1.1.1平均变化率及其求法
1.1.1函数的平均变化率
学案1.1 .1 函数的平均变化率编者：刘志英2009.2.18【课标点击】（一）学习目标（1）掌握平均变化率的概念；能通过计算平均变化率了解曲线的陡峭程度，能理解平均变化率的实际意义；（2）能熟练计算函数在某区间上平均变化率．（二）教学重点，难点（1）掌握平均变化率的概念并能熟练地计算．【课前准备】（一）问题导引问题一：如图，某市2004年4月20号最高气温为33.4C，而此前的两天，4月19号和4月18号最高气温分别为24.4C和18.6C，短短两天时间气温“陡增”14.8C，人们无不感叹：“天气热得太快了”．问题二：（1）将该市2004年3月18号最高气温为3.5C与4月18号最高气温18.6C进行比较，两者的温差为15.1C，甚至超过了14.8C，人们却不发出上述感叹，为什么？（2）从图象上观察，,B C 之间的曲线较,A B 之间的曲线谁更“陡峭”？问题答案： 用比值33.418.6()3432C B C By y x x ----来近似地量化,B C 之间的曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在区间[32,34]上的平均变化率．即气温在区间[1,32]上的平均变化率为18.6 3.515.10.532131-=≈-． 即气温在区间[32,34]上的平均变化率为33.418.614.87.434322-==-． 虽然,B C 与,A B 之间温差几乎相同，但平均变化率却相差很大．【学习探究】（一）自学课本第3、4页知识点梳理：1， 自变量的改变量2， 函数值的该变量3， 函数的平均变化率（二）思考与讨论函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率表示为：2121()()f x f x x x --． 可以吗？ 在图形上的表现为：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”。
（三）．典例示范例1．某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．解：从出生到第3个月，婴儿体重的平均变化 率为：6.5 3.51(/)30kg -=-月． 从第6个月到第12个月，婴儿体重的平均变化 率为：118.60.4(/)126kg -=-月． 例2． 如图水经过缸吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积0.1()5t V t e-=（单位3)cm 计算第一个10s 内V 的平均变化率．解：区间[0.10]上，体积V 的平均变化率为：3(10)(0) 1.83950.3161(/)10010V V cm s --≈=--． 负号表示容器甲中的水在减少．例3．已知2()f x x =，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1,3]； （2）[1,2]； （3）[1,1.1] ； （4）[1,1.001]．解：（1）()f x 在[1,3]上的平均变化率为：22(3)(1)3143131f f --==--； （2）()f x 在[1,2]上的平均变化率为：22(2)(1)2132121f f --==--； （3）()f x 在[1,1.1]上的平均变化率为：22(1.1)(1) 1.11 2.11.11 1.11f f --==--； （4）()f x 在[1,1.001]上的平均变化率为：22(1.001)(1) 1.0011 2.0011.0011 1.0011f f --==--． 例4．已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算()f x ，()g x 在区间[31]--，[0,5]上的平均变化率．解：()f x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)f f ---=---． ()f x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250f f -=-． ()g x 在区间[31]--上的平均变化率为：(1)(3)2(1)(3)g g ---=----． ()g x 在区间[0,5]上的平均变化率为：(5)(0)250g g -=--． （四）变式拓展1、一次函数y kx b =+在区间[,]m n 上的平均变化率有什么特点？（等于它的斜率）．2．函数()f x 在区间[,]m n 上的平均变化率与曲线上两点(,())m f m ，(,())n f n 间的斜率有何关系？3．练习：书5P 练习A 1，2，题（五）归纳总结：（六）当堂检测 书P 5练习A3题【巩固提高】A 组：书P 5练习B1、2题B 组：1．已知曲线212y x =上两点的横坐标是0x 和0x x +∆，求过AB 两点的直线斜率；2．一物体按规律210s t t =+作变速直线运动，求该物体从2秒末到6秒末这段时间内的平 均速度；。
1.1.1平均变化率
1.1.1 平均变化率【教学目标】1. 理解函数的平均变化率2. 能求出函数在某一区间上的平均变化率 【重点难点】重点：函数在某一区间上的平均变化率 难点：平均变化率的几何意义 【教学过程】 一、问题导学假设下图是一座山的剖面示意图，并在上面建立平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 0，y 0)，点B 的坐标为(x 1，y 1)．问题1：若旅游者从A 点爬到B 点，则自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？问题2：如何用Δx 和Δy 来刻画山路的陡峭程度？问题3：试想Δy Δx ＝y 1－y 0x 1－x 0的几何意义是什么？问题4：从A 到B ，从A 到C ，两者的Δy Δx 相同吗？ΔyΔx 的值与山路的陡峭程度有什么关系？二、新知自解1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 .2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”． 归纳总结：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在[x 1，x 2]上有意义；(2)在式子f x 2 －f x 1 x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)在平均变化率中，当x 1取定值后，x 2取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；同样的，当x 2取定值后，x 1取不同的数值时，函数的平均变化率也不一定相同．三、问题探究1、求函数在某区间的平均变化率【例1】(1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率；(2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率．【规律总结】求函数平均变化率的步骤为： 第一步：求自变量的改变量x 2－x 1；第二步：求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)；第三步：求平均变化率f x 2 －f x 1x 2－x 1.