0),即|C D |=λ|CC 1|时,能使A 1C ⊥平面C 1BD.因为C 1D ∩BD =D ,所以A 1C ⊥平面C 1BD ΖA 1C ⊥C 1D 且A 1C ⊥BD ΖA 1C ·C 1D =0且A 1C ·BD =0.因为=(D +B +),D =D ,<B,D >=6°,<B ,>=6°,··数理化学习(高中版)©A C 0AC C 0C C A AC C A 1C -C C CC 1C 1C -CC 1C C 0C CC 1022|CD|=|CB|,所以A1C·C1D=-(|C D|2-CD·CC1+ CB·CD-CB·CC1+CC1·CD-|CC1|2)=-(λ2|CC1|2+12λ2|CC1|2-12λ|CC1|2-|CC1|2)=-(32λ2-12λ-1)|CC1|2.所以A1C·C1D=0Ζ32λ2-12λ-1=0Ζ(λ-1)(3λ+2)=0,因为λ>0,所以λ=1.经验证,当λ=1时,A1C·C1D=0.即当C DCC1=1时,能使A1C⊥平面C1BD.前面这些题目若采用传统的立体几何方法证明,大多数不可避免地需要添加“辅助线”,然后再分别证明线线平行(垂直)或面面平行(垂直),而这些证法与用平面向量法相比,显然难度是大的.因此,平面向量确实是处理立体几何问题的重要而又简便的方法.作为平面向量的主要技巧,是将相关量表示为基向量的形式,把问题转化为平面向量的运算,这与把空间图形关系转化为平面图形关系的传统解法相比,显然是更高的思维方式,它抓住了空间的主要特征和其内在规律,使“纷繁复杂的现象变得井然有序.”河北省乐亭县第一中学(063600)●张云飞线段定比分点的向量公式及应用例举(一) 线段的定比分点公式是同学们所熟悉的重要公式,它在中学数学中有较为广泛的应用,近几年的高考也时有涉及,如2000年全国高考文理科倒数第一大题都直接考查了定比分点公式的运用.同学们所熟悉的是定比分点的坐标公式,其实,除此以外,定比分点公式还有其向量形式.运用定比分点的向量形式解题有时显得更为简洁明快.一、线段的定比分点向量公式设P1、P2是直线l上的两点,点P是l上不同于、的任意一点,O 是平面内任意一点,设O P1=�a,O P2=�b,P分有向线段P1P2所成的比为λ,则有O P=�a+λ�b1+λ.证明:如图1,因为P1P=O P-�a,.PP2=�b-O P,P1P=λPP2,所以O P-�a=λ(�b-O P)所以O P=�a+λ�b1+λ①公式①就是线段的定比分点向量公式.二、应用例1 在△ABC中,已知D是BC的中点, E是AD的中点,直线B E交AC于F,求证:CF =2FA.证明如图,在△B中,设BD=�,B=�,·3·数理化学习(高中版)©P1P2:2A Ca A b2。
【高考数学经典题型】线面角最大值的探究与推广(一题多解)
试题出处：2020广西南宁第一次适应性考试线面角最大值问题的探究与推广如图,四棱锥S ABCD -中,SD ^平面,//,,ABCD AB CD AD CD SD CD ^= ,AB AD = ,2CD AD = ,M 是BC 中点,N 是线段SA 上的点.设MN 与平面SAD 所成角为a ,则sin a 的最大值为（ ）A.7 B.7 C. 7 D.7答案：A 解法一：向量法以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz - ,设2DA = .则()0,0,0D ,()0,0,4S ,()2,0,0A ,()0,4,0C ,()1,3,0M ,所以()2,0,4SA =- .设()01SN SA l l =££,则()2,0,44N l l =- ,()21,3,44MN l l =--- .平面SAD 的一个法向量为()0,4,0DC =,所以sin MN DCMN DCa ×==.因为01≤≤l ，所以当9=10l ，即9SN NA =时，sin a 取得最大值7，故选A .解法二：定义法设AD 的中点为E ，连接ME ，NE ，因为CD ⊥AD ,所以ME ⊥AD .因为SD ⊥平面ABCD ,所以SD ⊥CD ,ME ⊥SD ,所以ME ⊥平面SAD ，则∠MNE 为MN 与平面SAD 所成角，则∠MNE =a .设AB=1,则AD=1,CD=2,SD=2,令(0AN x x≤=APND中，2211242PN x x=+-×，又32PM=.所以222195=442MN x x=+-++，所以2299454sin494920x≤a==æç-+çèø当且仅当x时，取得等号，即sin a的最大值为7，故选A.解法三：三角函数法设AD的中点为E，连接ME，NE，因为CD AD^,所以ME AD^.因为SD⊥平面ABCD,所以SD⊥CD,ME⊥SD,所以ME⊥平面SAD，则MNEÐ为MN与平面SAD所成角，则∠MNE=a.设DA=2,则ME=3,MN=sin MEMNa==NE的最小值为E到AS，所以sin a A.解法四：二面角法设AD的中点为E，连接ME，因为CD⊥AD,所以ME⊥AD. 过E做EH⊥AS于H，连接MH，则∠MHE为二面角M-AS-E的平面角，设DA=2,则ME=3，EH，所以5MH==所以()max sin sin ME MHE MH a =Ð==sin a ，故选A .结论：二面角最大也常常表述为: 二面角是最大的线面角.这句话的意思是: 对于一个锐二面角，在其中一个半平面内的任一条直线与另一个半平面所成的线面角的最大值等于该二面角的平面角．例 由空间一点O 出发的三条射线,,OA OB OC 满足平面OBC ⊥平面OAB ,1COB q Ð=,2AOB q Ð= （12,q q 为锐角），直线AC 与平面OAB 所成角为q ，求tan q 的最大值。
平面向量一题多解举例
平面向量一题多解举例例1：已知等边△ABC 的边长为，平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，求NA MB ⋅思路点拨：一种方法是建立平面直角坐标系，将问题转化为向量的坐标运算即可;另一种方法是将,MA MB 用,CA CB表示,然后用数量积的定义计算.方法一:坐标法以BC 的中点为原点，BC 所在直线为x 轴建立如图(1)所示的平面直角坐标系，根据题设条件可知(0,3),(A B C设),(y x M，则(),((CM x y CB CA ==-=由1263CM CB CA =+得：)2,3()3,3(32)0,32(61),3(-=-+-=-y x∴0,2x y ==，∴点M 的坐标为)2,0(，∴(0,1),(2)MA MB ==-，∴2MA MB ⋅=-.方法二：基底法由于1211()6336MA CA CM CA CB CA CA CB =-=-+=-1225()6336MB CB CM CB CB CA CA CB =-=-+=-+MA MB ∴⋅= 11()36CA CB -⋅ 25()36CA CB -+2227591836CA CA CB CB=-+⋅-又ABC ∆是边长为32的等边三角形，2212,6CA CB CA CB ∴==⋅=，图(1)27512612291836MA MB ∴⋅=-⨯+⨯-⨯=-例2：在正三角形ABC 中，D 是BC 边上的点，AB=3，BD=1，求AB AD ⋅。
方法一：定义法 如图所示，B=60°，由余弦定理得AD 2=32+12-2×3×1×cos 60°=7, ∴再由余弦定理得cos ∠=，所以15AB AD AB AD cos BAD 3142⋅=⋅∠== .方法二：基底法∵AD AB BD AB AD AB (AB BD)=+∴⋅=⋅+ ，= 22AB AB BD AB AB BD cos 120+⋅=+⋅︒=9+3×1×115()22-=.例3：在ABC ∆中，若对于任意t R ∈，||||BA tBC AC -≥，求角C解法1：（平方展开）由||||BA tBC AC -≥得：22()BA tBC AC -≥ ，22222BA t BC tBA BC AC +-⋅≥ ，即222220t BC tBA BC BA AC -⋅+-≥ ，所以22224()4()0BA BC BC BA AC ∆=⋅--≤ ， 2222224cos 4()0BA BC B BC BA AC ⋅--≤ ， 2222cos ()0BA B BA AC --≤ ，222sin 0BA B AC -+≤ ，即||||sin AC BA B ≤，sin sin sin B C B ≤，1sin C ≤，又sin 1C ≥，所以sin 1C =，所以2C π=.解法2：（平方分解因式）由||||BA tBC AC -≥得：22()BA tBC AC -≥ ，()()0BA tBC AC BA tBC AC -+⋅--≥，()()0BC tBC CA CB tCB CA -⋅-++≥， (1)[2(1)]0t CB CA t CB -⋅+-≥，22(1)2(1)0CB t CB CA t -+⋅-≥ ，所以24()0CB CA ∆=⋅≤ ，即2()0C BC A ⋅≤ ，又2()0C BC A ⋅≥ ，所以0CB CA ⋅= ，CB CA ⊥ ，所以2C π=.解法3：（平方用余弦定理）由||||BA tBC AC -≥得：22()BA tBC AC -≥ ，22222cos c t a tac B b +-≥，22222cos 0a t ac Bt c b -+-≥，22222224cos 440a c B a c a b ∆=-+≤，222sin 0c B b -+≤，sin b c B ≤， sin sin sin B C B ≤，1sin C ≤，又sin 1C ≥，所以sin 1C =，所以2C π=.解法4：（几何作图）考虑BA tBC -的作图：作向量BD tBC = ，则DA BA BD BA tBC =-=-，于是原题化为||||DA AC ≥恒成立，根据垂线段最短 CB CA ⊥，所以2C π=.通过上面两种解法的比较可以看出，利用平面向量的三角形法则和共线向量的意义可以大大缩减运算量，提高解题效率.CAB。
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析
高三数学平面向量坐标运算试题答案及解析1.已知m，n，则“a＝2”是“m n”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由已知m n，故知“a＝2”是“m n”的充分而不必要条件，故选Ｂ．【考点】1．向量平行的条件；2．充要条件．2.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．3.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .【答案】【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．【考点】向量的坐标运算．4.已知△ABC的顶点分别为A(2,1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，则点D的坐标为()A．(－，)B．(，－)C．(，)D．(－，－)【答案】C【解析】设点D的坐标为(x，y)，∵AD是边BC上的高，∴AD⊥BC，∴⊥，又C，B，D三点共线，∴∥.又＝(x－2，y－1)，＝(－6，－3)，＝(x－3，y－2)，∴，解方程组得x＝，y＝，∴点D的坐标为(，)．5. [2014·北京东城区综合练习]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝()A．－2B．2C．－D．【答案】C【解析】由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)，因为ma＋nb与a－2b共线，所以(2m－n)×(－1)－(3m＋2n)×4＝0，整理得＝－.6.已知，,如果∥，则实数的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，即.【考点】向量平行的充要条件.7.（2013•重庆）OA为边，OB为对角线的矩形中，，，则实数k= _________．【答案】4【解析】由于OA为边，OB为对角线的矩形中，OA⊥AB，∴=0，即==（﹣3，1）•（﹣2，k）﹣10=6+k﹣10=0，解得k=4，故答案为 48.（2012•广东）若向量，向量，则=（）A．（﹣2，﹣4）B．（3，4）C．（6，10）D．（﹣6，﹣10）【答案】A【解析】∵向量，向量，∴，∴=（﹣4，﹣7）﹣（﹣2，﹣3）=（﹣2，﹣4）．故选A．9.向量a＝(－1,1)在向量b＝(3,4)方向上的投影为________．【答案】【解析】设向量a＝(－1,1)与b＝(3,4)的夹角为θ，则向量a在向量b方向上的投影为|a|·cos θ＝＝＝．10.若向量，满足条件，则x=（）A．6B．5C．4D．3【答案】A【解析】∵，，∴8=（8，8）﹣（2，5）=（6，3）∵∴12+3x=30∴x=6故选A11.在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||<，则||的取值范围是()A．(0，]B．(，]C．(，]D．(，]【答案】D【解析】因为⊥，所以可如图建立直角坐标系，设O(x，y)，||=a，||=b，因为=+，所以P(a，b)因为||=||=1，所以由知，点O在以点（a，0)为圆心，1为半径的圆上，所以同理由得，．所以．又由得，而由可得，，即，所以．综上所述，即．12.已知平面向量，，. 若，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，，由于，则，解得，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.共线向量13.已知A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且＝3，＝2，求点M、N及的坐标．【答案】(9，－18)．【解析】∵ A(－2，4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，∴＝(1，8)，＝(6，3)，∴＝3＝(3，24)，＝2＝(12，6)．设M(x，y)，则有＝(x＋3，y＋4)，∴ M点的坐标为(0，20)．同理可求得N点的坐标为(9，2)，因此＝(9，－18)．故所求点M、N的坐标分别为(0，20)、(9，2)，的坐标为(9，－18)．14.已知点点是线段的等分点，则等于．【答案】【解析】由题设，，，，……，，…… ， .所以,，，，……，，…… ， ,= = ,=所以答案是:【考点】1、等差数列的前项和；2、向量的坐标运算；3、向量的模.15.在平面直角坐标系中，若点，，，则________．【答案】【解析】.【考点】向量的坐标运算及向量的模.16.在平面直角坐标系中，△的顶点坐标分别为，，点在直线上运动，为坐标原点，为△的重心，则的最小值为__________．【答案】9【解析】把数量积用坐标表示出来，应该能求出其最小值了．设，由点坐标为，因此，所以当时，取得最小值9．【考点】数量积的坐标运算．17.已知向量，则向量的夹角为 .【答案】【解析】，所以，=，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算、数量积、夹角.18.已知平面向量，，则向量（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】平面向量的坐标运算19.已知平面向量，，且，则向量（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，则，所以，故选A.【考点】平面向量的坐标运算20.在中，，，，则的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，即，而，，解得，，，，，，故选B.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.平面向量的数量积21.已知两点，向量，若，则实数的值为( )A．-2B．﹣l C．1D．2【答案】B【解析】由已知得，所以由得，，解得.【考点】向量垂直的坐标表示22.已知向量，，如果向量与垂直，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，由于向量与垂直，所以，故选C.