梁昆淼 数学物理方法第7章

x x x+∆x ∆
（1）、dt 时间 内引起小段∆x温
度升高所需热量 为
Q = c(ρA∆x)[u(x, t + ∆t) − u(x, t)]
∆t →0
Q = cρAut ∆x∆t
n x
n x+∆x ∆
大小
x
r q = −k∇u
∂u q = −k ∂n
（2）、Furier s 实验定理：单位 实验定理： 时间内流过单位 面积的热量 q (热 流强度量）与温 流强度量） 度的下降成正比
x
u(x)
v F
x+ dx
x
u(x, t)
t时刻，B段伸长 时刻， 段伸长 时刻
u(x + dx)
A
B
C
u(x + dx, t) − u(x, t)
= −du t
u(x + dx, t) − u(x, t) ∂u = 相对伸长 dx ∂x 事实上， 事实上，相对伸长 ∂u ∂u 是位置的函数， 是位置的函数，如 x x+dx ∂x ∂x
∂u(x, y, z, t) ∂n
x0 y0 z0
= f (x0 , y0 , z0 , t)
∂u(x, y, z, t) [u + H ] x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t) ∂n
（1）、第一类边界条件 ）、第一类边界条件
u(x, y, z, t) x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t)
2
x y
α1
M1
x+∆x
M2
α2
T (l) −T (x) = −∫ ρ dxω x
2 x
l
(Tux ) x+dx − (Tux ) x = ρ dxutt
v T 1
x x x+∆x
T(x) = ∫ ρ dxω2 x
x
l
1 2 2 2 = ρ ω (l − x ) 2
(Tux ) x+dx − (Tux ) x = ρ dxutt
D=恒量， 令 恒量， a2=D
∂u dxdydz ∂t
ut − a (uxx + uyy + uzz ) = 0
2
ut − a ∆u = 0
2
一维
ut − a uxx = 0
2
ut − a ∆u = 0
2
ut − a uxx = 0
2
若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 F=(x,y,z,t) 与 u 无关
2
稳定浓度分布有
ut = 0
和
2
F(x, y, z, t) = F(x, y, z)
为泊松方程 为 Laplace 方程
∆u = −F(x, y, z) / a
若
F(x, y, z) = 0
∆u = 0
§7.2 7.2 ）、初始条件 （一）、初始条件 对于输运方程 初始条件要求已知 对于弦振动方程 初始条 件要求 已知
2
∂u Y ∂x
x
∂u Y ∂x
x+dx
B段运动 段运动 方程为
∂u YS ∂x
Y ux
∂u x+dx −YS ∂x
−ux = utt
x
∂u = ρ(Sdx) 2 ∂t
2
ρ
x+dx
x
dx
Y ∂ux = utt ρ ∂x
Yuxx = ρ utt
记
a =
2
Y
ρ
utt − a uxx = 0
2
3、扩散方程
∂u = dxdydzdt ∂t
∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u = (D )dxdydz + (D )dxdydz + (D )dxdydz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u { −[ (D ) + (D ) + (D )]}dxdydz = 0 ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
v ∂ v ∂ v ∂ ∇=i +j +k ∂x ∂y ∂z
v∂ v∂ v∂ v∂ v∂ v∂ ∇⋅ ∇ = (i +j + k ) ⋅ (i +j +k ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂2 ∂2 ∂2 = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
令
≡∆
∂2 ∂2 ∂2 ∆≡ 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
z 方向净流入量为
z
y
立方体净流入量为
dx
(x, y, z)
dz dy x
如立方体内无源和汇