【对点练1】（1）函数g (x )＝－3x 在[2,4]上的平均变化率是________．（2）如图是函数y ＝f (x )的图象，则：①函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为______； ②函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________． 2.实际问题中的平均变化率【例2】物体的运动方程为S ＝t ＋1(位移单位：m ；时间单位：s )，求物体在t ＝1 s 到t ＝(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度．【规律总结】平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．【对点练2】（3）圆的半径r从0.1变化到0.3时，圆的面积S的平均变化率为________．（4）在F1赛车中，赛车位移(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系S＝10t＋5t2，则赛车在[20,20.1]上的平均速度是多少？3、函数平均变化率的应用【例3】甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个大？【规律总结】平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢．【对点练3】（5）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系是．（6）A、B两机关开展节能活动，活动开始后，两机关每天的用电情况如图所示，其中W1(t)、W2(t)分别表示A、B两机关的用电量与时间第t天的关系，则下列说法一定正确的是________．(填序号)①两机关节能效果一样好；②A机关比B机关节能效果好；③A机关在[0，t0]上的用电平均变化率比B机关在[0，t0]上的用电平均变化率大；④A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大．四、课堂小结1．求函数在指定区间上的平均变化率应注意的问题(1)平均变化率的公式中，分子是区间两端点间的函数值的差，分母是区间两端点间的自变量的差．(2)平均变化率公式中，分子、分母中被减数同时为右端点，减数同为左端点． 2．平均变化率的几何意义(1)平均变化率f x 2 －f x 1 x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”．(2)平均变化率的大小类似函数的单调性，可说明函数图象的陡峭程度．五、课堂跟踪练习1．函数f (x )＝x 2－1在区间[1,1.1]上的平均变化率为________． 2．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________．3．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示为c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值：4.如图所示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况，则在0到t 0范围内甲的平均速度________乙的平均速度，在t 0到t 1范围内甲的平均速度________乙的平均速度(填“等于”、“大于”或“小于”)．5．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 6．已知函数f (x )＝2x 2＋1.求函数f (x )在区间[2,2.01]上的平均变化率．7．求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．。
1.1.1函数的平均变化率
x
x
2(2 x)
lim x0
y x
lim[1
x0
2(2
1
] x)
1
1 4
3 4
,
y
|x2
3 4
.
基本方法:
思考5：由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
1. 求函数的改变量 y f (x0 x) f (x0 );
2. 求平均变化率 y f (x0 x) f (x0 ) ;
思考3：同学们能用数 形给合的思想进行验
证吗？
探 究: h(t) 4.9t2 6.5t 10
1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
lim h(t0 t) h(t0 )
t 0
t
lim 4.9(t)2 (9.8t0 6.5)t
t 0
t
lim (4.9t
t 0
9.8t0
6.5)
0 0.5 1.0
65 2.0
49
T 【s】
h(t) 4.9t2 6.5t 10
思考2：当△t趋近于 0时，平均速度有什 么样的变化趋势？
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时 间内
△t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时 间内
v 4.9t 13.1
v 4.9t 13.1
当△t = – 0.01时, v 13.051当△t = 0.01时, v 13.149
跳水运动中,运动员从t 到t 这段内的平均速度： 12
h(t) 4.9t2 6.5t 10 v h h(t2 ) h(t1)
H 【m】
t
t2 t1
当0 t 0.5时, v 4.05(m / s)
导数第一节1.1.1-1.1.3
P
α
o
x 我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即 当点Q沿着曲线无限接近点 我们发现 当点 沿着曲线无限接近点 即 割线PQ如果有一个极限位置 Δx→0时,割线 如果有一个极限位置 则我 → 时 割线 如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点 处的切线 们把直线 称为曲线在点P处的切线. 称为曲线在点 处的切线
2 ∆t →0
= −9.8t0 + 6.5
y = f ( x)
处的瞬时变化率怎样表示? 函数在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) △y lim = lim ∆x→0 △ x ∆x→0 ∆x
导数的定义: 4. 导数的定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
1.1变化率与导数 1.1变化率与导数
1.变化率 1.变化率 一个变量相对于另一个变 量的变化而变化的快慢程度叫 做变化率． 变化率．
问题1 问题 气球膨胀率
3V r (V ) = 3 4π
当空气容量从V 增加到V 气球的平 当空气容量从 1增加到 2时,气球的平 气球的 均膨胀率是多少 均膨胀率是多少? 是多少
练习: 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位: s) 的关系为: s(t ) = 3t +1, 求t = 2时的瞬时速度v.