【考点】1.平面向量垂直；2.平面向量的坐标运算23.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】建立如图所示坐标系，不妨设，则，所以，，由与向量的夹角大于，得，即，故答案为.【考点】平面向量的坐标运算，平面向量的数量积、夹角、模.24.设，，若，则实数________．【答案】【解析】因为，又，所以，答案，.【考点】平面向量坐标运算、平面向量数量积.25.已知双曲线：，若存在过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，则双曲线离心率的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线相交于两点且，故直线与双曲线相交只能如图所示的情况，即A点在双曲线的左支，B点在右支，设，右焦点，因为，所以，由图可知，，所以故，即，即，选C.【考点】平面向量的坐标运算、双曲线性质、双曲线离心率、不等式的性质.26.平行四边形中，=（1，0），=（2，2），则等于（）A．4B．-4C．2D．-2【答案】A【解析】由,所以.故选A.【考点】1.向量的加减运算；2.向量的数量积27.若，则 .【答案】(3，4)【解析】．【考点】向量的坐标运算.28.若向量，则向量与的夹角的余弦值为 .【答案】【解析】，，两向量的夹角的余弦为.【考点】向量的加、减、数量积运算.29.已知向量a=(1,2),b=(x,1)，u=a+2b,v=2a-b,且 u//v，则实数x的值是______.【答案】【解析】由，，又，所以，即.【考点】向量的坐标运算.30.在ΔABC中，=600，O为ΔABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且（x,y∈R)，则x+y的取值范围为_____.【答案】[1,2]【解析】如图建立直角坐标系，O为坐标原点，设C（1,0），，，则，，，即，，解得，，又，，.【考点】向量坐标运算、三角函数.31.如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设扇形所在的圆的半径为1，以所在的直线为轴，为原点建立平面直角坐标系，，则，由题意可得,令，则在不是单调函数，从而在一定有解，即在时有解，可得，即，经检验此时此时正好有极大值点．【考点】1.向量的坐标运算;2.函数的性质.32.如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆的半径为1，以作为坐标原点建立坐标系，则,,，,,,，,因为，所以，所以，，所以.【考点】向量运算点评：本题关键是建立坐标系，求出向量坐标，利用向量相等解题是关键，属中档题.33.若向量，且的夹角为钝角，则的取值范围是【答案】【解析】因为的夹角为钝角，所以，所以的取值范围是。
空间向量练习及答案解析
空间向量练习及答案解析1.已知平面α的一个法向量为(2,-1,1)，且α∥β，则平面β的一个可能的法向量是哪个？A。
(4,2,-2) B。
(2,0,4) C。
(2,-1,-5) D。
(4,-2,2)2.在如图所示的正方形ABCD中，过点A作线段EA垂直于平面AC，若EA=1，则平面ADE和平面BCE所成的二面角大小是多少？A。
120° B。
45° C。
150° D。
60°3.已知向量a=(1,2,3)，向量b=(2,1,2)，向量c=(1,1,2)，点Q在直线OP上移动，当a·Q+b·Q取得最小值时，点Q的坐标是多少？A。
B。
C。
D.4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直角二面角A-BD-C，以下哪个结论是错误的？A。
AC⊥BDB。
△ACD是等边三角形C。
∠ABC与平面BCD所成的角为60°D。
∠ABD与CD所成的角为60°5.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E和F分别是棱AB和BB1的中点，直线EF和BC1的夹角是多少？A。
45° B。
60° C。
90° D。
120°6.在空间四面体O-ABC中，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC中点，设∠AOM=a，∠BOM=b，∠CON=c，则a+b-c等于多少？A。
a+b-c B。
-a+b+c C。
a-b+c D。
a+b-c7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，AB1和D1E所成角的余弦值是多少？A。
B。
C。
- D。
-8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是棱CC1、BC和A1B1上的点，若∠B1MN=90°，则∠PMN的大小是多少？A。
等于90° B。
小于90° C。
高一数学下第5章《向量的应用》解析及答案
高一数学下第5章《向量的应用》解析及答案巩固基础 一、自主梳理理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用,能将当前的问题转化为可用向量解决的问题,培养学生的创新精神和应用能力.二、点击双基1.(理)(2005全国高考卷Ⅲ,理)已知双曲线x 2-22y =1的焦点F 1、F 2，点M 在双曲线上且1MF ·2MF =0，则点M 到x 轴的距离为( )A.34B.35C.332 D.3解析：如图，不妨设M 在右支上，则MF 1⊥MF 2.设|MF 1|=r 1,|MF 2|=r 2,由定义r 1-r 2=2a=2. ① Rt △MF 1F 2中，r 12+r 22=(2c)2=12. ② ①式平方代入②后得r 1r 2=4,∴S △MF1F2=21r 1r 2=2=21|F 1F 2|·h=21×23h.∴h=332.答案：C(文)若O 是△ABC 内一点,++=0,则O 是△ABC 的( ) A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心解析：以、为邻边作平行四边形OBDC,则=+. 又OA +OB +OC =0, ∴+=-. ∴-=.∴O 为AD 的中点,且A 、O 、D 共线.又E 为OD 的中点,∴O 是中线AE 的三等分点,且OA=32AE.∴O 是△ABC 的重心. 答案：D2.(2006山东潍坊检测)已知点A(3,1)、B(0,0)、C(3,0),设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E,若=λ,则λ等于 …( )A.-23B.23C.-3D.-31解析：由=λ,得λ=BE BE =-1-=-1-21=-23.故选择A.答案：A3.(2006湖北八校联考)(理)已知向量a=(2cosα,2cosβ),b=(3cosβ,3sinβ),若a 与b 的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+21=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=21的位置关系是( )A.相交B.相交且过圆心C.相切D.相离解析：由题意得32)sin sin cos (cos 6⨯+βαβα=21,∴cosαcosβ+sinαsinβ=21.圆心为(cosβ,-sinβ). 设圆心到直线的距离为d,则d=1|21sin sin cos cos |++βαβα=1>22,∴直线和圆相离.故选D. 答案：D(文)已知直线x+y=a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|+|=|-|,其中O 为原点,则实数a 的值为( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.6或-6解析：由|OA +OB |=|OA -OB |,得OA ·OB =0,∴OA ⊥OB. 联立方程组⎩⎨⎧=+=+,4,22y x a y x 整理得2x 2-2ax+(a 2-4)=0, 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),∴x 1+x 2=a,x 1·x 2=242-a .∴y 1·y 2=(a-x 1)·(a-x 2)=a 2-a(x 1+x 2)+x 1x 2=21a 2-2.∵OA ⊥OB,∴x 1x 2+y 1y 2=0.∴242-a +22a -2=0.∴a 2=4.∴a=±2.又∵Δ=(-2a)2-8(a 2-4)>0,∴a 2<8.∴a ∈(-22,22),而±2∈(-22,22).故选C. 答案：C4.在四边形ABCD 中，·=0,=，则四边形ABCD 是______________________.解析：由·=0知⊥.由=知BC AD.∴四边形ABCD 是矩形. 答案：矩形5.若a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),使c=xa+yb 成立的实数x 、y 取值是_____________.解析：依题意(3,5)=x(1,-1)+y(-1,3),⎩⎨⎧=+-=-,53,3y x y x 解得⎩⎨⎧==.4,7y x答案：7、4训练思维【例1】 已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及=+t ，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不埽 胨得骼碛? 解：(1)OP =+t =(1+3t,2+3t).若P 在x 轴上，则2+3t=0,∴t=-32; 若P 在y 轴上，只需1+3t=0,∴t=-31;若P 在第二象限，则⎩⎨⎧>+<+.032,031t t ∴-32<t<-31.(2)∵=(1,2)，=(3-3t,3-3t).若OABP 为平行四边形，则=.⎩⎨⎧=-=-233,133t t 无解,∴四边形OABP 不能成为平行四边形.链接·聚焦本题第(2)问还可以利用共线的充要条件： ∵=+t AB ,∴-=t AB . ∴=t AB .∴A 、B 、P 共线. ∴四边形OABP 不能成为平行四边形.【例2】 已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示. (1)证明对于任意向量a 、b 及常数m 、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立； (2)设a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标； (3)求使f(c)=(p 、q)(p 、q 为常数)的向量c 的坐标. 解：(1)设a=(a 1,a 2),b=(b 1,b 2),则ma+nb=(ma 1+nb 1,ma 2+nb 2). ∴f(ma+nb)=(ma 2+nb 2,2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1),mf(a)+nf(b)=m(a 2,2a 2-a 1)+n(b 2,2b 2-b 1)=(ma 2+nb 2,2ma 2+2nb 2-ma 1-nb 1). ∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立. (2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1), f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).(3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q. ∴x=2p-q ，即向量c=(2p-q,p).讲评：要利用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题，这也是向量运算中比较常用的方法.【例3】 已知m 、n 、p 、q ∈R,求证：mp+nq≤22n m +·22q p +.剖析：本题若采用平方法，则需对mp+nq 的符号进行讨论，然后再平方，若能把握其结构特点，联想到平面向量的数量积性质，则问题容易解决. 证明：设a=(m,n),b=(p,q), 度 ∵|a·b|≤|a||b|,∴|mp+nq|≤22n m +·22q p +. ∴mp+nq ≤22n m +·22q p +.状元训练复习篇1.(2004辽宁高考)已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足PA ·PB =x 2,则点P 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线解析：=(-2-x,-y),=(3-x,-y),·=(-2-x)(3-x)+(-y)2=x 2,整理得y 2=x+6.∴P 点的轨迹为抛物线. 答案：D2.台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动,离台风中心30 km 内的地区为危险区,城市B 在A 的正东40 km 处,B 城市处于危险区内的时间为( )A.0.5 hB.1 hC.1.5 hD.2 h 解析：台风中心移动t h,城市B 处在危险区,则(20t)2+402-2×20t×40×cos45°≤900.∴2-21≤t≤2+21.∴B 城市处在危险区的时间为1 h.答案：B3.已知向量集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N 等于( ) A.{(1,1)} B.{(1,1),(-2,-2)} C.{(-2,-2)} D.∅解析：⎩⎨⎧+-=++-=+21215242,4231λλλλ∴⎩⎨⎧=-=0,121λλ(注意λ不一定相等).∴M∩N={(-2,2)}. 答案：C4.在一座20 m 高的观测台顶测得地面一水塔塔顶仰角为60°,塔底俯角为45°,那么这座塔的高为_______________________. 解析：如图,AD=DC=20. ∴BD=ADtan60°=203. ∴塔高为20(1+3) m.答案：20(1+3) m5.有一两岸平行的河流，水速为1，小船的速度为2，为使所走路程最短，小船应朝_____方向行驶. 解析：如右图,为使小船所走路程最短,v 水+v 船应与岸垂直.又v 水==1,v 船==2,∠ADC=90°,∴∠CAD=45°. 答案：与水速成135°角的6.平面内有向量OA =(1,7)，OB =(5,1)，OP =(2,1)，点X 为直线OP 上的一个动点. (1)当·取最小值时，求的坐标；(2)当点X 满足(1)的条件和结论时，求cos ∠AXB 的值. 解：(1)设OX =(x,y),∵点X 在直线OP 上， ∴向量与共线.又OP =(2,1),∵x·1-y·2=0,即x=2y,∴OX =(2y,y). 又=-=(1,7)-(2y,y), ∴=(1-2y,7-y).同理,=-=(5-2y,1-y).于是,·=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=4y 2-12y+5+y 2-8y+7=5y 2-20y+12 =5(y-2)2-8.由二次函数的知识，可知当y=2时，XA ·XB =5(y-2)2-8有最小值-8，此时OX =(4,2). (2)当=(4,2)，即y=2时，有=(-3,5)，=(1，-1)，||=34,||=2,·=(-3)×1+5×(-1)=-8,∴cos ∠AXB=||||XB XA =2348∙-=-17174.讲评：向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的直角坐标去研究有关长度、角度和垂直问题.7.已知向量a=(cos 23x,sin 23x),b=(cos 2x ,-sin 2x ),且x ∈［0，2π］.求：(1)a·b 及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|的最小值是-23，求λ的值. 