dt时间内粒子增加数为
∂ ∂u = (D )dxdydzdt ∂x ∂x ∂ ∂u + (D )dxdydzdt ∂y ∂y ∂ ∂u + (D )dxdydzdt ∂z ∂z
(u t +dt −u t )dxdydz= du x, y,z dxdydz
un x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t)
f (t)
x
0
a
(Yun (Yux
x=a
)S = f (t) )S = f (t)
f (t) ux x=a = YS
1 1 2 2 2 2 2 2 [ ρ ω (l − x )ux ] x+dx −[ ρ ω (l − x )ux ] x = ρ dxutt 2 2
整理得： 整理得：
1 2 ∂ 2 2 utt − ω [(l − x )ux ] = 0 2 ∂x
2、均匀杆的纵振动 将细杆分成许多段 t时刻，A段伸长 时刻， 段伸长 时刻
∂u qx = −D ∂x
大小
负号表扩散方向 与浓度梯度相反
∂u q百度文库= −D ∂n
∂u qy = −D ∂y
∂u qz = −D ∂z
∂u qx = −D ∂x
∂u qy = −D ∂y
∂u qz = −D ∂z
x方向左表面，dt 时间流 方向左表面， 时间流
入六面体的流量为
qxdydzdt
流出六面体的流量为
dydzdt
− qx x )dydzdt
∂qx =− dxdydzdt ∂x
z
y
x 方向净流入量为
dx
(x, y, z)
dz dy x
∂qx =− dxdydzdt ∂x ∂ ∂u = (D )dxdydzdt ∂x ∂x
y 方向净流入量为
∂ ∂u (D )dxdydzdt ∂y ∂y
∂ ∂u (D )dxdydzdt ∂z ∂z
x
(Tux ) x+dx − (Tux ) x = ρ dxutt
T2 = T = T 1
T(ux
T(ux
x+dx
−ux x ) = ρ dxutt
= ρ utt
x+dx − ux x )
y
α1
M1
dx
M2
v T2
α2
Tuxx = ρ utt
ρ utt −Tuxx = 0
记
v T 1
x
2
x+∆x ∆
x
a =
2
T
ρ
utt − a uxx = 0
一长为l的均匀柔软轻绳，其一端固定在竖直轴上， 的均匀柔软轻绳 例：一长为 的均匀柔软轻绳，其一端固定在竖直轴上， 转动， 绳子以角速度ω转动，试推导此绳相对于水平线的横 振动方程
dm = ρ dx
弦的横向位移为 u(x,t)
y
2
ω
l
x
v T2
T cosα1 −T2 cosα2 = ρ dxω x 1 T2 sin α2 −T sin α1 = ρ dxutt 1 − dT = ρ dxω x
v ∫∫∫∇⋅ E dV
v r
r v v v V (r ) −V (r0 ) = −∫v E ⋅ dl
r0
v E = −∇V
∇ V = −ρ / ε0
2
称为泊松方程
∇ V = −ρ / ε0 称为泊松方程
2
若
ρ =0
对于
∇ V =0
2
称为 Laplace 方程
5、稳定浓度分布
ut − a ∆u = F(x, y, z, t)
dm = ρ ds
T2 cosα2 −T cosα1 = 0 1
v y F(x, t)
α1
M1
M2
v T2
α2
T2 sin α2 −T sin α1 = dmutt 1
v T 1
x
x+∆x ∆
x
T2 sin α2 −T sin α1 = ρ dsutt 1
T2 cosα2 −T cosα1 = 0 1
x
(2h / l)x
位移满足
[0, l / 2]
[l / 2, l]
u(x) t =t0 =
2h 2h (l − x) l
速度满足
ut (x, y, z, t) t =t0 = 0
（二）、边界条件 ）、边界条件 第一类边 界条件 第二类边 界条件 第三类边 界条件
u(x, y, z, t) x0 y0 z0 = f (x0 , y0 , z0 , t)
定解条件
2
ut − a ∆u = 0
u(x, y, z, t) t =t0 = ϕ(x, y, z)
utt − a ∆u = 0
2
位移满足 速度满足
u(x, y, z, t) t =t0 = ϕ(x, y, z) ut (x, y, z, t) t =t0 =ψ (x, y, z)
y
h 0 x x=l / 2 x=l
Q = cρAut dxdt cρAut dxdt = kuxx Adxdt
ut − a uxx = 0
2