△s s (2 +△t ) − s (2) 解 v = s (2) = lim = lim △ t → 0 △t △t →0 △t
＇
[3(2 +△t) + 1] − (3 × 2 + 1) = lim = lim 3 = 3 △ t→0 △ t →0 2
函数的平均变化率
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RB . 数学 . 选修2-2
求函数的平均变化率 已知函数f(x)＝3x＋1和g(x)＝2x2＋1，分别计算f(x)与g (x)在－3到－1之间和在1到1＋Δx之间的平均变化率． 【思路探究】 后代入公式求解． 先求自变量的增量和函数值的增量，然
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f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表
示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐 标为(x1，y1)．
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图 1－1－1
1．若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变 量x和函数值y的改变量分别是多少？
【思路探究】 因为Δs 是质点在Δt 这段时间内的位移， Δs 所以 就是质点在Δt 这段时间内的平均速度． Δt
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【自主解答】 (1)由题设知，Δt＝3 s， Δs＝s(3)－s(0)＝24 m， Δs ∴平均速度为 v＝ ＝8 m/s. Δt (2)由题设知：Δt＝3－2＝1 s，Δs＝s(3)－s(2)＝12 m. Δs ∴平均速度为 v＝ ＝12 m/s. Δt
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RB . 数学 . 选修2-2 函数的平均变化率的定义
一般地，已知函数y＝f(x)，x0、x1是其定义域内不同的两
点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平
第5章5.15.1.1 平均变化率-2024-2025学年新教材数学苏教版选择性必修第一册同步课件
5.1.1 平均变化率
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1.思考辨析 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对于函数 y＝f (x)，当 x 从 x1 变为 x2 时，x2－x1 一定大于 0．
()
(2)对于函数 y＝f (x)，当 x 从 x1 变为 x2 时，函数值的变化量为 f (x2)
5.1.1 平均变化率
1
2
3
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必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
类型 2 实际问题中的平均变化率 【例 2】 (1)圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时，圆的面积 S 的平均 变化率为________．
(1)0.4π [∵S＝πr2，∴圆的半径 r 从 0.1 变化到 0.3 时， 圆的面积 S 的平均变化率为S(00.3.3)－－S0(.10.1)＝π×0.320－.2π×0.12＝ 0.4π.]
5.1.1 平均变化率
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03
学习效果·课堂评估夯基础
5.1.1 平均变化率
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1．函数 f (x)＝x2＋c(c∈R)区间1，3上的平均变化率为( )
5.1.1 平均变化率
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高中数学第2章导数及其应用1平均变化率与瞬时变化率1-1平均变化率1-2瞬时变化率北师大版选择性必修
对点训练❷ 一辆汽车按规律s＝2t2＋3做直线运动，求这辆 汽车在t＝2时的瞬时速度．(时间单位：s，位移单位：m)
[解析] 设这辆汽车在 t＝2 附近的时间改变量为 Δt，则位移的改变 量 Δs＝[2(2＋Δt)2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt＋2(Δt)2，则ΔΔst＝8＋2Δt.当 Δt 趋 于 0 时，平均变化率ΔΔst趋于 8.
第二章 导数及其应用
§1 平均变化率与瞬时变化率 1．1 平均变化率 1．2 瞬时变化率
素养目标•定方向 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
素养目标•定方向
1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． 2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． 3．会求函数在某点附近的平均变化率．
练一练： 1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( B )
A．1 C．2
[解析]
B．－1 D．－2 ΔΔxy＝f33－－f11＝1－2 3＝－1.
2．一质点的运动方程是s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的
平均速度为( D )
A．3Δt＋6
B．－3Δt＋6
C．3Δt－6
[规律方法] 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量 Δx＝x2－x1. (2)求函数值的改变量 Δy＝f(x2)－f(x1)． (3)求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－ －fx1x1.
对点训练❶ 球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率
28π 为___3___.
[解析]
因为 Δy＝43π×23－43π×13＝283π，
28π 所以ΔΔyx＝2－3 1＝283π.
题型二
瞬时变化率(瞬时速度)的求法
典例 2 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛的物体，t 秒时的高度 s 与 t 的 函数关系为 s＝v0t－12gt2，求物体在时刻 t0 处的t)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12gt20＝(v0－gt0)Δt－
§1.1.1平均变化率
世界充满着变化，有些变化几乎不为人们察 觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼！下面
是一个案例： 某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两 天，4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃， 短短两天时间，气温“陡增” 14.8℃，闷热中的人们无不 感叹：“天气热的太快了！” 但是，如果我们将该市2004年3月18日的最高气温3.5℃ 与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温差 为15.1℃，甚至超过了14.8℃。而人们却不会发出上述感 叹。这是什么原因呢？ 原来前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”。
请分别计算出下面两个图象表示的函 数h(t)在区间[0，3]上的平均变化率。
h
10
h
10
OLeabharlann 1A3t
O
1
3
B
t
容易看出点B，C之间的曲线较点A，B之间的曲 线更加“陡峭”， 陡峭的程度反映了气温变化的快与慢。 *如何量化陡峭程度呢？ 联想到用斜率来量化直线的倾斜程度，我们用 比值 33 .4 18 .6 即（ y c y B ）
例4、已知函数 的平均变化率。
思考： y=kx+b在区间[m，n]上的平 均变化率有什么特点？
一次函数在任意区间上的平均变化率都是斜率.