解：(1)a·b=cos 23x·cos 2x -sin 23x·sin 2x =cos2x,|a+b|=22)2sin 23(sin )2cos 23(cos xx x x -++ =x 2cos 22+=2x 2cos .∵x ∈［0，2π］，∴cosx>0.∴|a+b|=2cosx.(2)f(x)=cos2x-4λcosx,即f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2.∵x ∈［0,2π］，∴0≤cosx≤1.①当λ<0时，当且仅当cosx=0时，f(x)取得最小值-1，这与已知矛盾.②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx=λ时，f(x)取得最小值-1-2λ2，由已知得-1-2λ2=-23,解得λ=21.③当λ>1时，当且仅当cosx=1时，f(x)取得最小值1-4λ.由已知得1-4λ=-23，解得λ=85.这与λ>1相矛盾.综上所述，λ=21为所求.加强篇8.(2006北京海淀模拟)设a =(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈(0,π),β∈(π,2π),a 与c 的夹角为θ1,b 与c 的夹角为θ2,且θ1-θ2=6π,求sin 4βα-的值.解：a=(2cos 22α,2sin 2αcos 2α) =2cos 2α(cos 2α,sin 2α),b=(2sin 22β,2sin 2βcos 2β) =2sin 2β(sin 2β,cos 2β), ∵α∈(0,π),β∈(π,2π),∴2α∈(0,2π),2β∈(2π,π).故|a|=2cos 2α,|b|=2sin 2β,cos θ1=||||c a c a ∙=2cos22cos 22αα=cos 2α, cos θ2=||||c b c b ∙=2sin22sin 22ββ=sin 2β=cos(2β-2π).∴θ1=2α. ∵0<2β-2π<2π,∴θ2=2β-2π.又θ1-θ2=6π,∴2α-2β+2π=6π.故2βα-=-3π,∴sin 4βα-=sin(-6π)=-21.讲评：本题考查向量的坐标表示及其运算，向量数量积的夹角公式的运用，注意角度范围的变化应用，结合三角函数的关系进行求值.9.(全新创编题)如图所示，点F(a,0)(a>0),点P 在y 轴上运动，M 在x 轴上，N 为动点，且·=0,+=0.(1)求点N 的轨迹C 的方程；(2)过点F(a,0)的直线l(不与x 轴垂直)与曲线C 交于A 、B 两点，设点K(-a,0),与的夹角为θ，求证：0<θ<2π.解：(1)设N(x,y)、M(x 0,0)、P(0,y 0),则PM =(x 0,-y 0),PF =(a,-y 0),PN =(x,y-y 0).由·=0,得ax 0+y 02=0. ① 由+=0，得(x+x 0,y-2y 0)=0,即⎩⎨⎧=-=+.02,000y y x x 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2,00yy x x代入①,得y 2=4ax 即为所求.(2)设l 的方程为y=k(x-a),由⎩⎨⎧-==),(,42a x k y ax y 消去x,得y 2-k a 4y-4a 2=0.设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),则y 1y 2=-4a 2,KA =(x 1+a,y 1),KB =(x 2+a,y 2),·=(x 1+a)(x 2+a)+y 1y 2=x 1x 2+a(x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=22221)4(a y y +a·(a y 421+a y 422)+a 2-4a 2=41(y 12+y 22)-2a 2>41(2|y 1y 2|)-2a 2=21×4a 2-2a 2=0,所以cos θ=>0.所以0<θ<2π.讲评：向量及其运算是新课程的新增内容，由于向量融数、形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.本题是将向量与解析几何、方程、不等式以及三角函数等知识有机结合，体现了《考试大纲》要求的“在知识网络交汇点处命题”的精神，我们预测今年的向量高考题的难度可能上升到压轴题水平. 一、教学思路向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观，向量本身是一个数形结合的产物，因此在向量的复习中要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.应用向量可以解决平面几何中的一些问题，在物理和工程技术中应用也很广泛，教学要结合实例，引导学生把向量的相关知识和实际问题相结合，渗透向量解决问题的高效性.二、注意问题与向量相关的综合应用问题类型较多，往往都和几何图形或某种类型曲线相关联，这就要求在转化成向量方法或抽象为确定的数学模型时，一定要注意和题意等价，善于综合全局，把握转化合理性. 三、参考资料【例1】 已知a=(31x 2,x),b=(x,x-3),x ∈［-4,4］.(1)求f(x)=a·b 的表达式;(2)求f(x)的最小值,并求此时a 与b 的夹角.解：(1)f(x)=a·b=31x 2·x+x·(x-3)=31x 3+x 2-3x,x ∈［-4,4］.(2)f ′(x)=x 2+2x-3=(x+3)(x-1). 列表:故当x=1时,f(x)有最小值为-35. 此时a=(31,1),b=(1,-2).设θ为a 与b 的夹角,则cosθ=||||b a b a ∙=-22. 又由θ∈［0,π］,得θ=43π.【例2】 如图所示,对于同一高度(足够高)的两个定滑轮,用一条(足够长)绳子跨过它们,并在两端分别挂有4 kg 和2 kg 的物体,另在两个滑轮中间的一段绳子悬挂另一物体,为使系统保持平衡状态,此物体的质量应是多少?(忽略滑轮半径、绳子的重量)剖析：先进行受力分析,列出平衡方程,然后用数学方法求解.解：设所求物体质量为m kg 时,系统保持平衡,再设F 1与竖直方向的夹角为θ1,F 2与竖直方向的夹角为θ2,则有⎩⎨⎧=+=)2(.c o s 2c o s 4)1(,s i n 2s i n42121mg g g g g θθθθ(其中g 为重力加速度) 由①式和②式消去θ2,得 m 2-8mcosθ1+12=0,即m=4cosθ1±23cos 412-θ.③ ∵cosθ2＞0,由②式知,③式中m=4cosθ1-23cos 412-θ不合题意,舍去. 又∵4cos 2θ1-3≥0,解得23≤cosθ1≤1.经检验,当cosθ1=23时,cosθ2=0,不合题意,舍去.∴23＜m ＜6.综上,所求物体的质量在23kg 到6 kg 之间变动时,系统可保持平衡.讲评：(1)m 的范围是通过函数y=4x+2342-x 的单调性求得的.(2)实际问题的处理要注意变量的实际意义,本题容易忽略cosθ2＞0的实际限制.优化测控一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分)1.(2006江苏南京期末)已知向量a=(1,0),b=(1,1),c=(-1,0),若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ,μ的值分别为( ) A.1,0 B.1,1 C.0,1 D.-1,0解析：∵c=λa+μb=λ(1,0)+μ(1,1)=(λ+μ,μ),而c=(-1,0),∴⎩⎨⎧=-=+.0,1μμλ ∴⎩⎨⎧=-=.0,1μλ故选择D.答案：D2.有三个命题：①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上；②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=.其中正确的是( ) A.② B.③ C.①③ D.②③ 解析：①与共线，AB 与CD 也可以平行.②中a 与b 也可能有0. 答案：B3.(2006四川成都检测)设向量a=(cos25°,sin25°),b=(sin20°,cos20°),若t 是实数,且u=a+t b,则|u|的最小值为( )A.2B.1C.22D.21解析：|a|=|b|=1,a·b=sin20°cos25°+cos20°sin25°=sin45°=22, ∴|u|2=|a+t b|2=a 2+2t a·b+t 2b 2=t 2+2t+1=(t+22)2+21≥21.∴|u|≥22.选C.答案：C4.已知|a|=4，|b|=8，且a 与2b-a 互相垂直，则向量a 与b 的夹角是( )A.arccos 41B.π-arccos 41C.3πD.6π解析：由a ⊥(2b-a),得a·(2b-a)=0. ∴2|a||b|cosθ-|a|2=0.∴cosθ=41,θ=arccos 41.答案：A5.(2006北京西城模拟)向量=(1,21),=(0,1),若动点P(x,y)满足条件⎪⎩⎪⎨⎧<∙<<∙<,10,10OA OP 则P(x,y)的变动范围(不含边界的阴影部分)是( )解析：OA =(1,21),OB =(0,1).设P(x,y),则OP =(x,y),∵⎪⎩⎪⎨⎧<∙<<∙<,10,10即⎪⎩⎪⎨⎧<<<+<.10,120y y x经分析，选A. 答案：A6.已知向量=(1,1)，=(1,a)，其中a 为实数，O 为原点，当这两向量的夹角在(0,12π)变动时，a 的取值范围是( )A.(0,1)B.(33,3)C.(33,1)∪(1,3) D.(1,3)解析：只需保证直线AO 和OB 的夹角为此范围就行，显然k OA =1,k OB =a.应用夹角公式tanθ=|a a +-11|<1313+-,可得选项C.答案：C7.已知向量m 与向量n 互相垂直且|m|=|n|,若m=(2,1),则n 等于( ) A.(1,-2) B.(-2,1) C.(-2,1)或(2,-1) D.(1,-2)或(-1,2)解析：设n=(x,y),由题意设⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.5,0222y x y x 解得⎩⎨⎧-==2,1y x 或⎩⎨⎧=-=.2,1y x∴n=(1,-2)或(-1,2). 答案：D8.已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C)，则AP 等于( )A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈(0,22) C.λ(-),λ∈(0,1) D.λ(-),λ∈(0,22)解析：由平行四边形法则及共线的充要条件容易得到选项A. 答案：A9.(2006西安五校联考)已知向量a=(3,4)，b=(2，-1)，如果向量a+λb 与向量-b 互相垂直，则实数λ的值为( )A.223B.233C.2D.-52解析：a+λb=(3,4)+λ(2,-1)=(3+2λ,4-λ),-b=(-2,1),若(a+λb)⊥(-b)，则-2(3+2λ)+4-λ=0.∴λ=-52.故选D.答案：D10.若a 与b 的夹角为60°，|b|=4，(a+2b)·(a-3b)=-72，则向量a 的模是( )A.2B.4C.6D.12解析：由题意知a 2-a·b-6b 2=-7a,把|b|=4,cos60°=21代入得|a|2-2|a|-24=0.∴|a|=6或|a|=-4(舍).答案：C11.命题p:△ABC 及点G 满足++=0；命题q ：G 是△ABC 的重心，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件解析：若G 是△ABC 的重心，由课本例题可知，++=0成立.若++=0，则+=-，可证CG 必经过AB 的中点.答案：C12.在平面直角坐标系中，O 为原点，OA =a,OB =b ，对任意一点M ，它关于A 的对称点为S ，S 关于点B 的对称点为N ，则用a 、b 表示为( )A.2(b-a)B.21(a-b)C.a+bD.21(a+b) 解析：MN =MS +SN =2AS +2SB =2OB -2OA (四边形OASB 是平行四边形).答案：A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分，共16分) 13.OA =3e 1,OB =3e 2,且AP =21,则OP =__________________________. 解析：=3e 2-3e 1,=31=e 2-e 1,=+=2e 1+e 2.答案：2e 1+e 214.(2006北京海淀模拟)若向量a=(3,2),b=(0,-1),则向量2a-b 的坐标是_______________；a·b=_______________________. 解析：a=(3,2),b=(0,-1),∴2a-b=(6,4)-(0,-1)=(6,5),a·b=3×0+2×(-1)=-2.答案：(6,5) -215.若对n 个向量a 1,a 2,…,a n 存在n 个不全为零的实数k 1,k 2,…,k n ,使得k 1a 1+k 2a 2+…+k n a n =0成立，则称向量a 1,a 2,…,a n 为“线性相关”.依此规定，能说明a 1=(1,0),a 2=(1,-1),a 3=(2,2)“线性相关”的实数k 1、k 2、k 3依次可以取_____________________________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况).解析：设k 1a 1+k 2a 2+k 3a 3=0,即k 1(1,0)+k 2(1,-1)+k 3(2,2)=(0,0).∴⎩⎨⎧=+-=++.02,0232321k k k k k ∴k 1=-4k 3,k 2=2k 3.取k 3=1得一组k 1、k 2、k 3依次为-4、2、1.答案：-4、2、116.(2006江苏南京期末)若|a|=1,|b|=2,c=a-b,且c ⊥a,则向量a 与b 的夹角为__________.解析：∵c=a-b 且c ⊥a,∴c·a=0,即(a-b)·a=0,a 2=a·b=1,cos 〈a,b 〉=||||b a b a ∙=21.∴〈a,b 〉=3π. 答案：3π三、解答题(本大题共6小题，共74分)17.(本小题满分12分)已知向量a=(3，-4)，求：(1)与a 平行的单位向量b ；(2)与a 垂直的单位向量c ；(3)将a 绕原点逆时针方向旋转45°得到的向量e 的坐标.解：(1)设b=λa,则|b|=1，b=(53,-54)或b=(-53,54).(2)由a ⊥c ，a=(3,-4),可设c=λ(4,3),求得c=(54,53)或c=(-54,-53).(3)设e=(x,y),则x 2+y 2=25.又a·e=3x-4y=|a|·|e|cos45°,即3x-4y=2252,由上面关系求得e=(227,-22)或e=(-22,-227).而向量e 由a 绕原点逆时针方向旋转45°得到，故e=(227,-22).18.(本小题满分12分)已知a 、b 、c 分别是△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边,(1)若△ABC 面积为23,c=2,A=60°,求a 、b 的值；(2)若acosA=bcosB ，试判断△ABC 的形状，证明你的结论.解：(1)由已知得23=21bcsinA=bsin60°,∴b=1.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccosA=3,∴a=3.(2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b,∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B.由已知A 、B 为三角形内角，∴A+B=90°或A=B.故△ABC 为直角三角形或等腰三角形.19.(本小题满分12分)向量a=(1,cos2θ),b=(2,1),c=(4sinθ,1),d=(21sinθ,1),其中θ∈(0,4π).