向量一题多解
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Байду номын сангаас
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★如图放置的边长为1的正方形ABCD顶点分别在x轴, y轴正半轴(含原点)滑动, 则OB OC的最大值为 ______
法一：数量积的意义
解析 : OB OC (OA AB ) (OD DC ) OA OD OA DC AB OD AB DC =OA DC AB OD AB DC =OA AB AB OD 1 = AB (OA OD) 1 设AD的中点为H , 连接OH , 则 AB (OA OD ) 1 2 AB OH 1 2 AB OH 1 2
解析:由题意可知, O在以M 为圆心, OM 为半径的圆上, 即 OM 4 2,以M 为原点, 保证正方形四边均平行于 坐标轴建立新坐标系, 此时, E (0, 2), F ( 2, 0), , O( x0 , y0 )满足x0 2 y0 2 32 y0 4 2, 4 2 OF ME ( 2 x0 , y0 ) (0, 2) 2 y0 8,8
一道向量题的多种解法
1
★如图,已知正方形ABCD是圆M : ( x 4) 2 ( y 4) 2 4 的内接正方形, AB, AD的中点分别为E , F , 则ME OF的 取值范围是 A. 8 2,8 2 C. 4 2, 4 2
法一：数量积的意义
3
★如图,已知正方形ABCD是圆 M : ( x 3)2 ( y 3) 2 4的内接 正方形, E为AB的中点,当正方形 ABCD绕着点M 旋转,同时点F 在 边AD上运动,则ME OF的最大 值是_______
解析 : OF ME (OM MF ) ME OM ME MF ME OM ME OM ME cos OME OM ME 6 (当且仅当OM , ME同向共线时取等号) MF ME 2 MF cos EMF 2 2 cos (当且仅当F 位于A处时取等号)
2
E
6
法三：抓住“不动点”：正方形的中 心
解析 : 设正方形的中心为M , 则: OB OC (OM MB ) (OM MC ) OM OM MC MB OM MB MC =1+OM MC MB OM =OM ( MC MB) 1 设BC的中点为H , 连接OH , 则 OM ( MC MB) 1 2OM MH 1 2 OM MH 1 2
5
法二：向量数量积的意义
解析 : OA OD OE 1, OB OC (OA AB ) (OD DC ) (OA AB) (OD AB) AB AB (OA OD) 1 AB OE 1 AB OE 2 当且仅当AB / / OE时取等号.
B. 8,8 D. 4, 4
ME OF ME (OM MF ) ME OM ME MF , 在运动过程中, ME MF 0, 故ME OF ME OM ME OM cos 8cos 8,8.
2
★法二：相对运动观点
2
9
7
2
★法四：极品解法之极化恒等式
4OB OC OB OC OB OC 4 OE 1 1 2 4(1 ) 1 8 OB OC 2 2
2
2
2
8
法五：向量坐标运算
解析 : A(cos , 0), B(sin cos , cos ), D(0,sin ) AC , BD中点重合, C( sin , cos sin ) OB OC (cos sin )sin cos (cos sin ) (cos sin ) 1 sin 2 2.
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★如图放置的边长为1的正方形ABCD顶点分别在x轴, y轴正半轴(含原点)滑动, 则OB OC的最大值为 ______
法一：数量积的意义
解析 : OB OC (OA AB ) (OD DC ) OA OD OA DC AB OD AB DC =OA DC AB OD AB DC =OA AB AB OD 1 = AB (OA OD) 1 设AD的中点为H , 连接OH , 则 AB (OA OD ) 1 2 AB OH 1 2 AB OH 1 2
解析:由题意可知, O在以M 为圆心, OM 为半径的圆上, 即 OM 4 2,以M 为原点, 保证正方形四边均平行于 坐标轴建立新坐标系, 此时, E (0, 2), F ( 2, 0), , O( x0 , y0 )满足x0 2 y0 2 32 y0 4 2, 4 2 OF ME ( 2 x0 , y0 ) (0, 2) 2 y0 8,8
一道向量题的多种解法
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★如图,已知正方形ABCD是圆M : ( x 4) 2 ( y 4) 2 4 的内接正方形, AB, AD的中点分别为E , F , 则ME OF的 取值范围是 A. 8 2,8 2 C. 4 2, 4 2
法一：数量积的意义
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★如图,已知正方形ABCD是圆 M : ( x 3)2 ( y 3) 2 4的内接 正方形, E为AB的中点,当正方形 ABCD绕着点M 旋转,同时点F 在 边AD上运动,则ME OF的最大 值是_______
解析 : OF ME (OM MF ) ME OM ME MF ME OM ME OM ME cos OME OM ME 6 (当且仅当OM , ME同向共线时取等号) MF ME 2 MF cos EMF 2 2 cos (当且仅当F 位于A处时取等号)
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法三：抓住“不动点”：正方形的中 心
解析 : 设正方形的中心为M , 则: OB OC (OM MB ) (OM MC ) OM OM MC MB OM MB MC =1+OM MC MB OM =OM ( MC MB) 1 设BC的中点为H , 连接OH , 则 OM ( MC MB) 1 2OM MH 1 2 OM MH 1 2
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法二：向量数量积的意义
解析 : OA OD OE 1, OB OC (OA AB ) (OD DC ) (OA AB) (OD AB) AB AB (OA OD) 1 AB OE 1 AB OE 2 当且仅当AB / / OE时取等号.
B. 8,8 D. 4, 4
ME OF ME (OM MF ) ME OM ME MF , 在运动过程中, ME MF 0, 故ME OF ME OM ME OM cos 8cos 8,8.
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★法二：相对运动观点
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★法四：极品解法之极化恒等式
4OB OC OB OC OB OC 4 OE 1 1 2 4(1 ) 1 8 OB OC 2 2
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法五：向量坐标运算
解析 : A(cos , 0), B(sin cos , cos ), D(0,sin ) AC , BD中点重合, C( sin , cos sin ) OB OC (cos sin )sin cos (cos sin ) (cos sin ) 1 sin 2 2.