分层训练：
必做题：P7
选做题： P7
练习 1
练习 3
2
作业： P7
练习 4
课堂小结
形 曲线陡峭程度
数 平均变化率
变量变化的快慢
用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢？ 这样的数学模型有哪些应用？
1.1.1函数的平均变化率
A．－4
C． －6
B．－8
D． 6
全
心
全
意
育
真
人
4. 在曲线y=x2+1的图象上取一点(1, 2)及附 近一点(1+△x ,
y 2+△y)，则 x
为（ C ）
1 1 2 B． x 2 A． x x x
C． x 2
D． 2 x 1
x
全
心
全
意
育
真
人
课堂小结： 1、知识点： 函数的平均变化率 2、思想方法： 以直代曲
y1 y0 y k tan x1 x0 x
全
心
全
意
育
真
人
显然，“线段”所在直线的斜率的绝对值 越大，山坡越陡。这就是说，竖直位移与水平 山坡越平缓。
y 位移之比 的绝对值越大，山坡越陡；反之， x
现在摆在我们面前的问题是：山路是弯曲 的，怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？
全
心
全
意
育
真
人
一个很自然的想法是将弯曲的山路分成许 多小段，每一小段的山坡可视为平直的。例如， 山坡DE可近似的看作线段DE，再用对平直山 坡AB分析的方法，得到此段山路的陡峭程度可 以用比值近似地刻画。
y f ( xk 1 ) f ( xk ) x xk 1
育
全
心
全
意
育
真
人
例3．已知函数f(x)=－x2+x的图象上的一 点A(－1, －2)及临近一点B(－1+△x, － 2+△y), 则 y
x
3－△x
．
全
心
平均变化率讲解知识分享
问：在区间
t
，
0
t1
上，哪一个企业
的排污平均变化率大一些？
t1
l1
l2
t
T (℃)
30
20 B 10 A
W
C
甲
标准
ห้องสมุดไป่ตู้
乙
01 4
30 t(d)
越陡峭，平均变化率越大
O t0
t1 t
越陡峭，平均变化率越小
（越大）
陡峭 程度
（越小）
（越大）
平均变化率 的绝对值
（越小）
美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险， 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉， 毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。
01容器甲中水在减少国家环保局在规定排污达标日期前对甲乙两企业进行检查其连续检测结果如图所示其中分别表示甲乙两企业的排污量试比较两个企业的治污效果
1.1.1 平均变化率
T (℃)
30 20 10
01 4
30 t(d)
校运动会，短跑比赛：
甲：100米，成绩15秒；
乙：200米，成绩25秒；
甲，乙两人谁快？ 为什么？
" f( x ) 在 [ x 1 ,x 2 ] 上 的 平 均 变 化 率 小 于 0 " 是 " f( x ) 在 [ x 1 ,x 2 ] 递 减 "
的 必要不充分条 件 。
设 A (x1,y1)、 B(x2,y2)
第1章 1.1.1 平均变化率
1．1 导数的概念 1．1.1 平均变化率学习目标 1.了解平均变化率的实际背景.2.理解平均变化率的含义.3.会求函数在某一点附近的平均变化率，并能用平均变化率解释一些实际问题．知识点 平均变化率1．一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．特别提醒：在函数平均变化率的定义中，应注意以下几点： (1)函数在区间[x 1，x 2]上有意义．(2)在式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1中，x 2－x 1>0，而f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负、可为0.(3)实质：函数值的增量与自变量的增量之比． (4)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．1．平均变化率一定为正值．( × )2．函数的平均变化率为零，说明函数没有发生变化．( × ) 3．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )4．函数在区间上的变化速度与平均变化率的绝对值大小有关．( √ )一、实际问题中的平均变化率例1 (1)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T ＝120t ＋5＋15，其中T 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为_______℃/min. 答案 －1.6解析 ΔT Δt ＝T (10)－T (0)10－0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12010＋5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫1200＋5＋1510＝－1.6(℃/min)，∴从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率为－1.6℃/min.(2)某森林公园在过去的10年里，森林占地面积变化如图所示，试分别计算前5年与后5年森林面积的平均变化率．解 前5年森林面积的平均变化率为6.5－2.55－0＝0.8(公顷/年)．后5年森林面积的平均变化率为14.5－6.510－5＝1.6(公顷/年)．反思感悟 平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、加速度、膨胀率、经济效益等．分清自变量和因变量是解决此类问题的关键．跟踪训练1 某质点沿方程为y ＝f (x )＝5x 2＋3(x 表示时间，f (x )表示位移)的曲线运动，则该质点从x ＝10到x ＝11的平均速度等于________． 答案 105解析 因为f (x )＝5x 2＋3，则质点从x ＝10到x ＝11的平均速度为v ＝f (11)－f (10)11－10＝(5×112＋3)－(5×102＋3)11－10＝105.二、函数在某区间上的平均变化率例2 (1)求函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率； (2)求函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率． 解 (1)函数f (x )＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为f (2.1)－f (2)2.1－2＝(3×2.12＋2)－(3×22＋2)0.1＝12.3.(2)函数g (x )＝3x －2在区间[－2，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－2)(－1)－(－2)＝[3×(－1)－2]－[3×(－2)－2](－1)－(－2)＝(－5)－(－8)－1＋2＝3.反思感悟 求函数平均变化率的步骤 (1)求自变量的改变量x 2－x 1. (2)求函数值的改变量f (x 2)－f (x 1)． (3)求平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 (1)计算函数y ＝f (x )＝x 2从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为： ①2；②1；③0.1；④0.01；(2)思考：当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)因为f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－12＝(Δx )2＋2Δx ， 所以f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(Δx )2＋2Δx Δx ＝Δx ＋2.