(1)求a·b-c·d 的取值范围；(2)若函数f(x)=|x-1|,判断f(a·b)与f(c·d)的大小，并说明理由.解：(1)a·b=2+cos2θ,c·d=2sin 2θ+1=2-cos2θ,∵a·b-c·d=2cos2θ,∴0<θ<4π.∴0<2θ<2π.∴0<cos2θ<1.∴0<2cos2θ<2.∴a·b-c·d 的取值范围是(0,2).(2)f(a·b)=|2+cos2θ-1|=|1+cos2θ|=2cos 2θ,f(a·b)=|2-cos2θ-1|=|1-cos2θ|=2sin 2θ,于是有f(a·b)-f(c·d)=2(cos 2θ-sin 2θ)=2cos2θ.∵0<θ<4π,∴0<2θ<2π.∴2cos2θ>0.∴f(a·b)>f(c·d).20.(本小题满分12分)△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足下列条件：(1)A<B<C;(2)A 、B 、C 成等差数列；(3)tanA·tanC=2+3.(1)求A 、B 、C 的大小；(2)若AB 上的高为43，求a 、b 、c 的大小.解：(1)由题意知B=60°，A+C=120°,tan(A+C)=aC A CA tan tan 1tan tan -+=-tanB=-3,∴tanA+tanC=3+3.故⎩⎨⎧+==32tan ,1tan C A或⎩⎨⎧=+=1tan ,32tan C A (舍).故A=45°,B=60°,C=75°.(2)过C 作CD ⊥AB 于D ，则CD=43.在Rt △ACD 和Rt △ABC 中，由正弦定理得a=B CD sin =8,b=A CDsin =46,c=AD+DB=43+4.21.(本小题满分12分)已知a=(cosθ,sinθ),b=(cosβ,sinβ),a 与b 之间有关系式|ka+b|=3|a-kb|(k>0).(1)用k 表示a·b;(2)求a·b 的最小值，并求此时a 与b 夹角的大小.解：(1)将|ka+b|=3|a-kb|两边平方得a·b=k b k a k 8)13()3(2222-+-=k k 412+.(2)∵(k-1)2≥0,又k>0,∴k k 412+≥k k 42=21,即a·b≥21,cosα=21.又0°≤α≤180°，故a 与b 的夹角为60°.22.(本小题满分14分)已知平面向量a=(3，-1)，b=(21,23),(1)证明a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使x=a+(t 2-3)b,y=-ka+tb,且x ⊥y ，试求函数关系式k=f(t);(3)据(2)的结论，确定函数k=f(t)的单调区间.(1)证明：a·b=(3,-1)·(21,23)=23-23=0,∴a ⊥b.(2)解：∵x ⊥y,∴x·y=0且a·b=0,a 2=4,b 2=1.整理得-4k+t(t 2-3)=0.∴k=41t(t 2-3).(3)解：记f(t)=41(t 3-3t),∴f′(t)=43t 2-43.令f′(t)>0,得t<-1或t>1.因此，当t ∈(-∞,-1)时，f(t)是增函数； 当t ∈(1,+∞)时，f(t)也是增函数.再令f′(t)<0得-1<t<1,故t ∈(-1,1)时，f(t)是减函数.。
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解1---空间向量及其运算(解析版)
高二数学复习典型题型与知识点专题讲解 01空间向量及其运算+空间向量基本定理+空间向量及其运算的坐标表示一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角知识点2 共线与共面知识点3 空间向量基本定理知识点4 建系设点二、题型归类练专练一、典例精析拓思维（名师点拨）知识点1 回路法求模与夹角例1．（2021·湖北省直辖县级单位·高二阶段练习）如图，平行六面体ABCD A B C D ''''-，其中4AB =，3AD =，3AA '=，90BAD ∠=︒，60BAA '∠=︒，60DAA '∠=︒，则AC '的长为________【详解】根据题意，''AC AC CC AB BC AA =+='++'AC AB BC AA ∴=++'根据题中的数据可知，()()()()2'22'2'2222'2?··433243cos9033cos 6043cos 6055AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA AC AB BC AA ++=+++++=+++⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒=∴=++=名师点评：回路法求模，比如AD AB BC CD =++,则有22||()AD AB BC CD =++。
也如本例中：AC AB BC CC '=+'+，特别提醒：找向量夹角时，注意共起点才能找夹角，当两个向量不共起点时，需平移成共起点条件下找夹角.例2．（2021·重庆南开中学高二阶段练习）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60︒，则AC 与1BD 所成角的余弦值___________.【详解】 因为111,AC AB AD BD AD AB AA AD AB =+=-=+-，所以()()()()111AC BD AB AD AA AD AB AB AD AA AD AB ⋅=+⋅+-=+⋅+-，2211AB AA AB AD AA AD =⋅-+⋅+， 2222cos60222cos6024=⨯⨯-+⨯⨯+=， ()22222AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+， 222222cos60212=+⨯⨯⨯+=，所以23AC =()2211BD AA AD AB =+-，222111222AA AD AB AA AD AA AB AD AB =+++⋅-⋅-⋅，222222222cos60222cos60222cos60=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯， 8= 所以122BD =设AC 与1BD 所成的角为θ,所以111cos cos ,2AC BD AC BD AC BD θ⋅====⋅. 名师点评：利用向量求异面直线所成角时注意：①0,a b π≤<>≤，利用公式cos ,||||a b a b a b ⋅<>=，求出的cos ,a b <>可正可负可为零；②异面直线a ，b 所成角02πθ<≤，在利用向量求异面直线所成角时注意转化cos |cos ,|a b θ=<>. 知识点2 共线与共面例1．（2021·辽宁·大连市第一中学高三期中）在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点（不包含端点），若AD mAB nAC=+，则41m n+的最小值为______． 【答案】9【详解】 D 是线段BC 上一点，B ∴，C ，D 三点共线，AD mAB nAC =+，1m n ∴+=，且0m >，0n >，∴14()()52459441n m n m n m n m n m+=++=+++=， 当且仅当4m n n m=时取等号． ∴41m n+的最小值为9．故答案为：9．练习1-1．（2021·广东深圳·高三阶段练习）如图，在ABC ∆中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB AC ，所在的直线分别交于点M N ，若AM AB λ=，,(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为__________．【答案】1 【详解】 BP BA AP =+，PC PA AC =+，又2BP PC =，∴()2AB AP AC AP -+=-， ∴12123333AP AB AC AM AN λμ=+=+， 又P 、M 、N 三点共线， ∴12133λμ+=，∴12122()11333333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当233μλλμ=，即1233λμ==时取等，∴λμ+的最小值为1故答案为：1练习1-2．（2021·全国·高二单元测试）已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使OA λ+mOB +nOC =0，那么m n λ++的值为________.【答案】0【详解】因A ，B ，C 三点共线，则存在唯一实数k 使AB k AC =，显然0k ≠且1k ≠，否则点A ，B 重合或点B ，C 重合，则()OB OA k OC OA -=-，整理得：(1)0k OA OB kOC -+-=，令λ=k -1，m =1，n =-k ，显然实数λ，m ，n 不为0，因此，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA +m OB +n OC =0，此时λ+m +n = k -1+1+(-k )=0， 所以λ+m +n 的值为0.故答案为：0另解：由A ，B ，C 三点共线，且OA λ+mOB +nOC =0⇒mnOA OB OC λλ=--()10mn m n m n λλλλ⇒-+-=⇒+=-⇒++= 名师点评：①空间中三点,,P A B 共线⇔PA PB λ=;②空间中三点,,P A B 共线⇔对于空间中任意一点O ,(1)OP OA OB λμλμ=++=合理的利用好三点共线向量的充要条件，在解题时可以迅速得出结论。
高三数学平面向量试题答案及解析
高三数学平面向量试题答案及解析1.已知点为的外接圆的圆心，且，则的内角等于( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，所以四边形为菱形，因此，即.【考点】1.向量运算；2.三角形外心.2.已知是单位向量，.若向量满足（）A．B．C．D．【答案】A；【解析】因为，，做出图形可知，当且仅当与方向相反且时，取到最大值；最大值为；当且仅当与方向相同且时，取到最小值；最小值为.3.已知向量，，则向量在上的正射影的数量为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】向量在上的正射影的数量为选D.【考点】向量正投影4.设向量，，则向量在向量上的投影为．【答案】-1【解析】由已知向量，，向量在向量上的投影为．【考点】向量的投影．5.已知向量，，若与垂直，则（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】因为两向量垂直，所以，即，代入坐标运算：，解得：，所以．【考点】向量数量积的坐标运算6.已知向量满足，，．若对每一确定的，的最大值和最小值分别是，则对任意，的最小值是．【答案】【解析】设,则,设OA中点为D，则,因此四点A,D,B,C共圆,圆心为AB中点M,直径为AB,从而的最大值和最小值分别是因此【考点】向量几何意义7.已知向量满足，则在方向上的投影为．【答案】【解析】根据，求得，根据投影公式可得在方向上的投影为．【考点】向量在另一个向量方向上的投影．8.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|-|=|+-2|，则△ABC一定是A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】根据题意有，即，从而得到，所以三角形为直角三角形，故选B．【考点】向量的加减运算，向量垂直的条件，三角形形状的判断．9.已知、是不共线的向量，，那么三点共线的充要条件为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为三点共线，所以，所以，故选B．【考点】向量共线的充要条件．10.已知是内的一点，且，，若，和的面积分别为、、，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可．因为，，所以故选B．【考点】平面向量；均值不等式11.设向量a＝（－1，2），b＝（m，1），如果向量a＋2b与2a－b平行，则a 与b的数量积等于（）A．－B．－C．D．【答案】D【解析】由已知可得，因为与平行，所以可得，解得．即．．故D正确．【考点】1向量共线；2数量积公式．12.在中，已知，，分别是边上的三等分点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为、分别是边上的三等分点所以，所以又所以得所以故答案选【考点】1．向量的线性关系；2．向量的数量积．13.如图，已知边长为4的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，作EF⊥AE交∠BCD的外角平分线于F．设，记，则函数的值域是；当面积最大时，．【答案】，【解析】如图，作,交延长线于，则,易证得，所以设，则所以所以由题知，所以故的值域是因为，所以当面积最大时，，即则在中，所以【考点】1．向量的数量积；2．二次函数的最值．14.边长为2的正三角形内（包括三边）有点，，求的取值范围．【答案】．【解析】如下图所示，建立平面直角坐标系，∴，，，，，∴，即点P的轨迹为圆夹在三角形ABC内及其边界的一段圆弧，在中，有，又∵，即的取值范围是．【考点】平面向量数量积．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．15.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）．若，其中的取值范围是．【答案】【解析】建立如下图所示直角坐标系，则，,，，，所以，，又因为点在以为圆心、为半径的圆上，且在第一象限，所以点的坐标为，，所以，所以．,,由三角函数的性质可知，函数的值域为，所以的取值范围为．【考点】1．向量的坐标运算；2．圆的参数方程；3．三角函数的性质．【方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算、圆的参数方程的应用、三角函数的性质、数形结合思想，属难题．平面向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标，解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）求解进行，并注意方程思想与转化思想的应用．16.已知向量，，若与平行，则的值是 _．【答案】【解析】由题意与平行，则可得到【考点】共线向量17.在中，,D是边BC上一点，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】（1）在中，已知三边求一角，故应用余弦定理：，解得，（2）因为,而,因此只需求边AB，这可由正弦定理解得：试题解析：在中，由余弦定理得：．把，，代入上式得．因为，所以．在中，由正弦定理得：．故．所以．【考点】正余弦定理【名师】1．正弦定理可以处理①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．余弦定理可以处理①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解．2．利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的．18.已知向量，其中，则向量的夹角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，则，即，则，则有，所以向量的夹角是．【考点】平面向量的数量积的运算．19.（2015秋•上海月考）已知||=2，||=1，的夹角为，则= ．【答案】1【解析】代入向量数量级定义式计算．解：=||•||cos=2×1×=1．故答案为：1．【考点】平面向量数量积的运算．20.（2015•河南模拟）已知向量=（2，1），=（0，﹣1）．若（+λ）⊥，则实数λ=．【答案】5【解析】本题先将向量坐标化，利用两向量垂直得到它们的数量积为零，求出λ的值，得到本题答案．解：∵向量=（2，1），=（0，﹣1），∴．∵（+λ）⊥，∴2×2+1×（1﹣λ）=0，λ=5．