∂u qx = −k ∂x
k a = cρ
2
4、泊松方程 电通量的高斯定理
v q v 1 ∫∫ E • dS = =
v v ∫∫ E • dS =
ε0
ε0
∫∫∫ ρ dV
v ∇⋅ E = ρ / ε0
ut = a ∆u + F(x, y, z, t)
2
ut − a ∆u = F(x, y, z, t)
2
若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 b2u
ut = a ∆u + b u
2 2
ut − a ∆u − b u = 0
2 2
3‘、热传导方程 、 设有一根恒截面为A的均匀细杆 沿杆长有温度差， 的均匀细杆， 设有一根恒截面为 的均匀细杆，沿杆长有温度差， 其侧面绝热 u(x,t) 为 x 处 t 时刻温度，ρ 为杆密度 时刻温度，
z
y
dx
(x, y, z)
dz dy x
qx
x+dx
dydzdt
z
y
dx
(x, y, z)
x方向左表面，单位时间 方向左表面，
dz dy x
流入六面体的流量为
qx x dydzdt qx
x+dx x+dx
单位时间流出六面体的流量为 净流入量为
dydzdt
qx x dydz − qx = −(qx
x+dx
第二篇 数学物理方程 第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 7.2 定解条件
§7.3 数学物理方程的分类(自学） 7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题 7.4 达朗贝公式、
§7.1 三类数学物理方程的导出 （一）、梯度矢量 ）、梯度矢量 梯度
∂2 ∂2 ∂2 ∆≡ 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
记
∂u utt = 2 ∂t
2
∂u ut = ∂t
∂2u uxx = 2 ∂x
L
有时记
∂2 ∂2 ∆2 ≡ 2 + 2 ∂x ∂y
∂2 ∂2 ∂2 ∆3 ≡ 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
）、三类数学物理方程的导出 （二）、三类数学物理方程的导出 1、弦的横振动 弦的横向位移为 u(x,t)
如两端固定弦, 如两端固定弦,端点位移
u(x, t) x=0 = 0 u(x, t) x=l = 0
y
h 0 x x=l / 2 x=l
x
0
如细杆热传导端点温度 （如扩散端点浓度） 如扩散端点浓度）
x l
u(x, t) x=0 = u0
u(x, t) x=l = ul
）、第二类边界条件 （2）、第二类边界条件 A）、如细 ）、如细 ）、 杆的纵振动， 杆的纵振动， x=a 处受力 f(t)
由于浓度不同引起的分子运动
扩散流强度q ，即单位 时间内流 过单位面积的分子数或质量，与 过单位面积的分子数或质量， 浓度 u(单位体积内的粒子数） 的 单位体积内的粒子数） 下降成正比
r q = −D∇u
D 为扩散系数
r ∂u v ∂u v ∂u v q = −D( i+ j+ k) ∂x ∂y ∂z
T2 sin α2 −T sin α1 = ρ dsutt 1
T2 −T = 0 1
y
α1
M1
M2
v T2
α2
T2 sin α2 −T sin α1 = ρ dsutt 1
考虑小振动
v T 1
x
x+∆x ∆
x
ds = (dx)2 + (dy)2 ≈ dx
sin α2 ≈ tgα2 = ux
x+∆x
sin α1 ≈ tgα1 = ux
k 为热传导系数
一维情况下如图有
∂u qx = −k ∂x
x方向左表面，dt 时间流入圆柱 方向左表面， 时间流入圆柱 流入
体的热量为
dt 时间流出圆柱体的热量为 时间流出圆柱体的热量为 流出
qx x Adt qx
x+dx
Adt
x x x+∆x ∆
dt 时间净流
入的热量为
∂qx qx x Adt − qx x+dx Adt = − Adxdt ∂x = kuxx Adxdt
相对伸长
∂u ∂x
x
∂u ∂x
x
x+dx
v F
x+ dx
x
由虎克定律，B两端的 由虎克定律， 两端的 张应力（单位横截面 张应力（ 的力） 的力）分别为
u(x)
u(x + dx)
A
B
C
∂u ∂u ∂u B段运动方程为 YS 段运动方程为 x+dx −YS x = ρ(Sdx) 2 ∂x ∂x ∂t Y ux x+dx −ux x = utt ρ dx