①当Δx ＝2时，平均变化率Δx ＋2＝4， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,3]上的平均变化率为4； ②当Δx ＝1时，平均变化率Δx ＋2＝3， 即函数f (x )＝x 2在区间[1,2]上的平均变化率为3；③当Δx ＝0.1时，平均变化率Δx ＋2＝2.1，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.1]上的平均变化率为2.1； ④当Δx ＝0.01时，平均变化率Δx ＋2＝2.01，即函数f (x )＝x 2在区间[1,1.01]上的平均变化率为2.01.(2)当Δx 越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2. 三、函数平均变化率的应用例3 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第________年增长较快．答案 一解析 ∵ΔW 1Δt 1＝11.25－3.7512－0＝0.625，ΔW 2Δt 2＝14.25－11.2524－12＝0.25， ∴ΔW 1Δt 1>ΔW 2Δt 2，故第一年婴儿体重的平均变化率大，婴儿体重增长较快． 反思感悟 平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化速度越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化速度越慢．跟踪训练3 汽车行驶的路程S 和时间t 之间的函数图象如图所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系是______________．答案 v 3>v 2>v 1解析 v 1＝S (t 1)－S (t 0)t 1－t 0＝k OA ，v 2＝S (t 2)－S (t 1)t 2－t 1＝k AB ，v 3＝S (t 3)－S (t 2)t 3－t 2＝k BC ，由图象知，k OA <k AB <k BC ， 所以v 3>v 2>v 1.1．如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2答案 B解析 平均变化率为1－33－1＝－1.故选B.2．一物体的运动方程是S ＝3＋2t ，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3 D ．0.2 答案 B解析 v ＝S (2.1)－S (2)2.1－2＝7.2－70.1＝2.3．函数f (x )＝2x ＋4在区间[a ，b ]上的平均变化率为________． 答案 2 解析f (b )－f (a )b －a ＝(2b ＋4)－(2a ＋4)b －a ＝2(b －a )b －a＝2. 4．一个半径为r 的圆面，当半径增大Δr 时，面积S 的平均变化率为________． 答案 2πr ＋π·Δr解析 半径增大Δr 时，面积增加ΔS ＝π(r ＋Δr )2－πr 2 ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr ，所以ΔS Δr ＝π(Δr )2＋2πr ·Δr Δr＝2πr ＋π·Δr .5．某市一天12小时内的气温变化图如图所示，则在区间[0,4]内温度的平均变化率为________ ℃/h.答案 －14解析 Δy Δx ＝f (4)－f (0)4－0＝－14(℃/h)．1．知识清单： (1)平均变化率．(2)平均变化率的几何意义及应用． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对平均变化率的理解不透彻导致出错．1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．已知函数f (x )＝x 2＋2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 A解析 ∵f (3)＝11，f (1)＝3，∴该函数在区间[1,3]上的平均变化率为f (3)－f (1)3－1＝11－33－1＝4.3．某质点沿曲线运动的方程为f (x )＝－2x 2＋1(x 表示时间，f (x )表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为( ) A ．－4 B ．－8 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由题意得该质点从x ＝1到x ＝2的平均速度为f (2)－f (1)2－1＝－8＋1－(－2＋1)1＝－6.4．一根金属棒的质量y (单位：kg)是长度x (单位：m)的函数，y ＝f (x )＝3x ，则从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是( )A.25kg/m B.35kg/m C.34kg/m D.12kg/m 答案 B解析 从4 m 到9 m 这一段金属棒的平均线密度是 f (9)－f (4)9－4＝3(9－4)9－4＝35(kg/m)．5．质点运动规律的方程是S ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]内，相应的平均速度是( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt答案 A解析 平均速度为(3＋Δt )2＋3－32－3Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .6．国庆黄金周7天期间，某大型商场的日营业额从1 300万元增加到4 100万元，则该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是______万元/天． 答案 400解析 日营业额的平均变化率为4 100－1 3007＝400(万元/天)．7．函数y ＝x 3＋2在区间[1，a ]上的平均变化率为21，则a ＝________. 答案 4解析 (a 3＋2)－(13＋2)a －1＝a 3－1a －1＝a 2＋a ＋1＝21.解得a ＝4或a ＝－5.∵a >1，∴a ＝4.8．函数y ＝f (x )＝－2x 2＋5在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为________． 答案 －8－2Δx解析 ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝－8－2Δx ，即平均变化率为－8－2Δx . 9．已知函数f (x )＝x 2＋3x 在[0，m ]上的平均变化率是函数g (x )＝2x ＋1在[1,4]上的平均变化率的3倍，求实数m 的值．解 函数g (x )在[1,4]上的平均变化率为g (4)－g (1)4－1＝9－33＝2.函数f (x )在[0，m ]上的平均变化率为f (m )－f (0)m －0＝m 2＋3mm ＝m ＋3.令m ＋3＝2×3，得m ＝3.10．为了检测甲、乙两辆车的刹车性能，分别对两辆车进行了测试，甲车从25 m/s 到0 m/s 花了5 s ，乙车从18 m/s 到0 m/s 花了4 s ，试比较两辆车的刹车性能． 解 甲车速度的平均变化率为0－255＝－5(m/s 2)．乙车速度的平均变化率为0－184＝－4.5(m/s 2)，平均变化率为负值说明速度在减少，因为刹车后，甲车的速度变化相对较快，所以甲车的刹车性能较好．11．已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( ) A ．3 B ．3Δx －(Δx )2 C ．3－(Δx )2 D ．3－Δx答案 D解析 ∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2)＝3Δx －(Δx )2 ∴ΔyΔx＝3－Δx . 12．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度答案 BC解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故A 错误，B 正确；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确，D 错误． 