故答案为：5．【考点】平面向量数量积的运算．21.已知两定点，，点P在椭圆上，且满足＝2，则为（）A．－12B．12C．一9D．9【答案】D【解析】由，可得点的轨迹是以两定点，为焦点的双曲线的上支，且∴的轨迹方程为：，由和联立可解得：，则．故选D．【考点】椭圆的简单性质．22.在边长为1的正三角形ABC中，设，则__________．【答案】．【解析】如图：由知点D是BC边的中点，点E是CA边上靠近点C的一个三等分点，．故答案应填：．【考点】向量的数量积．23.在中，则∠C的大小为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，解得，所以，故选B．【考点】平面向量数量积的应用．24.已知点P是内一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设点M是中点，则点P是一个三等分点，，选C.【考点】向量表示25.知△ABC和点M满足＋＝－，若存在实数m使得m＋m＝成立，则m等于（）A．B．2C．D．3【答案】C【解析】由，得，知点是的重心，由，由于是的重心，所以，，故选C．【考点】平面向量．26.已知向量，设．（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）在中，分别为内角的对边，且，求的面积．【答案】（1）,；（2）【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得，由，可解得函数的单调增区间．（Ⅱ）由，可得，结合范围，可得，从而求得，由余弦定理可解得的值，利用三角形面积公式即可得解．试题解析：解：（Ⅰ）由可得所以函数的单调递增区间为,（Ⅱ）由可得【考点】1．余弦定理；2．三角函数中的恒等变换应用．27.在中，,点是线段上的动点，则的最大值为_______．【答案】．【解析】，所以当M,N重合时，，最大，为，又设所以，显然当时，最大为，故的最大值为3．【考点】数量积的应用．28.已知向量若则（）A．B．C．2D．4【答案】C【解析】由已知，因为，所以，，所以．故选C．【考点】向量垂直的坐标运算，向量的模．29.已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．【答案】150°．【解析】根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．【考点】平面向量数量积的运算．30.已知点为内一点，且则________．【答案】【解析】如图，即，又，所以有，则.【考点】向量的运算.【思路点睛】因为有相同的底边，所以只要分别求得顶点的距离或者其比值便可求得面积之比，显然求比值较容易，由三角形相似的性质可知顶点的距离之比等于的比值，所以要结合利用向量的运算求得的比值.31.若非零向量满足，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，所以有，其中为与的夹角，将代入前式中，可求得，故本题的正确选项为D.【考点】向量的运算.32.已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】解题时应注意到，则M为△ABC的重心．解：由知，点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则==，所以有，故m=3，故选：B．【考点】向量的加法及其几何意义．33.等腰直角三角形中，是斜边上一点，且，则．【答案】4【解析】因为，而，.所以答案应填：4．【考点】平面向量数量积的运算．【方法点睛】欲求的值的关键是选为一组基底，用表述出，代入数量积进行运算.另一种方法：以为原点，分别以为轴，建立直角坐标系，则,所以，由知，所以.本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题.34.在中，是上的点，若，则实数的值为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，所以，又因为三点共线，所以.【考点】1.向量的线性运算；2.向量共线定理.35.如图，在中，为的中点，为上任一点，且，则的最小值为．【答案】9【解析】因为是中点，所以，又在线段上，所以，且，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为9．【考点】平面向量的基本定理，基本不等式．【名师】设点是直线外任一点，，则是三点共线的充要条件．36.在平面直角坐标系中有不共线三点，，.实数满足，则以为起点的向量的终点连线一定过点（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，所以.设点在向量的中点连线上，则,所以一点过点，故选C.【考点】向量的坐标运算．【方法点晴】本题主要考查了平面向量的坐标运算及平面向量的共线定理的应用，属于中档试题，着重考查了学生的推理、运算能力和转化与化归的思想方法，本题的解答中，根据，设点在向量的中点连线上，利用平面向量的共线定理和平面向量的坐标运算，得到向量的表示，即可到结论.37.四边形中，且，则的最小值为【答案】【解析】通过建立坐标系，设C（a，0），D（0，b），利用数量积的坐标运算得出数量积关于a，b的函数，求出函数的最小值．设AC与BD交点为O，以O为原点，AC，BD为坐标轴建立平面直角坐标系，设C（a，0），D（0，b），则A（a-2，0），B（0，b-3），当时，取得最小值.【考点】平面向量的坐标运算【方法点睛】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．38.已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意实数，的最小值为____________.【答案】【解析】,建立如图所示的直角坐标系, 取,设.,当且仅当时取等号. 故答案为.【考点】1、向量的几何性质、平面向量的数量积公式；2、利用基本不等式求最值.【易错点晴】本题主要考查向量的几何性质、平面向量的数量积公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用“或”时等号能否同时成立）.39.已知曲线上的任意点到点的距离比它到直线的距离小1，（1）求曲线的方程；（2）点的坐标为，若为曲线上的动点，求的最小值（3）设点为轴上异于原点的任意一点，过点作曲线的切线，直线分别与直线及轴交于，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？请证明你的结论【答案】（1）；（2）的最小值为2；（3）线段的长度为定值【解析】（1）根据抛物线的定义得出轨迹方程；（2）设，将表示为（或）的函数，根据函数性质求出最小值；（3）设坐标和直线的斜率，根据相切得出的关系，求出坐标得出圆的圆心和半径，利用切线的性质得出的长．试题解析：（1）设为曲线上的任意一点，依题意，点到点的距离与它到直线的距离相等，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，所以曲线的方程为（2）设，则因为，所以当时，有最小值2（3）当点在轴上运动（与原点不重合）时，线段的长度不变，证明如下：依题意，直线的斜率存在且不为0，设，代入得，由得将代入直线的方程得，又，故圆心所以圆的半径为当点在轴上运动（点与原点不重合）时，线段的长度不变，为定值【考点】抛物线的定义及其标准方程，向量的数量积运算，直线与圆锥曲线的关系40.平面向量与的夹角为60°，，则等于（）A．B．4C．12D．16【解析】，因此，选A.【考点】向量的模41.已知向量，则a与b夹角的大小为_________.【答案】【解析】两向量夹角为,又两个向量夹角范围是,所以夹角为.【考点】向量数量积与夹角公式【名师】由向量数量积的定义（为，的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.42.已知向量，且，则m=A．−8B．−6C．6D．8【答案】D【解析】，由得，解得，故选D.【考点】平面向量的坐标运算、数量积【名师】已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）：|a|＝|a|＝cos θ＝cos θ＝a·b＝0x x＋y y＝043.在中，点M是边BC的中点.若，则的最小值是____.【答案】【解析】设，由，即有，得，点是的中点，则，．当且仅当取得最小值，且为．则的最小值为,故答案为：．【考点】平面向量数量积的运算.44.已知向量，，则（）A．2B．-2C．-3D．4【解析】因，故，应选A。
专题02 多题一解之两平面向量垂直篇(解析版)
专题02 多题一解之两平面向量垂直篇【知识储备】1、 两向量夹角的定义：已知两个非零向量a 和b ，作O A →＝a ，O B →＝b ，则∠AOB＝θ叫作向量a 与b 的夹角．向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°； 向量垂直：如果向量a 与b 的夹角是90°，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .2．平面向量数量积：a ，b 是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |·cos θ叫作a 与b的数量积，记作a·b ，即a·b ＝|a ||b |·cos θ. 当a ⊥b 时，θ＝90°，这时a·b ＝0. 已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则有：121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=r r r r点拨：0a b ⋅=r r、12120x x y y +=都是等量关系，为建立方程提供了依据，因此常以该知识点为平台考查求值问题，特别是数量积的坐标表示为向量与解析几何相结合提供了强有力的依据，另外两向量垂直还有相应的等价说法，如直角三角形、两直线垂直、直径所对的圆周角为90o，在处理这些问题时都可以转化为数量积为零来处理。
【走进高考】1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围．【答案】（131；（2）4b =，a 的取值范围为[42,)+∞.【解析】（1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C 的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．因为P 为C 上一点，且12=0⋅u u u r u u u u rPF PF ，12S =16△F PF ，所以22221x y a b+=，()()()()0---+--=c x c x y y ，1||2162y c ⋅=，即||16c y =，①222x y c +=，②22221x y a b +=，③ 由②③及222abc=+得422b y c=，又由①知22216y c =，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥当4b =，a ≥时，存在满足条件的点P ．所以4b =，a 的取值范围为)+∞．【名师点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）证明：直线AB 过定点；（2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【答案】（1）见详解；（2）22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭或22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭.【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2112x y =．由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=-．整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -．故直线AB 的方程为2210tx y -+=． 所以直线AB 过定点1(0,)2．（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+．由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=．于是()21212122,121x x t y y t x x t +=+=++=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由于EM AB⊥u u u u r u u u r，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，()220∴+-=t t t ．解得t =0或1t =±．当t =0时，||EM u u u u r =2，所求圆的方程为22542x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭；当1t =±时，||EM =u u u u r ，所求圆的方程为22522x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求圆的方程，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.3．(2018全国卷Ⅲ)已知点(1,1)M -和抛物线C ：24y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=o ，则k =______．【答案】2【解析】由题意知抛物线的焦点为(1,0)，则过C 的焦点且斜率为k 的直线方程为(1)y k x =-(0)k ≠，由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去y得22(1)4k x x -=，即2222(24)0k x k x k -++=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212224k x x k ++=，121x x =．由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩，消去x 得214(1)y y k =+，即2440y y k --=，则124y y k+=，124y y =-，由90AMB ∠=o，得1122(1,1)(1,1)MA MB x y x y ⋅=+-⋅+-u u u r u u u r1212121241()10x x x x y y y y =++++-++=，将212224k x x k ++=，121x x =与124y y k +=，124y y =-代入，得2k=．4．（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C ：22y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．【解析】（1）设()A x ,y 11，()B x ,y 22，l ：2x ym =+由222x my y x=+⎧⎨=⎩可得y my --=2240，则y y =-124又y x 211=2，y x 222=2，故()y y x x 21212=4=4，1212+0=x x y y ，所以OA OB ⊥．即角AOB=90o，故坐标原点O 在圆M 上．（2）由（1）可得y y m 12+=2，()x x m y y m +21212+=++4=24故圆心M 的坐标为()m m 2+2，，圆M 的半径r =由于圆M过点(4,2)P -，因此AP BP =u u u r u u u r g ，故()()()()121244++2+2=0x x y y --即()()x x x x y y y y -++++=121212124+2200由（1）可得y y 12=-4，x x 12=4． 所以2mm --=210，解得m =1或m=-12．当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为，圆M 的方程为()()x y -+-=223110当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91(,)42-，圆M的，圆M 的方程为229185()()4216x y -++=．5．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．【解析】由题意得(),0F c ，直线2b y=与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得BF CF ⋅=u u u r u u ur，2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，2b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，则22231044c a b -+=，由222ba c =-可得223142c a =，则ce a===．【典例分析】以两向量垂直为依据考查求值问题：【例】（2014重庆）已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且=0ACBC ⋅u u u ru u u r，则实数a 的值为_________．【答案】0或6【解析】圆:C 的标准方程为22(1)(2)9x y ++-=，所以圆心为(1,2)C -，半径为3．因为AC BC⊥，所以圆心C 到曲线0=+-a y x=所以0a =或6．【练习】在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值． 【解析】（I ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为(3,)t ，则有,)22()1(32222t t +=-+解得1t =．则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（II ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x 由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a从而21212214,2a a x x a x x -++=-=①，由于OA OB⊥，可得,02121=+y y x x又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x ②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a以两向量垂直为依据解决线过定点问题：【例】（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =u u u r u u u u r．（1）求点P 的轨迹方程； （2）设点Q在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u rQUOTE．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-u u u r ，0(0.)NM y =u u u u r．由2NP =u u u r u u u r得 0x x =，02y y =．因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-u u u r，(1,)PF m n =---u u u r ，33OQ PF m tn ⋅=+-u u u r u u u r， (,)OP m n =u u u r ，(3,)PQ m t n =---u u u r ， 由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r得2231m mtn n --+-=，又由（1）知222mn +=，故330m tn +-=．FCBOyx所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r，即OQ PF ⊥u u u r u u u r ．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．两向量垂直联想到直角三角形：例、已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→。
2022学年高三上(编号：1-25)向量小题汇编(教师版)
2022学年高三上（编号：1-25）向量小题汇编（教师版）一、选择题1：（2023届如皋市高三上期初调研解析第4题）1：黄金分割（Golden Sec tion ）是一种数学上的比例关系，黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0．618，就像圆周率在应用时取3．14一样．高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹．人民还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0．618处．艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0．618处，能使琴声更加柔和甜美．黄金矩形（Golden Re tan c gle ）的长宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1．618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的巴特农神庙就是一个很好的例子，达⋅芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分510.618-≈．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的．在矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，BF AC ⊥，DH AC ⊥，AE BD ⊥，CG BD ⊥，512BE BO -=，则BF = （ ）A 355510BG -++B 355510BG --+C 515510BG --+ D 3555BG -+ 方法提供与解析：（嘉兴陈超群）知识点：平面向量基本定理及其应用、向量的加法、减法、数乘运算分析：本题考查数学文化、平面向量的线性运算与平面向量基本定理，属于基础题． 解析：因为512BE BO -=，所以5510BO BG +=，因为 ()515122BF BA AF BA AO BA BO BA --=+=+=+- 5135512235BA BOBO -+-=+-． 所以35525BF BA BG -=+，故选D2：（2023届如皋市高三上期初调研解析第5题） 2：（2022⋅全国⋅月考试卷）在ABC ∆中，3,2,3AB AC A π===，过ABC ∆的外心O 的直线（不经过点A ）分别交线段,AB AC 于,DE ，且,AD AB AE AC λμ==，则λμ+的取值范围是（ ）A ．11461310⎤+⎥⎣⎦ B ．11462315⎤+⎥⎣⎦C ．14361310⎤+⎥⎣⎦ D ．14362315⎤+⎥⎣⎦ 方法提供与解析：（嘉兴陈超群）知识点：平面向量基本定理的应用，利用导数求函数的最值（不含参）、平面向量共线定理与三点共线问题、余弦定理、正弦定理在平面几何中的应用分析：本题考查了正弦、余弦定理的综合应用、平面向量基本定理以及利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，属于难题．解析：在ABC ∆中，由余弦定理得2227BC AB AC AB AC BAC +-⋅⋅∠ 再由正弦定理得2212sin BC AO BAC ==∠，即21AO ． 设BAO θ∠=，则2cos 221ABAO θ==，解得sin 27θ=作平行四边形AFOG ，如图，在AFO ∆中，2,333AFO AOF OAG ππππθ∠=-=∠=∠=-． 由正弦定理得：2sinsin 33AF AOππθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭． 即2131423322127AF ⎫=-⨯=⎝． 再由正弦定理：2sin sin 3FO AOπθ=，解得13FO AG ==． 故41,96AFAG AF AB AB AG AC AC AC AC====． 因为,,O D E 三点共线，结合向量加法的平行四边形法则，的 ()()411196AO t AD t AE t AB t AC AB AC λμ=+-=+-=+． 由平面向量基本定理得()49116t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩．解得()49161t t λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．结合01,01λμ<≤<≤可解得4596t ≤≤．令()()4145,96196f t t t t λμ=+=+≤≤-．则()()224145',99661f t t t t =-+≤≤-． 由()'0f t =可得826t -=48269⎛- ⎝⎭上()f t 单调递减，在区间82656⎫-⎪⎪⎝⎭上()f t 单调递增，由4138261146523,910615f f f -+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．知λμ+的取值范围是11462315⎤+⎥⎣⎦。
数学用向量方法解决问题专题研究3000字报告
数学用向量方法解决问题专题研究3000字报告一、课题研究的背景及意义向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，它是中学数学知识的一个交汇点，是数学问题解决的重要工具。
《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础，突出向量作为工具的作用。
本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析，把向量作为数学工具来解决数学问题，列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例，并进行分类讨论。
主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。
学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。
在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。
二、课题研究的目标和内容研究目标本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。
1、优化学生认识的结构根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。
如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。
在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。
2、培养学生的思维品质中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。
向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。
利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。
2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数1平面向量的概念及线性运算练习含解析
平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量 答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC → B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM → C.AB →＋BC →－AC →＝0 D.AB →－AD →－DC →＝BC →3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由题意知存在k ∈R ， 使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.题型一 向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件 答案 ACD思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量． 跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立，即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例 2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最大值是________，最小值是________． 答案 2023 0解析 当单位向量e 1，e 2，…，e 2023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2023|＝2023； 当单位向量e 1，e 2，…，e 2023首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 ABD解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确； 因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确； 因为BF →＝AF →－AB →， 而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确； 因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析 如图所示，易知BC ＝4AD ，CE ＝2AD ，BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB →＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( ) A.－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC →D.－23AB →＋13AC →答案 A解析 如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋13AC →＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析 由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →， 故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1B.23C.32D ．