13．某人服药后，人吸收药物的情况可以用血液中药物的浓度c (单位：mg/mL)来表示，它是时间t (单位：min)的函数，表示c ＝c (t )，下表给出了c (t )的一些函数值： t /min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 c (t )/ (mg/mL) 0.840.890.940.981.001.000.970.900.790.63服药后30～70 min 这段时间内，药物浓度的平均变化率为________mg/(mL·min)． 答案 －0.002 解析c (70)－c (30)70－30＝0.90－0.9840＝－0.002mg/(mL·min)．14．如图是函数y ＝f (x )的图象．(1)函数f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为______； (2)函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．答案 12 34解析 (1)函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上的平均变化率为f (1)－f (－1)1－(－1)＝2－12＝12.(2)由函数y ＝f (x )的图象知， f (x )＝⎩⎨⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3，所以函数y ＝f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f (2)－f (0)2－0＝3－322＝34.15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)，所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3，所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．圆柱形容器，其底面直径为2 m ，深度为1 m ，盛满液体后以0.01 m 3/s 的速率放出，求液面高度的平均变化率．解 设液体放出t 秒后液面高度为y m ， 则π·12·y ＝π·12×1－0.01t ， ∴y ＝1－0.01πt ，液面高度的平均变化率为 ΔyΔt ＝1－0.01π(t ＋Δt )－1＋0.01πtΔt ＝－0.01π，故液面高度的平均变化率为－0.01π.。
1.1.1平均变化率、瞬时速度、导数定义
1溪县高中 高二数学 学案（及课后自测 ） 第1周 课题：选修2-2 1.1.1导数 新授课 设计教师：韩晓素 审核责任人：刘红梅 定稿时间：2013－1－15- 1 -子曰：知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。
第一二课时 1.1.1函数的平均变化率、瞬时速度与导数学习目标：1.函数在某一点的平均变化率2.瞬时变化率、导数的概念学习重点：理解平均变化率、瞬时变化率、导数的概念 学习难点：导数概念学习方法：自主探究、小组合作、展示交流、质疑释疑请同学们阅读数学教材2.2.2一节内容，请同学们思考和研究以下问题： 1. 函数在某点的平均变化率的概念？2. 运动物体的速度在某时刻的瞬时变化率（瞬时速度），函数在0x 处的瞬时变化3. 平均变化率的其几何意义？4.导数的概念与定义？（5～10分钟）1.平均变化率：函数()f x 在12[,]x x 上的平均变化率为 ，若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-,则平均变化率可表示为 .2.导数的概念：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈,当x ∆无限接近于0时，比值 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的 ，记作.例1、有x x x x y ∆+=002到在之间的平均变化率。
例2、求x x x xy ∆+=001到在之间的平均变化率（00≠x ）。
变式1、求492322到在+-=x x y 之间的平均变化率。
、例4、过曲线3)(x x f y ==上两点P （1，1）和Q （y x ∆+∆+1,1）作曲线的割线，求出当1.0=∆x 时割线的斜率。
变式2、求函数3,2,12==x x y 在附近的平均变化率，取x ∆都为31，哪一点附近平均变化率最大？例6、求2122-=+-=x x x y 在附近的平均变化率。
例7、设一物体的运动方程是2021)(at t t s +=υ。
平均变化率教案设计
高中数学选修2—2
1.1.1 平均变化率（教案）
高中数学选修2—2 1.1.1 平均变化率（教学设计）
一、教学目标
知识与技能：
1、理解平均变化率的概念；
2、通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学
描述刻画现实世界的过程。
过程与方法：
1、通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
2、通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。
情感、态度与价值观：
感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程。
体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
二、教学重点、难点
重点：平均变化率的概念的归纳得出；求函数在某个区间的平均变化率。
难点：从实际例子归纳出函数的平均变化率的过程。
三、教学方法
引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解如何求函数的平均变化率。
四、教学基本流程
创设情境，引导探索分析归纳，建立概念
例题讲解，尝试应用回顾反思，感悟升华
五、教学过程（具体如下表）
面的高度
的平均速度
示为体积
板书设计:。
【数学】1.1.1《函数的平均变化率》课件(新人教B版选修2-2)
x 2 − x1
O
x1
x2
x
思考 观察函数f ( x) ( 的图象图 . . ),平均 变化率 ∆f f (x ) − f (x ) = ∆x x −x ? 表示什么
图 . −
如 把 径 表 为 积 的 数那 果 半 r 示 体 V 函 , 么 r(V ) = V
π
.
当 气 积 从 增 到 L时 气 半 增 了 空 容 V 加 , 球 径 加 r( ) − r( ) ≈ . (cm), r( ) − r( ) 气 的 均 胀 为 球 平 膨 率 ≈ . (dm/ L). − 类 地当 气 量 L增 到 L时 气 半 似 , 空 容 从 加 , 球 径 增 了 ( ) − r( ) ≈ . (dm), 加 r r( ) − r( ) 气 的 均 胀 为 球 平 膨 率 ≈ . (dm/ L). − 可 看 ,随 气 体 逐 变 ,它 平 膨 以 出 着 球 积 渐 大 的 均 胀 逐 变 了 率 渐 小 . V V , 思考 当空气的容量从 增加到 时气球的平 ? 均膨胀率是多少
第 章 导 一 数
h(t ) = − . t + . t + 表 . 示如何求他在某时刻的 速 度?他距水面的最大 ? 高度是多少
你看过高台跳水比赛吗 ? 照片中锁定了运动员比 . , 赛的瞬间 已知起跳 s后 运动员相对于水面的高 度 h (单位: 的 化 问 随 可 . 富 彩 变 率 题 处 见 让 们 其 的 个 题开 变 我 从 中 两 问 , 始 化 与 数 学 吧 率 导 的 习 !
探究 计算运动员在 ≤ t ≤
观 这段时间
, : 里的平均速度并思考下面的问题
( ) 运动员在这段时间里是 ? 静止的吗 ( ) 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为
［(2 t)2 1］ 22 1 4t (t)2
v
4 t.
t
t
又 v≤5,即4+Δt≤5,
所以Δt≤1.