2答案 B解析 如图所示，由题意知， AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →， 所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三 共线定理及其应用 例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 A解析 ∵PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－PA →)， ∴3PA →＝PB →－PC →＝CB →，∴PA →∥CB →，且两向量方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3， 又S △ABC ＝6，∴S △PAB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________． 答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，又a ，b 为两个不共线的非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1B ．1C.32D ．2答案 B解析 由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ， 使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 因为线段CO 与线段AB 交于点D ， 所以O ，C ，D 三点共线， 所以OC →与OD →共线， 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1， 所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( ) A.AB →＋BC →＋CA → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.OA →＋OB →＋BO →＋CO → D.AB →－AC →＋BD →－CD → 答案 AD解析 利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量． 2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b |b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a|a |，b|b |是相等向量或相反向量，所以“a|a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析 由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |， 所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λbB ．若a∥b ，b∥c ，则a∥cC ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析 若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误； 若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0， 则a ，c 不一定平行，故B 错误； 若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知， |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析 如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数 答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23C.12D.14答案 C解析 连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点， 所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋AB →＋12AD →＝12AB →＋34AD →， 又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB →－3AD →＝AC →，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC →|＝|DB →| D ．|BC →|＝3|DB →| 答案 BD解析 因为4AB →－3AD →＝AC →，所以3DB →＝BC →，因为DB →，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC →|＝3|DB →|， 所以B ，D 正确，A 错误； 由4AB →－3AD →＝AC →，得AC →＝3AB →－3AD →＋AB →＝3DB →＋AB →， 所以|AC →|≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案 －23解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →， 所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ， 即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案 3解析 如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，λμ∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析 正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →， 在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos120°＝23， 即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________. 答案 53解析 AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又因为AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析 因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0， 所以|CB →|－|(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0， 即|CB →|＝|AB →＋AC →|， 所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|， 等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________． 答案 343 3解析 ∵B ，D ，C 三点共线， ∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ， 则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ， ∴四边形AMDN 是菱形， ∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3， ∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析 设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →. 由AB →＋PB →＋PC →＝0， 得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点， 所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点， 又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形． 又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2， 所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4， 且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°， 则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________. 答案 1∶6解析 若2OA →＋OB →＋3OC →＝0， 设OA ′——→＝2OA →，OC ′——→＝3OC →， 可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ， 则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ， 由2x ＝3y ＝6z ，可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.。
第1讲 空间向量及其运算(解析版)
第1讲 空间向量及其运算新课标要求1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念。
2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程。
3.掌握空间向量的线性运算。
4. 掌握空间向量的数量积。
知识梳理1.空间向量的概念与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模，空间向量用字母a,b,c ...表示. 2.几个常见的向量3.向量的线性运算交换律：+=+a b b a ；结合律：()();()()λμλμ+=+=a b +c a +b c a a ； 分配律：();()λμλμλλλ+=++=+a a a a b a b . 4.共面向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 5.空间向量的数量积||||cos ,⋅=<>a b a b a b 零向量与任意向量的数量积为0.名师导学知识点1 空间向量的有关概念【例1-1】（咸阳期末）已知是空间的一个单位向量，则的相反向量的模为A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】本题考查了向量的基础知识，根据向量模的概念求解即可；【解答】解：因为是空间的一个单位向量，所以的相反向量的模，故选A．【变式训练1-1】（龙岩期末）在平行六面体中，与向量相等的向量共有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】本题考查了相等向量及其平行六面体的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用相等向量及其平行六面体的性质即可得出．【解答】解：如图所示，与向量的相等的向量有以下3个：故选C．知识点2 空间向量的线性运算【例2-1】（泰安期末）如图所示，在长方体中，O为AC的中点．化简：________；用，，表示，则________．【分析】本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．利用化简即可；将分解为，继而进行正交分解即可．【解答】解：．．【例2-2】（河西区期末）在三棱锥中，，，，D为BC的中点，则A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的加减运算，属于基础题．若D为BC的中点，则，根据向量的减法法则即可得到答案．【解答】解：依题意得，故选A．【变式训练2-1】（东湖区校级一模）在空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则A. B. C. D.【分析】本题考查了空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．根据题意，将进行转化，即可得解．【解答】解：．【变式训练2-2】（随州期末）如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．；．【解析】解：．．向量，如图所示．知识点3 共面向量【例3-1】（珠海期末）已知A，B，C三点不共线，点M满足．，，三个向量是否共面点M是否在平面ABC内【解析】解，，，向量，，共面．由知向量，，共面，又它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，，A，B，C四点共面，即点M在平面ABC内．【变式训练3-1】（日照期末）如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，．求证：向量，，共面．【解析】证明：因为M在BD上，且，所以．同理．所以．又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．知识点4 空间向量的数量积【例4-1】（溧阳市期末）已知长方体中，，，E为侧面的中心，F为的中点试计算：．【解析】解：如图，设，，，则，，．．．．【变式训练4-1】（兴庆区校级期末）如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：．【解析】解，．．，．，，．名师导练A组-[应知应会]1.（台江区校级期末）长方体中，若，，，则等于A. B.C. D.【分析】本题考查空间向量的运算，属基础题．根据空间向量的运算法则求解即可．【解答】解：，故选C．2.（秦皇岛期末）若空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，则的值为A. B. C. D. 0【分析】本题主要考查了空间向量的运算、向量的数量积、向量垂直的判定，属于中档题．先求出向量的数量积，由它们的数量积为0判断，所以向量的夹角为，由此得出结论．【解答】解：，空间四边形OABC的四个面为等边三角形，，，，，，故选D．3.（定远县期末）给出下列几个命题：向量，，共面，则它们所在的直线共面；零向量的方向是任意的；若，则存在唯一的实数，使．其中真命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【分析】本题主要考查命题的真假判断与应用，比较基础． 利用向量共面的条件判断．利用零向量的性质判断．利用向量共线的定理进行判断．【解答】 解：假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；真命题．这是关于零向量的方向的规定； 假命题．当，则有无数多个使之成立．故选B ．4. （葫芦岛期末）在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是A. ；B. ；C.D.【分析】本题考查空间向量基本定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 利用空间向量基本定理，进行验证，对于C ，可得，，为共面向量，从而可得M 、A 、B 、C四点共面．【解答】解：对于A ，，无法判断M 、A 、B 、C 四点共面； 对于B ，，、A 、B 、C 四点不共面； C 中，由，得，则，，为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面； 对于D ，，，系数和不为1，、A 、B 、C四点不共面．故选C ．5.（多选）（点军区校级月考）已知1111ABCD A B C D -为正方体，下列说法中正确的是( ) A ．221111111()3()A A A D A B A B ++= B ．1111()0A C A B A A -=C ．向量1AD 与向量1A B 的夹角是60︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD【分析】本题考查的是用向量的知识和方法研究正方体中的线线位置关系及夹角与体积．用到向量的加法、减法、夹角及向量的数量积，研究了正方体中的线线平行、垂直，异面直线的夹角及正方体的对角线的计算、体积的计算．【解答】解：由向量的加法得到：111111A A A D A B A C ++=，221113AC A B =，∴22111()3()AC A B =，所以A 正确；1111A B A A AB -=，11AB AC ⊥，∴110A C AB =，故B 正确； 1ACD ∆是等边三角形，160AD C ∴∠=︒，又11//A B D C ，∴异面直线1AD 与1A B 所成的夹角为60︒，但是向量1AD 与向量1A B 的夹角是120︒，故C 不正确；1AB AA ⊥，∴10AB AA =，故1||0AB AA AD =，因此D 不正确．故选：AB ．6. （都匀市校级期中）空间的任意三个向量，，，它们一定是________向量填“共面”或“不共面”．【分析】正确理解共面向量定理是解题的关键． 由于可用向量，线性表示，即可判断出空间中的三个向量，，是否是共面向量． 【解答】解：可用向量，线性表示，由空间中共面向量定理可知，空间中的三个向量，，一定是共面向量．7. （池州模拟）给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量，，满足，则；在正方体中，必有； 若空间向量，，满足，，则．其中不正确的命题的序号为________．【分析】本题考查的知识点是空间相等的定义，难度不大，属于基础题．根据相向相等的定义，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【解答】 解：若两个空间向量相等，则它们方向相同，长度相等，但起点不一定相同，终点也不一定相同，故错误； 若空间向量，，满足，但方向不相同，则，故错误；在正方体中，与方向相同，长度相等，故，故正确；若空间向量，，满足，，则，故正确；故答案为．8．（未央区校级期末）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t = ．【分析】利用空间向量基本定理，及向量共面的条件，即可得到结论．【解答】解：由题意得，3148OP OA OB tOC =++，且P ，A ，B ，C 四点共面，∴31148t ++=18t ∴=，故答案为：18．9．（天津期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC 的值为 ．【分析】如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥，可得：0PA BC =．由E 是棱AB 中点，可得1()2PE PA PB =+，代入PE BC ，利用数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，由正四面体的性质可得：PA BC ⊥， 可得：0PA BC =．E 是棱AB 中点，∴1()2PE PA PB =+，∴1111()22cos12012222PE BC PA PB BC PA BC PB BC =+=+=⨯⨯⨯︒=-． 故答案为：1-．10. （三明期中）如图所示，在正六棱柱中化简，并在图中标出表示化简结果的向量 化简，并在图中标出表示化简结果的向量．【解析】解：．，在图中表示如下：．在图中表示如下：11.（都匀市校级期中）如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面求证：．【解析】证明：由底面ABCD为平行四边形，，，知，则．由底面ABCD ，知，则．又， 所以，即．12．（西夏区校级月考）如图所示，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别在1B B 和1D D 上，且11||||3BE BB =，12||||3DF DD =（1）求证：A 、E 、1C 、F 四点共面；（2）若1EF xAB y AD z AA =++，求x y z ++的值．【分析】（1）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出． （2）利用向量三角形法则、向量共线定理、共面向量基本定理即可得出． 【解答】（1）证明：1111111212()()3333AC AB AD AA AB AD AA AA AB AA AD AA AB BE AD DF AE AF =++=+++=+++=+++=+．A ∴、E 、1C 、F 四点共面．（2）解：111211()333EF AF AE AD DF AB BE AD DD AB BB AB AD AA =-=+-+=+--=-++，1x ∴=-，1y =，13z =，13x y z ∴++=． B 组-[素养提升]1.（多选）（三明期中）定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( ) A ．a b b a =⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【分析】A 和B 需要根据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；C 由定义验证若a b λ=，且0λ>，结论成立，从而得到原结论不成立；D 根据数量积求出cos a <，b >，再由平方关系求出sin a <，b >的值，代入定义进行化简验证即可．【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗，b >，||||sin b a b a b ==<⊗，a >， 故a b b a =⊗⊗恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗，)b >，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗，b >， 故()()a b a b λλ=⊗⊗不会恒成立；对于C ，若a b λ=，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗，c >，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗，||||sin c b c b >+<，(1)||||sin c b c b λ>=+<，c >，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗不会恒成立；对于D ，cos a <，1212||||x x y y b a b +>=，sin a <，22121()||||x y y b a b +>=-，即有22212121212||||1()||||()||||||x x y y x x y y a b a b a b a a b ++=-=-⊗2222212222211)y y x y y +=++22121221)||y y x y x y +-．则1221||a b x y x y =-⊗恒成立．故选：AD ．。
一道向量题的多种解法
一道向量题的多种解法叶文明㊀王继杰(浙江松阳二中ꎬ浙江丽水３２３４０６)摘㊀要:一题多解就是从不同思路㊁不同角度出发ꎬ运用不同的方法解答同一问题的思维活动.在解题时渗透一题多解的策略ꎬ对培养学生的发散性思维具有很大的帮助.关键词:三角形法则ꎻ平行四边形法则ꎻ向量基本定理中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０７－００２３－０３收稿日期:２０２２－１２－０５作者简介:叶文明ꎬ男ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教育研究ꎻ王继杰ꎬ女ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教育研究.１题目呈现例１㊀如图１ꎬ已知▱ＡＢＣＤꎬＥꎬＦ分别为ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ若ＡＣң＝ｘＡＥң＋ｙＡＦңꎬ则ｘ＋ｙ＝.图１向量既有大小又有方向ꎬ既能像实数一样进行运算ꎬ又有直观的几何意义ꎬ是数与形的完美结合.向量的加减法是向量运算的基本内容ꎬ它们反映了图形的基本结构和图形的基本性质.向量运算的代数表示形式使得向量成为沟通几何与代数的重要工具ꎬ因此向量的运算也就成了考查的重点内容.２题目解析解法１㊀直接利用向量的三角形法则和平行四边形法则求解.ＡＣң＝ＡＥң＋ＥＣң＝ＡＥң＋１２ＡＤңꎬ①ＡＣң＝ＡＦң＋ＦＣң＝ＡＦң＋１２ＡＢң.②由①＋②ꎬ得２ＡＣң＝ＡＥң＋ＡＦң＋１２(ＡＤң＋ＡＢң).由于ＡＤң＋ＡＢң＝ＡＣңꎬ所以２ＡＣң＝ＡＥң＋ＡＦң＋１２ＡＣң.所以３２ＡＣң＝ＡＥң＋ＡＦң.即ＡＣң＝２３ＡＥң＋２３ＡＦң.从而ｘ＝ｙ＝２３.所以ｘ＋ｙ＝４３.解法２㊀利用两个法则及减法求解.ＡＣң＝ＡＢң＋ＡＤң＝ＡＥң＋ＥＢң＋ＡＦң＋ＦＤң＝ＡＥң＋ＣＥң＋ＡＦң＋ＣＦң＝ＡＥң＋(ＡＥң－ＡＣң)＋ＡＦң＋(ＡＦң－ＡＣң)＝２ＡＥң＋２ＡＦң－２ＡＣңꎬ所以３ＡＣң＝２ＡＥң＋２ＡＦң.３２所以ＡＣң＝２３ＡＥң＋２３ＡＦң.所以ｘ＝ｙ＝２３.从而ｘ＋ｙ＝４３.解法３㊀利用中位线构造平行四边形解决.如图２ꎬ取ＡＣ中点Ｏꎬ连接ＯＥꎬＯＦꎬ则四边形ＯＥＣＦ是平行四边形.于是ＯＥң＋ＯＦң＝ＯＣң.图２所以ＡＥң＝ＡＯң＋ＯＥңꎬ③ＡＦң＝ＡＯң＋ＯＦң.④由③＋④ꎬ得ＡＥң＋ＡＦң＝２ＡＯң＋ＯＥң＋ＯＦң＝２ＡＯң＋ＯＣң＝３ＡＯң＝３２ＡＣң.所以ＡＣң＝２３ＡＥң＋２３ＡＦң.所以ｘ＝ｙ＝２３.所以ｘ＋ｙ＝４３.解法４㊀利用三角形中线交点即重心的性质求解.图３如图３ꎬ取中点ＨꎬＧꎬ连接ＣＨꎬＣＧꎬ分别交ＡＦꎬＡＥ于点ＭꎬＮ.于是ＭꎬＮ分别是әＡＣＤꎬәＡＢＣ的重心.所以ＡＭң＝２３ＡＦңꎬＡＮң＝２３ＡＥңꎬ且四边形ＡＮＣＭ是平行四边形.所以ＡＣң＝ＡＮң＋ＡＭң＝２３ＡＥң＋２３ＡＦң.所以ｘ＝ｙ＝２３.从而ｘ＋ｙ＝４３.解法５㊀如图３ꎬＡＥң＝ＨＣңꎬＭ为әＡＣＤ的重心.所以ＡＭң＝２３ＡＦңꎬＭＣң＝２３ＨＣң＝２３ＡＥң.而ＡＣң＝ＡＭң＋ＭＣң＝２３ＡＥң＋２３ＡＦңꎬ所以ｘ＝ｙ＝２３.所以ｘ＋ｙ＝４３.图４解法６㊀利用三角形中线对应的向量是两边对应向量之和的一半求解.如图４ꎬ延长ＡＥ交ＤＣ延长线于点Ｈꎬ则Ｃ为ＨＤ中点ꎬＥ为ＡＨ中点.所以２ＡＣң＝ＡＨң＋ＡＤң＝２ＡＥң＋ＡＤңꎬ⑤２ＡＦң＝ＡＣң＋ＡＤң.⑥由⑤－⑥ꎬ得２ＡＣң－２ＡＦң＝２ＡＥң－ＡＣң.所以３ＡＣң＝２ＡＥң＋２ＡＦң.从而ＡＣң＝２３ＡＥң＋２３ＡＦң.所以ｘ＝ｙ＝２３.所以ｘ＋ｙ＝４３.解法７㊀如图４ꎬ利用向量的三角形加法法则.ＡＣң＝ＡＨң＋ＨＣң＝２ＡＥң＋２ＣＦңꎬ⑦ＡＣң＝ＡＦң＋ＦＣң＝ＡＦң－ＣＦң.⑧由⑧ˑ２＋⑦ꎬ得３ＡＣң＝２ＡＥң＋２ＡＦң.４２所以ＡＣң＝２３ＡＥң＋２３ＡＦң.所以ｘ＝ｙ＝２３.所以ｘ＋ｙ＝４３.解法８㊀利用待定系数法求解.ＡＣң＝ｘＡＥң＋ｙＡＦң＝ｘ(ＡＢң＋ＢＥң)＋ｙ(ＡＤң＋ＤＦң)＝ｘ(ＡＢң＋１２ＡＤң)＋ｙ(ＡＤң＋１２ＡＢң)＝(ｘ＋ｙ２)ＡＢң＋(ｘ２＋ｙ)ＡＤңꎬ又因为ＡＣң＝ＡＢң＋ＡＤңꎬ所以ｘ＋ｙ２＝１ꎬｘ２＋ｙ＝１.ìîíïïïï解得ｘ＝ｙ＝２３.从而ｘ＋ｙ＝４３.解法９㊀利用三角形中线性质及平行四边形法则求解.因为Ｅ是әＡＢＣ的边ＢＣ的中点ꎬ所以ＡＢң＋ＡＣң＝２ＡＥң.⑨同理可得ＡＤң＋ＡＣң＝２ＡＦң.⑩由⑨＋⑩可得ＡＢң＋ＡＤң＋２ＡＣң＝２ＡＥң＋２ＡＦң.又因为ＡＢң＋ＡＤң＝ＡＣңꎬ所以３ＡＣң＝２ＡＥң＋２ＡＦң.所以ＡＣң＝２３ＡＥң＋２３ＡＦң.所以ｘ＋ｙ＝４３.解法１０㊀利用基底法及待定系数法求解.令ＢＡң＝ａꎬＢＣң＝ｂꎬ则ＡＥң＝ＢＥң－ＢＡң＝１２ＢＣң－ＢＡң＝１２ｂ－ａꎬＡＦң＝ＡＤң＋ＤＦң＝ＢＣң－１２ＢＡң＝ｂ－１２ａꎬＡＣң＝ＢＣң－ＢＡң＝ｂ－ａ.因为ＡＣң＝ｘＡＥң＋ｙＡＦңꎬ故ｂ－ａ＝ｘ(１２ｂ－ａ)＋ｙ(ｂ－１２ａ)＝(ｘ２＋ｙ)ｂ－(ｘ＋ｙ２)ａ.所以ｘ２＋ｙ＝ｘ＋ｙ２＝１.解得ｘ＝ｙ＝２３.所以ｘ＋ｙ＝４３.解法１１㊀利用填空题的特点特殊图形法求解.图５不妨设▱ＡＢＣＤ为矩形.如图５ꎬ令Ｂ(２ａꎬ０)ꎬＤ(０ꎬ２ｂ)ꎬ则Ｃ(２ａꎬ２ｂ)ꎬＥ(２ａꎬｂ)ꎬＦ(ａꎬ２ｂ).故ＡＣң＝(２ａꎬ２ｂ)ꎬＡＥң＝(２ａꎬｂ)ꎬＡＦң＝(ａꎬ２ｂ).由待定系数法易得ＡＣң＝２３ＡＥң＋２３ＡＦң.从而ｘ＋ｙ＝４３.在平时的教学中渗透一题多解思想ꎬ能很好地帮助学生构建更加完善的知识体系ꎬ能使学生的思维更开阔㊁更清晰ꎬ从而更加灵活地把握知识间的横向关系与纵向关系ꎬ切实提高学生分析问题㊁解决问题的能力.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]５２。
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B. 8,8 D. 4, 4
ME OF ME (OM MF ) ME OM ME MF , 在运动过程中, ME MF 0, 故ME OF ME OM ME OM cos 8cos 8,8.
2
★法二：相对运动观点
3
★如图,已知正方形ABCD是圆 M : ( x 3)2 ( y 3) 2 4的内接 正方形, E为AB的中点,当正方形 ABCD绕着点M 旋转,同时点F 在 边AD上运动,则ME OF的最大 值是_______
解析 : OF ME (OM MF ) ME OM ME MF ME OM ME OM ME cos OME OM ME 6 (当且仅当OM , ME同向共线时取等号) MF ME 2 MF cos EMF 2 2 cos (当且仅当F 位于A处时取恒等式
4OB OC OB OC OB OC 4 OE 1 1 2 4(1 ) 1 8 OB OC 2 2
2
2
2
8
法五：向量坐标运算
解析 : A(cos , 0), B(sin cos , cos ), D(0,sin ) AC , BD中点重合, C( sin , cos sin ) OB OC (cos sin )sin cos (cos sin ) (cos sin ) 1 sin 2 2.
一道向量题的多种解法
1
★如图,已知正方形ABCD是圆M : ( x 4) 2 ( y 4) 2 4 的内接正方形, AB, AD的中点分别为E , F , 则ME OF的 取值范围是 A. 8 2,8 2 C. 4 2, 4 2
法一：数量积的意义
5
法二：向量数量积的意义
解析 : OA OD OE 1, OB OC (OA AB ) (OD DC ) (OA AB) (OD AB) AB AB (OA OD) 1 AB OE 1 AB OE 2 当且仅当AB / / OE时取等号.
解析:由题意可知, O在以M 为圆心, OM 为半径的圆上, 即 OM 4 2,以M 为原点, 保证正方形四边均平行于 坐标轴建立新坐标系, 此时, E (0, 2), F ( 2, 0), , O( x0 , y0 )满足x0 2 y0 2 32 y0 4 2, 4 2 OF ME ( 2 x0 , y0 ) (0, 2) 2 y0 8,8
2
E
6
法三：抓住“不动点”：正方形的中 心
解析 : 设正方形的中心为M , 则: OB OC (OM MB ) (OM MC ) OM OM MC MB OM MB MC =1+OM MC MB OM =OM ( MC MB) 1 设BC的中点为H , 连接OH , 则 OM ( MC MB) 1 2OM MH 1 2 OM MH 1 2
2
9
4
2
4
★如图放置的边长为1的正方形ABCD顶点分别在x轴, y轴正半轴(含原点)滑动, 则OB OC的最大值为 ______
法一：数量积的意义
解析 : OB OC (OA AB ) (OD DC ) OA OD OA DC AB OD AB DC =OA DC AB OD AB DC =OA AB AB OD 1 = AB (OA OD) 1 设AD的中点为H , 连接OH , 则 AB (OA OD ) 1 2 AB OH 1 2 AB OH 1 2