又Δt>0,
所以Δt的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1]
【易错误区案例】 求解函数的平均变化率问题 【典例】函数y=2x2+3x在[1,2]内的平均变化率为_-_9_.
y x
f x2 f x1
x2 x1
公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.
(3)×.函数值的改变量应是f(x0+Δx)-f(x0).
2.若已知函数f(x)=x2-1的图象上一点(1,0)及附近一 点(1+Δx,Δy),则Δy的值为________. 【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)= (1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx. 答案:(Δx)2+2Δx
33 3
所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
【方法技巧】 比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商),并对差式(或商式)作合理变形,以 便探讨差的符号(或商与1的大小). (3)下结论.
【补偿训练】一质点做直线运动,其位移s与时间t的 关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的 平均速度不大于5,则Δt的取值范围是______.
为 f x1 f x2 ?
x1 x2
提示:能.若从x1变为x2,平均变化率为
若从x2变为x1,平均变化率为
而 f x2 =f x1 f x.1 f x2
f x1 f,
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
1.1.1函数的平均变化率
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx， x0])的平均变化率．
1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域
本 课
内不同的两点，记Δx＝ x1－x0 ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－
A. 2Δt＋4 B. －2Δt＋4 C. 2Δt－4 D. －2Δt－4
解析：ΔΔst＝4－21＋ΔtΔ2t－4＋2×12
＝－4Δt－Δt 2Δt2
＝－2Δt－4. 答案：D
例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月 该婴儿体重的平均变化率．
本 课 时
y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x) 的平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1
栏 目
为割线 AB 的斜率．
开 关
x1，x2 是定义域内不同的两点，因此 Δx≠0，但 Δx 可正也可
负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应 Δx＝x2－x1 的改变量，Δy 的值可
你能从数学的角度来反映山坡的 平缓和陡峭程度吗？
怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A 是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在 的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
(3)实质： 函数值 的改变量与 自变量 的改变量 之比 .
(4)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上变化的快慢.
高中数学 第1章 1.1第1课时 函数的平均变化率课件 新人教B版选修2-2
(3)平均变化率是指函数值的“增量”(即“改变量”)Δy与 相应的自变量的“增量”Δx的比，这也给出了平均变化率的 求法，可得平均变化率可正、可负，也可为零．
2．求函数平均变化率的步骤： 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0； (2)求函数的增量Δy＝f(x1)－f(x0)； (3)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0.当求函数在某点附近 的平均变化率时，可在函数图象上表示出来．
)
A．3
B．3Δx－(Δx)2
C．3－(Δx)2
D．3－Δx
[答案] D
[解析] ∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx， ∴ΔΔyx＝－ΔxΔ2x＋3Δx＝－Δx＋3. 故选D.
求运动物体的平均速度
以初速度v0竖直上抛一物体的位移(单位：m)与 时间(单位：s)的关系为：s(t)＝v0t－12gt2.
成才之路 ·数学
人教B版 ·选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
导数及其应用 第一章
研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本 方法．
从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分 和积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的 阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线面 积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思 想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚 的论述．比如《庄子》一书中，记有“一尺之棰，日取其半， 万世不竭”．
二、平均速度 设物体运动路程与时间的关系是s＝f(t)，如图，从t0到t0＋ Δt这段时间内，物体的平均速度是v0＝ft0＋ΔΔtt－ft0＝ΔΔst. 可见平均速度v0就是函数f(t)在区间[t0，t0＋Δt]上的平均变 化率．
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>
快
慢
问题2
为什么该人的运动s-t图不是直线段？
如何从该s-t图分析他路程随时间的变化快慢？
B（24,100） S(t2) A（21,70） S(t1)
O（0,0）
t1
t2
“陡峭（变化快）”？ 24-21=3(s)
问：为什么0---t1图像比t1---t2“平缓”？ 如何量化图象“平缓（变化慢）”
1
平均变化率 平均变化率可 到 x2 的___________.
Δy 以表示为_________. Δx
你做对了吗？
探究· 拓展
德国著名心理学家
艾宾浩斯的遗忘曲线
记忆保持量（百分数）
100
80
60 40 艾宾浩斯遗忘曲线
时间间隔 刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后 ……
v 8 16 8 (3)a = 1.14(m / s 2 ) t 14 7 7
v 68 1 (4)a = 0.33(m / s 2 ) t 20 14 3
t(s)
0
3
7
14
20
平 均 变 化 率 是 曲 线 陡 峭 程 度 的 数 量 化
探究.拓展：
困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时 每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算 平均速度那样，用运动的距离除以运动的时间，因为 在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在 它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。
第二类问题
求曲线的切线。 这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问
四
本课小结
从“形”刻画
课堂小结
我们把式子
f x 2 - f x1 称为函数 x 2 - x1
f(x)从 x1 到 x2 的平均变化 率 .
（ average rate of change）
求函数f(x)平均变化率的步骤：
一、求自变量的增量Δx=x2-x1 二、求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A（1,-2）及临近一点B（-1+Δx,-2+Δy），则 D Δy/Δx=（ ）
十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45 角
发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。
困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研 究中出现的问题，但新的方法尚无眉目。
第四类问题
求曲线长、曲面面积、物体重心及物体之间的引力 （求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、
平均变化率为_______________. 5 解：由平均变化率的公式
2
y 2 （1.5 -1.1 ） 得 5. x 1.5 -1
2 2
4、已知函数 f x ,则变化率可用式子
f x2 - f x1 x2 - x1 _____________ ，此式称之为函数从 x
平均变化率的变化与函数图象的形状有何联系？
y 减小 割线斜率 k 减小 曲线变“平缓” x
y 增大 割线斜率 k 增大 曲线变“陡峭” x
曲 线 陡 峭 程 度 是 平 均 变 化 率 的 视 觉 化
1 、已知函数f(x)=-x2的图象上的一 点A(-1,-1)及临近一点B(0,0),则 Δy/Δx=( ) A. 3 C. 1 B. 4 D. -1
A.3 C. 3-(Δx)2 B. 3Δx-(Δx)2 D. 3-Δx
2 f x = x 2 、函数
在区间 -1, 3
上的平均变化率是（ B ） A.4
1 C. 4
2
B.2
3 D. 4
Δy 3 -1 解： = =2 Δx 3 - (-1)
3、函数 y = 2x 在区间[1，1.5]上的
时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量T2-T1 成交额差/时间差 成交额变化快慢
100/2 = 50(亿元/小时) >200/19
10.53(亿元/小时)
慢
快
问题2
路程随时间变化关系S= S（t ）
时间的改变量 Δt=t2- t1 路程的改变量Δs=S2-S1
9-0=9(s) 60-0=60(m) 60/9 6.7(m/s) 慢
11-9=2(s)
路程差/时间差(Δs/Δt)
路程变化快慢
<
100-60=40(m) 40/2=20(m/s) 快
两个变化率（快慢）问题
Q(t2 ) Q(t1 ) (1)成交额［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题： t2 t1 S (t2 ) S (t1 ) (2)路程在［t1 , t2］平均变化率(快慢)问题： t2 t1
(2)从x1到x2的平均变化率。
某物体的运动速度随时间的变化情况如下图所示
例题2
V(m/s)
(1)求0s-3s的速度平均变化率？ （2）求3s-7s的速度平均变化率？ （3）求7s-14s的速度平均变化率？ （4）求14s-20s的速度平均变化率？
提示：
16 12 8 6
v 12 0 (1)a 4(m / s 2 ) t 3 0 v 16 12 (2)a 1(m / s 2 ) t 73
记忆保持量 100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1% ……
20
0 1
2
3
4
5 天数
课后作业：
1、与同学交流你探究“气球膨胀率问题”及“跳水问题”的 心得。
课外作业： 1、搜寻有关微积分历史的资料，跟你的同学交流。 2、四人一小组，写一篇有关生活中变化率问题的小文章。
成交额随时间变化关系 Q = Q（t） 时间的改变量 t2- t1 成交额的改变量Q2-Q1 成交额差/时间差 成交额变化快慢 2-0=2(小时) 100-0=100(亿元) 21-2=19(小时) 300-100=200(亿元)
10.53(亿元/小时) 100/2 = 50(亿元/小时) 200/19
如何刻画一般的函数f(x)在区间[x1，x2]上 随x变化（增加或减少）的“快”与“慢”？
三 平均变化率的定义
平均变化率等于函数的增量与自变量的增量之比值。 亦即：y / x.
y f ( x2 ) f ( x1 ) 思考：平均变化率： 表示的几何意义？ x x2 x1
y2 y1 f ( x2 ) f ( x1 ) 割线斜率 k x2 x1 x2 x1
时间的改变量 Δt=t2- t1
路程随时间变化关系S= S（t ）
21-0=21(s) 70-0=70(m) 70/21=3.3 (m/s)
路程的改变量Δs=S2-S1
路程差/时间差(Δs/Δt)
速度变化快慢
<
100-70=30(m) 30/3= 10 (m/s)
慢
快
问题1
成交额随时间变化关系 Q = Q（t） 2-0=2(小时) 100-0=100(亿元) 21-2=19(小时) 300-100=200(亿元)
一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。）
y 困难在于：欧多克斯的穷竭法虽然被阿基米德熟 练地用来求出了很多图形的面积及几何体的体积，但 它毕竟是一种有限且相当复杂的几何方法，已不能解 决第四类问题。 b x o a
二
变化率问题
问题1
成交额Q(t) (亿元) 400 350 300 250 200 150 100 50
题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体
在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。 困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个 没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接 触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对 于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。
第三类问题
求已知函数的最大最小值。
f(x2 ) f(x2 )-f(x1 ) （ x2 ， f(x2 ) ）
这是平均变化率的几何意义
f(x1 )
x2-x1 （ x1 ， f(x1 ) ） x1 x2
求函数f(x)平均变化率的步骤：
一、求自变量的增量Δx=x2-x1 二、求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1)
例题1
已知f(x)=2x2+1，求： (1)从x=1到x=2的平均变化率；
人教A版高中数学选修2-1
1.1.1变化率问题
微积分创立者
Newton
Leibniz
微积分的创立是人类精神文明的最高胜利。 ——恩格斯
微积分创立背景
微积分的创立主要与四类问题处理有关：
瞬时变化率、速度、加速度及运动距离 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体 任意时刻的速度和加速度；以及已知物体的加速度 作为时间的函数，求速度和路程。
2013年11月11日淘宝天猫成交额随时间变 化趋势图如下： 问0—2时与2—21时， 哪段时间的成交额变化快,为什么?
C(21,300)
B(2,100)
A(0,0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23
t
问：怎么量化0—2时与 2—21时成交额变化快 (图象陡峭)、慢(图象平缓)？